будет заданной и Zr, являющаяся половиной разности АГ и АВ. Но так
как в прямоугольном треугольнике АГА проведен перпендикуляр AZ, то
прямоугольный треугольник АДГ будет иметь равные углы с АГХ, и
получится: как относится АГ к ГА, так будет относиться и ГА к TZ.
   
Следовательно, прямоугольник между AT, TZ равен квадрату на ГА, но
прямоугольник между AT, ТЪ задан; значит, будет задан и квадрат на ГА.
Таким образом, будет известна прямая ГА, стягивающая половину дуги ВГ.
    При помощи этой теоремы можно также получить большое количество
других прямых, соответствующих половинам рассмотренных выше дуг; таким
образом, при помощи прямой, стягивающей дугу в 12 градусов, получается
прямая для 6, для 3, для W% и З/4 градуса. Произведя вычисления, мы
найдем, что для дуги в I1/2 градус стягивающая прямая будет приблизительно
равна 1 ;34,15, если принять диаметр равным 120, а для дуги в З/4 градуса
0;47,845.

   Пусть опять задан круг АВГА на диаметре АА с центром Z [рис. 1.5].
От точки А отложим последовательно две данные дуги АВ, ВГ и проведем
под ними соединительные прямые АВ, ВГ,
которые тоже являются заданными. Я утверж-
даю, что если мы соединим АГ, то она тоже
будет известной.
   Действительно, через точку В проведем
диаметр BZE рассматриваемого круга и сое-
динительные прямые ВА, АГ, ГЕ, АЕ. Отсюда
ясно, что через ВГ будет задана и ГЕ, а через
АВ будут данными ВА и АЕ. Тогда на основании
того же, что и выше, поскольку в круге имеется
четырехугольник  ВГАЕ и проведены  прямые	рис ^
ВА,  ГЕ, содержащийся  между проведенными
линиями прямоугольник будет равен вместе взятым прямоугольникам на
противолежащих сторонах. Таким образом, поскольку заданы прямоу-
гольники на ВА, ГЕ и на ВГ, АЕ, будет задан и прямоугольник на BE,
ГА. Но диаметр BE задан; следовательно, будет заданной остающаяся прямая
ГА, а вследствие этого и соответствующая дополнению до полуокружности
прямая ГА. Таким образом, если даны две дуги и стягивающие их прямые,
то на основании этой теоремы будет заданной и прямая, стягивающая дугу,
получающуюся от сложения обеих упомянутых дуг46.
   Очевидно, что если ко всем определенным выше прямым мы будем
последовательно добавлять прямую, стягивающую дугу в 11/г градус, и
вычислять стягивающие их [суммарные] прямые, то мы сможем записать
|в таблицу) прямые для дуг, которые, будучи удвоены, имеют делителем
тройку. Останутся [неопределенными] только два промежуточных деления
в интервалах по ll/г градусу, так как мы хотим составить таблицу через
промежутки в 1/2 градуса. Таким образом, если мы найдем прямую,
соответствующую 1/2 градуса, то при помощи сложения и вычитания ее с
заданными прямыми, замыкающими упомянутые промежутки, мы сможем
заполнить и все остальные промежутки. Но если дана какая-нибудь прямая,
например, стягивающая дугу в \У% градус, то все же невозможно
геометрически вычислить прямую, стягивающую третью часть этой дуги.
Если бы это было возможно, то мы получили бы отсюда и прямую,
соответствующую 1/2 градуса. Попробуем сначала найти линию для 1 градуса
при помощи линий для ll/г и ?4 градуса, доказав [предварительно]
небольшую лемму, которая хотя и не позволяет полностью определять
   
количественные величины, но во всяком случае для таких весьма малых
величин дает значения, которые можно сохранить без исправлении  .
   Я утверждаю, что если в круге проведены две неравные прямые, то
большая имеет к меньшей отношение меньше того, которое дуга на большей
прямой имеет к дуге на меньшей.
Пусть АВГА будет круг [рис. 1.6]; проведем в нем две неравные прямые,
из которых АВ будет меньшей, ВГ большей. Я утверждаю, что прямая
имеет к ВА меньшее отношение, чем дуга ВГ к дуге ВА. Разделим
угол АВГ пополам прямой ВА и проведем
соединительные прямые АЕГ, АА и ГА. Так как
угол АВГ разделен пополам прямой ВЕА, то
прямая ГА будет равна АА, и ГЕ больше, чем
ЕА. Опустим из А на АЕГ перпендикуляр AZ.
Поскольку АА больше ЕА, а ЕА больше AZ,
окружность, описанная из центра А радиусом
АЕ, пересечет АА и пройдет выше прямой AZ.
Опишем ее, и пусть это будет HEG; также
продолжим AZG. Поскольку сектор AEG больше
треугольника AEZ и треугольник АЕА больше
сектора АЕН, то треугольник AEZ имеет к
треугольнику АЕА отношение, меньшее, чем сек-
тор AEG к АЕН. Но как треугольник AEZ
относится к треугольнику АЕА, так будет относиться и прямая EZ к прямой
ЕА. И как сектор AEQ относится к сектору АЕН, так и угол ZAE относится
к углу ЕДА. Следовательно, прямая ZE имеет к ЕА меньшее отношение,