| |
настоящая граница. Величие новейшего изобретения, взятого само по себе, и
его способность разрешать трудные до того времени задачи, а те задачи,
которые и ранее были разрешимы, разрешать простым способом, - это величие
следует усматривать единственно в открытии отношения первоначальной функции
к так называемой производной функции и тех частей математического целого,
которые находятся в таком отношении.
Данное нами изложение взглядов можно считать достаточным для того, чтобы
подчеркнуть характерное свойство того отношения величин, которое служит
предметом рассматриваемого здесь особого вида исчисления. Излагая эти
взгляды, мы могли ограничиться простыми задачами и способом их решения; и не
было бы ни целесообразно для определения понятия (а дело идет здесь
единственно об этом определении), ни под силу автору обозреть всю сферу так
называемого применения дифференциального и интегрального исчисления и
индукцию, согласно которой указанный нами принцип лежит в основе этих видов
исчисления, ; завершить посредством сведения всех их задач и решений
последних к этому принципу. Но изложение достаточно показало, что, как
каждый особый вид исчисления имеет своим предметом особую определенность или
особое отношение величины и это отношение конституирует сложение, умножение,
возведение в степень и извлечение корня, счет посредством логарифмов, рядов
и т. д. - точно так же обстоит дело и с дифференциальным и интегральным
исчислением; для присущего этому исчислению отношения наиболее подходящим
названием было бы отношение степенной функции к функции ее разложения или
возведения в степень, так как это название всего ближе к пониманию сущности
дела. Но как в этом исчислении вообще применяются также действия в
соответствии с другими отношениями величин, например сложение и т. д., так в
нем применяются и отношения логарифмов, круга и рядов, в особенности для
того, чтобы сделать более удобными выражения ради требуемых действий
выведения первоначальных функций из функций, получающихся в результате
разложения в ряд. Дифференциальное и интегральное исчисление имеет, правда,
ближайший общий с формой ряда интерес - определить те разлагаемые функции,
которые в рядах называются коэффициентами членов; но в то время, как интерес
этого исчисления направлен лишь на отношение первоначальной функции к
ближайшему коэффициенту ее разложения, ряд стремится представить некоторую
сумму в виде множества членов, расположенного по степеням, снабженным этими
коэффициентами. Бесконечное, имеющееся в бесконечном ряде, неопределенное
выражение отрицательности определенного количества вообще, не имеет ничего
общего с утвердительным определением, находящимся в бесконечном этого
исчисления. Точно так же бесконечно малое как приращение, посредством
которого разложение принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство для
такого разложения, и его так называемая бесконечность не имеет никакого
другого значения, кроме значения такого средства; так как ряд на самом деле
не есть тот ряд, который требуется, то он приводит к некоторой избыточности,
вновь устранить которую стоит лишнего труда. От этого лишнего труда не
свободен и метод Лагранжа, который вновь прибег главным образом к форме
ряда, хотя в том, что называют применением, благодаря этому методу
проявляется подлинное отличительное свойство [высшего анализа], так как, не
втискивая в предметы форм dx, dy и т. д., метод Лагранжа прямо указывает ту
часть [этих предметов], которой присуща определенность производной функции
(функции разложения), и этим обнаруживает, что форма ряда здесь вовсе не то,
о чем идет речь.
Примечание 3
Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины
Бесконечно малое дифференциального исчисления дано в своем утвердительном
смысле как качественная определенность величины, а относительно нее было
подробно показано, что в этом исчислении она наличествует не только как
степенная определенность вообще, но как особенная степенная определенность
отношения некоторой степенной функции к степенному члену разложения. Но
качественная определенность имеется еще и в другой, так сказать, более
слабой форме, и эту последнюю, равно как связанное с ней применение
бесконечно малых и их смысл в этом применении, следовало бы еще рассмотреть
в настоящем примечании.
Исходя из предшествующего, мы должны относительно этого сперва напомнить,
что различные степенные определения выступают здесь с аналитической стороны
прежде всего лишь как формальные и совершенно однородные, означают числовые
величины, которые, как таковые, не имеют указанного выше качественного
различия между собой. Но в применении к пространственным предметам
аналитическое отношение показывает себя во всей своей качественной
определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от
прямолинейных - к криволинейным определениям и т. д. Это применение, кроме
того, приводит к тому, что пространственные предметы, согласно своей природе
данные в форме непрерывных величин, постигаются как дискретные, - плоскость,
значит, как множество линий, линия - как множество точек и т. д.
Единственный интерес такого разложения состоит в определении самих точек, на
которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость, и т. д.,
чтобы, исходя из такого определения, иметь возможность двигаться далее
аналитически, т. е., собственно говоря, арифметически; эти исходные пункты
суть для искомых определений величины те элементы, из которых следует
вывести функцию и уравнение для конкретного - для непрерывной величины. Для
решения задач, в которых особенно целесообразно пользоваться этим приемом,
|
|
