лунной орбиты (Альм. IV, 11), можно понять лишь в том случае, если предположить,

что Гиппарх использовал таблицу хорд, подобную таблицам синусов средневековых
индийских астрономов. Значения хорд в ней были вычислены с интервалом в
7'/2° значений аргумента (в индийских таблицах синусов соответственно ЗЗ/40), а
радиус круга считался равным 3438'. См. [Тоотег, 1973, р.6], возражения против
его реконструкции [Waerden, 1988(1), р.27; 1988(2), р.178-183], а также коммент,
 66
к кн.IV.
    37. В таблице приводятся значения хорд от Vf до 180° через каждые V?. Для
их вычисления Птолемей делит окружность на 360 равных частей (шлра), измеряя,
таким образом, углы в градусах. Диаметр круга d делится на 120 частей (part,
сокращенно р); и в этих частях выражаются хорды в таблице. Такой круг с 
радиусом
в 60 частей (60р) является единичным в шестидесятеричной системе счисления,
которой пользуется Птолемей. Каждая часть делится на 60 линейных минут, каждая
минута — на 60 секунд, каждая секунда — на 60 терций и т.д. Это дает 
возможность
при вычислении пользоваться шестидесятеричными дробями.
    В «Альмагесте» Птолемей использует десятично-шестидесятиричную систему
записи чисел. Целые части чисел он всегда приводит в десятичной записи, а 
дробные,
как правило, в виде шестидесятиричной дроби. В настоящем издании в тексте
перевода и в комментариях при записи чисел используется система обозначений,
принятая среди историков астрономии; в ней целая часть числа отделяется от
дробной точкой с запятой, а каждый последующий разряд шестидесятиричной дроби
от предыдущего — запятой. Например, запись 365; 14,48 означает число

60    602
А запись 0;59,8,17,13,12,31 — число
59	|   8   |  17 |  13     12     31
60	602    603    604    605    606'
    Птолемей также широко использует простые дроби. Можно выделить при этом
несколько основных простых дробей (Vs. '/2, '/4, '/8, '/12 и др.), которые он 
использует
для выражения дробей более сложного вида. Например, в его записи 1/4 = >/2 + V4,

11/12=1/2+1/3+1/12, 5/б=1^ + 1/з и т.д. Такого рода «сложные» простые дроби
фиксируются в тексте перевода как >/2'/4, V2V3V12, '/г'/з соответственно.
    
    38. Рисунки Птолемея приводятся в том виде, в котором они даны в издании
И.Гейберга, без модернизации. В тексте Птолемея рисунки не пронумерованы.
Нумерация, которой пользуемся мы, введена Дж.Тумером в [РА]: первое число в
ней обозначает номер книги, второе — номер рисунка в книге. Номера рисунков
внесены в квадратных скобках в текст перевода там, где это необходимо.
    39. Две сформулированные теоремы позволяют выразить стороны правильных
пяти- и десятиугольника, стягивающих соответственно дуги в 72° и 36°, через 
радиус
круга, в который они вписаны. Эти теоремы в «Началах» Евклида отсутствуют.
При доказательстве Птолемей опирается на предложения 9 и 10 книги XIII «Начал».
В первом из них Евклид исходит из представления о делении отрезка в крайнем
и среднем отношении. Некоторая точка делит отрезок прямой в крайнем и среднем
отношении, если длина всего отрезка относится к большей его части, как эта
большая часть к меньшей. Пусть на рис. 1.1 линия ZT разделена в точке Д в
крайнем и среднем отношении. Тогда предложение 9 сводится к тому, что если
сложить длины сторон десятиугольника и шестиугольника, вписанных в один и тот
же круг (на рис. 1.1 отрезки ZA и ЛГ), то вся линия Zr в точке Л разделится в
крайнем и среднем отношении. Предложение 10 состоит в том, что квадрат стороны
правильного вписанного в круг пятиугольника равен произведению сторон правиль-
ных вписанных в круг шестиугольника и десятиугольника, т.е. на рис.1.1
TZ-ZA = ЛГ2 [Евклид, XIII, 9, 10].
40.	Из геометрических соображений ясно, что Crd 90° = rV2, a Crd 120° = rVb.
Отсюда при г = 60Р следует Crd 90° = 84;51,10P, Crd 120° = 103;55,23р.
    41. Хорды углов 36, 60, 72, 90 и 120° Птолемей называет «основными». С их
помощью он определяет хорды дополнительных углов, пользуясь очевидным
соотношением Crd2 а + Crd2 (180° - а) = d2, равносильным современному sin2a +
+ cos2a = 1. Так, по известной хорде 36° он получает Crd 144° = 114;7,87р.
    42. Эта лемма впоследствии получила название теоремы Птолемея. В лемме
утверждается, что если в круг вписан произвольный четырехугольник ABCD
(рис. 1-А), то площадь прямоугольника, образованного его диагоналями АС и BD,

Рис. 1-А	Рис. 1-В	Рис. 1-С
равна сумме площадей прямоугольников, образованных противоположными сторонами
данного четырехугольника, т.е. АС • BD = АВ • CD + AD • ВС.
    43. В подобных треугольниках АВЛ и ВГЕ имеет место пропорция ВГ: ГЕ =
= ВЛ : ДА [Евклид, VI, 4].
    44. Птолемей утверждает, что если во вписанном в круг четырехугольнике
ABCD (рис. 1-В) сторона AD есть диаметр круга, а хорды АВ я АС известны, то,
как показано, будут известны хорды дополнительных дуг BD и CD, а тогда можно
определить и хорду ВС. Действительно, на основании предыдущей леммы