| |
линий тока;
б) безвихревое течение: ({{?}} = rotV = 0. В этом случае V = grad{{?}},
где {{?}} — потенциал скорости, и массовые силы обладают потенциалом. Тогда для
всего поля течения справедлив интеграл (уравнение) Коши — Лагранжа д{{?}}/дt +
V2/2 + p/{{?}} + П = H(t). В обоих случаях указанные интегралы позволяют
определить поле давлений при известном поле скоростей.
Интегрирование уравнения Коши — Лагранжа в интервале времени {{?}}t{{?}}0 в
случае ударного возбуждения течения приводит к соотношению, связывающему
приращение потенциала скорости с импульсом давления pi. Для произвольной точки
пространства имеем
{{формула}}
Всякое движение первоначально покоящейся жидкости, вызванное силами веса или
нормальными давлениями, приложенными к её границам, потенциально. Для реальных
жидкостей, обладающих вязкостью, условие {{?}} = 0 выполняется лишь
приближённо: вблизи обтекаемых твёрдых границ существенно сказывается вязкость
и образуется пограничный слой, где {{? ? }}0. Несмотря на это, теория
потенциальных течений позволяет решать ряд важных прикладных задач.
Поле потенциального течения описывается потенциалом скорости {{?}}, который
удовлетворяет уравнению Лапласа
divV = {{??}} = 0.
Доказано, что при заданных граничных условиях на поверхностях, ограничивающих
область движения жидкости, его решение единственно. В силу линейности уравнения
Лапласа справедлив принцип суперпозиции решений и, следовательно, для сложных
течений решение можно представить как сумму более простых течений (см.,
например, статью Источников и стоков метод). Так, при продольном обтекании
однородным потоком отрезка с распределёнными по нему источниками и стоками с
равной нулю суммарной интенсивностью образуются замкнутые поверхности тока,
которые можно рассматривать как поверхности тел вращения, например, корпуса
летательного аппарата.
Если в неограниченной области задана некоторая замкнутая поверхность S и n есть
единичный вектор нормали к этой поверхности, направленный внутрь жидкости, то
импульс силы В, сообщённый жидкости движением этой поверхности, и кинетическая
энергия жидкости T будут определяться формулами
{{формула}}
Для твёрдых движущихся тел величины B и T можно выразить через присоединённые
массы и скорости тел. В частности, при движении тела без вращения вдоль оси x
со скоростью Vx, имеем Bx = {{?}}xVx и T = {{?}}xV2x/2, где {{?}}x, —
присоединённая масса в направлении оси x, пропорциональная плотности жидкости и
зависящая только от размеров и формы тела. Сила R, действующая на жидкость со
стороны тела, есть R = dB/dt или VxR = dT/dt. Поэтому при поступательном
равномерном движении твёрдого тела в идеальной жидкости B = const и,
следовательно, R = 0 (Д'Аламбера — Эйлера парадокс). При движении тела в
реальной жидкости всегда возникают гидродинамические силы из-за его
взаимодействия с жидкостью. Одна часть суммарной силы обусловлена
присоединёнными массами и пропорциональна скорости изменения связанного с телом
импульса примерно так же, как в идеальной жидкости. Другая часть суммарной силы
связана с образованием следа аэродинамического за телом, который формируется в
течение всей истории движения. След влияет на поле течения вблизи тела, поэтому
численное значение присоединённой массы может не совпадать с его значением для
аналогичного движения в идеальной жидкости. След за телом может быть ламинарным
или турбулентным, может образовываться свободными границами, например, за
глиссером.
Аналитические решения нелинейных задач, связанных с пространственным движением
тел в жидкости при наличии следа, удаётся получить лишь в некоторых частных
случаях.
Плоскопараллельные течения исследуются методами теории функций комплексного
переменного; эффективно решение некоторых задач гидродинамики методами
вычислительной математики. Приближенные теории получаются путём рациональной
схематизации картины течения, применения теорем сохранения, использования
свойств свободных поверхностей и вихревых течений, а также некоторых частных
решений. Они разъясняют суть дела и удобны для предварительных расчётов.
Например, при быстром погружении в воду клина с углом полураствора {{?}}к
возникает существенное движение свободных границ в области брызговых струй. Для
оценки сил важно оценить эффективную смоченную ширину клина, которая
значительно превышает соответствующую величину при статическом погружении
острия на ту же глубину h. Приближенная теория для симметричной задачи
показывает, что отношение динамической смоченной ширины 2a к статической близко
к {{?}}/2 и приводит к следующим результатам: a = 0,5{{?}}hctg{{?}}, где
{{?}} = {{?}}/2-{{?}}к, удельная присоединённая масса m* = 0,
5{{??}}a2/({{?}}) [f({{?}}) {{?}} 1-(8 + {{?}})tg{{?}}/{{?}}2 для {{?}} <
30{{°}}], B = m*dh/dt — вертикальный компонент удельного импульса, F =
d(m*dh/dt)/dt —сила давления клина на жидкость.
При установившемся глиссировании килеватой пластинки со скоростью V{{?}}
течение в поперечной плоскости непосредственно за транцем весьма близко к
течению, возбуждённому погружающимся клином. Поэтому приращение вертикального
компонента импульса сообщаемого жидкости в единицу времени, близко к BV{{?}} =
m*V{{?}}dh/dt. Импульс жидкости направлен вниз; реакция, действующая на тело,
есть подъёмная сила Y. Для малых углов атаки {{?}} dh/dt = {{?}}V{{?}}, и Y
= m*(h)V2{{??}}.
За телом, движущимся в неограниченной жидкости с постоянной скоростью V{{?}} и
|
|
