РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ



КЛАВДИЙ ПТОЛЕМЕЙ





Альмагест
ИЛИ
Математическое сочинение
в тринадцати книгах
*
Перевод с древнегреческого
И. Н. Веселовского











щ

МОСКВА
НАУКА • ФИЗМАТЛИТ
19 9 8

УДК 521
ББК 22.6
П 87

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований   по   проекту   97-01-14124






ОТВЕТСТВЕННЫЕ   РЕДАКТОРЫ:
В.А.АМБАРЦУМЯН, А.Т.ГРИГОРЬЯН, Г.П.МАТВИЕВСКАЯ




Птолемей К. Альмагест: Математическое сочинение в тринадцати книгах:
Пер. с древнегреч. И.Н.Веселовского /Ин-т истории естествознания и техники РАН;
Науч. ред. Г.Е.Куртик. — М.: Наука. Физматлит, 1998. — 672 с. — ISBN 
5-02-015167-Х.
    Первый русский перевод классического труда великого ученого древности 
Клавдия
Птолемея. Сочинение представляет собой полный свод античной астрономии, который
на протяжении полутора тысяч лет служил основой астрономических познаний и на
средневековом арабском Востоке, и в Европе вплоть до эпохи Возрождения. На него
опирался создатель новой астрономии Николай Коперник, воспринявший из учения
Птолемея все рациональное. Приложения и комментарии к переводу подготовлены
научными сотрудниками Института истории естествознания и техники РАН.
Для историков науки, астрономов, математиков.
Табл. 277. Ил. 44. Библиогр. 195 назв.













Научный   редактор Г.Е.КУРТИК

ТП-98-П-187
ISBN 5-02-015167-Х

© И.Н.Веселовский.
   Перевод на русский язык, 1998
© Наука. Физматлит, оформление, 1998
   
От редактора
   
   Настоящее издание представляет собой публикацию перевода с древне-
греческого языка на русский знаменитого астрономического сочинения
Клавдия Птолемея, известного под названием «Альмагест». Написанное во
II в. н.э., это произведение сыграло совершенно особую роль в истории
науки. В нем получили отражение все или почти все наиболее значительные
достижения античной астрономии. На протяжении полутора тысяч лет,
будучи переведено с греческого сначала на арабский, а затем на латинский
языки, оно считалось наиболее авторитетным источником астрономических
знаний на средневековом Востоке и в Европе. Создатель гелиоцентрической
астрономической теории Николай Коперник (1473-1543) опирался на
традицию Птолемея и многое воспринял из его учения.
   Перевод «Альмагеста» на русский язык выполнен крупнейшим исследо-
вателем истории античной науки, знатоком древнегреческого и латинского
языков И.Н.Веселовским (1892-1977). Основой для перевода послужило
издание греческого текста «Альмагеста» под редакцией И.Гейберга
[Hei I, II ] — единственного в настоящее время издания, удовлетворяющего
научным требованиям.
   Перевод И.Н.Веселовского отличается по своим принципиальным уста-
новкам от переводов «Альмагеста» на другие европейские языки. В немецком
издании К.Манициуса [НА I, II] и в английском издании Дж.Тумера [РА],
наиболее авторитетных среди историков астрономии, широко используется
современная астрономическая терминология, текст Птолемея в них сущест-
венно модернизирован. Русский перевод максимально приближен к ори-
гинальному греческому тексту. Его автор практически не пользуется
современными научными обозначениями и терминами и переводит Птолемея,
как правило, буквально: эклиптика — это «круг, проходящий через
середины зодиакальных созвездий», или «наклонный круг», небесный
экватор — «равноденственный круг», меридиан — «полуденный круг»,
высота — «дуга круга, проходящего через полюсы горизонта», хорда —
«прямая линия в круге» и т.д. Стилистически и терминологически перевод
И.Н.Веселовского позволяет составить более полное и точное представление
о греческом тексте «Альмагеста», чем переводы К.Манициуса и Дж.Тумера.
   Коллектив историков науки, занимавшихся подготовкой настоящего
издания, максимально бережно относился к тексту перевода, который, тем
не менее, потребовал большой редакторской работы, затрагивающей как
стиль, так, порой, и его смысл. Это объясняется двумя причинами.
Во-первых, труд И.Н.Веселовского не был завершен. Не вызывает сомнения,
что ему пришлось бы еще не раз возвращаться к тексту перевода при
работе над комментариями. Во-вторых, со времени окончания работы вышло
в свет несколько фундаментальных исследований (главнейшие из них —
   
НАМА, SA, РА) и большое число работ, посвященных частным вопросам,
по новому осветивших содержание многих мест в «Альмагесте».
    В необходимых случаях перевод И.Н.Веселовского сверялся с греческим
текстом, а также с переводами К.Манициуса и Дж.Тумера. В нем также
учтены исправления, внесенные по различным соображениям в греческий
текст его исследователями со времени выхода в свет издания И.Гейберга.
В квадратных скобках помещены отдельные слова и выражения, допол-
няющие текст Птолемея или уточняющие его смысл. В названиях глав
квадратные скобки опущены. На полях проставлены страницы издания
греческого текста в [Hei I ] или [Hei II ].
   Каждая из тринадцати книг греческого текста «Альмагеста» начинается
с оглавления, представляющего перечень названий глав данной книги. Мы
свели их в единое оглавление, следуя в этом К.Манициусу и Дж.Тумеру.
   Текст перевода снабжен комментариями, в которых представлена
необходимая справочная информация, облегчающая понимание текста
Птолемея, предлагается интерпретация наиболее трудных вопросов его
астрономической системы с позиций современной истории науки, приводятся
результаты многочисленных исследований, посвященных «Альмагесту».
   Основная работа по подготовке издания «Альмагеста» Птолемея на
русском языке выполнена в Секторе истории физики, механики и астрономии
Института истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова РАН.
Творческая и неизменно благожелательная атмосфера в секторе в немалой
степени способствовала ее завершению. Различного рода проблемы, связан-
ные с подготовкой настоящего издания, регулярно обсуждались на заседаниях
Общемосковского объединенного семинара по истории астрономии.
   Работа над текстом перевода и комментариями распределилась следу-
ющим образом: книги I—III подготовлены М.М.Рожанской (при участии
Г.Е.Куртика), книги IV—XIII — Г.Е.Куртиком. В примечаниях к главе 10
книги I использованы материалы, представленные Г.П.Матвиевской. Текст
перевода книг VII—VIII отредактирован М.Ю.Шевченко. Список литературы,
предметно-именной указатель, список обозначений составлены Г.Е.Куртиком.
   Благодарим дирекцию Института истории естествознания и техники РАН,
ученых секретарей института И.С.Дровенникова и О.А.Соколову за
всестороннюю помощь при подготовке настоящего издания. Приносим также
искреннюю благодарность В.С.Кирсанову за помощь в приобретении
важнейших материалов, касающихся зарубежных изданий «Альмагеста».
Выражаем особую признательность В.А.Бронштэну за внимательное проч-
тение рукописи комментариев и сделанные замечания.
   Благодарим коллектив сотрудников Издательской фирмы «Физико-мате-
матическая литература», без самоотверженных усилий которых настоящее
издание не могло бы увидеть свет.
Г.Е.Куртик

Книга I

1. Введение1
Мне кажется, о Сир , что истинные философы поступили очень хорошо,
отделив теоретическую часть философии от практической. Действительно,
„з
если даже ранее практическая часть соединялась с теоретической , то тем
не менее между ними можно обнаружить большое различие. Во-первых,
хотя некоторые моральные добродетели могут оказаться присущими многим
людям, не получившим образования, но исследование Вселенной невозможно
без предварительного обучения. Во-вторых, у первых наибольший выигрыш
получается за счет непрерывной практической деятельности, а у других —
5	в продвижении теоретических исследований. Поэтому мы считаем необ-
ходимым, с одной стороны, держать наши действия в строгой мере под
управлением наших умственных представлений, чтобы во всех жизненных
ситуациях сохранять прекрасный и хорошо устроенный идеал, а с другой —
употребить все силы главным образом для изучения многих и прекрасных
теорий и прежде всего принадлежащих к той области знания, которую
называют математикой в узком смысле этого слова.
Теоретическую часть философии Аристотель очень удачно делит на три
основных вида: физику, математику и теологию4. Действительно, все
существующее имеет свое бытие в материи, форме и движении. Каждое из
этих начал мы не можем созерцать само по себе — отдельно и независимо
от других. Их можно только мыслить. Если выделить в простейшей форме
первопричину первого движения Вселенной, то это был бы незримый и
неизменный Бог. Исследующий его раздел [теоретической философии] —
теология — занимается силой, расположенной в высочайших частях этого
мира, и ее мы можем постигнуть только умом как совершенно отделенную
от всего, могущего быть воспринятым чувствами. Раздел [теоретической
философии], исследующий материальную и вечно изменяющуюся качест-
венность в виде белизны, теплоты, сладости, мягкости и тому подобного,
называется физикой, и предмет ее имеет свое бытие главным образом в
том, что подвержено тлению и находится ниже лунной сферы. Наконец,
6	вид знания, выясняющий формы и движения качественности, а именно
фигуры, количества, размеры, а также место, время и тому подобное, что
нам надлежит исследовать, можно определить как математический. К нему
относится то, что имеет бытие, он занимает, так сказать, среднее положение
между двумя приведенными выше, во-первых, потому что его объекты
можно мыслить и при помощи чувственных восприятий, и вне их, во-вторых,
также и потому, что это вообще свойственно всем существам — как
смертным, так и бессмертным. У непрерывно изменяющихся существ оно

6

1.1. Введение


меняется вместе с неотделимой от них формой, у вечных и имеющих
эфирную5 природу оно сохраняет неподвижную и неизменную форму.
    Рассуждая таким образом, можно сказать, что два другие раздела
теоретической философии скорее можно назвать как бы гаданием, а не
научным познанием; теологическую — потому что она трактует о вещах
невидимых и не могущих быть воспринятыми, физическую же — вследствие
неустойчивости и неясности материальных форм; вследствие этого нельзя
даже надеяться, что относительно этих предметов можно будет добиться
согласия между философами. Одна только математическая часть, если
подходить серьезно к ее исследованию, доставляет занимающимся ею
прочное и надежное знание, ибо она дает доказательства, идя двумя путями,
с которых невозможно сбиться: арифметическим и геометрическим. Поэтому
мы предпочли заниматься по возможности этим разделом теоретической
философии и, главным образом, той ее частью, которая рассуждает о
божественных и небесных предметах. Ибо только она одна занимается
исследованием вечных и неизменных предметов. По этой причине, являясь ^
по существу вполне ясной и упорядоченной (а в этом заключается основной
признак науки), она может и сама вечно оставаться такой же самой. Кроме
того, не менее, чем два других раздела [теоретической] философии, она
может быть полезна для понимания других предметов. Действительно,
математика может лучше всего подготовить путь для понимания бого-
словских предметов, так как только она одна в состоянии успешно судить
о неподвижной и обособленной от материи движущей силе вследствие своей
близости к вещам, которые хотя и чувственны, движимы и движущи, но
вместе с тем — вечные неизменные субстанции в отношении течения и
упорядоченности движений. Точно так же она может дать весьма многое
для изучения физики, ибо почти всем материальным субстанциям
свойственно выражать свои особенности при помощи движений, сопровож-
дающихся изменениями места. Тленным соответствуют прямолинейные, а
нетленным — круговые движения, тяжелому же и легкому, пассивному и
активному соответствуют движения к центру или от центра. Она более,
чем все другие [разделы философии], может сделать нас способными к
восприятию добродетельных поступков и нравственного совершенства, так
как, созерцая в божественном одинаковость, упорядоченность, соразмерность
и простоту, она заставляет всех своих последователей любить божественную
красоту, приучая и как бы развивая в них подобное состояние души.
   Так и мы пытаемся увеличить любовь к науке о вечном и неизменном,
преподав то из этой науки, что уже было передано предшествующими нам 8
выдающимися исследователями, но также и со своей стороны внеся в нее
добавления, которые были получены за время, прошедшее от них до нашей
эпохи. Поэтому мы попытаемся все то, что в настоящее время считаем
нужным сообщить, изложить с возможно большей краткостью и так, чтобы
немного продвинувшиеся в этой науке могли следовать далее. Чтобы это
сочинение было вполне законченным, все нужное для науки о небе мы
изложим в свойственном ей порядке. А чтобы не делать это сочинение
очень длинным, все то, что было достаточно точно разъяснено древними,
мы только приведем, то же, что или совсем не было понято, или же понято
недостаточно, мы постараемся в меру наших сил изложить подробнее.
   
2. О последовательности изложения
    Предлагаемое нами сочинение начинается с рассмотрения положения
Земли в целом по отношению ко всему небу. При переходе к
последовательному изложению отдельных частей нам следует  [вначале]
повести речь о положении наклонного круга6, а также отдельных мест
обитаемой нами Вселенной, затем о получающихся для каждого места
ч различиях в положении горизонта вследствие наклона [сферы]. Пред-
варительное рассмотрение всего этого облегчит нам изучение остального.
На втором месте нам следует рассмотреть движение Солнца и Луны и все
соответствующие им явления; без их предварительного усвоения невозможно
исчерпывающим образом рассмотреть все относящееся к светилам. Наконец,
говоря согласно намеченному плану о светилах, нам, конечно, следует
начать с рассмотрения сферы так называемых неподвижных звезд, а после
этого перейти к пяти так называемым блуждающим звездам, или планетам.
Каждый из этих предметов мы попытаемся разъяснить, пользуясь в качестве
начал и оснований при их исследовании очевидными и не вызывающими
сомнений наблюдениями как древних астрономов, так и нашими собствен-
ными, выводя затем из них следствия путем доказательств при помощи
геометрических чертежей.
   Теперь в качестве общего положения мы должны принять, что небо
имеет сферическую форму и движется подобно сфере, затем, что Земля
имеет также вид сферы, если ее рассматривать по всей совокупности ее
частей. По своему положению она расположена в середине неба, являясь
как бы его центром. По величине же и расстоянию относительно сферы
ю   неподвижных звезд она является как бы точкой и не имеет никакого
движения, изменяющего место7. Чтобы освежить это в памяти, сделаем
краткие указания относительно каждого из этих предметов.

3. О том, что небо имеет сферическое движение
    Первое представление об этих предметах, несомненно, получилось у
древних в результате соответствующих наблюдений. Они видели, что
Солнце, Луна и остальные светила движутся с востока на запад и всегда
по кругам, параллельным друг другу. Они начинают подниматься снизу
как будто из самой Земли; поднявшись же немного в высоту, они опять
совершенно так же движутся по кругу и опускаются вниз, пока, наконец,
не исчезнут, как бы уйдя в Землю. После этого они, оставаясь некоторое
время невидимыми, опять восходят и заходят, как бы получив новое бытие,
причем в соответствующие моменты этих движений и в соответствующих
местах восходов и заходов. Они соблюдают совершенно правильный и всегда
один и тот же порядок.
   Представлению о сферичности их движения больше всего способствовало
наблюдение кругового движения незаходящих звезд, совершающегося всегда
вокруг одного и того же центра. Эта точка необходимо стала полюсом всей
и небесной сферы. При этом более близкие к ней звезды описывают меньшие
круги, а более удаленные — большие пропорционально удалению от нее,
пока это расстояние не дойдет до границы заходящих звезд. Те из заходящих
звезд, которые наблюдаются вблизи незаходящих, остаются невидимыми
короткое время. Те же, которые находятся на больших расстояниях, будут
невидимы в течение соответственно большего времени. При помощи только
   
таких наблюдений они получили начало вышеупомянутых представлений,
а затем, при последовательном развитии теории, в соответствии с этим
было объяснено и все остальное, так как все наблюдения полностью
исключали несогласие с этими представлениями.
Действительно, если предположить, что движение светил совершается
о
по прямым линиям в бесконечность, как думали некоторые , то какой
можно было бы выдумать способ, который позволил бы наблюдать каждое
из этих светил ежедневно движущимся из одной и той же начальной точки?
Каким образом смогли бы возвращаться назад устремляющиеся в бесконеч-
ность светила? И каким образом мы могли бы не заметить их возвращения?
И как они могли бы исчезать, не уменьшая понемножку своей величины?
В действительности мы видим противоположное: что они при исчезновении
загораживаются, как бы обрезаемые поверхностью Земли.
Точно так же совсем нелепо было бы думать, что светила зажигаются,
выходя из Земли, а затем гаснут, погружаясь в нее9. Разве можно допустить,
чтобы стройный порядок в величинах и количествах светил, в их
расстояниях, положениях и временах движения соблюдался совершенно
случайно и что такая-то часть Земли имеет зажигательную природу, а
такая-то гасительную? Более того, чтобы одно и то же светило для одних
зажигалось, а для других гасилось или что одни и те же светила для одних
уже оказываются зажженными или погаснувшими, а для других еще нет?
Наконец, говорю я, если бы кто-нибудь и согласился со всем этим, каким
бы смешным оно ни казалось, то что мы должны были бы сказать о вечно
видимых светилах, которые не восходят и не заходят? И по какой причине
зажигающиеся и гаснущие светила везде и всегда восходят и заходят, а не
претерпевающие этого везде и всегда находятся над Землей? Ведь не могут
же одни и те же светила для одних людей всегда зажигаться и гаснуть,
а для других никогда не испытывать ничего подобного, поскольку совершенно
очевидно установлено, что одни и те же светила для одних восходят и
заходят, а для других не совершают ни того, ни другого.
    Одним словом, если предположить для небесного движения какую-нибудь
другую форму, отличную от сферической, то необходимо оказалось бы, что
расстояния от Земли до светил в различных частях видимого неба были
бы неравными, где бы и в каком положении она ни предполагалась
[находящейся]. В таком случае необходимо ожидать, что величины и
взаимные расстояния светил окажутся неравными для одних и тех же
наблюдателей во время каждого обращения, и то же самое расстояние
иногда становилось бы большим или меньшим, чего в действительности не
наблюдается. В самом деле, если у горизонта светила кажутся нам
имеющими несколько большую величину, то это происходит не вследствие
уменьшения расстояния, но вследствие того, что между нашим глазом и
светилом становятся испарения от окружающей Землю влаги, так же, как
кажутся нам большими помещенные в воду предметы, и притом тем больше,
чем ниже они погружены10.
    К представлению о сферичности приводит нас и то, что ни при каком
другом предположении, кроме одного только этого, не могли бы соответст-
вовать друг другу устроенные для измерения времени приборы. Точно так
же, поскольку движение небесных тел не встречает никаких препятствий
и происходит легче всех других движений, ему должна быть свойственна
и наиболее удобоподвижная форма; для плоских фигур это круговое
    
движение, а для пространственных — сферическое. Равным образом [это
происходит] и по той причине, что из различных фигур, имеющих один
и тот же периметр, большей будет содержащая большее число углов, так
что из плоских фигур наибольшей оказывается круг, а из пространствен-
ных — сфера11. Небо же больше всех других тел.
   Кроме этого к принятию указанного предположения побуждают и
некоторые  физические  соображения.   Из   всех   веществ   тончайшим   и
однороднейшим12 является эфир, а у однородных тел должны быть
однородными также граничные поверхности; для плоских фигур однородными
будут только круговые границы, а для телесных — сферические. Поскольку
же эфир представляет собой не плоскую фигуру, но тело, то ему только
и остается быть сферическим. Равным образом все расположенные на Земле
и преходящие тела природа сформировала из фигур, имеющих круглую
форму, но состоящих из неоднородных частей, а все эфирные и
божественные — из однородных и сферических. Так что если бы светила
были плоскими и дисковидными, то в различных местах Земли в одно и
то же время они не казались бы всем наблюдателям имеющими круговую
фигуру. Вследствие этого вполне разумно считать, что окружающий их
эфир, имеющий подобную же природу, тоже сферичен и вследствие
однородности своих частей совершает круговое и равномерное движение.

4. О том, что Земля в целом имеет вид сферы
13
    Что и Земля, взятая в целом , имеет вид сферы, лучше всего можно
понять из следующего. Солнце, Луна и остальные светила не будут
восходящими или заходящими в одно и то же время для всех находящихся
на поверхности Земли. Они всегда восходят сначала для живущих на
востоке, а потом для живущих на западе. Действительно, совершающиеся
в одно и то же время затмения, по большей части лунные, как мы находим
из всех записей, бывают не в одни и те же часы, т.е. не на одинаковых
расстояниях от полудня, но всегда наблюдатели, находящиеся восточнее,
фиксируют часы, более ранние, чем наблюдатели, находящиеся западнее.
И так как разница в часах оказывается пропорциональной расстоянию
между соответствующими местами наблюдений, то совершенно естественно
предположить сферичность поверхности Земли, так как вследствие выпук-
лости Земли в целом, которую мы во всех частях считаем одинаковой,
передние будут всегда двигаться впереди задних пропорционально [разнице
во] времени. Этого не могло бы случиться, если бы форма Земли была
14
иной, что можно видеть также из следующего .
   Действительно, если бы поверхность Земли была вогнутой, то восход
светила казался бы происходящим раньше для более западных наблюдателей.
Если бы она была плоской, то светило восходило бы и заходило в одно и
то же время сразу для всех находящихся на поверхности Земли. Если бы
она была треугольной или четырехугольной или в виде какого-нибудь другого
многоугольника, то опять одно и то же происходило бы также в одно и
то же время для всех обитающих на той же самой прямой, чего, однако,
никоим образом не происходит. А то, что она не имеет формы цилиндра,
кривая поверхность которого обращена к востоку и западу, а плоские
основания — к полюсам мира, как это считали более вероятным некоторые15,
ясно из следующего: никакая звезда не представлялась бы вечно видимой
   
для живущих на кривой поверхности, но звезды или восходили бы и
заходили для всех одинаково, или, оставаясь все время на одинаковом
расстоянии от каждого из полюсов, были бы всегда для всех невидимыми.
В действительности чем больше мы будем продвигаться по направлению к
северу, тем больше будет скрываться южных звезд и открываться северных,
так что и здесь обнаруживается кривизна Земли, производящая такое же
выдвижение вперед, как и в боковых направлениях. Это доказывает, что
Земля сферична повсюду. Кроме того, если мы подплываем к горам или
к каким-нибудь возвышенным местам, то под любым углом и при всяком
направлении движения мы видим, что их величина понемногу увеличива-
ется, как если бы они поднимались из самого моря, а раньше были заслонены
выпуклостью водной поверхности.

5. О том, что Земля находится в середине неба
   Если бы после рассмотрения предыдущего мы поставили вопрос о
положении Земли во Вселенной, то получилось бы, что удовлетворительно
объяснить все происходящие вокруг нее явления можно только при одном "
предположении: Земля находится в середине неба, как бы в центре его
сферы. Действительно, если бы было не так, то мы должны были бы
предположить или что ось [Вселенной] находится вне Земли, а Земля —
на одинаковом расстоянии от каждого из полюсов, или что Земля, находясь
на оси, располагается ближе к одному из полюсов, или, наконец, что Земля
находится и не на оси, и не на одинаковом расстоянии от каждого из
полюсов.
   Первому из этих предположений противоречит то, что если бы мы
представили Землю в различных местах сдвинутой вверх или вниз, то тогда
в предположении прямой сферы никогда не могло бы быть равноденствий,
так как небесная сфера всегда разделялась бы горизонтом на две неравные
части над и под Землей. В предположении же наклонной сферы16 или
равноденствий вообще никогда бы не было, или они происходили бы не
посередине перехода от летнего тропика к зимнему, так как соответствующие
расстояния необходимо оказались бы неравными, ибо равноденственный
круг17 и наибольший круг из параллелей, описываемых при вращении
вокруг полюсов, не делился бы горизонтом пополам. Это могло бы произойти
лишь с одним из кругов, ему параллельных, лежащим или севернее, или
южнее. Однако все вполне согласны, что упомянутые расстояния оказыва-
ются всегда равными, поскольку увеличения [продолжительности] дня от is
равноденствия до наибольшего дня в летнем солнцестоянии будут равны ее
уменьшениям до наименьшего дня в зимнем солнцестоянии. Если бы мы
предположили, что смещение будет к востоку или западу, то тогда величины
и расстояния звезд не казались бы равными и такими же для восточного
и западного горизонтов, и время от восхода светил до прохождения через
меридиан не было бы равным времени от прохождения через меридиан до
захода, а это, очевидно, противоречит всем явлениям.
   Что касается второго предположения, а именно, что Земля, находящаяся
на оси, сдвинута к одному из полюсов, то на это можно возразить
следующее. Если бы действительно было так, то на каждой широте плоскость
горизонта всегда делала бы неравными находящиеся над Землей и под
   
Землей дуги небесных движений, причем эти дуги были бы неравными и
между собой, и по сравнению с дугами на других широтах. Причем горизонт
в этом случае мог бы делить пополам только прямую сферу. При наличии
же наклона, при котором всегда виден более близкий полюс, находящаяся
над Землей часть неба с его увеличением всегда уменьшалась бы, а
находящаяся под Землей — увеличивалась. Таким образом, оказалось бы,
1 о
что большой круг, проходящий через середину зодиака , делится плоскостью
горизонта на неравные части, чего мы в действительности никогда не
наблюдаем. Всегда и везде шесть из двенадцати его делений находятся над
Землей, а шесть остальных невидимы, после чего эти вторые в свою очередь
видимы целиком над поверхностью Земли, а первые одновременно становятся
невидимыми. Таким образом, горизонт делит дуги зодиака пополам,
поскольку те же самые полуокружности разрезаются им таким образом,
что иногда находятся целиком над земной поверхностью, иногда же под
ней.
   И вообще, если бы Земля не была расположена в самой плоскости
равноденственного круга, но отклонялась от нее к северу или к югу в
направлении одного из полюсов, то во время равноденствий на плоскостях,
параллельных горизонту, тень гномона19 при восходе не оказывалась бы
даже приблизительно на одной прямой с тенью гномона при заходе, в то
время как в действительности всегда бывает противоположное. Отсюда ясно,
что нельзя выдвинуть также и третье предположение, так как для него
справедливы все возражения против двух первых гипотез.
   Суммируя, можно сказать: если не предположить, что Земля находится
в середине, то уничтожится полностью весь порядок, усматриваемый нами
в увеличениях и уменьшениях дней и ночей. Кроме того, и лунные затмения
не могли бы иметь места во всех частях неба при диаметрально
противоположных положениях [Луны и] Солнца, поскольку Земля часто
оказывалась бы между ними не только во время их диаметральных
20
прохождений, но и при расстояниях, меньших полуокружности .

6. О том, что по сравнению с небесами Земля является точкой
   
   Существенное доказательство для чувственного восприятия того, что
Земля  является  точкой  по  отношению  к  расстоянию  до  сферы  так
21
называемых неподвижных звезд , состоит в том, что для всех ее мест
величины и расстояния светил в одно и то же время кажутся во всех
отношениях равными и подобными. Произведенные на различных широтах
наблюдения одного и того же [явления] не обнаруживают ни малейших
разногласий. Равным образом следует принять, что помещенные в различных
частях Земли гномоны и центры армиллярных сфер будут поистине
равнозначными с центром Земли и воспроизводят наблюдения и круговые
движения теней так, согласно со сделанными предположениями относительно
небесных явлений, как если бы они были помещены в центральной точке
Земли.
   Наконец, очевидным признаком того, что в действительности дело так
и обстоит, будет то, что проходящие через глаз плоскости, которые мы
называем горизонтальными, везде делят небесную сферу пополам, чего
никак не могло бы произойти, если бы величина Земли была заметной по
   
12

1.7. Земля не совершает никакого поступательного движения


сравнению с расстоянием до небесных тел. В противном случае только одна
плоскость, проведенная через центр Земли, могла бы делить пополам
небесную сферу. Плоскости же, проводимые через любую точку на
поверхности Земли, всегда отсекали бы часть [небесной сферы ], находящую-
ся под Землей, больше той, что над Землей .

7. О том, что Земля не совершает никакого
поступательного движения
   Соображения, подобные предыдущим, могут показать, что Земля не
может ни совершать никакого движения вбок, как было упомянуто выше,
ни вообще когда-нибудь выйти из центрального места. Действительно, тогда
получилось бы то же, как если бы Земля занимала любое положение,
отличное от центрального. Таким образом, мне кажется бесполезным
отыскивать причины движений к центру, так как на основе наблюдаемых
явлений раз навсегда установлено, что Земля занимает центральное
положение в мире и что все тяжелые тела движутся к ней. Для понимания
этого достаточно, пожалуй, будет показать, что если, как мы сказали,
доказаны шаровидность Земли и ее нахождение в центре Вселенной, то во
всех ее частях стремления24 и движения тел, обладающих тяжестью (я говорю,
25
конечно, о [естественных] движениях ), всегда и везде происходят под
прямыми углами к не имеющей никакого наклона касательной плоскости,
проведенной в точке падения. Действительно, из всего этого очевидно, что,
если бы не препятствовала земная поверхность, все тела встретились бы в
центре Земли, так как проведенная к центру прямая линия всегда образует
прямые углы с касательной к шару плоскостью, проведенной через точку
пересечения с прямой в месте касания.
    Кто полагает странным, что Земля, обладающая такой громадной
тяжестью, ни на что не опирается и не движется, как мне кажется,
совершает ошибку, делая вывод из того, что он замечает в отношении себя,
и не обращая внимания на то, что свойственно миру, взятому в целом. Я
полагаю, что все это не показалось бы удивительным, если бы они подумали,
что вся Земля по отношению ко всей окружающей ее телесной среде
является точкой. Действительно, тогда оказалось бы, что Земля, являясь
наименьшей по отношению к окружающему миру, была бы совершенно
«осилена» громаднейшей и однородной средой и со всех сторон встретила
бы равные и одинаково направленные противодействия. Ведь в мире, взятом
по отношению к самому себе, нет ни верха ни низа; также ведь и на
шаре нельзя вообразить чего-нибудь подобного. Что же касается находящихся
в мире материальных тел и, в частности, присущих им естественных
движений, то легкие и состоящие из тончайших частиц [тела], устремляясь
вверх к окружности, кажутся нам движущимися вверх, так как для всех
нас называется верхом то, что находится над головой, и направление это
идет как бы к окружающей поверхности. Тяжелые же и состоящие из
грубых частиц тела движутся к середине, как бы к центру, и кажутся нам
падающими вниз, так как опять для всех нас низом считается то, что
находится под ногами, и соответ- ствующее направление идет к центру Земли26.
Вполне естественно, что эти тяжелые тела оседают вокруг центра под действием
со всех сторон равных и подобных взаимных ударов и противодействий. Таким

образом, вполне естественно получается, что вся масса Земли, будучи очень
большой по отношению к падающим на нее телам, под действием напора
значительно меньших ее тяжестей остается всюду неподвижной и как бы
принимает все падающее на нее. Но если бы у Земли было какое-нибудь
движение, общее с другими тяжелыми телами, то она, конечно, унеслась
бы вперед вследствие такой превосходящей массы. Животных и находящиеся
с соответствующей стороны тяжелые тела она оставила бы плавающими в
воздухе, а сама в конце концов с громадной скоростью врезалась бы в
небо. Но все это, если только вообразить, кажется нам очень смешным.
    Есть некоторые люди, которые, не имея что возразить против всего
этого, все же считают более вероятным другое: что не будет никаких
противоречий, если они, так сказать, будут считать небо неподвижным, а
Землю вращающейся вокруг той же самой оси с запада на восток и
совершающей каждый день примерно одно обращение27 или же считать и
небо, и Землю определенным образом движущимися вместе вокруг одной
и той же оси таким образом, что сохраняется [наблюдаемое] опережение
одного другим.
   Они, однако, не заметили, что если ограничиться наблюдаемыми у звезд
явлениями, то, пожалуй, ничто не будет препятствовать такому простейшему
предположению, но подобное мнение покажется нам смешным, если мы
обратим внимание на совершающееся вокруг нас самих и в воздухе.
Действительно, чтобы согласиться с ними, мы должны предположить
совершенно противное природе, а именно, что легчайшие и состоящие из
наиболее тонких частиц тела или совсем не движутся, или движутся так
же, как и тела противоположной природы, хотя [на самом деле] тела,
находящиеся в воздухе и состоящие из менее тонких частиц, движутся
гораздо быстрее, чем все более земные тела. И тогда [мы должны
предположить, что J самые тяжелые и состоящие из грубейших частиц тела
будут иметь собственное быстрое и равномерное движение, между тем как
все согласны, что земные тела никогда легко не поддаются движениям,
сообщаемым им другими телами. В таком случае пришлось бы согласиться,
что вращение Земли совершается значительно быстрее всех происходящих
вокруг нес движений, так как она делает такой большой оборот в короткое
время, и что вес не закрепленные на ней предметы должны казаться
совершающими одно и то же движение, [по направлению] противоположное
земному. Таким образом, мы никогда не могли бы видеть какое-нибудь
идущее к востоку облако или брошенное в том же направлении тело, так
как Земля в своем движении к востоку всегда опережала бы все тела.
Они казались бы нам движущимися к западу и отстающими от движения
Земли.
    Но если они скажут, что и воздух совершает вместе с Землей круговое
движение в ту же сторону и с той же скоростью, то все равно находящиеся
в воздухе тела всегда будут казаться отстающими от движения их обоих.
А если бы тела вращались вместе с воздухом как одно тело, то никакое
из них не казалось бы опережающим другое или отстающим от него, но
оставалось бы на месте, в полете или бросании оно не совершало бы
отклонений или движений в другое место вроде тех, которые мы воочию
видим совершающимися, и у них вообще не происходило бы замедления
или ускорения, оттого что Земля не является неподвижной.
    
8. О том, что в небе существуют два различных вида
первых движений
   О гипотезах, которые необходимо предпослать подробному изложению
и выводу следствий, сказано достаточно. До сих пор мы говорили о них
как бы в общих чертах; в дальнейшем они будут подтверждены и
засвидетельствованы тем, что на основании их будет последовательно
доказано в полном согласии с наблюдаемыми явлениями. К ним, однако,
необходимо добавить следующее основное положение: в небе существуют
два различных вида первых движений . Одно из них увлекает все с востока
на запад неизменным и равномерным вращением по параллельным друг
другу кругам, описанным вокруг полюсов сферы, сообщающей всему
равномерное вращение. Наибольший из этих кругов называется равноден-
ственным вследствие того, что только он один всегда разделяется пополам
большим  кругом  горизонта  и  при  обращении  по  нему  Солнца  везде
29   тт
производит для наших чувств равенство дня и ночи . Другим движением
будет такое, в результате которого сферы небесных светил совершают
одновременно совместные движения в направлении, противоположном
предыдущему, и вокруг других полюсов, не совпадающих с полюсами первого
вращения. Мы предполагаем, что дело обстоит именно так, поскольку,
наблюдая ежедневно, мы видим все, без исключения, находящееся на небе
движущимся по подобным друг другу и параллельным равноденственному
кругу путям и совершающим восход, прохождение через середину неба
и заход, что и является существенным свойством первого упомянутого
движения. Дальнейшие и более непрерывные наблюдения показывают, что,
хотя все другие светила сохраняют свои взаимные расстояния и в
значительной степени собственные свои положения по отношению к
свойственным первому движению путям, Солнце, Луна и так называемые
блуждающие светила31 совершают некоторые разнообразные и неодинаковые
движения, направленные, однако, относительно общего движения мира к
востоку, как бы отставая от звезд, сохраняющих свои взаимные расстояния
и как бы вращаемых одной сферой.
   Если бы упомянутое движение планет совершалось по кругам,
параллельным равноденственному, т.е. вокруг полюса первого вращения, то,
пожалуй, было бы достаточным полагать для всех одно и то же движение
в направлении первого. Такое положение казалось бы вполне вероятным,
а происходящие у них перемещения можно было бы объяснить различием
в отставаниях, а не результатом движения в противоположном направлении.
Однако вместе с движениями к востоку эти светила всегда наблюдаются
переходящими к северу и к югу [от равноденственного круга], причем по
величине это движение не будет равномерным, так что оно кажется
возникающим от каких-то внешних толчков. Однако это неравномерное при
таком предположении движение становится вполне упорядоченным, если
отнести его к некоторому кругу, наклонному к равноденственному.
Вследствие этого упомянутый круг рассматривается как один и тот же и
общий для всех планет. В более точном определении это будет круг,
описываемый Солнцем [на небесной сфере при его годовом движении]32.
Вдоль него совершают обороты Луна и планеты, всегда двигаясь в
непосредственной близости от него, причем отклонения каждого светила в
ту или другую сторону от начерченного им пути не случайны. Поскольку

же этот круг тоже является большим вследствие того, что Солнце одинаково
удаляется к северу и к югу от равноденственного круга, а также, как мы
сказали, все планеты совершают свои движения к востоку по одному и
тому же кругу, то необходимо допустить и этот второй вид мирового
движения вокруг полюсов упомянутого наклонного круга в сторону,
противоположную первому движению.
    Если мы вообразим большой круг, проходящий через полюсы обоих
упомянутых кругов, который необходимо рассечет пополам и под прямым
углом каждый из этих кругов, то на наклонном круге получим четыре
точки: две из них, при пересечении равноденственного круга диаметрально
противоположные друг другу, называются равноденственными. Та из них,
в которой совершается переход Солнца с юга на север, называется весенней,
противоположная же — осенней. Две же точки на круге, описанном через
оба полюса, и тоже, конечно, диаметрально друг другу противоположные,
называются тропическими. Та из них, которая находится к югу от экватора,
33
называется зимней, а находящаяся к северу — летней .
   Таким образом мы будем мыслить первое из [двух] первых движений,
которое охватывает все остальные, как описываемое и как бы определяемое
большим кругом, проведенным через оба указанных полюса34. Этот круг
вращается (и уносит вместе с собой все остальное) с востока к западу
вокруг полюсов равноденственного круга, стоящих неподвижно на так
называемом полуденном круге, который только тем отличается от выше-
упомянутого, что он не всегда проходит через полюсы наклонного круга.
Он называется полуденным также и вследствие того, что мы всегда мыслим
его под прямым углом к горизонту, а также потому, что он в этом
положении делит пополам каждое из полушарий, находящееся как над
Землей, так и под ней, и содержит точки, соответствующие серединам дня
и ночи. Второе же многообразное движение, увлекаемое первым и в свою
очередь увлекающее сферы всех планет, переносится, как мы сказали,
вышеупомянутым первым движением, но вращает [планетные сферы] в
противоположную сторону вокруг полюсов наклонного круга. Эти полюсы,
всегда неподвижные на круге, совершающем первое движение, т.е.
проходящем через оба упомянутых полюса, естественно, тоже вращаются
вместе с ним в направлении, противоположном направлению второго
движения. Эти полюсы всегда сохраняют описанный через них большой
круг, а также наклонный в одном и том же положении по отношению к
равноденственному кругу.

9. О специальных понятиях
   Итак, изложение необходимых предпосылок можно считать в общих
чертах предварительно законченным. Переходя теперь к специальным
доказательствам, мы считаем, что первым из них будет то, при помощи
которого определяется величина дуги большого круга, заключенной между
полюсами эклиптики и экватора и измеряемой по проведенному через них
этому кругу. Но мы видим необходимость изложить предварительно теорию
35
определения величин прямых линий в круге , поскольку мы желаем раз
и навсегда дать всему геометрическое доказательство.

10. О величинах прямых в круге
   Для удобного употребления на практике в дальнейшем мы построим
некоторую таблицу, дающую их величины, разделив окружность на 360
частей. Она будет содержать длины прямых, стягивающих эти дуги (причем
последние будут возрастать на полградуса), а именно числа содержащихся
в них частей диаметра, в предположении, что последний разделен на 120
частей, ибо это число очень удобно, как выявится из самих вычислений.
Сначала мы покажем, каким образом [лучше всего ] при помощи небольшого
числа повторяющихся теорем создать удобный и быстрый способ для
определения дробной части величин, чтобы не было никаких сомнений, как
[может быть] в случае, если бы мы дали только одни величины этих
прямых, а также и чтобы при помощи методического их получения на
чертежах дать легкий способ их проверки. При вычислениях мы вообще
будем пользоваться шестидесятеричной системой вследствие неудобства
обычных дробей. Производя умножение и деление, мы всегда будем
придерживаться приблизительных результатов, но так, чтобы отбрасываемая
часть ничем существенным не отличалась от точной величины  .
Итак, возьмем [рис. 1.1 ]38 сначала полукруг АВТ на диаметре АДГ с
центром в А; из точки Д под прямым углом к АГ проведем АВ, разделим
АГ в точке Е пополам и соединим Е с В; отложим
В	EZ, равную ЕВ, и соединим Z и В. Я утверждаю, что
—\       ZA представляет сторону десятиугольника, a BZ —
f  / \     \.     пятиугольника.
/   /     \    \        Действительно, так как прямая линия АГ разделена
I   /     I   \    1   пополам в   Е и к ней прибавлена некоторая прямая
A   Z     д     Е    Г   AZ, то прямоугольник, содержащийся между AZ и
TZ, вместе с квадратом на ЕД будет равен квадрату
Рис 11	на EZ или на BE, так как ЕВ равна ZE. Но квадрату
                    на ЕВ равны вместе взятые квадраты на ЕА и АВ.
Поэтому прямоугольник между TZ и ЪА вместе с квадратом на АЕ будет
равен вместе взятым квадратам на ЕА и АВ или, после отнятия общего
квадрата на ЕД, остающееся произведение TZ и ЪА будет равно квадрату
либо на АВ, либо на АГ. Следовательно, Zr разделена в точке А в крайнем
и среднем отношениях. Поскольку стороны вписанных в один и тот же
круг шестиугольника и десятиугольника, будучи отложены по одной и той
же прямой, делят ее в крайнем и среднем отношениях и ГД, будучи
радиусом, является стороной шестиугольника, то AZ будет равна стороне
десятиугольника.
   Аналогично, поскольку сторона пятиугольника квадрирует вместе взятые
стороны шестиугольника и десятиугольника, вписанных в тот же самый
круг, и в прямоугольном треугольнике BAZ квадрат на BZ равен вместе
взятым квадратам на ВА — стороне шестиугольника и AZ — стороне
десятиугольника, следовательно, BZ будет стороной пятиугольника39.
   Теперь, если мы положим, как я уже сказал, диаметр круга равным
120 частям, то на основании изложенного сторона АЕ, являясь половиной
радиуса, будет равна 30 частям, а ее квадрат — 900; ВА, являясь радиусом,
равна 60 частям, а ее квадрат — 3600, квадрат же на ЕВ или на EZ
равен 4500; следовательно, EZ будет равна приблизительно 67;4,55 частям,
   
а остаток AZ равен 37;4,55 таким же частям. Таким образом, сторона
десятиугольника, стягивающая дугу, равную 36 таким частям, каких в
окружности будет 360, содержит 37;4,55 таких частей, каких в диаметре
будет 120. Далее, поскольку AZ составляет 37;4,55 частей и квадрат на
ней будет 1375;4,15, а квадрат на АВ — 3600 таких же частей, то, сложив,
получаем квадрат на BZ, равный 4975;4,15. Следовательно, BZ будет равна
приблизительно 70;32,3 частям, и, значит, сторона пятиугольника, стягиваю-
щая 72 градуса (если всю окружность принять за 360), будет равна 70;32,3
таким частям, каких в диаметре будет 120. Отсюда также ясно, что сторона
шестиугольника, стягивающая 60 градусов и равная радиусу, будет содержать
60 частей. Точно так же, поскольку сторона [вписанного] квадрата,
стягивающая 90 градусов, в квадрате будет вдвое больше квадрата радиуса,
а сторона [вписанного] треугольника, стягивающая 120 градусов, в квадрате
будет втрое его больше, и квадрат радиуса равен 3600 частям, то получится,
что квадрат на стороне квадрата будет равен 7200, а на стороне
треугольника — 10 800 частей. Таким образом, прямая, стягивающая 90
градусов, составит приблизительно 84;51,10 таких части, каких в диаметре
120, а стягивающая 120 градусов будет равна 103;55,23 таким частям40.
   Вот эти прямые мы будем брать уже готовыми и в качестве основных.
Отсюда ясно, что если эти прямые даны, то можно считать данными и
прямые, стягивающие дуги, дополняющие их до полуокружности, вследствие
того, что, складывая их квадраты, мы будем получать квадрат на диаметре.
Например, так как прямая, соответствующая 36 градусам, оказалась равной
37;4,55 частям, а квадрат на ней 1375;4,15 и квадрат на диаметре 14 400,
то квадрат прямой, стягивающей остающиеся до полуокружности 144
градуса, после вычитания получится равным 13 024;55,45, а сама эта
прямая  —  приблизительно  114;7,87  частям;  аналогично получаются и
остальные [значения ]41.
   Ниже мы покажем, каким образом на основании этих хорд определяется
каждая из остальных, предложив сначала небольшую лемму, в высшей
42
степени полезную   для дальнейшего .

   Пусть имеется круг [рис. 1.2] со вписанным в него каким-нибудь
четырехугольником АВГА. Проведем в нем соединяющие АГ и BA. Требуется
доказать, что прямоугольник на АГ и ВА равен вместе
взятым прямоугольникам на АВ и АГ и на АА и
ВГ.
   Построим угол ABE, равный АВГ. Если мы приба-
вим к ним в качестве общего угол ЕВА, то угол А
ABA будет равняться углу ЕВГ; также и угол ВДА
будет равен углу ВГЕ, ибо они стягивают одну и ту
же дугу. Следовательно, треугольник ABA будет
равноугольным с треугольником ВГЕ. Таким образом,
существует пропорция: как ВГ относится к ГЕ, так и
ВД к АА43, и, значит, произведение ВГ и АА равно произведению ВА и
ГЕ. Затем, поскольку угол ABE равен углу АВГ, а ВАЕ равен ВАГ, то и
треугольник ABE будет равноугольным с ВГА. Поэтому, имеет место
пропорция: как ВА относится к АЕ, так и ВА к АГ, и, значит, произведение
ВА на  АГ равно произведению ВА на АЕ.  Но было доказано, что

произведение ВГ на АА равно произведению ВА на ГЕ. Следовательно, все
произведение АГ на ВА будет равно вместе взятым произведениям АВ на
АГ и АА на ВГ, что и требовалось доказать.
    Изложив это, возьмем полукруг АВГА [рис. 1.3] на диаметре АА, из
точки А проведем две прямые АВ, АГ, и пусть величина каждой из них

будет дана в частях, каких в заданном диаметре
содержится 120. Затем проведем линию, соединяю-
щую В с Г. Я утверждаю, что последняя тоже будет
заданной44.
   Действительно,   проведем  соединяющие   ВА   и
ГА;   тогда,   очевидно,   и   они   будут   заданными,
Рис. 1.3	вследствие того, что каждая из них [есть хорда дуги,
                       которая] дополняет до полуокружности [соответст-
венно дуги АВ или АГ]. Теперь, так как в круге имеется четырехугольник
АВГА, то произведение АВ на ГД вместе с произведением АА на ВГ будет
равно произведению АГ на ВА. Но произведение АГ на ВА дано и также
дано произведение АВ на ГА. Следовательно, будет известным остающееся
произведение АД на ВГ. Но АД — диаметр; следовательно, будет известна
прямая ВГ. Таким образом, нам ясно, что если даны две дуги и стягивающие
их прямые, то будет дана и прямая, стягивающая дугу, равную разности
двух заданных дуг. И ясно, что при помощи этой теоремы мы сможем
записать выражения для немалого числа других прямых при помощи
разностей заданных основных дуг. Таким образом, имея величины прямых,
стягивающих 60 и 72 градуса, мы найдем прямую, стягивающую дугу в
12 градусов.
   Теперь пусть требуется найти по некоторой данной прямой в круге
прямую, стягивающую половину дуги, соответствующей первой.

Пусть АВГ [рис. 1.4] будет полукруг на диаметре АГ, а ГВ — заданная
прямая. Разделим дугу ГВ пополам в А, проведем
соединительные прямые АВ, АД, ВА, АГ и из
точки А опустим на АГ перпендикуляр АЪ. Я
утверждаю, что ZT будет половиной разности
АГ и АВ.
   Действительно, отложим АЕ равной АВ и
соединим АЕ. Поскольку АВ равна АЕ и АА
является общей, то две стороны АВ, АД равны
соответственно двум АЕ, АД, и угол ВАД равен углу ЕАД. Следовательно,
основание ВА будет равно основанию ДЕ. Но ВА равна АГ; значит, АГ
будет равна ДЕ. Теперь, поскольку в равнобедренном треугольнике АЕГ из
вершины опущен на основание перпендикуляр AZ, EZ будет равна Zr. Но
ЕГ представляет собой разность прямых АГ и АВ; следовательно, Zr будет
половиной разности этих прямых. Таким образом, поскольку прямая,
стягивающая дугу ВГ, предполагается заданной (а вследствие этого будет
задана прямая, стягивающая дугу АВ — дополнение до полуокружности),
будет заданной и Zr, являющаяся половиной разности АГ и АВ. Но так
как в прямоугольном треугольнике АГА проведен перпендикуляр AZ, то
прямоугольный треугольник АДГ будет иметь равные углы с АГХ, и
получится: как относится АГ к ГА, так будет относиться и ГА к TZ.
   
Следовательно, прямоугольник между AT, TZ равен квадрату на ГА, но
прямоугольник между AT, ТЪ задан; значит, будет задан и квадрат на ГА.
Таким образом, будет известна прямая ГА, стягивающая половину дуги ВГ.
    При помощи этой теоремы можно также получить большое количество
других прямых, соответствующих половинам рассмотренных выше дуг; таким
образом, при помощи прямой, стягивающей дугу в 12 градусов, получается
прямая для 6, для 3, для W% и З/4 градуса. Произведя вычисления, мы
найдем, что для дуги в I1/2 градус стягивающая прямая будет приблизительно
равна 1 ;34,15, если принять диаметр равным 120, а для дуги в З/4 градуса
0;47,845.

   Пусть опять задан круг АВГА на диаметре АА с центром Z [рис. 1.5].
От точки А отложим последовательно две данные дуги АВ, ВГ и проведем
под ними соединительные прямые АВ, ВГ,
которые тоже являются заданными. Я утверж-
даю, что если мы соединим АГ, то она тоже
будет известной.
   Действительно, через точку В проведем
диаметр BZE рассматриваемого круга и сое-
динительные прямые ВА, АГ, ГЕ, АЕ. Отсюда
ясно, что через ВГ будет задана и ГЕ, а через
АВ будут данными ВА и АЕ. Тогда на основании
того же, что и выше, поскольку в круге имеется
четырехугольник  ВГАЕ и проведены  прямые	рис ^
ВА,  ГЕ, содержащийся  между проведенными
линиями прямоугольник будет равен вместе взятым прямоугольникам на
противолежащих сторонах. Таким образом, поскольку заданы прямоу-
гольники на ВА, ГЕ и на ВГ, АЕ, будет задан и прямоугольник на BE,
ГА. Но диаметр BE задан; следовательно, будет заданной остающаяся прямая
ГА, а вследствие этого и соответствующая дополнению до полуокружности
прямая ГА. Таким образом, если даны две дуги и стягивающие их прямые,
то на основании этой теоремы будет заданной и прямая, стягивающая дугу,
получающуюся от сложения обеих упомянутых дуг46.
   Очевидно, что если ко всем определенным выше прямым мы будем
последовательно добавлять прямую, стягивающую дугу в 11/г градус, и
вычислять стягивающие их [суммарные] прямые, то мы сможем записать
|в таблицу) прямые для дуг, которые, будучи удвоены, имеют делителем
тройку. Останутся [неопределенными] только два промежуточных деления
в интервалах по ll/г градусу, так как мы хотим составить таблицу через
промежутки в 1/2 градуса. Таким образом, если мы найдем прямую,
соответствующую 1/2 градуса, то при помощи сложения и вычитания ее с
заданными прямыми, замыкающими упомянутые промежутки, мы сможем
заполнить и все остальные промежутки. Но если дана какая-нибудь прямая,
например, стягивающая дугу в \У% градус, то все же невозможно
геометрически вычислить прямую, стягивающую третью часть этой дуги.
Если бы это было возможно, то мы получили бы отсюда и прямую,
соответствующую 1/2 градуса. Попробуем сначала найти линию для 1 градуса
при помощи линий для ll/г и ?4 градуса, доказав [предварительно]
небольшую лемму, которая хотя и не позволяет полностью определять
   
количественные величины, но во всяком случае для таких весьма малых
величин дает значения, которые можно сохранить без исправлении  .
   Я утверждаю, что если в круге проведены две неравные прямые, то
большая имеет к меньшей отношение меньше того, которое дуга на большей
прямой имеет к дуге на меньшей.
Пусть АВГА будет круг [рис. 1.6]; проведем в нем две неравные прямые,
из которых АВ будет меньшей, ВГ большей. Я утверждаю, что прямая
имеет к ВА меньшее отношение, чем дуга ВГ к дуге ВА. Разделим
угол АВГ пополам прямой ВА и проведем
соединительные прямые АЕГ, АА и ГА. Так как
угол АВГ разделен пополам прямой ВЕА, то
прямая ГА будет равна АА, и ГЕ больше, чем
ЕА. Опустим из А на АЕГ перпендикуляр AZ.
Поскольку АА больше ЕА, а ЕА больше AZ,
окружность, описанная из центра А радиусом
АЕ, пересечет АА и пройдет выше прямой AZ.
Опишем ее, и пусть это будет HEG; также
продолжим AZG. Поскольку сектор AEG больше
треугольника AEZ и треугольник АЕА больше
сектора АЕН, то треугольник AEZ имеет к
треугольнику АЕА отношение, меньшее, чем сек-
тор AEG к АЕН. Но как треугольник AEZ
относится к треугольнику АЕА, так будет относиться и прямая EZ к прямой
ЕА. И как сектор AEQ относится к сектору АЕН, так и угол ZAE относится
к углу ЕДА. Следовательно, прямая ZE имеет к ЕА меньшее отношение,
чем угол ZAE к углу ЕАА. Тогда после композиции48 прямая ZA будет
иметь к ЕА меньшее отношение, чем угол ZAA к углу ААЕ. Если удвоить
отношение [ZA к ЕА ], то прямая ГА будет иметь к АЕ меньшее отношение,

чем угол ГАА к углу ЕАА, и после выделения49 прямая ГЕ будет иметь
к ЕА меньшее отношение, чем угол ГДЕ к углу
ЕДА. Но как прямая ГЕ [относится] к ЕА, так будет
[относиться] и прямая ГВ к ВА, и как [относится]
угол ГАВ к ВДА, так [будет относиться] дуга ГВ к
50
ВА . Следовательно, прямая ГВ имеет к ВА меньшее
отношение, чем дуга ГВ к дуге ВА.
   Положив   это   в   основу,   возьмем   круг   АВГ
[рис. 1.7] и проведем в нем две прямые АВ и АГ.
Рис. 1.7	Предположим сначала, что АВ стягивает дугу в З/4
                      градуса, а АГ — в 1 градус. Так как прямая АГ
имеет к В А меньшее отношение, чем дуга АГ к АВ, а дуга АГ представляет
4^з дуги АВ, то, значит, прямая ГА будет иметь к ВА отношение меньшее,
чем 4 к 3. Но доказано, что прямая АВ равна 0;48,8 таких частей, каких
в диаметре имеется 120. Следовательно, прямая ГА будет меньше 1;2,50
такой же части. Указанное число составляет приблизительно 4/3 от 0;47,8.
   Затем (на том же чертеже) предположим, что прямая АВ стягивает 1 гра-
дус, а АГ стягивает iVz градус. Тогда на том же самом основании, если
дуга АГ в iVz раза больше АВ, то, следовательно, прямая ГА будет менее,
   
чем I1/2 раза взятая прямая ВА. Но мы показали, что АГ составляет 1;34,15
такую часть, каких в диаметре будет 120. Значит, прямая ГА будет больше
1;2,50 такой части, ибо это число, ll/г раза взятое, даст выше написанное
значение 1;34,15. Таким образом, поскольку показано, что стягивающая 1
градус прямая будет и больше, и меньше одного и того же числа, то мы,
конечно, возьмем ее равной приблизительно 1;2,50 такой части, каких в
диаметре будет 120. И на основании всего доказанного, а также того, что
для 1/2 градуса искомая прямая оказывается равной приблизительно 0;31,25
таких же частей, мы заполним остающиеся, как мы сказали, промежутки.
Так, например, при помощи прямой для ll/г градуса в первом промежутке,
сложив ее с указанной величиной для 1/2 градуса, мы найдем линию,
стягивающую 2 градуса, а при помощи вычитания из соответствующей 3
градусам найдем линию для 21/2 градусов. Таким же образом [поступим]
и для [вычисления] остальных [дуг]51.
   Как я полагаю, в этом виде теория прямых в круге может быть легче
всего усвоена. Но чтобы иметь всегда, как я сказал, готовыми численные
значения этих прямых, мы приводим ниже таблицы, каждую в 45 строк.
Первая из них содержит числовые значения дуг, возрастающих на 1/2
градуса, вторая — величины соответствующих этим дугам прямых в
предположении, что диаметр состоит из 120 частей, третья же — тридцатые
доли разностей прямых на каждые 1/2 градуса. Таким образом, имея средний
прирост на одну шестидесятую, не отличающийся чувствительно от
истинного, мы можем легко вычислить соответствующие величины и для
дуг, промежуточных между полу градусами.
    Вполне понятно, что если у нас появится какое-либо сомнение
относительно какой-нибудь из величин в таблице прямых вследствие ошибки
при переписке, то на основании приведенных теорем мы можем легко
произвести проверку или исправление при помощи удвоения исследуемой
величины или же определения разности с какими-нибудь другими из
известных  [величин], или же по величине прямой, стягивающей дугу,
равную дополнению до полуокружности. И таблицы эти таковы .

