заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит  Декартов  метод
касательных (о нем нам придется ниже еще говорить  подробнее).  Здесь  можем
заметить, что в общем сразу  ясно,  что  этот  способ  придавать  переменным
величинам различные значения и затем приравнивать их  друг  к  другу  вообще
относится  к  иному  кругу  математического  рассмотрения,  чем  сам   метод
дифференциального исчисления, и им не  выделяется  подлежащая  в  дальнейшем
более  тщательному  рассмотрению  особенность  того  простого  отношения,  к
которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а
именно отношения производной функции к первоначальной.
   Более ранние из математиков  новейшего  времени,  как,  например,  Ферма,
Барроу и  другие,  которые  первые  пользовались  бесконечно  малыми  в  том
применении,   которое   позднее   преобразовалось   в   дифференциальное   и
интегральное исчисление, а затем также  Лейбниц  и  последующие  математики,
равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что  они  вправе  отбрасывать
произведения бесконечно малых разностей, так же как  и  их  высшие  степени,
только на том основании,  что  они  относительно,  по  сравнению  с  низшими
разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное
положение, а именно определение того, что  такое  дифференциал  произведения
или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение.  Остальное  есть
отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое,  однако,  как  мы
покажем далее, на самом  деле  представляет  больший,  или,  лучше  сказать,
единственный интерес. -
   Что касается рассматриваемого теперь вопроса, то следует  здесь  привести
лишь самое простое  соображение:  исходя  из  того  же  довода  относительно
незначительности принимают как основное положение  о  кривых,  что  элементы
кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты  имеют  между  собой  то  же
отношение, что и  подкасательная  и  ордината.  С  целью  получить  подобные
треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями  третью  сторону
треугольника,  который  прежде  справедливо   назывался   характеристическим
треугольником, рассматривается как прямая линия, как  часть  касательной,  и
потому одно из приращений - как  доходящее  до  касательной.  Эти  допущения
возвышают,  с  одной  стороны,  указанные  ранее  определения  над  природой
конечных величин;  с  другой  же  стороны,  к  моментам,  называемым  теперь
бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который  приложим  лишь  к
конечным величинам и применяя который мы не  вправе  чем-либо  пренебрегать,
ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее  метод,  остается  при
таком способе действия во всей своей силе.
   Здесь мы должны указать на  удивительный  прием  Ньютона  (Princ.  inath.
phil. nat. Ub. II. Lemma  II,  после  propos.  VII)  -  на  изобретенную  им
остроумную уловку для устранения  арифметически  неправильного  отбрасывания
произведений  бесконечно  малых  разностей  или  их  высших   разрядов   при
нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого
легко затем вывести дифференциалы  частного,  степени  и  т.  п.,  следующим
образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину  его
бесконечной разности, а если увеличить х  и  у  ,  ровно  настолько  же,  то
произведение переходит в сумму. Если от этого  второго  произведения  отнять
первое,
   то получается разность ydx + xdy,  которая  есть  избыток  приращения  на
целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба  произведения;
следовательно, это и есть дифференциал ху. - Как видим, при этом способе сам
собой  отпадает  член  [ряда  ],   составляющий   главное   затруднение,   -
произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при  всем  уважении  к
имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие
неправильно.
   Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление
   флюксий могла заставить такого  математика,  как  Ньютон,  обмануть  себя
подобным способом доказательства.

   Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении  f  дифференциала,
связаны с конкретными, относящимися к движению  значениями  элементов  и  их
степеней. - Применение формы ряда, вообще характерное для его метода,  сразу
наводит на мысль, что всегда в  наших  силах  путем  прибавления  все  новых
членов взять величину с той степенью точности,  которая  нам  нужна,  и  что
отброшенные величины относительно незначительны, что вообще  результат  есть
лишь приближение', и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно
тому  как  он  в  своем  методе  решения  уравнений  высших  степеней  путем
приближения отбрасывает  высшие  степени,  получающиеся  при  подстановке  в
данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на  том  простом
основании, что они малы;
   Ошибка,  которую  допустил  Ньютон,  решая  задачу   путем   отбрасывания
существенных  высших  степеней,  ошибка,  которая  дала  повод   противникам
торжествовать победу своего метода  над  его  методом  и  истинный  источник
которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее, доказывает,  что
пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью.  Лагранж
показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он  пренебрег  членом
ряда, содержащим важную для  данной  задачи  степень.  Ньютон  придерживался
указанного выше формального,  поверхностного  принципа  отбрасывания  членов
[ряда] ввиду их относительной малости. - А именно известно, что  в  механике
членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается
определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится  с