треугольника АДГ и в плоскости круга HBZE, а следовательно, на одной прямой
вкл.
Составленная прямыми вА, вА, ГА и ГД фигура вАГК представляет собой
полный четырехсторонник плоской теоремы Менелая. Из нее следует
ГЛ    ГК ЭЛ
ДА    КА вА'
Но, согласно второй из доказанных Птолемеем теорем, получим
ГЛ    Crd 2ГЕ       ГК    Crd 2FZ
ЛА    Crd2EA'      КА    Crd2ZA-
Согласно же третьей теореме имеем
*	"~    Crd 2АВ
Crd 2ВА'

Crd 2ГЕ    Crd 2FZ Crd 2AB
Crd 2EA ~ Crd 2ZA Crd 2BA'
               что и требовалось доказать.
Рис. i-L	Птолемей замечает, что аналогично, с учетом соответству-
                     ющих предпосылок, доказанных выше, доказывается и второе
утверждение теоремы. Полное его доказательство дал Теон в своих комментариях
к «Альмагесту» [НАМА, р.26-30].
    Таким образом, сферическую теорему Менелая можно получить из плоской
теоремы заменой каждого отрезка хордой соответствующей дуги большого круга
(рис. 1-L) в виде
Crd 2AD Crd 2СЕ Crd 2BF . .      Crd IAD Crd 2BC Crd lEF
Crd2CD Q.X&2BE Crd 2AF     '     Crd 2CA Crd2BE Crd 2DF ~  '
или, если перейти от хорд к синусам,
sin AD sin СЕ sin BF _ .      sin AD sin ВС sin EF _ .
sin CD sin BE sin AF     '     sin С A sin BE sin DF     '
    Следует отметить, что и Птолемей, и Менелай, на доказательстве которого он
основывается, и Теон Александрийский рассматривали только случай, когда прямые
    
АА и ВН (рис. 1.14) пересекаются. Однако они могут оказаться параллельными, и
тогда требуется особое доказательство.
    Всестороннему исследованию сферическую теорему Менелая подвергли мате-
матики средневекового Востока, которые называли ее теоремой «о фигуре секущих»
(шакл ал-кита). Обзор их доказательств см. [Матвиевская, 1990, с.83-92].
    Теорема Менелая о трансверсалях — основа всех астрономических вычислений
Птолемея, связанных с решением сферических треугольников.
    67. Главы 14-16 книги I и практически вся книга II «Альмагеста» 
представляют
собой серию задач сферической астрономии, которые можно разбить на три основные
группы:
задачи по определению координат светил на небесной сфере и переходу от одной
из трех принятых Птолемеем сферических систем координат к другой;
задачи математической географии;
    задачи по определению положения эклиптики относительно горизонта и других
больших кругов небесной сферы.
Птолемей пользовался тремя системами сферических координат:

    1) горизонтальной, в которой положение светила на небесной сфере 
определяется
его высотой Л, отсчитываемой от круга горизонта по перпендикулярному ему кругу
высоты, и азимутом А, отсчитываемому по горизон-
тальному кругу от меридианной линии (сейчас) или
от линии восток—запад (у Птолемея);
    2) экваториальной, в которой координаты небес-
ных тел — прямое восхождение а = YH, отсчитыва-
емое по  небесному  экватору  от точки весеннего
равноденствия Y, и склонение <5, отсчитываемое от  А
небесного экватора по перпендикулярному ему кругу  с
склонения (рис. 1-М);
    3)	эклиптической, которая использовалась для
определения положений Солнца, Луны и планет в их
движении по своим орбитам. Координаты в этой
системе — эклиптическая долгота А = YN, отсчиты-
ваемая вдоль эклиптики от точки весеннего равно-
денствия в направлении последовательности знаков
зодиака и эклиптическая широта /? = NK, отсчитываемая по кругу широты,
перпендикулярному к эклиптике, от точки его пересечения с эклиптикой (рис. 1-М).

    В этой главе речь идет об определении склонения <5 точек эклиптики как
функции 5(A), где А — долгота точек эклиптики при данном, определенном 
описанным
выше методом значении наклона эклиптики е.
    В общем виде эта задача решалась с помощью теоремы Менелая. Пусть на
рис. 1.15 ЕА — небесный экватор, ЕВ — эклиптика, Е — точка весеннего
равноденствия, В — точка летнего солнцестояния. По условию задачи требуется
определить дугу ЭН = <5, если известны дуга ЕН = А и угол Е = е.
    Птолемей рассматривает полный сферический четырехсторонник ABZHEe,
образованный пересечением двух пар соответствующих дуг ZA и Z®, ЕА и ЕВ.