аших дней, относятся к противоположной 
партии. В наши дни возникла философская школа, которая ставит себе целью 
устранить пифагорейство из принципов математики и соединить эмпиризм с 
заинтересованностью в дедуктивных частях человеческого знания. Цели этой школы 
менее эффектны, чем у большинства философов прошлого, но многие ее достижения 
столь же значительны, как и достижения людей науки.

Эта философия обязана своим происхождением достижениям математиков, задавшихся 
целью очистить свой предмет от ошибок и неряшливых выводов. Великие математики 
XVII века были настроены оптимистически и стремились к быстрым результатам, 
поэтому они и не дали надежного обоснования исчислению бесконечно малых величин 
и аналитической геометрии. Лейбниц верил в реальность бесконечно малых величин, 
но, хотя эта вера соответствовала его метафизике, в математике она не имела 
твердой основы. В середине XIX века Вейерштрасс показал, как можно обосновать 
исчисление без бесконечно малых величин, и, таким образом, сделал его, наконец, 
логически надежным. Затем пришел в математику Георг Кантор, развивавший теорию 
непрерывности и бесконечных чисел. Слово «непрерывность», до того как Кантор 
дал ему определение, было неясным, удобным для философов типа Гегеля, которые 
хотели внести в математику метафизическую путаницу. Кантор придал точное 
значение этому слову и показал, что непрерывность, как он ее определял, — это 
понятие, в котором нуждаются математики и физики. Благодаря этому многие учения 
мистиков, вроде Бергсона, были признаны устаревшими.

Кантор также разрешил давнишнюю логическую загадку бесконечных чисел. Возьмем 
ряд целых чисел, начиная с 1, сколько их? Ясно, что их число не конечно. Перед 
тысячей имеется тысяча чисел, перед миллионом — миллион. Какое бы конечное 
число мы ни назвали, ясно, что общее количество целых чисел больше этого, так 
как от единицы до данного числа имеется как раз данное число чисел, и ведь есть 
еще и другие числа, которые больше данного. Число конечных целых чисел должно 
быть поэтому бесконечным числом. Но дальше следует любопытный факт. Число 
четных чисел должно быть таково же, как и число всех целых чисел. Рассмотрим 
два 
ряда:
1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 2, 4, 6, 8, 10, 12 ...

Каждому из чисел верхнего ряда соответствует число в нижнем ряду, поэтому число 
членов в обоих рядах должно быть одинаково, хотя нижний ряд состоит только из 
половины членов верхнего ряда. Лейбниц, заметивший это, считал это 
противоречием и заключил, что хотя имеются бесконечные совокупности, но не 
имеется бесконечных чисел. Наоборот, Георг Кантор смело отрицал наличие здесь 
противоречия. Он был прав: это только кажется странным.

Георг Кантор определил «бесконечное» множество как имеющее части, содержащие 
столь же много членов, как и все множество. На этой основе он смог построить 
наиболее интересную математическую теорию бесконечных чисел, включив в область 
точной логики целую область, до этого полную мистицизма и путаницы.

Следующей значительной фигурой был Фреге, который опубликовал свою первую 
работу в 1879 году, а в 1884 году дал свое определение «числа». Но, несмотря на 
то что его исследования открывали новую эпоху, он оставался непризнанным до тех 
пор, пока в 1903 году я не привлек внимания к его работам. Интересно отметить, 
что все определения числа, предложенные до Фреге, содержали элементарные 
логические ошибки. Обычно «число» раньше отождествляли с «множественностью, 
совокупностью». Однако конкретный пример «числа» — это определенное число, 
скажем, 3, а конкретный пример 3 — это определенная тройка. Тройка и есть 
совокупность, а класс всех троек, который Фреге отождествляет с числом 3, есть 
совокупность совокупностей, а число вообще, частным случаем которого является 3,
 есть совокупность совокупностей совокупностей. Элементарная грамматическая 
ошибка, состоящая в смешении числа вообще с простой совокупностью данной тройки,
 сделала всю философию числа до Фреге переплетением абсурда в самом строгом 
смысле слова. Из работ Фреге следует, что арифметика и чистая математика в 
общем есть не что иное, как продолжение дедуктивной логики. Это опровергает 
теорию Канта о том, что арифметические суждения являются «синтетическими» и 
заключают в себе ссылку на время. Дальнейшее выведение чистой математики из 
логики было детально осуществлено Уайтхедом и мной в «Principia Mathematica».

Постепенно становилось ясным, что большую часть философии можно свести к так 
называемому «синтаксису», хотя это слово надо здесь использовать в более 
широком смысле, чем к этому привыкли до сих пор. Некоторые ученые, в 
особенности Карнап, выдвинули теорию, что все философские проблемы в 
действительности являются синтаксическими, и если избежать ошибок в синтаксисе, 
то любая философская проблема будет или решена средствами синтаксиса, или будет 
показана ее неразрешимость. Я думаю, и Карнап теперь согласится, что это 
преувеличение, но нет сомнения, что пригодность философского синтаксиса для 
решения традиционных проблем очень велика.

Я проиллюстрирую эту пригодность кратким объяснением того, что называют теорией 
дескрипций. Под «дескрипцией» я подразумеваю такую фразу, как, например, 
«теперешний президент Соединенных Штатов», где обозначается какая-то личность 
или вещь, но не именем, а некоторым свойством, принадлежащим, как предполагают 
или как известно, исключительно этой личности или вещи. Такие фразы причиняли 
раньше много неприятностей. Предположим, я говорю: «Золотая гора не существует»,
 — и пр