| |
южного конца (а это будет дуга, заключающаяся между тропиками) всегда
оказывалась равной 47 градусам с избытком, большим Уз, но меньшим
У4 градуса. Отсюда получается почти то же отношение, что у Эратосфена,
которым пользовался и Гиппарх. Действительно, величина дуги между
тропиками составляет приблизительно 11 таких частей, каких в полуденном
круге будет 8358.
Из упомянутого наблюдения становится ясно, как определять широту
места, в котором мы производим наблюдения. Между обеими конечными
точками нужно взять среднюю, которая будет соответствовать равноденст-
венному кругу, и измерить дугу, заключенную между этой точкой и верхним
концом дуги. Она, очевидно, будет равна расстоянию полюса от горизонта59.
13. Предварительные теоремы для доказательств сферики
Теперь следует вычислить величины дуг различных больших кругов,
проведенных через полюсы равноденственного круга, которые заключаются
между равноденственным кругом и кругом, проведенным через середины
зодиакальных созвездий60. Предварительно мы из- ЛА
ложим несколько кратких и очень полезных лемм,
при помощи которых доказательства большей части
предложений, усматриваемых при помощи сфе-
рики, можно сделать более простыми и ме-
тодическими.
Пусть к двум прямым АВ и АГ [рис. 1.8]
проведены две прямые BE и ГА, пересекающиеся
в точке Z.
Я утверждаю, что отношение ГА к АЕ
составляется из отношений ГА к AZ и ZB к Рис 1-8
BE61. Через Е параллельно ГА проведем ЕН. Так
как ГА и ЕН параллельны, то отношение ГА к ЕА будет тем же, что и
отношение ГА к ЕН. Возьмем еще ZA; тогда отношение ГА к ЕН будет
составляться из отношений ГА к AZ и AZ к ЕН. Таким образом, отношение
ГА к АЕ составляется из отношений ГА к AZ и AZ к НЕ. Но отношение
AZ к НЕ такое же, как отношение ZB к BE вследствие параллельности
ЕН и ZA. Следовательно, отношение ГА к АЕ составляется из отношений
ГА к AZ и ZB к BE. Это и требовалось доказать.
Так же мы докажем при выделении, что отношение ГЕ к ЕА составляется
из отношений TZ к AZ и АВ к ВА. Через А проведем параллель к ЕВ
[рис. 1.9] и продолжим до этой ее параллели прямую ГДН. Так как АН
опять будет параллельна EZ, то как относится ГЕ к ЕА, так будет относиться
и TZ к ZH62. Если взять еще ZA, то отношение TZ к ZH составится из
отношений TZ к ZA и AZ к ZH. Но отношение AZ к ZH такое же, как
отношение АВ к ВА вследствие того, что между
параллельными АН и ZB проведены ВА и ZH.
Следовательно, отношение TZ к ZH складывается из
отношений TZ к AZ и АВ к ВА. Но отношение
TZ к ZH такое же, как отношение ГЕ к ЕА, и,
следовательно, отношение ГЕ к ЕА складывается из
отношений TZ к AZ и АВ к ВА, что и требовалось
доказать.
Пусть дан еще круг АВГ [рис. 1.10] с центром
А. Возьмем на его окружности три какие-нибудь
точки А, В, Г так, чтобы каждая из дуг АВ, ВГ
была меньше полуокружности; то же самое мы будем
предполагать в дальнейшем и для других дуг.
Проведем соединительные прямые АГ и АЕВ.
Я утверждаю, что как прямая под удвоенной
дугой АВ относится к прямой под удвоенной ВГ, так
будет относиться и прямая АЕ к прямой ЕГ.
Действительно, из точек А и Г проведем
перпендикуляры AZ и ГН к прямой АВ. Так как
AZ параллельна ГН и они пересечены прямой
АЕГ, то как относится AZ к ГН, так будет относиться
и АЕ к ЕГ.
рис. i.io Но отношение AZ к ГН будет такое же, как у
прямой под удвоенной дугой АВ к прямой под
удвоенной ВГ, ибо первые две будут соответственно половинами вторых.
Следовательно, отношение АЕ к ЕГ будет тем же, что у прямой под
удвоенной дугой АВ к прямой под удвоенной ВГ. Это и требовалось доказать.
Отсюда следует, что если даны вся дуга АГ и отношение прямой под
удвоенной дугой АВ к прямой под удвоенной дугой ВГ, то будут заданы
и каждая из дуг АВ и ВГ .
Действительно, на том же чертеже [рис. 1.11] проведем соединительную
прямую АА и опустим из А на АГ перпендикуляр AZ. Очевидно, что при
задании дуги АГ будут заданными и угол AAZ, стягиваемый ее половиной,
и весь треугольник AAZ. Поскольку кроме всей прямой АГ предполагается
|
|