11. Таблица прямых в круге
См. с. 22-25

12. О дуге, заключенной между солнцеворотами
   
   Приведя числовые величины прямых, заключенных в круге, пожалуй,
следует прежде всего, как мы сказали, определить числовую величину
наклона круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий и
наклонного к равноденственному. Иными словами, требуется найти отно-
шение большого круга, проходящего через полюсы обоих указанных кругов,
к его дуге, заключенной между этими полюсами. Оно, очевидно, также
равно расстоянию каждой из точек солнцеворотов до равноденственного
S3
круга . Эту дугу мы можем непосредственно измерить инструментально
54
при помощи следующего простого устройства .

ДугиПрямыеШестидесятые
ДОЛИДугиПрямыеШестидесятые
долиW
1
П/2(f ЗГ 25"
1   2 50
1 34 151' 2" 50"
1 2 50
1 2 5023°
23'Л
2423" 55' 27"
24 26 13
24 56 58Г   Г33т
1   1 30
1    1 262
21/2
32   5 40
2	37   4
3	8 281 2 50
1 2 48
1 2 482AV2
25
251/225 27 41
25	58 22
26	29   11    1 22
1    1 19
1    1 153'/2
4
4'/23	39 52
4	11 16
4 42 401 2 48
1 2 47
1 2 4726
26>/2
2726	59 38
27	30 14
28	0 481    1 11
1    1   8
1    1   45
5'/2
65 15   4
5	45 27
6	16 491 2 46
1 2 45
1 2 4427V2
28
28V228	31 20
29	1 50
29 32 181   1   0
1   0 56
1   0 526'/2
7
7 Уг6	48 И
7	19 33
7 50 541 2 43
1 2 42
1 2 4129
29V2
3030   2 44
30	33   8
31	3 301   0 48
1   0 44
1   0 408
8'/2
98 22 15
8	53 35
9	24 541 2 40
1 2 39
1 2 38ЗОМг
31
ЗЩ31	33 50
32	4   8
32 34 221   0 35
1   0 31
1   0 2791/2
10
101/29 56 13
10 27 32
10 58 491 2 37
1 2 35
1 2 3332
32Vz
3333   4 35
33	34 46
34	4 551   0 22
1   0 17
1   0 1211
111/2
1211	30   5
12	1 21
12 32 361 2 32
1 2 30
1 2 2833V2
34
34V234	35   1
35	5   5
35 35   61   0   8
1   0   3
0 59 5712V2
13
13V213   3 50
13	35   4
14	6 161 2 27
1 2 25
1 2 2335
35 V2
3636   5   5
36	35   1
37	4 550 59 52
0 59 48
0 59 4314
14'/2
1514	37 27
15	8 38
15 39 471 2 21
1 2 19
1 2 1736V2
37
37V237	34 47
38	4 36
38 34 220 59 38
0 59 32
0 59 2715V2
16
16'/216 10 56
16	42   3
17	13   91 2 15
1 2 13
1 2 1038
38V2
3939   4   5
39	33 46
40	3 250 59 22
0 59 16
0 59 1117
МУг
1817	44 14
18	15 17
18 46 191 2   7
1 2   5
1 2   239V2
40
40 Vi40	33   0
41	2 33
41 32   30 59   5
0 59   0
0 58 54181/2
19
19V219 17 21
19	48 21
20	19 191 2   0
1 1 57
1 1 5441
41V2
4242   1 30
42	30 54
43	0 150 58 48
0 58 42
0 58 3620
20 Vi
2120	50 16
21	21 11
21 52 61 1 51
1 1 48
1 1 4542V2
43
4343 29 33
43	58 49
44	28   10 58 31
0 58 25
0 58 1821 Vi
22
22V222 22 58
22	53 49
23	24 391 1 42
1 1 39
1 1 3644
44Vi
4544	57 10
45	26 16
45 55 190 58 12
0 58   6
0 58   0
ДугиПрямыеШестидесятые
долиДугиПрямыеШестидесятые
доли451/2°
46
ЛЫ/246p 24' 19"
46	53 16
47	22   90' 57" 54"'
0 57 47
0 57 4168°
ьт
6967p 6' 12"
67 32 12
67 58   80'52" 1"
0 51 52.
0 51 4347
471/2
4847	51   0
48	19 47
48 48 300 57 34
0 57 27
0 57 2169V2
70
70V268 23 59
68	49 45
69	15 270 51 33
0 51 23
0 51 1448 Уг
49
49V249 17 11
49	45 48
50	14 210 57 14
0 57   7
0 57   071
71 Уг
7269	41   4
70	6 36
70 32   30 51   4
0 50 55
0 50 4550
50V2
5150	42 51
51	11 18
51 39 420 56 53
0 56 46
0 56 3972Vtz
73
73V270	57 26
71	22 44
71 47 560 50 35
0 50 26
0 50 165U/2
52
52V252   8   0
52	36 16
53	4 290 56 32
0 56 25
0 56 1874
74V2
7572 13   4
72	38   7
73	3   50 50   6
0 49 56
0 49 4653
53V2
5453	32 38
54	0 43
54 28 440 56 10
0 56   3
0 55 5575V2
76
76V273 27 58
73	52 46
74	17 290 49 36
0 49 26
0 49 1654W
55
55 Vj54	56 42
55	24 36
55 52 260 55 48
0 55 40
0 55 3377
77V2
7874	42   7
75	6 39
75 31   70 49   6
0 48 55
0 48 4556
56V2
5756 20 12
56	47 54
57	15 330 55 25
0 55 17
0 55   978V2
79
791/275	55 29
76	19 46
76 43 580 48 34
0 48 24
0 48 1357	V2
58
58	V257	43   7
58	10 38
58 38   50 55   1
0 54 53
0 54 4580
8OV2
8177   8   5
77 32   6
77 56   20 48   3
0 47 52
0 47 4159
59V2
6059   5 27
59	32 45
60	0   00 54 37
0 54 29
0 54 2181V2
82
82V278 19 52
78	43 38
79	7 180 47 31
0 47 20
0 47   96OV2
61
61V260 27 11
60	54 17
61	21 190 54 12
0 54   4
0 53 5683
83 V2
8479 30 52
79	54 21
80	17 450 46 58
0 46 47
0 46 3662
621/!
6361	48 17
62	15 10
62 42   00 53 47
0 53 39
0 53 3084V2
85
85 V280	41   3
81	4 15
81 27 220 46 25
0 46 14
0 46   363 V2
64
641/263   8 45
63	35 25
64	2   20 53 22
0 53 13
0 53   486
86V2
8781	50 24
82	13 19
82 36   90 45 52
0 45 40
0 45 2965
651/2
6664 28 34
64	55   1
65	21 240 52 55
0 52 46
0 52 3787	V2
88
88	Vi82	58 54
83	21 33
83 44   40 45 18
0 45   6
0 44 5566V2
67
67 V265	47 43
66	13 57
66 40   70 52 28
0 52 19
0 52 1089
891/2
9084   6 32
84 28 54
84 51 100 44 43
0 44 31
0 44 20
ДугиПрямыеШестидесятые
долиДугиПрямыеШестидесятые
доли90V2°
91
9И685р 13' 20"
85 35 24
85 57 230' 44" 8"
0 43 57
0 43 45113°
ИЗУг
114100" 3'59"
100 21 16
100 38 260' 34" 34'"
0 34 20
0 34   692
92V2
9386 19 15
86	41   2
87	2 420 43 33
0 43 21
0 43   91141/2
115
115V6100	55 28
101	12 25
101 29 150 33 52
0 33 39
0 33 25931/2
94
94V687 24 17
87	45 45
88	7   70 42 57
0 42 45
0 42 33116
116V2
117101	45 57
102	2 33
102 19   10 33 И
0 32 57
0 32 4395
95V2
9688 28 24
88	49 34
89	10 390 42 21
0 42   9
0 41 57117V2
118
118V2102 35 22
102	51 37
103	7 440 32 29
0 32 15
0 32   09616
97
971689 31 37
89	52 29
90	13 150 41 45
0 41 33
0 41 21119
119V2
120103 23 44
103 39 37
103 55 230 31 46
0 31 32
0 31 1898
98Vi
9990 33 55
90	54 29
91	14 560 41   8
0 40 55
0 40 42120 V2
121
1211/2104 И   2
104 26 34
104 41 590 31   4
0 30 49
0 30 359916
100
1001/291 35 17
91	55 32
92	15 400 40 30
0 40 17
0 40   4122
122V2
123104	57 16
105	12 26
105 27 300 30 21
0 30   7
0 29 52101
ЮН/2
10292 35 42
92	55 38
93	15 270 39 52
0 39 39
0 39 26123V6
124
124V2105 42 26
105	57 14
106	11 550 29 37
0 29 23
0 29   81021/2
103
1031/293 35 11
93	54 47
94	14 170 39 13
0 39   0
0 38 47125
1251/2
126106 26 29
106 40 56
106 55 150 28 54
0 28 39
0 28 24104
1041/2
10594 33 41
94	52 58
95	12   90 38 34
0 38 21
0 38   8126V2
127
127V2107   9 27
107 23 32
107 37 300 28 10
0 27 56
0 27 40105V6
106
1061/295 31 13
95	50 11
96	9   20 37 55
0 37 42
0 37 29128
1281/2
129107	51 20
108	5   2
108 18 370 27 25
0 27 10
0 26 56107
107V6
10896 27 47
96	46 24
97	4 550 37 16
0 37   3
0 36 50129V6
130
1301/2108 32   5
108 45 25
108 58 380 26 41
0 26 26
0 26 11108V6
109
109V297 23 20
97 41 38
97 59 490 36 36
0 36 23
0 36   9131
1311/2
132109 11 44
109 24 42
109 37 320 25 56
0 25 41
0 25 26ПО
1101/2
11198 17 54
98 35 52
98 53 430 35 56
0 35 42
0 35 29132V2
133
133V6109 50 15
ПО   2 50
ПО 15 180 25 11
0 24 56
0 24 411111/2
112
112V699 11 27
99 29   5
99 46 350 35 15
0 35   1
0 34 48134
134V2
135ПО 27 39
ПО 39 52
ПО 51 570 24 26
0 24 10
0 23 55
ДугиПрямыеШестидесятые
долиДугиПрямыеШестидесятые
доли135'Л°
136
136'/2111р 3'54"
111 15 44
111 27 260' 23" 40™
0 23 25
0 23   9158°
1581/2
159117р 47' 43"
117 53 39
117 59 270' 11" 5Г
0 11 35
0 11 19137
137'/2
138111 39   1
111	50 28
112	1 470 22 54
0 22 39
0 22 241591/2
160
1601/2118   5   7
118 10 37
118 16   10 11   3
0 10 47
0 10 31138'/2
139
1391/2112 12 59
112 24   3
112 35   00 22   8
0 21 53
0 21 37161
16П/2
162118 21 16
118 26 23
118 31 220 10 14
0   9 58
0   9 42140
140'/2
141112 45 48
112	56 29
113	7   20 21 22
0 21   7
0 20 511621/2
163
1631/2118 36 13
118 40 55
118 45 300   9 25
0   9   9
0   8 53141'/2
142
1421/2113 17 25
113 27 44
113 37 540 20 36
0 20 20
0 20   4164
1641/2
165118 49 56
118 54 15
118 58 250   8 37
0   8 20
0   8   4143
143'/2
144113 47 56
113	57 50
114	7 370 19 49
0 19 33
0 19 17165 V2
166
ХШ/2119   2 26
119   6 20
119 10   60   7 48
0   7 31
0   7 151441/2
145
145'/2114 17 15
114 26 46
114 36   90 19   2
0 18 46
0 18 30167
167'/2
168119 13 44
119 17 13
119 20 340   6 59
0   6 42
0   6 26146
146'/2
147114 45 24
114	54 31
115	3 300 18 14
0 17 59
0 17 43168V2
169
169'/2119 23 47
119 26 52
119 29 490   6 10
0   5 53
0   5 37147'/2
148
148'/2115 12 22
115 21   6
115 29 410 17 27
0 17 11
0 16 55170
1701/2
171119 32 37
119 35 17
119 37 490   5 20
0   5   4
0   4 48149
149'/2
150115 38   9
115 46 29
115 54 400 16 40
0 16 24
0 16   81711/2
172
1721/2119 40 13
119 42 28
119 44 360   4 31
0   4 14
0   3 58150'/2
151
151116   2 44
116 10 40
116 18 280 15 52
0 15 36
0 15 20173
1731/2
174119 46 35
119 48 26
119 50   80   3 42
0   3 26
0   3   9152
15216
153116 26   8
116 33 40
116 41   40 15   4
0 14 48
0 14 321741/2
175
1751/2119 51 43
119 53 10
119 54 270   2 53
0   2 36
0   2 20\5У/2
154
1541/2116 48 20
116	55 28
117	2 280 14 16
0 14   0
0 13 44176
176V2
177119 55 38
119 56 39
119 57 320   2   3
0   1 47
0   1 30155
155V2
156117   9 20
117 16   4
117 22 400 13 28
0 13 12
0 12 561771/2
178
178'Л119 58 18
119 58 55
119 59 240   1 14
0   0 57
0   0 41156'Л
157
157 V2117 29   8
117 35 28
117 41 400 12 40
0 12 24
0 12   7179
179V2
180119 59 44
119	59 56
120	0   00   0 25
0   0   9
ООО
   Изготовим тщательно обточенный медный круг соответственно изме-
ряемой величине и с прямоугольным сечением поверхности [рис. 1-Е].
Воспользуемся им в качестве полуденного круга, разделив его на обычные
360 частей большого круга, а каждую из этих частей — на столько частей,
сколько может вместить инструмент. После этого к упомянутому кругу [1
на рис. 1-Е] присоединим другой, более тонкий круг [2] таким образом,

Рис. 1-Е
чтобы они все время оставались в одной плоскости;
малый круг должен свободно вращаться внутри
большого круга в одной и той же плоскости к
северу и к югу. На одной поверхности малого
круга в двух его диаметрально противоположных
точках закрепим небольшие призмы [3], направ-
ленные одна к другой и к центру обоих кругов.
В середине их поместим тонкие указатели [4]
таким образом, чтобы они касались поверхности
большого круга, разделенного на части. При каж-
дом наблюдении мы закрепляем этот круг на
столбике [6] подходящей величины. Основание
этого столбика устанавливается под открытым
небом на плоскости, не имеющей никакого накло-
на к горизонту и так, чтобы плоскость обоих
кругов была всегда перпендикулярна к горизонту
и параллельна кругу меридиана. Первое из этих
условий удовлетворяется при помощи отвеса [5],
подвешенного в самой верхней точке. Выпрямляя
подножия подкладками, постараемся добиться,
чтобы отвес проходил точно по диаметру. Второе
условие достигается, если на плоскости, располо-
женной под столбиком, начертить хорошо замет-
ную полуденную линию [а—а] и поворачивать
круги в стороны до тех пор, пока их плоскость
не окажется параллельной упомянутой линии.
Установив все это надлежащим образом, мы
наблюдаем в полдень отклонения Солнца к северу
и к югу, поворачивая внутренний круг до тех
пор, пока нижняя призма не будет целиком
затенена верхней. Когда это будет достигнуто,
концы указателей покажут нам, на сколько
делений полуденной линии каждый раз отстоял
центр Солнца от зенита.
   Мы сделаем это наблюдение еще более удоб-
ным, изготовив вместо кругов каменную или
деревянную четырехугольную неподвижную приз-
му [У на рис. 1-F], одна из граней которой хорошо
выровнена и разглажена . Взяв на ее поверхности
в качестве центра некоторую точку у одного из
углов, мы описали четверть круга [2] и из центральной точки до
начерченной окружности провели две прямые линии, содержащие соответ-
ствующий четверти круга прямой угол. Эту дугу мы точно так же разделили
на 90 градусов и их доли. Затем на одной из прямых, которая должна
быть перпендикулярна к плоскости горизонта и обращена к югу, мы
поместили два одинаковых прямых цилиндрика [3], обточенных подобно

друг другу. Один из них должен находиться в центральной точке, точно
совпадающей с его серединой, а другой — на нижнем конце прямой. Затем
грань призмы с начерченными линиями устанавливаем параллельно
полуденной линии [а—а], нанесенной на плоскости основания так, чтобы
эта грань имела положение, параллельное плоскости полуденного круга56.
Добившись при помощи отвеса [4], проходящего через цилиндрики, чтобы
она не имела наклона и была перпендикулярной к плоскости горизонта,
уточняем положение проходящей через эти цилиндры прямой, выпрямляя
ее, если понадобится, подкладывая небольшие подставки. Затем точно так
же в полдень будем наблюдать тень от центрального цилиндра, прикладывая
что-нибудь к окружности [5]. Для большей точности в определении места,
отметив середину тени, возьмем соответствующий ей отрезок дуги квадранта,
который, очевидно, покажет нам отклонение Солнца на данной широте в
полдень57.
    Из подобных наблюдений и главным образом из тех, которые были
сделаны нами во время солнцеворотов в течение многих лет, добившись
при помощи отсчитываемой от вершины отметки, чтобы во время летнего
или зимнего солнцеворотов получались одни и те же одинаковые деления
полуденного круга, мы нашли, что дуга от самого северного до самого
южного конца (а это будет дуга, заключающаяся между тропиками) всегда
оказывалась равной 47 градусам с избытком, большим Уз, но меньшим
У4 градуса. Отсюда получается почти то же отношение, что у Эратосфена,
которым пользовался и Гиппарх. Действительно, величина дуги между
тропиками составляет приблизительно 11 таких частей, каких в полуденном
круге будет 8358.
   Из упомянутого наблюдения становится ясно, как определять широту
места, в котором мы производим наблюдения. Между обеими конечными
точками нужно взять среднюю, которая будет соответствовать равноденст-
венному кругу, и измерить дугу, заключенную между этой точкой и верхним
концом дуги. Она, очевидно, будет равна расстоянию полюса от горизонта59.

13. Предварительные теоремы для доказательств сферики
   Теперь следует вычислить величины дуг различных больших кругов,
проведенных через полюсы равноденственного круга, которые заключаются
между равноденственным кругом и кругом, проведенным через середины

зодиакальных созвездий60. Предварительно мы из-	ЛА
ложим несколько кратких и очень полезных лемм,
при помощи которых доказательства большей части
предложений, усматриваемых при помощи сфе-
рики, можно сделать более простыми и ме-
тодическими.
   Пусть к двум прямым АВ и АГ [рис. 1.8]
проведены две прямые BE и ГА, пересекающиеся
в точке Z.
   Я   утверждаю,   что   отношение   ГА   к   АЕ
составляется из отношений ГА к AZ и ZB к	Рис 1-8
BE61. Через Е параллельно ГА проведем ЕН. Так
как ГА и ЕН параллельны, то отношение ГА к ЕА будет тем же, что и
отношение ГА к ЕН. Возьмем еще ZA; тогда отношение ГА к ЕН будет

составляться из отношений ГА к AZ и AZ к ЕН. Таким образом, отношение
ГА к АЕ составляется из отношений ГА к AZ и AZ к НЕ. Но отношение
AZ к НЕ такое же, как отношение ZB к BE вследствие параллельности
ЕН и ZA. Следовательно, отношение ГА к АЕ составляется из отношений
ГА к AZ и ZB к BE. Это и требовалось доказать.
   Так же мы докажем при выделении, что отношение ГЕ к ЕА составляется
из отношений TZ к AZ и АВ к ВА. Через А проведем параллель к ЕВ
[рис. 1.9] и продолжим до этой ее параллели прямую ГДН. Так как АН
опять будет параллельна EZ, то как относится ГЕ к ЕА, так будет относиться
и TZ к ZH62. Если взять еще ZA, то отношение TZ к ZH составится из
отношений TZ к ZA и AZ к ZH. Но отношение AZ к ZH такое же, как

отношение АВ к ВА вследствие того, что между
параллельными АН и ZB проведены ВА и ZH.
Следовательно, отношение TZ к ZH складывается из
отношений TZ к AZ и АВ к ВА. Но отношение
TZ к ZH такое же, как отношение ГЕ к ЕА, и,
следовательно, отношение ГЕ к ЕА складывается из
отношений TZ к AZ и АВ к ВА, что и требовалось
доказать.
   Пусть дан еще круг АВГ [рис. 1.10] с центром
А. Возьмем на его окружности три какие-нибудь
точки А, В, Г так, чтобы каждая из дуг АВ, ВГ
была меньше полуокружности; то же самое мы будем
предполагать в дальнейшем и для других дуг.
Проведем соединительные прямые АГ и АЕВ.
   
   Я утверждаю, что как прямая под удвоенной
дугой АВ относится к прямой под удвоенной ВГ, так
будет относиться и прямая АЕ к прямой ЕГ.
   Действительно, из точек А и Г проведем
перпендикуляры AZ и ГН к прямой АВ. Так как
AZ параллельна ГН и они пересечены прямой
АЕГ, то как относится AZ к ГН, так будет относиться
и АЕ к ЕГ.
   
рис. i.io	Но отношение AZ к ГН будет такое же, как у
                      прямой под удвоенной дугой АВ к прямой под
удвоенной ВГ, ибо первые две будут соответственно половинами вторых.
Следовательно, отношение АЕ к ЕГ будет тем же, что у прямой под
удвоенной дугой АВ к прямой под удвоенной ВГ. Это и требовалось доказать.
   Отсюда следует, что если даны вся дуга АГ и отношение прямой под
удвоенной дугой АВ к прямой под удвоенной дугой ВГ, то будут заданы
и каждая из дуг АВ и ВГ .
   Действительно, на том же чертеже [рис. 1.11] проведем соединительную
прямую АА и опустим из А на АГ перпендикуляр AZ. Очевидно, что при
задании дуги АГ будут заданными и угол AAZ, стягиваемый ее половиной,
и весь треугольник AAZ. Поскольку кроме всей прямой АГ предполагается
заданным также отношение АЕ к ЕГ, тождественное с отношением прямой
под удвоенной дугой АВ к прямой под удвоенной ВГ, будет заданной
прямая АЕ и, в результате, ZE. Вследствие этого при задании AZ будут
заданными угол EAZ прямоугольного треугольника EAZ и весь угол ААВ.
   
Таким образом, будут заданы дуга АВ и остаток ВГ. Это и требовалось
доказать.
   Пусть опять будет дан круг АВГ [рис. 1.12], описанный около центра
А. Возьмем на его окружности три точки А, В, Г так, чтобы каждая из
в

Рис. 1.11	Рис. 1.12
дуг АВ, АГ была меньше полуокружности. То же мы предположим и
относительно дуг, которые будем брать в дальнейшем. Проведем соединитель-
ные прямые ДА и ГВ, продолжим их, и пусть они пересекутся в точке Е.
Я утверждаю, что прямая под удвоенной дугой ГА относится к прямой
73	под удвоенной дугой АВ, как прямая ГЕ к BE64.
   Действительно, если мы, как и в предыдущей лемме, опустим из В и
Г перпендикуляры BZ и ГН на прямую ДА, то вследствие их параллельности
получится, что как относится ГН к BZ, так будет относиться и ГЕ к
ЕВ. Таким образом, как прямая под удвоенной дугой ГА относится к
прямой под удвоенной АВ, так будет относиться и ГЕ к ЕВ, что и
требовалось доказать.
   И отсюда получится, что если даны только дуга ГВ и отношение прямой
под удвоенной дугой ГА к прямой под удвоенной АВ, то будет дана и
дуга АВ65.
   Действительно, если на такой же фигуре [рис. 1.13] проведем
соединительную прямую ДВ и на ВГ опустим перпендикуляр AZ, то будет
74	заданным угол BAZ, стягиваемый половиной дуги ВГ, и, следовательно,
весь прямоугольный треугольник B&Z. Так как дано отношение ГЕ к ЕВ

Рис. 1.13
и прямая ГВ, то будут даны также и ЕВ, и вся прямая EBZ. Если AZ
дана, то будет дан и угол ЕДг того же прямоугольного треугольника, и
остающийся угол ЕДВ. Таким образом, будет известна и дуга АВ.
   После этих предварительных замечаний опишем на сферической
поверхности [рис. 1.14] дуги больших кругов так, чтобы проведенные к
   
двум начерченным дугам АВ и АГ две другие дуги BE и ГА пересекались
в точке Z. Пусть каждая из этих дуг будет меньше полуокружности; то
же самое мы будем предполагать и относительно всех таких построений.
   Я утверждаю, что отношение прямой под удвоенной дугой ГЕ к прямой
под удвоенной дугой ЕА складывается из отношения прямой под удвоенной
дугой TZ к прямой под удвоенной дугой ZA и отношения прямой под
удвоенной дугой АВ к прямой под удвоенной дугой ВА.
   Действительно, возьмем центр сферы, и пусть он будет в точке Н.
К точкам В, Z, Е пересечений кругов проведем из Н прямые НВ, HZ
и НЕ. Затем продолжим соединяющую прямую АА, и пусть она пересечется
в точке G с продолжением НВ. Точно так же пусть соединяющие прямые

АГ и АГ пересекутся с HZ и НЕ в
точках К и Л. Точки в, К, Л лежат на
одной прямой вследствие того, что они
одновременно находятся на двух плоско-
стях — треугольника АГА и круга BZE.
Соединяющая их прямая 0КЛ вместе с
двумя прямыми 0А и ГА дает две
проведенные поперек прямые GA и ГА,
пересекающиеся в точке К. Следователь-
но, отношение ГА к АА составляется из
отношений ГК к КА и AG к GA. Но
ГА относится к АА, как прямая, стоящая
под удвоенной дугой ГЕ, относится к
прямой под удвоенной дугой ЕА, а ГК
относится к КЛ, как прямая под удвоен-
ной дугой TZ относится к прямой под
удвоенной дугой ZA, и GA относится к GA, как прямая под удвоенной
дугой АВ относится к прямой под удвоенной дугой ВА. Следовательно,
отношение прямой под удвоенной дугой ГЕ к прямой под удвоенной дугой
ЕА складывается из отношений прямых под удвоенной дугой TZ и под
удвоенной дугой ZA, а также прямых над удвоенной дугой АВ и под
удвоенной дугой ВА.
   На основании тех же рассуждений и как бы для прямых, начерченных
на плоскости, доказывается, что отношение прямой под удвоенной дугой
ГА к прямой под удвоенной дугой ЕА складывается из отношения прямой
под удвоенной дугой ГА к прямой под удвоенной дугой AZ и отношения
прямой под удвоенной дугой ZB к прямой под удвоенной дугой BE. Все
это и предполагалось предварительно доказать66.

14. О дугах, заключенных между равноденственным
и наклонным кругами
   Доказав изложенную выше теорему, сначала вычислим упомянутые дуги
таким образом. Пусть АВГА — большой круг [рис. 1.15], проведенный
через полюсы кругов равноденственного и проходящего через середины
зодиакальных созвездий. Пусть АЕГ — полуокружность равноденственного
круга, a BE А — половина круга, проходящего через середины зодиакальных
созвездий. Пусть точка Е — их пересечение, соответствующее весеннему
равноденствию, так что В будет точкой зимнего, а А — летнего
солнцеворотов. На окружности АВГ возьмем полюс равноденственного круга
   

АЕГ. Пусть он будет в точке Z. На круге, проходящем через середины зодиа-
кальных созвездий, возьмем дугу ЕН, равную 30 таким частям, каких весь
большой круг содержит 360. Через точки Z и Н проведем дугу ZH0 большого
круга и поставим задачу определить величину Н0. При этом здесь и вообще
во всех подобных вычислениях во избежание повторений будем в каждом от-
дельном случае предполагать, что, говоря о численной величине дуг или пря-
мых и выражая ее в градусах или частях, мы относительно дуг будем говорить
о таких частях, которых в окружности большого круга
содержится 360, а относительно прямых — о таких,
каких в диаметре круга содержится 120.
   Теперь, так как на чертеже в две дуги AZ и
АЕ больших кругов вписаны две другие, Z0 и ЕВ,
пересекающиеся друг с другом в точке Н, то
отношение прямой под удвоенной дугой ZA к прямой
под удвоенной АВ складывается из отношения прямой
под удвоенной 0Z к прямой под удвоенной 0Н и
отношения прямой под удвоенной НЕ к прямой под
удвоенной  ЕВ.  Но удвоенная дуга ZA равна  180
градусам, а стоящая под ней прямая — 120 частям,	Рис- 115
удвоенная же дуга АВ в соответствии с принятым нами отношением 11 к
83 равна 47;42,40 градусам, а стоящая под ней прямая — 48;31,55 частям.
И далее, удвоенная дуга НЕ равна 60 градусам, а стоящая под ней прямая —
60 частям, удвоенная же дуга ЕВ равна 180 градусам, а прямая под ней —
120 частям. Следовательно, если из отношения 120 к 48;31,55 мы выделим
отношение 60 к 120, то останется отношение прямой под удвоенной дугой
Z0 к прямой под удвоенной ЭН, а именно 120 к 24; 15,57. Удвоенная дуга
Z0 равна 180 градусам, а стоящая под ней прямая — 120 частям.
Следовательно, прямая под удвоенной дугой ЭН равна 24; 15,57 таким же
частям. Таким образом, удвоенная дуга 0Н равна 23; 19,59 градусам, и
сама дуга ЭН — приблизительно 11 ;40 таким же градусам67.
   Теперь предположим, что дуга ЕН равна 60 градусам, а все остальное
остается таким же. Тогда удвоенная дуга ЕН равна 120 градусам, а прямая
под ней — 103;55,23 частям. Следовательно, если мы опять из отношения
120 к 48;31,55 выделим отношение 103;55,23 к 120, то останется отношение
прямой под удвоенной дугой Z0 к прямой под удвоенной 0Н, т.е. отношение
120 к 42; 1,48. Но прямая под удвоенной дугой Z0 составляет 120 частей.
Тогда прямая под удвоенной дугой 0Н будет равна 42; 1,48 частям, и,
следовательно, удвоенная дуга 0Н равна 41;0,18 градусу, а дуга 0Н равна
20;30,9 таким же градусам, что и требовалось доказать.
    Вычислив таким же образом числовые значения различных дуг, мы
составим таблицу для 90 градусов одного квадранта, содержащую числовые
величины дуг, подобных предыдущим. Таблица эта такова68.

15. Таблица склонений
См. с. 32

16. О временах восхода в прямой сфере
   Теперь следует определить числовые величины дуг равноденственного
круга, образуемых при пересечении его с кругом, проведенным через его
полюсы и заданную точку на наклонном круге. Таким образом мы получим
   
ДугиДугиДугикруга через се-
редины зодиак,
созвездиймеридианакруга через се-
редины зодиак,
созвездий? меридианакруга через се-
редины зодиак,
созвездиймеридианаГ
2
30° 24' 16"
0	48 31
1	12 46ЗГ
32
3312° Г 20"
12 22 30
12 43 2861°
62
6320° 42' 58"
20	55 24
21	7 214
5
61	37   0
2	1 12
2 25 2234
35
3613   4 14
13 24 47
13 45   664
65
6621 18 58
21 30 11
21 41   07
8
92	49 30
3	13 35
3 37 3737
38
3914   5 11
14 25   2
14 44 3967
68
6921	51 25
22	1 25
22 11    110
11
124   1 38
4 25 32
4 49 2440
41
4215   4   4
15 23 10
15 42   270
71
7222 20 11
22 28 57
22 37 1713
14
155 13 11
5	36 53
6	0 3143
44
4516   0 38
16 18 58
16 37   173
74
7522 45 11
22 52 39
22 59 4116
17
186 24   1
6	47 26
7	10 4546
47
4816	54 47
17	12 16
17 29 2776
77
7823   6 17
23 12 27
23 18 1119
20
217 33 57
7	57   3
8	20   049
50
5117	46 20
18	2 53
18 19 1579
80
8123 23 28
23 28 16
23 32 3022
23
248	42 50
9	5 32
9 28   552
53
5418 35   5
18	50 41
19	5 5782
83
8423 36 35
23 40   2
23 43   225
26
279 50 29
10 12 46
10 34 5755
56
5719 20 56
19 35 28
19 49 4285
86
8723 45 34
23 47 39
23 49 1628
29
3010	56 44
11	18 25
11 39 5958
59
6020   3 31
20 17   4
20 30   988
89
9023 50 25
23 51   6
23 51 20
69

выраженные в равноденственных временных градусах времена прохождения
через полуденный круг отдельных частей круга, проходящего через середины
зодиакальных созвездий, одинаковые для всех местностей, а также [времена
прохождения] через горизонт в прямой сфере вследствие того, что только
в   этом   случае   горизонт   проходит   через   полюсы
70
равноденственного круга  .
   Начертим снова вышеуказанную фигуру [рис. 1.16].
Пусть опять будет дана дуга ЕН наклонного круга,
которую мы для начала возьмем равной 30 градусам,
а требуется определить дугу Е0 равноденственного
круга.
На том же основании, что и выше, отношение
прямой   под  удвоенной  дугой  ZB  к  прямой   под
удвоенной  дугой   ВА  складывается   из   отношения
прямой  под  удвоенной  дугой  ZH  к  прямой  под
удвоенной   дугой   Н0   и   отношения   прямой   под
удвоенной дугой 0Е к прямой под удвоенной дугой
ЕА. Но удвоенная дуга ZB равна 132; 17,20 градусам, а стоящая под ней
прямая — 109;44,53 частям. Удвоенная же дуга АВ равна 47;42,40 градусам,
а прямая под ней — 48;31,55 частям. Далее, удвоенная дуга ZH равна   «з

156;40,1 градусам, а прямая под ней — 117;31,15 частям, удвоенная же
дуга Н0 равна 23; 19,59 градусам, прямая же под ней — 24; 15,57 частям.
Следовательно, если из отношения 109;44,53 к 48;31,55 выделим отношение
117;31,15 к 24;15,57, то у нас останется отношение прямой под удвоенной
дугой 0Е к прямой под удвоенной дугой ЕА, а именно отношение 54;52,26
к 117;31,15. Это отношение будет таким же, как отношение 56;1,53 к 120.
Удвоенная дуга ЕА равна 180 градусам, стоящая же под ней прямая —
120 частям,  и,  следовательно,  прямая под удвоенной дугой 0Е равна
56;1,5371 таким же частям. Поэтому удвоенная дуга 0Е равна приблизитель-
но 55;40 градусам, а сама дуга 0Е — 27;50 градусам.
   Предположим теперь, что дуга ЕН равна 60 градусам, так что при
остальном неизменном удвоенная дуга ZH станет равной 138;59,42 градусам,
а стоящая под ней прямая — 112;23,56 частям, удвоенная же дуга 0Н —
41;0,18 градусам, прямая же под ней — 42; 1,48 частям. Следовательно,
если из отношения 109;44,53 к 48;31,55 выделить отношение 112;23,56 к
42; 1,48, то останется отношение прямой под удвоенной дугой 0Е к прямой
под удвоенной ЕА, т.е. 95;2,40 к 112;23,56, что равносильно отношению
101 ;28,20 к 120. Но стоящая под удвоенной дугой ЕА прямая равна 120
частям. Значит, прямая под удвоенной дугой 0Е будет равна 101 ;28,20
такой же части, удвоенная же дуга 0Е составит приблизительно 115;28
72
градусов, сама же дуга 0Е — 57;44 градусов .
   Итак, показано, что первая двенадцатая часть круга, проходящего через
середины зодиакальных созвездий, начиная от точки весеннего равно-
денствия, имеет одно и то же время восхода с 27;50 градусами
равноденственного круга, вторая же двенадцатая часть — с 29;54 градусами,
ибо показано, что обе они вместе соответствуют 57;44 градусам. Очевидно,
что третья двенадцатая часть будет иметь одинаковое время восхода с
дополняющими до квадранта 32; 16 градусами, так как весь квадрант
наклонного круга имеет одинаковое время восхода с соответствующим ему
квадрантом равноденственного круга, ибо они заключены между кругами,
проходящими через полюсы равноденственного круга.
    Таким образом, следуя указанному методу, мы вычислили для каждого
десятиградусного отрезка наклонного круга дуги равноденственного круга,
имеющие с ним одинаковое время восхода. Мы сделали это по той причине,
что для дуг с меньшим числом градусов мы не будем иметь существенных
отличий от равномерного возрастания разностей. Мы укажем эти дуги,
чтобы можно было определить время, в которое каждая из них проходит
через меридиан, как мы сказали, для всех местностей и через горизонт в
прямой сфере, взяв начало десятиградусных отрезков в точке весеннего
равноденствия.
    Итак, первый отрезок содержит 9; 10 временных градусов, второй 9; 15,
третий 9; 25. Таким образом, для первой двенадцатой части получается
вместе 27;50 временных градусов. Четвертый отрезок содержит 9;40, пятый
9;58, шестой 10; 16 временных градусов; таким образом, вторая двенадцатая
часть имеет 29;54 временных градусов. Седьмой отрезок содержит 10;34
временных градусов, восьмой 10;47, девятый 10;55; так что опять у третьей
двенадцатой части при точках солнцеворота получается 32; 16 временных
градуса, а для всего квадранта — соответственно 90 градусов.
   Ясно, что для остальных квадрантов весь порядок оказывается таким
же, ибо для каждого из них все происходит одинаковым образом, поскольку
мы предполагаем сферу прямой, т.е. равноденственный круг не имеющим
никакого наклона к горизонту73.
2   К. Птолемей

Книга II

1. Об общем положении обитаемой части Земли
   После того как в первой книге этого сочинения мы изложили вкратце
необходимые сведения относительно положения Вселенной, а также все то,
что относится к прямой сфере и является полезным для теоретического
рассмотрения, мы попытаемся в дальнейшем рассмотреть все, что происходит
в наклонной сфере, опять излагая только наиболее существенное и,
насколько возможно, понятно.
   Итак, то, что вообще нужно рассмотреть предварительно, заключается
в следующем. Если разделить Землю равноденственным кругом и каким-либо
из кругов, проходящих через его полюсы, на четыре части, то величина
обитаемой части Земли приблизительно заключена в одном из двух северных
делений1. Это лучше всего уяснить в отношении широты места, т.е.
протяженности от южной точки в северном направлении, если учесть, что
во время равноденствий полуденные тени гномонов везде обращены к северу
и нигде к югу. По долготе же, т.е. протяженности с востока к западу, это
объясняется тем, что одни и те же затмения, и прежде всего лунные,
наблюдаемые одновременно жителями крайних восточных и крайних
западных частей обитаемой части Земли, фиксируются [в местном времени]
раньше  или  позднее  не  более  чем  на  двенадцать  равноденственных
часов2, а каждая четвертая часть Земли соответствует двенадцатичасовому
промежутку [времени], ибо она отграничивается одной полуокружностью
равноденственного круга. Что же касается необходимых для рассмотрения
частностей [характеризующих наклонную сферу], то в излагаемом со-
чинении, пожалуй, наиболее приемлемым было бы рассмотреть характерные
особенности каждого из северных кругов, параллельных экватору, а также
находящихся между ними обитаемых частей. К числу этих характерных
особенностей относятся: расстояние от горизонта полюсов первого движения
небесной сферы  или же расстояние от равноденственного круга той точки,
которая находится прямо над головой, измеренные по полуденному кругу4;
если Солнце бывает прямо над головой, то когда и сколько раз это может
случиться; каково отношение к длине гномона величин полуденных теней
в дни равноденствий или солнцеворотов; каково различие в продолжитель-
ности наибольших или наименьших дней по сравнению с днями равно-
денствий; а также все другое, касающееся постепенного увеличения и
уменьшения [продолжительности] дня и ночи. Сюда же относятся
одновременные восходы и заходы частей равноденственного и наклонного
кругов, а также характерные особенности и величины углов, образуемых
основными большими кругами. Все это будет рассмотрено далее.

2. О том, как по заданной величине наибольшего дня
определяются дуги горизонта,
отсекаемые равноденственным и наклонным кругами

   В качестве общего примера возьмем параллельный равноденственному
круг, проведенный через Родос, где высота полюса составляет 36 градусов,
а наибольший день содержит 14V2 равноденственных часов. Пусть АВГА
[рис. 2.1 ] будет полуденный круг, ВЕА — восточная полуокружность
горизонта, АЕГ — полуокружность равноденственного
круга и Z — его южный полюс. Положим также, что
на круге, проходящем через середины зодиакальных
созвездий, точка зимнего солнцеворота будет восходить
в Н5. На проходящем через Z и Н круге возьмем
квадрант ZH0. Пусть сначала дана величина наиболь-
шего дня, и требуется определить величину [соответ-
ствующей ей] дуги горизонта.
   Так как вращение сферы совершается вокруг
полюсов равноденственного круга, то ясно, что точки
Н и 0 в одно и то же время попадут на полуденный
круг АВГА и что время от восхода точки Н до момента,	Рис- 21
когда она над Землей разделит пополам небо, определяется дугой 0А
равноденственного круга. Время же от деления пополам неба под Землей
до восхода определяется дугой Г0. Отсюда следует, что продолжительность
дня определяется удвоенной дугой 0А, а ночи — удвоенной дугой Г0, ибо
все параллельные круги, кроме находящихся целиком над или под Землей,
делятся полуденным кругом пополам.
    На основании этого дуга Е0, представляющая собой половину разности
между продолжительностью наибольшего или наименьшего дня и про-
должительностью равноденственного дня, будет на указанной параллели
равна 11/4 часу, или же 18;45 временным градусам. Дополнение же 0А до
четверти круга будет равно 71;15 такому градусу. Теперь на основании
доказанного выше, если в две дуги АЕ и AZ больших кругов вписаны две
другие, ЕВ и Z0, пересекающиеся в точке Н, то отношение прямой под
удвоенной дугой 0А к прямой под удвоенной АЕ складывается из отношения
прямой под удвоенной 0Z к прямой под удвоенной ZH и отношения прямой
под удвоенной НВ к прямой под удвоенной BE.
   Но удвоенная дуга 0А составляет 142;30 градуса, а стоящая под ней
прямая — 113;37,54 частей. Удвоенная АЕ составляет 180 градусов, а
прямая под ней — 120 частей, удвоенная дуга 0Z также равна 180 градусам,
а прямая под ней — 120 частям. Удвоенная ZH равна 132; 17,20 градусам,
и прямая под ней — 109;44,53 частям. Следовательно, если из отношения
113;37,54 к 120 выделить отношение 120 к 109;44,53, то у нас останется
отношение прямой под удвоенной НВ к прямой под удвоенной BE, а именно
103;55,26 к 120. Прямая, стоящая под удвоенной дугой BE, равной четверти
круга, составит 120 частей, и, следовательно, прямая под удвоенной НВ
будет равна 103;55,266 таким же частям, так что удвоенная дуга НВ будет
приблизительно равна 120 градусам, а сама дуга НВ — таким же 60.
Следовательно, на остающуюся дугу НЕ придется 30 таких градусов, каких
в круге горизонта содержится 360. Это и требовалось доказать7.

3. О том, как при тех же предположениях
определяется высота полюса, и обратно
    Пусть опять известна та же величина [наибольшего дня], и требуется
определить высоту полюса, т.е. дугу BZ полуденного круга. Тогда на том
же самом чертеже [рис. 2.1 ] отношение прямой под удвоенной дугой Е0
к прямой под удвоенной дугой 0А составится из отношения прямой под
удвоенной дугой ЕН к прямой под удвоенной НВ и отношения прямой под
удвоенной BZ к прямой под удвоенной ZA. Но удвоенная дуга Е0 составляет
37;30 градусов, а стоящая под ней прямая равна 38;34,22 частям. Удвоенная
же дуга ©А составляет 142;30 градуса, а прямая под ней — 113;37,54
частей. Таким же образом удвоенная дуга ЕН равна 60 градусам, а прямая
под ней 60 частям; удвоенная дуга НВ равна 120 градусам, а стоящая под
ней прямая — 103;55,23 частям. Следовательно, если из отношения 38;34,22
к 113;37,54 выделим отношение 60 к 103;55,23, то в остатке получится
отношение прямой под удвоенной дугой BZ к прямой под удвоенной ZA,
равное приблизительно отношению 70;33 частей к 120. Но прямая под
удвоенной дугой ZA равна 120 частям. Следовательно, прямая под удвоенной
BZ равна 70;33 таким же частям. Значит, удвоенная дуга BZ будет равна
72 ;1 градусам, сама же BZ — приблизительно 36 градусам.
   Обратно. Пусть на том же самом чертеже [рис. 2.1 ] дана полученная
из наблюдений дуга BZ высоты полюса, равная 36 градусам, а надо найти
разность между наибольшим или наименьшим днем по отношению к
равноденственному, иными словами, удвоенную дугу Е0. Тогда на основании
того же самого отношение прямой под удвоенной дугой BZ к прямой под
удвоенной ВА составится из отношения прямой под удвоенной ZH к прямой
под удвоенной Н0 и из отношения прямой под удвоенной 0Е к прямой
под удвоенной ЕА. Но удвоенная дуга ZB составляет 72 градуса, прямая
под ней равна 70;32,3 частям, удвоенная дуга ВА равна 108 градусам, а
прямая под ней — 97;4,56 частям. Далее, удвоенная дуга ZH равна 132;17,20
градусам, а прямая под ней — 109;44,53 частям, удвоенная же дуга Н0
равна 47;42,40 градусам, а прямая под ней — 48;31,55 частям.
Следовательно, если из отношения 70;32,3 к 97;4,56 выделим отношение
109;44,53 к 48;31,55, то у нас останется отношение прямой под удвоенной
0Е к прямой под удвоенной ЕА, а именно отношение 31;11,23 к 97;4,56.
Но так как это отношение приблизительно равно отношению 38;34 к 120,
а прямая под удвоенной дугой ЕА равна 120 частям, то получится, что
прямая под удвоенной дугой Е0 равна 38;34 таким же частям. Таким
образом, удвоенная дуга Е0 будет равна приблизительно 37;30 градусам,
или 21/г равноденственным часам. Это и требовалось доказать.
   На основании того же самого определится и дуга ЕН горизонта, так
как задано отношение прямой под удвоенной дугой ZA к прямой под
удвоенной АВ, складывающееся из заданного отношения прямой под
удвоенной Z0 к прямой под удвоенной ©Н и из отношения прямой под
удвоенной НЕ к прямой под удвоенной ЕВ. Таким образом, если ЕВ дана,
о
то станет известной и величина ЕН .
   Очевидно также, что если Н не точка зимнего солнцеворота, но
какое-нибудь другое из делений круга, проходящего через середины знаков
зодиака, то каждая из дуг Е© и ЕН определится на тех же основаниях,
так как в таблице склонений мы поместили дуги полуденного круга,
   
отсекаемые на равноденственном круге каждым делением круга [проходя-
щего] через середины знаков зодиака, т.е. аналогичные дуге НЭ9.
   Отсюда следует также, что точки круга через середины знаков зодиака,
отсекаемые тем же самым параллельным кругом, т.е. одинаково отстоящие
от какой-либо точки солнцеворота, отсекают на горизонте одинаковые дуги,
расположенные в ту же сторону от равноденственного круга. Они дают
одинаковую продолжительность соответствующих
дней и ночей. Вместе с этим доказано, что точки,
расположенные на одинаковых параллелях, т.е.
одинаково отстоящие от одной и той же равно-
денственной точки, образуют по обе стороны
равноденственного круга равные между собой
дуги горизонта и накрест равные друг другу части
суток разного наименования10.
   В самом деле, если на приложенном чертеже
[рис. 2.2 J мы возьмем точку К, в которой круг,
равный и параллельный кругу, проведенному
через Н, пересекает полукруг ВЕД горизонта, и
проведем отрезки НЛ и КМ параллельных
кругов, очевидно, равные и противоположные друг другу, а затем через
К и северный полюс проведем четверть [окружности ] NKE, то дуга ©А
будет равна дуге ЕГ, так как обе они подобны дугам АН и МК, и
остающаяся [дуга ] ЕЭ будет равна остающейся [дуге ] ЕЕ. Таким образом,
получаются два одинаково расположенных треугольника ЕНЭ и ЕКЕ с
соответственно равными сторонами Е0 и ЕЕ и Н0 и КН. Каждый из углов
при 0 и Е прямой, так что основание ЕН будет равно основанию КЕ11.


4. О том, как вычисляется, где, когда и как часто
Солнце бывает прямо над головой
   
   При помощи приведенных данных легко вычислять, где, когда и как
часто Солнце бывает прямо над головой. Действительно, очевидно, что для
точек, находящихся на параллелях, отстоящих от равноденственного круга
далее, чем на расстояние, равное расстоянию точки летнего солнцеворота,
т.е. приблизительно 23;51,20 градуса, Солнце никогда не будет прямо над
головой. Для точек, находящихся как раз на таком расстоянии, оно будет
|прямо над головой] только один раз во время самого летнего солнцеворота,
а для точек, лежащих на расстоянии, меньшем указанного числа градусов,
Солнце окажется прямо над головой два раза [в году]. Соответствующее
время легко получить из приведенной выше таблицы склонений. Действи-
тельно, взяв во втором столбце таблицы число градусов, на которое
рассматриваемая параллель отстоит от равноденственного круга (внутри,
конечно, [параллели] летнего тропика), мы получим в соответствующем
месте первого столбца число градусов первого квадранта, показывающее,
на сколько Солнце отстоит от каждой из точек равноденствия по
направлению к точке летнего солнцеворота, когда оно находится прямо над
головой для точек, лежащих на указанной параллели12.
   
5. О том, как на основании изложенного
определяются отношения гномона к полуденным теням
в моменты равноденствий и солнцеворотов

   
   Упомянутые выше отношения теней к гномонам проще всего определить
по заданным длинам дуг между тропическими кругами, а также между
13
горизонтом и полюсами. Это можно показать следующим образом .
   Пусть АВГА — полуденный круг с центром в Е, а А — точка, лежащая
непосредственно над головой [рис. 2.3]. Проведем диаметр АЕГ и под
прямым к нему углом в плоскости полуденного круга проведем прямую
TKZN, которая, очевидно, будет параллельной общей линии пересечения

горизонта и полуденного круга.
И так как вся Земля по отно-
шению к сфере Солнца представ-
ляется точкой и ее центром, так
что нет различия между центром
Е и вершиной гномона, то вооб-
разим, что ГЕ — гномон, а
TKZN — прямая, на которую в
полдень падают концы теней.
Затем через Е проведем направ-
ления лучей в полдень в дни
равноденствий и солнцеворотов.
Пусть равноденственный луч
будет BEAZ, [луч] в день лет-
него солнцеворота — НЕЭК, а зимнего — AEMN, так что ГК будет тенью
в летний солнцеворот, TZ — равноденственной [тенью], a TN — тенью в
зимний солнцеворот. Если дуга ГА, равная той, на которую поднимается
над горизонтом северный полюс в заданном климате, будет, положим, равна
36 таким градусам, каких в полуденном круге АВГ содержится 360, а
каждая из дуг 0А и AM равна 23;51,20 градусам, то ясно, что получающаяся
в остатке дуга ГЭ будет равна 12;8,40, а вся дуга ГМ — 59;51,20 таким
же градусам. Таким образом, соответствующие им углы, если положить
четыре прямых угла равными 360, будут равны: угол КЕГ — 12;8,40, угол
ZEr — 36, угол NEr — 59;51,20 таким градусам. Если же взять за 360
градусов два прямых, то угол КЕГ будет иметь 24; 17,20 таких градусов,
угол ZEr — 72, а угол NEr равным образом 119;42,40. Следовательно,
если около прямоугольных треугольников КЕГ, ZEr и NEr опишем круги,
то соответствующая прямой ГК дуга будет иметь 24; 17,20 градуса, дуга на
ГЕ, дополняющая до полуокружности, будет иметь 155;42,40 таких градусов;
далее, дуга, соответствующая TZ, равна 72, а ГЕ — 108 таким же градусам.
Наконец, дуга, соответствующая Ш, равна 119;42,40 градусам, а соответ-
ствующая ГЕ — дополняющим до полуокружности 60; 17,20 градусам. Таким
образом, для стягивающих их прямых получается, что ГЕ будет равна
117; 18,51 таким градусам, каких в ГК будет 25;14,43, далее ГЕ — 97;4,56
таким градусам, каких в TZ содержится 70;32,4, и, наконец, ГЕ — 60; 15,42
таким градусам, каких в rN имеется 103;46,16. Следовательно, если гномон
ГЕ взять за 60 частей, то его тень в летний солнцеворот ГК будет иметь

12;55, равноденственная тень TZ — 43;36 и тень в зимний солнцеворот
TN — приблизительно 103;20 такие части.
   Также очевидно обратное. Если даны только два каких-нибудь отношения
из упомянутых трех, т.е. гномона ГЕ к этим теням, то тем самым будут
даны высота полюса и расстояние между тропиками.
   Действительно, при двух заданных каких-нибудь углах при Е будет
задан и третий вследствие того, что дуги 0А и ДМ равны. Однако ради
точности соответствующих наблюдений эти величины14 нужно указанным
выше способом определять независимо, ибо отношения отбрасываемых теней
к гномону не могут быть определены с такой же точностью вследствие
того, что время равноденствия не является само по себе определенным и
вершины теней во время зимнего солнцеворота трудно различимы.
6. Перечень характерных особенностей отдельных параллелей15
    
    Таким же образом поступаем и для других параллелей при определении
их характерных особенностей. Изменения наклонения [полюса равноденст-
венного круга]16 мы будем различать в соответствии с приращением
наибольшего дня на одну четверть равноденственного часа (что вполне
достаточно). Прежде чем перейти к подробностям, мы дадим общее
изложение и начнем с параллели, находящейся под самым равноденственным
кругом, которая приблизительно является южной границей обитаемой
четверти Земли.
    1. Только на этой параллели остаются всегда равными дни и ночи, так
как только здесь все круги на сфере, параллельные равноденственному,
делятся горизонтом пополам, так что находящиеся над Землей их части
подобны друг другу и равны соответственным частям, скрывающимся под
Землей, что не имеет места ни для какой другой широты. Действительно,
везде только один равноденственный круг делится горизонтом пополам. При
прохождении Солнца через него дни и ночи делаются равными для
восприятия, так как он тоже принадлежит к числу больших кругов.
Остальные параллели делятся горизонтом на неравные части, так что в
обитаемом климате17 находящиеся над Землей отрезки параллелей, распо-
ложенных южнее, будут меньше находящихся под Землей, что делает день
более коротким, чем ночь.
   Наоборот, для более северных параллелей их отрезки над Землей будут
большими по величине и дни более продолжительными.
   Этой параллели [т.е. экватору] соответствуют также тени двух
направлений. Для находящихся на ней Солнце дважды бывает над головой,
проходя через пересечения равноденственного и наклонного кругов, и только
когда Солнце делит небо пополам, гномоны не дают теней. При прохождении
Солнца через северное полушарие тени от гномонов направлены к югу,
при прохождении через южное — к северу. И если взять гномон равным
60 частям, тени его во время летнего и зимнего солнцеворотов будут иметь
приблизительно по 26 V2 таких частей.
   Мы говорим вообще о тенях в полдень, так как они ничем существенным
не отличаются от теоретических, хотя равноденствия и солнцевороты не
всегда совершаются точно в полдень.
   Для живущих под равноденственным кругом прямо над головой могут
оказаться светила, которые совершают свои круговращения по самому
   
равноденственному кругу.  Все светила будут для них  восходящими  и юз
заходящими, так как полюсы сферы будут расположены на самом горизонте.
Никакое из них не будет описывать полного круга, среди параллелей не
будет ни всегда видимых, ни всегда невидимых и ни один полуденный круг
не будет колюром  .
    Говорят, что лежащие под равноденственным кругом места могут быть
обитаемыми как достаточно умеренные, поскольку Солнце в них не
задерживается над головой вследствие быстрого своего движения по широте
через точки равноденствий, отчего и лето бывает умеренным. В солнцево-
ротах оно также не слишком удаляется от самой верхней точки, так что
и зима не бывает суровой. Однако каковы там условия обитаемости в
действительности, мы с уверенностью сказать не можем. Действительно, до
настоящего времени никто еще из обитателей нашей части Вселенной там
не был, и то, что о них говорится, является более вероятным, чем
доказанным. Вот все, что можно кратко сказать о свойствах параллели,
лежащей под равноденственным кругом.
   Относительно других параллелей, между которыми, как полагают
некоторые, заключаются обитаемые части Земли, мы скажем предварительно
вообще, чтобы не повторяться при рассмотрении каждой из них. А именно
там над головой бывают те светила, которые отстоят от равноденственного Ю4
круга на дугу, измеряемую по кругу, проходящему через его полюсы, и
равную расстоянию соответствующей параллели от равноденственного круга.
Далее, всегда видимым будет круг с полюсом, совпадающим с северным
полюсом равноденственного круга, описанный расстоянием, равным высоте
упомянутого полюса. Заключенные в этом круге светила всегда видимы.
Постоянно невидимым будет круг, имеющий полюс в южном полюсе
равноденственного круга и описанный таким же расстоянием, а заключа-
ющиеся внутри него светила будут всегда невидимы.
   2.	Вторая параллель — та, для которой наибольший день составляет
121/4 равноденственных часов. Она отстоит от равноденственного круга на
4Ц градуса и проходит через остров Тапробану19. Эта параллель также с
тенями двух видов, так как Солнце на ней тоже дважды бывает над головой.
Гномоны, когда оно находится в середине неба, не дают теней, если
расстояние Солнца от точки летнего солнцеворота будет равным 791/2
градусам в ту или другую сторону. Таким образом, Солнце, проходя эти
159 градусов, заставляет тени гномонов отклоняться к югу, а проходя
остальные 201 градус, — к северу.
   В этом регионе, если положить гномон равным 60 частям, равноденст-
венная тень составит 41/3I/12, летняя тень — 211/3, а зимняя — 32 такие
части.
   3.	Третья параллель — та, для которой наибольший день равен 121/г 105
равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга на 8; 25
градусов и проходит через Авалитский залив . Ей тоже соответствуют тени
двух направлений, и на ней Солнце дважды бывает над головой, проходя
через середину неба. Гномоны не имеют теней, когда оно отстоит от точки
летнего солнцеворота на 69 градусов в ту или другую сторону. Таким
образом, оно, проходя эти 138 градусов, отклоняет тени гномонов к югу,
а на остальных 222 градусах — к северу. И там, если положить гномон
равным 60 частям, равноденственная тень будет иметь 8I/2I/3 таких частей,
летняя — I61/2I/1221, а зимняя — 371/2I/3I/15.

