иметь действительное  значение  для  свободного  движения,  в  котором  одна
сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера - s3
:  t2),  а  другая,  временная  -  арифметически.  В  чем  состоит   отличие
рассматриваемого здесь качественного  от  предмета  предыдущего  примечания,
теперь само собой ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем  примечании
качественное  заключалось  в  степенной   определенности;   здесь   же   это
качественное, равно как и бесконечно  малое,  дано  лишь  как  множитель  (в
арифметике) относительно произведения, как точка относительно  линии,  линия
относительно  плоскости  и  т.  д.  Необходимый  качественный   переход   от
дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина,
к непрерывному осуществляется как суммирование.
   Но что  мнимое  простое  суммирование  на  самом  деле  содержит  в  себе
умножение, следовательно, переход от линейного к  плоскостному  определению,
это проще всего обнаруживается в том способе, каким,  например,  показывают,
что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на
половину высоты. Эта высота представляется лишь как  численность  некоторого
множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти  величины
суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими  [трапецию]
параллельными линиями;  их  бесконечно  много,  ибо  они  должны  составлять
плоскость, но они линии, которые, следовательно, для того чтобы быть  чем-то
плоскостным, должны быть вместе с тем положены с отрицанием. Чтобы  избежать
трудности, заключающейся в том, что сумма линий должна дать  [в  результате]
плоскость, линии сразу же принимаются за плоскости,  но  равным  образом  за
бесконечно тонкие, ибо они имеют свое определение исключительно в линейности
параллельных границ трапеции. Как параллельные и ограниченные  другой  парой
прямолинейных  сторон  трапеции  они  могут  быть  представлены  как   члены
арифметической прогрессии, разность которой остается вообще той  же,  но  не
обязательно должна быть определена, а первый и последний член  которой  суть
указанные две параллельные линии; сумма такого  ряда  равна,  как  известно,
произведению этих параллельных линий на половинную численность  членов.  Это
последнее определенное количество  называется  численностью  только  лишь  в
сравнении с представлением о  бесконечно  многих  линиях;  оно  вообще  есть
определенность величины чего-то непрерывного - высоты.  Ясно,  что  то,  что
называется суммой, есть также ductus lineae in lineam,  умножение  линейного
на   линейное,   согласно   вышеуказанному   определению   -   возникновение
плоскостного. В простейшем случае, в прямоугольнике, каждый из множителей аЬ
есть простая величина; но уже в другом, даже элементарном  примере  трапеции
лишь один  множитель  есть  простая  величина  половины  высоты,  другой  же
определяется через прогрессию; он также есть некоторое  линейное,  но  такое
линейное, определенность величины  которого  оказывается  более  запутанной;
поскольку она может быть выражена лишь посредством ряда,  ее  аналитический,
т. е. арифметический, интерес состоит в ее суммировании;  геометрический  же
момент  здесь  -  умножение,  качественная  сторона  перехода  от  линейного
измерения к плоскостному; один из множителей принимается за дискретный  лишь
в целях арифметического определения  другого,  а  сам  по  себе  он  подобно
последнему есть линейная величина.
   Способ, при котором представляют плоскость как сумму линий,  применяется,
однако, часто  и  тогда,  когда  для  достижения  результата  не  производят
умножения, как такового. Так поступают, когда  важно  указать  величину  как
определенное количество не в уравнении, а в  пропорции.  Что  площадь  круга
относится к площади эллипса,  большая  ось  которого  равна  диаметру  этого
круга, как большая ось к малой, доказывается, как известно, так, что  каждая
из этих площадей принимается  за  сумму  принадлежащих  ей  ординат;  каждая
ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга как малая ось  к
большой, из чего заключают,  что  так  же  относятся  между  собой  и  суммы
ординат, т. е. площади.

   Те, кто при этом хочет  избежать  представления  о  плоскости  как  сумме
линий, превращают с помощью обычного, совершенно излишнего  вспомогательного
приема  ординаты  в  трапеции  бесконечно  малой  ширины;  так  как  [здесь]
уравнение есть лишь пропорция, то [при этом ] сравнивается лишь один из двух
линейных  элементов  площади.  Другой  элемент  площади  -  ось  абсцисс   -
принимается в эллипсе и  круге  за  равный,  как  множитель  арифметического
определения величины, следовательно,  как  равный  1,  и  поэтому  пропорция
оказывается всецело  зависящей  только  от  отношения  одного  определяющего
момента.  Чтобы  представить  плоскость,   требуются   два   измерения;   но
определение величины, как оно должно быть дано в  этой  пропорции,  касается
только одного момента; поэтому уступка или помощь представлению тем,  что  к
этому одному моменту  присоединяют  представление  суммы,  есть,  собственно
говоря,  непонимание  того,  что   здесь   необходимо   для   математической
определенности.
   Данные здесь пояснения служат также  критерием  упомянутого  выше  метода
неделимых,  предложенного  Кавальери;  метод  этот  также   оправдан   этими
пояснениями, и ему нет надобности прибегать к помощи бесконечно  малых.  Эти
неделимые суть для Кавальери  линии,  когда  он  рассматривает  площади  или
квадраты, площади кругов, когда он рассматривает пирамиду или  конус,  и  т.
д.; основную линию или основную площадь,  принимаемую  за  определенную,  он
называет правилом. Это константа, а по  своему  отношению  к  ряду  это  его
первый или последний член; неделимые рассматриваются  как  параллельные  ей,
следовательно,  по  отношению  к  фигуре   определяются   одинаково.   Общее