зависимости от выбора системы отсчета, но длина отрезка остается неизменной. 
Она 
служит инвариантом координатных преобразований. Мы можем представить себе иную 
формулу, связывающую длину отрезка с координатами его концов. Мы можем изменить 

и другие основные допущения геометрии и при этом не приходим к противоречиям. 
Такая возможность избирать различные исходные допущения и не приходить при этом 

к противоречиям нанесла сильный удар идее априорного пространства.

Кант считал априорными, присущими сознанию, независимыми от опыта соотношения 
геометрии Евклида. В III в. до н. э. Евклид вывел всю совокупность теорем 
геометрии из нескольких независимых одна от другой аксиом. Среди последних 
находился так называемый постулат параллельных, эквивалентный утверждению, что 
из точки, взятой вне прямой, можно провести только одпу прямую, не 
пересекающуюся с данной. Из этого постула-

74

та выводится равенство суммы углов треугольника двум прямым углам, 
параллельность перпендикуляров к одной и той же прямой и ряд других теорем. Из 
него выводится, в частности, формула, позволяющая найти длину отрезка, если 
заданы координаты его концов.

В 1826 г. Н. И. Лобачевский доказал, что может существовать иная, неевклидова 
геометрия, отказывающаяся от постулата параллельных. В геометрии Лобачевского 
через точку, взятую вне прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, 
не 
пересекающихся с данной. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского 
меньше двух прямых углов, перпендикуляры к прямой расходятся. Длина отрезка 
определяется в ней по координатам концов иначе, чем в геометрии Евклида.

Тридцать лет спустя Бернгард Риман заменил евклидов постулат параллельных 
утверждением, что через точку, взятую вне прямой, нельзя провести ни одной 
прямой, не пересекающей данную прямую. Иначе говоря, в геометрии Римана 
параллельных прямых нет. В геометрии Римана сумма углов треугольника нe равна 
двум прямым углам, как в геометрии Евклида, и не меньше их, как в геометрии 
Лобачевского, а больше двух прямых углов. Перпендикуляры к прямой не 
параллельны 
и не расходятся; в геометрии Римана они сходятся. Длина отрезка определяется по 

координатам его концов иначе, чем в геометрии Евклида, и иначе, чем в геометрии 

Лобачевского.

Эти парадоксальные утверждения геометрии Лобачевского и геометрии Римана 
приобретают простой и наглядный смысл, если мы нарисуем геометрические фигуры 
не 
на плоскости, а на кривой поверхности. Возьмем поверхность сферы. Роль прямых 
на 
плоскости здесь будут играть кратчайшие дуги, примером которых могут служить 
дуги меридианов на поверхности Земли или дуги экватора. Но каждые два меридиана 

обязательно пересекутся, следовательно, на поверхности сферы нельзя найти 
параллельные кратчайшие линии. Перпендикуляры к экватору - ими как раз и 
являются меридианы - сходятся в полюсе. Нарисовав на поверхности сферы 
треугольник, образованный дугой экватора и двумя меридианами, т.е. с вершиной в 

полюсе, мы убедимся, что сумма углов этого треугольника больше двух прямых 
углов. Длина кратчайшего отрезка на поверхности сферы определяется иначе, иной 
формулой, чем длина кратчайшего отрезка на плоскости.

75

Можно найти кривую поверхность, па которой, при замене прямых кратчайшими на 
этой поверхности кривыми, так называемыми геодезическими линиями, все 
соотношения подчиняются геометрии Лобачевского: через точку, взятую вне такой 
линии, можно провести множество геодезических линий, не пересекающихся с данной,
 
сумма углов образованного такими линиями треугольника меньше двух прямых углов, 

перпендикуляры расходятся и т.д.

Можно заменить переход от евклидовой геометрии к неевклидовой геометрии на 
плоскости - искривлением этой плоскости.

Но как представить себе неевклидову геометрию в пространстве переход от 
трехмерной евклидовой геометрии к трехмерной неевклидовой геометрии? 
Зрительного 
образа искривления трехмерного пространства мы не находим. Но мы можем считать