120, а стягивающая 120 градусов будет равна 103;55,23 таким частям40.
   Вот эти прямые мы будем брать уже готовыми и в качестве основных.
Отсюда ясно, что если эти прямые даны, то можно считать данными и
прямые, стягивающие дуги, дополняющие их до полуокружности, вследствие
того, что, складывая их квадраты, мы будем получать квадрат на диаметре.
Например, так как прямая, соответствующая 36 градусам, оказалась равной
37;4,55 частям, а квадрат на ней 1375;4,15 и квадрат на диаметре 14 400,
то квадрат прямой, стягивающей остающиеся до полуокружности 144
градуса, после вычитания получится равным 13 024;55,45, а сама эта
прямая  —  приблизительно  114;7,87  частям;  аналогично получаются и
остальные [значения ]41.
   Ниже мы покажем, каким образом на основании этих хорд определяется
каждая из остальных, предложив сначала небольшую лемму, в высшей
42
степени полезную   для дальнейшего .

   Пусть имеется круг [рис. 1.2] со вписанным в него каким-нибудь
четырехугольником АВГА. Проведем в нем соединяющие АГ и BA. Требуется
доказать, что прямоугольник на АГ и ВА равен вместе
взятым прямоугольникам на АВ и АГ и на АА и
ВГ.
   Построим угол ABE, равный АВГ. Если мы приба-
вим к ним в качестве общего угол ЕВА, то угол А
ABA будет равняться углу ЕВГ; также и угол ВДА
будет равен углу ВГЕ, ибо они стягивают одну и ту
же дугу. Следовательно, треугольник ABA будет
равноугольным с треугольником ВГЕ. Таким образом,
существует пропорция: как ВГ относится к ГЕ, так и
ВД к АА43, и, значит, произведение ВГ и АА равно произведению ВА и
ГЕ. Затем, поскольку угол ABE равен углу АВГ, а ВАЕ равен ВАГ, то и
треугольник ABE будет равноугольным с ВГА. Поэтому, имеет место
пропорция: как ВА относится к АЕ, так и ВА к АГ, и, значит, произведение
ВА на  АГ равно произведению ВА на АЕ.  Но было доказано, что

произведение ВГ на АА равно произведению ВА на ГЕ. Следовательно, все
произведение АГ на ВА будет равно вместе взятым произведениям АВ на
АГ и АА на ВГ, что и требовалось доказать.
    Изложив это, возьмем полукруг АВГА [рис. 1.3] на диаметре АА, из
точки А проведем две прямые АВ, АГ, и пусть величина каждой из них

будет дана в частях, каких в заданном диаметре
содержится 120. Затем проведем линию, соединяю-
щую В с Г. Я утверждаю, что последняя тоже будет
заданной44.
   Действительно,   проведем  соединяющие   ВА   и
ГА;   тогда,   очевидно,   и   они   будут   заданными,
Рис. 1.3	вследствие того, что каждая из них [есть хорда дуги,
                       которая] дополняет до полуокружности [соответст-
венно дуги АВ или АГ]. Теперь, так как в круге имеется четырехугольник
АВГА, то произведение АВ на ГД вместе с произведением АА на ВГ будет
равно произведению АГ на ВА. Но произведение АГ на ВА дано и также
дано произведение АВ на ГА. Следовательно, будет известным остающееся
произведение АД на ВГ. Но АД — диаметр; следовательно, будет известна
прямая ВГ. Таким образом, нам ясно, что если даны две дуги и стягивающие
их прямые, то будет дана и прямая, стягивающая дугу, равную разности
двух заданных дуг. И ясно, что при помощи этой теоремы мы сможем
записать выражения для немалого числа других прямых при помощи
разностей заданных основных дуг. Таким образом, имея величины прямых,
стягивающих 60 и 72 градуса, мы найдем прямую, стягивающую дугу в
12 градусов.
   Теперь пусть требуется найти по некоторой данной прямой в круге
прямую, стягивающую половину дуги, соответствующей первой.

Пусть АВГ [рис. 1.4] будет полукруг на диаметре АГ, а ГВ — заданная
прямая. Разделим дугу ГВ пополам в А, проведем
соединительные прямые АВ, АД, ВА, АГ и из
точки А опустим на АГ перпендикуляр АЪ. Я
утверждаю, что ZT будет половиной разности
АГ и АВ.
   Действительно, отложим АЕ равной АВ и
соединим АЕ. Поскольку АВ равна АЕ и АА
является общей, то две стороны АВ, АД равны
соответственно двум АЕ, АД, и угол ВАД равен углу ЕАД. Следовательно,
основание ВА будет равно основанию ДЕ. Но ВА равна АГ; значит, АГ
будет равна ДЕ. Теперь, поскольку в равнобедренном треугольнике АЕГ из
вершины опущен на основание перпендикуляр AZ, EZ будет равна Zr. Но
ЕГ представляет собой разность прямых АГ и АВ; следовательно, Zr будет
половиной разности этих прямых. Таким образом, поскольку прямая,
стягивающая дугу ВГ, предполагается заданной (а вследствие этого будет
задана прямая, стягивающая дугу АВ — дополнение до полуокружности),