дифференциальном  исчислении,  с  другой  -  основание  ее  введения  в  это
исчисление. И то и другое - абстрактные и потому сами по себе также и легкие
определения. Так называемое применение представляет больше трудностей, равно
как и более интересную сторону; элементы этой  конкретной  стороны  составят
предмет настоящего примечания. -
   Дальше  нечему   учиться;   выведение   ближайших   форм,   дифференциала
произведения, показательной функции и  т.  д.  получается  из  этой  формулы
механически; в короткое  время,  в  каких-нибудь  полчаса  -  с  нахождением
дифференциалов дано также и обратное: нахождение первоначальной  функции  на
основании дифференциалов, интегрирование  -  можно  овладеть  всей  теорией.
Задерживает на ней  дольше  лишь  старание  усмотреть,  сделать  [для  себя]
понятным, каким образом после  того,  как  одна  сторона  (Umstand)  задачи,
нахождение  этого  коэффициента,  решена  так  легко  аналитическим,  т.  е.
совершенно   арифметическим   способом,   посредством   разложения   функции
переменной  величины,   приобретшей   через   приращение   форму   двучлена,
оказывается правильной также и другая сторона, а  именно  отбрасывание  всех
членов возникающего ряда, кроме первого. Если бы было так,  что  единственно
лишь этот коэффициент и нужен, то после его  нахождения  (Bestinunung)  было
бы, как мы сказали, менее чем за полчаса покончено  со  всем,  что  касается
теории, и  отбрасывание  прочих  членов  ряда  представляло  бы  столь  мало
затруднений, что скорее о них как о членах ряда (как второй, третьей и т. д.
[производной]  функции  их  определение  равным  образом  уже  закончено   с
определением первого члена)  вовсе  и  не  было  бы  речи,  так  как  в  них
совершенно нет надобности.
   Можно  здесь  предпослать  замечание,  что  по  методу  дифференциального
исчисления  сразу  видно,  что  он  изобретен  и  установлен  не  как  нечто
самодовлеющее; он не только не обоснован сам  по  себе,  как  особый  способ
аналитического действия, но насильственность, заключающаяся в том, что прямо
отбрасываются члены, получающиеся посредством разложения  функции,  несмотря
на то, что все это разложение признается полностью относящимся к делу -  ибо
дело  именно  и  усматривается  в  отличии  разложенной  функции  переменной
величины (после того  как  ей  придана  форма  двучлена)  от  первоначальной
функции, - скорее совершенно противоречит всем математическим  принципам.  И
потребность в таком образе действий, и отсутствие внутреннего его оправдания
сразу же указывают на то, что его источник и основание находятся где-то  вне
его. Это не единственный случаи в науке, когда то, что ставится вначале  как
элементарное и из чего, как предполагают,  должны  быть  выведены  положения
данной науки, оказывается неочевидным и имеющим свою причину  и  обоснование
скорее в последующем.  История  возникновения  дифференциального  исчисления
показывает, что оно имело свое начало главным образом как бы в кунштюках - в
различных так называемых методах касательных; после того как образ  действия
был распространен и на другие предметы, он был осознан позднее и  выражен  в
абстрактных формулах, которые теперь старались также возвысить до принципов.
   Выше мы показали, что определенность понятия  так  называемых  бесконечно
малых есть качественная определенность таких количеств, которые прежде всего
как определеннные количества положены находящимися в отношении друг к другу,
а затем в связи с этим присоединялось эмпирическое  исследование,  ставившее
себе целью обнаружить эту определенность понятия в имеющихся  описаниях  или
дефинициях  бесконечно  малого,  которые  берут  его  как  бесконечно  малую
разность и тому подобное. - Мы это сделали лишь для того,  чтобы  достигнуть
абстрактной определенности понятия, как таковой.  Дальше  возникает  вопрос:
каков переход от нее к математической форме и ее применению. Для  этой  цели
прежде всего нужно  развить  дальше  теоретическую  сторону,  определенность
понятия, которая окажется в самой себе не совсем бесплодной;  затем  следует
рассмотреть отношение ее к применению  и  доказать  относительно  их  обоих,
насколько это здесь уместно, что [получающиеся] общие выводы в то  же  время
соответствуют тому, что принадлежит к сущности дифференциального исчисления,
и тому способу, каким оно достигает своей цели.
   Прежде всего следует напомнить, что мы уже объяснили мимоходом ту  форму,
которую   имеет   в   области   математики   рассматриваемая   нами   теперь
определенность   понятия.   Мы    показали    качественную    определенность
количественного сначала  в  количественном  отношении  вообще;  но  уже  при
разъяснении различных так называемых видов счета (см.  относящееся  к  этому
примечание) мы, забегая вперед, указали, что именно в  степенном  отношении,
которое нам предстоит еще рассмотреть в своем месте, число через приравнение
моментов его понятия, единицы и численности, положено  как  возратившееся  к
самому себе, и тем  самым  оно  приобретает  в  себе  момент  бесконечности,
для-себя-бытия, т. е. определяется самим собой. Ясно выраженная качественная
определенность величин принадлежит, таким образом (это также было  упомянуто
выше), по своему существу к степенным  определениям,  а  так  как  специфика
дифференциального  исчисления  заключается  в   том,   что   оно   оперирует
качественными формами величин, то свойственным ему математическим  предметом
необходимо должно быть  рассмотрение  форм  степеней,  и  все  задачи  и  их
решения, ради которых применяется дифференциальное  исчисление,  показывают,
что  интерес  в  них  состоит  единственно  лишь  в  рассмотрении  степенных
определений, как таковых.
   Как ни важна эта основа и хотя она сразу же ставит на первое место  нечто
определенное, а не чисто формальные категории  переменных,  непрерывных  или
бесконечных величин и т. п. или  только  функции  вообще,  она  все  же  еще
слишком обща;