   4.	Четвертая параллель — та, на которой наибольший день равняется
12V21/4 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга
11
на 121/2 градусов и проходит через Адулийский залив . Она тоже имеет
тени двух направлений. На ней Солнце дважды бывает над головой и,
когда оно проходит через середину неба, делает гномоны не имеющими
юб тени. Это бывает, когда оно отстоит от точки летнего солнцеворота на
57Уз градусов в ту или другую сторону. Таким образом, проходя эти
П51/3 градусов, оно заставляет тени гномонов отклоняться к югу, а на
остальных 244Уз градусах — к северу. И там, если положить гномон равным
60 частям, равноденственная тень будет иметь 1З1/3 таких частей, летняя —
12, а зимняя — 441/6.
   5.	Пятая параллель — та, на которой наибольший день равняется 13
равноденственным часам. Она отстоит на 16;27 градусов от равноденствен-
ного круга и проходит через остров Мероэ . Для нее также характерны
тени двух направлений. Солнце дважды бывает там над головой и, находясь
в середине неба, делает гномоны лишенными тени, когда отстоит от точки
летнего солнцеворота на 45 градусов в ту или другую сторону. Таким
образом, при прохождении этих 90 градусов оно отклоняет тени гномонов
к югу, на остальных же 270 — к северу. И там, если положить гномон
равным 60 частям, равноденственная тень будет иметь I71/2I/4 таких частей,
летняя — 71/21/4, а зимняя — 51.
   6.	Шестая параллель — та, на которой наибольший день равен 131/4
равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга на 20; 14
градусов и проходит через Напату24. Ей тоже соответствуют тени двух
Ю7 направлений. Для живущих на ней Солнце дважды бывает над головой и
делает в полдень гномоны лишенными тени, когда отстоит от точки летнего
солнцеворота на 31 градус в ту или другую сторону. Таким образом, при
прохождении этих 62 градусов оно отклоняет тени гномонов к югу, на
остальных же 298 градусах — к северу. И там, если гномон равняется 60
частям, равноденственная тень будет иметь 22V6 таких части,   летняя —
31/2V4, а зимняя — 581/625.
   7.	Седьмая параллель — та, для которой наибольший день равняется
131/2 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга на
1(\
23;51 градуса и проходит через Сиену . Эта параллель — первая из тех,
которые называются параллелями с одной тенью, ибо для живущих на ней
тени гномонов в полдень никогда не отклоняются к югу. Только во время
летнего солнцеворота Солнце оказывается для них над головой, и гномоны
не имеют тени, ибо они на столько же отстоят от равноденственного круга,
на сколько и точка летнего солнцеворота. Во все же остальное время тени
гномонов отклоняются к северу. И там, если гномон равняется 60 частям,
Ю8 равноденственная тень будет иметь 261/г таких частей, зимняя — 651/2I/3,
а летняя будет без тени. Все параллели, более северные, чем эта, вплоть
до ограничивающей обитаемую часть Земли, будут отбрасывать тени в
одном направлении. На них тени гномонов в полдень никогда не будут
направлены к югу или будут вовсе отсутствовать, но эти тени всегда
направлены к северу, ибо Солнце на них никогда не будет над головой.
   8.	Восьмая параллель — та, для которой наибольший день равняется
131/21/4 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга
на 27; 12 градусов и проходит через так называемую Гермиеву Птолемаиду
   
в Фиваиде . И там, если гномон равен 60 частям, летняя тень будет иметь
таких частей 31/г, равноденственная — ЗО1/2У3    и зимняя — 74i/fe.
9.	Девятая параллель — та, для которой наибольший день равняется
14	равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга на
30;22 градусов и проходит через страны Нижнего Египта. И там, если
гномон составляет 60 частей, летняя тень будет иметь таких частей
6V2V3, равноденственная — З51/12, а зимняя — 8ЗУ12 •
    10.	Десятая параллель — та, для которой наибольший день равняется
Hi/4 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга на
33; 18 градуса и проходит через середину Финикии. И там, если гномон
равен 60 частям, летняя тень равняется 10 таким частям, равноденствен-
ная — 391/2, а зимняя — 93i/i230.
    11.	Одиннадцатая параллель — та, на которой наибольший день
равняется 141/2 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного
круга на 36 градусов и проходит через Родос. И там, если положить гномон
равным 60 частям, летняя тень будет иметь таких частей  I21/2I/3I/12,
•It
равноденственная — 431/г1/ю > зимняя же —ЮЗ1/3.
    12.	Двенадцатая параллель — та, на которой наибольший день равняется
H1/2I/4 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга
на 38; 35 градусов и проходит через Смирну. И там, если положить гномон
равным 60 частям, летняя тень будет иметь таких частей 15V3,
равноденственная — 471/2I/3, а зимняя — 1141/г 1/31/12.
13.	Тринадцатая параллель — та, на которой наибольший день равняется
15	равноденственным часам. Она отстоит на 40;56 градусов от равноденст-
венного круга и проходит через Геллеспонт. И там, если положить гномон
равным   60   частям,   летняя   тень   будет   иметь   таких   частей   181/2,
равноденственная — 52VJS, зимняя же — 1271/2Уз •
    14.	Четырнадцатая параллель — та, на которой наибольший день
равняется 151/4 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного
круга на 43;4 градуса33 и проходит через Массалию34. И там, если положить
гномон равным 60 частям, летняя тень будет иметь 2OV2V3 таких частей,
равноденственная — 551/2У3У12, зимняя же — 1401/4 •
    15.	Пятнадцатая параллель — та, на которой наибольший день равняется
151/2 равноденственным часам. Она отстоит на 45; 1 градусов от равноден-
ственного круга и проходит через середину Понта36. И там, если положить
гномон равным 60 частям, летняя тень будет иметь 2З1/4 таких части,
равноденственная — 60, зимняя же 155Ц237.
    16.	Шестнадцатая параллель — та, на которой наибольший день
равняется I5V2V4 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного
круга на 46;51 градусов и проходит через истоки реки Истра38. И там,
если положить гномон равным 60 частям, летняя тень будет иметь 251/2
таких частей, равноденственная — бЗУгУз^г, а зимняя — 1711/2.
17.	Семнадцатая параллель — та, на которой наибольший день равняется
16	равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга на
48;32 градусов и проходит через устья Борисфена39. И там, если положить

гномон равным 60 частям, летняя тень будет иметь 271/2 таких частей,
равноденственная — 671/2V3, зимняя же — I881/2I/1240.
    18.	Восемнадцатая параллель — та, на которой наибольший день равен
161/4 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга на
50;4 градусов и проходит через середину Меотидского озера41. И там, если
положить гномон равным 60 частям, летняя тень будет иметь 291/2V3I/12
таких частей, равноденственная — 71 Уз, зимняя же — 2081/342.
    19.	Девятнадцатая параллель — та, на которой наибольший день равен
161/2 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга на
511/243 градус и проходит через самый юг Британии. И там, если положить
гномон равным 60 частям, летняя тень будет иметь таких частей 311/31/12,
равноденственная — 751/31/12, зимняя же — 2291/з.
    20.	Двадцатая параллель — та, на которой наибольший день равен
161/2Щ равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного круга
на 52;50 градуса и проходит через устья Рейна. И там, если положить
гномон равным 60 частям, летняя тень будет иметь ЗЗ1/3 такие части,
равноденственная — 791/12, зимняя же — 2531/644.
иг      21. Двадцать первая параллель — та, на которой наибольший день
равняется 17 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного
круга на 54; 1 градуса45 и проходит через устья Танаиса46. И там, если
гномон равен 60 частям, летняя тень будет иметь 341/2I/3I/12 такие части,
равноденственная — 821/21/12, зимняя же — 2781/г1/4.
    22.	Двадцать вторая параллель — та, на которой наибольший день
равен I71/4 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного
круга на 55 градусов47 и проходит через Бригантий в Великой Бри-
тании48. И там, если гномон равен 60 частям, летняя тень будет иметь
361/4 таких частей, равноденственная — 852/3, зимняя же — 3041/2.
    23.	Двадцать третья параллель — та, на которой наибольший день
равняется 171/2 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного
круга на 56 градусов и проходит через середину Великой Британии. И там,
если гномон равен 60 частям, летняя тень будет иметь Ъ1Уъ таких частей,
равноденственная — 881/2I/3, зимняя же — ЗЗ51/4.
из      24. Двадцать четвертая параллель — та, на которой наибольший день
равняется 17 УгЩ равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного
круга на 57 градусов и проходит через Катурактоний в Британии49. И там,
если гномон равен 60 частям, летняя тень будет иметь 391/6 таких частей50,
равноденственная — 921/3И2, зимняя же — 3722/з51.
    25.	Двадцать пятая параллель — та, на которой наибольший день
равняется 18 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного
круга на 58 градусов и проходит через юг Малой Британии. И там, если
гномон равен 60 частям, летняя тень будет иметь 402-3 таких частей,
равноденственная — 96, зимняя же — 419i/i252.
    26.	Двадцать шестая параллель — та, на которой наибольший день
равняется 181/2 равноденственным часам. Она отстоит от равноденственного
круга на 59V2 градусов и проходит через середину Малой Британии.
   Теперь мы уже не будем пользоваться приращением в одну четверть
часа вследствие того, что [при интервалах в 1/4 часа для наибольшего дня]
   
параллели становятся прилегающими друг к другу, и разность в высоте
полюса нигде не оказывается больше целого градуса. Кроме того, для более
северных областей нам уже нет надобности рассматривать это. Поэтому мы
сочли излишним рассматривать [для них] величины отношений теней к
гномонам, как мы это делали для определенных ранее мест.
   27. Итак, там, где наибольший день равняется 19 равноденственным пд
часам, эта параллель отстоит от равноденственного круга на 61 градус и
проходит через северные части Малой Британии.
   28. Там, где наибольший день равен 19V2 равноденственным часам,
соответствующая параллель отстоит от равноденственного круга на 62 градуса
и проходит через так называемые Эбудские острова53.
   29.	Там, где наибольший день равен 20 равноденственным часам,
соответствующая параллель отстоит от равноденственного круга на 63 градуса
и проходит через остров Фуле54.
   30. Там, где наибольший день равен 21 равноденственному часу,
соответствующая параллель отстоит на 641/2 градуса от равноденственного
круга и проходит через [области, на которых живут] неизвестные скифские
племена.
   31. Там, где наибольший день равен 22 равноденственным часам,
соответствующая параллель отстоит на 651/2 градусовов от равноденственного
круга.
   32. Там, где наибольший день равен 23 равноденственным часам,
соответствующая параллель отстоит на 66 градусов от равноденственного
круга.
   33. Там, где наибольший день равен 24 равноденственным часам,
соответствующая параллель отстоит на 66;8,40 градусов от равноденственного
круга. Эта параллель первая [из параллелей], на которых тень делает
полный круг. Действительно, так как Солнце там не заходит в день летнего
солнцеворота, то тени гномонов направлены во все части горизонта. И там
летняя тропическая параллель всегда видима, а зимняя тропическая
параллель всегда невидима, так как обе они касаются горизонта в
противоположных точках. Кроме того, наклонный круг, проходящий через
середины зодиакальных созвездий, будет совпадать с горизонтом, когда
восходит точка весеннего равноденствия.
   34. Если бы кто-нибудь из любви к теории захотел исследовать
особенности и более северных климатов, то он нашел бы, что там, где
высота полюса равна приблизительно 67 градусам, на протяжении 15
градусов по обе стороны от точки летнего солнцеворота на круге,
проведенном через середины зодиакальных созвездий, Солнце вообще не
будет заходить, так что наибольший день и круговращение направлений
теней во все части горизонта будет продолжаться почти целый месяц.
Действительно, все это легко можно представить себе при помощи
вышеприведенной таблицы склонений55.
    Именно, на сколько градусов отстоит от равноденственного круга
рассматриваемая параллель (например, на 15 градусов по обе стороны от
точки солнцеворота), которая вместе с отсеченным ею отрезком круга,
проведенного через середины знаков зодиака, или всегда видима, или всегда
невидима, на столько же градусов высота северного полюса будет, очевидно,
меньше 90 градусов, содержащихся в четверти круга.
   35.	Там, где высота полюса равна 69Уг градусам, на протяжении 30 не
градусов по обе стороны от точки летнего солнцеворота можно увидеть
   
Солнце совершенно незаходящим. Таким образом, наибольший день и
круговращение теней гномонов будут продолжаться приблизительно около
двух месяцев.
    36. Там, где высота полюса составляет 1ЪЩ градуса, можно было бы
увидеть Солнце незаходящим на протяжении 45 градусов с каждой стороны
от точки летнего солнцеворота. Таким образом, наибольший день и
круговращение теней гномонов будут продолжаться приблизительно три
месяца.
    37. Там, где высота полюса составляет 78Уз градусов по обе стороны
от той же точки солнцеворота, можно было бы увидеть Солнце незаходящим
на протяжении 60 градусов. Таким образом, наибольший день и круговра-
щение теней гномонов будут достигать здесь продолжительности при-
близительно в четыре месяца.
    38. Там, где высота полюса составляет 84 градуса, можно было бы
увидеть Солнце незаходящим на протяжении 75 градусов по обе стороны
от точки летнего солнцеворота. Таким образом, наибольший день длился
бы там приблизительно пять месяцев и такое же время продолжалось бы
круговращение теней гномонов.
    39. Там, где северный полюс поднимается над горизонтом на 90 градусов
(четверть круга), вся часть круга, проведенного через середины зодиакаль-
ных созвездий, лежащая к северу от равноденственного круга, никогда не
in будет находиться под Землей, и вся южная часть никогда не будет над
Землей. Таким образом, весь год состоит только из одного дня и одной
ночи, оба равны приблизительно шести месяцам и гномоны всегда
отбрасывают тень во всех направлениях.
   Этой широте свойственно также и то, что северный полюс находится
над головой, равноденственный круг делит всегда видимую и всегда
невидимую части неба и совпадает с горизонтом, причем все полушарие,
расположенное к северу от него, будет находиться всегда над Землей,
расположенное же к югу — под Землей.

7. Об одновременных восходах в наклонной сфере частей круга,
проходящего через середины зодиакальных созвездий,
и равноденственного круга
    После изложения того, что вообще наблюдается в различных климатах,
нам необходимо показать, как для каждого климата определяются
одновременно восходящие градусы равноденственного круга, измеряемые в
часах, и соответствующие дуги зодиакального круга. Отсюда мы можем
последовательно вывести и все остальные характеристики [климатов]56.
   Мы будем пользоваться названиями знаков зодиака для обозначения
соответствующих им двенадцатых частей наклонного круга, а их начала
не возьмем в точках равноденствий и солнцеворотов. Первую двенадцатую
часть, начинающуюся от точки весеннего равноденствия и идущую в
направлении против движения Вселенной, мы назовем Овном, вторую —
Тельцом и так далее согласно установленной последовательности двенадцати
зодиакальных созвездий.
    Покажем сначала, что равные дуги зодиакального круга, начинающиеся
от одной и той же точки равноденствия, будут всегда восходить одновременно
с равными дугами равноденственного круга [рис. 2.4].
    
   Пусть АВТД — меридиан, ВЕД — половина окружности горизонта,
АЕГ — половина равноденственного круга. Пусть ZH и ©К — дуги

наклонного круга такие, что каждая из точек Z и
0 предполагается совпадающей с точкой весеннего
равноденствия. От каждой из этих точек отложены
равные дуги ZH и ©К, восходящие [соответственно]
в К и Н. Я утверждаю, что будут также равны
восходящие одновременно с каждой из них дуги
равноденственного круга, т.е. ZE и 0Е.
   Пусть точки Л и М представляют собой полюсы
равноденственного круга. Проведем через них отрезки
больших кругов ЛЕМ, Л0, ЛК, ZM и МН. Теперь
ZH равна ©К, и проведенные через К и Н параллели
Рис. 2.4	одинаково отстоят по обе стороны от равноденствен-
ного круга, так что ЛК равна МН, а ЕК равна ЕН. Следовательно,
[треугольник] ЛК© имеет равные стороны с [треугольником] MHZ, а
[треугольник] ЛЕК — с [треугольником] МЕН, и, значит, угол КЛЕ равен
углу НМЕ, угол КЛ© — углу HMZ, так что остающийся угол ЕЛ© равен
остающемуся углу EMZ. Следовательно, основание Е0 равно основанию
EZ, что и требовалось доказать.
   После этого мы покажем, что сумма дуг равноденственного круга,
восходящих одновременно с отложенными от той же точки солнцеворота
равными дугами зодиакального круга, соответственно равна сумме дуг,
восходящих одновременно с ними в прямой сфере.
   Действительно, возьмем меридиан АВГД и полуокружности ВЕД
горизонта и АЕГ равноденственного круга [рис. 2.5]. Затем опишем две
равные и равноотстоящие от точки зимнего солнце-
ворота дуги наклонного круга, а именно ZH, где
Z — точка осеннего равноденствия, и 0Н, где 0 —
точка весеннего равноденствия. Таким образом, точка
Н — общая точка их восхода на горизонте вследствие
того, что дуги ZH и 0Н лежат внутри одного и того
же круга, параллельного равноденственному, так что
0Е будет восходить одновременно с 0Н, a EZ — с
ZH. Теперь ясно, что вся дуга 0EZ будет равна
сумме дуг ZH и 0Н, восходящих одновременно с
ней в прямой сфере.
В самом деле, если мы предположим в точке К южный полюс
равноденственного круга и проведем через него и Н четверть большого
круга КНЛ, которая в прямой сфере равнозначна горизонту, то ©Л будет
[дугой], одновременно восходящей в прямой сфере с 0Н, a AZ — с ZH.
Таким образом, вся дуга 0AZ, равная сумме [0Л и AZ], равна всей дуге
0EZ, причем обе они охватываются одной дугой 0Z. Это и требовалось
доказать.
   Таким образом, мы выяснили, что если для каждого климата вычислить
одновременные восхождения лишь для одной четверти круга, то мы получим
их также для трех остальных четвертей.
   Установив это, возьмем опять параллель, проходящую через Родос, на
которой наибольший день равняется 141/г равноденственным часам, а
северный  полюс  поднимается  на  36  градусов  над  горизонтом.  Пусть
   

АВГД — меридиан, ВЕД — половина круга горизонта, АЕГ — [половина ]
равноденственного [круга], a ZH© — зодиакального и Н — точка весеннего
равноденствия [рис. 2.6 ]. Пусть К — северный полюс
равноденственного круга. Проведем через него и Л —
точку пересечения с горизонтом круга, проходящего
через середины знаков зодиака, — четверть большого
круга КЛМ. Пусть требуется для данной дуги НА
найти восходящую одновременно с ней дугу ЕН
равноденственного круга, и пусть сначала НА соответ-
ствует знаку Овна.
   Так как на чертеже два больших круга, ЕГ и
ГК, проведены до встречи с дугами ЕД и КМ,	Рис 2.б
которые пересекаются в точке Л, то отношение пря-
мой, стягивающей удвоенную дугу КА, к прямой, стягивающей удвоенную
ДГ, составляется из отношения прямой, стягивающей удвоенную КЛ, к
прямой, стягивающей удвоенную ЛМ, и отношения прямой, стягивающей
удвоенную ME, к прямой, стягивающей удвоенную ЕГ. Но удвоенная дуга
КА составляет 72 градуса, а стягивающая ее прямая равна 70;32,3, удвоенная
ГД — 108 градусов, а стягивающая ее прямая — 97;4,56. Далее, удвоенная
дуга КЛ составляет 156;40,1 градусов, а стягивающая ее прямая — 117;31,15;
удвоенная ЛМ равна 23; 19,59 градусам, а стягивающая ее прямая —
24; 15,57. Следовательно, если из отношения 70;32,4 к 97;4,56 мы выделим
отношение 117;31,15 к 24; 15,57, то у нас останется отношение прямой,
стягивающей удвоенную дугу ME, к прямой, стягивающей удвоенную дугу
ЕГ, а именно отношение 18;0,5 к 120. Прямая, стягивающая удвоенную
ЕГ, составляет 120 частей. Следовательно, прямая, стягивающая удвоенную
ME, равна 18;0,5 таким частям и, значит, удвоенная дуга ME будет равна
приблизительно 17; 16 градусам, а сама дуга ME — 8;38 таким же градусам.
Но поскольку вся дуга НМ восходит в прямой сфере одновременно с НЛ,
она, как показано выше, равна 27;50 градусам57. Следовательно, остающаяся
дуга ЕН равна 19; 12 градусам.
   Вместе с этим доказано, что двенадцатая часть зодиака, соответствующая
Рыбам, восходит одновременно с 19; 12 временными градусами, а каждая
из частей, соответствующих Деве и Клешням58, восходит с 36;28 временными
59
градусами , которые остаются от двойной восходящей дуги в прямой сфере.
Это и требовалось доказать.
   Пусть теперь дуга НЛ [рис. 2.6] охватывает две двенадцатые части
зодиака, соответствующие Овну и Тельцу, т.е. 60 градусов. При таком
задании, поскольку все остальное остается тем же самым, удвоенная дуга
КЛ окажется равной 138;59,42 градусам, а стягивающая ее прямая —
112;23,56 частям. Удвоенная дуга ЛМ будет равна 41;0,18 градусу, а
стягивающая ее прямая — 42; 1,48 частям.
    Следовательно, если мы снова из отношения 70;32,4 к 97;4,56 выделим
отношение 112;23,56 к 42; 1,48, то останется отношение прямой, стягивающей
удвоенную дугу ME, к прямой, стягивающей удвоенную ЕГ, а именно
отношение 32;36,4 к 120. Но прямая, стягивающая удвоенную ЕГ, равна
120 частям. Следовательно, прямая, стягивающая удвоенную ME, будет
равна 32;36,4 таким же частям. Таким образом, удвоенная дуга ME будет
равна приблизительно 31;32 градусу, а сама дуга ME — 15;46 таким же
    
градусам. Но вся дуга МН, как было показано выше , составляет 57;44
градусов, поэтому остающаяся НЕ будет равна 41;58 градусу. Следовательно,
Овен и Телец вместе восходят с 41;58 временным градусом, из которых
на восхождение Овна идет, как было показано, 19; 12. Таким образом,
только один Телец восходит одновременно с 22; 46 временными градусами.
   Далее, на основании таких же рассуждений знак Водолея будет восходить
одновременно с теми же 22;46 временными градусами. Каждый из знаков
Льва и Скорпиона будет восходить вместе с 37;2 временными градусами,
недостающими до удвоенной дуги, восходящей в прямой сфере.
   Но так как наибольший день равен 141/2 равноденственным часам, а
наименьший — 91/2, то ясно, что вся полуокружность от Рака до Стрельца
будет восходить вместе с 217;30 временными градусами, полуокружность
от Козерога до Близнецов — с 142; 30 временными градусами. Таким
образом, каждая из четвертей [зодиакального круга], прилегающих с обеих
сторон к точке весеннего равноденствия, будет восходить одновременно с
71; 15 временным градусом, каждая же из четвертей, прилегающих к точке
осеннего равноденствия, — со 108;45 градусами. Следовательно, каждая из
остающихся двенадцатых частей, соответствующих [в каждом квадранте]
Близнецам и Козерогу, будут восходить одновременно с 29; 17 градусами,
которые [вместе с 41;58] составляют 71; 15 градус, за который восходит
четверть зодиака. Оставшиеся двенадцатые части, соответствующие Раку и
Стрельцу, будут каждая восходить вместе с 35; 15 временными градусами,
дополняющими 108; 45 градусов для этой четверти зодиака.
   Очевидно, что таким же точно образом мы можем определить времена
восхода для меньших дуг зодиакального круга. Но проще и практичнее
вычислить их следующим образом.
   Сначала пусть АВГД — полуденный круг, ВЕД — полуокружность
горизонта, АЕГ — [полуокружность] равноденственного круга и ZEH —
круга, проведенного через середины зодиакальных созвездий, причем точка
Е их пересечения предполагается совпадающей с точкой весеннего
равноденствия [рис. 2.7]. Возьмем на зодиакальном круге какую-нибудь

дугу Е@, построим дугу ©К, параллельную
равноденственному кругу, и из [южного] полюса
А равноденственного круга проведем четверти
больших кругов А@М, AKN и АЕ. Ясно, что
отрезок Е© зодиакального круга в прямой сфере
восходит одновременно с дугой ЕМ равноденст-
венного круга, а в наклонной — с дугой, равной
NM, так как дуга К© параллельного круга,
восходящая одновременно с отрезком Е@, подоб-
на дуге NM равноденственного круга. Подобные
же дуги параллельных кругов везде восходят в
Рис. 2.7	одинаковые времена. Следовательно, время вос-
                          хода дуги Е@ в наклонной сфере на дугу EN
меньше соответствующего времени восхода в прямой сфере. Таким образом,
доказано, что, если начертить дуги больших кругов, аналогичные AKN, то
отрезок EN представит разность времен восхода в прямой и в наклонной
сферах дуг зодиакального круга, заключенных между точкой Е и
параллелью, проведенной через К. Это и требовалось доказать.
                          
   Установив это, возьмем на чертеже только полуденный круг и
полуокружности горизонта и равноденственного круга. Затем проведем через
южный полюс равноденственного круга Z четверти
больших кругов ZH0 и ZKA [рис. 2.8 ].
   Предположим, что точка Н — общая точка
горизонта и параллели, проведенной через точку
зимнего солнцеворота, а К — общая точка горизонта
и параллели, которая, например, проведена через
начало Рыб или какую-нибудь другую данную точку
из дуг четверти окружности [от начала Козерога до
конца Рыб]. Таким образом, опять в дуги Z0 и
Е0 больших кругов вписаны две другие, ZKA и
ЕКН, пересекающиеся в К. И отношение прямой,
стягивающей удвоенную дугу 0Н, к прямой, стягивающей удвоенную ZH,
будет составляться из отношения прямой, стягивающей удвоенную 0Е, к
прямой, стягивающей удвоенную ЕЛ, и отношения прямой, стягивающей
удвоенную КЛ, к прямой, стягивающей удвоенную KZ.
    Но удвоенная дуга 0Н — одна и та же для всех климатов (ибо это
дуга, заключающаяся между тропиками) — дана. Вследствие этого задана
удвоенная разность HZ. Точно так же для тех же отрезков зодиакального
круга дана удвоенная дуга ЛК — одна и та же для всех климатов (она
определяется по таблице склонений), а вследствие этого задана оставшаяся
удвоенная дуга KZ. Таким образом, отношение прямых, стягивающих
удвоенные дуги 0Е и ЕЛ, одинаково для всех климатов и одних и тех же
дуг рассматриваемой четверти зодиакального круга.
    Итак, если при таком положении мы будем брать различные значения
дуги КЛ для точек, расположенных последовательно через 10 градусов в
квадранте от точки весеннего равноденствия до зимнего солнцеворота (для
практического применения такие деления вполне достаточны), то в каждом
случае удвоенная дуга 0Н равна 47^42,40 градусам, а стягивающая ее
прямая — 48;31,55 частям. Удвоенная дуга HZ равна 132;17,20 градусам,
а стягивающая ее прямая — 109;44,53 частям.
   Точно так же для точки, удаленной на 10 градусов от точки весеннего
равноденствия в направлении к точке зимнего солнцеворота, удвоенная дуга
КЛ равна 8;3,16 градусам, а стягивающая ее прямая — 8;25,39 частям;
удвоенная дуга KZ будет составлять 171;56,44 градус, а стягивающая ее
прямая — 119;42,14 частей.
   Для такой же дуги, отстоящей на 20 градусов, удвоенная дуга КЛ
составит 15;54,6 градусов, а стягивающая ее прямая — 16;35,56 частей,
удвоенная KZ составит 164;5,54 градуса, а стягивающая ее прямая —
118;50,47 частей.
   Для дуги, отстоящей на 30 градусов, удвоенная дуга ЛК составит 23; 19,58
градуса, а стягивающая ее прямая — 24; 15,56 части, удвоенная KZ будет
составлять 156;40,2 градусов, а стягивающая ее прямая — 117;31,15 частей.
   Для дуги, отстоящей на 40 градусов, удвоенная дуга ЛК составит 30;8,8
градусов, а стягивающая ее прямая — 31; 11,43 часть, удвоенная KZ —
149;51,52 градусов, а стягивающая ее прямая — 115;52,19 частей.
   Для дуги, отстоящей на 50 градусов, удвоенная дуга ЛК равна 36;5,46
градусам, а стягивающая ее прямая — 37; 10,39 частям, удвоенная KZ —
143;54,14 градусам, а стягивающая ее прямая — 114;5,44 частям.
   
   Для дуги, отстоящей на 60 градусов, удвоенная дуга ЛК равна 41 ;0,18
градусу, а стягивающая ее прямая — 42; 1,48 частям, удвоенная KZ —
138;59,42 градусам, а стягивающая ее прямая — 112;23,57 частям.
   Для дуги, отстоящей на 70 градусов, удвоенная дуга ЛК равна 44;40,22
градусам, а стягивающая ее прямая — 45; 36,18 частям, удвоенная KZ —
135; 19,38 градусам, а стягивающая ее прямая — 110;59,47 частям.
   Для дуги, отстоящей на 80 градусов, удвоенная дуга ЛК равна 46;56,32
градусам, а стягивающая ее прямая — 47;47,40 частям, удвоенная KZ —
133;3,28 градусам, а стягивающая ее прямая — 110;4,16 частям.
   На основании изложенного, если из отношения прямой, стягивающей
удвоенную дугу 0Н, к прямой, стягивающей удвоенную HZ, т.е. из
отношения 48;31,55 к 109;44,53, мы будем соответственно каждому десятку
градусов выделять отношение прямой, стягивающей удвоенную ЛК, к
прямой, стягивающей удвоенную KZ, то в остатке получится отношение
прямой, стягивающей удвоенную 0Е, к прямой, стягивающей удвоенную
ЕЛ, которое для всех климатов будет равно отношению 60 к следующим
числам: для дуги, отстоящей, как сказано,
на 10 градусов, — к 9;33, на 50 градусов, — к 44; 12,
на 20 градусов, — к 18;57, на 60 градусов, — к 50;44,
на 30 градусов, — к 28; 1,	на 70 градусов, — к 55;45,
на 40 градусов, — к 36;33,        на 80 градусов, — к 58;55.
   Отсюда ясно, что, зная для каждого климата удвоенную дугу 0Е (она
составляет столько градусов, на сколько временных градусов продолжитель-
ность дня равноденствия превышает продолжительность наименьшего дня),
стягивающую ее прямую и ее отношение к прямой, стягивающей удвоенную
дугу 0Е, мы будем знать и эту стягивающую прямую, и удвоенную дугу
ЕЛ. Если ее половину, т.е. саму дугу ЕЛ, равную упомянутой разности,
вычесть из времени восхода в прямой сфере соответствующей дуги
зодиакального круга, мы получим время восхода той же самой дуги для
заданного климата.
   В качестве примера возьмем опять широту параллели, проходящей через
Родос, для которой удвоенная дуга Е0 составляет 37;30 градусов, а
стягивающая ее прямая — приблизительно 38;34 частей. Поскольку
отношение 60 к 38;34 равно отношению 9;33 к 6;8 для 10 градусов,
или 18;57 к 12; 11 [для 20 градусов],
или 28; 1   к 18;0   [для 30 градусов],
или 36;33 к 23;29 [для 40 градусов],
или 44; 12 к 28;25 [для 50 градусов],
или 50;44 к 32;37 [для 60 градусов],
или 55;45 к 35;52 [для 70 градусов],
или 58;55 к 37;52 [для 80 градусов],
получается прямая, стягивающая удвоенную дугу ЕЛ для каждого из
десятиградусных приращений отложенных соответствующим образом отрез-
ков. Половина стягиваемой ею дуги, т.е. сама дуга ЕЛ, будет равна
2;56 градусам для первого,        13;42 градусам для пятого,
5;50 градусам для второго,        15;46 градусам для шестого,
8;38 градусам для третьего,       17;24 градусам для седьмого,
11;17 градусам для четвертого,    18;24 градусам для восьмого
десятиградусного промежутка и, конечно, 18;45 градусам для девятого.

    Таким образом, если в прямой сфере дуга, соответствующая первому
десятиградусному промежутку, восходит вместе с 9; 10 временными граду-
сами, соответствующая
второму     — с 18;25,	шестому — с 57;44,
третьему    — с 27;50,	седьмому — с 68; 18,
четвертому — с 37;30;	восьмому — с 79;5,
пятому      — с 47; 28,	девятому — с 90
временными градусами целой четверти круга, то ясно, что, отнимая от
каждого из времен восхода в прямой сфере подходящую величину, а именно
соответствующую дуге ЕЛ разность, мы получим время восхода тех же
самых дуг для рассматриваемого климата.
    Таким образом, оказывается, что соответствующая первому десятигра-
дусному промежутку дуга восходит с получающимися в остатке 6; 14
временными градусами, соответствующая
второму     — с 12;35,	шестому    — с 41;58,
третьему    — с 19; 12,	седьмому   — с 50;54,
четвертому — с 26; 13,	восьмому   — с 60;41,
пятому      — с 33;46,
девятому, т.е.  всей четверти круга,  — с 71; 15 временным градусом,
соответствующим половине продолжительности самого короткого дня. И
следовательно,   из   упомянутых   дуг,   содержащих   по   десятиградусному
промежутку, первая восходит с 6; 14 временными градусами,
вторая       — с 6;21,	шестая    — с   8; 12,
третья       — с 6;37,	седьмая   — с   8;56,
четвертая   — с 7;1,	восьмая   — с   9;47,
пятая        — с 7;33,	девятая   — с 10;34.
   Доказав все это, мы сейчас же, согласно приведенным соображениям,
последовательно получим времена восхода и для остальных четвертей круга.
    Итак, вычислив таким же образом времена восхода для каждого
десятиградусного промежутка и на остальных параллелях для использования
во всякого рода практических приложениях, мы приведем их в табличном
виде, начиная с самого равноденственного круга и заканчивая параллелью
с самым длинным днем в 17 часов, давая приращения по 1/2 часа [для
самого долгого дня], так как в пределах 1/2 часа разности несущественно
отличаются от получающихся при равномерном изменении. Итак, в первом
столбце мы поместим 36 десятиградусных делений круга, для каждого из
них [во втором столбце] поместим временные градусы времени восхода для
соответствующего климата и [в третьем] величины, получаемые при их
сложении.
    
8. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов
См. с. 52-55

61


142	9. О частных вопросах, связанных с временами восхода
    После того как мы установили способ определения времен восхода, все
остальное, относящееся к этому предмету, легко разрешимо, и нам не
понадобятся ни геометрические доказательства каждого из этих следствий,
ни составление дополнительных таблиц. Общий ход рассуждений вполне
ясен, если воспользоваться приведенными таблицами.
    
 Знаки
зодиакаДесяти-
градус-
ные
интер-
валы    Прямая сфера
Наибольший день 12h
Высота полюса 0;0°Авалитский залив
Наибольший день 12V21
Высота полюса 8;25°Мероэ
Наибольший день 13h
Высота полюса 16;27°

О      1Сложенные
временаО      1Сложенные
временао     ,Сложенные
временаОвен10
20
309 10
9 15
9 25 9 10
18 25
27 508 35
8 39
8 52 8 35
17 14
26 67	58
8	5
8 17 7 58
16   3
24 20Телец10
20
30 9 40
9 58
10 1637 30
47 28
57 449   8
9 29
9 5135 14
44 43
54 348	36
9	1
9 2732 56
41 57
51 24Близнецы10
20
3010 34 .
10 47
10 5568 18
79   5
90   010 15
10 35
10 5164 49
75 24
86 159 56
10 23
10 4761 20
71 43
82 30Рак10
20
3010 55
10 47
10 34100 55
111 42
122 1610 59
10 59
10 5397 14
108 13
119   611   3
11 11
И 1293 33
104 44
115 56Лев10
20
3010 16
9 58
9 40132 32
142 30
152 1010 41
10 27
10 12129 47
140 14
150 2611   5
10 55
10 44127   1
137 56
148 40Дева10
20
309 25
9 15
9 10161 35
170 50
180   09 58
9 51
9 45160 24
170 15
180   010 33
10 25
10 22159 13
169 38
180   0Весы10
20
309 10
9 15
9 25189 10
198 25
207 509 45
9 51
9 58189 45
199 36
209 3410 22
10 25
10 33190 22
200 47
211 20Скорпион10
20
309 40
9 58
10 16217 30
227 28
237 4410 12
10 27
10 41219 46
230 13
240 5410 44
10	55
11	5222   4
232 59
244   4Стрелец10
20
3010 34
10 47
10 55248 18
259   5
270   010 53
10 59
10 59251 47
262 46
273 4511 12
11 11
11   3255 16
266 27
277 30Козерог10
20
3010 55
10 47
10 34280 55
291 42
302 1610 51
10 35
10 15284 36
295 11
305 2610 47
10 23
9 56288 17
298 40
308 36Водолей10
20
3010 16
9 58
9 40312 32
322 30
332 109 51
9 29
9   8315 17
324 46
333 549 27
9   1
8 36318   3
327   4
335 40Рыбы10
20
309 25
9 15
9 10341 35
350 50
360   08 52
8 39
8 35342 46
351 25
360   08 17
8   5
7 58343 57
352   2
360   0
 Знаки
зодиакаДесяти-
градус-
ные
интер-
валыСиена
Наибольший день 13V2b
Высота полюса 23;51°   Нижний Египет
Наибольший день 14й
Высота полюса 30;22°Родос
Наибольший день \4Vih
Высота полюса 36;0°

О     1Сложенные
временаО      1Сложенные
временаО     1Сложенные
временаОвен10
20
307 23
7 29
7 45 7 23
14 52
22 376 48
6	55
7	10 6 48
13 43
20 536 14
6 21
6 37 6 14
12 35
19 12Телец10
20
308   4
8	31
9	330 41
39 12
48 157	33
8	2
8 3728 26
36 28
45   57   1
7	33
8	1227 13
33 46
41 58Близнецы10
20
309 36
10 11
10 4357 51
68   2
78 459 17
10   0
10 3854 22
64 22
75   08	56
9	47
10 3450 54
60 41
71 15Рак10
20
3011   7
11 23
11 3289 52
101 15
112 4711 12
11 34
11 5186 12
97 46
109 3711 16
11	47
12	1282 31
94 18
106 30Лев10
20
3011 29
11 25
11 16124 16
135 41
146 5711 55
11 54
11 47121 32
133 26
145 1312 20
12 23
12 19118 50
131 13
143 32Дева10
20
3011   5
11   1
10 57158   2
169   3
180   011 40
11 35
11 32156 53
168 28
180   012 13
12   9
12   6155 45
167 54
180   0Весы10
20
3010	57
11	1
11   5190 57
201 58
213   311 32
11 35
11 40191 32
203   7
214 4712   6
12   9
12 13192   6
204 15
216 28Скорпион10
20
3011 16
11 25
11 29224 19
235 44
247 1311 47
11 54
11 55226 34
238 28
250 2312 19
12 23
12 20228 47
241 10
253 30Стрелец10
20
3011 32
11 23
И   7258 45
270   8
281 1511 51
11 34
11 12262 14
273 48
285   012 12
11 47
11 16265 42
277 29
288 45Козерог10
20
3010 43
10 11
9 36291 58
302   9
311 4510 38
10   0
9 17295 38
305 38
314 5510 34
9 47
8 56299 19
309   6
318   2Водолей10
20
309   3
8 31
8   4320 48
329 19
337 238 37
8   2
7 33323 32
331 34
339   78 12
7 33
7   1326 14
333 47
340 48Рыбы10
20
307 45
7 29
7 23345   8
352 37
360   07 10
6 55
6 48346 17
353 12
360   06 37
6 21
6 14347 25
353 46
360   0
 Знаки
зодиакаДесяти-
градус-
ные
интер-
валы     Геллеспонт
Наибольший день 15ь
Высота полюса 40;56°    Средний Понт
Наибольший день 15V2h
Высота полюса 45; 1°  Устья Борисфена
Наибольший день 16h
Высота полюса 48; 32°

О     1Сложенные
временаО      1Сложенные
временао     гСложенные
временаОвен10
20
305 40
5	47
6	55 40
11 27
17 325   8
5 14
5 335   8
10 22
15 554 36
4	43
5	14 36
9 19
14 20Телец10
20
306	29
7	4
7 4624   1
31   5
38 515	58
6	34
7	2021 53
28 27
35 475	26
6	5
6 5219 46
25 51
32 43Близнецы10
20
308	38
9	32
10 2947 29
57   1
67 308	15
9	19
10 2444   2
53 21
63 457 53
9   5
10 1940 36
49 41
60   0Рак10
20
3011	21
12	2
12 3078 51
90 53
103 2311	26
12	15
12 5375 11
87 26
100 1911	31
12	29
13	1571 31
84   0
97 15Лев10
20
3012 46
12 52
12 51116   9
129   1
141 5213 12
13 22
13 22113 31
126 53
140 1513 40
13 51
13 54ПО 55
124 46
138 40Дева10
20
3012 45
12 43
12 40154 37
167 20
180   013 17
13 16
13 12153 32
166 48
180   013 49
13 47
13 44152 29
166 16
180   0Весы10
20
3012 40
12 43
12 45192 40
205 23
218   813 12
13 16
13 17193 12
206 28
219 4513 44
13 47
13 49193 44
207 31
221 20Скорпион10
20
3012 51
12 52
12 46230 59
243 51
256 3713 22
13 22
13 12233   7
246 29
259 4113 54
13 51
13 40235 14
249   5
262 45Стрелец10
20
3012 30
12   2
11 21269   7
281   9
292 3012 53
12 15
11 26272 34
284 49
296 1513 15
12 29
11 31276   0
288 29
300   0Козерог10
20
3010 29
9 32
8 38302 59
312 31
321   910 24
9 19
8 15306 39
315 58
324 1310 19
9   5
7 53310 19
319 24
327 17Водолей10
20
307 46
7   4
6 29328 55
335 59
342 287 20
6 34
5 58331 33
338   7
344   56 52
6   5
5 26334   9
340 14
345 40Рыбы10
20
306   5
5 47
5 40348 33
354 20
360   05 33
5 14
5   8349 38
354 52
360   05   1
4 43
4 36350 41
355 24
360   0
 Знаки
зодиакаДесяти-
градус-
ные
интер-
валыЮг Британии
Наибольший день 16'/2h
Высота полюса 51;30°    Устья Танаиса
Наибольший день 17h
Высота полюса 54; 1°

О      1Сложенные
временаО      1Сложенные
временаОвен10
20
304   5
4 12
4 314   5
8 17
12 483 36
3	43
4	03 36
7 19
11 19Телец10
20
304	56
5	34
6	2517 44
23 18
29 434	26
5	4
5 5615 45
20 49
26 45Близнецы10
20
307	29
8	49
10 1437 12
46   1
56 157	5
8	33
10   733 50
43 23
52 30Рак10
20
3011	36
12	45
13	3967 51
80 36
94 1511 43
13	1
14	364 13
77 14
91 17Лев    10
'20
3014   7
14 22
14 24108 22
122 44
137   814 36
14 52
14 54105 53
120 45
135 39Дева10
20
3014 19
14 18
14 15151 27
165 45
180   014 50
14 47
14 44150 29
165 16
180   0Весы10
20
3014 15
14 18
14 19194 15
208 33
222 5214 44
14 47
14 50194 44
209 31
224 21Скорпион10
20
3014 24
14 22
14   7237 16
251 38
265 4514 54
14 52
14 36239 15
254   7
268 43Стрелец10
20
3013 39
12 45
11 36279 24
292   9
303 4514   3
13   1
11 43282 46
295 47
307 30Козе рос10
20
3010 14
8 49
7 29313 59
322 48
330 1710   7
8 33
7. 5317 37
326 10
333 15Водолей10
20
306 25
5 34
4 56336 42
342 16
347 125 56
5   4
4 26339 11
344 15
348 41Рыбы10
20
304 31
4 12
4   5351 43
355 55
360   04   0
3 43
3 36352 41
356 24
360   0
    Прежде всего, если необходимо определить продолжительность данного
дня или ночи, надо подсчитать число временных градусов для соответст-
вующего климата: для дня — от занимаемого Солнцем градуса до диамет-
рально противоположной точки в направлении последовательности знаков
зодиака, а для ночи — от этой диаметрально противоположной Солнцу точки
до градуса, занимаемого Солнцем. Сумма соответствующих временных
градусов, деленная на 15, даст число равноденственных часов в рассматрива-
емом промежутке времени. Взяв же 1/12 часть от этой суммы, получим
число  временных  градусов,  соответствующих для того  же  промежутка
62
времени одному сезонному часу  .
   Продолжительность [сезонного] часа можно определить и проще, если
из упомянутой таблицы времен восхода взять разность стоящих в ней
сложенных времен для градуса, занимаемого Солнцем днем (или [для
градуса, соответствующего] диаметрально противоположной точке ночью),
для равноденственного круга [т.е. в прямой сфере] и для соответствующего
климата. Взяв 14 часть этой разности и сложив ее с 15 временными
градусами одного равноденственного часа, если соответствующий градус
находится в северной полуокружности, или вычтя ее из упомянутых 15
градусов, если он находится в южной, мы получим количество временных
градусов, соответствующих данному сезонному часу  .
   Данное время в сезонных часах можно превратить в равноденственные,
умножив количество дневных часов на число временных градусов,
соответствующих этому дню в рассматриваемом климате, а количество
ночных часов — на такое же число, соответствующее ночи. Взяв 1/15 часть
от полученного числа, получим количество равноденственных часов.
Обратно, данное число равноденственных часов мы можем обратить в
сезонные, умножив их на 15 и разделив на число временных градусов,
соответствующих одному часу для данного промежутка времени.
   Далее, если нам даны дата и величина какого-нибудь [сезонного] часа,
мы определим сначала восходящий градус зодиакального круга, умножив
(днем) число часов, прошедших от восхода Солнца, а ночью — от захода,
на число временных градусов соответствующего [сезонного] часа. Получен-
ное число прибавим ко времени восхода в указанном климате занимаемого
Солнцем градуса (днем) или [к градусу, соответствующему] диаметрально
противоположной точке (ночью). Тот градус, которого достигнет отсчиты-
ваемое число, будет восходящим [в этот момент]64.
   Если же мы хотим определить градус, находящийся [в данный момент]
над Землей в середине неба, то всегда [т.е. как для дня, так и для ночи]
умножаем число сезонных часов, прошедших от последнего полудня до
данного часа, на соответствующее одному часу число временных градусов.
Полученное число прибавим ко времени восхода в прямой сфере занимаемого
Солнцем градуса. Тот градус [зодиакального круга], на который придется
отсчитываемое число, будет находиться в этот момент над Землей в середине
неба.
   Точно так же по восходящему градусу мы определим градус, делящий
пополам небо над Землей, если найдем в таблице для рассматриваемого
климата сумму времен, соответствующую восходящему градусу. Всегда
[т.е.   как ночью,   так и днем] вычитая из него 90 временных градусов
   
четверти [равноденственного круга между горизонтом и меридианом], по
сложенным временам, определяемым из таблицы для прямой сферы, находим
соответствующий указанному числу градус, находящийся в этот момент в
середине неба. Обратно, по градусу, находящемуся над Землей в середине
неба, мы получим восходящий градус, если найдем в таблице для прямой
сферы сумму времен, соответствующую градусу, находящемуся в середине
неба. Всегда прибавляя к нему те же 90 градусов, мы определяем по сумме
времен для данного климата, какой градус соответствует этому числу. Этот
градус будет восходящим65.
   Очевидно, что для живущих на одном и том же полуденном круге
Солнце будет отстоять от полудня или полуночи на одинаковое число
равноденственных часов. Для тех же, кто не живет на одном полуденном
круге, разность, выраженная во временных градусах равноденственного
круга, будет равна разности градусов между соответствующими полуденными
кругами.

10. Об углах, образуемых кругом, проходящим через середины
зодиакальных созвездий, и полуденным кругом
   
   Для завершения разбираемой теории остается рассмотреть углы,
образуемые кругом, проходящим через середины зодиакальных созвездий.
Прежде всего нужно иметь в виду, что большие круги образуют между
собой прямой угол, если, описав из точки пересечения этих кругов как из
полюса любым радиусом окружность [перпендикулярно линии их пересе-
чения], мы увидим, что дуга этой окружности между содержащими угол
дугами составляет четверть описанного круга. Вообще же угол наклона двух
плоскостей так относится к четырем прямым углам, как отсеченная дуга
описанной упомянутым образом окружности — ко всей окружности. Таким
образом, если периметр этой окружности положить равным 360 частям, то
сколько таких частей содержит упомянутая отсеченная дуга, столько частей
будет заключаться в стягиваемом ею угле, если принять прямой угол за
90 частей.
   Что касается углов, образуемых при наклонном круге, то наиболее
важными для рассматриваемой теории будут те, которые получаются при
пересечении его в различных положениях с полуденным кругом, а также
с горизонтом и, наконец, при пересечении с большим кругом, проведенным
через полюсы горизонта. Одновременно с этими углами определяются и
дуги последнего круга, заключенные между его пересечениями с зодиакаль-
ным кругом и полюсом горизонта, т.е. точкой, лежащей прямо над головой66.
Определение каждого из упомянутых углов имеет важнейшее значение для
рассматриваемой теории, а также в высшей степени полезно для нахождения
параллакса Луны, определить который никоим образом невозможно без
предварительного усвоения изложенного выше.
   Хотя в пересечении двух кругов, т.е. круга, проходящего через середины
знаков зодиака, и одного из пересекающих его упомянутых кругов,
получаются всего четыре угла, в дальнейшем мы будем говорить только об
одном, занимающем всегда определенное положение. Предварительно
условимся, что вообще из двух углов, получающихся при упомянутой дуге
зодиакального круга в общем сечении этих кругов, мы будем брать тот,
который обращен к северу, так что все свойства и определяемые
количественные величины будут относиться к углам такого рода. Поскольку
   
для доказательства наиболее простым является определение углов наклонного
круга с полуденным, мы начнем с него и прежде всего покажем, что две
точки зодиакального круга, одинаково отстоящие от одной и той же точки
равноденствия, образуют равные упомянутые углы.
   Действительно, пусть АВГ — дуга равноденственного круга, ABE —
дуга круга, проходящего через середины знаков зодиака, а точка Z —
полюс равноденственного круга [рис. 2.9]. По обе стороны от точки
равноденствия В отложим равные дуги ВН и BG и через полюс Z и точки
Н и Э проведем дуги ZKH и Z0A полуденных кругов.
   Я утверждаю, что угол КНВ равен углу Z0E. Это ясно из следующего.
Треугольник ВНК имеет равные углы с треугольником В0Л, так как оба
они имеют три попарно равные стороны, а именно НВ, равную В0, НК,
равную 0Л, и ВК, равную ВЛ. (Все это уже доказано выше.) Следовательно,
угол КНВ равен углу В0Л, т.е. углу Z0E, что и требовалось доказать.
   Затем нужно доказать, что у двух точек
зодиакального круга, равноотстоящих от одной и
той же точки солнцеворота, углы, образуемые с
полуденным кругом, вместе взятые, равны двум
прямым углам.
   Действительно, пусть АВГ будет дуга круга,
проходящего через середины знаков зодиака, а
В — точка солнцеворота [рис. 2.10]. Отложив
от нее в обе стороны равные дуги ВА и BE,
проведем через точки А, Е и полюс Z
равноденственного круга дуги ZA и ZE полу-
денных кругов. Я утверждаю, что углы ZAB и
ZEr, вместе взятые, равны двум прямым.

