обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания.  Этот
предел должен  быть  теперь  пределом  данной  функции;  он  должен  указать
некоторое значение в связи с ней,  определяемое  способом  выведения.  Но  с
одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о  чем
дело шло в этом примечании, имеющем целью показать,  что  бесконечно  малое,
встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и  dy,  имеет  не  только
отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как
это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество",  "и  т.
д.  до  бесконечности"  и  т.  п.,   а   определенный   смысл   качественной
определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако  эта
категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к  данной  функции,
еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой  функции  и  не  приводит  к
такому пользованию указанным определением,  которое  должно  было  бы  иметь
место в последней; таким образом, и представление  о  пределе,  ограниченное
такой доказанной относительно него  определенностью,  также  ни  к  чему  не
привело бы. Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что  это  предел
чего-то,  т.  е.  выражает  некоторое  значение,  заключающееся  в   функции
переменной  величины;  и  мы  должны  посмотреть,  каково   это   конкретное
оперирование им.
   Он должен быть пределом  отношения  друг  к  другу  двух  приращений,  на
которые, по сделанному допущению,  увеличиваются  две  переменные  величины,
соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается  как  функция
другой;
   приращение берется здесь вообще неопределенным,  и  постольку  бесконечно
малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит
прежде всего к  тем  же  непоследовательностям,  которые  имеются  в  других
методах. Этот путь именно таков. Если у - fx, то при переходе у в у +  k  fx
должно переходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph +  gh2
и т. д. и р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h  исчезают,  то  исчезает  и
второй член ряда  кроме  р,  которое  и  есть  предел  отношения  этих  двух
приращений. Отсюда видно, что А как определенное
   О, но что вследствие этого в то же время h
   количество полагается еще не равно, а остается  некоторым  отношением.  И
вот представление о пределе должно принести  ту  пользу,  что  оно  устранит
заключающуюся здесь непоследовательность; р должно в то  же  время  быть  не
действительным отношением, которое было бы = ",
   а  лишь  тем  определенным  значением,   к   которому   отношение   может
приближаться бесконечно, [т. е. ] так, чтобы  разность  могла  стать  меньше
всякой данной разности. Более определенный  смысл  приближения  относительно
того, что, собственно, должно сближаться между собой, будет рассмотрен ниже.
- Но что количественное различие, определяемое не только как могущее,  но  и
как долженствующее быть меньше всякой данной величины, уже не количественное
различие, это само собой ясно; это так же очевидно, как что-то вообще  может
быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше dy/dx=0/0.  Если  же
dy/dx=p, т.е. принимается за определенное количественное отношение, как  это
и есть на самом деле, то, наоборот, возникает трудность  для  предположения,
что h=0, предположения - единственно в основании  k  которого  и  получается
k/n=p. Если же согласиться, что k/n=0 и в самом деле, раз h  =  0,  то  само
собой k также становится - 0, ибо приращение k к  у  имеет  место  лишь  при
условии, что приращение составляет h, - то надо было  бы  спросить,  что  же
такое р, которое есть совершенно определенное  количественное  значение.  На
этот вопрос сразу же само собой получается простой,  ясный  ответ,  что  оно
коэффициент, и нам указывают, на основании какого выведения он возникает,  -
некоторым  определенным  образом  выведенная  первая   производная   функция
первоначальной функции. Если довольствоваться этим ответом, как  и  в  самом
деле Лагранж по существу дела удовольствовался  им,  то  общая  часть  науки
дифференциального исчисления  и  непосредственно  сама  форма  его,  которая
называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от  их
бесконечной или какой угодно малости, от трудности,  состоящей  в  том,  что
кроме первого члена  или,  вернее,  лишь  коэффициента  первого  члена,  все
остальные члены ряда, которые неизбежно появляются благодаря  введению  этих
приращений, вновь устраняются; но помимо этого она очистилась бы также и  от
всего того, что дальше связано с этим, от формальных категорий прежде  всего
бесконечного, от бесконечного приближения, а затем и  от  дальнейших,  здесь
столь же пустых категорий непрерывной величины и всех  еще  других,  которые
считают нужным ввести, таких как стремление, становление, повод к изменению.
Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т.
е. какую связь и какое  употребление  для  дальнейших  математических  целей
имеет р помимо того ясного определения, для теории совершенно  достаточного,
что оно не что иное, как  полученная  путем  разложения  бинома  производная
функция; об этом будет сказано во втором примечании.  -Здесь  же  мы  прежде
всего разберем  ту  путаницу,  которую  приведенное  выше  столь  обычное  в
изложениях пользование  представлением  о  приближении  внесло  в  понимание
собственной, качественной определенности того отношения,  о  котором  прежде
всего шла речь.
   Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают  собой
исчезание членов отношения как определенных количеств и что  то,  что  после
этого  остается,  есть  их  количественное  отношение,  исключительно   лишь
поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение  здесь
утрачивается столь мало, что оно скорее есть именно то,  что  получается  от