5. Вследствие подобия треугольников ZNA и Z30, BNK и К20.
    6.	Термин «композиция», или componendo (truvO^vTi), обозначает сложение
отношении согласно правилу: если a: b = с: d, то (а + b): b = (с + d) : d. В 
данном
                         AZ    ВК             AZ + Z0    ВК + К0    В0
случае известно, что Ж = Ж> отсюда —^@	К0~" = К0'
    7.	Термин «выделение», или dividendo (SieXovn), обозначает обычно вычитание
отношений по правилу: если a: b = с: d, то (а — b): b = (с — d): d, но в данном
случае подразумевается деление членов отношения согласно правилу: если а: b =
= c:d, то ~:b = ^:d.   Поскольку AZ + Z0 = 20Z и В0 = 2П0, то 20Z: Z0 =
= 2П0:ОК, что после «выделения» дает OZ:Z0 = nO:0K [РА, р. 17-18, 558,
п.4].
    8. Марс совершает (согласно KH.IX, ГЛ.З, с.280-281) 37 обращений по 
аномалии
и около 42 обращений по долготе за промежуток, приблизительно равный 79 годам.
    9. Приведенная ниже лемма — единственный фрагмент в доказательстве Птоле-
мея, безусловно принадлежащий Аполлонию.

   10. [Евклид VI, 1]; площади треугольников с одинаковой высотой относятся как
их основания.
11. Поскольку ZE:Er = ZA:AB и ZA:AB = ГД:ДВ.
    12. Поскольку из всех линий, проведенных к кругу из точки вне этого круга,
наименьшая проходит через его центр [Евклид 111,8]
    Здесь сформулировано условие, которому должны удовлетворять размеры и
скорости движения в эпициклической модели, чтобы стояния в принципе оказались
возможными; обратное условие сформулировано в заключение настоящей главы.
13. [Евклид III, 15].
14. Полагая, что АВГА на рис. 12.4 есть круг эксцентра.
    15. Согласно доказанному выше (с.374), имеет место соотношение AZ: Z0 =
= ВК:К0 (рис. 12.2).
    16. Так как они опираются в круге на одинаковые дуги [Евклид 111,27].
Птолемей, таким образом, предполагает, что дуга ВА равна дуге ДМ (рис. 12.4).
    13. 
Это следует из того факта, что положение 0 на диаметре АГ фиксировано при
заданном Z, поскольку AZ : Zr = А0 : 0Г, согласно доказанному выше [РА, р.561,
п.13].
    17. Планета будет двигаться в обратном направлении по другую сторону от
точки, определяемой указанным отношением скоростей.
18. См.  с.376,  где  показано,  что  при движении  в  прямом  направлении
2 ВН : HZ > HZK: КЕН.
КЕН    ^
19.	Неравенство —*— <      о котором в данном случае идет речь (К — угловая
KZH    ус	р
скорость планеты на ее эпицикле, V — угловая скорость центра эпицикла), будет
выполнено при увеличении угла КЕН,
если одновременно происходит увели-
чение угла KZH, определяющего по-
пятное движение.
20. С.376.
    21. В гл.2-6 кн.XII при определе-
нии величин и продолжительностей по-
пятных движений Птолемей использует
один и тот же упрощенный чертеж
(рис. 12.6-12.12), на котором точка
зрения наблюдателя предполагается
совпадающей с центром деферента. На
самом же деле две указанные точки
никогда не совпадают в планетной
теории Птолемея. Правильное располо-
жение показано на рис. 12-А (заим-
ствованном из [РА, р.563]), где ин-
дексы 1, 2, 3 обозначают соответствен-
но положение эпицикла на среднем,
максимальном и минимальном рассто-
яниях от наблюдателя (аналогичный
рисунок [НА II, 278]).
    22. На среднем расстоянии, которое
имеет место в квадратурах, использу-
ется упрощенная модель, рассмотрен-
ная в предыдущей главе. Однако она
дает лишь приближенное совпадение
скоростей движения с табличными, поскольку центром вращения является здесь на
самом деле не наблюдатель, а эквант. Из-за малости эксцентриситета, однако, 
этим
можно пренебречь. В квадратурах нарушается условие, лежащее в основе теоремы
Аполлония о стояниях, а именно то, что движение центра эпицикла заставляет
планету двигаться строго перпендикулярно направлению «наблюдатель—планета».
Поэтому если мы хотим воспользоваться теоремой Аполлония, то предварительно
должны убедиться в том, что совмещение экванта и точки, в которой находится
наблюдатель, не влияет существенно на конечный результат. Подробнее см. [РА,