метод, т. е. не то, чтб  выведено  из  признанных  принципов.  Подобные  так
называемые  методы  Лейбниц  воспринял  от  своего  времени;  Ньютон   также
воспринял их от своего времени,  а  непосредственно  -  от  своего  учителя;
обобщением их формы и их применимости они проложили новые пути в науках, но,
занимаясь этим, они чувствовали также потребность освободить образ  действия
от формы чисто внешних правил и старались дать ему надлежащее обоснование.
   Анализируя метод более подробно, мы увидим, что истинный ход  действия  в
нем  таков.  Во-первых,  степенные   определения   (разумеется,   переменных
величин), содержащиеся в уравнении, низводятся до их первых функций. Но этим
меняется значение членов уравнения. Поэтому уже нет  уравнения,  а  возникло
лишь отношение между первой функцией  одной  переменной  величины  и  первой
функцией другой. Вместо рх = у2 мы имеем р : 2у или вместо lax  -  х2  =  у2
имеем а - х : у, что впоследствии стали dv обычно обозначать  как  отношение
x/y . Уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, целиком зависящее от
него и производное (выше - согласно одному  лишь  правилу)  от  него,  есть,
напротив, линейное отношение, которому пропорциональны определенные линии; р
: 2у или а - х : у  сами  суть  отношения  прямых  линий  кривой,  а  именно
отношения координат и параметра; но этим мы еще ничего не узнали.  Мы  хотим
знать о других встречающихся в  кривой  линиях,  что  им  присуще  указанное
отношение, хотим найти равенство двух отношений.  -  Следовательно,  вопрос,
во-вторых, состоит в том, какие прямые линии, определяемые природой  кривой,
находятся в таком отношении? - Но это то, что уже  ранее  было  известно,  а
именно, что  такое  полученное  указанным  путем  отношение  есть  отношение
ординаты к  подкасательной.  Древние  нашли  это  остроумным  геометрическим
способом; изобретатели же нового времени открыли лишь  эмпирический  способ,
как  придать  уравнению  кривой  такой  вид,  чтобы  получилось  то   первое
отношение, о котором уже было известно, что оно равно отношению, содержащему
ту линию (здесь - подкасательную), которая подлежит определению. Отчасти это
придание уравнению желаемого вида было задумано и  проведено  методически  -
дифференцирование, - отчасти  же  были  изобретены  воображаемые  приращения
координат и воображаемый,  образованный  из  этих  приращений  и  такого  же
приращения     касательной     характеристический     треугольник,      дабы
пропорциональность отношения, найденного путем понижения степени  уравнения,
вместе с отношением ординаты и подкасательной была представлена не как нечто
эмпирически взятое лишь из давно знакомого, а как нечто  доказанное.  Однако
это давно знакомое оказывается вообще (а наиболее очевидно в указанной  выше
форме правил) единственным поводом и соответственно единственным  основанием
для    допущения    характеристического     треугольника     и     указанной
пропорциональности.
   Лагранж отбросил это подобие доказательности (Simulation)  и  вступил  на
подлинно научный путь; его методу мы обязаны тем, что усмотрели, в чем дело,
так как он состоит в том, чтобы отделить друг  от  друга  те  два  перехода,
которые следует сделать для решения задачи,  и  рассматривать  и  доказывать
каждую из этих сторон  отдельно.  Одна  часть  этого  решения  -  при  более
подробном изложении хода действия мы продолжаем  пользоваться  как  примером
элементарной задачей нахождения подкасательной  -  теоретическая  или  общая
часть, а именно нахождение  первой  функции  из  данного  уравнения  кривой,
регулируется  особо;  эта   часть   дает   некоторое   линейное   отношение,
следовательно, отношение прямых линий, встречающихся в  системе  определения
кривой. Другая часть решения  состоит  в  нахождении  тех  линий  в  кривой,
которые находятся в указанном отношении. Это  теперь  осуществляется  прямым
путем (Theorie des fonct. anal., p.  II,  ch.  II),  т.  е.  не  прибегая  к
характеристическому  треугольнику,  а  именно  к  бесконечно  малым   дугам,
ординатам и абсциссам, и не давая им определений  ау  и  dx,  т.  е.  членов
указанного отношения, а также не устанавливая в то же время  непосредственно
значения равенства этого отношения с  самими  ординатой  и  под-касательной.
Линия (равно как и точка) имеет свое определение лишь  постольку,  поскольку
она составляет сторону некоторого треугольника, и  определение  точки  также
имеется лишь в  треугольнике.  Это,  скажем  мимоходом,  основное  положение
аналитической геометрии, которое приводит к  координатам,  или,  чтб  то  же
самое, в механике  к  параллелограмму  сил,  именно  поэтому  совершенно  не
нуждающемуся  в  больших  усилиях  доказать  его.  -  Подкасательная  теперь
принимается за сторону  треугольника,  другие  стороны  которого  составляют
ордината и соотносящаяся с ней касательная. Последняя как прямая линия имеет
своим уравнением р - aq  (прибавление  +  Ь  бесполезно  для  определения  и
делается лишь ради излюбленной всеобщности); определение отношения p/q  есть
а, коэффициент величины  q,  который  есть  соответственная  первая  функция
уравнения, но который должен вообще рассматриваться лишь как а =  p/q  ,  т.
е., как сказано, как сущностное определение прямой  линии,  применяемой  как
касательная  к  данной  кривой.  Далее,  поскольку  берется  первая  функция
уравнения кривой, она также определение некоторой прямой линии;  далее,  так
как  р,  одна  координата  первой  прямой  линии,  и  у,  ордината   кривой,
отождествляются, стало быть, точка, в которой указанная первая прямая линия,
принимаемая как касательная, соприкасается с кривой,  есть  также  начальная
точка прямой линии, определяемой первой функцией кривой, то все дело в  том,
чтобы показать, что эта вторая прямая линия совпадает с первой, т.  е.  есть
касательная, или, выражаясь алгебраически, показать, что так как у = fх и  р
= fq, а теперь принимается, что у=р, стало быть, fx=fQ,, то и  f`x=F'Q.  Что
употребляемая как касательная прямая и та прямая линия,  которая  определена
из уравнения  его  первой  функцией,  совпадают,  что  вторая  прямая  есть,