математикой, благодаря чему, если /известны упомянутые части, определяется и
та часть, величину которой требуется  найти;  так,  для  выпрямления  кривой
приводятся в связь в виде уравнения  прямоугольного  треугольника  указанные
выше три бесконечно малых, для [ее] квадратуры приводятся в связь некоторого
произведения ордината и бесконечно малая абсцисса, причем поверхность вообще
принимается  арифметически  за  произведение  линий.  Переход  от  этих  так
называемых  элементов  поверхности,  дуги  и  т.   д.   к   величине   самих
поверхностей, дуги и т. д. считается в  этом  случае  лишь  восхождением  от
бесконечного выражения к конечному или к сумме бесконечно многих  элементов,
из которых, согласно предположению, состоит искомая величина.
   Можно поэтому сказать, не вникая в суть, что  интегральное  исчисление  -
это  лишь  обратная,  но  вообще  более  трудная  задача   дифференциального
исчисления. Дело обстоит скорее  так,  что  реальный  интерес  интегрального
исчисления направлен исключительно на взаимное  отношение  первоначальной  и
производной функции в конкретных предметах.
   Лагранж и в этой части исчисления не соглашался отделаться  от  трудности
проблем легким способом, основанным на указанных выше прямых допущениях. Для
разъяснения сущности дела будет полезно привести  здесь  также  и  некоторые
подробности его метода на немногих примерах. Этот метод ставит себе  задачей
как раз  особо  доказать,  что  между  отдельными  определениями  некоторого
математического  целого,  например  некоторой  кривой,   имеется   отношение
первоначальной функции к производной. Но в силу  природы  самого  отношения,
приводящего в связь в некотором математическом  предмете  кривые  с  прямыми
линиями,  линейные   измерения   и   функции   с   поверхностно-плоскостными
измерениями и их функцией и  т.  д.,  приводящего,  следовательно,  в  связь
качественно разное, это нельзя выполнить прямым путем, и определение,  таким
образом, можно понимать лишь как середину  между  чем-то  большим  и  чем-то
меньшим.  Благодаря  этому,  правда,  само  собой  вновь  появляется   форма
приращения с плюсом и минусом, и бодрое "developpons"  ["развернем  в  ряд"]
снова очутилось на своем месте; но мы уже говорили  о  том,  что  приращения
имеют здесь лишь арифметическое значение,  значение  чего-то  конечного.  Из
анализа (Entwicklung) того условия, что определимая  величина  больше  легко
определяемого предела и меньше другого  предела,  выводится,  например,  что
функция ординаты есть первая производная функция к функции плоскости.
   Выпрямление кривых по способу  Лагранжа,  который  исходит  при  этом  из
архимедовского принципа, заслуживает внимания тем, что оно проливает свет на
перевод архимедовского метода в принцип новейшего анализа, а  это  позволяет
бросить взгляд на суть и истинный смысл действия, механически  производимого
другим  путем.  Способ  действия  по  необходимости  аналогичен  только  что
указанному способу. Архимедовский принцип,  согласно  которому  дуга  кривой
больше соответствующей ей хорды и меньше суммы двух касательных, проведенных
в конечных точках дуги, поскольку  эти  касательные  заключены  между  этими
точками и точкой их пересечения, не дает прямого уравнения. Переводом  этого
архимедовского основного определения в новейшую аналитическую  форму  служит
изобретение такого выражения, которое, взятое само  по  себе,  есть  простое
основное уравнение, между тем как указанная форма лишь выставляет требование
продвигаться в бесконечность между слишком большим и слишком малым,  которые
каждый раз обретают определенность, и это  продвижение  опять-таки  приводит
лишь к новому слишком большому и к новому  слишком  малому,  однако  во  все
более узких границах.  Посредством  формализма  бесконечно  малых  сразу  же
получается уравнение  dz2  =dx2  +  dy2.  Лагранжево  изложение,  исходя  из
названной  нами  основы,  доказывает,  напротив,  что  величина  дуги   есть
первоначальная  функция  к  некоей  производной  функции,  характерный  член
которой сам есть функция  отношения  производной  функции  к  первоначальной
функции ординаты.
   Так как в способе Архимеда, так же как позднее  в  исследовании  Кеплером
стереометрических предметов, имеется представление о бесконечно малом, то на
это обстоятельство очень часто ссылались как на довод  в  пользу  применения
этого представления в  дифференциальном  исчислении,  причем  не  выделялись
характерные и отличительные черты. Бесконечно малое  означает  прежде  всего
отрицание определенного количества, как  такового,  т.  е.  так  называемого
конечного  выражения,  той  завершенной  определенности,  которой   обладает
определенное количество, как таковое. Точно так же в последующих  знаменитых
методах  Валериуса,  Кавальери  и  других,  основывающихся  на  рассмотрении
отношений геометрических предметов, основное определение - это  положение  о
том,  что  определенным  количеством  как  определенным  количеством   таких
определений,  которые  рассматриваются  прежде  всего  лишь  как  отношения,
пренебрегают для этой цели, и эти определения должны быть поэтому приняты за
неимеющие величины (Nicht-Grosses). Но этим, с одной стороны, не  познано  и
не  выделено  то  утвердительное  вообще,   которое   находится   за   чисто
отрицательным определением и  которое  выше  оказалось,  говоря  абстрактно,
качественной определенностью величины, состоящей, говоря более  определенно,
в степенном отношении; с другой стороны, поскольку само это отношение в свою
очередь включает в себя множество более точно определенных  отношений,  как,
например, отношение между степенью и функцией, получающейся в результате  ее
разложения в ряд, они должны  были  бы  быть  в  свою  очередь  основаны  на
всеобщем и отрицательном определении того же бесконечно малого и выведены из
него. В только что приведенном изложении Лагранжа  найдено  то  определенное
утвердительное, которое заключается в архимедовом способе изложения  задачи,
и тем самым  приему,  обремененному  неограниченным  выхождением,  дана  его