крытых иррациональных чисел — был известен 
ранним пифагорейцам, и были изобретены остроумные методы приближения к его 
значению. Наилучшими были следующие: образуйте два столбца чисел, которые мы 
будем называть а и b; каждый столбец начинается с единицы. Каждое последующее а 
на каждой стадии образуется путем сложения уже полученных последних а и b. 
Последующее b образуется путем прибавления удвоенного предыдущего а к 
предыдущему b. Так получаются первые 6 пар (1, 1), (2, 3), (5, 7), (12, 17), 
(29, 41), (70, 99). Для каждой пары выражение 2 а^2 b^2 будет 1 или -1. Таким 
образом, b/a является почти квадратным корнем из 2 и с каждым новым шагом 
приближается к 2 под корнем. К примеру, читатель может удовлетвориться тем, что 
(99/70)^2 почти равняется 2.

Пифагора, личность которого всегда оставалась довольно туманной, Прокл назвал 
первым, кто сделал геометрию частью общего образования. Многие авторитеты, 
включая Томаса Хиса [170 - Th. Heath. Greek Mathematics. Vol. I, p. 145.], 
полагают, что Пифагор, быть может, действительно открыл теорему, носящую его 
имя; согласно ей, в прямоугольном треугольнике квадрат стороны, лежащей против 
прямого угла, равен сумме квадратов двух других сторон. Во всяком случае, эта 
теорема была известна пифагорейцам очень давно. Они знали также, что сумма 
углов треугольника составляет два прямых угла.

Иррациональные числа, кроме корня квадратного из 2, изучались в отдельных 
случаях Феодором, современником Сократа, и в более общем виде Теэтетом, который 
жил примерно во времена Платона или, может быть, несколько раньше. Демокрит 
написал трактат об иррациональных числах, но о содержании этого трактата 
известно очень немногое. Платон глубоко интересовался этой проблемой; он 
упоминает о трудах Феодора и Теэтета в диалоге, названном в честь последнего. В 
«Законах» (819-820) он говорит, что общее невежество в этой области постыдно, и 
намекает, что сам узнал об этом в довольно позднем возрасте. Открытие 
иррациональных чисел, безусловно, имело большое значение для пифагорейской 
философии.

Одним из самых важных следствий открытия иррациональных чисел было создание 
Евдоксом геометрической теории пропорции (408-355 годы до н.э.). До него 
существовала лишь арифметическая теория пропорции. Согласно этой теории, 
отношение а к b равно отношению с к d, если а, взятое d раз, равно b, взятому с 
раз. Это определение, за отсутствием арифметической теории иррациональных чисел,
 может применяться только к рациональным. Однако Евдокс дал новое определение, 
которое не подчиняется этому ограничению, — в форме, приближающейся к методам 
современного математического анализа. Эта теория развита далее Евклидом и 
отличается большим логическим изяществом.

Евдокс также изобрел или усовершенствовал «метод исчерпывания», который затем с 
большим успехом был использован Архимедом. Этот метод является предвосхищением 
интегрального исчисления. Взять, например, вопрос о площади круга. Вы можете 
вписать в круг правильный шестиугольник или правильный двенадцатиугольник, или 
правильный многоугольник с тысячью или миллионом сторон. Площадь такого 
многоугольника, сколько бы у него ни было сторон, пропорциональна квадрату 
диаметра круга. Чем больше сторон имеет многоугольник, тем больше он 
приближается к кругу. Можно доказать, что если многоугольник обладает 
достаточно большим количеством сторон, то разность между его площадью и 
площадью круга будет меньше любой наперед заданной величины, как бы мала она ни 
была. Для этой цели используется аксиома Архимеда. Она гласит (если ее 
несколько упростить), что если большую из двух величин разделить пополам, а 
затем половину снова разделить пополам и так далее, то после конечного числа 
шагов будет достигнута величина, которая окажется меньше, чем меньшая из двух 
первоначальных величин. Другими словами, если а больше, чем b, то имеется такое 
целое число n, что 2n ·b будет больше, чем а.

Метод исчерпывания ведет иногда к точному результату, например, при решении 
задачи о квадратуре параболы, которая была решена Архимедом; иногда же, как при 
попытке вычислить квадратуру круга, он может вести лишь к последовательным 
приближениям. Проблема квадратуры круга — это проблема определения отношения 
длины окружности к диаметру круга, называемого «?». Архимед в своих вычислениях 
использовал приближение 22/7; путем вписывания и описывания правильного 
многоугольника с 96 сторонами он доказал, что «?» меньше, чем 3 1/7, и больше, 
чем 3 10/71. Этим методом можно добиться любой требуемой степени приближения, и 
это все, что какой бы то ни было метод может сделать для решения данной 
проблемы. Использование вписанных и описанных многоугольников для приближения к 
«?» восходит еще к Антифону, современнику Сократа.

Евклид, труды которого в дни моей молодости все еще оставались единственным 
признанным учебником геометрии для школьников, жил в Александрии около 300 года 
до н.э., спустя некоторое время после смерти Александра Македонского и 
Аристотеля. Большая часть его «Начал» не являлась оригинальным произведением, 
но порядок в последовательности теорем и логическая структура были в основном 
его собственными. Чем больше изучаешь геометрию, тем восхитительнее они кажутся.
 Интерпретация параллельных посредством знаменитого постулата о параллельных 
имеет двойное достоинство: дедукция здесь стро