| |
5. Таким образом здесь речь идет о максимально возможной величине дуги на
горизонте между восходящими точками экватора и эклиптики.
6. У Гейберга 103;55,23 [Hei I 92, 11 и 8]; исправление Дж.Тумера [РА, р.77,
п.П].
7. В настоящей главе речь идет об определении так называемой «амплитуды
восхода» или «расстоянии восхода» (в латиноязычных источниках ortive amplitude,
а в арабоязычных — «амплитуда востока»), т.е. величины дуги горизонта rj от
точки
востока до восходящей точки эклиптики с известной долготой А (в данном случае
рассматривается восход точки зимнего солнцестояния). Сам Птолемей не
употребляет
термин «амплитуда» или «восходная амплитуда», а называет эту величину «дугой
горизонта между экватором и эклиптикой».
Пусть на рис. 2.1 АЕГ — небесный экватор, ВЕД — горизонт, Е — точка
востока на горизонте, Н — восходящая точка эклиптики с фиксированной долготой
Д на данной географической широте <р, HZ — круг склонений, проходящий через
полюс небесного экватора Z и точку Н. Точка эклиптики Н и точка экватора в
одновременно пересекут небесный меридиан АВГД при суточном обращении небесной
сферы. Дуга Н0 = (5(H) — склонение восходящей точки эклиптики Н, а дуга
НЕ = г} — искомая дуга восходной амплитуды. Дуга 0А небесного экватора (в
градусном или часовом измерении) соответствует интервалу времени от восхода
точки Н до момента ее верхней кульминации в меридиане ABZrA. Дуга
20А = d соответствует продолжительности дня, дуга 20Г — продолжительности
ночи. Для определения искомой дуги г/ = НЕ Птолемей применяет теорему Менелая.
Он рассматривает полный сферический четырехсторонник ABZHE0, в котором
Crd 2вА _ Crd 20Z Crd 2НВ
Crd 2AE ~ Crd 2ZH Crd 2BE'
или, если перейти от хорд к синусам,
sin вА _ sin ez sin НВ
sin АЕ — sin ZH sin BE'
Поскольку на рис. 2.1 АЕ = BE = GZ = 90°, вА = d/2, ZH = 90° - (5(H), НВ =
= 90° — п, проведя вычисления, получим
cos rj = cos (5 sin (d/2); (1)
для дня же зимнего солнцестояния, о котором в данном случае идет речь,
cos t] = cos е sin (М/2),
(Г)
где М — максимальная продолжительность дня на данной широте <р, е — угол
наклона эклиптики к экватору, t}0 — максимальное значение амплитуды восхода,
которое определяет Птолемей.
Птолемей применяет свой метод нахождения амплитуды восхода г]й для широты
Родоса (<р = 36°), где самый длинный день равен 14V2h, и с помощью указанной
вычислительной процедуры находит ц0 » 30°.
Все известные наблюдения Птолемея произведены в Александрии; в своем
примере
он, вероятно, использует для максимальной продолжительности дня данные Гиппарха,
который работал на Родосе, хотя, возможно, эти данные восходят к Эратосфену,
[SA, р. 102].
8. В главе 3 решается задача об определении географической широты места <р
по известной величине максимальной продолжительности дня М, а также обратная
задача для частного случая широты Родоса (<р = 36°). Обратная задача решается
Птолемеем по правилу, эквивалентному формуле
- cos (Mil) = tg <р tg е. (2)
Однако значение <р по М не может быть получено столь же просто вследствие
отсутствия представлений о функции tg <р. Соответственно Птолемей сначала
находит
cos »70 = cos е sin (М/2), (3)
а затем
cos (М/2) COS1}0
Sin Ф = :—). .,' — . (3')
r sin (MIT.) Sin J7Q
Легко показать, что соотношения (3), (3') и (2) эквивалентны. Данные о широте
могут быть использованы также непосредственно для нахождения амплитуды восхода
в дни солнцестояний, согласно соотношению [НАМА, р.37-38]
sin (90° - <р) = cos <р = (4)
v r/ r Sin J7FL
9. В общем случае, когда восходящая точка эклиптики Н имеет произвольную
долготу Я, а продолжительность дня d и амплитуда восхода г\ имеют не предельные,
а какие-то промежуточные значения, задача решается следующим образом. Пусть
на рис. 2.1 широта <р измеряется дугой меридиана BZ. Рассмотрим полный
сферический четырехсторонник ZBA0EH, в котором, согласно теореме Менелая,
sin Е0 _ sin ЕН sin BZ
sin 0A _ sin AB sin ZA'
или, если придерживаться введенных выше обозначений,
sin (d/2 — 90°) sin rj sin
|
|