   Это также очевидно. Так как точки А и Е
одинаково отстоят от одной и той же точки
солнцеворота, то дуга AZ равна дуге ZE, и,
следовательно, угол ZAB будет равен углу
ZEB. Но углы ZEB и ZEr, вместе взятые, равны
двум прямым углам. Значит, угол ZAB вместе с
углом ZET равен двум прямым, что и требовалось
доказать.
    Предварительно установив это, возьмем полу-
денный круг АВГА и полуокружность зодиакаль-
ного круга АЕГ [рис. 2.11]. Предположим, что
Рис. 2.Ю	д — точка зимнего солнцеворота. Из полюса
А радиусом, равным стороне вписанного квадрата, опишем полуокружность
ВЕА. Так как полуденный круг АВГА проведен через полюсы кругов
АЕГ и ВЕА, то дуга ЕА равна четверти окружности.
   Следовательно, угол ААЕ прямой. Тогда согласно доказанному выше
будет прямым и угол при точке летнего солнцеворота. Это и требовалось
доказать.
   Далее, пусть АВГА — полуденный круг, а АЕГ — полуокружность
равноденственного круга [рис. 2.12]. Проведем полуокружность зодиакаль-
ного круга AZr так, чтобы А была точкой осеннего равноденствия. Из
точки А как из полюса радиусом, равным стороне вписанного квадрата,
опишем   полуокружность   BZEA.   Тогда   на   основании   тех   же  самых
   
рассуждений, поскольку АВГА проведена через полюсы окружностей АЕГ
и ВЕА, дуги Z и ЕА составляют четверти окружности. Таким образом,
AZ — точка зимнего солнцеворота, а дуга ZE приблизительно составляет,
как было доказано выше, 23;51 градуса.
    Следовательно, вся дуга ZEA равна 113;51 градусам и угол AAZ сос-
тавляет 113;51 таких градусов, каких в прямом угле содержится 90. Далее,

Рис. 2.11	Рис. 2.12	Рис. 2.13
на основании доказанного выше угол у точки весеннего равноденствия будет
равняться 66;9 градусам, недостающим до двух прямых углов.
   Далее, пусть АВГА будет полуденный круг [рис. 2.13], АЕГ —
полуокружность равноденственного круга, a BZA — зодиакального круга,
так что точка Z по предположению есть точка осеннего равноденствия.
Дуга же BZ пусть вначале соответствует Деве — двенадцатой части зодиака.
Тогда точка В — начало знака Девы. Снова из полюса В расстоянием,
равным стороне вписанного квадрата, опишем полуокружность НЭЕК, и
зададимся целью определить угол KB0.
   Так как полуденный круг АВГА проходит через полюсы кругов АЕГ и
НЕК, то каждая из дуг ВН, В0 и ЕН окажется равной четверти окружности.
Но на основании построения отношение прямой, стягивающей удвоенную
дугу ВА, к прямой, стягивающей удвоенную НА, составляется из отношения
прямой, стягивающей удвоенную BZ, к прямой, стягивающей удвоенную
0Z, и отношения прямой, стягивающей удвоенную Е0, к прямой,
стягивающей удвоенную ЕН.
   Но, согласно изложенному выше, удвоенная дуга ВА равна 23;20
градусам и стягивающая ее прямая составляет 24; 16 части. Удвоенная дуга
АН равна 156;40 градусам, и стягивающая ее прямая — 117;31 частям.
Далее, удвоенная дуга ZB равна 60 градусам, и стягивающая ее прямая —
60 частям, а удвоенная дуга Z0 — 120 градусам, и стягивающая ее
прямая — 103;55,23 частям. Следовательно, если из отношения 24; 16 к
117;31 выделить отношение 60 к 103;55,23, останется отношение прямой,
стягивающей удвоенную дугу 0Е, к прямой, стягивающей удвоенную ЕН,
равное приблизительно отношению 42;58 к 120. Но стягивающая удвоенную
дугу ЕН прямая составляет 120 частей. Следовательно, прямая, стягивающая
удвоенную дугу 0Е, будет равна 42;58 таким же частям. Таким образом,
удвоенная дуга 0Е будет равна приблизительно 42 градусам, а сама дуга
0Е — 21 такому же градусу. Следовательно, вся дуга 0EK и
соответствующий ей угол KB0 будут равны 111 градусам.
   Тогда на основании доказанного ранее угол, получающийся при начале
Скорпиона, тоже равен 111 градусам, а каждый из углов при начале Тельца
   
и начале Рыб будет равен недостающим до двух прямых 69 градусам, что
и требовалось доказать.
   После этого на том же самом чертеже [рис. 2.13] положим, что дуга
ZB равна двум двенадцатым частям [зодиакального круга ], так что точка
В будет началом Льва. При тех же самых предположениях для других
[знаков] удвоенная дуга ВА будет равной 41 градусу, а стягивающая ее
прямая составит 42;2 части. Удвоенная дуга АН равна 139 градусам,
а стягивающая ее прямая — 112;24 частям; ZB равна 120 градусам, а
стягивающая ее прямая — 103;55,23 частям; удвоенная ZG равна 60
градусам, а стягивающая ее прямая — 60 частям.
   Следовательно, если мы снова из отношения 42;2 к 112;24 выделим
отношение 103;55,23 к 60, то останется отношение прямой, стягивающей
удвоенную дугу ЭЕ, к прямой, стягивающей удвоенную ЕН, а именно
отношение 25;53 к 120. Следовательно, прямая, стягивающая удвоенную
дугу ЭЕ, окажется равной 25;53 таким же частям. Таким образом, удвоенная
дуга ЭЕ будет равна приблизительно 25 градусам, а сама дуга ЭЕ —
121/2 таким же градусам; значит, вся дуга ЭЕК и угол КВЭ будут равны
1021/2 градусам.
   На основании тех же рассуждений угол при начале Стрельца будет
тоже равен 1021/2 градусам. Каждый же из углов при начале Близнецов и
Водолея будет равен недостающим до двух прямых 771/2 градусам. Таким
образом, мы доказали предположенное.
   Тот же самый ход вычисления применим и для более мелких делений
наклонного круга. Для практического применения этой теории будет
достаточно, если привести данные для каждой из двенадцати частей зодиака.

11. Об углах, образуемых тем же наклонным кругом с горизонтом
После  этого   мы  покажем,   каким   образом  для  данного   климата
определяются углы, образуемые зодиакальным кругом с горизонтом , так
как и для них соответствующий метод будет легче,
чем для остальных [углов]. Очевидно, что углы,
образуемые с полуденным кругом, будут теми же,
что и его углы с горизонтом в прямой сфере. А
чтобы получить их значения в наклонной сфере,
нужно сначала показать, что точки зодиакального
круга, равноотстоящие от одной и той же точки
равноденствия, образуют с горизонтом равные друг
другу углы.
   Пусть АВГА — полуденный круг, АЕГ —
полуокружность равноденственного круга, а ВЕА —
круга горизонта (рис. 2.14). Проведем две дуги,
ZH© и КАМ, наклонного круга, расположенные
так, чтобы каждая из двух точек Z и К соответствовала осеннему
равноденствию и дуга ZH равнялась дуге КА.
Я утверждаю, что угол ЕНЭ будет равен углу ААК.
Это ясно из следующего. Треугольник EZH имеет равные углы с
треугольником ЕКА, поскольку на основании доказанного ранее три стороны
одного треугольника попарно равны трем сторонам другого, а именно дуга
ZH равна КА, дуга НЕ горизонта равна ЕА, а дуга времени восхода EZ
равна ЕК. Следовательно, угол EHZ будет равен ЕАК, а остающийся угол
ЕНЭ равен ААК, что и требовалось доказать.

   Я также утверждаю, что углы [между зодиакальным кругом и
горизонтом ] при двух диаметрально противоположных точках [зодиакального
круга], а именно один при восходящей и другой при заходящей, составляют
вместе два прямых угла.
   Действительно, если мы начертим круг АВГД горизонта и AErZ зодиака,
пересекающиеся в точках А и Г [рис. 2.15], то углы ZAA и ДАЕ, взятые
вместе, равны двум прямым углам. Но угол ZAA равен ZTA, так что вместе
взятые углы ZTA и ДАЕ образуют два прямых угла, что и требовалось доказать.
   Поскольку доказано, что у двух точек [зодиакального круга], одинаково
отстоящих от одной и той же точки равноденствия, будут равны углы,
образуемые с тем же горизонтом, то можно показать, что у двух точек,

Рис. 2.15	Рис. 2.16	Рис. 2.17
одинаково отстоящих от одной и той же точки солнцеворота, одной
восходящей и другой заходящей, вместе взятые углы будут равняться двум
прямым углам.
    Таким образом, если мы найдем восходящие углы от Овна до Клешней,
то одновременно будут получены восходящие углы для другой полуокруж-
ности и заходящие углы для обеих полуокружностей. Каким образом это
определяется, мы изложим коротко, пользуясь в качестве примера той же
самой параллелью, а именно той, на которой северный полюс поднимается
над горизонтом на 36 градусов69.
    Очень легко можно определить углы, образуемые зодиакальным кругом
с горизонтом в равноденственных точках [начала Овна и Клешней].
Действительно, если [на рис. 2.16] провести полуденный круг АВГД,
восточную полуокружность горизонта АЕД, четверть EZ равноденственного
и две четверти ЕВ и ЕГ зодиакального кругов так, чтобы в точке Е для
четверти ЕВ предполагалось осеннее, а для четверти ЕГ весеннее
равноденствие, точка В была точкой зимнего, а Г — летнего солнцеворотов,
и если дуга ДZ равна по предположению 54 градусам, а каждая из BZ и
Zr приблизительно 23;51 градусам, то дуга ГД окажется равной 30;9, а
ВД — 77;51 таким же градусам. Следовательно, поскольку Е есть полюс
полуденного круга, то образуемый в начале Овна угол ДЕГ составит 30;9
таких градусов, каких прямой угол имеет 90, а угол ДЕВ в начале Клешней
имеет 77;51 таких же градусов.
   Для объяснения метода определения [углов ] в остальных точках возьмем,
например, восходящий угол, образуемый у горизонта началом Тельца.
   Пусть АВГД будет полуденный круг, а ВЕД — восточная полуокружность
рассматриваемого горизонта [рис. 2.17]. Проведем полуокружность АЕГ
зодиакального круга так, чтобы точка Е была началом Тельца. И так как
в рассматриваемом климате при восходе начала Тельца над Землей в
середине неба стоят 17;41 градусов Рака (мы уже показали, каким образом
это определяется при помощи приведенной нами таблицы времен восхода)70,

то дуга ЕГ будет меньше четверти окружности. Из полюса Е расстоянием,
равным вписанной в круг стороне квадрата, опишем дугу большого круга
0HZ и дополним четверти кругов ЕГН и ЕД0. Тогда дуги ArZ и ZH0
тоже каждая равна четверти круга вследствие того, что горизонт BE0
проходит через полюсы полуденного круга ZrA и большого круга ZH0.
Далее, так как 17;41 градусов Рака отстоят на 22;40 градуса к северу по
большому кругу, проходящему через его полюсы (это тоже уже показано
нами [в таблице склонений]), а полуденный круг отстоит от полюса Z
горизонта на 36 градусов по той же самой дуге ZrA, то получится, что
дуга Zr равна 58;40 градусам. Если это известно, то остальное получается
из чертежа: отношение прямой, стягивающей удвоенную дугу ГД, к прямой,
стягивающей удвоенную AZ, составляется из отношения прямой, стягиваю-
щей удвоенную ГЕ, к прямой, стягивающей удвоенную ЕН, и отношения
прямой, стягивающей удвоенную дугу Н0, к прямой, стягивающей
удвоенную 0Z.
    Но согласно изложенному выше удвоенная дуга ГД равна 62;40 градусам,
а стягивающая ее прямая составляет 62;24 части; удвоенная дуга AZ равна
180 градусам, а стягивающая ее прямая — 120 частям. Далее, удвоенная
дуга ГЕ равна 155;22 градусам, а стягивающая ее прямая — 117; 14 частям.
Удвоенная дуга ЕН равна 180 градусам, а стягивающая ее прямая — 120
частям. Следовательно, если из отношения 62;24 к 120 выделить отношение
117; 14 к 120, то у нас получится отношение прямой, стягивающей удвоенную
дугу 0Н, к прямой, стягивающей удвоенную дугу 0Z, а именно 63;52 к
120. Но прямая, стягивающая удвоенную дугу 0Z, составляет 120 частей,
и, следовательно, прямая, стягивающая удвоенную дугу 0Н, составит 63;52
такие же части. Таким образом, удвоенная дуга 0Н будет равна 64;20
градусам, а сама дуга 0Н, а также угол НЕ© равны таким же 32; 10
градусам. Это и требовалось показать.
   Чтобы не говорить одно и то же для каждого случая и не растягивать
изложение этого сочинения, скажем, что тот же самый способ будет
применен нами и для остальных двенадцатых частей зодиака и других
климатов.

12. Об углах и дугах, образуемых тем же наклонным кругом
и кругом, проведенным через полюсы горизонта
    Нам остается еще изложить, каким методом при произвольном наклоне
сферы и положении круга, проходящего через середины зодиакальных
созвездий, определяются его углы с кругом, проведенным через полюсы
горизонта. Одновременно, как мы сказали, каждый раз будут определяться
дуги круга, проведенного через полюсы горизонта, заключенные между
точкой, находящейся прямо над головой, и сечением этого круга с
наклонным. Вначале мы опять изложим то, что требуется предварительно
знать для изучения этого раздела, и прежде всего покажем, что если точки
зодиакального круга равноотстоят от одной и той же точки солнцеворота
и отсекают по обеим сторонам полуденного круга одинаковые часовые
углы — один к востоку, другой к западу, — то дуги больших кругов,
проведенные к этим точкам из точки, находящейся прямо над головой,
будут равны, а образованные при них углы, взятые указанным нами выше
образом71, будут составлять в сумме два прямых угла.
   Действительно, пусть АВГ — отрезок полуденного круга, и пусть на
нем В будет точка, находящаяся прямо над головой, а Г — полюс
   



































163


равноденственного круга [рис. 2.18]. Проведем две дуги зодиакального круга,
АДЕ и AZH, расположенные так, чтобы точки Д и Z находились на равных
расстояниях от одной и той же точки солнцеворота и с каждой стороны по-
луденного круга АВГ отсекали на соединяющей эти
точки параллели одинаковые дуги. Затем через точ-
ки А и Z проведем дуги больших кругов ГД и
PZ от полюса Г равноденственного круга, а также
ВД и BZ от находящейся прямо над головой точ-
ки В.
   Я утверждаю, что дуга ВД равна BZ, а угол
ВДЕ вместе с углом BZA составляют два прямых
угла.
   Так как точки Д и Z по проходящей через них
параллели отстоят от полуденного круга АВГ на оди-
наковые дуги,  то угол ВГД  будет  равен углу
вгг.
    Итак, имеются два треугольника, ВГД и BrZ, у которых попарно равны
две стороны, а именно ГД и TZ, а сторона ВГ общая. Равны также углы
ВГД и BrZ, заключенные между равными сторонами. Следовательно, они
имеют равные основания ВД и BZ и равные углы BZr и ВДГ. Но так как
незадолго перед этим было доказано, что у двух точек [зодиакального
круга], одинаково отстоящих от одной и той же точки солнцеворота, углы,
образуемые с кругом, проходящим через полюсы равноденственного круга,
72
вместе составляют два прямых угла , то углы ГДЕ и TZA, вместе взятые,
будут равны двум прямым углам. Но было доказано, что угол ВДГ равен
BZf, и, следовательно, углы ВДЕ и BZA, вместе взятые, равны двум
прямым углам. Это и требовалось доказать73.
   После этого нужно доказать, что у тех же точек зодиакального круга,
отстоящих по обе стороны от полуденного круга на одинаковые часовые
углы, равны дуги больших кругов, проведенных через них к точке,
находящейся прямо над головой, а получающиеся при них углы [между
зодиакальным кругом и кругами высоты] к востоку и к западу [от
полуденного круга ], взятые вместе, равны двум
углам, образуемым при тех же точках полу-
денным кругом, если в каждом положении
проходящие через полуденный круг точки будут
находиться или обе севернее, или обе южнее точки
[расположенной] прямо над головой.
    Предположим сначала, что обе точки нахо-
дятся южнее. Пусть АВГД — отрезок полуден-
ного круга, и на нем Г — точка, находящаяся
прямо над головой, а Д — полюс равноденст-
венного круга [рис. 2.19]. Проведем две дуги,
AEZ и BH0, зодиакального круга, расположен-
ные так, чтобы точка Е и соответствующая ей
точка Н одинаково отстояли по той же парал-
лели по обе стороны от полуденного круга
АВГД. Затем проведем через них дуги больших кругов: через Г — дуги
ГЕ и ГН, а через Д — дуги ДЕ и АН. На том же основании, что и выше,
поскольку находящиеся на одной и той же параллели точки Е и Н образуют
равные дуги по обе стороны полуденного круга, треугольник ГДЕ будет
    
иметь одинаковые углы и стороны с треугольником ГДН, так что сторона
ГЕ равна ГН.
   Теперь я утверждаю, что углы rEZ и ГНВ, вместе взятые, равны двум
углам AEZ или ДНВ.

   Действительно, так как угол AEZ такой же, что и угол ДНВ, а угол
ГЕД равен углу ДНГ, то, следовательно, вместе взятые углы ГЕД и
ГНВ равны углу AEZ. Таким образом, вместе
взятые весь угол TEZ и угол ГНВ равны двум
углам AEZ или двум углам ДНВ, что и требова-
74
лось доказать .
   Теперь еще раз начертим те же самые дуги
упомянутых больших кругов, но только так, чтобы
точки А и В оказались севернее, чем точка Г
[рис 2.20].
   Я утверждаю, что и в этом случае будет иметь
место то же самое, т.е. что вместе взятые углы
KEZ и ЛНВ будут равны удвоенному углу AEZ.
Действительно, поскольку угол AEZ будет тем же,
что и ДНВ, а угол ДЕК равен углу ДНА, то,
следовательно, весь угол ЛНВ будет равен вместе
взятым углам AEZ и ДЕК, так что вместе взятые
углы ЛНВ и KEZ будут равны двум углам
AEZ.
   Теперь возьмем снова подобный чертеж
[рис. 2.21 ], но только пусть находящаяся в
середине неба точка А восточной дуги [зодиакаль-
ного круга ] будет южнее точки Г [стоящей ] прямо
над головой, а находящаяся в середине неба точка
В западной дуги [зодиакального круга] будет
севернее ее. Я утверждаю, что вместе взятые углы
rEZ и ЛНВ будут на два прямых угла больше
двух углов AEZ.

   Действительно, так как [на рис. 2.21 ] угол
ДНГ равен углу ДЕГ, а вместе взятые углы
ДНГ и ДНЛ равны двум прямым углам, то,
значит, вместе взятые углы ДЕГ и ДНЛ равны
двум прямым углам. Но угол AEZ будет тем же,
что и угол ДНВ, так что вместе взятые углы
TEZ и ЛНВ будут больше вместе взятых углов
AEZ и ДНВ, т.е. удвоенного угла AEZ, на вместе
взятые углы ДЕГ и ДНЛ, которые равны двум
прямым углам, что и требовалось доказать.
   Теперь последнее: положим на подобном чер-
теже, что находящаяся в середине неба точка А
восточной дуги будет севернее Г, а находящаяся
в середине неба точка В западной дуги — южнее Г [рис. 2.22].
   Я утверждаю, что вместе взятые углы KEZ и ГНВ будут меньше
удвоенного угла AEZ на два прямых угла. Действительно, на том же
основании вместе взятые углы KEZ и ГНВ будут опять меньше вместе
взятых углов AEZ и ДНВ, т.е. двух углов AEZ, на вместе взятые углы
ДЕК и ДНГ. Но эти последние равны двум прямым углам вследствие того,
   
что вместе взятые углы ДЕК и ДЕГ равны двум прямым углам, а угол
ДЕГ равен углу ДНГ. Это и требовалось доказать.

   Что величины углов и дуг, образуемых наклонным кругом и большим
кругом, проведенным через точку над головой, взятых упомянутым нами
выше образом как на полуденном круге, так и на горизонте, могут быть
легко определенными, сразу же уясняется следующим образом. Если мы
начертим полуденный круг АВГД, полуокружность
ВЕД горизонта и ZEH зодиакального круга, какое
бы положение последний ни занимал, и изобразим
большой круг, проходящий через находящуюся в
середине неба точку Z и прямо над головой точку в
А [рис. 2.23 ], то этот круг будет таким же, что и
полуденный АВГД, и, следовательно, угол ДZE будет
нам сразу известен, так как нам даны и точка Z,
и образуемый при ней угол с полуденным кругом.
Будет также известна дуга AZ, поскольку мы знаем	г
число градусов полуденного круга, на которые точка	Рис 2 23
Z удалена от равноденственного круга, а также на
сколько градусов сам равноденственный круг отстоит от точки А,
находящейся прямо над головой. Если через восходящую точку Е мы
проведем большой круг АЕГ, проходящий через А, то сразу ясно, что дуга
АЕ всегда составит четверть окружности, так как точка А будет полюсом
горизонта ВЕД. По этой причине угол АЕД будет всегда прямым, а угол
ДЕН наклонного круга с горизонтом нам дан. Следовательно, будет также
известен весь угол АЕН, что и требовалось показать.

   Таким образом, становится ясно, что в этом случае, если для каждого
наклона сферы мы вычислим углы и дуги только перед полуденным кругом
[т.е. только к востоку от него] и только для двенадцатых частей зодиака,
идущих от начала Рака до начала Козерога, то одновременно будем иметь
для них вычисленными такие же углы и дуги, находящиеся за полуденным
кругом [т.е. к западу от него], а также для остальных двенадцатых частей
зодиака углы и дуги как перед, так и за полуденным кругом. Чтобы вполне
уяснить метод вычисления для каждого положения, разберем на примере,
который может считаться общим, один теоретический вывод для того же
1что и в предыдущей главе] наклона сферы, т.е.
когда северный полюс поднимается над горизонтом
на 36 градусов, а начало Рака будем предполагать,
например, отстоящим на один равноденственный час
к востоку от полуденного круга. В таком положении в
на рассматриваемой параллели в середине неба будут
находиться 16; 12 градусов Близнецов, а восходить
17;37 градусов Девы.
   Пусть АВГД будет полуденный круг, ВЕД —
полуокружность горизонта, a ZH0 — круга, прохо-
дящего через середины знаков зодиака и располо-
женного так, что точка Н представляет начало Рака,
точка Z соответствует 16; 12 градусам Близнецов, а 0 — 17;37 градусам
Девы [рис. 2.24]. Через находящуюся прямо над головой точку А и начало
Рака Н проведем дугу большого круга АНЕГ. Пусть сначала нужно
определить дугу АН. Очевидно, что дуга Z0 равна 91;25 градусу, а Н0 —
77;37. Точно так же, поскольку 16; 12 градусов Близнецов отсекают на
3   К. Птолемей

полуденном круге 23;7 градуса от равноденственного круга к северу, а
равноденственный круг отстоит на 36 градусов от находящейся над головой
точки А, дуга AZ содержит 12;53 градусов, a ZB — недостающие до
четверти окружности 77;7 градусов. При этих данных из чертежа получится,
что отношение прямой, стягивающей удвоенную дугу ZB, к прямой,
стягивающей удвоенную ВА, состоит из отношения прямой, стягивающей
удвоенную Z0, к прямой, стягивающей удвоенную 0Н, и отношения
прямой, стягивающей удвоенную НЕ, к прямой, стягивающей удвоен-
ную ЕА
   Но удвоенная дуга ZB составляет 154; 14 градуса, а стягивающая ее
прямая — 116;59 частей, удвоенная дуга ВА составляет 180 градусов, а
стягивающая ее прямая — 120 частей. И далее, удвоенная дуга Z0 равна
182;50 градусам, а стягивающая ее прямая — 119;58 частям, удвоенная
дуга ©Н равна 155; 14 градусам, а стягивающая ее прямая — 117; 12 частям.
Следовательно, если из отношения 116;59 к 120 выделим отношение 119;58
к 117;12, то у нас останется отношение прямой, стягивающей удвоенную
дугу ЕН, к прямой, стягивающей удвоенную ЕА, а именно отношение
приблизительно 114; 16 к 120. Но прямая, стягивающая удвоенную дугу
ЕА, составляет 120 частей, и, следовательно, прямая, стягивающая
удвоенную дугу ЕН, будет равна 114; 16 таким же частям, так что удвоенная
дуга ЕН будет равна приблизительно 144;26 градусам, сама же ЕН — 72; 13
таким же градусам. Таким образом, получающаяся в остатке дуга АН равна
недостающим до четверти окружности 17;47 градусам, что и требовалось
доказать.
   После этого угол АН© мы определим так. Возьмем тот же самый чертеж
[рис. 2.25] и из полюса Н радиусом, равным стороне вписанного квадрата,

опишем дугу КЛМ большого круга, так что каждая
из дуг ЕМ и КМ будет равна четверти окружности,
поскольку круг АНЕ проведен через полюсы кругов
E0M и КЛМ. Затем из того же чертежа отношение
прямой, стягивающей удвоенную дугу НЕ, к прямой,
стягивающей удвоенную ЕК, опять составится из
отношения прямой, стягивающей удвоенную Н0, к
прямой, стягивающей удвоенную 0Л, и отношения
прямой, стягивающей удвоенную ЛМ, к прямой,
стягивающей удвоенную КМ. Но удвоенная дуга
НЕ составляет 144;26 градуса, а стягивающая ее
прямая — 114; 16 частей; удвоенная ЕК равна 35; 34
градусам, а стягивающая ее прямая — 36;38 частям; далее, удвоенная
Н0 составляет 155;14 градусов, а стягивающая ее прямая — 117; 12 частей,
удвоенная же 0Л — 24;46 градуса, стягивающая же ее прямая — 25;44
частей. Таким образом, если из отношения 114;16 к 36;38 выделим
отношение 117; 12 к 25;44, то у нас останется отношение прямой,
стягивающей удвоенную дугу ЛМ, к прямой, стягивающей удвоенную дугу
МК, равное приблизительно 82; 11 к 120. Но прямая, стягивающая удвоенную
дугу МК, составляет 120 частей, и, следовательно, прямая, стягивающая
удвоенную ЛМ, будет равна 82; 11 таким же частям. Таким образом,
удвоенная дуга ЛМ равна 86;28 градусам, сама же дуга ЛМ — 43; 14 таким
же градусам. Значит, оставшаяся дуга ЛК, а также угол ЛНК, будут равны
46;46 градусам, так что угол АН© будет равняться недостающим до двух
прямых углов 133; 14 градусам, что и требовалось показать75.

   Предложенный способ определения применим и в остальных случаях.
Мы же, чтобы иметь под рукой другие углы и дуги, которые могут
понадобиться в исследовании частных случаев, даем таблицы, вычислив их
геометрически, начиная от параллели Мероэ, на которой наибольший день
равняется 13 равноденственным часам, и заканчивая параллелью, проходя-
щей за Понтом через устья Борисфена, где наибольший день равняется 16
равноденственным часам. Для климатов мы опять взяли приращения [длины
наибольшего дня] по полчаса, как и для времен восхода, для дуг
зодиакального круга — по одной двенадцатой части его, для задания же
положений кругов к западу и востоку от полуденного круга — по одному
равноденственному часу.
    Все это мы расположим в таблицах для каждого климата и [каждой]
двенадцатой части зодиака, помещая в первых столбцах величину
выраженного в равноденственных часах расстояния от полуденного круга в
ту и другую сторону. Во вторых столбцах стоят числовые величины дуг,
получающихся между точкой, находящейся прямо над головой, и началом
соответствующей двенадцатой части зодиака. В третьих и четвертых —
величины определенных указанным выше образом углов у каждого
рассматриваемого сечения, причем в третьих столбцах стоят углы для
положений к востоку от полуденного круга, в четвертых — к западу. При
этом, как мы уже указали вначале, нужно помнить, что из двух углов,
получающихся у рассматриваемой точки зодиакального круга, мы всегда
берем тот, который обращен к северу, причем величину каждого из этих
углов мы выражаем в таких градусах, каких один прямой угол содержит
90. Упомянутые нами таблицы таковы .
7	13. Значения углов и дуг для различных параллелей
См. с. 68-74
   После изложения методики определения углов из необходимых началь-
ных данных еще остается рассмотреть положения достойных упоминания
городов каждой страны по их долготе и широте, чтобы можно было
вычислить небесные явления для каждого города. Однако изложение этого
отдельного предмета мы выпустим в свет особо, следуя сочинениям более
всего потрудившихся в этом вопросе авторов, и укажем, на сколько градусов
каждый из этих городов отстоит по проходящему через него меридиану от
равноденственного круга и на сколько градусов по равноденственному кругу
он отстоит к востоку или к западу от проходящего через Александрию
меридиана, так как именно к этому меридиану мы будем относить времена
[начальных] положений [светил]77.
   Предполагая теперь положения местностей известными, мы считаем
нужным сказать лишь следующее: когда мы хотим определить время
наблюдения для какой-нибудь из упомянутых местностей, соответствующее
наблюдению в каком-нибудь другом месте, которое отличается от первого
проходящим меридианом, то мы должны установить, на сколько градусов
по равноденственному кругу одно место отстоит от другого, и в зависимости
от того, будет первый город восточнее или западнее второго, мы должны
на соответствующее число равноденственных часов увеличить или уменьшить
время, наблюдаемое во втором месте, для того, чтобы получить время,
соответствующее рассматриваемому месту; при этом нужно прибавлять
[полученную величину], если рассматриваемое место находится восточнее,
и вычитать, если оно находится западнее нашего места наблюдения.
   

   

   

   

   

   

   

   
Книга III
   
   Дав в предыдущем изложении совершенно необходимые математические
сведения о небе и Земле, затем о наклоне проведенного через середины
зодиакальных созвездий круга движения Солнца и о связанных с ним
частных явлениях как на прямой сфере, так и на наклонной для каждого
климата, мы сочли, что после этого следует изложить теории, касающиеся
Солнца и Луны, а именно исследовать все, происходящее при их движениях,
так как без предварительного исследования всего вышеизложенного вообще
никакое явление, относящееся к светилам, не может быть изучено. В
дальнейшем мы должны прежде всего получить теорию движения Солнца,
без которой в свою очередь невозможно полностью охватить все, касающееся
Луны.

1. О продолжительности годового промежутка времени
   Первой задачей из всех, относящихся к Солнцу, будет определение
продолжительности годового промежутка времени. Каковы были разногласия
и сомнения относительно этого у древних, мы можем видеть из их
сочинений, и в особенности из трудов Гиппарха, бывшего одновременно
трудолюбивым и стремящимся к истине мужем. И этого мужа в сомнения
по данному поводу больше всего привело то, что по его исследованиям
время возвращения Солнца к точкам равноденствий и солнцеворотов
оказалось меньшим 365 дней с четвертью. Время же, определяемое при
помощи наблюдений неподвижных звезд, оказалось больше указанного.
Отсюда он заключает, что сфера неподвижных звезд и сама тоже совершает
некоторое долговременное движение, подобное движению планетных сфер,
в направлении, противоположном первому вращению относительно круга,
проведенного через полюсы равноденственного круга и наклонного к нему.
О том, что это движение действительно имеет место, а также как оно
совершается, мы поговорим в разделе, касающемся неподвижных звезд1.
Обо всем, касающемся последних, совершенно невозможно рассуждать без
предварительного знания о движениях Солнца и Луны.
    В настоящем же исследовании мы полагаем, что для определения
продолжительности солнечного года нужно только наблюдать возвращение
самого Солнца к тому же самому положению на описываемом им наклонном
круге и определять годовой промежуток времени как такой, в течение
которого совершается последовательный переход от некоторой неподвижной
точки указанного круга к ней же самой. При этом единственными
подходящими начальными точками для такого возвращения мы считаем
лишь точки вышеупомянутого круга, определяемые равноденствиями и
солнцеворотами. Действительно, при математическом подходе к этой теории
мы не можем найти более подходящего возвращения, чем то, которое как
    
в пространстве, так и во времени возвращает Солнце к одному и тому же
положению относительно [местного] горизонта или полуденного круга, или
относительно длительностей суток2. На круге, проходящем через середины
зодиакальных   созвездий,   не   существует   никаких   других   подходящих
начальных точек, кроме естественно определяемых точками равноденствий
и солнцеворотов. И если рассмотреть этот вопрос с физической точки зрения,
то   мы   не   найдем   более   подходящего   [периодического]   возвращения
[связанного с движением Солнца по наклонному кругу], чем возвращение
к одинаковому состоянию воздуха или к тому же самому времени солнечного
года. И не существует никаких других начальных точек, кроме только тех,
при помощи которых различаются времена года. Определять же год по
наблюдаемому возвращению к тем же неподвижным звездам представляется
нам нелепым и по другим причинам, главным же образом по той, что и
сама сфера неподвижных звезд совершает на небе некоторое правильное
движение в направлении последовательности знаков зодиака. При таком
положении ничто не могло бы нам препятствовать, если бы мы захотели
определить годичный промежуток времени как такой, в который Солнце
возвращается, например, к Сатурну или к какой-нибудь другой планете.
Таким образом, мы получили бы много различных годовых промежутков.
На основании этих соображений мы полагаем наиболее подходящим считать
солнечным  годом  тот,  который определяется  при  помощи  наблюдений
возможно большего количества возвращений от какого-нибудь солнцеворота
з
или равноденствия к нему же самому .
   Поскольку же Гиппарха как-то смущало некоторое неравенство, которое
можно было предполагать при использовании последовательно производимых
наблюдений возвращения к одной и той же точке, мы постараемся кратко
показать, что это не может вызвать никаких недоумений. Доказательство
того, что эти промежутки времени не являются неодинаковыми, мы
получили на основе последовательных наблюдений солнцеворотов и
равноденствий, произведенных нами при помощи инструментов. Дей-
ствительно, мы нашли, что они ничем существенным не отличаются от
упомянутой прибавки в четверть дня; лишь иногда замечались отличия,
почти не превосходящие тех ошибок, которые можно ожидать от устройства
и положения инструментов. И из самих вычислений Гиппарха мы также
убедились в том, что относящиеся к неравенству погрешности принадлежат
скорее наблюдениям. Действительно, изложив в сочинении «О смещении
солнцеворотных и равноденственных точек» представлявшиеся ему наиболее
точными последовательные наблюдения зимнего и летнего солнцеворотов,
он и сам соглашается, что в них не содержится настолько больших различий,
чтобы на этом основании можно было признать некоторое неравенство года.
Заканчивает же он так: «Из этих наблюдений ясно, что вообще различия
в продолжительности разных годов невелики. Но что касается солнцеворотов,
то я не теряю надежды, что мы с Архимедом и в наблюдениях, и в
вычислениях не допустили ошибок, превышающих четверть дня4. Вообще
же неравенства годовых промежутков могут быть точно определены при
помощи наблюдений на установленном в Александрии медном круге в так
называемой квадратной стое. На этом круге день равноденствия видимо
отмечается тем, что его вогнутая поверхность начинает освещаться с обеих
сторон» [рис. 3-А]5.
   После этого он приводит сначала наблюденные им с самой большой
точностью времена осенних равноденствий. В 17 году третьего периода
   
Калиппа, 30-го Месоре при заходе Солнца , затем через 3 года, в 20 году,

в первый день эпагомен утром7, когда оно долженствовало быть в полдень,
так что получается разница в 1/4 часть дня. Через 1 год, в 21 году,
о
[равноденствие наблюдалось] в 6 часов , что
согласовалось с предыдущим наблюдением.
Через 11 лет, в 32 году, оно было в полночь
с 3-го на 4-й день эпагомен9, а долженство-
вало быть утром, так что опять получилась
разница в 1/4 дня. Через 1 год, в 33 году,
в 4-й день эпагомен оно было утром10, что
также было согласно с предыдущим наблю-
дением. Через 3 года, в 36 году, в 4-й день
эпагомен оно было вечером11, а должно было
быть в полночь, так что опять получается
разница в 1/4 [дня].
   Далее он приводит также точно наблю-
денные им весенние равноденствия. В 32 году
третьего  периода   Калиппа  27-го   Мехира
утром12.  И  круг,  говорит он,  который в
Александрии, был одинаково освещен с обеих сторон около 5-го часа. Таким
образом, уже различные наблюдения одного и того же равноденствия дали
разницу приблизительно в 5 часов . А следующие, говорит он, вплоть до
37 года согласовались с избытком в 1/4 дня14. А через 11 лет [после
наблюдения  в  32  году],  в  43  году,  29-го  Мехира  после  полуночи,
предшествующей 30-му, он говорит, было весеннее равноденствие15, которое
соответствовало наблюдению в 32 году. Как он утверждает, оно опять
согласовалось с наблюдениями последних лет вплоть до 50 года. Тогда оно
произошло в первый день Фаменота около захода Солнца приблизительно
на W2V4 день позже, чем в 43 году, что согласуется с 7 промежуточными
годами16.
    Таким образом, в этих наблюдениях не обнаружилось никаких
существенных различий, хотя вполне возможно, что не только в
наблюдениях солнцеворотов, но и в наблюдениях равноденствий могла
получиться некоторая ошибка, доходящая до 1/4 дня. Действительно, если
установка и градуировка инструментов отличаются от точных только на
УзбОО часть круга, проходящего через полюсы равноденственного, то это
отклонение Солнца по склонению около равноденственных точек приводит
к перемещению на наклонном круге по долготе на 1/4 градуса, так что
разница может доходить приблизительно до 1/4 дня17.
   Далее эта ошибка была бы гораздо больше, если пользоваться не
инструментами, установленными для данного единичного наблюдения и
исправляемыми на основании самих наблюдений, но просто прикрепленными
однажды к поддерживающим поверхностям, чтобы в течение долгого времени
сохранять одно и то же положение. С течением времени у них наблюдаются
некоторые незаметные перемещения, как у нас с медными кольцами,
установленными на палестре. Они кажутся сохраняющими положение в
плоскости равноденственного круга. Но согласно нашим наблюдениям у них
   
(особенно у большего и более древнего) замечается настолько большое
изменение положения, что иногда вогнутые их поверхности одновременно
18
освещаются два раза во время одного и того же равноденствия .
   Но из всего этого и сам Гиппарх не заключает, что имеет место
что-нибудь достоверное, позволяющее подозревать неравенство годовых
промежутков времени. Однако, производя вычисления на основании
некоторых затмений Луны, он говорит, что нашел неравенство годовых
промежутков времени. По сравнению со средним оно составляет не более
1/21/4 дня. Это, конечно, уже заслуживало бы некоторого внимания, если
бы дело обстояло действительно так и не было опровергнуто тем, из чего
он это получил. Действительно, производя вычисления при помощи
некоторых лунных затмений, наблюдавшихся вблизи некоторых не-
подвижных звезд, он находит, на сколько для каждого затмения звезда,
называемая Колосом19, предшествовала точке осеннего равноденствия. На
основании этих вычислений он, как ему представлялось, нашел, что в его
время расстояние между ними равнялось в некоторых случаях самое большее
61/г градусам, а в других самое меньшее 51/4 градусам. Отсюда он заключает,
что, поскольку Колос не мог в такое короткое время продвинуться на такое
большое расстояние, вероятно, Солнце, по которому Гиппарх определял
положения неподвижных звезд, не совершает свои возвращения в одинаковое
время. Но он не заметил, что вычисления никоим образом нельзя было
вести, если не предположить известным место Солнца во время затмения,
тогда как сам он при вычислении каждого затмения брал в основу точно
им наблюденные в это время положения точек равноденствий и солнцево-
ротов. Этим он ясно показывает, что при сравнении продолжительностей
различных годов не было никакой разницы, превышающей избыток в 1/4
дня.
   Действительно, например, из наблюдения затмения в 32 году третьего
периода Калиппа он, как он утверждает, установил, что Колос предшест-
вовал точке осеннего равноденствия на 61/2 градусов, на основании же
наблюдения затмения в 43 году того же периода он предшествовал на
51/4 градусов. Как и в других подобных случаях в основу упомянутых
вычислений он берет точные наблюдения весенних равноденствий этих лет,
чтобы с их помощью определить положения Солнца для затмений, имевших
место в соответствующем промежутке времени, а по положениям Солнца
найти положения Луны, по лунным же — положения звезд. Он говорит,
что в 32 году равноденствие имело место утром 27-го Мехира, а в 43
году — 29-го Мехира, после полуночи перед 30-м, т.е. почти на 2V2I/4 дня
позже по сравнению с равноденствием 32 года, что дает для каждого из
11 промежуточных годов прибавление только в 1/4 дня [по сравнению с
величиной в 365 дней]. Таким образом, если Солнце свои возвращения по
отношению к упомянутым равноденствиям совершало во время, не большее
и не меньшее упомянутого избытка в 1/4 дня, и Колос не мог в такое
небольшое количество годов продвинуться на И/4 градус, то разве не будет
нелепым основанные на таких начальных данных вычисления использовать
для опорочивания самих же оснований, на которых они базируются?
Причину же невозможности такого движения Колоса приписывать не чему
иному (хотя эта ошибка могла получиться от многих других причин), как
только положенным в основу равноденствиям, которые будто бы в одно и
то же время наблюдали и хорошо и плохо? Действительно, пожалуй, гораздо
более возможным кажется, что или для этих затмений были несколько
   
неточно определены расстояния Луны до ближайших звезд, или в
вычислениях был неверно или неточно взят параллакс Луны для определения
ее видимых положений, или неправильно определено движение Солнца от
20
равноденствии до момента середины затмения  .
    Но я полагаю, что и сам Гиппарх признал, что во всем этом нет ничего
достоверного для приписывания Солнцу какого-нибудь второго неравенства,
и только ради любви к истине не хотел умолчать о некоторых
обстоятельствах, могущих внушить какое-либо подозрение. Действительно,
относительно Солнца и Луны он и сам пользовался гипотезами, допускаю-
щими для Солнца только одно, неизменное неравенство, которое восстанав-
ливается в течение годового промежутка [времени] между равноденствиями
или солнцеворотами. Если приписываемые Солнцу [годовые] периоды
предположить одинаковыми по времени, то мы никогда не увидим, чтобы
совершающиеся при затмениях явления чем-нибудь существенным отлича-
лись от вычисленных на основании рассматриваемой гипотезы. Однако если
предположить, что [неравенство годовых периодов существует и что] мы
не учли поправки на изменение продолжительности года, даже если они
не превышали  одного градуса,  соответствующего приблизительно двум
равноденственным часам, то разница была бы вполне ощутимой .
    Так вот, из всего этого и из наших последовательных наблюдений над
движением Солнца при определении времени его возвращений мы не нашли
никакого неравенства в продолжительности года, если, конечно, относить
ее к одной и той же точке, а не иногда к точкам солнцеворотов и
равноденствий, иногда к неподвижным звездам. Для определения возвра-
щений мы не видим также никакого другого, более удобного способа, кроме
перемещения Солнца к той же самой точке от какой-либо точки
солнцеворота или равноденствия или вообще от какой-нибудь другой
[фиксированной] точки круга, проведенного через середины зодиакальных
созвездий. Вообще мы считаем уместным объяснять явления при помощи
наиболее простых предположений, если только наблюдения не противоречат
22
существенно выдвинутой гипотезе .
   А то, что определяемая по возвращению к точкам солнцеворотов и
равноденствий продолжительность года будет меньше 365 дней с добавлением
четверти, стало для нас ясно и на основании доказательств Гиппарха.
Насколько же она будет меньше, мы не можем определить с полной
надежностью, так как добавление в одну четверть дня останется в течение
многих лет неизменным для наших чувств вследствие незначительности
разницы.
   Поэтому, только сравнивая наблюдения, разделенные сравнительно
большим промежутком времени, мы можем получить добавочное количество
дней, которое нужно будет распределить между всеми заключающимися в
промежутке [между наблюдениями] годами и считать эту добавку
одинаковой как для большого, так и для малого количества годов. Период
такого возвращения определится тем точнее, чем более длинный промежуток
времени окажется между сравниваемыми наблюдениями. И это имеет место
не только для рассматриваемого, но и вообще для всякого периодического
возвращения.
   Действительно, погрешность, получающаяся вследствие ненадежности
самих наблюдений, даже если они и проводились старательно, будет
небольшой и приблизительно постоянной как для долговременных, так и
   
для кратковременных наблюдений. Будучи распределенной на небольшое
количество годов, она дает большую годичную погрешность. Если же мы
сравниваем наблюдения за больший промежуток времени, то, распределив
23
ее на большое количество годов, получаем меньшую погрешность  .
   Поэтому следует считать вполне достаточным, если мы попытаемся гоз
подойти к определению периодичности настолько близко, насколько
позволяет это сделать величина промежутка времени между нами и теми
наблюдениями, которые одновременно и достаточно древние, и достаточно
точные, и мы не будем отказываться от необходимой для дела старательной
проверки. Что же касается утверждений, относящихся к вечности или к
промежутку времени, значительно большему, чем охватываемый этими
наблюдениями, то мы предоставляем их другим людям, которые проведут
их, руководствуясь любовью к науке и истине.
    Теперь, что касается древности [наблюдений], то следовало бы сравнить
данные наблюдений летнего солнцеворота, проведенных Метоном и Евкте-
моном, а также проведенных после них Аристархом с нашими . Однако
вследствие того, что наблюдения солнцеворотов не являются достаточно
точными и, кроме того, данные упомянутых лиц должны рассматриваться
лишь как приблизительные (так, по-видимому, думал и Гиппарх), мы
опустили их. Для предложенного сравнения мы взяли наблюдения
равноденствий, а из них, ради их большей точности, — сделанные Гиппар-
хом, а именно те, которые он считал наиболее надежными. Кроме того,
мы взяли и данные наблюдений, проведенных нами самими при помощи
описанных в начале этого сочинения самых надежных инструментов,
предназначенных для этой цели.
   На основании этих наблюдений мы установили, что по прошествии 300
годов солнцевороты и равноденствия стали происходить на день раньше,
чем следовало бы, если считать год равным 365 дням с избытком в 1/4 дня. 204
Действительно, наблюдение осеннего равноденствия в 32 году третьего
периода Калиппа Гиппарх считает наиболее точно выполненным и говорит,
что, согласно вычислениям, оно произошло в 3-й день эпагомен в полночь
перед 4-м днем . Этот год — 178 после смерти Александра. Через 285
лет, в третий год Антонина, 463 после смерти Александра, мы снова
точнейшим   образом   наблюдали   осеннее   равноденствие,   произошедшее
9 Атира приблизительно через один час после восхода Солнца26. Следова-
тельно, в течение 285 египетских годов (по 365 дней) возвращение
равноденствия потребовало 70 целых дней с 1/4 и примерно с 1/20 вместо
требуемых 711/4 дня, соответствующих прибавке в 1/4 дня для указанного
промежутка годов. Таким образом, по сравнению с требуемой прибавкой в
1/4 дня возвращение равноденствия произошло раньше приблизительно на
один день без 1/20 части.
   Далее, Гиппарх говорит также, что в упомянутом 32 году третьего
периода  Калиппа весеннее равноденствие,  которое наблюдалось самым
точнейшим образом, произошло 27-го Мехира утром27. Этот год был 178 2°5
после смерти Александра. Мы же точно так же через 285 годов, в 463 год
после смерти Александра, нашли, что весеннее равноденствие произошло
7-го Пахона, приблизительно через 1 час после полудня28, так что
соответствующий период охватывает такое же число дней: 7OV4 и еще
примерно 1/20 вместо 711/4 дня, обусловленного прибавкой в 1/4 дня за 285

годов. Следовательно, и в этом случае возвращение весеннего равноденст-
вия произошло ранее обусловленного прибавкой в 1/4 дня на 1 день без
1/20-
   Таким образом, поскольку 300 годов имеют к 285 такое же отношение,
как 1 день к 1 дню без 1/20, получится, что в течение приблизительно 300
годов возвращение Солнца к равноденственным точкам совершается на 1
день ранее, чем требуется прибавкой в 1/4 дня. И если мы из-за древности
сравним данные наших наблюдений, вычисленные с наибольшей возможной
точностью, с данными наблюдений летнего солнцеворота, полученными
Метоном и Евктемоном (записанными довольно поверхностно), то мы
получим то же самое.
Действительно, запись того наблюдения была произведена в Афинах в
29
архонтат Апсевда утром 21-го числа египетского месяца Фаменота . Мы
206 же в упомянутом 463 году после смерти Александра с достаточной точностью
вычислили, что солнцеворот имел место 11-го Месоре приблизительно через
30
2 часа после полуночи на 12-е число . От записанного при Апсевде
наблюдения летнего солнцеворота до наблюденного Аристархом в 50 год
первого периода Калиппа прошло, как говорит Гиппарх, 152 года. От
упомянутого же 50 года, который был 44 после смерти Александра, до 463
года нашего наблюдения прошло 419 лет. Следовательно, за промежуток
[времени] в 571 год, если летний солнцеворот, который наблюдал Евктемон,
имел место в начале 21-го дня Фаменота, содержалось, кроме целых
египетских годов, приблизительно 1401/2 И} дней вместо 1421/г1/4, которые
должны были бы прибавиться за 571 год, если считать добавку в 1/4 дня.
Таким образом, упомянутое возвращение произошло ранее вычисленного по
избытку в 1/4 дня на 2 дня без 1/12. Следовательно, и так оказалось, что
в течение целых 600 годов продолжительность годового промежутка времени
на целых 2 дня опережает тот, который получился бы при счете с добавкой
в 1/4 дня. То же самое мы получили и из многих других наблюдений.
Мы видим также, что и Гиппарх неоднократно соглашался с тем же.
Действительно, в книге «О продолжительности года» Гиппарх, сравнивая
наблюденный Аристархом летний солнцеворот в конце 50 года первого
гот периода Калиппа с точно наблюденным им самим в конце 43 года третьего
периода Калиппа , говорит так: «Итак, ясно, что по прошествии 145 лет
солнцеворот произошел скорее вычисленного по прибавке в 1/4 дня на
половину промежутка времени, равного вместе взятым дню и ночи». Затем
в книге «О вставных месяцах и днях» он, сказав сначала, что согласно
Метону и Евктемону год содержит 3651/4 дней и 1/76 дня, а согласно Калиппу
только 3651/4 дней, дословно поясняет так: «Что касается целых месяцев,
содержащихся в 19 годах, то мы нашли то же число, как и они; но год
будет меньше [величины 365 и] 1/4 дня приблизительно на 1/300 часть дня,
так что в течение 300 лет у года Метона будет недоставать 5 дней, у года
Калиппа же — 1 дня». Затем, подводя итог своим рассуждениям и почти
дословно излагая собственные сочинения33, он говорит так: «Я составил одну
книгу о продолжительности года, в которой показываю, что солнечный год
представляет собой то время, в течение которого Солнце возвращается от
одного солнцеворота к тому же самому солнцевороту или от одного
равноденствия к тому же самому равноденствию. Он содержит 365 дней и
приблизительно на 1/300 часть меньше 1/4 промежутка времени, охватывающего

день  и  ночь.  И  не  нужно,  как  полагают математики,  прибавлять к
упомянутому количеству [365] дней целую четверть»34.
    Теперь, как я полагаю, вполне выяснилось, что все данные проведенных
до сих пор наблюдений относительно величины годового промежутка времени
вполне совпадают с вышеупомянутой величиной периода возвращения
Солнца к тем же самым точкам равноденствия или солнцеворота. В этом
нас убеждает полное согласие настоящих наблюдений с более ранними.
Если же так, то, распределив один день на 300 годов, получим, что на
каждый год придется 12 вторых шестидесятых дня. Если вычесть их из
365; 15 дней, получающихся согласно прибавке в четверть дня, то для
искомой величины года будем иметь 365; 14,48 дней. Вот каково число дней,
которое мы должны приблизительно принять как наиболее соответствующее
современным наблюдениям35.
   Для определения положений Солнца и других [светил] в произвольный
момент времени вполне естественно и удобно составить подробные таблицы.
Мы полагаем, что для математика основная задача в конечном счете —
показать, что все небесные явления можно описать с помощью равномерных
и круговых движений. В соответствии с этим мы считаем наиболее удобным
так составить таблицы, чтобы элементарные равномерные движения были
отделены от видимой неравномерности, которая получается вследствие
наличия гипотетических круговых движений. Такой способ составления
таблиц покажет,  каким образом наблюдаемые периодические движения
светил получаются из соединения вместе обоих указанных [движений]  .
   Чтобы дать более удобное для практики изложение и иметь под рукой
все нужное для самих доказательств, представим в дальнейшем отдельные
равномерные движения Солнца следующим образом.
    Если мы показали, что для одного возвращения требуется 365; 14,48
дней, то, разделив на это число 360 градусов одного кругового оборота,
мы получим среднее суточное перемещение Солнца, равное приблизительно
0;59,8,17,13,12,31 градусов. При делении упомянутых величин вполне
достаточно будет ограничиться указанным [шестиразрядным] порядком
шестидесятых долей.
   Взяв 24-ю часть суточного перемещения, получим часовое, равное
0;2,27,50,43,3,1 градусов. Точно так же, умножив суточное движение на
30 дней, соответствующих одному месяцу, получим среднее месячное
движение Солнца, равное 29;34,8,36,36,15,30 градусам. Для 365 дней одного
египетского года получим среднее годовое движение 359;45,24,45,21,8,35
градусов. Затем, умножив годовое движение на 18 годов (тогда при
написании таблиц мы получим большую соразмерность) и отбросив полные
круговые обороты, мы получим приращения за каждые 18 годов, равные
355;37,25,36,20,34,30 градусам37.
    Мы составили три таблицы среднего движения Солнца, каждую в 45
строк и 2 столбца. Первая таблица содержит среднее движение по
восемнадцатилетиям, вторая — сначала годовые, а потом часовые; третья —
сначала месячные, а под ними суточные. Численные величины промежутков
времени помещаются в первых столбцах, а приращения в градусах,
получающиеся соответствующим суммированием, — во вторых столбцах.
in
Таблицы эти таковы  .

2. Таблицы средних движений Солнца
Расстояние [по аномалии] от апогея в начальную эпоху: 265; 15°.
Средняя долгота в начальную эпоху: 0;45° Рыб

18-летние
периоды'''18
36
54355
351
34637
14
5225
51
1636
12
4920
41
134
9
4330
0
3072
90
108342
338
33329
7
4442
8
3325
1
3822
42
318
52
270
30
0126
144
162329
324
32021
59
3659
24
5014
50
2724
44
51
36
1030
0
30180
198
216316
311
30714
51
2916
41
73
39
1625
46
645
19
540
30
0234
252
270303
298
2946
43
2132
58
2452
28
527
48
828
3
3730
0
30288
306
324289
285
28158
36
1349
15
4041
17
5429
49
1012
46
210
30
0342
360
378276
272
26851
28
56
32
5730
6
4330
51
1255
30
430
0
30396
414
432263
259
25443
20
5823
48
1419
55
3232
53
1339
13
480
30
0450
468
486250
246
24135
13
5040
5
318
44
2134
54
1522
57
3130
0
30504
522
540237
233
22827
5
4256
22
4857
33
1036
56
176
40
150
30
0558
576
594224
219
21520
57
3513
39
446
22
5937
58
1849
24
5830
0
30612
630
648211
206
20212
49
2730
56
2135
12
4839
0
2033
7
420
30
0666
684
702198
193
1894
42
1947
13
3824
1
3741
1
2216
51
2530
0
30720
738
756184
180
17657
34
114
29
5513
50
2643
3
240
34
90
30
0774
792
810171
167
16349
26
421
46
122
39
1544
5
2543
18
5230
0
30
Простые
годыО                    1             II             14        II II           
1 1 1 1 1     1 1 1 1 1 1Египет-
ские
месяцыО                   1                    II               1,1          НИ 
            1114      "4111
2
3359
359
35945
30
1624
49
1445
30
1621
42
38
17
2535
10
4530
60
9029
59
8834
8
428
17
2536
13
4936
12
4815
31
4630
0
304
5
6359
358
3581
47
3239
3
281
46
3224
45
634
42
5120
55
30120
150
180118
147
17716
50
2434
43
5126
3
3925
1
372
17
330
30
07
8
9358
358
35717
3
4853
18
4217
2
4828
49
100
8
175
40
15210
240
270206
236
26659
33
70
8
1716
52
2913
50
2648
4
1930
0
3010
11
12357
357
35734
19
47
32
5733
18
431
52
1325
34
4350
25
0300
330
360295
325
35441
15
4926
34
436
42
192
38
1535
50
60
30
013
14
15356
356
35650
35
2121
46
1149
34
2034
56
1751
0
835
10
45Сутки	







1
2
30
1
259
58
578
16
2417
34
5113
26
3912
25
3731
2
3316
17
18356
355
3556
52
3736
0
255
50
3638
59
2017
25
3420
55
30















4
5
63
4
556
55
5433
41
498
26
4352
6
1950
2
154
35
6Часы,,,,, ,„,,,







1
2
30
0
02
4
727
55
2350
41
3243
46
93
6
91
2
37
8
96
7
853
53
5258
6
140
17
3432
45
5827
40
5237
8
394
5
60
0
09
12
1451
19
4722
13
452
35
1812
15
185
6
710
11
129
10
1151
50
4922
31
3952
9
2612
25
385
17
3010
41
127
8
90
0
017
19
2214
42
1055
45
361
44
2721
24
279
10
1113
14
1512
13
1448
47
4747
56
443
1
1851
4
1842
55
743
14
4510
11
120
0
024
27
2938
6
3427
17
810
53
3630
33
3612
14
1516
17
1815
16
1746
45
4412
20
2935
52
931
44
5720
32
4516
47
1813
14
150
0
032
34
361
29
5759
50
4019
2
4539
42
4516
•8
1919
20
2118
19
2043
42
4137
45
5427
44
110
24
3757
10
2249
20
5116
17
180
0
039
41
4425
53
2131
22
1228
11
5448
51
5420
21
2322
23
2421
22
2341
40
392
10
1818
36
5350
3
1735
47
022
53
2419
20
210
0
046
49
5149
16
443
54
4537
21
457
0
324
25
2725
26
2724
25
2638
37
3627
35
4310
27
4430
43
5612
25
3755
26
5722
23
240
0
054
56
5912
40
835
26
1747
30
136
9
1228
29
3128
29
3027
28
2935
35
3452
0
82
19
369
23
3650
2
1528
59
30
3. О гипотезах, касающихся равномерного кругового движения
    Так как после этого следует показать видимую неравномерность
движения Солнца, то вообше нужно предварительно иметь в виду, что и
перемещения планет в направлении последовательности знаков зодиака на
небе, и движение всего неба против этого направления являются
равномерными и круговыми по своей природе. Иными словами, прямые, на
которых воображают двигающимися светила или их круги, у всех светил
в равные времена описывают равные углы при центрах каждого из
круговращений. Кажущиеся же в этих движениях неравномерности полу-
чаются в зависимости от мест светил и расположения на сферах тех кругов,
по которым эти движения совершаются. Существующая только в представ-
лении беспорядочность явлений не прибавляет по самой природе ничего
чуждого свойственной им вечности. Причины же кажущейся неравномер-
ности можно объяснить главным образом с помощью двух первоначальных
и простых гипотез.

