| |
8<8^ГЖ<Т5 при "= 1...-6.
167
Последовательность приближенных значений для дроби у2б"о ПРИ соответству-
1 2
ющих значениях п заключена между g и и имеет вид
1<Л< ±<±<±<11<11< JL
8 23 38 53 < 68 < 83 < 98 < •• < 15"
Таким образом, дробь ^ представляет собой приближенное значение дроби
167 <
при п = 5.
1260
Таковы две гипотезы о происхождении дроби в тексте «Альмагеста». Наиболее
вероятно, по мнению Голдстейна, что ее автором является Гиппарх [Goldstein,
1983,
р.6-8]. Существуют, однако, и другие гипотезы, касающиеся происхождения
указанной величины угла наклона эклиптики к экватору. См. в этой связи [Rawlins,
1982; Ньютон, 1985, с.106-109].
59. Как известно, высота полюса небесного экватора над горизонтом в данном
географическом пункте равна его географической широте.
60. Гл. 13 посвящена изложению основ античной сферической тригонометрии.
Опираясь на труды по сферике Автолика (IV в. до н.э.), Евклида (ок. 365-300 до
н.э.), Теодосия (III в. до н.э.), Гипсикла (И в. до н.э.) и в особенности
Менелая
(I-II вв.), Птолемей доказал «несколько кратких и очень полезных лемм», которые
позволяли решать широкий круг задач сферической астрономии его времени. При
доказательстве этих лемм он опирался, главным образом, на знаменитую теорему
Менелая, одного из крупнейших ученых эпохи эллинизма, автора трудов по
астрономии, математике и механике.
Основной труд Менелая «Сферика» до нас не дошел. Он сохранился только в
арабском переводе астронома и математика X-XI вв. Ибн Ирака [Krause, 1936]. В
астрономической литературе средневековой Европы ее обычно называли «теоремой
о трансверсалях», а на средневековом Востоке «правилом шести величин» или
«теоремой о полном четырехстороннике».
Название теоремы Менелая — «правило шести величин» — объясняется
следующим образом. Смысл теоремы состоит в том, что между шестью отрезка-
ми — хордами в круге или шестью дугами больших кругов сферы, образующих
полный плоский или сферический четырехсторонники, существуют
определенные соотношения. Теорема Менелая была доказана и для
плоского, и для сферического случаев (см. коммент. 61, 66).
В этой же главе доказывается также утверждение о том, что
если даны отношения хорд двух дуг, меньших 180°, и их сумма
или разность, то можно определить и сами дуги.
61. Здесь речь идет о плоской теореме Менелая. Птолемей
приводит ее доказательство.
В основе доказательства — фигура, называемая полным
четырехсторонником. Плоский полный четырехсторонник можно
Рис. 1-н получить из произвольного четырехугольника, продолжая
до
пересечения обе пары его противоположных сторон (рис. 1-Н). В
современных обозначениях плоская теорема Менелая имеет вид
АР СЕ BF_ . АР ВС EF_ .
CD BE AF ' СА BE DF
Менелай, Птолемей, а впоследствии математики средневекового Востока фор-
мулировали и доказывали эту теорему с помощью евклидовой теории составных
отношений. В современной терминологии составное отношение есть произведение
двух отношений. Мы говорим, что отношение ^ есть произведение отношений ^ и
j. Античные же математики говорили, что отношение ^ «составлено» из отношений
ГА
-j и у. В терминологии Птолемея отношение д=;
составлено из отношении
ГА
AZ
ZB
BE'
а отношение
ГЕ
ЕА
составлено из отношении
TZ
|
|
