заданным также отношение АЕ к ЕГ, тождественное с отношением прямой
под удвоенной дугой АВ к прямой под удвоенной ВГ, будет заданной
прямая АЕ и, в результате, ZE. Вследствие этого при задании AZ будут
заданными угол EAZ прямоугольного треугольника EAZ и весь угол ААВ.
   
Таким образом, будут заданы дуга АВ и остаток ВГ. Это и требовалось
доказать.
   Пусть опять будет дан круг АВГ [рис. 1.12], описанный около центра
А. Возьмем на его окружности три точки А, В, Г так, чтобы каждая из
в

Рис. 1.11	Рис. 1.12
дуг АВ, АГ была меньше полуокружности. То же мы предположим и
относительно дуг, которые будем брать в дальнейшем. Проведем соединитель-
ные прямые ДА и ГВ, продолжим их, и пусть они пересекутся в точке Е.
Я утверждаю, что прямая под удвоенной дугой ГА относится к прямой
73	под удвоенной дугой АВ, как прямая ГЕ к BE64.
   Действительно, если мы, как и в предыдущей лемме, опустим из В и
Г перпендикуляры BZ и ГН на прямую ДА, то вследствие их параллельности
получится, что как относится ГН к BZ, так будет относиться и ГЕ к
ЕВ. Таким образом, как прямая под удвоенной дугой ГА относится к
прямой под удвоенной АВ, так будет относиться и ГЕ к ЕВ, что и
требовалось доказать.
   И отсюда получится, что если даны только дуга ГВ и отношение прямой
под удвоенной дугой ГА к прямой под удвоенной АВ, то будет дана и
дуга АВ65.
   Действительно, если на такой же фигуре [рис. 1.13] проведем
соединительную прямую ДВ и на ВГ опустим перпендикуляр AZ, то будет
74	заданным угол BAZ, стягиваемый половиной дуги ВГ, и, следовательно,
весь прямоугольный треугольник B&Z. Так как дано отношение ГЕ к ЕВ

Рис. 1.13
и прямая ГВ, то будут даны также и ЕВ, и вся прямая EBZ. Если AZ
дана, то будет дан и угол ЕДг того же прямоугольного треугольника, и
остающийся угол ЕДВ. Таким образом, будет известна и дуга АВ.
   После этих предварительных замечаний опишем на сферической
поверхности [рис. 1.14] дуги больших кругов так, чтобы проведенные к
   
двум начерченным дугам АВ и АГ две другие дуги BE и ГА пересекались
в точке Z. Пусть каждая из этих дуг будет меньше полуокружности; то
же самое мы будем предполагать и относительно всех таких построений.
   Я утверждаю, что отношение прямой под удвоенной дугой ГЕ к прямой
под удвоенной дугой ЕА складывается из отношения прямой под удвоенной
дугой TZ к прямой под удвоенной дугой ZA и отношения прямой под
удвоенной дугой АВ к прямой под удвоенной дугой ВА.
   Действительно, возьмем центр сферы, и пусть он будет в точке Н.
К точкам В, Z, Е пересечений кругов проведем из Н прямые НВ, HZ
и НЕ. Затем продолжим соединяющую прямую АА, и пусть она пересечется
в точке G с продолжением НВ. Точно так же пусть соединяющие прямые

АГ и АГ пересекутся с HZ и НЕ в
точках К и Л. Точки в, К, Л лежат на
одной прямой вследствие того, что они
одновременно находятся на двух плоско-
стях — треугольника АГА и круга BZE.
Соединяющая их прямая 0КЛ вместе с
двумя прямыми 0А и ГА дает две
проведенные поперек прямые GA и ГА,
пересекающиеся в точке К. Следователь-
но, отношение ГА к АА составляется из
отношений ГК к КА и AG к GA. Но
ГА относится к АА, как прямая, стоящая
под удвоенной дугой ГЕ, относится к
прямой под удвоенной дугой ЕА, а ГК
относится к КЛ, как прямая под удвоен-
ной дугой TZ относится к прямой под
удвоенной дугой ZA, и GA относится к GA, как прямая под удвоенной
дугой АВ относится к прямой под удвоенной дугой ВА. Следовательно,
отношение прямой под удвоенной дугой ГЕ к прямой под удвоенной дугой
ЕА складывается из отношений прямых под удвоенной дугой TZ и под
удвоенной дугой ZA, а также прямых над удвоенной дугой АВ и под
удвоенной дугой ВА.
   На основании тех же рассуждений и как бы для прямых, начерченных
на плоскости, доказывается, что отношение прямой под удвоенной дугой
ГА к прямой под удвоенной дугой ЕА складывается из отношения прямой
под удвоенной дугой ГА к прямой под удвоенной дугой AZ и отношения
прямой под удвоенной дугой ZB к прямой под удвоенной дугой BE. Все
это и предполагалось предварительно доказать66.

14. О дугах, заключенных между равноденственным