| |
такие части. В силу эквивалентности земного шара и небесной сферы, считал
Эратосфен, величина наклона эклиптики эквивалентна дуговому расстоянию от
экватора до тропика Рака, т.е. составляет 1/15 часть круга, или 24°. Это
наиболее
раннее известное греческое значение величины е. Страбон сообщает также, что
Эратосфен предпринял попытку выразить это значение в линейных мерах. Именно
ему принадлежит, очевидно, первая в истории географии попытка вычисления
величины градуса земного меридиана и окружности земного шара. Величина
окружности Земли у него равна 252 ООО стадий, а расстояние от экватора до
тропика
Рака (до города Сиены — современного Асуана) состав-
ляет 1/15 часть окружности, т.е. 252 000:360 = 16 800
стадий. Однако уже в эпоху Эратосфена и Гиппарха
было известно, что величина наклона эклиптики меньше
24°. Гиппарх при определении е, вероятно, исходил из
значения продолжительности наибольшего дня для Си-
ены, которая составляет 13'/2 часа. Если исходить из
этой величины, то можно реконструировать следующий
метод его определения величины е.
Пусть на рис. 1-G ЕС — небесный экватор,
SCZPN — меридиан, SERN — горизонт, Z — зенит,
Р — полюс мира, TR — суточный круг Солнца во время
Рис- 1_G летнего солнцестояния, если Солнце восходит в точке R.
Тогда у = ED — половина избытка наибольшего дня
для
широты Сиены над 12 равноденственными часами, измеренная в градусах, т.е.
(15°М — 180°)/2, где М — продолжительность наибольшего дня. Эта величина легко
определяется в прямоугольном сферическом треугольнике EDR с прямым углом D,
sin у = tg р tg е. Так как для Сиены М = l3Vih, у = 11;15° и <р = е, то
sin 11; 15° = tg2e, откуда е = 23;49,50° — значение, близкое к птолемеевскому.
Гиппарх, возможно, получил у, пользуясь методом аналеммы, т.е. принятым в
античной астрономии приемом ортогонального проектирования небесной сферы и ее
основных кругов на одну из координатных плоскостей (в данном случае на
плоскость
горизонта, в которой был установлен гномон длины g в Сиене в день летнего
солнцестояния). С помощью аналеммы, описанной Витрувием, который называет ее
автором Гиппарха, значение е можно получить из соотношения, эквивалентного
формуле Xge = s/g [Goldstein, 1983, р.9-10].
Птолемей утверждает, что и Эратосфен, и Гиппарх при вычислении величины
е пользовались дробью 11/83, которую полагали равной 2е. Б.Голдстейн предлагает
весьма убедительную гипотезу появления этой величины.
Выше мы уже говорили, что согласно Эратосфену расстояние от экватора до
тропика Рака составляет 16 800 стадий. Это дает для величины е значение, равное
24°. Но Эратосфен, вероятно, знал, что истинное значение е меньше 24°. Значение
же 16 800 — приближенное, так как, по утверждению Страбона со ссылкой на
наблюдение его предшественников, широты мест, расположенных на одном меридиане
на расстоянии менее 400 стадий (около '/2° широты) при наблюдении (т.е.
определении продолжительности наибольшего дня или отношения длины гномона к
его тени) не различаются. Поэтому величину 16 800 правомерно уменьшить до
16 700. А тогда справедливо соотношение
2е 2 x 16 700 167
360 " 252 000 ~ 1260-
Отсюда приближенное значение величины е можно получить с помощью цепных
дробей методом, связанным с алгоритмом Евклида, хорошо известным в античности.
С помощью цепной дроби можно получить приближенное значение любого
рационального числа вида alb, быстро сходящееся к истинной величине.
Представим числитель и знаменатель выражения для в виде
1260 = 7 х 167 + 91,
167 = 1 х 91 + 76,
91 = 1 х 76 + 15,
76 = 5 х 15.
167
Тогда выражение TJGG можно записать в виде
167 J _П
83-
7 + 1
1 + 1
Таким образом, число ^ получается уже при третьем приближении.
Число можно получить и другим путем, если воспользоваться неравенством
а а + с с ас ™ »
^ < b + д к ~J ПРИ ~?<^ которым оперирует Папп Александрийский в своем
«Математическом собрании» [Pappus, I, р.689].
п , 167
Дробь |25q удовлетворяет неравенству
1 _ 2 167 2
8 ~ 16 1260 15'
которое можно представить в виде ряда
1 „ 1 + 2п 2 * ?
|
|