   Действительно, если их движение усматривается происходящим по
окружности, имеющей один центр с центром мира и находящейся в одной
плоскости с кругом, проходящим через середины зодиакальных созвездий,
а наш глаз без большой погрешности можно считать находящимся в центре
мира, то для объяснения неравномерности [их движения] следует допустить
следующее. Либо они совершают равномерные движения не вокруг центра
мира, либо, хотя и вокруг этого центра, но не просто по этим окружностям,
а по перемещаемым ими другим окружностям, называемым эпициклами.
Какую бы из этих гипотез мы ни приняли, окажется,
что для наших глаз в одинаковые промежутки
времени они будут проходить неодинаковые дуги по
окружности, проходящей через середины зодиакаль-
ных созвездий и имеющей один центр с миром.
_   „	3Q
   Действительно, если в гипотезе с эксцентром
мы вообразим эксцентрический круг АВГД, по
которому равномерно движется светило, имеющий
центр Е и диаметр АЕД, а в точке Z будет
помещаться наш глаз [рис. 3.1], так что в точке
апогея А светило будет дальше всего, а в точке
перигея Д ближе всего, то ясно, что, отложив равные
дуги АВ и ДГ и проведя соединительные прямые BE, BZ, ГЕ и TZ, мы
сразу же увидим, что светило, прошедшее в одинаковое время каждую из
дуг АВ и ГА, покажется нам прошедшим неравные дуги по описанной
вокруг центра Z окружности. Действительно, при равенстве углов ВЕА и
ГЕА угол BZA будет меньше каждого из них, а угол ГгД — больше.
    Если же в гипотезе с эпициклом мы вообразим круг АВГД [рис. 3.2],
концентрический с проходящим через середины зодиакальных созвездий и
имеющий центр Е и диаметр АЕГ 40, и по этому кругу будет перемещаться
эпицикл ZH0K (по которому движется само светило) имеющий центр в
А, то и в этом случае будет ясно, что при равномерном прохождении круга
АВГА эпициклом, например, от А к В, и таком же движении светила по
эпициклу в положениях Z и 0 светило будет казаться нам как бы
совпадающим с центром А эпицикла, в других же положениях — нет.
Если, например, оно будет находиться в Н, то оно покажется опередившим
    
равномерное движение на дугу АН, а если в К, то отставшим от него на
дугу АК.
   При упомянутой гипотезе с эксцентром наименьшее движение будет
всегда получаться в апогее, а наибольшее — в перигее, так как угол
AZB [см. рис. 3.1 ] будет всегда меньше угла AZT.
При движении же по эпициклу может иметь место
и то, и другое. Действительно, если эпицикл
перемещается по небу в направлении последователь-
ности знаков [зодиака ], положим от А к В [рис. 3.2 ],
а светило по нему движется так, что от апогея оно 219
движется также в направлении последовательности
[этих] знаков, т.е. от Z к Н, то окажется, что в
апогее оно будет иметь наибольшее перемещение, так
как в этом случае и светило, и эпицикл движутся в
одном и том же направлении. Если же светило от
апогея будет двигаться в направлении, противополож-
ном движению эпицикла, т.е. от Z к К, то, наоборот,
в апогее будет иметь место наименьшее перемещение,
потому что в этом случае светило будет перемещаться в сторону,
противоположную движению эпицикла.
   Установив это, мы должны еще принять предварительно следующее. Для
светил, имеющих две аномалии, допускается соединять вместе обе эти
гипотезы, как мы покажем в соответствующих местах41. Для светил же,
имеющих только одно неизменное неравенство, будет достаточна одна
какая-либо из этих гипотез. Все наблюдавшиеся явления могут быть
совершенно одинаково объяснены при помощи обеих гипотез, если в них
имеют место одинаковые соотношения, т.е. если в гипотезе с эксцентром
расстояние между глазом и центром эксцентра имеет такое же отношение
к радиусу эксцентра, какое в гипотезе с эпициклом имеет радиус эпицикла
к радиусу несущего его круга, а также если время, в течение которого
светило перемещается по неподвижному эксцентру в направлении последо- 220
вательности знаков [зодиака], равно тому времени, в течение которого
эпицикл проходит круг с центром в точке, где находится наблюдатель,
двигаясь тоже в направлении последовательности знаков, а светило с такой
же скоростью перемещается по эпициклу, двигаясь, однако, от апогея против
42
последовательности знаков  .
   При этих условиях наблюдаемые явления будут одинаковы для каждой
из этих гипотез. Это мы кратко покажем сначала на основании самих
условий, а затем при помощи основанного на них вычисления неравенства
Солнца.
   Прежде всего я утверждаю, что в каждой из этих гипотез наибольшая
разность между равномерным и видимым неравномерным движениями,
которая определяет среднее движение светил, имеет место тогда, когда
видимое расстояние [светила] от апогея составляет четверть окружности и
время движения от апогея до упомянутого среднего положения будет больше
времени движения от этого среднего положения до перигея. Отсюда
получается, что при гипотезе с эксцентром всегда, а при гипотезе с
эпициклом тогда, когда перемещения светил от апогея идут в направлении,
обратном последовательности знаков, время перехода от места с наименьшим
движением к среднему будет больше времени движения от места со средним 221
движением к месту с наибольшим движением. Это объясняется тем, что в
   
Е
2——"/каждой из этих гипотез наименьшее движение получается в апогее. В
гипотезе же с эпициклами, когда движения светил по эпициклам происходят
от апогея  в  направлении  последовательности  знаков,   наоборот,  время
перемещения от места с наибольшим движением
к среднему будет больше времени движения от	А
места со средним к месту с наименьшим движе-
нием,   так  как   в   этом  случае  апогею  будет
соответствовать наибольшее перемещение43.
   Пусть сначала АВГД [рис. 3.3] будет окруж-
ностью эксцентра светила, имеющей центр Ей
диаметр АЕГ, на котором возьмем центр зо-
диакального круга, т.е. точку нашего наблюдения.
Пусть это будет Z. Проведя затем из Z под прямым
углом к АЕГ прямую BZA, предположим, что
светило находится в точках В и А, так что его	г
видимое расстояние по обе стороны от апогея А	Рис 3 3
равняется четверти окружности. Требуется дока-
зать,  что в точках В  и А имеет место наибольшая разность между
равномерным и неравномерным движениями.
   Проведем прямые ЕВ и ЕД. Сразу же становится ясно, что отношение
угла EBZ к четырем прямым равно отношению дуги, соответствующей
аномалии, ко всей окружности. Действительно, угол АЕВ стягивает дугу
равномерного движения, а угол AZB — видимого неравномерного; разность
же этих углов — угол EBZ.
   Итак, я утверждаю, что на прямой EZ нельзя при окружности круга
АВГД построить другой угол, который был бы больше каждого из этих
углов.
   Действительно, построим в точках Э и К углы E0Z и EKZ и проведем
соединяющие их прямые 0Д и КД. Поскольку во всяком треугольнике
большая сторона стягивается большим углом и 0Z больше ZД, то угол
&AZ будет больше A@Z. Но угол ЕД0 равен Е0Д, так как Е0 равна
ЕД. Значит, и весь угол EAZ, т.е. ЕВД, будет больше угла E0Z. Далее,
так как AZ больше KZ, то и угол ZKA будет больше угла ZДK. Но угол
ЕКД равен всему ЕДК, так как прямая ЕК тоже равна ЕД. Значит, и
остающийся угол EAZ, т.е. EBZ, будет больше угла EKZ. Следовательно,
невозможно построить указанным образом углы, большие тех, которые
образуются в точках В и Д.
   Одновременно доказано, что дуга АВ, соответствующая времени перехода
от места с наименьшим движением к месту со средним [движением], будет
больше дуги ВГ, соответствующей времени перехода от места среднего
движения к месту с наибольшим. Разность же этих Дуг равна удвоенной
дуге, определяющей неравенство. Действительно угол АЕВ будет больше
прямого угла EZB на угол EBZ, а ВЕГ меньше прямого угла на тот же
угол.
   Для доказательства того, что это же самое получается и при другой
гипотезе, возьмем концентрический с центром мира круг АВГ, имеющий
центр в Д, а диаметр АДВ [рис. 3.4], и в той же самой плоскости
движущийся по нему эпицикл EZH с центром в А. Предположим, что
когда светило кажется нам отстоящим на четверть окружности от точки
апогея, оно находится в Н. Проведем соединяющие прямые АН и ДНГ.
   
   Я утверждаю, что линия ДНГ касается эпицикла. При этом разность
между равномерным и неравномерным движениями наибольшая.	224
   Действительно, так как равномерное движение от апогея определяется
углом ЕАН (ибо и светило по эпициклу, и эпицикл по кругу АВГ движутся
с одинаковыми скоростями), а разность между равномерным и видимым
движениями определяется углом АДН, то ясно, что разность углов ЕАН и
АДН, т.е. угол АНД, определяет видимое расстояние светила от апогея.
Поскольку же предположено, что оно равно четверти окружности, угол
АНД будет прямым, и вследствие этого линия ДНГ будет касательной к
эпициклу EZH. Следовательно, дуга АГ, заключающаяся между центром

А и касательной, соответствует наибольшей ве-
личине неравенства.
   На том же основании дуга ЕН, которая,
согласно сделанному предположению о направ-
лении движения по эпициклу, определяет время
перехода от места с наименьшим движением к
месту со средним, будет на удвоенную дугу АГ
больше дуги HZ, определяющей время перехода
от места со средним к месту с наибольшим
движением, так как, если продолжить прямую
ДН до в и под прямым углом к EZ провести 225
АК0, угол КАН будет равен углу АДГ44, а дуга
КН подобна АГ45. Именно на эту величину дуга
в	ЕКН будет больше, a ZH будет меньше четверти
Рис. 3.4	окружности, что и требовалось доказать.

   Из следующих рассуждений легко можно
убедиться, что и при рассмотрении движений в
промежуточных положениях при любой гипотезе
все явления, относящиеся к равномерному и
видимому движениям, будут совершаться в одина-
ковые времена, а также будут равны их разности,
т.е. неравенства, происходящие от неравномер-
ности [наблюдаемого движения]46.
   Пусть АВГ будет кругом [рис. 3.5], гомо-
центрическим с проходящим через середины зо-
диакальных созвездий и имеющим центр в А,
EZH — равный гомоцентру АВГ эксцентр с
центром в 0, а ЕАДГ — их общий диаметр,
проходящий через центры 0 и Д и апогей Е.
Отложив на гомоцентре какую-нибудь дугу АВ,
из центра В радиусом, равным Д0, опишем
эпицикл KZ и проведем соединительную прямую КВД.
   Я утверждаю, что при обоих видах движений [т.е. при движении по
эксцентру или по эпициклу] светило всегда в одно и то же время придет 226
в точку Z пересечения эксцентра и эпицикла, иными словами, что будут
подобны друг другу три дуги, а именно дуга EZ эксцентра, дуга АВ
гомоцентра и дуга KZ эпицикла, а также, что в обеих гипотезах разности
между равномерным и неравномерным движениями и видимое перемещение
светила будут одними и теми же.
   
   Проведем соединяющие прямые Z0, BZ и AZ. Так как в четырех-
угольнике BA0Z противоположные стороны равны, а именно Z0 равна
ВД, a BZ равна Д0, то четырехугольник BA®Z — параллелограмм.
Следовательно, будут равны три угла E0Z, АДВ и ZBK. Так как эти углы
центральные, то стягиваемые ими дуги подобны. Это дуги EZ эксцентра,
АВ гомоцентра и KZ эпицикла. Следовательно, в обоих движениях светило
в одно и то же время придет в Z и в видимом движении пройдет от апогея
одну и ту же дугу АЛ зодиакального круга. В соответствии с этим
происходящая от неравномерности разность в обеих гипотезах будет одной
и той же, ибо мы доказали, что получается одна и та же разность, а
именно угол AZ0 в гипотезе с эксцентром и угол BAZ в гипотезе с
эпициклом; они будут равными и накрест лежащими, так как по
доказанному Z0 будет параллельна ВД.
   Ясно, что то же самое будет получаться и при всех других расстояниях,
так как четырехугольник ®ABZ — всегда параллелограмм, и [поэтому]
эксцентрический круг будет описываться самим светилом при его движении
по эпициклу, если, конечно, в обеих гипотезах соответствующие отношения

будут подобны, а их составляющие равны47. Но даже если бы они были
только   подобными,   но   не   равными   по
величине, то получится опять то же самое48.
Это можно объяснить следующим образом.
   Пусть точно так же АВГ — гомо-
центрический с миром круг, имеющий центр
Д и диаметр АДГ, соединяющий места
перигея и апогея светила [рис. 3.6]. Пусть
эпицикл с центром В на некоторую дугу
АВ отстоит от апогея А, а светило в своем
движении пройдет дугу EZ, которая, конеч-
но, должна быть подобна дуге АВ вследствие
изохронности возвращений у обоих кругов.
Проведем соединяющие прямые ДВЕ, BZ и
дг.
   А то, что угол АДЕ всегда равен углу
ZBE и светило видимо в направлении AZ,
при этой гипотезе очевидно.
   Я утверждаю теперь, что и в гипотезе
эксцентра [независимо от того], будет экс-
центр больше или меньше гомоцентра АВГ,
если только предположить подобие соответствующих отношений и изохрон-
ность возвращений, светило опять будет видимо в том же направлении
ДZ. Построим больший упомянутого [гомоцентра] эксцентр Н0, имеющий
центр К на прямой АГ, и меньший [эксцентр] ЛМ с центром N на той
же прямой [АГ]. Далее, продолжив AMZ0 и ДЛАН, проведем соединяющие
прямые 0К и MN. Поскольку как ДВ относится к BZ, так будет относиться
и 0К к КА, и MN к NA, а угол BZA равен углу МДЫ вследствие
параллельности АД и BZ, все три треугольника [ZAB, Д0К, ДМЫ]
равноугольны и стягиваемые пропорциональными сторонами углы BAZ,
Д0К и ДМЫ равны, то, следовательно, прямые ВД, 0К и MN параллельны.
Таким образом, и углы АДВ, AK0 и ANM равны. И поскольку эти углы
   
в кругах центральные, то стягиваемые ими дуги АВ, Н0 и ЛМ подобны.
Следовательно, не только эпицикл проходит дугу АВ, а светило дугу EZ
в одинаковое время, но и на эксцентрах светило пройдет дуги Н0 и
ЛМ в то же самое время, а вследствие этого оно всегда видимо по одной
и той же прямой AMZ0. По эпициклу оно придет в точку Z, по большему
эксцентру — в 0, а по меньшему — в М. То же самое будет иметь место
и во всех других положениях.

К этому добавляется еще, что, когда в видимом движении светило
оказывается на одинаковых расстояниях от апогея и перигея, появляющееся
в обоих положениях из-за неравномерности [движения] неравенство будет
одним и тем же. Действительно, опишем согласно
гипотезе эксцентра эксцентрический круг АВГД с
центром Е и проходящим через апогей А диаметром
АЕГ [рис. 3.7 ], причем наш глаз предполагается
находящимся на этом диаметре в точке Z. Возьмем гзо
затем проходящую через Z какую-нибудь прямую
BZA, проведем соединяющие линии ЕВ и ЕД. Тогда
видимые перемещения светил будут равны и [диамет-
рально] противоположны. Иными словами, угол AZB
от апогея будет равен углу TZA от перигея, и
появляющаяся вследствие неравномерности [движения]
разность будет одной и той же в силу равенства прямых
BE и ЕД и углов EBZ и EAZ. Таким образом, в
видимых перемещениях, т.е. в дугах, заключенных в
углах AZB и TZA, дуга от апогея А будет больше
дуги, пройденной в равномерном движении, а дуга от
перигея Г будет меньше пройденной в равномерном
движении на ту же самую величину вследствие того,
что угол АЕВ больше угла AZB, а угол ГЕД
соответственно меньше Г7Л.
   В гипотезе эпицикла, если мы также начертим
гомоцентрический круг АВГ с центром Д и диаметром
АДГ и эпицикл EZH с центром А [рис. 3.8 ], а затем,
взяв какую-нибудь прямую AHBZ, проведем сое-
динительные линии AZ и АН, то получающаяся
вследствие неравномерности разность — дуга АВ — будет опять той же 231
самой в обоих положениях, т.е. если светило будет в Z или в Н. Светило
будет казаться нам одинаково отстоящим по зодиакальному кругу от точки
апогея, когда оно будет в Z, или от перигея, когда оно будет в Н, так
как пройденная в видимом движении от апогея дуга содержится в угле
AZA (ибо было доказано, что она является избытком равномерного движения
над происходящим неравномерным); точно так же видимая дуга, начинаю-
щаяся в перигее, содержится в угле ZHA, ибо она равна той же самой
разности равномерного движения от перигея и соответствующего неравно-
мерного. Но угол AZA равен углу ZHA вследствие равенства AZ и АН;
таким образом, отсюда опять получается, что на ту же самую разность,
т.е. на угол АДН, среднее движение у апогея будет больше видимого
(т.е. угол EAZ больше угла AZA), а у перигея среднее движение будет
меньше такого же видимого, т.е. угол НАД меньше угла AHZ. Это и 232
требовалось доказать.
   
4. О видимом неравенстве движения Солнца
   
   Изложив все это указанным образом, мы должны предварительно
заняться видимым неравенством движения Солнца. Так как это неравенство
является единственным и время перехода от места с наименьшим движением
к месту со средним движением всегда больше, чем время перехода от места
со средним движением к месту с наибольшим (мы нашли, что все это
действительно согласуется с наблюдающимися явлениями), то оно может
быть получено с помощью каждой из приведенных гипотез. В частности,
его можно получить при помощи гипотезы с эпициклом, если на дуге
последнего около апогея движение Солнца будет совершаться против
последовательности знаков зодиака. Однако было бы, пожалуй, разумнее
привлечь к объяснению гипотезу с эксцентром, так как она проще и требует
«49
только одного, а не двух движении  .
   Прежде всего нужно найти величину эксцентриситета солнечного круга,
иными словами, определить, как расстояние между центрами эксцентра и
находящегося в точке нашего наблюдения центра зодиакального круга
233	относится к радиусу эксцентра. Затем, какому месту зодиакального круга
соответствует точка апогея эксцентра. Все это тщательно показал Гиппарх.
Положив в основу время движения [Солнца] от весеннего равноденствия
до летнего солнцеворота, равное 941/2 дням, а от летнего солнцеворота до
осеннего равноденствия — 921/г дням, он, используя только эти данные,
нашел, что длина прямой между упомянутыми центрами составляет
примерно 1/24 радиуса эксцентра и что апогей предшествует точке летнего
солнцеворота приблизительно на 241/2 градуса, каких во всем зодиакальном
круге содержится 360. Мы также нашли, что продолжительности упомянутых
четвертей периода и величины указанных отношений являются при-
близительно такими же и в настоящее время, так что обнаруживается,
таким образом, что эксцентр Солнца всегда сохраняет то же самое положение
относительно точек солнцеворота и равноденствий50. Однако чтобы не пройти
мимо этого столь важного места, но разъяснить его, опираясь на наши
вычисления, мы тоже дадим вывод всего относящегося к эксцентру, исходя
из тех же самых данных наблюдений. А именно из того, что, как мы
сказали, время от весеннего равноденствия до летнего солнцеворота равно
941/2 дням, а от летнего солнцеворота до осеннего равноденствия — 921/г
234	дням. Действительно, при помощи точнейших наблюдений равноденствий и
летнего солнцестояния, произведенных нами в 463 году после смерти
Александра, мы получили количество дней, вполне согласное с указанным.
Действительно, поскольку, как мы сказали, осеннее равноденствие имело
место 9-го Атира после восхода Солнца51, а весеннее — 7-го Пахона после
52
полудня , соответствующий промежуток [между ними] получается равным
178V4 дням. Летний же солнцеворот произошел в ночь с 11-го на 12-е
Месоре, после полуночи . Так как указанный промежуток [времени], т.е.
от весеннего равноденствия до летнего солнцеворота, содержит 941/2 дня,
то для промежутка времени от летнего солнцеворота до следующего за ним
осеннего равноденствия остается приблизительно 921/г дня54.
   Пусть АВГА — зодиакальный круг с центром Е [рис. 3.9]. Проведем
в нем через точки солнцеворотов и равноденствий два взаимно перпендику-
лярных диаметра, АГ и ВА. Предположим, что А — точка весеннего
   
равноденствия, а В — летнего солнцеворота и так далее по порядку. То,
что центр эксцентрического круга попадет между прямыми ЕА и ЕВ, ясно
из того, что полуокружности АВГ соответствует время, большее половины
года. Вследствие этого отрезок эксцентра будет больше полуокружности;
квадранту АВ соответствуют и большее время, и большая дуга эксцентра, 23s
чем квадранту ВГ.
   Если это так, предположим, что точка Z будет центром эксцентра.
Проведем через оба центра и апогей диаметр EZH и из центра Z
произвольным радиусом опишем эксцентрический солнечный круг 0КЛМ.
Затем через Z проведем параллели NHO —
диаметру АГ и ПР2 — диаметру ВЛ. Кроме
того, проведем перпендикуляры 0TY из
0 на диаметр NSO и КФХ из К на ПР2.
Теперь, так как Солнце, равномерно дви-
жущееся по окружности ©КЛМ, проходит
дугу ©К за 941/2 дня, а КЛ за 921/г дня
и за 941/2 дня равномерным движением
продвигается приблизительно на 93;9 таких
градуса, каких в круге содержится 360, а
за 921/2 дня — на 91; 11 градус, то дуга
©КЛ должна равняться 184;20 градусам.
Вместе же взятые дуги N© и ЛО, остаю-
щиеся от полуокружности NnO, составляют
4;20 градуса; дуга ©NY, равная удвоенной 236
©N, составит 4;20 таких же градуса. Таким
образом, стягивающая ее прямая ©Y будет
равна приблизительно 4;32 таким частям, каких в диаметре эксцентра
содержится 120. Половина прямой ©Т или ЕЕ будет равна 2; 16 таким же
частям. Далее, так как вся дуга ©NnK составляет 93;9 градуса, a ©N
равна 2; 10 градусам, квадрант NH — 90 градусам, то остающаяся дуга
ПК будет содержать 0;59 градусов, а вдвое большая ее дуга КПХ равна
1;58 градусу. Таким образом, стягивающая ее прямая КФХ будет равна
2;4 таким частям, каких в диаметре эксцентра содержится 120. Половина
же КФ или ZS равна 1;2 части. Но доказано, что прямая ЕН содержит
2; 16 таких же части. И так как сложенные их квадраты дают квадрат на
EZ, то эта последняя по длине будет равняться приблизительно 2;291/г
таким частям, каких в радиусе эксцентра будет 60. Следовательно, радиус
эксцентрического круга будет приблизительно в двадцать четыре раза больше
расстояния между центрами упомянутого круга и зодиакального.
   Далее, поскольку согласно доказанному EZ содержит 2;291/г части, каких
в прямой ZH имеется 1;2, то, значит, прямая ZS будет содержать 237
приблизительно 49;46 частей, каких в гипотенузе EZ будет 120. Соответ-
ствующая же ей дуга круга, описанного около прямоугольного треугольника
EZH, будет иметь приблизительно 49 частей, каких в круге содержится
360, и, следовательно, угол ZEE будет равняться 49 градусам, каких в
двух прямых углах будет 360, или 24;30 таким, каких в четырех прямых
углах содержится 360. Но так как этот угол находится у центра
зодиакального круга, то и дуга ВН, на которую апогей Н предшествует
точке В летнего солнцеворота, тоже будет равна 24;30 градусам. Наконец,
   
поскольку квадранты OS и 2N содержат каждый по 90 градусов, дуги
ОЛ и GN равны каждая 2; 10 градусам, a ME составляет 0;59 градусов,
дуга ЛМ будет иметь 86;51 градусов, а М© — 88;49 градусов. Но 86;51
градусов Солнце проходит равномерным движением за 881/8 дней, а 88;49
градусов приблизительно за 901/8 дней. Таким образом, Солнце в видимом
движении пройдет дугу ГД, заключающуюся между осенним равноденствием
и зимним солнцеворотом, за 881/8 дней, а дугу АД между зимним
солнцеворотом и весенним равноденствием — приблизительно за 901/8 дней.
Таким образом, изложенное нами вполне согласуется с утверждениями
Гиппарха55.
   На основании этих числовых данных определим сначала, чему равна
наибольшая разность между равномерным и неравномерным движениями и
в каких точках это будет иметь место.
   Пусть АВГ — эксцентрический круг с центром Д и проведенным через
точку апогея А диаметром АДГ [рис. 3.10]. Пусть на нем в точке Е будет
центр зодиакального круга. Под прямым углом к
АГ проведем ЕВ и соединительную прямую АВ. Так
как в радиусе АВ содержится 60 частей, каких в
расстоянии ДЕ между центрами в соответствии с
отношением 24 к 1 содержится 2;30, то, значит,
прямая ДЕ будет содержать приблизительно 5 таких
частей, каких в гипотенузе содержится 120, и
построенная на ней дуга — приблизительно 4;46 таких
градуса, каких в круге, описанном около прямоуголь-
ного треугольника ВДЕ, содержится 360. Таким
образом, угол ДВЕ, соответствующий самой большой
разности вследствие неравномерности, содержит 4;46
градуса, каких в двух прямых углах 360, или 2;23
таких, каких 360 в четырех прямых углах. Прямой
угол ВЕД имеет 90 таких же градусов, и, следова-
тельно, угол ВДА, равный сумме упомянутых [углов],
равен 92; 23. И так как оба эти угла находятся при
центрах, а именно угол ВДА эксцентра, а ВЕД
зодиакального круга, то наибольшая разность от
неравномерности составит 2;23 градуса. Что же
касается дуг, на которых это имеет место, то в
равномерном движении по эксцентру дуга будет равна
92;23 градусам от апогея, а в видимом неравномерном
движении по зодиакальному кругу — 90 градусам
(четверти круга), как мы уже показали ранее. Из
вышеизложенного также ясно, что на противополож-
ном полукруге среднее видимое перемещение и
наибольшая   разность   от   неравномерности   будут
градусам, а в равномерном движении по эксцентру — 267;37 градусам
   Чтобы показать, как те же самые числовые характеристики определяются
согласно гипотезе с эпициклом, если все отношения, как мы сказали,
остаются теми же, возьмем круг АВГ с центром А и диаметром АДГ
[рис. 3.11], гомоцентрический с кругом, проходящим через середины знаков
зодиака, и эпицикл EZH с центром А. Из центра А проведем касательную
к эпициклу прямую AZB и соединительную   [прямую] AZ.  Тогда из
   
[рассмотрения] прямоугольного треугольника AAZ точно так же следует,
что АА будет в двадцать четыре раза больше AZ. Таким образом, каких
частей в гипотенузе АА имеется 120, таких в AZ окажется 5, и построенная
на ней дуга содержит 4; 46 таких градуса, каких описанный около
прямоугольного треугольника AAZ круг содержит 360. И, следовательно,
угол AAZ равен 4; 46 таким градусам, каких в двух прямых содержится
360, или 2;23 таким, каких 360 будет в четырех прямых углах.
Следовательно, наибольшая разность от неравномерности, т.е. дуга АВ, в
этом случае также равна 2;23 градусам. Дуга неравномерного движения,
заключенная в прямом угле AZA, равна 90 градусам, а дуга равномерного
движения, заключенная в угле EAZ, также содержит 92;23 градуса.

5. Об определении значений неравенства для различных положений
   Чтобы получить возможность определять неравномерные движения в
различных местах [солнечной орбиты], покажем, как в обеих гипотезах по
57
заданной одной из упомянутых дуг определить и все остальные .
   Пусть сначала круг АВГ будет гомоцентричен зодиакальному и имеет
центр в A, a EZH — эксцентр с центром в 0 и EA0AH — диаметр,
             проходящий  через  оба  эти  центра  и  апогей  Е
Е	[рис. 3.12]. Взяв произвольную дугу EZ, проведем

соединяющие прямые ZA и Z0. Пусть сначала дана
дуга EZ, содержащая, например, 30 градусов. Про-
ведя Z0, опустим на нее из А перпендикуляр АК.
Если дуга EZ предполагается равной 30 градусам,
то угол E0Z или A0K будет равен 30 таким
градусам, 360 которых составляют четыре прямых
угла, или 60 таким, 360 которых составляют два
прямых угла. Следовательно, построенная на АК дуга
составит 60 таких градусов, каких круг, описанный
около прямоугольного треугольника Д0К, содержит
Г	360. Дуга же, построенная на 0К, содержит недо-
               стающие до полуокружности 120 градусов. Следова-
ис'	тельно, стягивающие их прямые содержат для АК 60
таких частей, каких в гипотенузе А0 120, а для 0К — 103;55 такие же
части. Таким образом, если прямая А0 равна 2;30 частям, а радиус Z0 —
60, то АК содержит 1;15 такую часть, 0К — 2; 10, а вся K0Z — 62; 10.
И так как квадраты на них, вместе взятые, дают квадрат на ZA, то
гипотенуза ZA будет равна приблизительно 62; 11 таким же частям. И,
следовательно, если принять ZA за 120 частей, то прямая АК будет иметь
2;25 таких части, а построенная на ней дуга — 2; 18 части, каких описанный
около прямоугольного треугольника ZAK круг содержит 360. Таким образом,
угол AZK будет равен 2; 18 градусам, 360 которых составляют два прямых
угла, и 1;9 такому градусу, 360 которых соответствуют четырем прямым
углам. Такова разность вследствие неравномерности. Но угол E0Z равен
30 таким частям. Следовательно, получающийся в остатке угол ААВ, т.е.
дуга АВ зодиакального круга, равен 28;51 градусам.
   Если дан какой-нибудь другой из этих углов [вместо угла E0Z], то
можно считать известными и другие. Это сразу же ясно, если на том же
   
чертеже [рис. 3.13] из G опустить на ZA перпендикуляр 0Л. Если
предположим заданной дугу АВ зодиакального круга, т.е. угол 0АЛ, то
58
вследствие этого будет задано и отношение А0 к 0Л
отношение А0 к 0Z, то задано и отношение 0Z
к ©Л. Вследствие этого будут известны и угол
0ZA, соответствующий разности вследствие неравно-
мерности [движения], и угол E0Z, т.е. дуга EZ
эксцентра.
   Если же предположить, что задана разность в
результате неравномерности [движения], т.е. угол
0ZA, то получится и все остальное в обратном
порядке, так как вследствие этого будет известно
отношение 0Z к ©Л, а отношение ©Z к ©А было
дано с самого начала. Поэтому будет известно
отношение А© к ©Л, а вследствие этого и угол
0АЛ, т.е. дуга АВ зодиакального круга, а также
угол E0Z, т.е. дуга EZ эксцентра.
   Пусть теперь круг АВГ с центром А и диаметром
АДГ [рис. 3.14] будет гомоцентрическим с прохо-
дящим через середины знаков зодиака, a EZH0 с
центром в А — построенный с соблюдением тех же
самых отношений эпицикл [рис. 3.14]. Взяв дугу
EZ, проведем соединительные прямые ZBA и ZA.
Предположим опять, что дуга EZ составляет те же
самые 30 градусов, и проведем из Z к АЕ
перпендикуляр KZ.
   Так как дуга EZ составляет 30 градусов, то угол
EAZ равен 30 таким градусам, 360 которых дают
четыре прямых угла, и 60 таким, 360 которых равны
двум прямым углам. Таким образом, дуга на ZK
будет равна 60 таким частям, которых круг, описан-
ный около прямоугольного треугольника AZK, со-
держит 360, а дуга на АК — остальным 120 градусам,
недостающим до полуокружности. Следовательно, стягивающие их прямые
будут равны: ZK — 60 таким частям, каких диаметр AZ содержит 120, а
КА — 103;55 таким же частям. Таким образом, если гипотенуза AZ равна
2;30, а радиус АА — 60 частям, то прямая ZK будет содержать 1; 15 такую
часть, а КА — 2; 10 и вся КАА — 62; 10. И так как квадраты на них,
вместе взятые, составляют квадрат на ZBA, то длина ZA будет равна 62; 11
таким частям, каких в ZK содержится 1; 15. И, следовательно, если принять
гипотенузу AZ за 120 [частей], то прямая ZK будет равна 2;25, а
построенная на ней дуга — 2; 18 градусам, каких в круге, описанном около
прямоугольного треугольника AZK, будет 360. Таким образом, угол ZAK
будет равен 2; 18 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360,
или 1;9 градусу, каких в четырех прямых углах 360. Такова для дуги
АВ разность вследствие неравномерности. Но угол EAZ равнялся 30 таким
градусам; следовательно, остающийся угол AZA, т.е. видимая дуга
зодиакального круга, равна 28;51 градусам, что вполне согласуется с
величиной, полученной на основе гипотезы эксцентра.
   Подобно этому, если дан какой-нибудь другой угол [вместо угла EAZ],
то могут быть получены и остальные углы, если на том же чертеже опустим
   
из А на AZ перпендикуляр АЛ [рис. 3.15]. Если мы вновь возьмем видимую
дугу зодиакального круга, т.е. угол AZA, то вследствие этого будет дано
и отношение ZA к АЛ, а так как с самого начала
дано отношение ZA к АА, то будет дано и
отношение АА к АЛ. Вследствие этого даны и угол
ААВ, т.е. дуга АВ, представляющая разность,
возникающую из-за неравномерности, и угол EAZ,
т.е. дуга EZ эпицикла. Если же мы предположим
заданной разность, происходящую от неравномер-
ности, т.е. угол ААВ, то будет известно и отношение
АА к АЛ, и так как с самого начала было задано
отношение АА к AZ, то будет известно и отношение
AZ к АЛ, а вследствие этого определяется и угол
AZA, т.е. видимая дуга зодиака, и угол EAZ, т.е.
дуга EZ эпицикла.
   Теперь на приведенном выше чертеже экс-
центрического круга [рис. 3.16] отложим от перигея
Н эксцентра дугу HZ, которую мы положим равной
тем же самым 30 градусам, проведем соединитель-
ные прямые AZB и Z© и из А опустим на GZ
перпендикуляр АК.
   Так как дуга ZH равна 30 градусам, то угол
Z©H равен 30 таким градусам, 360 которых
составляют четыре прямых угла, или 60 таким, 360
которых составляют два прямых угла. Таким
образом, дуга на прямой АК равна 60 градусам,
каких круг, описанный около прямоугольного
треугольника A0K, содержит 360. Дуга же на
К© равна остальным 120 частям полуокружности.
Следовательно, стягивающие их прямые будут
равны: АК — 60 таким частям, каких диаметр
А© содержит 120, а К© — 103;55 таким же частям.
И, следовательно, если гипотенузу А© взять равной
2;30, а радиус ©Z — 60, то прямая АК будет равна
1;15 такой части, ©К — 2; 10, a KZ — получа-
ющимся в остатке 57;50 [частям]. Так как вместе
взятые их квадраты дают квадрат на AZ, то длина
последней будет равна приблизительно 57;51 таким
частям, каких в АК содержится 1;15. И, значит,
если гипотенуза AZ равна 120, то АК будет равна
таким градусам, то весь угол ВАГ, т.е. дуга ГВ, равен 31; 14 градусу.
2;34 таким же частям59; построенная на ней дуга
составит 2;27 градуса, каких в круге, описанном
около прямоугольного треугольника AZK, содер-
жится 360. Таким образом, угол AZK будет равен
2;27 таким градусам, каких в двух прямых углах
содержится 360, и приблизительно 1; 14 градусу,
каких в четырех прямых углах будет 360. Такова
будет величина разности вследствие неравномер-
предположению [рассматриваемый] угол равен 30

   На тех же основаниях [рис. 3.17], если продолжить прямую. ВЛ и
опустить на нее перпендикуляр ©Л, можно в случае заданной дуги ГВ
зодиакального круга, т.е. по углу @ЛЛ, считать заданным и отношение
Д© и ©Л. Но так как с самого начала было дано отношение Д© к ©Z,
то будет известно и отношение Z© к ©Л. Вследствие этого мы будем иметь
данными: угол ©ZA, т.е. разность вследствие неравномерности, и угол
Z0A, т.е. дугу HZ эксцентра. Если же задать угол ©ZA — разность
вследствие неравномерности, — то снова вследствие того же будет задано
и отношение Z© к 0Л, а при заданном с самого начала отношении Z©
к Д0 будет известно и отношение Д© к ©Л. Вследствие этого будут заданы
угол 0ДЛ или дуга ГВ зодиакального круга и угол Z©H или дуга HZ
эксцентра.


   Таким же образом на приведенном выше чертеже гомоцентрического
круга с эпициклом [рис. 3.18] отложим от перигея © дугу ©Н тоже в 30
градусов, проведем соединительные прямые АН и ДНВ и опустим из Н на
АД перпендикуляр НК. Так как дуга ©Н опять равна 30 градусам, то угол
0AH равен 30 таким градусам, 360 которых составляют четыре прямых
угла, или 60 таким, каких 360 составляют два
прямых угла. Таким образом, дуга над прямой
НК равна 60 градусам, каких круг, описанный около
прямоугольного треугольника НКА, содержит 360,
а дуга над АК равна остальным 120 градусам
[дополняющим ] до полуокружности. И, следователь-
но, из стягивающих эти дуги прямых НК содержит
60 частей, каких в гипотенузе АН 120, а АК
содержит 103;55 такие же части. И, следовательно,
если положить прямую АН равной 2;30 частям, а
радиус АД — 60, то НК будет содержать 1;15 такую
часть, АК — 2; 10, а КД — остальные 57;50. И так
как квадраты на них, вместе взятые, дают квадрат
на ДН, то длина последней будет .равна при-
близительно 57;51 частям, каких в прямой КН было
1;15. И, следовательно, если гипотенуза ДН равна
120 частям, то в прямой НК таких частей будет
2;34, а в построенной на ней дуге — 2;27 градуса,
каких описанный около ДНК круг имеет 360. Таким
образом, угол НДК равен 2;27 градусам, каких в
двух прямых углах 360, или приблизительно 1; 14
градусу, каких 360 в четырех прямых углах.
Следовательно, такую именно величину будет иметь
обусловленная неравномерностью разность, т.е. дуга
АВ. И так как по предположению угол КАН
содержит 30 таких же градусов, то, значит, весь
угол ВНА, который содержит видимую дугу зодиака,
будет равняться 31; 14 градусу. Это вполне согласу-
ется с числовыми данными, полученными на основе
гипотезы эксцентра.
   На том же основании, если мы проведем прямую
АЛ, перпендикулярную к АВ  [рис. 3.19], то по
заданной дуге зодиакального круга, т.е. по углу
АНЛ, определится и отношение НА к АЛ, а так как с самого начала было
дано и отношение НА к АА, то будет задано и отношение ДА к АЛ.

4   К. Птолемей

Вследствие же этого будет известен угол АДВ, т.е. дуга АВ, соответствующая
обусловленной неравенством разности, и угол 0AH, т.е. дуга 0Н эпицикла.
Если же мы зададим дугу АВ разности, обусловленной неравенством, т.е.
угол ААВ, то снова вследствие этого таким же образом окажется задано и
отношение АА к АЛ. А так как отношение ДА к АН было дано с самого
начала, то будет задано и отношение НА к АЛ. Вследствие же этого будут
известны угол АНЛ, т.е. соответствующая дуга зодиакального круга, и угол
0AH, т.е. дуга 0Н эпицикла. Таким образом, доказано все, что мы
собирались доказать.
   Рассмотренные выше теоремы позволяют самыми различными способами
построить таблицы соответствующих дуг для выделения обусловленных
неравномерностью видимых движений, но мы для большего удобства
получения величин уравнения для произвольных положений сочли наилуч-
шей таблицу, в которой дуги равномерного движения сопоставляются с
обусловленными неравномерностью разностями. Это соответствует и самим
гипотезам, и наиболее просто и удобоприменимо для вычисления в каждом
отдельном случае. Поэтому, следуя первым, доведенным нами до числовых
результатов теоретическим рассуждениям для частных значений дуг, мы
вычислили геометрически совершенно так же, как и было показано выше,
для каждой дуги равномерного движения необходимую поправку на
неравномерность. Как для Солнца, так и для остальных светил, квадранты,
прилегающие к апогеям, мы делим на 15 частей, так что прибавка для
них дается через 6 градусов. Квадранты же, прилегающие к перигеям, мы
делим на 30 частей, так что для них прибавки даются через 3 градуса,
поскольку для перигеев разности величин поправок на неравномерность,
которые следует прибавлять к дугам равномерного движения, будут больше,
чем для апогеев.
   Таблицу неравенства Солнца мы опять расположим в 45 строках и трех
столбцах. Из них два первых содержат числа, соответствующие 360 градусам
равномерного движения. Первые 15 строк охватывают два квадранта,
прилегающих к апогею, а остальные 30 относятся к перигею. Третий же
столбец для каждого численного значения дуги равномерного движения дает
число прибавляемых градусов простафереза, обусловленного неравномер-
ностью. И таблица эта такова60.
6. Таблица солнечной аномалии
См. с. 99
7. Об эпохе среднего движения Солнца
   Для определения в каждом частном случае положения Солнца нам
остается установить начальную эпоху его равномерного движения. Соответ-
ствующее определение мы сделали как для Солнца, так и для других светил
вообще, опираясь на сделанные нами точнейшие наблюдения и восходя в
установлении этих эпох при помощи найденных выше средних движений
вплоть до начала царствования Набонассара. Начиная с этого времени мы
имеем большое число древних наблюдений,  сохранившихся и до сих
пор61.
   Итак, пусть АВГ [рис. 3.20 ] будет кругом, концентричным с проходящим
через середины знаков зодиака и имеющим центр в A, a EZH —
эксцентрическим кругом Солнца с центром 0. Через оба упомянутых центра
и апогей    Е  проведен  диаметр  ЕАНГ.   Предположим,   что  точка  В
   
зодиакального круга соответствует осеннему рав-
ноденствию. Проведем соединительные прямые
BZA и Z0 и из точки 0 опустим перпендикуляр
0К на продолжение ZA.
   Так как точка В осеннего равноденствия
соответствует началу Клешней, а перигей Г
находится на 51/2 градусах Стрельца, то дуга ВГ
будет, следовательно, равна 65; 30 градусам. Зна-
чит, угол ВАГ или 0AK будет иметь 65;30 гра-
дусов, 360 которых составляют четыре прямых уг-
ла, или 131 таких, 360 которых равняются двум
прямым углам. Таким образом, дуга на прямой
0К будет равна 131 градусу, каких в круге, опи-
санном около прямоугольного треугольника A0K,
имеется 360. Стягивающая же эту дугу прямая
0К будет иметь 109; 12 частей, каких в диаметре
А0 будет 120. Следовательно, если прямая А0
равна 5, а гипотенуза Z0 — 120, то 0К будет
равна 4;33 таким частям, а построенная на ней
дуга равна 4;20 градусам, каких в описанном около
прямоугольного треугольника 0ZK круге 360.
Таким образом, угол 0ZK будет равен 4;20
градусам, каких в двух прямых углах имеется 360,
или 2; 10 таким, каких 360 будет в четырех прямых
углах. Но угол ВАГ был равен 65;30 таким же
градусам и, следовательно, остающийся угол Z0H
(или дуга ZH эксцентра) будет равен 63;20
градусам. Следовательно, когда Солнце находится
в точке осеннего равноденствия, то оно в среднем
движении на 63;20 градуса предшествует перигею,
т.е. 51/2 градусам Стрельца. От апогея же, т.е. от
256 51/2 градусов Близнецов, оно в своем среднем
движении будет отстоять на  116;40 градусов в
направлении последовательности знаков зодиака .
   После этих теоретических соображений будет
ясно, что если в первых наблюденных нами
равноденствиях одно из установленных с наиболь-
шей точностью, а именно осеннее, произошло в 17
году Адриана, 7-го числа египетского месяца Атир,
приблизительно через 2  равноденственных часа
после полудня , то в это время Солнце в среднем
движении отстояло от апогея по эксцентру на
116;40 градусов в направлении последовательности
знаков зодиака. Но от начала царствования Набо-
нассара до смерти Александра прошло 424 еги-
петских года. От смерти же Александра до начала
царствования Августа прошло 294 года, от первого
же года Августа, который по египетскому счету
начинается в полдень 1-го Тота (так как мы
отсчитываем эпохи от полудня), до двух равноден-


Общие числаПроста-
ферезыКвадранты у апогея6°
12
18354°
348
3420° 14'
0 28
0 4224
30
36336
330
3240	56
1	9
1 2142
48
54318
312
3061 32
1 43
1 5360
66
72300
294
2882   1
2   8
2 1478
84
90282
276
2702 18
2 21
2 23Квадранты у перигея93
96
99267
264
2612 23
2 23
2 22102
105
108258
255
2522 21
2 20
2 18111
114
117249
246
2432 16
2 13
2 10120
123
126240
237
2342   6
2   2
1 58129
132
135231
228
2251 54
1 49
1 44138
141
144222
219
2161 39
1 33
1 27147
150
153213
210
2071 21
1 14
1   7156
159
162204
201
1981   0
0 53
0 46165
168
171195
192
1890 39
0 32
0 24174
177
180186
183
1800 16
0   8
0   0

ственных часов после полудня 7-го Атира 17 года
Адриана прошел 161 год, 66 дней и 2 равноденст-
венных часа. Следовательно, от первого года Набо-
нассара — по египетскому счету от полудня 1-го
Тота — до времени упомянутого осеннего равно-
денствия прошло 879 египетских годов, 66 дней и
2 равноденственных часа64. Но в течение этого
времени Солнце в среднем движении пройдет, если
отбросить полные обороты, приблизительно 211 ;25
градусов65. Теперь, если к 116;40 градусам рассто-
яния Солнца от апогея эксцентра в упомянутом
осеннем равноденствии мы прибавим 360 градусов
одного кругового оборота и из полученного вычтем
211;25 градусов, соответствующих указанному про-
межутку времени, то для начальной эпохи среднего
движения Солнца в первый год Набонассара, по египетскому счету — в
полдень 1-го Тота мы получим в среднем движении расстояние Солнца от
апогея, равное 265; 15 градусам; расстояние же в среднем движении равнялось
0;45 градусов Рыб66.
8. О вычислении положения Солнца
   Теперь, если мы захотим узнать положение Солнца в какой-либо
исследуемый момент времени, то в таблице среднего движения ищем время,
прошедшее от вышеуказанной начальной эпохи до рассматриваемого часа
по александрийскому времени. Стоящие рядом с соответствующим числом
градусы мы прибавляем к 265; 15 градусам начального расстояния, и остаток
после отбрасывания из полученного целых круговых оборотов мы отсчиты-
ваем от 5;30 градусов Близнецов в направлении последовательности знаков
зодиака. В точке, куда попадет полученное число, будет среднее положение
Солнца. Затем то же самое число, т.е. расстояние от апогея до среднего
положения, ищем по таблице уравнения; соответствующее этому числу в
третьем столбце количество градусов вычитаем из среднего положения, если
изображающее его число стоит в первом столбце, т.е. не превосходит 180
градусов, и прибавляем его к среднему положению, если соответствующее
ему число стоит во втором столбце, т.е. превышает 180 градусов. Таким
образом определяется точное видимое положение Солнца67.
9. О неравенстве суток
   Вот примерно то, что можно сказать о движении одного только Солнца.
К этому следовало бы кратко добавить необходимые предварительные
сведения о неравенстве суток, так как во всем предыдущем мы просто
предполагали, что в каждом случае равные приращения средних движений
происходят за равные промежутки времени, как будто бы все сутки имели
одинаковую продолжительность. Можно, однако, усмотреть, что дело обстоит
не так. Действительно, так как круговое вращение мира совершается
равномерно вокруг полюсов равноденственного круга, причем период этого
возвращения мы определяем по чему-нибудь очень заметному, а именно
по возвращению к горизонту или меридиану, то ясно, что один оборот
представляет возвращение заданной точки  равноденственного круга из
   
какого-либо места его пересечения с горизонтом или меридианом опять в
это   же  самое   место.   Сутки   же  представляют   собой   просто   период
259	возвращения Солнца из места пересечения с горизонтом или меридианом
в то же самое место. Вследствие этого средние сутки получаются одинаковой
длительности, если считать, что они представляют собой продолжительность
одного оборота равноденственного круга на 360 временных градусов и еще
приблизительно на 0;59 временных градусов — на угол, на который в
рассматриваемое время перемещается Солнце в своем среднем движении
[по зодиакальному кругу]. Истинными же (неодинаковой продолжитель-
ности) сутками мы называем время одного оборота 360 временных градусов
равноденственного круга и еще некоторой дуги, конец которой восходит
или проходит через меридиан одновременно с Солнцем в неравномерном
его движении.
    Вот эта дополнительная сверх 360 градусов дуга равноденственного круга
будет необходимо неодинаковой вследствие видимого неравенства движения
Солнца, а также вследствие того, что равные отрезки круга, проходящего
через середины зодиакальных созвездий, не в одинаковые времена проходят
через горизонт или через меридиан. Правда, каждая из этих причин в
течение одних суток производит незаметную разницу между средним и
истинным временем оборота, но она становится очень заметной, если взять
большее количество суток .
   Наибольшая величина [суммарной] разности [между средним и ис-
тинным временем] вследствие солнечного неравенства получается в
промежутках при переходе Солнца от одного места, где его [истинная]
260	скорость равняется средней скорости, к другому. Получаемые таким образом
сутки в сумме отличаются от средних приблизительно на AV2V4 временных
градуса, а между собой — на вдвое больший промежуток 91/2 градусов, так
как в полукруге, содержащем апогей, видимое движение Солнца отстает
от среднего на 4V2V4 градуса, а в окружности с перигеем на столько же
опережает69. Наибольшая же [суммарная] разность [между средним и
истинным временем], обусловленная неравенством времен восходов или
заходов равных дуг зодиакального круга, получается в полуокружностях,
отграничиваемых солнцеворотами.
     Действительно, поэтому времена восхода каждой из этих полуокруж-
ностей [зодиакального круга] отличаются от теоретических 180 временных
градусов равномерного движения на величину разности между наибольшим
или наименьшим днем и равноденственным, а между собой — на величину
разности между наибольшим и наименьшим днем или ночью .
   Вследствие же неравенства [времен] при прохождении [равных дуг
зодиакального круга] через меридиан наибольшая [суммарная] разность
получается на интервалах, содержащих два знака зодиака и имеющих с
какой-либо стороны точку равноденствия или солнцеворота. Сумма [времен
восхода в прямой сфере] двух таких знаков у какой-либо точки солнцеворота
отличается от средней величины приблизительно на AV2 градуса времени,
по отношению же ко времени [прохождения] двух таких знаков у равноден-
ственных точек разность доходит до 9 временных градусов вследствие того,
что [при прохождении через меридиан] одни [части зодиакального круга]
261	отстают от средних суток, другие же примерно на такую же величину их
опережают71.
   Поэтому в [астрономическом] определении эпох [суток] мы считаем их
начало от прохождения Солнца через меридиан, а не от его восхода или
захода, так как [в последнем случае] усматриваемая на горизонте разница
   
[между средним и истинным временем] может доходить до нескольких
часов и не будет везде одной и той же, изменяясь вследствие разности
между наибольшим и наименьшим днями для разных наклонов сферы. На
меридиане же разность будет одной и той же для всех климатов и не
72
превышает разности времен, получающейся от солнечного неравенства .
   Наибольшая [суммарная] величина разности [между средним и истинным
временем] получается от соединения обеих причин: разности от неравенства
солнечного движения и разности времен при прохождении через меридиан
[равных дуг зодиакального круга ], и имеет место в тех частях зодиакального
круга, где упомянутые [максимальные] разности прибавляются или
вычитаются. Вычитаются они главным образом на промежутке от середины
Водолея до [конца] Клешней, прибавляются от Скорпиона до середины
Водолея. На каждой из упомянутых частей зодиакального круга получается
наибольшее прибавление или убавление: от солнечного неравенства —
приблизительно ЪУъ градуса, а от разности времен при прохождении через
меридиан — приблизительно ЬУъ градуса . Таким образом, из вышеука-
занного соединения на каждом из этих отрезков получается наибольшая
разность с равномерным движением в 816 временных градусов, или V2V1&
часть часа, а между собой — вдвое болыйе, т.е. 16Уз временных градусов,
или I1/9 час. Если мы пренебрежем такой величиной при наблюдении
Солнца или других светил, то это, пожалуй, и не произведет заметного
вреда при исследовании происходящих с ними явлений. Что же касается
Луны, то вследствие быстроты ее движения это дает уже заметную разность,
74
достигающую трех пятых одного градуса .
   Таким образом, если мы хотим представить какой-нибудь промежуток
времени, выраженный в [истинных ] сутках (подразумеваю — от [истинного ]
полудня или полуночи опять до [истинного] полудня или полуночи), в
средних [сутках], то прежде всего определим для начального и конечного
моментов заданного промежутка времени в солнечных сутках, на каком
градусе круга, проведенного через середины зодиакальных созвездий,
находится Солнце и в среднем, и в неравномерном движениях. Потом для
неравномерного, т.е. видимого движения, мы берем разность в градусах
между первым и вторым видимыми положениями, вносим ее в таблицу
восхождений прямой сферы и смотрим, в одно время с какими градусами
равноденственного круга проходят через полуденную линию упомянутые
градусы перемещения в неравномерном движении. Взяв разность найденных
временных градусов и градусов соответствующего перемещения в равномер-
ном движении, вычисляем, какую часть равноденственного часа составляет
разность этих временных градусов. Если она окажется большей, чем время
равномерного движения, то мы прибавляем ее к заданному числу суток,
если же меньшей, то вычитаем из него, и таким образом получаем время,
выраженное в средних сутках. Им, в частности, мы и пользуемся при
определении средних движений Луны, помещенных в таблицах.
   Очевидно, что промежуток времени, выраженный в средних сутках,
можно также перевести в истинные, наблюдаемые в действительности,
произведя в обратном порядке прибавление или вычитание временных
градусов, выраженных в часах75.
   Во взятую нами эпоху, т.е. в первый год Набонассара, 1-го числа
египетского месяца Тот, в полдень Солнце в равномерном движении, как
мы   указали   немного   выше,   находилось   на   0;45   градусов   Рыб,   в
неравномерном же — примерно на 3;8 градусах Рыб76.

Книга IV

1. На каких наблюдениях следует строить теорию Луны
   Изложив в предыдущей книге все явления, замечаемые в движении
Солнца, мы начинаем в естественной последовательности изучение теории
Луны; прежде всего мы полагаем, что в качестве исходных должно
пользоваться не просто случайными наблюдениями, но для полного
представления брать главным образом те доказательства, которые можно
получить не только из наблюдений в течение достаточно большого
промежутка времени, но в особенности из наблюдений лунных затмений.
Действительно, только из этих наблюдений точно определяются положения
Луны; в других же наблюдениях, получаемых или по прохождениям Луны
по отношению к неподвижным звездам, или посредством инструментов, или
по  солнечным  затмениям,   можно  очень  сильно  ошибиться  вследствие
параллактических смещений Луны . Что же касается частностей, то их
2(>б исследование уже можно производить и на основании других наблюдений.
Действительно, поскольку расстояние, на котором от центра Земли находится
сфера Луны, не настолько велико, чтобы по сравнению с ним можно было
рассматривать Землю как точку, как это делается для зодиакального круга,
то прямую, проведенную из центра Земли, т.е. из центра косого круга, и
продолжаемую через центр Луны до делений круга через середины знаков
зодиака, по отношению к которому определяются истинные положения
светил, никак нельзя всегда отождествлять с наблюдаемой прямой, идущей
от какого-нибудь места на земной поверхности, т.е. от точки нахождения
наблюдателя, через центр Луны, по отношению к которой определяются
видимые положения. Только когда Луна находится прямо над головой
наблюдателя, совпадают обе эти прямые, именно от центра Земли и от
[точки ] местонахождения наблюдателя, продолженные через центр Луны
до зодиака. Если же Луна как-нибудь отклоняется от места прямо над
головой, то упомянутые прямые будут иметь разные наклоны, а вследствие
этого видимое движение не будет совпадать с истинным, и при различных
положениях глаза наблюдателя положения [светил], наблюденные [по
линии ] из центра Земли, будут отличаться от измеренных с поверхности
Земли пропорционально величинам углов наклона2.
2(.7 Вот почему при солнечных затмениях, получающихся при прохождении
Луны под Солнцем, когда Луна загораживает его, попадая в конус, идущий
от нашего глаза к Солнцу, и производя при прохождении затемнения,
последние ни по величине, ни по длительности не бывают везде одними и
теми же, и даже подобными, поскольку Луна по упомянутым причинам не
для всех наблюдателей одинаково заслоняет Солнце; и [даже для тех, для
кого это имеет место] затеняемые места Солнца бывают разными3. Что же
касается лунных затмений, то никакой разницы [в затемнениях] вследствие

параллактических смещений не получается, так как наблюдаемое затемнение
[Луны] никак не зависит от положения наблюдателя [на поверхности
Земли]. Действительно, Луна светит, освещаемая Солнцем; занимая
диаметрально противоположное положение по отношению к Солнцу, она
всегда кажется нам сияющей полностью, так как ее освещенное полушарие
тогда целиком обращено к нам. Когда же она в таком диаметрально
противоположном положении попадает в конус земной тени, который
движется всегда прямо противоположно Солнцу, то перестает освещаться в
зависимости от величины затмения, так как Земля задерживает свет, идущий
от Солнца. Поэтому во всех частях Земли во время затмения она 268
наблюдается одинаково затемненной как по величине, так и по про-
должительности затмения.
   Для построения нашей общей теории мы нуждаемся в определении
истинных, а не видимых положений Луны, а их только и нужно учитывать,
так как неупорядоченному и неравномерному всегда нужно предпочитать
упорядоченное и равномерное. Поэтому мы говорим, что не следует
пользоваться другими наблюдениями, в которых положения Луны зависят
от местонахождения наблюдателя. Нужно пользоваться только наблюдениями
ее затмений, так как в них для определения положения Луны место
наблюдения не имеет никакого значения. Действительно, часть круга через
середины зодиакальных созвездий, в которой находится Солнце в соответ-
ствующее середине затмения время, когда центр Луны по долготе
диаметрально противоположен центру Солнца, эта часть во время середины
затмения будет, конечно, лежать совершенно точно на одном диаметре с
центром Луны.

