круг, а также наклонный в одном и том же положении по отношению к
равноденственному кругу.

9. О специальных понятиях
   Итак, изложение необходимых предпосылок можно считать в общих
чертах предварительно законченным. Переходя теперь к специальным
доказательствам, мы считаем, что первым из них будет то, при помощи
которого определяется величина дуги большого круга, заключенной между
полюсами эклиптики и экватора и измеряемой по проведенному через них
этому кругу. Но мы видим необходимость изложить предварительно теорию
35
определения величин прямых линий в круге , поскольку мы желаем раз
и навсегда дать всему геометрическое доказательство.

10. О величинах прямых в круге
   Для удобного употребления на практике в дальнейшем мы построим
некоторую таблицу, дающую их величины, разделив окружность на 360
частей. Она будет содержать длины прямых, стягивающих эти дуги (причем
последние будут возрастать на полградуса), а именно числа содержащихся
в них частей диаметра, в предположении, что последний разделен на 120
частей, ибо это число очень удобно, как выявится из самих вычислений.
Сначала мы покажем, каким образом [лучше всего ] при помощи небольшого
числа повторяющихся теорем создать удобный и быстрый способ для
определения дробной части величин, чтобы не было никаких сомнений, как
[может быть] в случае, если бы мы дали только одни величины этих
прямых, а также и чтобы при помощи методического их получения на
чертежах дать легкий способ их проверки. При вычислениях мы вообще
будем пользоваться шестидесятеричной системой вследствие неудобства
обычных дробей. Производя умножение и деление, мы всегда будем
придерживаться приблизительных результатов, но так, чтобы отбрасываемая
часть ничем существенным не отличалась от точной величины  .
Итак, возьмем [рис. 1.1 ]38 сначала полукруг АВТ на диаметре АДГ с
центром в А; из точки Д под прямым углом к АГ проведем АВ, разделим
АГ в точке Е пополам и соединим Е с В; отложим
В	EZ, равную ЕВ, и соединим Z и В. Я утверждаю, что
—\       ZA представляет сторону десятиугольника, a BZ —
f  / \     \.     пятиугольника.
/   /     \    \        Действительно, так как прямая линия АГ разделена
I   /     I   \    1   пополам в   Е и к ней прибавлена некоторая прямая
A   Z     д     Е    Г   AZ, то прямоугольник, содержащийся между AZ и
TZ, вместе с квадратом на ЕД будет равен квадрату
Рис 11	на EZ или на BE, так как ЕВ равна ZE. Но квадрату
                    на ЕВ равны вместе взятые квадраты на ЕА и АВ.
Поэтому прямоугольник между TZ и ЪА вместе с квадратом на АЕ будет
равен вместе взятым квадратам на ЕА и АВ или, после отнятия общего
квадрата на ЕД, остающееся произведение TZ и ЪА будет равно квадрату
либо на АВ, либо на АГ. Следовательно, Zr разделена в точке А в крайнем
и среднем отношениях. Поскольку стороны вписанных в один и тот же
круг шестиугольника и десятиугольника, будучи отложены по одной и той
же прямой, делят ее в крайнем и среднем отношениях и ГД, будучи
радиусом, является стороной шестиугольника, то AZ будет равна стороне
десятиугольника.
   Аналогично, поскольку сторона пятиугольника квадрирует вместе взятые
стороны шестиугольника и десятиугольника, вписанных в тот же самый
круг, и в прямоугольном треугольнике BAZ квадрат на BZ равен вместе
взятым квадратам на ВА — стороне шестиугольника и AZ — стороне
десятиугольника, следовательно, BZ будет стороной пятиугольника39.
   Теперь, если мы положим, как я уже сказал, диаметр круга равным
120 частям, то на основании изложенного сторона АЕ, являясь половиной
радиуса, будет равна 30 частям, а ее квадрат — 900; ВА, являясь радиусом,
равна 60 частям, а ее квадрат — 3600, квадрат же на ЕВ или на EZ
равен 4500; следовательно, EZ будет равна приблизительно 67;4,55 частям,
   
а остаток AZ равен 37;4,55 таким же частям. Таким образом, сторона
десятиугольника, стягивающая дугу, равную 36 таким частям, каких в
окружности будет 360, содержит 37;4,55 таких частей, каких в диаметре
будет 120. Далее, поскольку AZ составляет 37;4,55 частей и квадрат на
ней будет 1375;4,15, а квадрат на АВ — 3600 таких же частей, то, сложив,
получаем квадрат на BZ, равный 4975;4,15. Следовательно, BZ будет равна
приблизительно 70;32,3 частям, и, значит, сторона пятиугольника, стягиваю-
щая 72 градуса (если всю окружность принять за 360), будет равна 70;32,3
таким частям, каких в диаметре будет 120. Отсюда также ясно, что сторона
шестиугольника, стягивающая 60 градусов и равная радиусу, будет содержать
60 частей. Точно так же, поскольку сторона [вписанного] квадрата,
стягивающая 90 градусов, в квадрате будет вдвое больше квадрата радиуса,
а сторона [вписанного] треугольника, стягивающая 120 градусов, в квадрате
будет втрое его больше, и квадрат радиуса равен 3600 частям, то получится,
что квадрат на стороне квадрата будет равен 7200, а на стороне
треугольника — 10 800 частей. Таким образом, прямая, стягивающая 90
градусов, составит приблизительно 84;51,10 таких части, каких в диаметре