уравнениями, и задачу о движении вязкой жидкости в П. с., которая описывается 
уравнениями П. с. (уравнениями Прандтля). При этом, чтобы получить уравнения 
ламинарного пограничного слоя, используют уравнения Навье — Стокса; уравнения 
же турбулентного пограничного слоя получают из уравнений Рейнольдса. В обоих 
случаях уравнения П. с. имеют одинаковую структуру и для стационарного 
плоскопараллельного течения принимают вид:
{{формула}}
где х, у — криволинейные ортогональные координаты (координатная линия y  =  0 
лежит на обтекаемой поверхности), u, {{?}} — проекции вектора скорости на 
координатные линии х и у соответственно, р — давление,
{{формула}}
— касательное напряжение трения, {{?}}т — турбулентная динамическая вязкость. 
Решение этой системы уравнений удовлетворяет условиям прилипания и непротекания 
на обтекаемой поверхности: u  =  {{?}}  =  0 при у  =  0 и условию сращивания с 
внешним невязким потоком: u?u{{c}} при y{{??}}, где u{{,}} — скорость потока на 
внешней границе П. с. В отличие от уравнений Навье — Стокса и Рейнольдса, 
полученная система уравнений относится к параболическому типу; при её 
интегрировании величины u{{,}}(x) и р(х) — известные функции, представляющие 
собой распределения соответствующих величин вдоль поверхности тела при 
обтекании его потоком идеальной жидкости. Вследствие этого значительно 
упрощается математический анализ задачи.
Прандтль получил уравнения П. с. для ламинарного течения около прямолинейной 
стенки путём оценки обусловленных вязкостью и инерционностью членов, входящих в 
уравнения Навье — Стокса, и сохранением только главных членов. Он показал, что 
толщина П. с. {{?}}~O({{?}}), u~O(l), {{?}}~O({{?}}), где {{?}}  =  Re-0,5. 
В 1927 немецкий учёный Р. Мизес (R. Mises) дал более формализованный, но вместе 
с тем и более строгий вывод уравнений П. с. Рассматривая плоскопараллельное 
ламинарное течение жидкости около криволинейной поверхности, он записал 
уравнение неразрывности и уравнения Навье — Стокса в безразмерном виде и 
произвёл преобразования: y  =  {{?}}Y, {{?}}  =  {{??}}. Если в преобразованных 
уравнениях совершить предельный переход {{??}}0, то получаются уравнения П. с., 
то есть они являются предельной формой уравнений Навье — Стокса, получающейся в 
определенных условиях при Re{{??}}. В последующие годы была установлена более 
глубокая, асимптотическая природа такого подхода к решению задачи.
Уравнения плоского П. с. после некоторых преобразований могут быть приведены к 
интегральному соотношению Т. Кармана (1921):
{{формула}}
здесь т? — касательное напряжение трения на поверхности тела). Величины {{?}}* 
и {{?}}** имеют размерность длины, являются интегральными характеристиками П. с.
 и играют важную роль в теории П. с. Величина {{?}}* называется толщиной 
вытеснения и представляет собой расстояние по нормали к обтекаемой поверхности, 
которое определяет смещение линий тока вследствие вытесняющего действия П. с. 
Величина {{?}}** называется толщиной потери импульса и характеризует изменение 
количества движения массы жидкости, протекающей через рассматриваемое сечение П.
 с. вследствие действия сил трения. В последующие годы были получены 
интегральные соотношения высших порядков: энергетическое соотношение (Л. С.
 Лейбензон, 1935), уравнение моментов k-ro порядка k{{ >  = }}1 (В. В. Голубев, 
1936); при этом уравнение моментов 1го порядка совпадает с энергетическим 
соотношением.
Для исследования нелинейных уравнений П. с. используются различные подходы, 
связанные с введением новых зависимых и независимых переменных. Несмотря на всё 
их многообразие, можно выделить три принципиально различных подхода.
1. Решение задачи в переменных подобия, когда в качестве искомой функции 
выбирается функция тока {{?}}(x, у) и вводятся преобразования
{{?}}(x,y)  =  (2{{?}})1/2f({{??}})
{{формула}}
в результате которых уравнения П. с. сводятся к уравнению
{{формула}}
с граничными условиями
f({{?}}, 0)  =  f'({{?}}, 0)  =  0, f'({{?}}, {{?}} )  =  1.
Здесь ?  =  2?(du{{e}}/d{{?}})/u{{e}}, и штрих обозначает дифференцирование по 
?. В точке {{?}}  =  0 (x  =  0), где начинает формироваться П. с., уравнение в 
частных производных вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение, 
решение которого определяет собой начальное условие для исследуемой задачи. 
Переменные подобия впервые был» введены немецким учёным Г. Блазиусом (Н.
 Blasius, 1907); эти переменные очень удобны для численного анализа и широко 
используются в практике инженерных расчетов.
2. Решение задачи в переменных Мизеса, когда в качестве независимых переменных 
выбираются функция тока {{?}} и координата х, а в качестве искомой функции — g 
(х, {{?}})  =  р/Q + a2/2. В результате этих преобразований уравнения П. с. 
записываются в следующем виде:
{{формула}}
с граничными условиями
g(x, 0)  =  p/Q, g(x, ?)  =  Р/Q + u2{{e}}/2.
Переменные Мизеса наиболее чётко раскрывают математическую природу уравнений П.
 с. как уравнений параболического типа. Вместе с тем их использование для 
численного анализа несет определенные трудности, поскольку на поверхности тела 
решение в общем случае является сингулярным (д2g/д{{?}}2д{{??}} при {{???}}).
3. Решение задачи в переменных Л. Крокко(1946), когда в качестве независимых 
переменных берутся x и u, а в качестве зависимой переменной — напряжение трения