2. О периодах лунных движений
   Этого краткого изложения вполне достаточно для того, чтобы мы
уяснили, по каким наблюдениям следует вообще определять все необходимое
для теории движения Луны. Попробуем теперь изложить, каким методом 269
древние пользовались при своих попытках представления движения Луны,
а также какой метод и мы сами считаем наиболее полезным для
установления гипотез, наиболее соответствующих наблюдениям.
   Так как Луна кажется нам движущейся неравномерно как по широте,
так и по долготе, т.е. она не всегда в одинаковые времена проходит круг
через середины зодиакальных созвездий и совершает возвращение к той же
широте, то без определения времени, необходимого для восстановления ее
аномалии, невозможно найти и другие периоды ее движений [по долготе
и широте]. Согласно произведенным подробным наблюдениям она может
иметь наибольшие, наименьшие и средние [скорости] движения во всех
частях зодиака, и точно так же во всех частях зодиака она бывает и самой
северной, и самой южной, и находящейся на самом круге, проходящем
через середины зодиакальных созвездий; поэтому естественно, что древние
математики4 старались найти некоторый промежуток времени, в течение
которого Луна всегда совершала бы одинаковое движение по долготе, так
как только по истечении этого промежутка могла бы быть восстановленной
аномалия. По вышеизложенным причинам, сопоставляя наблюдения лунных
затмений, они пытались определить интервал, содержащий целое число
месяцев, такой, что, каким бы способом ни отсчитывать это число месяцев,
расстояние, пройденное [Луной] по долготе, будет всегда одним и тем же,
т.е. будет содержать равное число целых оборотов [по долготе], или с 270
добавлением каких-нибудь равных дуг.

   Более древние вообще считали, что этот промежуток времени содержит
65851/з дней; в течение этого промежутка времени, как они установили,
совершается примерно 223 месячных обращения, 239 возвращений аномалии,
242 возвращения к той же широте, 241 оборот по долготе и что, кроме
того, Солнце в течение этого промежутка к своим 18 круговым обращениям
добавляет еще 102/з градусов, если относить все возвращения к неподвижным
звездам.  Этот  промежуток  они  назвали  «периодическим»  как  первый
возвращающий в исходное состояние почти все различия движений5. А для
получения целого числа дней они утроили эти 65851/3 дней и получили
число дней, равное 19 756, которое они назвали экселигмосом. Утраивая
также и остальные числа, они получили 669 [синодических] месяцев, 717
восстановлений аномалии, 726 возвращений к той же широте, 723 оборота
по долготе и, кроме того, 32 градуса, которые Солнце добавляет к 54 своим
полным обращениям6.
   Однако Гиппарх, производя вычисления на основании халдейских и
собственных наблюдений, показал, что все это не совсем точно. Действитель-
но,   на  основании  приведенных  им  наблюдений  он  показывает,   что
271	наименьшее число дней, определяющее период затмений, по истечении
которых количество месяцев и величина [лунного] движения будут всегда
одинаковы, равно 126 007 дням с 1 равноденственным часом. В течение
этого времени он находит 4267 [синодических] месяцев, 4573 полных
возвращения аномалии, 4612 обращений по зодиаку без 71/2 градусов,
которых недостает Солнцу для совершения 345 полных оборотов по
отношению к неподвижным звездам. Он сразу же находит, что средняя
продолжительность месяца, получаемая делением приведенного выше числа
дней на 4267 месяцев, будет приблизительно содержать 29;31,50,8,20 дней7.
Он показывает затем, что соответствующий интервал от одного лунного
затмения до другого будет всегда в точности тем же на протяжении этого
промежутка [в 126 007dlh ]. Таким образом, становится ясным, что аномалия
восстанавливается, так как этот промежуток времени всегда содержит
одинаковое число [синодических] месяцев [с какого бы затмения он ни
начинался], и что к одинаковым 4611 обращениям по долготе прибавляются
равные дуги в 3521/г градуса, как требуют времена соединений с Солнцем.
   Если же искать число месяцев, не [покрывающих всегда тот же
временной интервал] между соответствующими лунными затмениями, но
только от одного полнолуния или новолуния до другого соединения того
272	же типа, то время возвращения аномалии оказалось бы еще меньшим, и
для количества месяцев, если взять только их общий делитель —
семнадцатую часть, получим 251 месяц и 269 восстановлений аномалии.
   Однако указанное время [126 007dlh ] не может дать целое число
возвращений к той же широте; действительно, возвращение затмений,
по-видимому, сохраняет только равенство периодов по времени и по долготе,
но не по величине и одинаковости [обстоятельств] затмений, по которым
определяется широта. Найдя предварительно время возвращения аномалии,
Гиппарх опять стал сравнивать промежутки времени, содержащие [целое]
число месяцев и имеющие на каждом конце затмения, совершенно
одинаковые как по величине, так и по продолжительности, для которых
не имеется никакого различия в аномалии, так что вследствие этого
получалось и возвращение к той же широте; он показал, что такой период
содержит 5458 [синодических] месяцев и 5923 возвращения по широте8.
   
   Вот каким методом пользовались наши предшественники при проведении
подобных исследований. Что он не был ни простым, ни удобным, но требовал
не какого-нибудь, а большого внимания, мы можем видеть из следующего.
Если допустить, что продолжительности [двух] промежутков [между парами
затмений] оказались точно равными друг другу, то прежде всего это не 273
даст нам ничего полезного, если только в каждом из этих периодов не
будет никакой разницы в аномалии Солнца или она всегда одинаковая.
Если же это не так, но, как я сказал, имеется разница в его аномалии,
то и само оно не сделает одинаковых обращений в равные промежутки
времени, а также, конечно, и Луна. Действительно, если, например, каждый
из сравниваемых промежутков, кроме целых и равных друг другу годов,
будет содержать половину продолжительности года, то Солнце, двигаясь в
течение этого времени в первом промежутке от среднего положения в
Рыбах, а во втором — от среднего положения в Деве, пройдет в первом
промежутке расстояние приблизительно на 41/21/4 градуса меньше полуок-
ружности, а во втором — на столько же больше полуокружности; таким
же образом и Луна в равные времена пройдет в первом промежутке кроме
целых кругов еще 175V4 градусов, а во втором — еще 1843/4 градуса.
Поэтому прежде всего следует сказать, что промежутки по отношению к
Солнцу должны быть такими, чтобы они или содержали целое число полных
его обращений, или чтобы в одном из промежутков прибавлялась
полуокружность от апогея, а в другом — от перигея, или чтобы в каждом
из промежутков начало было в одном и том же месте, или чтобы для
первого затмения в одном промежутке и для второго в другом получались
с обеих сторон одинаковые расстояния от перигея и апогея. Только при
таких условиях в каждом промежутке или совсем не получится разницы
в аномалии, или разница будет одинаковой, так что добавляемые дуги
окажутся равными или между собой, или и между собой, и с дугами
9
равномерного движения .
   Во-вторых, мы полагаем, что с подобным же вниманием следует
отнестись к движениям Луны. Действительно, если на это не обратить
внимания, то опять окажется, что Луна часто может проходить равные
дуги по долготе и в одинаковые времена без полного восстановления ее
аномалии. Последнее будет иметь место: если в каждом из промежутков
она будет начинать свое движение с одинаковой скоростью, увеличиваю-
щейся или уменьшающейся, но не будет заканчивать движение с той же
скоростью; если в одном промежутке она начнет движение с наибольшей
скоростью и закончит с наименьшей, а в другом начнет с наименьшей и
кончит с наибольшей; если в обоих промежутках места с начальной
скоростью одного и с конечной скоростью другого будут равноотстоять от
одного и того же места с наименьшей или наибольшей скоростью. В каждом
из этих случаев или не будет никакой разницы [в движении по долготе],
или же разница будет одинаковой, и вследствие этого получатся по долготе 275
одинаковые дуги, но аномалия никогда не будет восстановленной. Следо-
вательно, в выбираемых промежутках не должно иметь места ни одно из
этих явлений, если нужно, чтобы они содержали период восстановления
аномалии10. Наоборот, нам нужно выбирать промежутки [между за-
тмениями ] так, чтобы возможно лучше можно было показать их неравенство
[с периодом аномалии], а именно чтобы они не содержали целых периодов
   
восстановления аномалии. Это будет иметь место, когда интервалы не только
начинаются от мест с различными скоростями, но сами скорости различаются
наибольшим образом по величине или по воздействию. По «величине», если
в одном промежутке движение начнется с наименьшей скоростью и
закончится не на наибольшей, а в другом, если начнется с наибольшей и
закончится не на наименьшей скорости. Таким образом, получится
наибольшая разница в дугах, пройденных по долготе, если будут описаны
не полные круги аномалии, но с добавлением лучше всего одной или трех
четвертей кругов аномалии, так как тогда промежутки будут отличаться
на удвоенную [максимальную] разность в аномалии. По «воздействию» же,
если в обоих промежутках движение начнется со средней скоростью, но не
276	с той же самой, а именно в одном промежутке с возрастающей, а в другом
с убывающей; и в этом случае приращения долгот будут больше всего
различаться между собой, если до восстановления аномалии опять будет
недоставать одной или трех четвертей кругов аномалии, так что получается
двойная разница в аномалии, а для полукруга — четверная11.
   Мы видим, что, учитывая это, и Гиппарх проявлял величайшую
осторожность при выборе промежутков в таком исследовании; для Луны он
пользовался двумя промежутками, из которых в одном движение начиналось
в точке с наибольшей скоростью и заканчивалось не в точке с наименьшей,
а в другом движение начиналось в точке с наименьшей скоростью, но
заканчивалось не в точке с наибольшей. Он также исправлял разницу,
получающуюся от солнечного неравенства, хотя она была и небольшой,
поскольку Солнцу не хватает до целого числа оборотов приблизительно
1/4 двенадцатой части зодиака; причем в каждом из двух промежутков эта
часть бывает различной и производящей разное уравнение аномалии12.
   Мы говорим это не для того, чтобы оспаривать предложенный метод
получения периодических восстановлений, но чтобы настоятельно подчерк-
нуть, что предложенный способ можно принять лишь при должном внимании
и  соответствующем   вычислении;   если  же  опустить   какую-нибудь  из
277	изложенных характерных особенностей, то можно очень сильно ошибиться
в искомом определении; я хочу показать также, насколько трудно добиться
соблюдения всех этих необходимых условий, даже если очень умно сделать
выбор соответствующих наблюдений.
   Так вот, для указанных периодических возвращений, вычисленных
согласно методу Гиппарха, оказалось, что для периода [содержащего целое
число синодических] месяцев, как мы сказали, при возможно более точном
вычислении не получалось никакой заметной разницы с истинной величиной.
Но для периодов [возвращения] по аномалии и широте получалась очень
заметная ошибка, что мы и выяснили при помощи наиболее простых и
удобных методов, употребляющихся для подобного исследования; мы это
сейчас покажем при определении величины лунной аномалии. Сначала, что
будет очень полезно для дальнейшего, мы приведем отдельные средние
движения по долготе, широте и аномалии в соответствии с вышеуказанными
периодами их возвращений, а также [периоды и соответствующие средние
движения]  полученные после исправления  тем  методом,  который мы
13
изложим в дальнейшем .

3. О частных значениях средних движений Луны
   Если найденное выше среднее суточное движение Солнца, равное
приблизительно 0;59,8,17,13,12,31 градусов, мы умножим на число дней
в одном месяце 29;31,50,8,20 и прибавим к полученному произведе-
нию 360 градусов одного круга, то получим приблизительно
389;6,23,1,24,2,30,57 градусов, которые Луна проходит по долготе в течение
одного месяца. Если мы разделим их на данное выше число дней месяца,
то получим среднее суточное движение Луны по долготе, равное
приблизительно 13; 10,34,58,33,30,30 градусам.
   Затем, если 269 кругов аномалии мы умножим на 360 градусов одного
круга, то получим количество градусов, равное 96 840. Если мы разделим
это число на количество дней в 251 месяце, а именно на 7412;10,44,51,40,
то получим среднее суточное движение по аномалии, равное
13;3,53,56,29,38,38 градусам.
    Точно так же, умножив 5923 возвращения широты на 360 градусов
одного круга, мы получим количество градусов, равное 2 132 280. Разделив
это число на количество дней в 5458 месяцах, равное 161177;58,58,3,20,
мы получим среднее суточное движение по широте, равное
13;13,45,39,40,17,19 градусам.
   Далее, отняв от суточного движения Луны по долготе среднее суточное
движение Солнца, получим среднее суточное движение по элонгации, равное
12; 11,26,41,20,17,59 градусам. Однако при помощи методов исследования,
которые, как мы сказали, будут изложены нами дальше, среднее суточное
движение по долготе получится почти совпадающим с приведенным выше;
то же самое будет, конечно, справедливо и для движения по элонгации;
но движение по аномалии будет меньше на 0;0,0,0,11,46,39 градусов и,
следовательно, равным 13;3,53,56,17,51,59 градусам, а движение по
широте — большим на 0;0,0,0,8,39,18, так что оно оказывается равным
13; 13,45,39,48,56,37 градусам14.
    Если от этого суточного движения мы возьмем двадцать четвертую часть,
то получим среднее часовое движение:
по долготе	— 0;32,56,27,26,23,46,15 градусов,
по аномалии      — 0;32,39,44,50,44,39,57,30 градусов,
по широте	— 0;33,4,24,9,32,21,32,30 градусов,
по элонгации     — 0;30,28,36,43,20,44,57,30 градусов.
Если умножим суточные движения на тридцать и отбросим полные
обороты, то получим среднее месячное прибавление:
долготы	— 35;17,29,16,45,15 градусов,
аномалии	— 31-,56,58,8,55,59,30 градус,
широты	— 36;52,49,54,28,18,30 градусов,
элонгации	— 5;43,20,40,8,59,30 градусов.
   Затем, если	суточные движения мы умножим на 365 дней египетского
года и отбросим полные обороты, то получим среднее годовое прибавление:
долготы	— 129;22,46,13,50,32,30 градусов,
аномалии	— 88;43,7,28,41,13,55 градусов,
широты	— 148;42,47,12,44,25,5 градусов,
элонгации	— 129;37,21,28,29,23,55 градусов.

IV.5. О гипотезах движения Луны и видимых явлениях

109

   
   Наконец, умножив годовые движения на восемнадцать, что, как мы
говорили, очень удобно при составлении таблиц, и отбросив целые круги,
получим среднее восемнадцатилетнее прибавление:
долготы	— 168;49,52,9,9,45 градусов,
аномалии	— 156;56,14,36,22,10,30 градусов,
широты	— 156;50,9,49,19,31,30 градусов,
элонгации	— 173; 12,26,32,49,10,30 градуса.
   Теперь, как и для Солнца, составим опять три таблицы, содержащие
по 45 строк и по 5 столбцов каждая. Из столбцов первый будет содержать
соответствующие времена: в первой таблице — восемнадцатилетия, во
второй — годы и за ними часы, в третьей — месяцы и за ними сутки;
четыре остальных столбца будут давать соответствующие прибавления
градусов, а именно: второй по долготе, третий по аномалии, четвертый по
широте и пятый по элонгации; расположение таблиц будет таково.

293	4. Таблицы средних движений Луны
См. с. 110—115

5. О том, что при простой гипотезе о движении Луны,
будет она гипотезой эксцентра или эпицикла,
видимые явления будут одними и теми же
   Теперь следует показать характер и величину лунного неравенства; здесь
мы дадим его теорию в предположении, что имеется только одно неравенство,
единственное, которое, по-видимому, только и заметили почти все наши
предшественники; я подразумеваю то, период которого соответствует
указанному времени восстановления аномалии. После этого мы покажем,
что Луна обладает еще и вторым неравенством, зависящим от расстояния
до Солнца; оно бывает наибольшим в обеих квадратурах, дважды за месяц
совершает обращение и становится равным .нулю в новолуние и полнолуние.
   Такую последовательность проведения доказательств мы принимаем
вследствие того, что это последнее неравенство, будучи тесно связано с
первым, вообще никак не может быть без него обнаружено, тогда как
первое можно рассматривать и без второго, поскольку оно определяется из
наблюдений лунных затмений, когда зависящее от положения Солнца второе
неравенство не дает никакой заметной разницы. При этом предварительном
рассмотрении мы будем следовать тем теоретическим методам доказатель-
295 ства, которые, как мы знаем, применял Гиппарх15. Мы также возьмем три
лунных затмения и определим наибольшее отклонение [Луны по долготе]
сравнительно со средним движением и время, когда Луна будет в апогее,
полагая, что одно только это [первое] неравенство и имеет место и что
оно порождается эпициклической гипотезой, хотя все явления будут такими
же, если мы привлечем гипотезу эксцентра; эту гипотезу, однако, лучше
использовать при исследовании второго неравенства, зависящего от поло-
жения относительно Солнца, когда мы придем к объединению обоих
неравенств.
   Однако при каждой из приведенных гипотез явления будут теми же
самыми независимо от того, будут времена обоих возвращений, а именно
восстановления аномалии и возвращения Луны к той же точке круга,
проходящего через середины знаков зодиака, одинаковыми, как мы показали
   
18-летние
периоды    Прибавление долготы
[В начальную эпоху]: 12;22° . Прибавление аномалии
[В начальную эпоху]: 268;49°18
36
54168
337
14649
39
2952
44
369
18
279
19
2945
30
150
0
0156
313
ПО56
52
4814
29
4336
12
4922
44
610
21
3130
0
3072
90
108315
124
29219
9
5928
20
1236
45
5439
48
580
45
300
0
0267
64
22144
41
3758
13
2725
1
3828
50
1342
52
30
30
0126
144
162101
270
7949
38
285
57
494
13
228
18
2715
0
450
0
018
175
33233
29
2642
56
1114
50
2735
57
1913
24
3430
0
30180
198
216248
57
22518
8
5841
33
2531
40
4937
47
5730
15
00
0
0129
286
8322
18
1426
40
553
40
1641
3
2645
55
60
30
0234
252
27034
203
1248
38
2817
10
259
8
176
16
2645
30
150
0
0240
37
19411
7
39
24
3952
29
548
10
3216
27
3730
0
30288
306
324181
350
15817
7
5754
46
3826
35
4436
45
550
45
300
0
0350
147
30459
56
5253
8
2241
18
5454
16
3948
58
90
30
0342
360
378327
136
30547
37
2730
23
1554
3
125
15
2415
0
450
0
0101
258
5548
44
4137
52
631
7
431
23
4519
30
4030
0
30396
414
432114
283
9117
6
567
59
5121
30
3934
44
5430
15
00
0
0212
9
16637
33
2921
35
5020
56
327
30
5251
1
120
30
0450
468
486260
69
23846
36
2643
35
2849
58
73
13
2345
30
150
0
0323
120
27726
22
185
19
349
45
2114
36
5822
33
4330
0
30504
522
54047
216
2416
6
5620
12
416
25
3433
42
520
45
300
0
074
231
2814
11
748
3
1858
34
1120
43
554
4
150
30
0558
576
594193
2
17145
35
2556
48
4144
53
22
12
2115
0
450
0
0185
341
1383
59
5632
47
247
23
027
49
1125
36
4630
0
30612
630
648340
149
31715
5
5533
25
1711
20
2931
41
5130
15
00
0
0295
92
24952
48
4416
31
4536
12
4933
56
1857
7
180
30
0666
684
702126
295
10445
35
249
1
5339
48
570
10
2045
30
150
0
046
203
041
37
330
15
2925
2
3840
2
2428
39
4930
0
30720
738
756275
82
25014
4
5446
38
306
15
2430
39
490
45
300
0
0157
314
11129
25
2244
58
1314
51
2747
9
310
10
210
30
0774
792
81059
228
3744
34
2422
14
633
43
5259
9
1815
0
450
0
0268
65
22218
14
1028
42
573
40
1653
15
3731
42
5230
0
30
18-летние
периоды    Прибавление широты
[В начальную эпоху]: 354; 15°  Прибавление элонгации
[В начальную эпоху]: 70;37°18
36
54156
313
ПО50
40
30 9
19
2949
38
2719
39
5831
3
3430
0
30173
346
15912
24
3726
53
1932
5
3849
38
2710
21
3130
0
3072
90
108267
64
22120
10
039
49
5817
6
5518
37
576
37
90
30
0332
146
31949
2
1446
12
3911
44
1616
5
5542
52
30
30
0126
144
16217
174
33151
41
31 8
18
2845
34
2316
36
5540
12
4330
0
30132
305
11827
39
515
32
5849
22
5544
33
2213
24
3430
0
30180
198
216128
285
8221
11
138
48
5713
2
5115
34
5415
46
180
30
0292
105
2784
16
2925
52
1828
1
3311
0
5045
55
60
30
0234
252
270238
35
19252
42
32 7
17
2741
30
1913
33
5249
21
5230
0
3091
264
7841
54
645
11
386
39
1239
28
1716
27
3730
0
30288
306
324349
146
30322
12
237
46
569
58
4712
31
5124
55
270
30
0251
64
23719
31
434
31
5745
17
506
55
4548
58
90
30
0342
360
37899
256
5353
43
33 6
16
2637
26
1510
30
5058
30
130
0
3050
224
3756
8
2124
50
1723
56
2934
23
1219
30
4030
0
30396
414
432210
7
16423
13
336
45
555
54
439
29
4833
4
360
30
0210
23
19633
46
5844
10
372
34
71
51
4051
1
120
30
0450
468
486320
117
27454
44
34 5
15
2533
22
118
27
477
39
1030
0
3010
183
35611
23
353
30
5640
13
4629
18
722
33
4330
0
30504
522
54071
228
2524
14
435
44
541
50
396
26
4542
13
450
30
0169
343
15648
0
1323
49
1618
51
2456
46
3554
4
150
30
0558
576
594181
338
13555
45
35 4
14
2429
18
75
24
4416
48
1930
0
30329
142
31525
38
5042
9
3657
30
324
13
225
36
4630
0
30612
630
648292
89
24625
15
533
43
5357
46
353
23
4251
22
540
30
0129
302
1153
15
272
29
5535
8
4151
41
3057
7
180
30
0666
684
70242
199
35656
46
36 3
13
2325
14
32
21
4125
57
2830
0
30288
101
27540
52
522
48
1514
47
1919
8
5728
39
493
0
30720
738
756153
310
10726
16
632
42
5253
42
311
20
400
31
30
30
088
261
7417
30
4241
8
3452
25
5847
36
250
10
210
30
0774
792
810263
60
21757
47
37 2
12
2120
10
5959
19
3834
6
3730
0
30247
61
23455
7
191
28
5431
4
3614
3
5231
42
5230
0
30
1 IpocTMC
годы11рибавлсиие долготыПрибавление аномалии1
2
3129
258
2822
45
846
32
1813
27
4150
41
3132
5
3730
0
3088
177
26643
26
97
14
2228
57
2641
22
313
27
4155
50
454
5
6157
286
5631
53
164
51
3755
9
2322
12
310
42
150
30
0354
83
17252
35
1829
37
4454
23
5244
26
755
9
2340
35
307
8
9185
315
8439
2
2423
9
5636
50
453
44
3447
20
5230
0
30261
349
781
44
2852
59
720
49
1848
29
1137
51
525
20
1510
11
12213
343
11247
10
3342
28
1418
32
4625
15
625
57
300
30
0167
255
34411
54
3714
22
2946
15
4452
33
1419
33
4710
5
013
14
15241
11
14056
18
410
47
3359
13
2757
47
382
35
730
0
3073
162
25020
3
4637
44
5212
41
1056
37
180
14
2855
50
4516
17
18270
39
1684
27
4919
5
5241
55
928
19
940
12
450
30
0339
78
15629
13
5659
7
1438
7
3659
40
2242
56
1040
35
30ЧасыПрибавление долготыПрибавление аномалии1
2
30
1
132
5
3856
52
4927
54
2226
52
1923
47
1146
32
180
1
132
5
3739
19
5944
29
1450
41
3244
29
1440
20
04
5
62
2
311
44
1745
42
3849
17
4445
11
3835
58
225
51
372
2
310
43
1538
18
5859
44
2922
13
458
43
2840
20
07
8
93
4
450
23
5635
31
2812
39
64
31
5746
10
3323
10
563
4
448
21
5338
17
5713
58
4355
45
3612
57
4240
20
010
11
125
6
629
2
3524
21
1734
1
2923
50
1657
21
4542
28
155
5
626
59
3137
17
5628
13
5827
18
826
11
5640
20
013
14
157
7
88
41
1413
10
656
24
5143
9
359
32
561
47
337
7
84
37
936
16
5642
27
1259
50
4140
25
939
19
5916
17
188
9
947
19
523
59
5619
46
132
28
5520
44
720
6
528
9
942
15
4735
15
5557
42
2731
22
1354
39
2339
19
5919
20
2110
10
1125
58
3152
49
4541
8
3621
47
1431
55
1938
25
1110
10
1120
53
2535
14
5412
56
414
54
458
53
3739
19
5922
23
2412
12
134
37
1042
38
343
31
5840
7
3342
6
3057
43
3011
12
1358
31
334
14
5326
11
5636
27
1722
7
5139
19
59
Простые
годыПрибавление широтыПрибавление элонгации1
2
3148
297
8642
25
847
34
2112
25
3844
28
1325
50
155
10
15129
259
2837
14
5221
42
428
56
2529
58
2823
47
1155
50
454
5
6234
23
17251
33
168
56
4350
3
1657
42
2640
5
3020
25
30158
288
5729
6
4425
47
853
22
5057
26
5635
59
2340
35
307
8
9320
109
25859
42
2530
17
429
41
5410
55
3955
20
4535
40
45187
316
8621
58
3630
51
1319
47
1625
55
2447
11
3525
20
1510
11
1247
195
3447
50
3352
39
267
20
3224
8
5310
35
150
55
0216
345
11513
50
2834
56
1744
13
4153
23
5259
23
4710
5
013
14
15133
281
7016
59
4113
0
4845
58
1137
21
626
51
165
10
15245
14
1445
43
2039
0
2210
38
722
51
2010
34
5855
50
4516
17
18219
8
15624
7
5035
22
923
36
4950
35
1941
6
3120
25
30273
43
17357
35
1243
5
2635
4
3250
19
4922
46
1040
35
30ЧасыПрибавление широтыПрибавление элонгации1
2
30
1
133
6
394
8
1324
48
129
19
2832
4
3722
43
50
1
130
0
3128
57
2536
13
5043
26
1020
41
245
30
154
5
62
2
312
45
1817
22
2636
0
2438
47
579
41
1426
48
92
2
31
32
254
23
5126
3
4053
36
2023
43
40
45
307
8
93
4
451
24
5730
35
3949
13
376
16
2546
18
5131
52
143
4
433
3
3420
48
1717
53
303
46
3025
46
615
0
4510
11
125
6
630
3
3644
48
521
25
4935
44
5423
55
2835
57
185
5
64
35
546
14
437
43
2013
56
4027
48
930
15
013
14
157
7
89
43
1657
1
614
38
24
13
230
33
540
2
236
7
736
6
3711
40
957
34
1023
6
5029
50
1144
29
1416
17
188
9
949
22
5510
14
1926
50
1432
42
5137
10
4245
6
288
8
97
38
837
6
3547
24
133
16
031
52
1359
44
2919
20
2110
11
1128
1
3423
28
3239
3
271
10
2014
47
1949
11
329
10
1039
9
403
32
037
14
5143
26
1034
54
1514
59
4422
23
2412
12
137
40
1336
41
4551
15
3929
39
4851
24
5654
15
3711
11
1210
40
1129
58
2627
4
4153
36
2036
57
1729
14
59
МесяцыПрибавление долготыПрибавление аномалии30
60
9035
70
10517
34
5229
58
2716
33
5045
30
1515
30
450
0
031
63
9556
53
5058
56
548
17
2655
51
4759
59
5830
0
30120
150
180141
176
2119
27
4457
26
557
23
401
46
310
15
300
0
0127
159
19147
44
4152
50
4835
44
5343
39
3558
57
570
30
0210
240
270247
282
3172
19
3724
54
2357
14
3016
2
4745
0
150
0
0223
255
28738
35
3247
45
432
11
2031
27
2356
56
5530
0
30300
330
360352
28
6354
12
2952
22
5147
4
2132
17
330
45
00
0
0319
351
2329
26
2341
39
3729
38
4719
15
1155
54
540
30
0СуткиПрибавление долготыПрибавление аномалии1
2
313
26
3910
21
3134
9
4458
57
5533
7
4030
1
3130
0
3013
26
393
7
1153
47
4156
52
4817
35
5351
43
3559
58
574
5
652
65
7942
52
319
54
2954
52
5114
47
212
32
30
30
052
65
7815
19
2335
29
2345
41
3711
29
4727
19
1156
55
547
8
992
105
11814
24
354
39
1449
48
4754
28
133
4
3430
0
3091
104
11727
31
3517
11
534
30
265
22
403
55
4753
52
5110
11
12131
144
15845
56
649
24
5945
44
4235
8
425
35
60
30
0130
143
15638
42
4659
53
4722
19
1558
16
3439
31
2350
49
4813
14
15171
184
19717
28
3834
9
4441
39
3815
49
2236
7
3730
0
30169
182
19550
54
5841
35
2911
8
452
10
2715
7
5947
46
4516
17
18210
223
23749
59
1019
54
2936
35
3456
29
38
38
90
30
0209
222
2352
6
1023
16
100
57
5345
3
2151
43
3544
43
4219
20
21250
263
27621
31
424
39
1432
31
2936
10
4339
10
4030
0
30248
261
27414
17
214
58
5249
45
4239
57
1527
19
1141
40
3922
23
24289
303
31652
3
1349
24
5928
26
2517
50
2411
41
120
30
0287
300
31325
29
3346
40
3438
34
3133
50
83
55
4738
37
3625
26
27329
342
35524
35
4534
9
4423
22
2157
31
442
13
4330
0
30326
339
35237
41
4528
22
1627
23
2026
44
239
31
2335
34
3328
29
308
22
3556
6
1719
54
2919
18
1638
11
4514
44
150
30
05
18
3149
53
5610
4
5816
12
820
38
5515
7
5932
31
30
МесяцыПрибавление широтыПрибавление элонгации30
60
9036
73
ПО52
45
3849
39
2954
48
4328
56
2418
37
5530
0
305
11
1743
26
1020
41
240
20
08
17
2659
59
5830
0
30120
150
180147
184
22131
24
1619
9
5937
32
2653
21
4914
32
510
30
022
28
3453
36
2022
43
440
20
035
44
5358
57
570
30
0210
240
270258
295
3319
2
5549
39
2921
15
1018
46
149
28
4630
0
3040
45
513
46
3024
45
641
21
12
11
2056
56
5530
0
30300
330
3608
45
8248
41
3319
8
58 4
59
5343
11
395
23
420
30
057
62
6813
56
4026
47
841
21
129
38
4755
54
540
30
0СуткиПрибавление широтыПрибавление элонгации1
2
313
26
3913
27
4145
31
1639
19
5948
37
2656
53
4937
14
5112
24
3611
22
3426
53
2041
22
420
40
017
35
5359
58
574
5
652
66
7955
8
222
48
3339
19
5815
4
5346
43
3928
5
4248
60
7345
57
846
13
4045
26
821
41
111
29
4756
55
547
8
992
105
11936
50
319
5
5038
18
5842
31
2036
32
2919
56
3385
97
10920
31
436
33
049
30
1222
42
25
23
4153
52
5110
11
12132
145
15817
31
4536
22
738
17
579
58
4726
22
1910
47
24121
134
14654
5
1726
53
2053
34
1622
43
359
17
3550
49
4813
14
15171
185
19858
12
2653
39
2437
17
5736
25
1416
12
91
38
15158 •
170
18228
40
5146
13
4057
38
2023
44
453
11
2947
46
4516
17
18211
224
23840
53
710
56
4137
16
563
52
405
2
5952
29
6195
207
2193
14
267
33
01
42
2424
45
547
5
2344
43
4219
20
21251
264
27721
35
4827
13
5836
16
5629
18
755
52
4843
20
57231
243
25637
48
027
53
205
46
2825
45
641
59
1741
40
3922
23
24291
304
3172
16
3044
30
1535
15
5556
45
3445
42
3834
11
48268
280
29211
23
3447
13
409
50
3226
46
735
53
1138
37
3625
26
27330
343
35744
57
111
47
3235
15
5523
12
135
32
2825
2
39304
316
32946
57
97
33
013
54
3627
47
829
47
535
34
3328
29
3010
23
3625
39
5218
4
4934
14
5450
39
2825
21
1816
53
30341
353
520
31
4327
53
2017
58
4028
48
823
41
5932
31
30
116

IV.5. О гипотезах движения Луны и видимых явлениях


это для Солнца16, или, как у Луны, они будут неравными при сохранении
отношений [размеров орбит]. Мы сможем увидеть это из следующего,
производя анализ лунного движения с помощью упомянутой выше
единственной аномалии.
   Так как возвращение к той же точке круга через середины знаков Луна
производит быстрее, чем при восстановлении аномалии, то при гипотезе
эпицикла последний при движении по концентрическому с зодиаком кругу 296
в одинаковые, конечно, времена всегда пройдет дугу, большую, чем подобная
17
той , которую Луна опишет по эпициклу. При гипотезе же эксцентра
Луна по эксцентру пройдет дугу, подобную той, которая была описана на
эпицикле, в то время как эксцентр, сдвигаясь в одну сторону с Луной
вокруг центра зодиака, пройдет дугу, равную той, на какую движение по
долготе превосходит движение по аномалии. А это соответствует тому, на
сколько дуга,  получающаяся на эксцентрическом круге,  будет больше
соответствующей дуги эпицикла. Действи-
тельно, только таким образом в обеих гипоте-
зах можно сохранить равенство не только
отношений [размеров орбит], но и периодов
обоих этих движений  [по долготе и ано-
1 о
малии] .
   Итак, предполагая, что все это необ-
ходимо вытекает из сделанных предпосылок,
возьмем [на рис. 4.1 ] круг АВГ, концен-
трический с проходящим через середины
знаков зодиака, имеющий центр А и радиус19
АА, и эпицикл EZ вокруг центра Г. Пред-
положим, что при нахождении эпицикла в
А, а Луны в апогее Е эпицикла в одинаковые
времена эпицикл прошел дугу АГ, а Луна —
EZ; проведем соединительные прямые ЕА и TZ. Так как дуга АГ больше,
чем дуга EZ, то отложим ВГ, подобную EZ, и соединим В и А. Ясно,
что в одно и то же время эксцентр повернется на угол ААВ, представляющий
разность обоих движений [АГ и ВГ], а его центр и апогей окажутся на 297
прямой ВА. Если же это так, то возьмем АН, равную TZ, и соединим
ZH,   затем из центра Н радиусом HZ опишем эксцентрический круг Z0.
   Я утверждаю, что отношение ZH к НА будет таким же, как отношение
ДГ к TZ, и что по этой гипотезе Луна будет в точке Z, т.е. дуга Z0
будет подобной EZ.
   Действительно, так как угол ВАГ равен ErZ, то прямая TZ будет
параллельна АН; но TZ равна АН; следовательно, ZH будет равной и
параллельной ГА, и отношение ZH к НА будет таким же, как у ДГ к
TZ. Далее, так как АГ параллельна HZ, то угол ГАВ будет равен ZH0. 298
Но по предположению угол ГАВ равнялся ErZ, так что и дуга Z8 будет
подобна EZ. Следовательно, при каждой из гипотез Луна приходит в точку
Z в одно и то же время, так как она прошла дугу EZ эпицикла и 0Z
эксцентра, которые, как показано, подобны; при этом центр эпицикла
прошел дугу АГ, а центр эксцентра — дугу АВ, соответствующую разности
между АГ и [подобной] EZ. Это и требовалось доказать.
   
    Более того, даже если члены отношений будут не равными и не
тождественными и если эксцентр не будет равен концентрическому кругу,
то будет иметь место то же самое, если только отношения [размеров орбит]
подобны; это мы уясним себе так.
   Сделаем чертежи отдельно для каждого из предположений. Пусть
АВГ — круг, концентрический проходящему через середины созвездий
зодиака [рис. 4.2], имеющий центр в Л, радиус АА и эпицикл EZ с
центром в Г, Луна же находится в Z. Пусть
также эксцентрическим кругом будет НЭК
около центра Лис диаметром 0ЛМ, на
299	котором находится центр М зодиака
[рис. 4.3]. Пусть Луна будет в точке К. На
первом чертеже проведем соединительные
прямые АГЕ, TZ, AZ, а на втором НМ,
КМ, КЛ. Предположим, что отношение АГ
к ГЕ будет таким же, как у 0Л к ЛМ, и
пусть в одно и то же время эпицикл
передвинется на угол ААГ, а Луна — на
ErZ, эксцентр же — на угол HM0, а Лу-
на — на 0ЛК. Следовательно, на основании
предположенного равенства отношений дви-
жений угол ErZ будет равен 0ЛК, а угол
ААГ — вместе взятым углу HM0 и углу
елк.
    Если так, то я опять утверждаю, что при
каждой гипотезе в одно и то же время Луна
покажется прошедшей равные дуги, иными
словами, что угол AAZ будет равен углу
НМК. В начале рассматриваемого промежут-
ка времени Луна находилась в апогее и
усматривалась по прямым АА и МН, в конце
же, находясь в точках Z и К, усматривалась
по ZA и МК.
300	Возьмем дугу ВГ, подобную каждой из
0К и EZ, и проведем соединительную прямую ВА. Поскольку теперь как
АГ относится к TZ, так будет относиться и КЛ к ЛМ, и у равных углов
при точках Г и Л стороны пропорциональны, то треугольник TAZ будет
равноугольным с КЛМ и углы, стягиваемые пропорциональными сторонами,
будут равны. Следовательно, угол TZA будет равен углу ЛМК. Но так как
по предположению углы ZrE и ВАЕ одинаковы, то вследствие параллель-
ности сторон TZ и ВА и угол BAZ будет также равен TZA. Значит, и
угол ZAB будет равен углу ЛМК. Но по предположению угол ААВ —
разность этих движений — равняется углу HM0 движения эксцентра;
следовательно, и весь угол AAZ будет равным углу КМН, что и требовалось
доказать.
6. Определение первого, или простого лунного неравенства
Вот это должны мы были предварительно рассмотреть. Теперь произведем
3d определение   упомянутого  лунного   неравенства  при  помощи   гипотезы
эпицикла по указанной выше причине . Сначала из имеющихся у нас

самых древних затмений выберем три, кажущиеся нам тщательно записан-
ными; затем из современных возьмем еще три затмения, наблюденные нами
с наибольшей точностью. Таким образом, мы проведем исследование,
простирающееся на возможно больший промежуток времени, и, кроме того,
покажем, что величина [максимального] неравенства в обоих рядах
наблюдений будет приблизительно одной и той же, а приращение средних
движений — соответствующим получаемому по установленным продолжи-
21
тельностям периодов с нашими поправками .
Для определения первого и могущего быть рассмотренным независимо
неравенства22 при помощи гипотезы эпицикла мы будем рассуждать так.
В сфере Луны вообразим круг, концентрический и расположенный в одной
плоскости с кругом, проходящим через середины знаков зодиака. Другой
круг [того же диаметра], имеющий к первому наклон, соответствующий
величине [максимального] отклонения Луны по широте, представим
равномерно вращающимся против последовательности знаков вокруг центра
круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий, и перемещаю-
щимся [по этому кругу] настолько, насколько движение по широте
превосходит движение по долготе. Предположим, что по этому наклонному
кругу движется так называемый эпицикл, так же равномерно, но уже в
направлении последовательности знаков в соответствии с законом восста-
новления широты. Этот круг, рассматриваемый по отношению к проходя- зог
щему через середины знаков, определит, конечно, [среднее] движение по
долготе. По этому эпициклу будет двигаться Луна на дуге, прилегающей
к апогею, против последовательности знаков в соответствии с восстанов-
23
лением аномалии . Однако для предлагаемого вычисления нам не нужно
затруднять себя ни движением по широте, ни перемещением самого
наклонного круга, поскольку этот наклон не производит никакой заметной
разницы в движении по долготе24.
    Из выбранных нами трех древних затмений, наблюденных в Вавилоне,
первое, согласно записи, произошло в первый год Мардокемпада, с 29-го
на 30-е число египетского месяца Тот. Затмение, как говорят, началось
после восхода Луны, когда прошло уже более часа, и было полным . Так
как Солнце находилось в конце Рыб и ночь равнялась приблизительно 12
равноденственным часам, то начало этого затмения имело, очевидно, место
за 4У2 равноденственных часа до полуночи, средняя же фаза, поскольку
затмение было полным, — за 21/2 часа до полуночи. Следовательно, в 303
Александрии, к меридиану которой мы относим начало отсчета времени
(этот меридиан отстоит от вавилонского примерно на 1/2V3 равноденственного
часа к западу), средняя фаза упомянутого затмения имела место за З1/3
равноденственного часа до полуночи; в этот час, согласно произведенным
нами вычислениям, истинное положение Солнца было приблизительно на
241/2 градусах Рыб .
   Второе из этих затмений, согласно записи, произошло во 2 год того же
Мардокемпада, в ночь с 18-го на 19-е число египетского месяца Тот.
Затмилось, как говорят, на 3 пальца с юга в самую полночь27. Так как
средняя фаза по наблюдению была в Вавилоне в самую полночь, то в
Александрии она должна была произойти за Уг и Уз часа до полуночи; в
этот час положение Солнца было в точности на I31/2V4 градусах Рыб .

   Третье из этих затмений, согласно записи, было в тот же самый 2 год
Мардокемпада, в египетский месяц Фаменот с 15-го на 16-е число. Начало
затмения было, как передают, после восхода, и Луна затмилась с севера
более  чем на половину .  Так как  Солнце было в начале Девы и
304	продолжительность ночи в Вавилоне равнялась приблизительно 11 равно-
денственным часам, то половина ночи составляла 5Уг часов. Следовательно,
начало затмения было самое большее за 5 равноденственных часов до
полуночи, так как оно началось после восхода, а средняя фаза — за З1/2
часа. Поскольку продолжительность затмения таких размеров должна
равняться приблизительно 3 часам, в Александрии средняя фаза затмения
опять закончилась за 4 Уз равноденственных часа до полуночи; в этот час
истинное   положение   Солнца   было   приблизительно   на   ЗУ4   градусах
Девы30.

   Теперь ясно, что в промежутке времени от средней фазы первого
затмения до средней фазы второго Солнце, а также и Луна, прошли, если
отбросить полные обороты, 349; 15 градусов, а от средней фазы второго
затмения до средней фазы третьего — 169;30 градусов. Но промежуток
времени между первым и вторым затмениями содержит 354 дня и 2Уг
равноденственных часа по непосредственному наблюдению, или [354 дня
и] 2У2У15 часа при пересчете на средние сутки. Между вторым же и третьим
затмениями прошло 176 дней и 20 У2 равноденственных часов при
непосредственном наблюдении, или  [176 дней и]
2ОУ5 по точному счету  . Будем считать, что для
305	рассматриваемых [малых] промежутков времени не
получится заметной разницы, если использовать
приближенные периоды [для определения средних
движений Луны]. За 354 дня и 2У2У15 равноденст-
венных часа Луна пройдет за вычетом целых
оборотов приблизительно 306; 25 градусов по ано-
малии, 345;51 градусов по долготе; а в 176 дней и
20У5 равноденственных часов — по аномалии 150;26
градусов, а по долготе приблизительно 170;7 граду-
32
сов . Теперь ясно, что в первом интервале
пройденные по эпициклу 306;25 градусов добавили
к среднему движению Луны 3;24 градуса, а во
втором интервале 150;26 градусов отняли от среднего
движения 0;37 градусов.
   Установив это, возьмем лунный эпицикл АВГ
[рис. 4.4], и пусть точка А будет той, в которой
Луна была в средней фазе первого затмения, а В —
в которой Луна была в средней фазе второго
затмения, и Г — место Луны в средней фазе третьего
затмения. Представим себе, что Луна перемещается
по эпициклу от В к А и от А к Г, так что дуга
АГВ, на которую она передвинулась от первого	рис 4.4
затмения   до   второго,   равная   306;25   градусам,
306	добавляет к среднему движению 3;24 градуса, дуга же ВАГ, на которую
Луна передвинулась от второго затмения до третьего, равная 150; 26
градусам, отнимает от среднего движения 0;37 градусов. Вследствие этого
перемещение из В в А, равное 53;35 градусам, отнимет от среднего движения

те же самые 3;24 градуса, а перемещение из А в Г, равное 96;51 градусам,
прибавит к среднему движению 2;47 градуса. Теперь ясно, что дуга ВАГ
не может содержать перигей эпицикла, так как она меньше полуокружности
и на ней происходит вычитание, а наибольшее движение предполагается у
зз
перигея .
   Поскольку перигей во всяком случае должен находиться на дуге ВЕГ,
возьмем центр круга, проходящего через середины знаков зодиака, который
также является центром концентрического круга, по которому перемещается
центр эпицикла, и пусть он будет в А. Проведем из него три прямые,
ДА, АЕВ, АГ, к местам трех затмений. Теперь, чтобы сделать более удобным
приложение теоретических рассуждений в подобных доказательствах, будут
они, как в данном случае, основаны на гипотезе эпицикла или же на
гипотезе эксцентра [рис. 4.5], когда центр А берется внутри [круга], мы
дадим следующее применимое во всех случаях описание. Продолжим одну
из трех соединяющих прямых [АА, АВ или ДГ] до противоположной части
окружности, как, например, в рассматриваемом случае АЕВ. Получаем
   
продолженную до точки Е прямую,
идущую из места В второго затмения;
места же двух остальных затмений
соединим прямой (АГ на нашем черте-
же). Полученную точку Е сечения
продолженной прямой [ВА с окружно-
А стью] соединим с местами двух других
затмений прямыми ЕА и ЕГ. Опустим
также перпендикуляры на прямые, сое-
диняющие остальные две точки с цент-
ром зодиакального круга, а именно EZ
на прямую АА и ЕН на прямую ГД.
Затем из одной из этих двух точек,
например, из Г, опустим перпендикуляр
на прямую, соединяющую другую точку
(у нас А) с пересечением Е продолжен-

Рис	ной прямой (у нас перпендикуляр Г0
                                   на АЕ). Какое бы построение чертежа
мы ни взяли, получатся те же самые отношения определенных величин,
так что выбор [исходной точки] можно делать, руководствуясь исключитель-
но соображениями удобства34.
    Так как доказано, что дуга ВА стягивает 3;24 градуса круга через
середины знаков зодиака, то находящийся у центра последнего угол ВАА
равняется 3;24 градусам, каких в четырех прямых углах будет 360, или
6;48 таких, каких 360 будет в двух прямых углах. Таким образом, дуга
на прямой EZ будет содержать 6;48 таких градусов, каких описанный около
прямоугольного треугольника AEZ круг имеет 360; сама же прямая EZ
равна 7;7 таким частям, каких в гипотенузе АЕ имеется 120. Точно так
же, если дуга ВА составляет 53;35 градуса, то соответствующий ей угол
ВЕА с вершиной на окружности равняется 53;35 таким градусам, каких
два прямых угла содержат 360. Таких градусов в угле ВДА было 6;48;
следовательно, оставшийся угол EAZ будет равен 46;47 таким же градусам.
Поэтому дуга на прямой EZ будет содержать 46;47 градусов, каких круг,
    
описанный около прямоугольного треугольника AEZ, имеет 360; сама же
прямая EZ будет равна 47;38,30 частям, каких в гипотенузе ЕА содержится
120. Каких же частей в прямой EZ будет 7;7, а в ЕД — 120, таких в
прямой АЕ будет 17;55,32. Далее, так как дуга ВАГ стягивает 0;37 градусов
зодиака, то находящийся при центре последнего угол ВДГ содержит 0;37
градусов, каких в четырех прямых углах будет 360, или 1;14 градус, каких
в двух прямых углах будет 360. Таким образом, дуга на прямой ЕН будет
иметь 1;14 такой градус, каких круг около треугольника ДЕН содержит
309 360; сама же прямая ЕН имеет 1; 17,30 такую часть, каких в гипотенузе
ДЕ содержится 120. Точно так же, если дуга ВАГ равна 150; 26 градусам,
то угол ВЕГ с вершиной на окружности составляет 150;26 градусов, каких
в двух прямых углах будет 360. Таких же градусов в угле ВДГ было 1; 14;
следовательно, остающийся угол ЕГД [в треугольнике ДЕГ] равен 149; 12
таким же градусам. Поэтому дуга на прямой ЕН равна 149; 12 градусам,
каких в круге около прямоугольного треугольника ГЕН будет 360; сама же
прямая ЕН равна 115;41,21 частям, каких гипотенуза ГЕ имеет 120.
Следовательно, каких частей в прямой ЕН будет 1; 17,30, а в ДЕ — 120,
таких в прямой ГЕ содержится 1;20,23. Но было доказано, что в прямой
ЕА было 17;55,32 таких частей.
   Далее, так как по доказанному дуга АГ равняется 96;51 градусам, то
имеющий вершину на окружности угол АЕГ содержит 96;51 градусов, каких
в двух прямых углах будет 360. Таким образом, построенная на прямой
Г0 дуга равняется 96;51 таким градусам, каких в круге около треугольника
ГЕ0 будет 360, дуга же на прямой Е© будет иметь 83;9 градуса,
недостающих до полуокружности. Следовательно, прямые, стягивающие эти
но дуги, будут равны: Г0 — 89;46,14 частям, каких в гипотенузе ГЕ будет
120, Е0 — 79;37,55 таким же частям. И, следовательно, если в прямой
ГЕ будет 1;20,23 часть, то в Г0 их будет 1;0,8, а в Е0 — 0;53,21. Но
вся ЕА равнялась 17;55,32 таким частям; следовательно, остаток ©А
равняется 17;2,11 частям, каких в Г© по доказанному было 1;0,8. Но
квадрат на А0 равен 290;14,19, а квадрат на Г© равняется 1;0,17; сложив
их, получим квадрат на АГ, равный 291; 14,36. Следовательно, длина АГ
будет равна 17;3,57 частям, каких в прямой ДЕ будет 120, а в ГЕ —
1;20,23. Но если диаметр эпицикла взять равным 120, то прямая АГ будет
содержать 89;46,14 таких частей, ибо она стягивает дугу АГ, равняющуюся
96;51 градусам. Следовательно, каких частей в прямой АГ содержится
89;46,14, а в диаметре эпицикла 120, таких в прямой ДЕ будет 631;13,48,
а в ГЕ — 7;2,50; таким образом, находящаяся на ней дуга ГЕ равна 7;44,1
градусам, каких весь эпицикл содержит 360. Таких же градусов по
предположению в дуге ВАГ было 150;26; и, следовательно, вся дуга ВГЕ
иг будет равняться 157; 10,1 градусам, а прямая BE под ней содержит 117;37,32
частей, каких в диаметре эпицикла будет 120, а в прямой ЕД — 631;13,48.
   Теперь, если бы прямая BE была равной упомянутому диаметру
эпицикла, то на ней, конечно, оказался бы и центр последнего и сейчас
же определилось бы и отношение диаметров. Поскольку же BE меньше
последнего и дуга ВГЕ меньше полуокружности, центр эпицикла, конечно,
попадает вне сегмента ВАГЕ.
   Предположим, что он будет в точке К [рис. 4.6]. Проведем через К и
центр Д круга через середины знаков прямую ДМКЛ, так что точка Л
   
будет апогейной точкой эпицикла, а М — перигейной. Так как
прямоугольник, содержащийся между ВД и ДЕ, равен прямоугольнику между

*35 и мы показали, что прямая BE равняется 117;37,32 частям,
каких в диаметре эпицикла, т.е. в прямой ЛКМ,
содержится 120, а в ЕД — 631;13,48, то вся прямая
ВД будет, конечно, иметь их 748;51,20. Таким
образом, прямоугольник между ВД и ДЕ, т.е. между
АА и ДМ, будет равен 472 700;5,32 частям. Далее,
так как прямоугольник между АД и ДМ вместе с
?ал
квадратом на КМ дает квадрат на ДК , а КМ,
являющаяся радиусом эпицикла, имеет 60 таких
же частей, то, прибавив 3600 — ее квадрат —
к 472 700;5,32, получим квадрат на ДК, равный
476 300;5,32. Следовательно, длина радиуса ДК круга,
несущего эпицикл и концентрического с проходящим
через середины знаков зодиака, будет равна 690;8,42
таким частям, каких в радиусе КМ эпицикла будет
60. Таким образом, если радиус круга, несущего
эпицикл и концентрического с глазом наблюдателя,
равен 60, то радиус эпицикла будет содержать
приблизительно 5; 13 таких частей.

    Опустим на такой же фигуре [рис. 4.7] из центра
К перпендикуляр KNS на BE и соединим ВК. Так
как теперь прямая ДК содержит 690;8,42 частей, каких
в прямой ДЕ будет 631; 13,48, а в NE — половине
BE — 58;48,46, то вся прямая AEN будет равна
690;2,34 таким частям. Следовательно, если гипоте-
нузу ДК принять за 120, то в AN таких частей будет
119;58,57, а в находящейся над ней дуге будет
приблизительно 178;2 таких градусов, каких в описан-
ном около прямоугольного треугольника ANK круге
будет 360. Таким образом, угол AKN будет равен
178; 2 градусам, каких в двух прямых углах содержится
360, или 89; 1 таким, каких 360 будет в четырех
прямых углах. И, следовательно, дуга SM эпицикла
будет равна 89; 1 градусам, а дуга ЛВЕ — остальным,
дополняющим до полукруга 90; 59 градусам. Таких же
градусов в ЕВ — половине дуги BEE — будет 78;35,
так как по доказанному вся дуга BE равна прибли-
зительно 157; 10 градусам. Следовательно, остающаяся
дуга АВ эпицикла, представляющая расстояние от
Рис "4 7	апогея Луны в упомянутую среднюю фазу второго
                     затмения, будет равна 12;24 градусам. Точно так же,
поскольку угол AKN равнялся, как было показано, 89; 1 градусам, каких
в четырех прямых углах имеется 360, то остающийся угол KAN, стягиваю-
щий дугу, отнимаемую от среднего движения по долготе и соответствующую
неравенству на дуге АВ эпицикла, будет иметь недостающие до прямого
угла 0;59 градусов. Следовательно, в среднем движении по долготе Луна
в средней фазе второго затмения была на 14; 44 градусах Девы, так как в
                     
истинном [своем] положении она находилась на 13;45 градусах; на этих
градусах стояло тогда Солнце в Рыбах.
   Далее мы взяли три затмения из наиболее тщательно наблюденных
нами в Александрии; первое из них случилось в 17 году Адриана, в
египетском месяце Паини, с 20-го на 21-е число. При точном вычислении
средняя фаза имела место за половину с четвертью равноденственного часа
до полуночи ; затмение было полным в тот час, когда истинное положение
Солнца было приблизительно на 131/4 градусах Тельца.
    Второе затмение было в 19 год Адриана, в египетском месяце Хойаке,
со 2-го на 3-е число. По нашему расчету, средняя фаза имела место за
один равноденственный час до полуночи. Луна была затемнена с севера на
1/2 и 1/3 диаметра , когда истинное положение Солнца было приблизительно
на 251/6 градусах Клешней.
   Третье из этих затмений имело место в 20 году Адриана, в египетском
месяце Фармути, с 19-го на 20-е число. Средняя фаза по нашим
вычислениям наступила через 4 равноденственных часа после полуночи, и
Луна затмилась с севера на половину диаметра . В этот час Солнце
находилось приблизительно на 14Vi2 градусах Рыб40.

