| |
значение обоих членов уравнения, и само по себе еще неизвестно, имеет ли еще
место между ними уравнение при таких измененных dy значениях. Уравнение , -
= Р выражает лишь то, что Р есть dy отношение, и не надо приписывать -
никакого другого реального смысла. Но об этом отношении = Р также еще
неизвестно, какому другому отношению оно равно; лишь такое уравнение,
пропорциональность, сообщает ему значение и смысл. - Так же как (что было
указано выше) значение, именуемое применением, берется извне, эмпирически,
так и в тех выведенных путем дифференцирования уравнениях, о которых идет
речь, для того чтобы знать, верны ли еще полученные уравнения, должно быть
известно из какого-то другого источника, имеют ли они одинаковые корни. Но
на это обстоятельство в учебниках не дается определенных и ясных указаний;
оно устраняется тем, что уравнение с одним неизвестным [х], приведенное к
нулю, тотчас же приравнивается к у, благодаря чему при дифференцировании dy
получается, конечно, --, одно лишь отношение. Исчисление функций, конечно,
должно иметь дело с функциями возведения в степень, а дифференциальное
исчисление - с дифференциалами, но из этого само по себе вовсе еще не
следует, что величины, дифференциалы или функции возведения в степень
которых мы берем, сами также должны быть лишь функциями других величин. И
кроме того, в теоретической части, там, где указывается, как должны быть
выведены дифференциалы, т. е. функции возведения в степень, еще нет и мысли
о том, что величины, оперировать с которыми, согласно такому способу их
выведения, она учит, сами должны быть функциями других величин.
Относительно отбрасывания констант при дифференцировании можно еще
отметить, что это отбрасывание имеет здесь тот смысл, что константа
безразлична для определения корней в случае их равенства, каковое
определение исчерпывается коэффициентом второго члена уравнения. Так, в
приведенном Декартом примере константа есть квадрат самих корней,
следовательно, корень может быть определен как из константы, так и из
коэффициентов, поскольку вообще константа, как и коэффициенты, есть функция
корней уравнения. В обычном изложении устранение так называемых констант
(связанных с прочими членами лишь посредством знаков +- и -) достигается
простым механизмом способа действия, состоящего в том, что для нахождения
дифференциала сложного выражения приращение приписывается лишь переменным
величинам и образованное благодаря этому выражение вычитается из
первоначального. Смысл констант и их отбрасывания, вопрос, в какой мере они
сами функции и служат ли они функциями по этому определению или нет, не
подвергается обсуждению.
В связи с отбрасыванием констант можно сделать одно замечание
относительно названий дифференцирования и интегрирования, сходное с тем,
которое мы сделали раньше относительно выражений "конечное" и "бесконечное",
а именно, что в их определении содержится скорее противоположное тому, что
обозначает это выражение. Дифференцирование означает полагание разностей; но
дифференцированием, наоборот, уменьшается число измерений уравнения и в
результате отбрасывания константы устраняется один из моментов
определенности; как мы уже отметили, корни переменной величины
приравниваются, их разность, следовательно, снимается. Напротив, при
интегрировании следует снова присоединить константу; уравнение благодаря
этому несомненно интегрируется, но в том смысле, что ранее снятая разность
корней восстанавливается, положенное равным снова дифференцируется. -
Обычный способ выражения содействует тому, что остается в тени существенная
сторона дела и все сводится к подчиненной и даже чуждой сути дела точке
зрения отчасти бесконечно малой разности, приращения и т. п., отчасти же
одной лишь разности вообще между данной и производной функцией, не обозначая
их специфического, т. е. качественного, различия.
Другая главная область, в которой пользуются дифференциальным
исчислением, это механика; мимоходом мы уже коснулись значения различных
степенных функций, получающихся при элементарных уравнениях ее предмета,
движения; здесь я буду говорить о них непосредственно. Уравнение, а именно
математическое выражение просто равномерного движения с = - s/t или s = ct,
в котором пройденные пространства пропорциональны протекшим временам по
некоторой эмпирической единице с, величине скорости, не имеет смысла
дифференцировать; коэффициент с уже совершенно определен и известен, и здесь
не может иметь место никакое дальнейшее разложение в степенной рад. - Как
анализируется s = at2, уравнение падения тел, об этом мы уже упоминали выше;
первый член анализа ds/dt = 2at понимается и словесно, и, соответственно,
реально так, что он член некоторой суммы, (каковое представление мы уже
давно отклонили), одна часть движения, и притом та часть его, которая
приписывается силе инерции, т. е. просто равномерной скорости, таким
образом, будто в бесконечно малых частях времени движение равномерное, а в
конечных частях времени, т. е. в существующих на самом деле, -
неравномерное. Разумеется, /s = 2at, и значение а и t, взятых сами по себе,
известно, равно как известно и то, что тем самым положено определение
скорости равномерного движения:
Так как a=s/t2 , то вообще 2at=2s/t, но этим мы нисколько не
подвинулись вперед в нашем знании; лишь ошибочное предположение, будто
2at есть часть движения как некоторой суммы, дает ложную видимость положения
физики. Самый множитель, а, эмпирическая единица - некоторое определенное
количество, как таковое, - приписывается тяготению; если здесь применяют
категорию силы тяготения, то нужно сказать, что, наоборот, как раз целое
s=at2 есть действие или, лучше сказать, закон тяготения. - Также верно и
|
|
