а не качественный нуль; а как нуль по количеству она  скорее  чистый  момент
лишь отношения. Она не различие на некоторую величину. Но именно поэтому,  с
одной стороны, вообще ошибочно называть моменты, именуемые бесконечно малыми
величинами,  также  и  приращениями  или  убываниями   и   разностями.   Это
определение исходит из того,  что  к  имеющейся  сначала  конечной  величине
что-то прибавляется или что-то от нее отнимается, что производится некоторое
вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие.  Но  что
касается перехода от функции переменной величины к ее дифференциалу,  то  по
нему видно, что он совершенно другого характера,  а  именно,  как  уже  было
разъяснено, он  должен  рассматриваться  как  сведение  конечной  функции  к
качественному отношению ее количественных определений. - С  другой  стороны,
сразу бросается в глаза ошибочность утверждения, будто  приращения  сами  по
себе - это нули и будто  рассматриваются  только  их  отношения;  ведь  нуль
вообще уже не имеет никакой определенности. Это представление,  стало  быть,
хотя и доходит до отрицательности  определенного  количества  и  определенно
выражает эту отрицательность, однако в то же время не  схватывает  ее  в  ее
положительном значении качественных определений  количества,  которые,  если
хотят вырвать их из  отношения  и  брать  их  как  определенные  количества,
окажутся лишь нулями. - Лагранж 109 (Theorie  des  fonct.  analyt.  Introd.)
замечает относительно представления о  пределах  или  последних  отношениях,
что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин, пока
они  остаются  конечными,  это  отношение  не   дает   рассудку   ясного   и
определенного понятия, как только его члены становятся одновременно  нулями.
-  И  в  самом  деле,  рассудок  должен  выйти   за   пределы   той   чистой
отрицательности, что как определенные количества члены отношения суть  нули,
и понять их положительно как качественные моменты. -  А  то,  что  Эйлер  (в
указанном месте  84  и  ел.)  прибавляет  еще  относительно  данного  [им  ]
определения,  чтобы  показать,  что  две  так  называемые  бесконечно  малые
величины, которые якобы не что иное, как нули,  тем  не  менее  находятся  в
отношении друг к другу, и потому для их  обозначения  пользуются  не  знаком
нуля, а другими знаками, - нельзя признать удовлетворительным. Он хочет  это
обосновать различием между арифметическим и  геометрическим  отношениями:  в
первом мы обращаем внимание на разность, во втором -  на  частное,  и,  хотя
арифметическое отношение между  двумя  нулями  [всегда]  одинаково,  это  не
значит, что точно так же обстоит  дело  с  геометрическим  отношением;  если
2:1-0:0, то по природе пропорции, так как первый член вдвое больше  второго,
третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому  на  основании
этой пропорции отношение 0 : 0 должно быть взято как отношение 2:1.- Также и
по обычной арифметике п х 0 ° 0; следовательно,  п:  1=0:0.-  Однако  именно
потому, что 2 : 1 или п: 1 есть отношение  определенных  количеств,  ему  не
соответствует ни отношение, ни обозначение 0 : 0.
   Я  не  буду  приводить  мнения  еще  других  [математиков  ],   так   как
рассмотренные  уже  достаточно  показали,  что  в  них,  правда,  содержится
истинное понятие бесконечного, но что оно не выделено и не сформулировано во
всей  своей  определенности.  Поэтому,  когда  [высказывающие  эти  взгляды]
переходят  к  самому  действию,  то  на  нем  не  может  сказаться  истинное
определение понятия; скорее возвращается конечная определенность количества,
и действие не может обойтись без представления о  лишь  относительно  малом.
Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины
обычным арифметическим действиям сложения и т.  д.,  основанным  на  природе
конечных  величин,  и  тем  самым  хотя  бы  на  мгновение  признавать   эти
бесконечные величины конечными  и  трактовать  их  как  таковые.  Исчисление
должно было бы обосновать правомерность того,  что  оно,  с  одной  стороны,
низводит эти величины, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения
или разности, а с другой - пренебрегает ими как  определенными  количествами
после того, как оно только что применяло  к  ним  формы  и  законы  конечных
величин.
   Я коснусь еще самого существенного в  попытках  геометров  устранить  эти
затруднения.
   Более ранние аналитики меньше терзали себя такими сомнениями; но старания
новейших аналитиков были направлены  главным  образом  на  то,  чтобы  вновь
привести   исчисление   бесконечно   малых    к    очевидности    собственно
геометрического метода и с помощью  этого  метода  достигнуть  в  математике
строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип
анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики  конечных
величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться  от
этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может  притязать
на ту  отчетливость,  которая  присуща  наукам  о  чувственном,  '  например
естественной истории, или подобно тому  как  еда  и  питье  считаются  более
понятным  занятием,  чем   мышление   и   постижение   посредством   понятия
(Begreifen). Поэтому нам придется говорить "  лишь  о  стараниях  достигнуть
строгости доказательств древних.
   Некоторые  [аналитики]   пытались   обойтись   совершенно   без   понятия
бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. -
Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом,  и  говорит
об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми
разностями, а сначала вводит  различные  значения  переменных  величин  и  в
дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при
этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества,  а
именно простота  метода  и  легкость  действий.  -  Это  способ,  в  котором