D_    ACBD - ABCD „
ВС =	-т-р	. При этом ВС есть хорда разности дуг BD и CD.
    Если положить АОС = 2а, АОВ = 2/3, г = 1, то ясно, что получено выражение,
равносильное формуле sin (a - В) = sin a cos R - cos a sin В. Отсюда, исходя из
значений двух известных хорд 72° и 60°, можно найти, например, значение хорды
    
12°. Птолемей отмечает, что таким образом, т.е. при помощи значений разностей
заданных основных хорд, можно определить немалое число значений других хорд.
    45. Птолемей приводит метод определения хорды дуги, равной половине 
заданной
дуги. Если АС — диаметр (рис. 1-С), ВС — данная дуга, CD — ее половина, то,
проведя хорды АВ, AD, BD, DC и опустив из D перпендикуляр DE, он показывает,
DC2 = AC(ACfLAB1_ Это
что искомая хорда есть DC = —s—j	• jT0 соотношение дает возможность по
известным основным хордам определить многие другие.
    46. Доказано, что если известны хорды двух дуг, то известна и хорда дуги,
равная их сумме. Соотношение Птолемея равносильно современной формуле для
синуса суммы дуг или углов sin (а + /?) = sin а cos /? + cos а sin /?.
    47. Таким образом, получив значения основных хорд (для дуг в 36, 60, 72, 90
и 120°), а также правила вычисления хорды суммы и разности двух дуг и хорды
половинного угла или дуги, Птолемей смог получить большинство значений своей
таблицы. Однако вычисление хорды V20, значение которой необходимо для
вычисления таблицы хорд через i/f, требовало дополнительных рассуждений. Дело
в том, что искомый результат мог быть получен путем деления на три части угла
в W2°. Однако задача трисекции угла, относящаяся к трем знаменитым задачам
древности и приводящая к решению кубического уравнения, представляла собой
непреодолимую трудность и не могла быть решена методами евклидовой геометрии
(с помощью циркуля и линейки). Попытки ее решения привели к разработке целого
ряда приближенных методов, как алгебраических, так и геометрических: метод
«вставки» и др. См., например, [Рыбников, 1974, с.32-34].
    К приближенному методу прибегает и Птолемей. Утверждая, что с помощью
геометрии невозможно точно вычислить значение хорды дуги в Wj°, он предлагает
иной путь. Сначала Птолемей приближенно вычисляет значение хорды 1°. Он
находит ее как промежуточное значение между уже известными значениями хорд
IV20 и У40, т.е. между 1;34,15р и 0;47,8Р. Затем по полученному значению хорды
1° с помощью соотношения для хорды дуги половинного угла он находит
приближенное значение хорды V20.
    48.	«Композиция» или «присоединение отношений» означает переход от отно-
шения alb к отношению (a + b)lb [Евклид, V, 14].
ZE
Птолемей пользуется этим понятием при переходе от отношения        в нера-
         ZE    ZAE                      ZE + ЕА                      ZE + ЕА    
ZAE + ЕДА
венстве =-г- < —-— к отношению —=-г	 в неравенстве —=-г	<	
ЕА    ЕДА	ЕА	ЕДА
(см. рис. 1.6).
    49.	«Выделение отношения» — переход от отношения alb при а> Ъ к отношению
(а - Ь)/Ь [Евклид, V, 15].
Птолемей пользуется «выделением отношения» при переходе от отношения
ГА      ГДА	ГА - АЕ	ГА - АЕ
в неравенстве ^jt *~	к отношению —— в неравенстве —— <
ЕДА
ГДА - ЕДА
<
ЕДА
    50. Здесь Птолемей опирается на теорему о свойстве биссектрисы треугольника,

которая рассекает противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональ-
ные прилежащим к нему сторонам [Евклид, VI, 3]. Птолемей пользуется этим
свойством биссектрисы угла при рассмотрении треугольника АВГ с биссектрисой
BE, где ГЕ:ЕА = ГВ:ВА (рис. 1.6).
    51. Вычисление хорды дуги в 1° Птолемей проводит, отправляясь от сфор-
мулированной и доказанной им теоремы, смысл которой состоит в следующем. Если
в круге взять две произвольные дуги АВ = 2а и АГ = 2/3 (рис. 1.7), то 
справедливо
    50. 
              АВ    АВ       crd la    la ,~а    „       .
ссютношение -^р- <	или	< тг^ (2р < 2а < л), что равносильно соотношению
АГ       °Г
sin а    а 10	л\
(Р<а<2}-
—	—	crd 1°
Пусть АВ = 3^4°, АГ = 1°. Тогда приведенное выше неравенство дает сгд ^ <
1°      4
< ^ = 2> откуда следует, что crd 1° < Уз crd З^0-
    Пусть теперь АВ = 1°, AT = II/20. Согласно той же теореме, = c^i|/2°>
>      или crd 1° > Уз crd и/г0. Отсюда следует, что значение хорды 1° 
заключено в
пределах Уз crd 11/2° < crd 1° < 4/з crd З/40, или 1;34,15р < crd 1° < 4/з-0;47,
8р. Про-