ZA
АВ
ВА

(рис. 1.8).

    Понятие составного отношения — одно из основных понятий греческой теории
отношений, изложенной в книге V «Начал» Евклида [Евклид, V, 9, 10]. Операция
составления отношений равносильна их умножению. Однако у Евклида речь идет
только о «двойном» и «тройном» отношениях, т.е. о возведении отношения в 
квадрат
и куб. Общее же определение составного отношения отсутствует. Поэтому 
позднейшие
греческие комментаторы «Начал» были вынуждены дополнить Евклида. Это общее
определение добавлено к книге VI «Начал» в качестве определения 6.
    В своем доказательстве Птолемей опирается на два предложения книги VI
«Начал». В первом из них утверждается, что в равноугольных треугольниках 
стороны,
стягивающие равные углы, пропорциональны. Смысл второго предложения состоит
в том, что если в треугольнике проведена прямая, параллельная одной из сторон,
то она рассечет остальные стороны на пропорциональные отрезки [Евклид, VI, 2, 
4].
    62. Смысл этого предложения состоит в следующем: если на окружности с
центром А (рис. 1-J) взяты произвольные дуги АВ и ВГ, меньшие 180°, и проведена
хорда АГ, то справедливо соотношение
    
Crd2AB
Crd 2ВГ

АЕ
ЕГ'

где Е — точка пересечения хорды АГ с диаметром ВД.
    При доказательстве этого соотношения Птолемей опирается на предложение 3
книги IV «Начал», смысл которого состоит в следующем: если прямая, проходящая
через центр круга, делит другую прямую, не проходящую через него, пополам, то
    
Рис. 1-J
она пересекает ее под прямым углом [Евклид, IV, 3]. Доказательство проводится
с помощью «составления отношений».
    63. Из этой теоремы вытекает одно очень важное следствие: если известны 
сумма
дуг и отношение хорд удвоенных дуг, то можно определить каждую из них.
    64. Сформулировано предложение: если на окружности с центром А (рис. 1-К)
взяты дуги АВ и АГ, меньшие 180°, проведены радиус АА и хорда ВГ, продолжения
которых пересекаются в точке Е, то имеет место соотношение
    63. 
Crd 2ГА
Crd2AB

ГЕ
BE'

    65. Как следствие из предыдущего сформулирована теорема: если известны дуга
ГВ, равная разности дуг АГ и АВ, и отношение хорд удвоенных этих дуг, то может
быть определена и дуга АВ.
    Эти вспомогательные рассуждения Птолемея, которыми он завершает раздел
плоской тригонометрии, сводятся по сути дела к двум леммам, которыми он
    
пользуется далее для доказательства теоремы Менелая. В современной терминологии
они имеют следующий вид.
тт	,   ^	sin а
Лемма 1. Если заданы дуга (а + р) и отношение ——д, то этого достаточно
sin р
для нахождения дуг а и /3.
„	„   _	„ч	sin а
Лемма 2. Если заданы дуга (а — р) и отношение ——д, то этого достаточно
sin р
для нахождения дуг а и /3. Доказательство Птолемей, естественно, проводит с
помощью тригонометрии хорд.
66. В этом предложении доказывается теорема Менелая для сферического случая.
    Пусть на поверхности сферы дугами окружностей больших кругов образована
фигура ABZr, причем каждая из этих дуг АВ, BZ, ZT, АГ меньше 180° (рис. 1.14).
В теореме утверждается, что
Crd 2ГЕ _ Crd 2TZ Crd 2АВ      Crd 2ГА ^ Crd 2ГА Crd 2ZB
Crd 2EA ~ Crd 2AZ Crd 2BA'     Crd 2AE    Crd 2AZ Crd 2BE"
    Проведем из центра сферы Н радиусы НВ, HZ, НЕ и соединим хордами точки
А, Д, Г. Продолжим хорду АА и радиус НВ до их пересечения в точке в. Точку
пересечения хорды ДГ и радиуса HZ обозначим через К, а точку пересечения хорды
АГ с радиусом НЕ — через А. Точки в, К и А лежат одновременно в плоскости