   Ясно, что здесь движение Луны за вычетом полных оборотов составляло:
от средней фазы первого затмения до средней фазы второго — 161 ;55 градус
(такое же движение имело место и у Солнца), от второго же до третьего —
138;55 градусов. Продолжительность первого интервала составляет 1
египетский год, 166 дней и 231/2V4 равноденственных часа по обычному
счету, или 2ЪУгЩ по точному. Второй интервал	Л
составлял тоже 1 египетский год, 137 дней и 5
равноденственных часов по обычному счету, или
51/2 по точному41. Среднее движение Луны за
вычетом целых оборотов за 1 год, 166 дней и
231/21/8 равноденственных часов было по аномалии
110;21 градусов, по долготе же приблизительно
169;37 градусов. Также за 1 год, 137 дней и
51/2 равноденственных часов движение было по
аномалии 81;36 градус, а по долготе приблизитель-
но 137;34 градусов. Таким образом, ясно, что в
первом интервале 110;21 градусов эпицикла от-
нимают от среднего движения по долготе 7; 42
градусов, а во втором интервале 81;36 градус
прибавляют к среднему движению по долготе 1;21
42
градус4 .
   Установив это, возьмем опять эпицикл АВГ
Луны [рис. 4.8 ]; пусть точка А представляет место
Луны во время средней фазы первого затмения,
точка В — во время средней фазы второго и
точка Г — третьего затмения. Представим себе,
что Луна движется из А в точку В, а затем в Г,
так что дуга АВ, равная 110;21 градусам, как мы сказали, отнимает 7;42
градусов от среднего движения Луны по долготе, а дуга ВГ, равная 81;36
градусу, прибавляет к долготе 1;21 градус, остающаяся же дуга ГА, равная
168;3 градусам, прибавляет к долготе недостающие 6;21 градусов.
   
   Ясно теперь, что апогей должен находиться на дуге АВ, так как он не зп
может быть ни на ВГ, ни на ГА, поскольку каждая из них меньше
полуокружности и прибавляет к долготе43. Точно так же возьмем, хотя это
и не является данным, центр зодиака и круга, по которому перемещается
эпицикл, — пусть он будет А, — и проведем из него к местам трех
затмений соединительные прямые АЕА, ДВ, ДГ. Затем, соединив ВГ,
проведем из точки Е к В и Г прямые ЕВ и ЕГ, а также перпендикуляры
EZ и ЕН на прямые ВД и ДГ; а также из точки Г проведем к BE
перпендикуляр Г0. Так как теперь дуга АВ стягивает 7;42 градусов круга
через середины знаков зодиака, то находящийся при центре зодиака угол
АДВ равен 7;42 таким градусам, 360 которых составляют четыре прямых
угла, или 15;24 таким, 360 которых равны двум прямым углам. Таким
образом, дуга на прямой EZ будет равна 15;24 градусам, каких в круге,
описанном около треугольника AEZ, будет 360, сама же прямая EZ равна 3ie
16;4,42 таким частям, каких в гипотенузе ДЕ имеется 120. Точно так же,
поскольку дуга АВ равна 110;21 градусам, угол АЕВ с вершиной на
окружности равняется 110;21 таким градусам, каких в двух прямых углах
будет 360. Но так как угол АДВ равнялся 15;24 таким же градусам, то
остающийся угол ЕВД будет, следовательно, равняться 94;57 таким градусам.
Поэтому дуга на прямой EZ будет равна 94;57 градусам, каких в описанном
около BEZ круге будет 360, сама же прямая EZ равна 88;26,17 частям,
каких в гипотенузе BE содержится 120. И, следовательно, если прямая
EZ равна 16;4,42 частям, ДЕ — 120, то в прямой BE таких частей будет
21;48,59.
   Далее, так как доказано, что дуга ГЕА стягивает 6;21 градусов круга
через середины знаков зодиака, то находящийся в центре зодиака угол
АДГ равняется 6;21 градусам, каких в четырех прямых углах содержится
360, или 12;42 таким, каких 360 будет в двух прямых углах. Поэтому
дуга на прямой ЕН равна 12;42 градусам, каких в круге, описанном около
прямоугольного треугольника ДЕН, будет 360, сама же прямая ЕН будет
равна 13; 16,19 частям, каких в гипотенузе ДЕ содержится 120. Подобно
этому, так как дуга АВГ дает после сложения 191 ;57 градус, то угол
АЕГ, имеющий вершину на окружности, будет равен 191 ;57 градусу, каких
в двух прямых углах содержится 360. Но угол АДГ равнялся 12;42 таким 319
градусам; следовательно, остающийся угол ЕГД будет равен 179; 15 таким
градусам. Поэтому дуга на прямой ЕН равна 179; 15 градусам, каких в
круге, описанном около треугольника ГЕН, будет 360, сама же прямая
ЕН будет равна 119;59,50 частям, каких в гипотенузе ГЕ содержится 120.
И, следовательно, если прямая ЕН равна 13; 16,19 частям, а ЕД, как
сказано, 120, то в прямой ГЕ таких частей будет 13; 16,20. Прямая BE,
как было показано, содержала их 21;48,59.
   Затем, так как дуга ВГ равна 81 ;36 градусу, то угол ВЕГ, вершина
которого лежит на окружности, равняется 81;36 градусу, каких в двух
прямых углах будет 360. Поэтому и дуга на прямой ГО будет равна 81;36
градусу, каких в круге, описанном около треугольника ГЕО, будет 360;
дуга же на Е0 будет равна недостающим до полуокружности 98;24 градусам.
И, следовательно, из соответствующих этим дугам прямых Г© будет равна
78;24,37 частям, каких в гипотенузе ЕГ содержится 120, а Е0 — 90;50,22
таким же частям. Значит, если прямая ГЕ равна 13; 16,20, то в Г© таких
   

частей будет 8;40,20, а в Е0 таких же 10;2,49. Но вся ЕВ равнялась
21,-48,59 частям; значит, остаток 0В будет равен 11;46,10 частям, каких
азе в Г0 было 8;40,20. Но квадрат на ©В равен 138;31,11, а на Г© — 75;12,27,
что после сложения дает квадрат на ВГ, равный 213;43,38. Следовательно,
длина ВГ будет равна 14;37,10 частям, каких в прямой ДЕ содержится
120, а в ГЕ — 13;16,20. Но если диаметр эпицикла принять за 120, то
прямая ГВ будет равна 78;24,37 таким частям (она стягивает дугу ВГ,
равную 81;36 градусу); если прямая ВГ равна 78;24,37 частям, диаметр
эпицикла — 120, то прямая ДЕ будет равна 643;36,39, а ГЕ — 71; 11,4
таким частям. Поэтому стягиваемая ею дуга ГЕ будет	А
равна 72;46,10 градусам, каких во всем эпицикле
будет 360. Но согласно предположению дуга ГЕА
равнялась 168;3 градусам; значит, остающаяся дуга
ЕА будет равна 95; 16,50 градусам, а стягивающая ее
прямая АЕ — 88;40,17 частям, каких в диаметре
эпицикла — 120, а в прямой ЕД — 643;36,39.
   Теперь, так как доказано, что дуга ЕА менее
полуокружности, то ясно, что центр эпицикла ока-
жется вне сегмента ЕА. Возьмем его, и пусть он
будет К [рис. 4.9]; проведем соединительную пря-
мую ДМКЛ так, что точка Л будет апогеем, а М —

321	перигеем. Так как прямоугольник на АД и ДЕ равен
прямоугольнику на ЛД и ДМ44 и нами доказано, что
если диаметр ЛКМ эпицикла равен 120, то прямая
АЕ равна 88;40,17 и ЕД — 643;36,39 таким частям,
а вся прямая АД — 732; 16,56, то прямоугольник на
АД и ДЕ, или на ЛД и ДМ, будет равен 471 304;46,17
таким же частям. Произведение же ЛД и ДМ вместе
с квадратом на КМ дает квадрат на ДК45, и длина
радиуса эпицикла КМ равна 60, а ее квадрат — 3600.
Если эти 3600 мы сложим с вышеупомянутыми
471 304;46,17, то получим квадрат на ДК, равный
474 904;46,17 таким же частям; следовательно, длина
322	дк — радиус несущего эпицикл круга, концентриче-
ского с проходящим через середины знаков зо-
диака, — будет равна 689;8 частям, каких в радиусе
КМ эпицикла содержится 60. Поэтому если расстояние
между центрами круга через середины знаков и
эпицикла принять за 60, то радиус эпицикла будет
5; 14. Это приблизительно то же самое отношение,
которое мы немного раньше нашли при помощи более
древних затмений.
   Теперь на том же чертеже из центра К опустим
перпендикуляр KNS на прямую ДЕА и соединим
АК [рис. 4.10]. Поскольку доказано, что если ДК
равна 689;8, прямая ДЕ — 643;36,39 и NE — половина АЕ — 44;20,8,
то вся прямая AEN будет равна 687;56,47; и, следовательно, если гипотенузу
ДК принять за 120, то AN будет равна 119;47,36 таким частям, а дуга на
ней — приблизительно 173;17 градусам, каких в круге, описанном около
   
прямоугольного треугольника AKN, будет 360. Таким образом, угол AKN
будет равен 173; 17 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360,
или 86;38,30, каких в четырех прямых углах будет 360. И, следовательно,
дуга МЕЕ эпицикла равна 86;38,30 градусам, а дуга ЛАЕ — недостающим
до полуокружности 93;21,30 градусам. Но этих градусов в дуге АЕ — 323
половине АЕ — было приблизительно 47;38,30; и, значит, остающаяся дуга
АЛ равна 45;43 градусам. Но было предположено, что вся АВ равна 110;21
таким же градусам; значит, остающаяся дуга АВ, на какую Луна отстояла
от апогея в рассматриваемую среднюю фазу второго затмения, будет равна
64;38 градусам.
    Точно так же, поскольку было показано, что угол AKN равняется
приблизительно 86;38 градусам, каких в четырех прямых углах имеется
360, угол KAN будет равняться недостающим до одного прямого угла 3;22
градусам. Также предположено было, что весь угол ААВ равен 7;42 таким
же градусам, и, значит, получающийся в остатке угол АДВ будет равен
4;20 градусам. Этот угол стягивает отнимаемую от среднего движения по
долготе дугу круга, проходящего через середины знаков зодиака, вследствие 324
соответствующей АВ аномалии эпицикла. Следовательно, по долготе среднее
положение Луны в момент средней фазы второго затмения было на 29;30
градусах Овна, поскольку истинное ее положение было на 25; 10, что
соответствует числу градусов положения Солнца в Клешнях.

7. Об исправлении средних движений Луны по долготе и аномалии
   Относительно второго из древних затмений мы показали, что Луна в
момент средней фазы в своем равномерном движении по долготе находилась
на 14;44 градусах Девы, а по аномалии — на 12;24 градусах от апогея
эпицикла, во втором же из трех наших затмений было показано, что она
также в среднем движении по долготе находилась на 29;30 градусах Овна,
а по аномалии — на 64;38 градусах от апогея. Отсюда ясно, что за время,
протекшее между двумя упомянутыми затмениями, Луна в своем среднем
движении, за вычетом полных оборотов, прошла по долготе 224;46 градуса,
а по аномалии — 52; 14 градуса. Но время, протекшее между датой 2 года
Мардокемпада, с 18-го на 19-е число Тота, за V2V3 одного равноденственного
часа до полуночи и датой 19 года Адриана, со 2-го на 3-е число Хойака,
за 1 равноденственный час до полуночи46, содержит 854 египетских года,
73 дня и равноденственных часов в обычном исчислении 231/21/3, а в точном,
отнесенном к средним суткам, — 2З1/3, всего же 311 783 дня и 231/3
47
равноденственных  часа  ,  которым,  как  мы нашли,  соответствуют,  за 325
вычетом полных оборотов, прибавки согласно дневным движениям, уста-
новленным выше до исправления гипотез. Эти прибавки равны: по долготе —
224;46 градусам, по аномалии — 52;31 градусам48.
   Таким же образом из сопоставления упомянутых нами наблюдений
оказывается, что прибавление по долготе остается неизменным, прибавление
же по аномалии оказывается большим на 17 шестидесятых. Поэтому перед
составлением таблиц мы исправили дневные движения, разделив 17
шестидесятых на упомянутое число дней, причем на каждый день пришлось
0;0,0,0,11,46,39, которые следует вычесть из неисправленного среднего
дневного движения по аномалии; исправленное движение мы нашли равным
13;3,53,56,17,51,59; в соответствии с этим мы и сделали в таблицах все
остальные суммирования.
   
8. Об эпохе средних движений Луны по долготе и аномалии
   
   Чтобы установить эпохи этих движений на ту же дату — полдень 1-го
числа египетского месяца Тот первого года Набонассара, — мы взяли время,
326	протекшее с тех пор до средней фазы второго затмения из трех первых,
более близких, которое, как мы сказали, произошло во 2 год Мардокемпада,
с 18-го на 19-е число египетского месяца Тот49, за V2V3 равноденственного
часа до полуночи; так получается 27 египетских годов, 17 дней и IIV(,
часов по обычному и приблизительно столько же по точному счету50. За
это время, если опустить целые обороты, прибавление долготы будет 123;22
градуса, аномалии же — 103;35 градуса. Если мы отнимем их от
соответствующих величин для средней фазы второго затмения [14;44° Девы
и 12;24°], то найдем, что в первый год Набонассара в полдень 1-го числа
египетского месяца Тот в среднем движении Луна находилась по долготе
на 11;22 градусах Тельца, по аномалии — на 268;49 градусах от апогея,
а по элонгации — на 70;37 градусах, поскольку, как было показано, Солнце
в это же время находилось на 0;45 градусах Рыб.

9. Об исправлении средних движений Луны по широте и об их эпохах
    При помощи данных выше методов мы определили периодические
движения по долготе и аномалии, а также их эпохи; что же касается
327	движений по широте, то первоначально мы вместе с Гиппархом ошиблись,
предположив, что диск Луны приблизительно 650 раз укладывается в своей
орбите и два с половиной раза укладывается в конусе земной тени на
среднем расстоянии в сизигиях. При этих предположениях, зная величину
наклона орбиты Луны, мы можем определить предельные характеристики
ее отдельных затмений. Итак, мы выбрали пары затмений, разделенные
известным промежутком [времени], вычислили (по величине затмения в
момент средней фазы) истинные расстояния Луны от какого-либо из двух
узлов [вблизи которого имело место затмение ], по наклонному кругу широты
определили среднее положение [по широте] относительно истинного,
используя уравнение аномалии как уже известное, и таким путем нашли
среднее положение по широте в середине каждого затмения, а значит, и
движение по широте (как избыток над целыми оборотами) за этот интервал51.
   В настоящее время, пользуясь более удобными методами для нахождения
искомого, не требующими никаких приведенных выше предположений, мы
установили, что вычисленное на основании этих предположений движение
по широте является неправильным, и на основании результатов, полученных
в настоящее время без указанных предположений, исправили сами не
соответствующие действительности предположения относительно величин и
328	расстояний. То же самое мы сделали и с основными предположениями для
Сатурна и Меркурия, несколько изменив первоначальные не вполне точные
данные на основании позднейших более тщательных наблюдений52. Дей-
ствительно, всем, подходящим к этой теории с любовью к истине и в духе
исследования, подобает пользоваться новыми и оказавшимися более точными
методами не только для исправления предположений древних, но также и
для [исправления] собственных ошибок, если таковые имелись, не считая
позорным в нашем великом и божественном призвании использование
чужих, более точных исправлений, а не только своих собственных.

   Каким именно образом определяется все это в каждом отдельном случае,
мы укажем в соответствующих местах последующего изложения. В
настоящее же время, чтобы соблюсти необходимый порядок изложения, мы
обратимся к определению движения по широте, для которого имеется
53
следующий метод .
   Сначала для исправления самого среднего движения по широте мы
выбрали лунные затмения из числа наиболее тщательно описанных за
возможно больший промежуток времени, для которых были одинаковыми
величины затмений, которые происходили вблизи одного и того же узла,
причем оба или с севера, или с юга, и в которых Луна находилась на 329
равных расстояниях [от наблюдателя]. При таких условиях в каждом
затмении центр Луны будет находиться на одинаковом расстоянии и в ту
же самую сторону от того же узла, и вследствие этого за промежуток
времени между указанными наблюдениями истинное движение Луны будет
содержать целое число оборотов по широте54.
   В качестве первого затмения мы взяли наблюденное в Вавилоне в 31
год Дария I, в ночь с 3-го на 4-е число египетского месяца Тиби, в
середине 6-го часа [ночи], когда Луна затмилась с юга на 2 пальца55.
    В качестве второго взяли наблюденное в Александрии в 9 год Адриана,
с 17-го на 18-е число египетского месяца Пахона, за 3V5 равноденственных
часа до полуночи, когда Луна точно так же затмилась с юга на V(, часть
своего диаметра56.
    В каждом из этих затмений Луна в своем движении по широте
находилась около нисходящего узла; это можно установить из самых общих
соображений . Расстояние [до Луны] тоже было приблизительно одинако-
вым и несколько более близким к получающемуся в перигее, чем к среднему; 330
все это выясняется из того, что было выше сказано относительно аномалии.
Действительно, если Луна затмевается с юга, то ее центр должен лежать
севернее круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий;
поэтому ясно, что в каждом из обоих этих затмений центр Луны на
го
одинаковом расстоянии предшествовал нисходящему узлу . Но в первом
затмении Луна отстояла от апогея эпицикла [по аномалии] на 100 градусов
и 19 шестидесятых. Действительно, средняя его фаза в Вавилоне имела
место за полчаса до полуночи, а в Александрии за IV3 час равноденственного
времени, и время, прошедшее от эпохи Набонассара, составляло 256 лет,
122 дня и 10Уз равноденственных часов по обычному счету, или же
Ю1/4 по среднему времени. Вследствие этого истинное положение Луны
было на 5 градусов меньше вычисленного при помощи периодов. Во время
второго затмения Луна находилась на 251;53 градусе от апогея эпицикла;
и здесь промежуток времени от указанной эпохи до средней фазы затмения
равен 871 году, 256 дням 8% равноденственным часам по обычному счету,
или 81/12 по точному59. Вследствие этого истинное положение было на 4;53
градуса больше, чем вычисленное по среднему движению. Следовательно, 331
в промежуток времени между двумя этими затмениями, составляющий 615
египетских годов, 133 дня и 2I1/2I/3 равноденственный час, истинное
движение Луны по широте составляло целое число оборотов, а вычисленное
при помощи периодов отставало от целого числа оборотов на 9;53 градусов,

получаемых при сложении обоих значений аномалии. По отношению же к
средним движениям, полученным на основании предположений Гиппарха,
за это же время недостаток до полного числа оборотов равнялся
приблизительно 10;2 градусам; следовательно, среднее движение по широте
было на 9 шестидесятых больше, чем полученное по предположениям
Гиппарха.
   Разделив эту величину на число дней, содержащихся в указанном
промежутке, а именно приблизительно на 224 609, прибавив найденные
после деления 0;0,0,0,8,39,18 градуса к среднему дневному движению [по
широте], вычисленному на основании этих предположений, мы получим
исправленное движение 13;13,45,39,48,56,37, на основании которого при
помощи последовательного сложения мы составили и остальные таблицы60.
   Определив таким образом раз навсегда периодическое движение по
широте, переходим после этого к установлению его [значения] в начальную
эпоху. Мы снова обратимся к поискам двух точно наблюденных затмений,
в которых имело бы место все то же самое, что и в предыдущих затмениях,
а именно, чтобы были приблизительно равны расстояния Луны, величины
ее затемнений и чтобы последние были оба или с севера, или с юга, только
узел должен быть не тем же самым, но противоположным.
   И первым из этих затмений было то, которым мы уже воспользовались
при определении аномалии, а именно случившееся во 2 год Мардокемпада,
с 18-го на 19-е число египетского месяца Тот, бывшее в Вавилоне в полночь,
а в Александрии — за V2V3 равноденственного часа до полуночи; при этом
было обнаружено, что Луна затмилась с юга на 3 пальца61.

   Второе затмение, которым пользовался также и Гиппарх, произошло на
20 год Дария, бывшего после Камбиза, в ночь с 28-го на 29-е число
египетского месяца Эпифи, когда уже ночи прошло 6V3 равноденственных
часов; тогда Луна точно так же затмилась с юга на 1/4 диаметра и средняя
фаза была в Вавилоне за У$ равноденственного часа до полуночи (так как
половина ночи равнялась тогда прибл-
изительно 6V2V4 равноденственным ча-
сам), а в Александрии — за I1/4 равно-
денственный час до полуночи62.
    В каждом из этих затмений Луна
находилась на наибольшем расстоянии; но
в первом она была в восходящем узле, а
во втором — в нисходящем, так что в
обоих случаях центр Луны находился на
одинаковом расстоянии к северу от круга,
проходящего через середины зодиакальных
созвездий  .
    Пусть АВГ [рис. 4.11] будет наклон-
ным кругом Луны, имеющим диаметр
АГ. Предположим, что точка А является	Рис. 4.11
восходящим узлом, а точка Г — нисхо-
дящим, точка же В представляет северное предельное положение; от обоих
узлов, А и Г, отложим по направлению к северному пределу В равные
дуги АД и ГЕ так, чтобы во время первого затмения центр Луны находился
в Д, а во время второго — в Е. Но для первого затмения время, протекшее
5   К. Птолемей

от эпохи, составляло 27 египетских годов, 17 дней и 11Ц равноденственных
часов как по обычному, так и по точному счету, и вследствие этого Луна
находилась на 12;24 градусах от апогея эпицикла, причем вычисленное по
периодам ее среднее движение было точно на 59 шестидесятых больше
истинного. Равным образом, до второго затмения прошло 245 египетских
годов, 327 дней и IO1/2I/4 равноденственных часов по обычному счету, по
точному же 101/4, и вследствие этого Луна отстояла от апогея эпицикла 334
на 2;44 градуса; вычисленное на основании периодов ее движение было
точно на 13 шестидесятых больше истинного. И прошедшее между наб-
людениями время, охватывающее 218 египетских годов, 309 дней и 23Vi2
равноденственных часа, дает среднее движение по широте [за вычетом
полных оборотов], равное 160;4 градусам.
Пусть теперь на основании изложенного среднее положение центра Луны
в первом затмении будет в Z, а во втором — в Н. И так как дуга
ZBH равна 160 градусам и 4 шестидесятым, AZ — 59 шестидесятым и
ЕН — 13 шестидесятым, то получается, что дуга АЕ будет равна 160;50
градусам. Следовательно, обе дуги, АА и ЕГ, взятые вместе, составят
недостающие до полуокружности 19; 10 градусов; поскольку же они равны,
каждая из них будет равняться тем же самым 9;35 градусам, на которые
истинное положение Луны в первом затмении отставало от восходящего
узла, а во втором опережало нисходящий. И, следовательно, вся дуга AZ
равна 10;34 градусам, остающаяся же НГ равна 9;22 градусам. Таким
образом, среднее положение Луны для первого затмения отставало на 10;34
градусов от восходящего узла и отстояло на 280; 34 градусов от северного з«
предела В; во втором же затмении оно опережало на 9;22 градусов
нисходящий узел и отстояло от того же северного предела на 80;38
64
градусов .
   Наконец, поскольку время, прошедшее от начальной эпохи до средней
фазы первого затмения, соответствует 286; 19 градусам прибавления широты,
то, отняв их от 280;34 градусов, соответствующих эпохе первого затмения
(после прибавления к последним полной окружности), мы получим для
первого года Набонассара, в полдень 1-го числа египетского месяца Тот в
качестве эпохи периодического изменения широты 354; 15 градуса, начиная
от северного предела.
   Так как для вычисления новолуний и полнолуний нам не понадобится
второе неравенство, которое мы еще разберем в дальнейшем, то мы при
помощи геометрических расчетов составим таблицу значений для отдельных
дуг [уравнения аномалии], как мы это сделали в теории движения Солнца65.
В данном случае воспользуемся отношением [радиуса деферента к радиусу
эпицикла] 60 к 51/4- Точно так же для прилегающих к апогею квадрантов
примем деления по 6 градусов, а для прилегающих к перигею — по 3
градуса, так что форма этой таблицы будет такой же, как таблицы Солнца; ззб
она содержит 45 строк и 3 столбца, из которых два первых дают числа
градусов аномалии, а третий — соответствующие каждой дуге простаферезы,
причем вычитание при расчете долготы и широты производится, когда число,
получаемое для аномалии при отсчете от апогея эпицикла, будет меньше
180 градусов, а прибавление, когда оно больше 180 градусов. И упомянутая
таблица такова.

338	11. О том, что разница принятой Гиппархом величины лунного
неравенства и найденной нами получается не от различия
сделанных предположений, но вследствие вычислений
   Так вот, после того, что было выше показано, пожалуй, с правом мог
бы кто-нибудь спросить: по какой причине отношение [эксцентриситета],
полученное Гиппархом из лунных затмений для определения указанного
неравенства, не совпадает с тем, которое было найдено нами, и почему
первое отношение, полученное им по теории эксцентра, не совпадает со
вторым, вычисленным ло теории эпицикла? Действительно, в первом своем
доказательстве Гиппарх находит, что отношение радиуса эксцентра к
расстоянию между центрами его круга и круга, проходящего через середины
знаков зодиака, будет приблизительно таким же, как у 3144 к 3272/з, что
тождественно с отношением 60 к 6; 15; во втором же доказательстве он
получает, что отношение радиуса круга через середины знаков зодиака (до
центра эпицикла) к радиусу самого эпицикла будет таким же, как у 31221/2
к 2471/2, что тождественно с отношением 60 к 4;46. Но наибольшее уравнение
аномалии при отношении 60 к 61/4 получается равным 5;49 градусам, а
339	при отношении 60 к 4;46 — только 4;34 градусам; по нашим же расчетам
при отношении 60 к 51/4 соответствующая разность будет приблизительно
5 градусов66.
А что такая погрешность получилась не вследствие несогласия основных
предположений [об эпицикле и эксцентре], как полагают некоторые67, мы
выяснили в приведенных немного раньше рассуждениях, а именно [мы
выяснили ], что явления остаются одними и теми же при каждой из основных
гипотез; а если бы мы захотели произвести расчеты на числах, то мы сог-
ласно обеим гипотезам получили бы то же самое отношение, если, конечно,
для каждой гипотезы мы будем исходить из одних и тех же наблюдений,
а не из различных, как это делает Гиппарх. Действительно, если взять не

одни и те же затмения, то погрешность может получиться или в самих
наблюдениях, или в вычислениях промежутков времени. Действительно, мы
убедимся в дальнейшем, что хотя в этих затмениях [использованных
Гиппархом] сизигии были наблюдены правильно и вполне согласуются с
определенными нами положениями о равномерном и неравномерном
движениях, но вычисления промежутков времени, при помощи которых
определяется количественная величина отношения, не были произведены
fro
наиболее тщательным образом . Докажем каждое из этих положений исходя
из трех первых затмений.
   Гиппарх говорит, что эти три затмения были взяты из наблюдений, 340
полученных из Вавилона и именно там произведенных; первое затмение
произошло в архонтат Фанострата в Афинах в месяце Посидеоне; Луна
затмилась лишь в небольшой части диска со стороны летнего восхода,
причем от ночи оставалось полчаса. «Луна, — говорит он, — закатилась
еще в затмении». Это время соответствует 366 году от Набонассара,
египетскому месяцу Тот, как говорит он сам, с 26-го на 27-е число, через
51/2 часов местного времени после полуночи, так как ночи еще оставалось
полчаса69. Но поскольку Солнце находилось в конце Стрельца, то в Вавилоне
час ночи соответствует 18 временным градусам, ибо ночь равна 14%
равноденственным часам; следовательно, 5V2 часов местного времени
соответствуют 6У5 равноденственным часам. Таким образом, начало затмения
было в 18У5 равноденственных часов после полудня 26-го числа. Поскольку
же затмилась лишь небольшая часть, то все время затмения должно было
равняться приблизительно IV2 часу, и средняя фаза, очевидно, была в 191/з
равноденственных часов. .Следовательно, в Александрии средняя фаза
затмения была в 181/2 равноденственных часов после полудня 26-го числа. 341
И время, прошедшее от эпохи первого года Набонассара до рассматривае-
мого, составляет 365 египетских годов, 25 дней и 181/2 часов по обычному
счету, или 181/4 по точному. Если для этого времени мы произведем расчеты
на основании принятых нами основных положений, то найдем, что истинное
положение Солнца было на 28; 18 градусах Стрельца. Луна же в среднем
движении находилась на 24;20 градусах Близнецов, а в истинном — на
28; 17, так как по аномалии она отстояла на 227;43 градусов от апогея
70
эпицикла .
   Далее Гиппарх говорит, что следующее затмение произошло в архонтат
Фанострата в Афинах в месяце Скирофорионе, а по-египетски — в месяце
Фаменот, с 24-го на 25-е число. По его словам, Луна затмилась от точки
летнего восхода в течение первого часа ночи. Это время соответствует 366
году Набонассара и ночи с 24-го на 25-е число месяца Фаменот, самое
большее за SV2 часов местного времени до полуночи71. Но так как Солнце
находилось тогда в конце Близнецов, то ночной час в Вавилоне равнялся
тогда 12 временным градусам, следовательно, 51/2 часов местного времени
дают 4% равноденственных часа. Значит, начало затмения было в 73/5
[6 + (6—42/5) ] равноденственных часов после полудня 24-го числа. Но так 342
как все время затмения равнялось, по записям, 3 часам, то, значит, средняя
фаза была в 9i/io равноденственных часов. Следовательно, в Александрии
она должна была произойти приблизительно через 81/4 равноденственных
часов после полудня 24-го числа. И время, прошедшее от вышеупомянутой
эпохи, составляет 365 египетских годов, 203 дня и 81/4 равноденственных
часов по обычному счету, или 71/2V3 по точному. Для этого времени точное

положение Солнца, как мы нашли, было на 21 ;46 градусе Близнецов, а
Луна в среднем движении находилась на 23;58 градусах Стрельца, в
истинном — на 21;48, так как по аномалии она отстояла на 27;37 градусов
от апогея эпицикла72. Промежуток времени, прошедший между первым и
вторым затмениями, получается равным 177 дням, 1ЗЗ/5 равноденственным
часам; число градусов, на которое передвинулось Солнце [по долготе],
равно 173;28, тогда как Гиппарх ведет свои расчеты, как будто бы указанный
промежуток времени равнялся 177 дням и 131/21/4 равноденственным часам,
что соответствует перемещению Солнца [по долготе] на 173 градуса без
1/8 части.
Третье же затмение, по его словам, произошло в архонтат Эвандра в
Афинах 1-го числа месяца Посидеона, по египетскому же счету с 16-го на
343 17-е число месяца Тот. Как он говорит, Луна затмилась полностью от
73
летнего восхода по истечении 4 часов [ночи] . Это время соответствует
367 году Набонассара, с 16-го на 17-е число месяца Тот, самое большее
за 21/2 часа до полуночи. Но так как Солнце находилось во второй трети
Стрельца, то в Вавилоне ночной час равнялся приблизительно 18 временным
градусам; следовательно, 21/г часа местного времени составляют 3 равно-
денственных часа. Таким образом, начало затмения было через 9
равноденственных часов после полудня 16-го числа. Но так как Луна
затмилась полностью, то все время затмения равнялось приблизительно 4
равноденственным часам, и, значит, средняя фаза была в 11 часов после
полудня; следовательно, в Александрии средняя фаза затмения должна была
произойти в IOi/б равноденственных часов после. полудня 16-го числа. И
время, прошедшее от принятой эпохи, составляет 366 египетских годов, 15
дней и IOi/б равноденственных часов по обычному счету, или 91/2I6 по
точному. Для этого времени мы находим Солнце в истинном движении на
17;30 градусах Стрельца, а Луну в среднем движении — на 17;21 градусах
Близнецов, в истинном же — на 17;28, так как по аномалии она отстояла
ш на 181; 12 градус от апогея эпицикла. Промежуток времени от второго до
третьего затмения получается равным 177 дням и 2 равноденственным
часам, или 175;44 градусам [по долготе], тогда как Гиппарх опять
предполагает, что этот промежуток времени равнялся 177 дням и  I2/3
равноденственному часу, или 1751/в градусам74. Таким образом, в вычисле-
нии промежутков времени он, по-видимому, ошибся: в днях — на l/б и
1/3 равноденственного часа в первом и втором промежутках, в градусах
же — приблизительно на З/5 градуса в обоих промежутках, что может дать
заметную разницу в величине отношения.
   Теперь перейдем к разобранным им далее трем последним затмениям,
которые, как он говорит, были наблюдены в Александрии. Первое из этих
затмений, говорит он, произошло в 54 год второго периода Калиппа, в
египетском месяце Месоре, 16-го числа, когда Луна начала затмеваться за
полчаса до своего восхода и полностью очистилась в половине третьего
75
часа . Таким образом, средняя фаза была в начале второго часа, за 5
часов местного времени до полуночи (за столько же и равноденственных),
345 так как Солнце находилось в конце Девы. Таким образом, в Александрии
средняя фаза затмения произошла через 7 равноденственных часов после
полудня 16-го числа. Время же, прошедшее от первого года эпохи
Набонассара, составляет 546 египетских годов, 345 дней и 7 равноденст-
венных часов по обычному счету, или 61/2 по точному, в это время мы

опять нашли, что Солнце в истинном движении находилось на 26;6 градусах
Девы, а Луна в среднем движении — на 22 градусах Рыб, в истинном
же — на 26; 7 градусах, так как по аномалии она отстояла на 300; 13
градусов от апогея эпицикла .
77
   Следующее затмение, говорит он, произошло в 55 году того же периода ,
9-го числа египетского месяца Мехира. Оно началось, когда уже прошло
78
5V3 часов ночи, и Луна затмилась полностью . Следовательно, начало
затмения было в 111/3 равноденственных часов после полудня 9-го числа;
Солнце находилось в конце Рыб; средняя фаза была через 131/3
равноденственных часов, поскольку затмение Луны было полным. И время,
прошедшее от начальной эпохи до сих пор, составляет 547 египетских годов, 346
158 дней и приблизительно 131/з равноденственных часов как по обычному,
так и по точному счету; для этого времени мы точно так же нашли, что
Солнце в истинном движении находилось на 26; 17 градусах Рыб, а Луна
в среднем движении — на 1;7 градусе Клешней, в истинном же — на
26; 16 градусах Девы, так как по аномалии она отстояла на 109;28 градусов
79   тч
от апогея . Время же, прошедшее между первым и вторым затмениями,
оказывается равным 178 дням и 6V2V3 равноденственным часам, или 180; 11
градусам, тогда как Гиппарх, производя свои расчеты, полагал, что этот
промежуток времени равнялся 178 дням и 6 равноденственным часам, или
же 180;20 градусам.
   Третье же затмение, говорит он, произошло в тот же самый 55 год
второго периода Калиппа, в египетском месяце Месоре, 5-го числа; началось
оно, когда уже прошло 6V3 часов ночи, и Луна затмилась полностью. И
средняя фаза затмения, говорит он, была самое большее около 81/3 часов,
ол
т.е. через 21/3 часа местного времени после полуночи . Но так как Солнце
находилось в середине Девы, то в Александрии ночной час равнялся
Н2/5 градусам времени; значит, 21/3 часа местного времени составляют
приблизительно 21/4 равноденственного часа. Таким образом, средняя фаза
была в Hi/4 часов после полудня 5-го числа. И опять время, прошедшее 347
от начальной эпохи до этого [момента], составляет 547 египетских годов,
334 дня и 141/4 равноденственных часов по обычному счету, или \3V2V4
по точному. Для этого времени мы нашли Солнце в истинном движении
на 15; 12 градусах Девы, а Луну в среднем движении — на 10;24 градусах
Рыб, в истинном же — на 15; 13, так как по аномалии она отстояла на
О 1
249; 9 градусов от апогея эпицикла . И промежуток времени между вторым
и третьим затмениями составляет 176 дней и 2/5 равноденственного часа,
или же 168;55 градусов, тогда как Гиппарх опять полагал этот промежуток
равным 176 дням и I1/3 равноденственному часу, или 168;33 градусам. И,
следовательно, отсюда видно, что в градусах он ошибся приблизительно на
градуса [по долготе],   а в днях — приблизительно на 1/21/3 и на
V2V3V10 частью одного равноденственного часа82, а это может произвести
заметную разницу в получающейся при данной гипотезе величине
отношения.
   Таким образом, мы выяснили причину упомянутого выше расхождения. 348
Мы можем поэтому с еще большим доверием относиться к полученной нами
величине отношения для неравенства в сизигиях Луны, тем более, что, как
оказалось, все эти затмения наилучшим образом согласуются с нашими
гипотезами.
   
Книга V

1. Об устройстве астролябии

   Поскольку для определения соединений с Солнцем, т.е. новолуний и
полнолуний и совершающихся во время них затмений, оказалось вполне
достаточным изложенное нами предположение о первом и простом
неравенстве, мы могли бы рассматривать только одно это неравенство.
Однако оно не оказывается достаточным для описания движения Луны в
других положениях относительно Солнца вследствие того, что, как мы
сказали, имеется и второе неравенство Луны, определяемое ее расстояниями
от Солнца; оно в обоих сизигиях сливается с первым, но становится
наибольшим в положениях, когда Луна делится пополам1. К этой догадке,
превратившейся потом в уверенность, мы пришли на основании наблюденных
и записанных Гиппархом движений Луны, а также и сделанных нами
самими наблюдений2 при помощи построенного для этой цели прибора,
который устроен следующим образом .
   Возьмем два точно обточенных кольца, поверхности которых квадратны
в сечениях [рис. 5-А]. Пусть они будут иметь подходящую величину и
повсюду будут равны и подобны друг другу. Соединим их по диаметру так,
чтобы их поверхности были взаимно
перпендикулярны; одно из них мы будем
рассматривать как круг, проходящий
через середины знаков зодиака [1], а
другой [2] — как полуденный [круг],
проходящий через полюсы зодиакального
[круга] и равноденственного. На этом
круге при помощи стороны вписанного
квадрата устанавливаем точки, изобра-
жающие полюсы круга через середины
знаков зодиака, и, вставив в них ци-
линдрики [е—е], выходящие с внешней
и внутренней поверхностей, прикрепляем
к внешним еще один круг [5], который
везде своей вогнутой поверхностью точно
касается выпуклой поверхности двух
соединенных кругов и может вращаться
по долготе вокруг упомянутых полюсов
круга через середины знаков. К внут-
ренним же цилиндрикам мы подобным
же образом прикрепляем другой круг [б], который везде выпуклой своей
поверхностью точно касается вогнутой поверхности обоих первых кругов и
также может вращаться по долготе вокруг тех же полюсов, что и внешний
   
136

V.l. Об устройстве астролябии


круг. Этот внутренний круг, а также тот, который обозначает проходящий
через середины знаков, делим на обычные 360 градусов окружности и,
насколько это возможно, также на более мелкие подразделения. Под
внутренним кругом из этих двух мы точно прилаживаем еще один тонкий
малый круг [7], имеющий два диаметрально противоположных отверстия
[Ъ—Ь], так, чтобы он мог вращаться в плоскости внутреннего круга по
направлению к тому или другому из упомянутых полюсов и позволял
производить наблюдения широты. Сделав все это описанным образом, на
круге, который мы предполагаем проходящим через оба полюса, отклады-
ваем от каждого из полюсов круга через середины знаков зодиака дугу,
равную определенной выше величине между полюсами круга через середины
знаков зодиака и равноденственного. Получающиеся концы этих дуг, тоже
диаметрально противоположные друг другу, прикрепляем [цилиндриками
d—d] к описанному в начале этого сочинения полуденному кругу [3, 4] 353
для наблюдений дуг полуденного круга между тропиками таким образом,
чтобы при установке его в том же положении, что и упомянутое ранее,
т.е. перпендикулярно плоскости горизонта, под соответствующим данному
климату поднятием полюса и, кроме того, параллельно плоскости естест-
венного меридиана, внутренний круг [7, 2 и др.] мог совершать вращения
вокруг полюсов равноденственного круга от восхода к западу в соответствии
4
с первым движением мира .
   Установив описанным образом этот прибор, когда можно одновременно
видеть над поверхностью Земли и Солнце, и Луну, приводим внешний круг
[5] астролябии приблизительно на тот градус, который в данный час
занимает Солнце, и поворачиваем круг, проходящий через полюсы [2,
d—d], так, чтобы соответствующее солнечному градусу сечение обоих кругов
было точно обращено к Солнцу, иными словами, чтобы оба круга, т.е.
[круг] через середины знаков зодиака [/] и проходящий через его полюсы
[5], затеняли друг друга, или, если мы наблюдаем какую-нибудь звезду,
так, чтобы, приложив один глаз к одной из сторон установленного внешнего
круга [5], под соответствующим градусом проходящего через середины
знаков зодиака [1], можно было с противоположной и параллельной стороны 354
круга видеть светило как бы приклеенным к обеим поверхностям в
проходящей через них плоскости. Другой же, т.е. внутренний круг [б],
астролябии, мы поворачиваем к Луне или к другому наблюдаемому светилу
так, чтобы Луну (или любой другой наблюдаемый объект) мы могли видеть
через оба отверстия [b—Ь] на внутреннем кольце [7], в то время, когда
Солнце (или другое упомянутое светило) находится там [где было указано
выше ]5.
   Таким образом мы можем определить соответствующий градус долготы
круга через середины знаков зодиака по делению равнозначного ему круга
[/] инструмента, которое находится в пересечении с внутренним кругом
[б], а расстояние в градусах по направлению к северу или к югу — на
круге [б], проходящем через полюсы круга [1], по делениям внутреннего
круга астролябии. Последнее [т.е. отклонение по широте] определяется
расстоянием между средней точкой верхнего6, визирного отверстия на
внутреннем вращающемся кольце [7] и линией, проведенной через центр
круга [проходящего] через середины зодиакальных созвездий.

2. О гипотезах двойного неравенства Луны
   Так как теперь [при помощи этого прибора] указанные наблюдения
становятся простыми, то оказалось, что расстояния Луны от Солнца, как
355 по записям Гиппарха, так и по нашим собственным наблюдениям, иногда
согласовывались с вычисленными по изложенной выше гипотезе, иногда же
расходились и отличались иногда мало, иногда же много. Когда же мы
больше стали размышлять о характере этого неравенства, то заметили, что
во время новолуний или полнолуний оно или дает очень мало, или
совершенно не дает никакой заметной погрешности, отличной от той,
которую могли бы произвести лунные параллаксы; в обоих же положениях
Луны, разделенной пополам, разница бывает наименьшей или даже
совершенно отсутствует, если Луна находится в апогее или перигее
эпицикла, и достигает максимума, если она находится в промежуточных
положениях; тогда получается самая большая разница по сравнению с
первым неравенством. Если первое неравенство приходится вычитать, то в
каждой из четвертей Луны разница определяется числом, меньшим того,
которое получается после вычитания первого неравенства, если же его надо
прибавлять, то — большим, при этом она возрастает пропорционально
величине первого простафереза. Таким образом, указанные особенности
позволили нам заключить, что лунный эпицикл следует предположить
356 движущимся по эксцентрическому кругу, причем он становится более
удаленным от Земли в новолуниях и полнолуниях и более близким в обоих
положениях Луны, разделенной пополам. Все это будет происходить [как
сказано выше], если мы добавим к первой гипотезе такое исправление.
   Вообразим в плоскости лунной орбиты круг, концентрический с
проходящим через середины знаков и движущийся [вследствие наличия
движения] по широте, как мы об этом говорили выше, против последова-
тельности знаков вокруг полюсов круга через середины знаков, перемещаясь
на столько, на сколько движение по широте опережает движение по долготе,
а Луна обращается по так называемому эпициклу, двигаясь против
последовательности знаков на дуге, прилегающей к апогею эпицикла,
соответственно восстановлению первой аномалии. В этой наклонной
плоскости мы предполагаем два равномерных движения, по направлению
противоположных друг другу, совершающихся оба вокруг центра круга через
середины знаков, причем одно из них увлекает центр эпицикла в
направлении последовательности знаков зодиака в соответствии с движением
по широте, а другое перемещает центр и апогей находящегося в той же
плоскости эксцентра, на котором всегда находится центр эпицикла; это
движение совершается против последовательности знаков, причем величина
его будет равна разности, которая получится, если мы вычтем [средний]
аргумент широты из удвоенной  [средней] элонгации, т.е. из разности
357	среднего лунного движения по долготе по сравнению с солнечным. Например,
если в один день центр эпицикла пройдет вследствие движения по широте
приблизительно 13; 14 градусов в направлении знаков, то на круге через
середины знаков он покажется передвинувшимся на 13; 11 градусов долготы
вследствие того, что весь наклонный круг отступит против последователь-
ности знаков на величину разности в 0;3 градусов; но апогей эксцентра в
свою очередь отступит против последовательности знаков на 11;9 градусов,
на которые удвоенные градусы элонгации, а именно 24;23, превышают 13; 14
градусов [аргумента] широты. Таким образом, вследствие противополож-

ности обоих этих движений, совершающихся, как мы сказали, вокруг центра
круга через середины знаков, движение центра эпицикла будет отличаться
от движения центра эксцентра на дугу, получающуюся после сложения
13;14 и 11;9 градусов, что приблизительно в два раза больше 12; 11,30
градусов элонгации. И вследствие этого в течение среднего месяца эпицикл
два раза обернется по эксцентру, причем возвращение к апогею эксцентра
предполагается совершающимся в средних теоретических новолуниях и
7
полнолуниях .
   Чтобы сделать это предположение более наглядным, вообразим опять в
наклонной плоскости лунной орбиты круг АВГД, концентрический с
проходящим через середины знаков [рис. 5.1]; пусть его центром будет
Е и диаметром АЕГ. Одновременно предположим,
что в точке А будут апогей эксцентра, центр
эпицикла, северный предел Луны, начало Овна и
среднее положение Солнца. Теперь в дневном
движении, как я говорю, вся эта плоскость
передвинется от А к А вокруг центра Е против
последовательности знаков примерно на 3 шестиде-
сятых градуса так, что А — северная граница —
окажется на 29;57 градусах Рыб. Два противопо-
ложных равномерных движения, совершаются ра-
диусом, соответствующим прямой ЕА, вокруг точки
Е — центра круга, концентрического с проходящим
через середины знаков. Я имею в виду, что в
течение одного дня проходящий через центр
эксцентра радиус, соответствующий ЕА, равномер-
но вращается против последовательности знаков и,
переходя, например, в ЕА, переносит апогей экс-
о
центра в А , причем дуга АД будет равной 11;9
градусам. Проходящий же через центр эпицикла
радиус [соответствующий ЕА] равномерно враща-
ется тоже вокруг Е в направлении последователь-
ности знаков и, переходя в положение ЕВ, переносит
центр эпицикла в Н и делает дугу АВ равной 13; 14
градусам. Таким образом центр Н эпицикла окажется
отстоящим от северного предела А на 13; 14 градусов
[среднего аргумента] широты, а от начала Овна —
на 13; 11 градусов долготы вследствие того, что
северный предел А при этом переместился на 29;57
градусов Рыб; от апогея же А эксцентра он окажется
на расстоянии, равном вместе взятым дугам АД и
АВ, т.е. 24;23 градусам, которые представляют
удвоенную дневную среднюю элонгацию. Так как оба эти движения
возвращают [точки] В и А одну к другой в течение половины длины среднего
[синодического] месяца, то ясно, что в четвертую часть этого же времени,
а также и в три четверти, они будут диаметрально противоположными друг
другу; это будет иметь место в средних теоретических квадратурах.
Находящийся на ЕВ центр [Н] эпицикла, будучи диаметрально противо-
положным находящемуся на Е апогею эксцентра, окажется в его перигее.

   Очевидно, что при таком положении самого эксцентра, т.е. при
отсутствии подобия дуг АВ и АН, не получится никаких изменений в
збо равномерном движении, поскольку равномерное движение прямой ЕВ
отсчитывается не по дуге АН эксцентра, но по дуге АВ круга через середины
знаков, так как вращение происходит вокруг Е, а не вокруг центра Z
эксцентра. Если же пренебречь разницей, которая получается на самом
эпицикле, когда он приближается к перигею, то уравнение от аномалии,
прибавляемое или вычитаемое, всегда увеличивается вследствие увеличения
угла, под которым эпицикл воспринимается глазом наблюдателя; этот угол
возрастает в более близких к Земле положениях.
   Таким образом, вообще не будет никакой разницы по сравнению с
первой гипотезой, если центр эпицикла будет в апогее А и эпицикл будет
находиться в положениях, соответствующих среднему теоретическому ново-
лунию или полнолунию.
    Если мы около точки А опишем эпицикл MN [рис. 5.2], то отношение
АЕ к AM будет тем же самым, какое было найдено при помощи затмений;
наибольшая разница будет, когда эпицикл будет проходить через наиболее
м близкую к Земле точку Н эксцентра, т.е. когда он займет положение
НО. Это также будет происходить в средних теоретических положениях
Луны, разделенной пополам, ибо отношение НН к НЕ будет наибольшим
из всех получающихся в других положениях, так как, поскольку радиус
НН эпицикла остается всегда одним и тем же, проведенная из центра Земли
прямая ЕН будет меньше всех других соединяющих прямых, проведенных
к эксцентру.
       
       3. О величине неравенства Луны,
зависящего от положения относительно Солнца
    
    Чтобы определить наибольшую величину разности из-за этого неравен-
ства, когда эпицикл в своем движении оказывается в наиболее близких к
Земле местах эксцентра, мы пересмотрели все те из наблюденных расстояний
Луны от Солнца, в которых ее положения были близки к серединам
промежутков [между перигеем и апогеем эпицикла], ибо в таких случаях
получается наибольшая разность по сравнению с первым неравенством, а
ее расстояние от Солнца в среднем равнялось приблизительно четверти
окружности, когда эпицикл находился в наиболее близких к Земле местах
эксцентра и, кроме того, когда при соблюдении этих условий Луна не
:wi давала никакого параллакса по долготе. Если все эти условия соблюдены
и полученное из наблюдений видимое расстояние Луны по долготе совпадает
с истинным, то можно было бы надежно определить искомую разность из-за
второго неравенства9. И вот из рассмотрения таких наблюдений мы пришли
к выводу, что когда эпицикл находился на самом близком расстоянии от
Земли, то наибольшая разность из-за неравенства по сравнению со средним
положением составляла приблизительно 7Уз градусов или, если учесть первое
неравенство, отличалось от него на 2Уз градуса.
   Чтобы наглядно показать, как производится это определение по одному
или двум наблюдениям, мы взяли наше наблюдение Солнца и Луны во 2
год Антонина 25-го числа египетского месяца Фаменот, после восхода
Солнца, за 51/4 равноденственных часов до полудня10. В то время Солнце
наблюдалось на	градусах Водолея, а в середине неба находился 4

градус   Стрельца,   видимое   положение  Луны   было   на   93/з   градусах
Скорпиона11. Таким же было и ее истинное положение, поскольку в
Александрии Луна, находясь в первых градусах Скорпиона и отстоя
приблизительно на IV2 час к западу от полуденного круга, не производит
никакого заметного параллакса по долготе . И время, прошедшее от эпохи
первого года Набонассара до наблюдения, составляло 885 египетских годов, звз
203 дня и I8V2I/4 равноденственных часов как по обычному, так и по
точному счету13. Для этого времени мы нашли, что Солнце в своем среднем
движении находилось на 16;27 градусах Водолея, а в истинном — на 18;50
градусах, как и было усмотрено при помощи астролябии. И в этот час по
гипотезе о первом неравенстве Луна должна была находиться в среднем
движении по долготе на 17;20 градусах Скорпиона, так что ее средняя
элонгация от Солнца равнялась приблизительно четверти окружности, в
движении же по аномалии она была на расстоянии 87; 19 градусов от апогея
эпицикла,  т.е.  как  раз  когда  получается  наибольшая  разность  из-за
неравенства14. Таким образом, истинное положение оказалось меньше
среднего на 72/3 градусов вместо 5 градусов, которые получились бы
вследствие первого неравенства.
   Далее, чтобы показать, как в аналогичных условиях мы получили такую
же разницу из наблюдений Гиппарха, мы приводим одно из них, которое,
как он говорит, было сделано в 51 году третьего периода Калиппа, 16-го
числа египетского месяца Эпифи15, по истечении 2/3 первого часа. Он
говорит, что «бег Луны был на 241 градусе16, Солнце усматривалось на
SV2V12 градусах Льва, а видимое положение Луны было на 121/з градусах
Тельца; приблизительно таким же было и ее истинное положение». Таким
образом, наблюдаемое истинное расстояние между Солнцем и Луной было
86; 15 градусов. Но так как Солнце находилось в первых градусах Льва,
то на Родосе, где производилось наблюдение, 1 дневной час равнялся
171/з временным градусам, следовательно, 51/3 часов до полудня по местному 364
времени составляют 6Ц5 равноденственных часов, так что наблюдение
произошло за 61/б часов до полудня 16-го числа, причем в середине неба
стоял 9 градус Тельца. Таким образом, и тогда время, прошедшее от
указанной выше эпохи до наблюдения, составляло 619 египетских годов,
314 дней и I7V2I/3 равноденственных часов по обычному счету, а по
точному — 171/2 V4 • Для этого времени мы нашли согласно нашим
гипотезам (поскольку Родос и Александрия лежат на одном меридиане),
что Солнце в среднем движении было на 10;27 градусах Льва, в истинном
же — на 8;20, а Луна в среднем движении по долготе находилась на 4;25
градусах Тельца, что опять дает среднюю элонгацию приблизительно в
четверть окружности, а по аномалии — на 257;47 градусах от апогея
эпицикла; на этом расстоянии разница из-за неравенства по гипотезе с
эпициклом получается опять наибольшей18. Следовательно, расстояние от
среднего положения Луны до истинного положения Солнца получается
равным 93;55 градусам. Наблюденное же расстояние от истинного положения
Луны до истинного положения Солнца было 86; 15 градусов; следовательно,
наблюденное истинное положение Луны было больше среднего опять на
72/3 градусов вместо 5, которые получились бы по первой гипотезе. Таким
образом, выяснилось, что из двух этих наблюдений, сделанных в последней
четверти, наше [наблюдение] по сравнению с положением, вычисленным 365

на основе первого неравенства, оказалось с недостатком в 22/з градуса, а
наблюдение Гиппарха — с таким же избытком; таким образом, у нас вся
обусловленная аномалией разность оказалась вычитаемой, у Гиппарха же
прибавляемой. Также и из многих других подобных наблюдений мы нашли,
что наибольшая величина разности от аномалии оказывается приблизительно
равной 72/з градусам в тех случаях, когда эпицикл находится в перигейной
части эксцентра.

4. О величине отношения для эксцентриситета лунной орбиты
    После того как все это установлено, возьмем эксцентрический круг
Луны АВГ с центром Д и диаметром АДГ [рис. 5.3], на котором
предположим находящимся центр круга Е через середины знаков зодиака,
так что точка А будет апогейной точкой эксцентра, а Г — перигейной.
Из центра Г опишем лунный эпицикл ZH0, проведем к нему касательную
E0B и соединительную прямую Г0.

   Так как при нахождении Луны на направлении касательной к эпициклу
получается наибольшая величина разности от аномалии, причем эта разница
366 по вычислениям оказалась равна 1Щ градусам, то
и угол ГЕ0 с вершиной в центре круга через
середины знаков был бы равен 7;40 градусам, каких
в четырех прямых имеется 360, или 15;20 градусам,
каких 360 будет в двух прямых углах. Следова-
тельно, дуга на прямой Г0 будет равна 15;20
градусам, каких в круге, описанном около прямо-
угольного треугольника ГЕ0, имеется 360, а стяги-
вающая эту дугу прямая Г0 будет равна при-
близительно 16 таким частям, каких в гипотенузе
ГЕ содержится 120. Таким образом, если радиус
Г0 эпицикла равняется, как показано, 5; 15 частям,
а прямая ЕА, проведенная от центра круга через
середины знаков до апогея эксцентра, равняется 60,
то прямая ЕГ, проведенная из этого же центра к
перигею эксцентра, будет равна 39;22 таким же
частям. И, следовательно, весь диаметр АГ будет равняться 99;22 таким
частям, радиус ДА эксцентра — 49;41 частям, а расстояние ЕД между
центрами круга через середины знаков и эксцентра — 10; 19 частям. Таким
образом, мы продемонстрировали величину отношения, соответствующего
19
эксцентриситету .

