е. что каждый из них имеет и остальные три части равными по величине  частям
другого, так как они ввиду равенства трех первых  частей  совпадают  друг  с
другом. Формулируя это более абстрактно, можно сказать, что  именно  в  силу
равенства каждой пары соответствующих друг другу частей обоих  треугольников
имеется только один треугольник; в последнем три части  принимаются  за  уже
определенные, из чего следует определенность также и трех остальных  частей.
Таким образом, показывается, что в  трех  частях  определенность  завершена;
стало быть, для определенности, как таковой, три остальные части оказываются
излишеством -  излишеством  чувственного  существования,  т.  е.  созерцания
непрерывности.  Высказанная  в  такой  форме   качественная   определенность
выступает здесь в [своем] отличии от того, что предлежит  в  созерцании,  от
целого как некоторого непрерывного внутри себя; совпадение  мешает  осознать
это различие.
   Вместе с параллельными линиями и в параллелограммах  появляется,  как  мы
отметили,  новое  обстоятельство:  отчасти  равенство  одних  только  углов,
отчасти же высота фигур,  от  которой  отличны  внешние  границы  последних,
стороны параллелограммов. При этом возникает сомнение,  следует  ли  в  этих
фигурах - кроме определенности одной стороны, основания,  которое  дано  как
внешняя граница, - принимать в качестве другой определенности другую внешнюю
границу (а именно другую сторону параллелограмма) или высоту? Если даны  две
такие фигуры, имеющие одинаковое основание и  высоту,  причем  одна  из  них
прямоугольная, а другая с очень острыми  углами  (и,  стало  быть,  с  очень
тупыми противолежащими углами), то последняя фигура легко  может  показаться
созерцанию большей,  чем  первая,  поскольку  созерцание  берет  предлежащую
большую сторону ее как определяющую и поскольку оно по способу представления
Кавальери сравнивает площади по тому или иному множеству параллельных линий,
которыми они могут быть пересечены; [согласно этому способу представления ],
большую сторону [остроугольного параллелограмма] можно было бы рассматривать
как возможность  большего  количества  линий,  чем  у  вертикальной  стороны
прямоугольника. Однако такое  представление  не  служит  возражением  против
метода Кавальери; ибо множество параллельных линий,  представляемое  в  этих
двух параллелограммах для сравнения, предполагает в то же время одинаковость
их расстояний друг от друга или от основания, из чего  следует,  что  другим
определяющим моментом служит высота, а не другая сторона параллелограмма. Но
далее это меняется, когда мы сравниваем  между  собой  два  параллелограмма,
имеющие одинаковые основание и высоту, но лежащие не  в  одной  плоскости  и
образующие с третьей плоскостью разные  углы;  здесь  параллельные  сечения;
возникающие, когда представляют себе их  пересеченными  третьей  плоскостью,
движущейся параллельно себе самой, уже не одинаково удалены одно от другого,
и эти две плоскости неравны между собой. Кавальери обращает особое  внимание
на это различие, которое он определяет как различие между transitus rectus и
transitus obliquus неделимых (как в  Exercit.  I  n.  XII  ел.,  так  уже  в
Geometr. I, II), и этим он устраняет  поверхностное  недоразумение,  могущее
возникнуть с этой стороны. Я припоминаю, что Барроу в своем упомянутом  выше
сочинении (Lect. geom., II, р. 21), хотя также пользуется методом неделимых,
но, нарушая его чистоту, соединяет его с перешедшим от него  к  его  ученику
Ньютону и к другим современным ему математикам, в том числе  и  к  Лейбницу,
признанием возможности приравнять криволинейный треугольник, как,  например,
так называемый характеристический, прямолинейному, поскольку оба бесконечно,
т. е. очень малы, - я припоминаю, что Барроу  приводит  подобное  возражение
Такэ  остроумного  геометра  того  времени,  также  пользовавшегося   новыми
методами. Имеющееся у последнего сомнение  касается  также  вопроса  о  том,
какую линию - а именно при вычислении конических и сферических  поверхностей
-  следует  принимать  за  основной  момент  определения  для   рассуждения,
основанного  на  применении  дискретного.  Такэ  возражает   против   метода
неделимых, утверждая, что при вычислении поверхности  прямоугольного  конуса
по этому атомистическому  методу  треугольник,  [получаемый  при  продольном
рассечении]  конуса,  изображается  составленным  из  прямых,   параллельных
основанию линий, перпендикулярных к оси и представляющих собой в то же время
радиусы тех кругов, из которых  состоит  поверхность  конуса.  Если  же  эта
поверхность определяется как сумма окружностей, а эта сумма определяется  из
численности их радиусов, т. е. из  длины  оси  конуса,  из  его  высоты,  то
получаемый  результат  противоречит  сформулированной   и   доказанной   еще
Архимедом истине. В ответ на  это  возражение  Барроу  показывает,  что  для
определения  поверхности  конуса  не  его  ось,  а   сторона   треугольника,
[получаемого при продольном рассечении] конуса, должна быть  принята  за  ту
линию, вращение которой образует эту поверхность и которая, а не ось, должна
поэтому считаться определенностью величины для множества окружностей.
   Подобного рода возражения или сомнения имеют своим источником единственно
лишь обыденное неопределенное представление, согласно которому линия состоит
из бесконечного множества  точек,  плоскость  -  из  бесконечного  множества
линий, и т. д.; этим представлением затушевывается сущностная определенность
величины линий или плоскостей. - Целью настоящих примечаний было раскрыть те
утвердительные определения,  которые  при  различном  применении  бесконечно
малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и  освободить  их
от того тумана, в который их закутывает эта считающаяся чисто  отрицательной
категория. В бесконечном ряде, как, например, в Архимедовом измерении круга,
"бесконечность"  означает  только  то,  что  закон  дальнейшего  определения
известен, но так называемое конечное, т.  е.  арифметическое  выражение,  не
дано, сведение дуги к прямой линии не осуществимо; эта несоизмеримость  есть