| |
определяется дугой экватора НЕ, восходящей одновременно с дугой эклиптики.
При этом время восхода произвольной дуги эклиптики АЯ = Х% - Я) будет равно
р(АЯ) =р(Я2)-р(Я)) на данной географической широте <р. Таким образом, задача
сводится к предвычислению значений функции р(Я) для различных Я и (р.
Птолемей решает задачу в табличном виде, определяя значения р(Я) через 10°
изменения долготы для 11 значений географической широты от <р = 0° (прямая
сфера) до <р = 54; 1° (таблица значений функции приведена в гл.8).
Предварительно
он доказывает соотношения симметрии, позволяющие свести вычисление р(Я) к ее
значениям при 0 < Я ? 90°:
1) времена восхода равных дуг эклиптики, расположенных симметрично относи-
тельно точек равноденствий, равны;
2) сумма времен восхода двух дуг эклиптики, расположенных симметрично
относительно точек солнцестоянии, равна сумме времен восхода этих же дуг в
прямой сфере.
Вычисления Птолемей производит двумя различными способами. Пусть на
рис. 2-С ВА — линия горизонта, АЕГ — небесный экватор, ZHA0 — эклиптика,
Н — точка весеннего равноденствия, К — полюс небесного экватора. Искомая дуга
р(Л) = ЕН, восходящая на горизонте одновременно с дугой эклиптики Л = НА. Дуга
ЕН определяется как разность дуг НМ и ЕМ, т.е. ЕН = НМ — ЕМ. Дуга НМ есть
дуга небесного экватора, отсчитываемая от точки весеннего
равноденствия Н до точки его пересечения с перпендику-
лярным ему кругом склонения КМ, проходящим через точку
А эклиптики, т.е., по определению, есть не что иное как
прямое восхождение а(Я) точки А. Дуга ЕМ = Да (п2,
fe согласно обозначению, принятому в НАМА) представляет
собой разность дуг НМ и НЕ, т.е. Да = а — р(Д), отсюда
р(Л) = а(Л) - Да(Л). (6)
Задача, таким образом, сводится к определению ве-
личины ЕМ = Да(Д) при заданном значении прямого
восхождения а(Д). В средневековой астрономии стран ислама
величина ЕМ = Да называлась «уравнением дня», а в средневековой европейской
астрономии — «разностью восхождений».
Для определения дуги ЕМ Птолемей рассматривает полный сферический
четырехсторонник ЕГКЛ, в котором, согласно теореме Менелая,
Crd 20К Crd 2КЛ Crd 2ЕМ
Crd 20Г ~ Crd 2ЛМ Crd 2ЕГ
или, если перейти от хорд к синусам,
sin 0К _ sin КЛ sin ЕМ
sin 0Г — sin AM sin ЕГ '
но так как 0К = <р, 0Г = 90° - <р, ЛМ = <5, КЛ = 90° - <5, ЕГ = 90°, то
выражение
принимает вид
sin ЕМ,
sin <5
sin (90° - <р)
откуда
sin ЕМ = sin Да = tg <р tg <5. (7)
Этот результат можно получить и проще — из прямоугольного сферического
треугольника ЕЛМ с прямым углом М и углом в Е, измеряемым дугой
ДГ = 90° — Ф. В этом треугольнике sin Да = sin ЕМ =
tg <5 tg <р. Таким образом,
р(Д) = а(Д) - arcsin (tg 6 tg
|
|
