превосходят те значения деформаций, которые имели бы место при статическом 
приложении такой же силы. Поэтому, если упругая система испытывает 
гармоническое внешнее воздействие с частотой, совпадающей с собственной 
частотой, возникают весьма интенсивные колебания конструкции, которые могут 
привести к её разрушению. При резонансных колебаниях деформации сдвинуты по 
фазе относительно возмущения на {{?}}/2.
Совокупность резонансных амплитуд всех точек упругой системы при этом образует 
так называемую форму kго тона резонансных колебаний, весьма близкую к 
соответствующей форме собственных колебаний системы.
При экспериментальных исследованиях У. к. определяют именно резонансные частоты 
и формы колебаний. Степень близости их к полученным расчётным колебаниям 
собственной формы и частотам служит критерием правильности выбора 
математической модели упругой системы.
Принципиальное отличие распределённых реальных упругих систем от идеальных 
заключается в том, что число резонансных частот конечно. Начиная с некоторого 
порядкового номера тона, колебания невозможно возбудить. По этой причине все У.
 к. самолёта происходят на низших тонах.
Летящий ЛА является не закреплённой упругой системой, поэтому он может 
совершать колебания и как твёрдое тело (то есть иметь так называемые нулевые 
тона). Так как ЛА имеет вертикальную плоскость симметрии, то уравнение (1) 
распадается на два независимых; одно из них описывает происходящие в 
вертикальной плоскости симметричные колебания, другое — связанные колебания в 
горизонтальной и вертикальной плоскостях. При анализе собственных колебаний ЛА 
их располагают в порядке возрастания собственных частот и именуют первым, 
вторым... kм тонами колебаний. При каждом тоне в той или иной степени 
деформируется весь ЛА. Каждому тону присваивается название, которое 
характеризует его «происхождение», то есть определяется, какой вид деформаций и 
какая часть самолёта играет в его формировании основную роль. Так различают 
тоны, соответствующие изгибу крыла, кручению крыла, кручению фюзеляжа и т. д. 
(хотя при этих тонах в той или иной степени деформируется вся конструкция). 
Совокупность тонов колебаний с указанием их названий образует так называемый 
частотный паспорт ЛА. Составление частотного паспорта — основная и часто 
определяющая задача при изучении У. к.
Решение проблем У. к. стимулировало развитие методов математического анализа, 
аэродинамики, строительной механики ЛА и др. областей науки, потребовало 
создания специальной измерительной аппаратуры, методов экспериментальных 
исследований и измерений. Отдельные вопросы стали самостоятельными научными 
дисциплинами (аэроупругость, усталостные вибрации и др.).
Большой вклад в разработку теории У. к., методов их экспериментального 
исследования и способов их устранения внесли советский учёные И. В. Ананьев, Е.
 П. Гроссман, М. В. Келдыш, М. В. Марин, Л. С. Попов, А. Л. Резник, А. Ф.
 Селихов, С. П. Стрелков, Г. М. Фомин и др.
Лит.: Келдыш М. В., Гроссман Е. П., Марин Н. И., Вибрации на самолете, М., 
1942; Ананьев И. В., Тимофеев П. Г., Колебания упругих систем в авиационных 
конструкциях и их демпфирование, М., 1965.
Я. М. Пархомовский.
Рис. 1. Примерные осциллограммы вынужденных колебаний (а) и автоколебаний (б) 
самолёта.
Рис. 2. Формы тонов колебаний крыла, защемлённого по бортовой нервюре: а — 
крутильных 1—3го тонов; б — изгибных 1—2го тонов; х/l — положение точки крыла 
по его длине; l — длина полукрыла.
Рис. 3. Примерный вид резонансной кривой: А — амплитуда вынужденных колебаний; 
р — частота возмущающего воздействия; Ak — резонансные амплитуды kго тона; 
{{?}}k* — kя резонансная частота.
Уравнение притока теплоты — то же, что энергии уравнение.
Уравнения движения летательного аппарата. Обычно при анализе движения ЛА его 
рассматривают как абсолютно жёсткое тело. В этом случае в У. д. можно выделить 
две группы уравнений: У. д. центра масс (ЦМ) и У. д. относительно ЦМ. Если 
пренебречь вращением Земли, У. д. ЦМ ЛА можно представить в виде:
{{}} = m({{?}}zVy ? {{?}}yVz) + mgx + Rx;
{{}} = m({{?}}xVz ? {{?}}zVx) + mgy + Ry;
{{}} = m({{?}}yVx ? {{?}}xVy) + mgz + Rz,
где m — масса ЛА, Vi (i = х, у, z), {{?}}i, gi, Ri — проекции векторов скорости 
V ЛА и его угловой скорости {{?}} в выбранной системе координат (СК), ускорения 
свободного падения g действующей на ЛА активной силы R, включающей 
аэродинамическую. силу RA (см. Аэродинамические силы и моменты) и тягу Р 
двигательной установки, на оси координат. Выбор СК зависит от решаемой задачи. 
Часто используется траекторная СК; в этом случае {{}}, {{}} = {{}} = 0. Если 
пренебречь кривизной земной поверхности, что допустимо при скоростях полёта, 
значительно меньших первой космической, то
{{}}, {{}},
где {{?}}а — скоростной угол рыскания, {{?}} — угол наклона траектории, и У. д. 
ЦМ принимают вид:
{{}} = ? mgsin{{?}} ? Xa+Pcos({{?}} + {{?}})cos{{?}};
{{}} = ? mgcos{{?}} + Yacos{{?}}a ? Zasin{{?}}a + P[sin({{?}} + {{?}})co{{?}}a 
+ cos({{?}} + {{?}})sin{{?}}sin{{?}}a];
?mVcos{{?}}{{}} = Yasin{{?}}a + Zacos{{?}}a + P[sin({{?}} + {{?}})sin{{?}}a ? 
cos({{?}} + {{?}})sin{{?}}cos{{?}}a],
где {{?}} — угол заклинения тяги (угол между направлением тяги и продольной 
осью ЛА), {{?}} — угол атаки, {{?}} — угол скольжения, {{?}}a — скоростной угол