Математические модели описываются матричным уравнением вида:
{{}}, (1)
где L — дифференциальный оператор, моделирующий упругую систему, её массовые и 
инерционные характеристики и связи между ними, W — вектор деформаций, Р — 
координата точки упругой системы, t — время, F — оператор, моделирующий 
механизм подвода энергии. Для вынужденных колебаний F зависит только от t. При 
малых колебаниях операторы L и F — линейны относительно W и его производных. 
При исследовании У. к. различных ЛА используются различные математические 
модели. Например, для самолёта с крылом большого удлинения математической 
моделью служит система скрещенных балок, каждая из которых моделирует крыло, 
фюзеляж, оперение и т. д. и является носителем упругих и массовых характеристик 
соответствующих частей самолёта; крыло малого удлинения моделируют пластиной 
и т. д. Для полного описания движения упругой системы к уравнению (1) добавляют 
дополнительные условия: краевые, характеризующие условия её закрепления, и 
начальные, описывающие её состояние в момент начала движения.
При использовании в качестве модели крыла прямой балки вектор деформации W 
имеет вид:
{{}},
где f(х) — прогиб сечения х балки (Р = х), {{?}} (x) — угол её закручивания. 
Оператор L в случае малых колебаний имеет вид:
L = [W (x, t)] = {{}}
где ЕJ и GJр — соответственно жёсткости балки на изгиб и кручение; т, Jт — 
масса и массовый момент инерции единицы длины балки, {{?}} — расстояние от 
центра масс сечения балки до её основания. Для вынужденных колебаний оператор
{{}},
где fi(t) — заданные функции времени.
Для консольно защемлённой в стенку балки в месте её заделки (при x = 0) 
граничные условия имеют вид:
{{}},
на её свободном конце:
{{}}
Начальные условия обычно задаются при t = 0:
{{}} {{}},
{{}}, {{}},
где {{?}}i(x) — заданные функции. При {{? ?}}0 балка совершает связанные 
изгибно-крутильные колебания. Если {{?}} = 0, то оператор L = [W(х, t)] 
разделяется (балка совершает либо изгибные, либо крутильные колебания).
Если F(t) = 0, то вследствие начальной деформации наступает автономное движение 
системы, называемое свободными колебаниями. Тогда решение уравнения (1) имеет 
вид:
W(P, t) = {{?}}AkWk(P)cos({{?}}kt+{{?}}k). (2)
Каждое слагаемое в выражении (2) представляет собой так называемую стоячую 
волну и называется kм собственным колебанием или kм тоном колебаний. При 
собственном колебании все точки упругой системы движутся синхронно. Матрица 
Wk(Р) — форма (точнее собственная форма) kго колебания, {{?}}k — его частота. 
Значения {{?}}k образуют дискретную, бесконечно возрастающую последовательность.
 На рис. 2 показаны формы первых трёх крутильных ({{?}}1, {{?}}2, {{?}}3) и 
двух тонов изгибных (f1, f2) колебаний крыла постоянного сечения, защемлённого 
по бортовой нервюре. Собственная частота и форма колебаний являются внутренними 
характеристиками упругой системы, определяются только её структурой и не 
зависят от начальных условий, которые влияют на амплитуду Ak и фазу колебаний 
{{?}}k.
С математической точки зрения частота {{?}}k и форма Wk(Р) являются kми 
собственными значениями и функциями некоторой краевой задачи, определяемой 
выражением L = [W(P1, t)] и условиями закрепления. Существует ряд методов 
решения задачи. Всякое свободное колебание представляется рядом собственных 
колебаний. Выражение (2) описывает движение некоторой идеальной упругой системы,
 в которой не учтены силы внутреннего трения конструкции, то есть движение 
происходит в среде как бы без сопротивления. В реальной конструкции свободные 
колебания будут затухающими. Вектор деформаций W в этом случае определяется 
выражением:
W = {{?}}Ak{{}}. (3)
Каждое слагаемое в выражении (3) — kй тон колебаний — характеризуется 
декрементом затухания {{?}}k и частотой колебаний {{?}}k. В отличие от 
идеальной системы колебания отдельных сечений конструкции сдвинуты по фазе на 
{{?}}k(Р); обычно {{}}k ? ? k }}.
Если F(t){{?}}0, то упругая система совершает так называемые вынужденные 
колебания, являющиеся суммой достаточно быстро затухающих свободных колебаний, 
описываемых выражением (3), и незатухающих (вынужденных), определяемых видом 
F(t). Особо важным случаем является тот, когда упругая система совершает 
резонансные колебания: F(t) = Вcospt, где В — вектор возмущения. На такое 
возмущение система отвечает гармоническим же колебанием с той же частотой, но 
сдвинутым относительно возмущения по фазе. В этом случае имеет место следующая 
зависимость амплитуды А какого-либо сечения упругой системы (рис. 3) от частоты 
р возмущающего воздействия. Частоты {{?}}1* {{?}}2*... и т. д., при которых 
амплитуда точки А принимает максимальные значения, называются резонансными 
частотами первого, второго, kго тонов колебаний системы, а соответствующие им 
амплитуды A1, А2,... и т. д. — резонансными амплитудами. Частоты {{?}}k*, 
{{?}}k и {{}} — различные физические величины, хотя их значения обычно близки 
между собой. Деформации при резонансной частоте в десятки и даже в сотни раз