| |
основоположение Кавальери гласит (Exerc. geometr. VI - позднейшее сочинение
Exerc. I, р. 6), что "все фигуры, и плоские, и телесные, относятся друг к
другу, как все их неделимые, причем эти неделимые сравниваются122 между
собой совокупно, а если у них есть какая-либо общая пропорция, то в
отдельности". - Для этой цели он сравнивает в фигурах, имеющих одинаковые
основание и высоту, пропорции между линиями, проведенными параллельно
основанию и на равном расстоянии от него; все такие линии некоторой фигуры
имеют одинаковое определение и составляют всю ее площадь. Так Кавальери
доказывает, например, и ту элементарную теорему, что параллелограммы,
имеющие одинаковую высоту, относятся между собой, как их основания; каждые
две линии, проведенные в обеих фигурах на одинаковом расстоянии от основания
и параллельные ему, относятся между собой, как основания этих фигур;
следовательно, так же относятся между собой и целые фигуры. В
действительности линии не составляют площади фигуры как непрерывной, а
составляют эту площадь, поскольку она должна быть определена арифметически;
линейное - это тот ее элемент, единственно лишь посредством которого должна
быть постигнута ее определенность.
Это заставляет нас поразмыслите о различии [в мнениях] относительно того,
в чем состоит определенность какой-нибудь фигуры, а именно эта
определенность или такова, какова в данном случае высота фигуры, или она
внешняя граница. Поскольку она дана как внешняя граница, допускают, что
непрерывность фигуры, так сказать, следует равенству или отношению границы;
например, равенство совпадающих фигур основывается на совпадении
ограничивающих их линий. Но в параллелограммах с одинаковой высотой и
основанием лишь последняя определенность есть внешняя граница. Высота, а не
вообще параллельность, на которой основано второе главное определение фигур,
их отношение, прибавляет к внешней границе второй принцип определения.
Эвклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих одинаковую
высоту и основание, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченным
непрерывным; в доказательстве же Кавальери, и прежде всего в доказательстве
пропорциональности параллелограммов, граница есть вообще определенность
величины, как таковая, обнаруживающаяся в любой паре линий, проведенных в
обеих фигурах на одинаковом расстоянии. Эти равные или находящиеся в равном
отношении к основанию линии, взятые совокупно, дают находящиеся в равном
отношении фигуры. Представление об агрегате линий противоречит непрерывности
фигуры; но рассмотрение линий полностью исчерпывает ту определенность, о
которой идет речь. Кавальери часто отвечает на то возражение, будто
представление о неделимых приводит к тому, что должны быть сравнимы между
собой бесконечные по численности линии или поверхности (Geom., lib. II,
prop. I, schol.); он проводит правильное различие, говоря, что он сравнивает
между собой не их численность, которую мы не знаем, правильнее сказать, не
их численность, которая, как мы отметили выше, есть пустое вспомогательное
представление, а лишь величину, т. е. количественную определенность, как
таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как
последнее заключено в границах, то и эта его величина заключена в тех же
границах; непрерывное, говорит он, есть не что иное, как сами неделимые;
если бы оно было нечто находящееся вне их, то оно было бы несравнимо; но
было бы нелепо сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собой.
Как видим, Кавальери хочет провести различие между тем, чти принадлежит к
внешнему существованию непрерывного, и тем, в чем состоит его определенность
и что единственно и следует выделять для сравнения и в целях получения
теорем о нем. Категорий, которыми он пользуется при этом, говоря, что
непрерывное сложено из неделимых или состоит из них и т. п., конечно,
недостаточно, так как при этом прибегают также к созерцанию непрерывного
или, как мы сказали выше, к его внешнему существованию; вместо того чтобы
сказать, что "НЕпрерывное есть не что иное, как сами неделимые", было бы
правильнее и, стало быть, само собой ясно сказать, что определенность
величины непрерывного есть не что иное, как определенность величины самих
неделимых. - Кавальери не придает никакого значения сомнительному выводу,
что существуют-де большие и меньшие бесконечные, выводу, делаемому
схоластикой из представления, что неделимые составляют непрерывное, и он
определенно выражает далее (Geom., lib. VII, praef.) уверенность в том, что
его способ доказательства вовсе не заставляет иметь представление о
непрерывном как о сложенном из неделимых; непрерывные лишь следуют пропорции
неделимых. - Кавальери говорит, что он берет агрегаты неделимых не с той
стороны, с какой они кажутся подпадающими под определение бесконечности
из-за бесконечного множества линий или плоскостей, а поскольку они имеют в
самих себе некоторый определенный характер и природу ограниченности. Но
чтобы устранить и этот камень преткновения, он в специально для этого
добавленной седьмой книге не жалеет труда доказать основные теоремы своей
геометрии таким способом, который остается свободным от примеси
бесконечности. - Этот способ сводит доказательства к упомянутой выше обычной
форме наложения фигур, т. е., как мы уже отметили, к представлению об
определенности как о внешней пространственной границе.
Относительно этой формы наложения можно прежде всего сделать еще и то
замечание, что она вообще есть, так сказать, ребяческая помощь чувственному
созерцанию. В элементарных теоремах о треугольниках представляют их два
рядом, и, поскольку в каждом из них из шести частей те или иные три
принимаются равными по величине соответствующим трем частям другого
треугольника, показывается, что такие треугольники совпадают между собой, т.
|
|
