sin [90° - (d/2 - 90°) ] ~ sin (90° - r/) sin 90°'
откуда
cos t> cos (d/2)	,,
sm f = - imt -ймт,= -ctg 4 ctg (d/2)-	(5)
Но как показано выше (см. формулу (1)), восходная амплитуда г\ может быть
выражена через склонение 6 восходящей точки эклиптики Н, что в принципе
позволяет исключить г\ из (5) и выразить широту непосредственно через
продолжительность дня d и координаты восходящей точки эклиптики Д.
    10.	В точках эклиптики, симметричных относительно точек равноденствий, день
равен ночи. Когда Солнце, пройдя точки равноденствия, окажется на таком же от
    
нее расстоянии, на котором было до прохождения этой точки, то продолжительность
дня будет такой же, как продолжительность ночи в первом случае, а продолжитель-
ность ночи сравняется с продолжительностью дня.
    11. Доказательство Птолемея можно проиллюстрировать при помощи рис. 2-А,
где представлены, кроме экватора и эклиптики, также две суточные параллели на

небесной сфере, одинаково отстоящие к северу и к югу от
линии экватора. В точках пересечения параллели с
эклиптикой Sj и S2 (Sj и S4), симметричных относительно
точек солнцестояний А и В, имеют место равенства «день
- день» и «ночь - ночь», в точках эклиптики Sj и S^
(S2 и S3), симметричных относительно точек равноденствий,
«день- ночь» и «ночь - день».

    12. Эта задача сводится к вычислению для данной
географической широты момента времени, когда Солнце
находится в зените. Пусть на рис. 2-В Z — зенит, АО —
горизонт, ВО — небесный экватор. В момент прохождения
через меридиан в верхней кульминации в точке S
Солнце имеет склонение <5. Его зенитное расстояние
SZ = z = <р — 6 (АВ = 90° — <р). Если Солнце, проходя через
меридиан, находится в зените, то z = 0, и, следовательно,
его склонение 6 равно широте <р. Отсюда следует, что
Солнце не может быть в зените в местностях, расположен-
ных севернее тропика Рака и южнее тропика Козерога,
так как максимальное склонение Солнца д     —е. При
шах
д	о    6 = е оно бывает в зените раз в году в момент летнего
солнцестояния. Между тропиками, \<р\ < е, Солнце бывает
Рис" "в	в зените дважды в году. Уравнение <5(Д) = <р имеет два
решения: Л} = и Л2 = ^(У' с0ОТветствУюпдие этим двум моментам времени
[SA, р. 105].
   13. Отношение длины гномона к длине его полуденной тени в дни равноденствий
и солнцестояний характеризует, согласно Птолемею, широту места наблюдения.
Указанные величины могут быть теоретически рассчитаны по известной широте и
углу наклона эклиптики к экватору, и наоборот, широту и угол наклона можно
определить на основании измерений тени в указанные дни. Длину гномона Птолемей
делит на 60 частей, согласно греческой традиции, но вавилоняне и позднее 
индийские
астрономы полагали длину гномона равной 12 «пальцам», мусульманские астроно-
мы — 6'/г или 7 «стопам». Гномон использовался также для определения высоты
Солнца в произвольный момент. Вычисленные значения длины тени гномона в дни
равноденствий и солнцестояний Птолемей приводит в следующей главе как
характеристику климата, равносильную значению его широты <р и продолжительности
его наибольшего дня М. Вычисления Птолемея равносильны соотношениям (рис.2.3)
Sj = ГК = R tg (<р — е) — длина тени в день летнего солнцестояния,
sQ = TZ = R tg