удвоенной АВ, складывающееся из заданного отношения прямой под
удвоенной Z0 к прямой под удвоенной ©Н и из отношения прямой под
удвоенной НЕ к прямой под удвоенной ЕВ. Таким образом, если ЕВ дана,
о
то станет известной и величина ЕН .
   Очевидно также, что если Н не точка зимнего солнцеворота, но
какое-нибудь другое из делений круга, проходящего через середины знаков
зодиака, то каждая из дуг Е© и ЕН определится на тех же основаниях,
так как в таблице склонений мы поместили дуги полуденного круга,
   
отсекаемые на равноденственном круге каждым делением круга [проходя-
щего] через середины знаков зодиака, т.е. аналогичные дуге НЭ9.
   Отсюда следует также, что точки круга через середины знаков зодиака,
отсекаемые тем же самым параллельным кругом, т.е. одинаково отстоящие
от какой-либо точки солнцеворота, отсекают на горизонте одинаковые дуги,
расположенные в ту же сторону от равноденственного круга. Они дают
одинаковую продолжительность соответствующих
дней и ночей. Вместе с этим доказано, что точки,
расположенные на одинаковых параллелях, т.е.
одинаково отстоящие от одной и той же равно-
денственной точки, образуют по обе стороны
равноденственного круга равные между собой
дуги горизонта и накрест равные друг другу части
суток разного наименования10.
   В самом деле, если на приложенном чертеже
[рис. 2.2 J мы возьмем точку К, в которой круг,
равный и параллельный кругу, проведенному
через Н, пересекает полукруг ВЕД горизонта, и
проведем отрезки НЛ и КМ параллельных
кругов, очевидно, равные и противоположные друг другу, а затем через
К и северный полюс проведем четверть [окружности ] NKE, то дуга ©А
будет равна дуге ЕГ, так как обе они подобны дугам АН и МК, и
остающаяся [дуга ] ЕЭ будет равна остающейся [дуге ] ЕЕ. Таким образом,
получаются два одинаково расположенных треугольника ЕНЭ и ЕКЕ с
соответственно равными сторонами Е0 и ЕЕ и Н0 и КН. Каждый из углов
при 0 и Е прямой, так что основание ЕН будет равно основанию КЕ11.


4. О том, как вычисляется, где, когда и как часто
Солнце бывает прямо над головой
   
   При помощи приведенных данных легко вычислять, где, когда и как
часто Солнце бывает прямо над головой. Действительно, очевидно, что для
точек, находящихся на параллелях, отстоящих от равноденственного круга
далее, чем на расстояние, равное расстоянию точки летнего солнцеворота,
т.е. приблизительно 23;51,20 градуса, Солнце никогда не будет прямо над
головой. Для точек, находящихся как раз на таком расстоянии, оно будет
|прямо над головой] только один раз во время самого летнего солнцеворота,
а для точек, лежащих на расстоянии, меньшем указанного числа градусов,
Солнце окажется прямо над головой два раза [в году]. Соответствующее
время легко получить из приведенной выше таблицы склонений. Действи-
тельно, взяв во втором столбце таблицы число градусов, на которое
рассматриваемая параллель отстоит от равноденственного круга (внутри,
конечно, [параллели] летнего тропика), мы получим в соответствующем
месте первого столбца число градусов первого квадранта, показывающее,
на сколько Солнце отстоит от каждой из точек равноденствия по
направлению к точке летнего солнцеворота, когда оно находится прямо над
головой для точек, лежащих на указанной параллели12.
   
5. О том, как на основании изложенного
определяются отношения гномона к полуденным теням
в моменты равноденствий и солнцеворотов

   
   Упомянутые выше отношения теней к гномонам проще всего определить
по заданным длинам дуг между тропическими кругами, а также между
13
горизонтом и полюсами. Это можно показать следующим образом .
   Пусть АВГА — полуденный круг с центром в Е, а А — точка, лежащая
непосредственно над головой [рис. 2.3]. Проведем диаметр АЕГ и под
прямым к нему углом в плоскости полуденного круга проведем прямую
TKZN, которая, очевидно, будет параллельной общей линии пересечения

горизонта и полуденного круга.
И так как вся Земля по отно-
шению к сфере Солнца представ-
ляется точкой и ее центром, так
что нет различия между центром
Е и вершиной гномона, то вооб-
разим, что ГЕ — гномон, а