Согласно теореме Менелая,
Crd ZB Crd ZH Crd EH
Crd АВ ~ Crd Нв Crd EB
или, если учесть, что дуги ZB, ZH и ЕВ содержат по 90°, и перейти от хорд к
синусам, получим sin д = sin A sin е.
    Птолемей не решает задачу в общем виде, а приводит два примера вычисления
<5 по данной А.
    Вначале он полагает дугу ЕН (эклиптическую долготу А) равной 30°. Тогда, 
так
как дуга ZA равна 90°, удвоенная дуга 2ZA равна 180°, а соответствующая ей
хорда 2ZA - 120Р. Как найдено ранее, 2Е = 2АВ = 47;42,40°, а соответствующая 
хор-
да 2АВ = 48;31,55р. По предположению, дуга 2ЕН = 60°, откуда хорда 2ЕН = 60р.
    
Наконец, по определению точки летнего солнцестояния, дуга 2ЕВ = 180°, откуда
хорда 2ЕВ = 120р.
Подставляя эти значения, Птолемей получает
Crd 2Z0  60" _    120"
Crd20H'i2OP " 48;31,55Р'
откуда
Crd 2Ze _    12QP
Crd20H _ 24;15,57P'
Так как 2Z0 = 180°, то хорда 2Z0 = 120р. Отсюда хорда 2вН = 24; 15,57, а
удвоенная дуга 20Н = 23; 19,59°. Следовательно, склонение точки эклиптики с
эклиптической долготой А = 30°, согласно Птолемею, есть д = 11;40°. Аналогичным
образом вычислена величина склонения точки эклиптики с эклиптической долготой
А = 60°.
    68.	Глава 15 содержит таблицу склонений точек эклиптики как функцию долготы
А, т.е. значения функции д(Х), вычисленные через 1° изменения долготы А по
приведенному выше правилу. Эта таблица состоит из двух столбцов. Первый столбец
называется «дуги [круга] через середины [зодиакальных созвездий]», т.е. дуги
эклиптики. Таким образом, ясно, что речь идет об эклиптической долготе А. 
Второй
столбец носит название «дуги полуденного круга», т.е. меридиана. На самом же
деле речь идет о дугах не меридиана, а круга склонений.
    Объяснить это можно следующим образом. Когда точка эклиптики с долготой
А в результате суточного обращения небесной сферы оказывается в плоскости
меридиана, то дуга, определяющая ее склонение, будет равна дуге меридиана,
заключенной между соответствующей точкой эклиптики и точкой небесного экватора.
Меридиан, таким образом, может использоваться для определения склонений точек
эклиптики с долготой А. Второе возможное объяснение: название круга, 
перпендику-
лярного горизонту (меридиан), переносится на круг, перпендикулярный эклиптике,
поскольку для последнего не существует особого названия; это следствие неразра-
ботанности терминологии.
    Максимум значения д в таблице склонений Птолемея достигается в точке с
долготой А = 90°. Он равен величине наклона эклиптики. Следуя Дж.Тумеру, мы
внесли исправления в числовые данные этой таблицы, сделанные в результате
тщательной проверки, пересчета и сопоставления с рукописями, недоступными
издателю греческого текста, на котором основывался И.Н.Веселовский [РА, р.71,
п.87 |.
    Вопрос о происхождении птолемеевской таблицы склонений представляет
определенные трудности. Как показали современные исследования, большинство
значений (5(A), зафиксированное в таблице, не может быть получено на основе
таблицы хорд, приведенной в гл.11, методом, описанным Птолемеем. При вычислении
табличных значений д(А) разность составляет (—2") — (+4") и носит периодический
характер, что нельзя объяснить небрежностью Птолемея или ошибками переписчиков.
Р.Ньютон предположил, что при вычислении птолемеевской таблицы склонений
использовалась не его собственная таблица хорд, а какая-то более ранняя и более
грубая. Б.Л.Ван-дер-Варден выдвинул предположение, что эта более ранняя таблица
была вычислена в результате применения некоторого правила, эквивалентного
рекурсивной формуле, основанной на теоремах Архимеда о свойствах ломаной в
круге, и автором его был, вероятно, один из крупнейших математиков эпохи
эллинизма Аполлоний Пергский (ок. 260-170 до н.э.). Это рекурсивное правило
впоследствии стало известно в Индии и использовалось Ариабхатой I (475 н.э. — 
?)
при вычислении таблицы синусов IWaerden, 1988(1), р.31-37; 1988(2), р.181-183].
    69.	Временной градус (xpovoi ioTipxpivoi, буквально «равноденственные, или
экваториальные времена») — это интервал времени, равный 1/360 части суток, или
4т, вследствие чего и получил название «градус». Эта астрономическая единица
имеет вавилонское происхождение. Как прямое восхождение а, так и времена 
восхода
р дуг эклиптики на различных широтах определяются Птолемеем при помощи
временных градусов.

    70.	В гл.16 решается задача об определении времен восхода р(ДА) 
произвольных
дуг эклиптики АЯ = Д2 — Aj в прямой сфере, т.е. на земном экваторе при (р = 0°.
Времена восхода дуг эклиптики в прямой сфере, согласно Птолемею, равняются
временам прохождения этих же дуг через меридиан при суточном обращении