5. О «наклонении» лунного эпицикла

20

   Что касается явлений, происходящих в сизигиях, а также в положениях
Луны, разделенной пополам, то до сих пор можно было бы обойтись
гипотезами о ее кругах, рассмотренными выше; в отдельных же наблюдаемых
ее положениях, когда она является в виде серпа, или двояковыпуклой,
особенно когда эпицикл оказывается между апогеем и перигеем эксцентра,
мы находим  в  явлениях Луны  некоторые особенности,  зависящие от
21
«наклонения» эпицикла . В эпициклах следует предполагать вообще одну
какую-нибудь, и притом одну и ту же, точку, в которой необходимо должны
всегда заканчиваться  [равномерные] возвращения в движениях по эпи-

циклам; назовем эту точку средним апогеем и будем отсчитывать от нее
как от начала расстояния, пройденные в движениях по эпициклу. Пусть
на приложенном чертеже [рис. 5.3] эта точка будет Z. Она определяется
при нахождении эпицикла на линии, содержащей апогей и перигей
эксцентра, при помощи прямой, проведенной через все эти центры, как
[это показано] на нашем чертеже ДЕГ.
    Что касается всех других гипотез [в которых используется эпицикл],
то в явлениях мы не видим ничего могущего противоречить предположению, зев
что в других положениях эпицикла [не совпадающих с линией апсид]
проходящий через упомянутый апогей диаметр ZTCi эпицикла всегда
сохраняет одно и то же положение относительно прямой, равномерно
передвигающей его центр, как в нашем случае ЕГ, и, как это необходимо
следовало бы предположить, всегда направленной к центру вращения, вокруг
которого в равные времена описываются равные углы равномерного
движения. Но для Луны имеются явления, которые не позволяют
утверждать, что в положениях эпицикла между А и Г диаметр ZH направлен
к центру вращения Е и что он сохраняет то же положение относительно
ЕГ. Действительно, мы нашли, что хотя упомянутое направление [диаметр
ZH] остается всегда неизменным по отношению к одной и той же точке
диаметра АГ, но эта точка не есть центр Е круга через середины знаков
и не центр Д эксцентра, но некоторая точка, отстоящая от Е в направлении
к  перигею  эксцентра  на   расстояние,   равное  расстоянию  ДЕ  между
центрами . Что дело именно так и обстоит, мы покажем опять на основании
большого количества наблюдений, выбрав из них два, которые лучше всего
могли бы проиллюстрировать сказанное, а именно [такие наблюдения], в
которых эпицикл находился на средних расстояниях , а Луна была в апогее зб°
или перигее эпицикла24; именно в таких положениях получается наибольшая
разница упомянутых наклонов [диаметра эпицикла].
Так вот, Гиппарх пишет, что он на Родосе наблюдал при помощи
тс
инструментов Солнце и Луну   в 197 году после смерти Александра, 11-го
числа египетского месяца Фармути , в начале второго часа. Он говорит,
что, когда Солнце наблюдалось на 71/2Ц градусах Тельца, центр Луны
казался находящимся на 21Уз градусе Рыб, а точно — на 2IV3V& градусе .
Следовательно, в описываемое время расстояние между истинными поло-
жениями Луны и Солнца составляло приблизительно 313;42 градусов в
направлении последовательности знаков. Но так как наблюдение было
произведено в начале второго часа, то это по местному времени соответствует
приблизительно 5 часам до полудня 11-го числа; на Родосе они тогда
соответствовали приблизительно 52/з равноденственным часам. Время от
установленной нами эпохи до момента наблюдения получается равным 620
египетским годам, 219 дням и I8I/3 равноденственным часам по обычному
счету, или же 18 — по точному. Для этого времени мы находим, что в
среднем движении Солнце находилось на 6;41 градусах Тельца, а в
истинном — на 7;45, Луна же в среднем движении по долготе была на
22;13 градусах Рыб, а по аномалии — на 185;30 градусах от среднего зю
апогея эпицикла, так что расстояние среднего положения Луны от истинного
положения Солнца получилось равным 314;28 градусам28.
    При таких предположениях пусть АВГ [рис. 5.4 ] будет эксцентрическим
кругом Луны около центра Д с диаметром АДГ, на котором будет центр
    
круга, проходящего через середины знаков. Из центра В опишем лунный
эпицикл ZH0 и будем передвигать эпицикл в направлении последователь-
ности знаков, т.е. от В к А, а Луну по эпициклу — в направлении от
Z к Н и 0; затем проведем соединяющие прямые ДВ и E0BZ.
   Так как в течение среднего месяца совершается два оборота эпицикла
по эксцентру и в рассматриваемом положении средняя Луна отстояла от
среднего Солнца на 315;32 градусов, то, удвоив эту величину и вычтя
целую окружность, получим соот-
ветствующее этому времени расстоя-
ние эпицикла от апогея эксцентра,
а именно 271 ;4 градус в направ-
лении последовательности знаков.
Таким образом, угол АЕВ будет
равняться недостающим до четырех
прямых углов 88;56 градусам. Из
Д на ЕВ опустим перпендикуляр
ДК. Так как угол ДЕВ равен 88;56
градусам, 360 которых составляют
четыре прямых угла, или 177;52
таким, каких будет 360 в двух
прямых углах, то построенная на
ДК дуга будет содержать 177;52
градусов, каких в окружности около
прямоугольного треугольника ДЕК
будет 360, а дуга на ЕК будет
равняться остальным 2;8 градусам, не достающим до полуокружности.
Следовательно, из стягиваемых этими дугами прямых ДК будет содержать
119;59 частей, а ЕК — 2;14 части, каких в диаметре ДЕ имеется 120.
Значит, если расстояние ДЕ между центрами равно 10; 19, а проведенная
из центра эксцентра прямая ДВ равна 49;41, то в прямой ДК таких частей
будет тоже приблизительно 10; 19, а в ЕК — 0;12. И так как после
вычитания квадрата ДК из квадрата ДВ получается квадрат ВК, то получим,
что ВК равняется 48;36 таким же частям, а вся BE — 48;48.
   Затем, так как расстояние средней Луны от истинного Солнца получилось
равным 314;28 градусам, а расстояние между истинными положениями по
наблюдениям равнялось 313;42, так что вычитаемая вследствие неравенства
разность составляет 0;46, а среднее положение Луны усматривалось по
направлению прямой ЕВ, то предположим, что Луна, бывшая около перигея
эпицикла, находится в точке Н; проведя соединительные прямые ЕН и
ВН, опустим из В на продолжение ЕН перпендикуляр ВА. Так как угол
ВЕЛ представляет разность вследствие неравенства Луны, то он будет равен
0;46 градусов, 360 которых составляют четыре прямых угла, или 1;32
такому, каких 360 будет в двух прямых углах. Таким образом, дуга на
прямой ВЛ будет равна 1;32 градусу, каких в окружности около
прямоугольного треугольника ЕВЛ будет 360, а стягиваемая ею прямая
ВЛ равна 1;36 части, каких в гипотенузе ЕВ будет 120. Таким образом,
если прямая BE равна 48;48 частям, а радиус ВН эпицикла — 5; 15, то в
прямой ВЛ таких частей будет 0;39. И, следовательно, если радиус ВН
эпицикла принять за 120, то прямая ВЛ будет равна 14;52 таким частям,
а стягиваемая ею дуга — 14; 14 градусам, каких в описанной около
прямоугольного треугольника ВНЛ окружности будет 360. Следовательно,
   
угол ВНЛ будет равен 14; 14 градусам, каких в двух прямых углах
содержится 360, а остающийся угол ЕВН равен 12; 42 таким же градусам,
или же 6;21, каких в четырех прямых углах будет 360. Следовательно,
стольким градусам будет равна дуга Н0 эпицикла, представляющая
расстояние Луны от истинного перигея.
    Но так как в момент наблюдения Луна отстояла на 185;30 градусов от
среднего апогея, то ясно, что средний перигей будет предшествовать Луне,
т.е. точке Н. Тогда пусть он будет в точке М. Проведем прямую BMN и
из точки Е опустим на нее перпендикуляр ЕЗ. Так как согласно доказанному
дуга 0Н равнялась 6;21 градусам, а НМ предполагается равной 5;30 градусам
расстояния от перигея, так что вся дуга 0М получается равной 11;51
градусам, то и угол ЕВЕ будет равняться 11;51 градусам, каких в четырех
прямых углах содержится 360, или 23;42 таким, каких в двух прямых
углах будет 360. Таким образом, и дуга на прямой ES будет равна 23;42
градусам, каких в окружности около прямоугольного треугольника BEE
содержится 360, а сама прямая ЕЕ равна 24;39 частям, каких в гипотенузе
BE содержится 120. И, следовательно, если прямая BE равна 48;48, то в
прямой ЕЕ таких частей будет 10;2. Далее, так как. угол АЕВ равнялся 374
177;52 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360, а угол
EBN равнялся 23;42 таким же градусам, то получающийся в остатке угол
ENB будет равен 154; 10 таким же градусам. Следовательно, дуга на прямой
ЕЕ равна 154; 10 градусам, каких в описанной около прямоугольного
треугольника ENE окружности содержится 360, а сама прямая ЕЕ равна
116;58 частям, каких в гипотенузе EN имеется 120. И, следовательно, если
прямая ЕЕ равна 10;2, а расстояние ДЕ между центрами 10; 19, то в прямой
EN таких частей будет 10; 18. Следовательно, проходящая через средний
перигей прямая ВМ, направленная к N, отсекла отрезок EN, приблизительно
равный ДЕ.
   Аналогично этому для доказательства того, что то же самое происходит
и в противоположных частях эксцентра и эпицикла, мы выбрали, как уже
сказали, из расстояний, наблюденных на Родосе Гиппархом, то, которое
было усмотрено им в том же самом 197 году после смерти Александра, 375
17-го числа египетского месяца Паини , в 91/з часов. В этом наблюдении,
говорит он, Солнце усматривалось на 11 без Via градусах Рака, и видимое
положение Луны было самое большее на 29 градусах Льва. Это было и
истинное ее положение, так как на Родосе приблизительно через один час
после полудня Луна, находясь в конце Льва, не дает никакого параллакса
по долготе . Следовательно, в упомянутое время расстояние между
истинными положениями Солнца и Луны было 48 ;6 градусов в направлении
последовательности знаков. Но так как наблюдение было сделано 17-го
числа месяца Паини, через З1/3 часа после полудня местного времени,
которые тогда на Родосе составляли приблизительно 4 равноденственных
часа, то прошедшее время от принятой нами эпохи до наблюдения составляет
620 египетских годов, 286 дней и 4 равноденственных часа по обычному
счету, или 32/3 часа по точному. Для этого времени мы точно так же
находим, что среднее Солнце было на 12;5 градусах Рака, истинное же —
на 10;40, а среднее положение Луны по долготе было на 27;20 градусах
Льва. Таким образом, расстояние от среднего положения Луны до истинного
положения Солнца составляет 46;40 градусов, а аномалия, отсчитанная от
среднего апогея эпицикла, равнялась 333; 12 градусам31.

   Установив это, возьмем опять эксцентрический круг Луны АВГ с центром
Д и диаметром АДГ [рис. 5.5]. Пусть на этом диаметре находится центр
Е круга через середины знаков; около точки В опишем лунный эпицикл
ZH© и проведем соединительные прямые ДВ и E0BZ.

   Теперь, так как удвоенная средняя элонгация Солнца и Луны содержит
90;30 градусов, то согласно усмотренному выше угол АЕВ содержит 90;30
градусов, каких в четырех прямых углах будет 360, или же 181 таких,
каких 360 будет в двух прямых углах.
Следовательно, если, продолжив BE,
опустим на нее из Д перпендикуляр
ДК,   то   угол   ДЕК   будет   равным
дополняющим до двух прямых углов
179 градусам. Таким образом, дуга
на прямой ДК будет равна 179 таким
градусам, каких в описанной около
прямоугольного   треугольника   ДЕК
окружности содержится 360, а дуга
над  прямой  ЕК  равна   1   градусу,
дополняющему  до   полуокружности, м
И,   следовательно,   из   стягиваемых z
ими прямых ДК будет равна 119;59
частям, каких в гипотенузе ДЕ со-
держится 120, а ЕК равна 1;3 такой	Г
же части. Таким образом, если рас-                       Рис 55
стояние ДЕ между центрами равно
10; 19, а радиус ВД эксцентра 49;41, то прямая ДК будет равна
приблизительно 10; 19 таким частям, а ЕК — 0;5. И так как квадрат
ДК, вычтенный из квадрата ВД, дает квадрат ВК, то мы получим, что вся
прямая ВК равна 48;36, а разность ЕВ — 48;31 таким же частям.
   Затем, так как расстояние среднего положения Луны от истинного
положения Солнца равнялось 46;40 градусам, а расстояние между истинными
положениями — 48;6, то разность вследствие неравенства в 1;26 градус
приходится прибавлять. Предположим, что Луна, поскольку она находится
около апогея эпицикла, будет в точке Н. Проведя соединительные прямые
ЕН и ВН, опустим на ЕН из В перпендикуляр ВА.
   Так как угол ВЕД равен 1;26 градусу, 360 которых дают четыре прямых
угла, или 2;52 градусам, каких 360 равны двум прямым углам, то дуга на
прямой ВД равна 2;52 градусам, каких в описанной около прямоугольного
треугольника ВЕЛ окружности содержится 360, сама же прямая ВЛ равна
2;59 частям, каких в гипотенузе ЕВ имеется 120. Следовательно, если
прямая ЕВ равна 48;31 частям, а радиус ВН эпицикла — 5; 15, то в прямой
ВЛ таких частей будет 1;12. Таким образом, если принять гипотенузу
ВН за 120, то ВЛ будет равна 27;34 таким частям32, а стягиваемая ею дуга —
26;34 градусам, каких в описанной около прямоугольного треугольника
ВНЛ окружности содержится 360. И, значит, угол ВНЛ будет равен 26;34
градусам, каких в двух прямых углах будет 360; весь же угол ZBH будет
равен 29;26 таким градусам, или 14;43 таким, каких в четырех прямых
углах содержится 360. Следовательно, стольким же градусам будет равна дуга
HZ эпицикла, представляющая расстояние от Луны до истинного апогея.

   Но так как во время наблюдения Луна отстояла от среднего апогея на
333; 12 градуса, то, если предположить, что средний апогей [находится] в
М, проведем соединяющую прямую MBN и из точки Е опустим на нее
перпендикуляр ЕЕ, вся дуга HZM будет равна дополняющим до полной
окружности 26;48 градусам, а остаток ZM — 12;5 градусам. Таким образом,
угол MBZ или ЕВЕ будет равен 12;5 градусам, 360 которых составляют
четыре прямых угла, или 24; 10 таким, 360 которых равны двум прямым
углам; и дуга на ЕЕ будет равна 24; 10 градусам, каких в описанной около
прямоугольного треугольника BEE окружности будет 360. Сама же прямая
ЕЕ равна 25;7 таким частям, каких в гипотенузе BE содержится 120. И, 3"
следовательно, если прямая BE равна 48;31, а расстояние ДЕ между
центрами 10; 19, то прямая ЕЕ таких частей будет содержать 10;8. Затем,
так как угол АЕВ предполагается содержащим 181 такой градус, 360 которых
равны двум прямым углам, а угол EBN по доказанному равен 24; 10, так
что остающийся угол ENB содержит 15б;50 таких градусов, то и дуга на
прямой ЕЕ окажется равной 156;50 градусам, каких в описанной около
прямоугольного треугольника ENE окружности будет 360, сама же прямая
ЕЕ равна 117;33 частям, каких в гипотенузе EN будет 120. И, следовательно,
если прямая ЕЕ равна Ю;8, а расстояние ДЕ между центрами 10; 19, то в
EN таких частей будет 10;20. И поэтому проведенная через средний апогей
М прямая MB, направленная к N, тоже отсекает отрезок EN, приблизительно
равный расстоянию ДЕ между центрами.
   И мы нашли, что приблизительно такие же отношения получаются и
из многих других наблюдений, так что это укрепляет наше предположение,
что Луне свойственно некоторое «наклонение» в положении эпицикла,
причем центр эпицикла совершает полный оборот вокруг центра Е круга,
проходящего через середины знаков, но диаметр его, определяющий
положение среднего апогея, никак не будет направлен к центру Е зво
равномерного вращения, как у других планет, но всегда пойдет к
находящейся с другой стороны точке N на расстоянии, равном расстоянию
ДЕ между центрами.

6. О том, как геометрически по периодическим движениям
определяется истинное положение Луны
   Доказав все это рассмотренным выше методом, мы должны коснуться
того, каким образом для отдельных положений Луны после установления
величин средних движений по численным значениям элонгации и положению
Луны на эпицикле определить прибавляемый или вычитаемый простаферез,
дающий поправку для среднего движения Луны по долготе, обусловленную
происходящей от аномалии разностью. Определение величины этой поправки
на основании теорем, подобных вышеизложенным, производится при помощи
геометрических построении .
   Действительно, для примера на последнем из приведенных выше
чертежей [рис. 5.5] возьмем те же самые периодические движения для
элонгации и аномалии, т.е. для элонгации — получающиеся из удвоения
90;30 градусов, а для аномалии — 333; 12 градуса расстояния от среднего зв1
апогея эпицикла [рис. 5.6]. Вместо перпендикуляра ЕЕ проведем NE, а
также НА вместо ВА. При помощи тех же самых рассуждений по заданным
углам при центре Е и равным между собой гипотенузам ДЕ и EN покажем,
что каждая из прямых ДК и NE составляет приблизительно 10; 19 таких
частей, каких в радиусе ДВ эксцентра имеется 49;41, а в радиусе ВН
   

эпицикла 5; 15; каждая из прямых ЕК и ЕЕ будет равна 0;5 таких же
частей, а вследствие этого вся ВК, как мы показали ранее, будет равна
48;36 таким же частям, и также BE равна 48;31, a BE — остающимся
48;26 частям. Таким образом, поскольку сумма квадратов на BE и EN дает
квадрат на BN, длина последней линии получится равной 49;31 таким
частям, каких в прямой NE содержалось 10; 19. И, следовательно, если
гипотенуза BN равна 120, то в
прямой NE таких частей будет
приблизительно 25, а стягиваемая
ею дуга равна 24;3 градусам, каких
в описанной около прямоугольного
треугольника BNE окружности име-
ется 360. Таким образом, угол
NBE, или ZBM, будет равен 24;3
градусам, 360 которых составляют
два прямых угла, или приблизитель-
но 12; 1 таким, каких 360 со-
держится в четырех прямых углах.
Следовательно, стольким граду- м
сам [ 12; 1 ] будет равна дуга ZM
эпицикла.
   Но так как точка Н, в которой
находится Луна, отстоит от среднего
апогея М на дополняющие до одной	Г
окружности 26;48 градусов, то мы	Рис 5 6
получим, что остающаяся дуга HZ
будет равна 14;47 градусам. Таким образом, и угол HBZ будет равен 14;47
градусам, 360 которых составляют четыре прямых угла, или 29;34 таким,
360 которых равняются двум прямым углам; и стоящая на НЛ дуга будет
равна 29;34 градусам, каких в описанной около прямоугольного треугольника
НВЛ окружности будет 360, а дуга на ЛВ равна остальным дополняющим
до полуокружности 150;26 градусам. И, значит, из стягивающих их прямых
НЛ будет равна 30;37 частям, каких в гипотенузе ВН имеется 120, а
ЛВ равна 116;2 таким же частям. Таким образом, если радиус ВН эпицикла
равняется 5; 15 частям, a BE, согласно доказанному, 48;31 частям, то в
НЛ таких частей будет 1;20, а в ЛВ таких же 5;5. И, следовательно, вся
ЕВЛ будет равна 53;36 таким частям, каких в ЛН было 1;20. И далее,
так как сумма квадратов на них дает квадрат на ЕН, то для длины ЕН
получим приблизительно 53;37 таких же части. Таким образом, если принять
гипотенузу ЕН за 120, то в НЛ таких частей будет 2;59, а стягиваемая
ею дуга равна 2;52 градусам, каких в описанной около прямоугольного
треугольника ЕНЛ окружности содержится 360. И, следовательно, опреде-
ляющий разность от аномалии угол НЕЛ будет равен 2;52 градусам, каких
в двух прямых углах будет 360, или 1;26 градусу, каких 360 имеется в
четырех прямых углах. Это и требовалось показать.
7. Построение таблицы для полного неравенства Луны
   Чтобы при помощи табличных данных дать способ простого определения
простаферезов для отдельных положений, мы дополнили уже приведенную
нами выше таблицу для простого неравенства34, присоединив к ней столбцы,
при помощи которых можно удобно ввести поправку и на второе неравенство.

При се составлении мы воспользовались опять теми же геометрическими
методами. После первых двух столбцов, содержащих числа [аргумента] ,
мы поместили третий столбец, содержащий простаферезы для величины
аномалии, чтобы можно было составленное из средних движений расстояние
Луны от среднего апогея М пересчитать на истинный апогей Z. Мы нашли
их тем же самым способом, каким по заданной элонгации в 90;30 градусов
определили, что дуга ZM равна 12; 1 градусам (а это было сделано для
того, чтобы показать, что если Луна отстоит от среднего апогея М на
333; 12 градуса, то ее расстояние от истинного апогея получается после
сложения, очевидно, равным 345; 13 градусам, для каких и следует брать
обусловленные эпициклом простаферезы [добавляемые] к среднему дви-
жению по долготе). Так же и для других числовых значений элонгации
определяются по соответствующим отрезкам величины вышеупомянутых
простаферезов. Так вот, чтобы не говорить слишком много относительно
каждого отдельного случая, мы на основании таких же вычислений получили
числа, которые и поместили соответственно в третий столбец . Из
следующих столбцов четвертый содержит уже приведенные в первой таблице
величины неравенства, обусловленного эпициклом, в предположении, что
на основании отношения 60 к 5; 15 наибольший простаферез достигает
47
приблизительно 5;1 градусов . Пятый столбец содержит разности, получаю-
щиеся вследствие второго неравенства по сравнению с первым, при условии,
что здесь наибольший простаферез (согласно отношению 60 к 8) получается

после сложения равным 72/з градусам . Таким образом, четвертый столбец
определяет величину неравенства для положения эпицикла в апогее
эксцентра для сизигий, а пятый — избытки, прибавляемые к величине
неравенства, получающегося в перигее эксцентра, для положения Луны,
А	разделенной  пополам.   Чтобы  получать
также прибавляемые доли соответству-
ющих избытков и для промежуточных
положений эпицикла, мы добавили шестой
столбец, содержащий шестидесятые доли,
которые нужно для каждого значения
элонгации брать от соответствующей ве-
личины разницы и прибавлять к поме-
щенному  в  четвертом столбце  проста-
ферезу от первого неравенства39.
   И это было сделано нами следующим
образом40. Пусть АВГ [рис. 5.7] будет
опять эксцентрическим кругом Луны с
центром А и диаметром АДГ, на котором
предположим находящимся центр Е круга
Рис   5 7	.,
                                 через середины зодиакальных созвездии.
Взяв какую-нибудь дугу АВ и описав около В эпицикл ZH0K, проведем
прямую EBZ. Пусть, например, дано значение элонгации 60 градусов, так
что на основании доказанного выше угол АЕВ будет равен удвоенному
числу градусов заданной элонгации, т.е. 120. Из точки Д на продолжение
BE опустим перпендикуляр ДА, проведем прямую НВКА и предположим,
что проведенная из центра Е к Луне прямая EMN будет касательной к
эпициклу (чтобы получить наибольшее значение разности от неравенства),
и соединим В и М.
                                 
   Так как угол АЕВ предполагается равным 120 градусам, 360 которых
составляют четыре прямых угла, или 240 таким, 360 которых содержатся
в двух прямых углах, то угол ДЕЛ будет равняться дополняющим до двух
прямых углов 120 градусам. Таким образом, дуга на прямой ДЛ будет
равна 120 градусам, каких в описанной около прямоугольного треугольника
ДЕЛ содержится 360, а дуга на ЕЛ будет равна остальным дополняющим
до полукруга 60 градусам. И, следовательно, из стягивающих эти дуги
прямых ЕЛ будет равна 60 частям, каких в гипотенузе ДЕ содержится
387 120, а ДЛ равна 103;55 таким частям. Значит, если прямая ДЕ равна 10; 19
и точно так же ДВ равна 49;41, то в прямой ЕЛ таких частей будет
приблизительно 5; 10, а в ДЛ точно так же 8;56. И так как квадрат ДЛ,
вычтенный из квадрата ВД, дает в остатке квадрат ВЛ, то, значит, длина
всей прямой ВЕЛ будет равна 48;53, а остаток ЕВ — 43;43 частям, каких
в радиусе MB эпицикла будет 5; 15. Следовательно, если гипотенуза ЕВ
равна 120, то в прямой ВМ будет 14;25 таких частей, а в стягиваемой ею
дуге — 13;48 градусов, каких в описанной около прямоугольного треу-
гольника ВЕМ окружности будет 360. Значит, угол ВЕМ, представляющий
наибольшую разность от аномалии, равен 13;48 градусам, каких в двух
прямых углах будет 360, или 6;54 таким, каких 360 будет в четырех
прямых углах. Следовательно, для такого значения элонгации соответствую-
щая величина разности от аномалии будет на 1;53 градус отличаться от
получающихся в апогее 5;1 градусов. Но вся разница до соответствующей
величины в перигее составляет 2;39 градуса; следовательно, если наиболь-
шую разницу предположить равной 60, то разница в 1;53 градус будет
соответствовать 42;38, что мы и поместили в шестом столбце в строке,
зев соответствующей числу 120 градусов элонгации.
   Точно так же мы вычислили доли разностей от двух неравенств,
полученные этим методом, и для остальных значений аргумента и поместили
их, представив в шестидесятых долях от разности [в пятом столбце] для
соответствующих значений аргумента, причем целые 60 [шестидесятых]
будут соответствовать, конечно, удвоенным 90 градусам элонгации, которые
представляют 180 градусов перигея эксцентра.
    Мы поместили также [в таблице] седьмой столбец, содержащий
положения Луны по широте для каждой точки круга через середины знаков,
отсчитывая их по кругу, проходящему через его полюсы, т.е. величины дуг
этого круга [заключенные] между кругом, проходящим через середины
знаков, и наклонным кругом лунной орбиты, имеющим с ним общий центр,
для каждого положения Луны на последнем. Для этого мы воспользовались
тем же самым методом, которым вычисляли дуги круга, проходящего через
полюсы   равноденственного,   содержащиеся   между   равноденственным   и
проходящим через середины знаков зодиака41. Только здесь дуга, заклю-
чающаяся между зодиакальным кругом и северной или южной границами
наклонного круга лунной орбиты и отсчитываемая по большому кругу,
проходящему через полюсы упомянутых [кругов], будет равна 5 градусам,
так как вычисления Гиппарха и наши относительно самых северных и
389 самых южных видимых положений показали, что именно таким при-
близительно получается наибольшее отклонение Луны в обе стороны от
круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий42. Почти все
наблюдения ее положений, выполненные или относительно звезд, или при
помощи инструментов, вполне согласуются с такими значениями наибольших
отклонений по широте, что будет подтверждено последующими доказатель-
ствами. И таблица полного лунного неравенства такова43.

8. Таблица полного лунного неравенства	390-391

Общие
числаРасстояние
[от среднего до
истинного] апо-
гея [эпицикла]
[с3]Эпициклическая
аномалия
[в  апогее  экс-
центра]
[с41Избыток
эпициклической
аномалии [в пе-
ригее эксцентра]
[с5]Шести-
десятые
[с6]Широта
№6°
12
18354°
348
3420°53'
1	46
2	390°29'
0	57
1	25 0" 14'
0 28
0 420' 12"
0	24
1	204° 58'
4 54
4 45Северный
предел24
30
36336
330
3243	31
4	23
5	151	53
2	19
2 440	56
1	10
1 232	16
3	24
4	324 34
4 20
4   342
48
54318
312
3066   7
6	58
7	483   8
3 31
3 511 35
1 45
1 546 25
8 18
10 223 43
3 20
2 56
60
66
72300
294
2888	36
9	22
10   64   8
4 24
4 382   3
2 11
2 1812 26
15   5
17 442 30
2   2
1 33
78
84
90282
276
27010	48
11	27
12	04 49
4 56
4 592 25
2 31
2 3520 34
23 24
26 361   3
0 32
0   0
93
96
99267
264
26112 15
12 28
12 395   0
5   1
5   02 37
2 38
2 3928	12
29	49
31 250 16
0 32
0 48
102
105
108258
255
25212 48
12	56
13	34 59
4 57
4 532 39
2 39
2 3833	1
34	37
36 141   3
1 17
1 33
111
114
117249
246
24313   6
13   9
13   74 49
4 44
4 382 38
2 37
2 3537 50
39 26
41   21	48
2	2
2 16
120
123
126240
237
23413   4
12 59
12 504 32
4 25
4 162 32
2 28
2 2442 38
44	3
45	282 30
2 43
2 56
129
132
135231
228
22512 36
12 16
11 544   7
3 57
3 462 20
2 16
2 1146 53
48	18
49	323   8
3 20
3 32
138
141
144222
219
21611 29
11   2
10 333 35
3 23
3 102   5
1 58
1 5150	45
51	59
53 123 43
3	53
4	3
147
150
153213
210
20710   0
9 22
8 382 57
2 43
2 281 43
1 35
1 2754   3
54	54
55	454 11
4 20
4 27
156
159
162204
201
1987 48
6 56
6   32 13
1 57
1 411 19
1 11
1   256	36
57	15
57 554 34
4 40
4 45
165
168
171195
192
1895   8
4 11
3 121 25
1   9
0 520 52
0 42
0 3158	35
59	4
59 264 50
4 54
4 56
174
177
180186
183
1802 11
1   7
0   00 35
0 18
0   00 21
0 10
0   059 37
59	49
60	04 58
4	59
5	0Южный
предел
?т	9. О вычислении движения Луны в целом
   Когда мы захотим при помощи описанной таблицы вычислить лунное
неравенство, возьмем для Александрии в рассматриваемый момент времени
средние  движения  Луны  по долготе,  элонгации,  аномалии  и  широте
описанным выше способом44; первое число для элонгации мы должны всегда
удвоить, отняв, если понадобится, целую окружность. Затем в таблице
аномалии ищем соответствующее этому числу количество градусов в третьем
столбце, причем, если удвоенное число будет менее 180 градусов, прибавляем
его к числу градусов средней аномалии, если же оно будет больше 180
градусов, то вычтем из них45. Полученное число для истинной аномалии
вносим в ту же самую таблицу и пишем соответствующие ему простаферез
в четвертом столбце и отдельно разность в пятом.
    После этого, внося в те же столбцы удвоенное число градусов средней
элонгации, находим соответствующие ему шестидесятые доли в шестом
(чз столбце и, взяв это число долей от записанной разности, всегда прибавляем
его к данному в четвертом столбце простаферезу. Если полученное для
истинной аномалии число будет меньше 180 градусов, то отнимаем его от
среднего числа градусов для долготы и [аргумента] широты; если же оно
больше 180 градусов, то прибавляем его к ним. Из [двух] полученных
чисел первое мы прибавляем к числу градусов [средней] долготы,
соответствующему установленной эпохе. Определенное таким путем число
градусов даст истинное положение [по долготе] Луны46. [Второе] число для
[аргумента] широты, отсчитываемое от северной границы, мы вносим в ту
же самую таблицу; соответствующее ему число градусов в седьмом столбце
47	тт
для широты дает расстояние центра Луны от круга, проведенного через
середины зодиакальных созвездий, причем это расстояние отсчитывается по
большому кругу, проведенному через полюсы зодиакального круга. Если
полученное число находится в первых 15 строках, то Луна будет к северу,
если же в остальных, то к югу. Первый столбец общих чисел соответствует
ее движению от севера к югу, второй же — от юга к северу48.

394	1 0. О том, что эксцентрический круг Луны
не производит никакой заметной разницы в сизигиях
    Естественно, могут появиться некоторые сомнения в том, что в
новолуниях и полнолуниях и происходящих в них затмениях может
получиться заметная разница вследствие того, что при наличии эксцентриче-
ского круга Луны центр лунного эпицикла не всегда окажется в самом
апогее [эксцентра], но может отстоять от него на заметное расстояние, так
как положения [эпицикла] по отношению к этому апогею определяются
по теоретическим средним сизигиям, а истинные новолуния и полнолуния
берутся по аномалиям обоих этих светил. Мы попытаемся поэтому показать,
что в сизигиях это различие не может дать никакой заметной погрешности
в наблюдающихся явлениях, даже если при вычислении [истинных сизигий]
40
не учитывать разницу, получающуюся от эксцентриситета круга  .
Пусть АВГ [рис. 5.8] будет эксцентрическим кругом Луны с центром
395	А и диаметром АДГ, на котором в точке Е находится центр круга,
проходящего через середины зодиакальных созвездий. Пусть в Z будет
находиться противолежащая Д точка «наклонения», к которой направлена

линия апогея и перигея эпицикла. Отложив от апогея А дугу АВ, опишем
вокруг В эпицикл Н©КЛ, проведем соединительные прямые ВА и НВКЕ,
а также прямую BAZ.

   Уравнение аномалии [при произвольных расстояниях центра эпицикла
от апогея] может отличаться [от уравнения аномалии] в ситуации, когда
эпицикл находится в апогее А, по двум причинам: вследствие того, что
эпицикл, становясь ближе к Земле, будет
обнимать при Е больший угол и вследствие
того, что диаметр, соединяющий средние пе-
ригей и апогей, будет проходить не через Е,
но через точку Z. Величина разности от первой
причины будет наибольшей, когда уравнение
аномалии Луны будет иметь максимальную
величину, а от второй причины, когда Луна
будет находиться в перигее или апогее эпи-
цикла. Ясно поэтому, что когда получается
наибольшая разница вследствие первой при-
чины, то обусловленная второй причиной раз-
ность будет вообще незаметной, так как Луна,
г	находясь   на   касательных   к   эпициклу,   на
Рис 5 8	довольно большом промежутке [изменения ано-
малии] не производит заметной разницы в
простаферезе50. Возможно, однако, что истинная сизигия будет отличаться
от средней на сумму неравенств обоих светил, если одно из этих неравенств
будет прибавляться, другое же вычитаться. Когда же вторая причина дает
наибольшую разность, обусловленную «наклонением» [эпицикла], то раз-
ность от первой причины будет опять совершенно незаметной, так как
величина, обусловленная аномалией, или уничтожается целиком, или же
становится совсем небольшой при нахождении Луны около апогея или
перигея эпицикла. В этом случае истинная сизигия будет отличаться от
51
средней теоретической только на разность от солнечного неравенства .
    Предположим, что Солнце дает наибольшую добавку 2;23 градуса, а
Луна дает сначала наибольшее вычитаемое — 5;1 градусов, так что угол
АЕВ будет содержать 14;48 градусов, получающихся от удвоения 7;24
градусов. Проведем из Е касательную Е© к эпициклу, опустим из В
перпендикуляр В©, а из А опустим на BE перпендикуляр ДМ.
   Так как угол АЕВ равняется 14;48 градусам, каких 360 имеется в
четырех прямых углах, или же 29;36 градусам, каких 360 имеется в двух
прямых углах, то дуга на прямой ДМ будет равна 29;36 градусам, каких
в описанной около прямоугольного треугольника ДЕМ окружности со-
держится 360, а дуга на ЕМ будет равняться остающимся до полуокружности
150;24 градусам. Следовательно, из стягивающих их прямых ДМ будет
равняться 30; 39 частям, каких в гипотенузе ДЕ содержится 120, а ЕМ —
116; 1 таким же частям. Таким образом, если расстояние ДЕ между центрами
равно 10; 19, а радиус эксцентра ВД — 49;41, то в ДМ таких частей будет
2;38, а в ЕМ — 9;59. И так как квадрат на ВД после вычитания квадрата
на ДМ дает квадрат на ВМ, то прямая BE будет равна 49;37, а вся
ВМЕ — 59;36 частям, каких в радиусе В© эпицикла содержится 5; 15.
И, следовательно, если гипотенузу ЕВ принять за 120, то в прямой
В© таких частей будет 10;34, а в стягиваемой ею дуге — 10;6 градусов,
каких в описанной около прямоугольного треугольника BE© окружности
   

будет 360. И, значит, угол BE© наибольшей разницы неравенства будет
равен 10;6 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360, или
же 5;3 градусам, каких в четырех прямых углах будет 360, вместо 5;1
градусов, получавшихся, когда эпицикл был в апогее А. Следовательно,
получающаяся по этой причине разница от неравенства в аномалии
будет равняться всего только 2 шестидесятым
градуса, что может повести к погрешности не Н/
СО
больше i/i6 часа .
    Предположим теперь, что Луна находится в
среднем перигее А, так что угол АЕВ содержит
4;46 градуса, представляющих приблизительно уд-
военное значение одного только [наибольшего]
солнечного неравенства. Проведя на таком же
чертеже [рис. 5.9] соединительную прямую ЕА,
опустим на BE из А перпендикуляр AN, из А —
перпендикуляр AM, а из Z на продолжение BE —
перпендикуляр ZS. На основании того же, что и
выше, если угол при Е равняется 4;46 градусам,
каких в четырех прямых углах содержится 360,
или же 9;32, каких 360 содержится в двух прямых углах, то дуги на
AM и ZS будут равняться 9;32 градусам, каких в описанных около
прямоугольных треугольников ЕАМ и EZH окружностях будет 360, а дуги
на ЕМ и ES будут равняться недостающим до полуокружности 170;28
градусам. И, следовательно, каждая из стягивающих эти дуги прямых
AM и ZS будет равна 9;58 частям, каких в каждой из соответствующих
гипотенуз АЕ и EZ будет 120, а каждая из прямых ME и Е2 будет равна
119;35 таким же частям. Следовательно, если каждая из прямых АЕ и
EZ равняется 10; 19 частям, а радиус АВ эксцентра 49;41, то каждая из
прямых AM и ZS будет равна 0;51, а каждая из ME и Е2 — 10; 17 таким
же частям. И так как квадрат ВА после вычитания квадрата AM дает
квадрат ВМ, то длина ВМ будет равна приблизительно 49;41 таким же
частям. Таким образом, прямая BE будет равна 59;58, а вся ВН — 70; 15
таким же частям, каких в ZS было 0;51. На том же основании и гипотенуза
BZ будет равна приблизительно 70; 15 таким же частям. И как BZ относится
к каждой из ZS и В2, так и ВА будет относиться к каждой из AN и BN53.
Таким образом, если радиус ВА эпицикла равняется 5; 15, a BE, как было
доказано, 59;58, то в AN таких частей будет 0;4, а в BN — приблизительно
5; 15, разность же NE будет равна 54;43 частям, каких в AN было 0;4.
Поскольку на основании показанного гипотенуза ЕА [прямоугольного
треугольника EAN] не отличается от тех же 54;43 частей, выходит, что
если гипотенузу ЕА взять равной 120, то в прямой AN таких частей
будет приблизительно 0;8, а в стягиваемой ею дуге — также 0;8 градуса,
каких в описанном около прямоугольного треугольника EAN окружности
содержится 360. И, следовательно, угол ВЕЛ, на который Луна отклоняется
от направления на Z, будет равняться 0;8 градусов, каких 360 содержится
в двух прямых углах, или 0;4 градуса, каких 360 содержится в четырех
прямых углах. Таким образом, и здесь разность от неравенства Луны не
превышает 4 шестидесятых градуса, что также не произведет никакой
значительной погрешности в явлениях, происходящих в сизигиях, ибо они

не могут составить даже       части часа  , а такую погрешность можно
ожидать в большинстве наблюдений.
   Мы изложили все это не для того, чтобы показать, что при определении
сизигий нельзя было бы учесть при расчете и эти разности, хотя Они и
имеют малую величину, но для доказательства того, что мы не совершили
никакой заметной ошибки, когда при обработке приведенных лунных
затмений [использовали только гипотезу с эпициклом и] не привлекали
дополнительно гипотезу с эксцентром, введенную позднее.

11. О параллаксах Луны	4<н
    Вот почти все, что можно сказать об определении истинных движений
Луны. Однако при наблюдении Луны происходит то, что видимое ее
положение не будет для наших чувств совпадать с истинным вследствие
того, что, как мы сказали55, Землю нельзя считать точкой по отношению
к расстоянию до лунной сферы. Поэтому нам представляется необходимым
и последовательным изложить теорию ее параллаксов главным образом ради
наблюдаемых солнечных затмений и других явлений. При помощи лунных
параллаксов можно определять видимые положения Луны, как они
представляются наблюдателю, на основании истинных ее положений,
отнесенных к центру Земли и кругу, проходящему через середины знаков
зодиака, а именно для какого-нибудь места земной поверхности определять
теоретически наблюдаемые положения и, обратно, — по наблюдаемым
положениям вычислять точные. При этом нельзя определить частные
значения этих параллаксов, не указав относительной величины расстояний
или, наоборот, найти относительные величины расстояния без указания
какого-нибудь параллакса. Поэтому для светил, не имеющих заметного
параллакса, т.е. для таких, по сравнению с расстоянием до которых Землю
можно считать точкой, нельзя, очевидно, найти отношения расстояний. Что 402
же касается светил, имеющих параллакс, как, например, Луны, то
относительное расстояние можно было бы найти только на основании
какого-нибудь первоначально заданного параллакса [установленного] при
помощи некоторого параллактического наблюдения. Такого рода наблюдения
могут быть произведены и самостоятельно, тогда как числовую величину
расстояния определить [непосредственно] никак невозможно. Гиппарх
производил соответствующее исследование исходя главным образом из
наблюдений Солнца. Действительно, при помощи некоторых других явлений,
касающихся Луны и Солнца, о которых мы будем говорить в дальнейшем,
можно прийти к заключению, что если дано расстояние до одного из этих
светил, то будет дано и расстояние до другого56. Он пытается, сделав
некоторую приблизительную оценку для Солнца, получить также и
расстояние до Луны. Сначала он предполагает, что Солнце имеет только
наименьший доступный для наших чувств параллакс, чтобы получить его
расстояние; после этого для определенного солнечного затмения он
производит расчеты, сначала предполагая параллакс Солнца совершенно
незаметным, а затем имеющим некоторую достаточную [для наблюдения]
величину. Таким образом, у него согласно каждой из упомянутых гипотез
получаются различные величины расстояния до Луны, так что он вообще
сомневается не только относительно величины солнечного параллакса, но
и относительно того, имеет ли вообще Солнце какое-нибудь параллактиче-
57
скос смещение  .

403	12. Об устройстве параллактического инструмента
   Чтобы не примешивать к нашему исследованию ничего неизвестного,
мы построили инструмент, при помощи которого можно было бы насколько
возможно точно наблюдать, на какую величину при заданном расстоянии
от полюса горизонта смещается параллактически Луна; величина этого
смещения отсчитывается по большому кругу, проведенному через Луну и
полюсы горизонта.

    Мы сделали две линейки [/, 2 на рис. 5-D]59 с прямоугольным сечением,
имеющие длину не менее четырех локтей для того, чтобы можно было
нанести максимально возможное число делений; поперечные размеры их
имели соответствующую величину для
того, чтобы они вследствие своей длины
не сгибались, но оставались совершенно
точно прямолинейными по каждой из
своих сторон. Затем, начертив прямые
линии посередине более широкой сторо-
ны, на обоих концах одной из этих
линеек мы приставили посередине линии
прямые квадратные призмочки [а, Ь],
равные и параллельные друг другу,
имеющие каждая точно в центре от-
верстие; у призмы, более близкой к
глазу, отверстие было очень малым, а
у обращенной к Луне — более зна-
чительным так, чтобы после приложения
404	глаза к призме с наименьшим от-
верстием можно было по прямой видеть
всю Луну через другое отверстие. После
этого, просверлив одинаковым образом
каждую из этих линеек по средним
линиям, с того конца, где находится
призмочка с большим отверстием, мы	е
вставили через обе линейки ось [с], Рис 5ф
которая связывала бы обе стороны лине-
ек с проведенными прямыми так, чтобы линейка с призмами могла как
угодно, вращаться около этой оси как [вокруг] центра, не отклоняясь в
стороны. Затем, закрепив неподвижно на основании [4] не имеющую призм
линейку, мы взяли на средней линии каждой [из линеек] на концах,
прилегающих к основанию, некоторые точки [/, т ], возможно дальше
отстоящие от центра, определяемого осью [с], на одинаковых от него
расстояниях. Определенную таким образом прямую на линейке, соединенной
с основанием, мы разделили на 60 частей, а каждую из этих последних —
еще на возможно большее число отрезков60. С задней стороны этой же
линейки мы установили по концам [две] призмы [d—d], у которых
соответствующие грани расположены на одной прямой по отношению друг
к другу и каждая одинаково отстоит от упомянутой средней линии [c—f],
чтобы при помощи проходящего через обе эти призмы отвеса можно было
установить эту линейку в неизменном положении перпендикулярно
плоскости горизонта. Имея полуденную линию [е—е], начерченную заранее

156

V.12. Об устройстве параллактического инструмента


на плоскости, параллельной горизонту, на некоторой незатененной площадке, 405
мы устанавливаем этот инструмент перпендикулярно так, чтобы стороны
линеек, соединенные между собою осью, были параллельны проведенной
полуденной линии; прикрепленная к основанию перпендикулярная линейка
должна оставаться прочно неподвижной и без отклонений в сторону, а
другую линейку  можно было бы,  нажимая  соответствующим образом,
вращать вокруг оси в полуденной плоскости61. Мы добавили также еще
одну прямую и тонкую линейку [3], прикрепив ее короткой осью [/] к
нижнему концу линейки с делениями так, чтобы она могла вращаться и
при самом большом повороте достигала равноудаленного [от оси с] конца
прямой на другой линейке, чтобы можно было при ее вращении определять
по прямой расстояние Ifm] между упомянутыми обоими концами  .
   Таким вот образом мы и производили наблюдения Луны в ее
прохождениях через полуденную линию вблизи точек солнцеворота на круге,
проведенном через середины знаков зодиака. Так как в этих положениях
большие круги, проведенные через центр Луны и полюсы горизонта,
приблизительно совпадают с большими кругами, проведенными через полюсы
круга через середины знаков зодиака, по которым определяются положения
Луны по широте, то вследствие этого можно легко определить точное «б
расстояние [Луны] до полюса горизонта63. Направив линейку с призмами
[2] на Луну при ее прохождениях через полуденную линию так, чтобы
центр Луны через оба отверстия усматривался в середине наибольшего из
них, отмечаем на тонкой линейке [3] расстояние Ifm] между концами
прямых, проведенных на линейках, и, прикладывая полученное расстояние
к разделенной на 60 частей линии перпендикулярной линейки [1 ],
определяем, сколько в упомянутом расстоянии будет содержаться таких
частей, каких в радиусе описываемого линейкой в полуденной плоскости
круга имеется 60. Взяв дугу, стягиваемую прямой такой величины, мы
получим расстояние видимого центра Луны от полюса горизонта по большому
кругу, проведенному через центр Луны и полюс горизонта64. В этом
положении упомянутый круг будет тождественным с полуденным, прохо-
дящим через полюсы как равноденственного круга, так и круга, проведенного
через середины знаков зодиака.
   Чтобы точно определить наибольшую широту Луны, мы производили
наблюдения   с   этим   прибором   в   ситуации,   когда   Луна   находилась 
407
одновременно около точки летнего солнцеворота и в самом северном пределе
своей наклонной орбиты65. Так как в окрестности этих точек можно с
достаточной степенью точности считать неизменным положение Луны по
широте и также вследствие того, что в этом положении на параллели
Александрии, на которой мы производили наблюдения, Луна оказывалась
в самой верхней точке неба, то видимое положение Луны можно считать
приблизительно совпадающим с истинным. В этих положениях мы
определили расстояние центра Луны от полюса горизонта равным при-
близительно 2V% градусам, так что в результате получается, что наибольшее
смещение Луны по широте с каждой стороны круга через середины знаков
зодиака равняется 5 градусам, на которые определенные для Александрии
30;58 градусов расстояния от полюса горизонта до равноденственного круга
после вычитания упомянутого видимого расстояния 2V& градуса превышают

найденное расстояние 23;51 градуса от равноденственного круга до точки
солнцеворота66.
Чтобы произвести исследование параллаксов, мы таким же образом опять
40» наблюдали Луну, когда она оказывалась вблизи точки зимнего солнцеворота,
так как на основании сказанного, а также вследствие наибольшей величины
ее  расстояния  от полюса горизонта  при  подобном  прохождении  через
полуденный круг, ее параллакс должен иметь наибольшую и наиболее ясно
наблюдаемую величину67. Из большого числа наблюдений параллаксов,
сделанных в таких положениях, мы приведем только одно, чтобы
одновременно показать и метод расчета, и дать определение всего остального,
что нам потребуется в дальнейшем.

13. Определение расстояний Луны
   Так вот, в 20 году Адриана, 13-го числа египетского месяца Атир68,
через 5V2V3 равноденственных часов после полудня, когда Солнце уже
заходило, мы наблюдали Луну на полуденном круге и при помощи
описанного инструмента нашли, что центр ее находился на 5№гЩУ\г
градусах от полюса горизонта. Действительно, измеренное по тонкой линейке
расстояние равнялось приблизительно S\V2V\2 части, каких в радиусе
описываемого вращением круга было 60, а такой величины прямая стягивает
дугу 501/2^3И 2 градусов, каких в целой окружности будет 36069.
   Время, прошедшее от эпохи первого года Набонассара до рассматри-
4оч ваемого наблюдения, составляет 882 египетских года, 72 дня и 5V2V3
равноденственных часов по обычному счету, или 51/з по точному. В
указанный момент мы находим, что среднее положение Солнца было на
7;31 градусах Клешней и истинное — на 5;28, Луна же в среднем движении
была на 25;44 градусах Стрельца и ее элонгация равнялась 78; 13 градусам,
расстояние [по аномалии] от среднего апогея эпицикла — 262;20 градусам,
а по широте от северного предела — 354;40. Вследствие этого разность от
неравенства, определяемая по соответствующей таблице и равная 7;26
градусам, прибавляется. Таким образом, точное положение Луны в
рассматриваемый час было по долготе на 3; 10 градусах Козерога, по
широте — на расстоянии 2;6 градуса от северного предела, если считать
по наклонной орбите, или же, если отсчитывать по кругу, проходящему
через полюсы зодиака, а он тогда приблизительно совпадал с полуденным ,
то на 4;59 градусах к северу от круга, проходящего через середины знаков.
Но 3; 10 градуса Козерога находятся к югу от равноденственного круга на
расстоянии 23;49 градуса по тому же самому кругу, в Александрии же
равноденственный круг отстоит от полюса горизонта также на 30;58 градусов
к югу. Следовательно, точное расстояние центра Луны, от полюса горизонта
71
было 49;48 градусов , видимое же расстояние было 50;55. Таким образом,
параллактическое смещение Луны в соответствующем положении равнялось
4ю 1;7 градусу, отсчитываемому по большому кругу, проведенному через нее
и полюсы горизонта; сама же она находилась от полюса горизонта точно
на 49;48 градусах.
    Выяснив это, в плоскости, проходящей через Луну и полюсы горизонта,
начертим несколько концентрических кругов [рис. 5.10], а именно
представляющий Землю большой круг АВ, затем проходящий через центр
Луны и место наблюдения круг ГА и, наконец, круг EZH0,   по отношению
    
к которому Земля является точкой. Пусть К будет общим центром этих
кругов, а прямая КАТЕ проходит через полюс горизонта. Предположим,
что Луна находится в точке А, отстоя от полюса горизонта Г точно на

упомянутые 49;48 градусов. Проведем соединяющие
прямые КАН и АА©; затем из А, где находится
глаз наблюдателя, опустим на KB перпендикуляр
АА, а также проведем параллельную КН прямую
AZ.
   Теперь ясно, что для наблюдателя, находяще-
гося в А, параллактическое смещение Луны равно
дуге Н@, так что последняя будет равна 1;7
градусу, полученному из наблюдения. Поскольку
же Земля является точкой по отношению к кругу
EZH©, дуга Z© будет больше Н© на пренеб-
Рис 510	режимо малую величину, так что и дуга ZH0
                        будет приблизительно равняться тому же самому
1;7 градусу. Таким образом, опять вследствие того, что по отношению к
кругу Z© точка А не отличается от центра, угол ZA© будет равняться
1;7 градусу, каких в четырех прямых углах содержится 360, или 2; 14,
каких 360 будет в двух прямых углах. Тем же самым 2; 14 градусам будет
равняться и равный вышеупомянутому угол АДА. Следовательно, стягивае-
мая прямой АА дуга будет содержать 2; 14 градуса, каких в описанной
около прямоугольного треугольника АДА окружности имеется 360, сама же
прямая АА будет иметь 2;21 части, каких в гипотенузе АД содержится
120. Но АД будет меньше АД на ничтожно малую величину; следовательно,
если ДА равна 2;21, то в прямой АД таких частей будет приблизительно
120. Далее, так как дуга ГД предполагается равной 49;48 градусам, то и
угол ГКД, находящийся у центра этого круга, будет равняться 49;48
градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360, или же 99;36
градусам, каких 360 будет в двух прямых углах. Таким образом, и дуга
на прямой АА будет равна 99;36 градусам, каких в описанной около
прямоугольного треугольника ААК окружности содержится 360, а дуга на
прямой АК равна остающимся до полуокружности 80; 24 градусам.
Следовательно, из стягивающих эти дуги прямых АА будет равна 91;39
части, каких в гипотенузе АК содержится 120, а в АК будет 77;27 таких
же частей. Таким образом, если радиус АК Земли равняется 1, то АА
будет равна 0;46, а КА — 0;39. Но было показано, что АА равнялась 2;21
частям, каких в АД было 120; следовательно, если прямая АА равна 0;46,
то в АД таких частей будет 39;6. Таких же частей в прямой КА было
0;39, а в радиусе КА Земли — 1. Следовательно, если радиус КА Земли
равен 1, то вся прямая КАД, представляющая расстояние до Луны во время
наблюдения, будет равна 39;4572.
   Доказав это, возьмем эксцентрический круг Луны АВГ [рис. 5.11],
имеющий центр в А и диаметр АДГ, на котором находится центр Е круга,
проведенного через середины зодиакальных созвездий, а также точка Z —
«наклонения» эпицикла, к которой направлена линия апогея и перигея
эпицикла. Описав около точки В эпицикл Н©КА, проведем соединительные
   
прямые НВ©Е, ВА и BKZ. Предположим, что Луна во время данного
наблюдения находилась в А. Соединим АЕ и АВ и опустим из точки А
на продолжение прямой BE перпендикуляр ДМ, а из точки Z на ту же
прямую перпендикуляр ZN.

   Так как во время наблюдения численная величина элонгации Луны
была 78; 13 градусов, то согласно рассмотренному выше угол АЕВ будет
равняться 156;26 градусам, каких в че-
тырех прямых углах содержится 360, а
каждый из углов ZEN и ДЕМ будет
равняться остающимся до двух прямых
углов 23;34 градусам; если же взять 360
градусов, равных двум прямым углам, то
указанные углы будут равняться каждый
47;8 таким градусам. Следовательно, дуга
на каждой из прямых ДМ и ZN будет
равна 47;8 градусам, каких в окружности
около упомянутых прямоугольных треу-
гольников будет 360 вследствие того, что
ДЕ равна EZ; дуги же на каждой из
прямых ЕМ и EN будут равны 132;52
таким же градусам. Следовательно, каждая
из стягиваемых ими прямых ДМ и ZN
будет равна 47;59 частям, каких в каждой
из гипотенуз ДЕ и EZ будет 120; каждая же из прямых ЕМ и EN содержит
ПО таких же частей. Таким образом, если каждая из прямых ДЕ и EZ
равна 10; 19, а радиус ДВ эксцентра — 49;41, то таких частей в каждой
из ДМ и ZN будет 4;8, а в ЕМ и EN — по 9;27 таких же. И так как
квадрат на ВД после вычитания квадрата на ДМ дает квадрат на ВМ, то
мы получим, что вся длина ВМ будет равна 49;31 таким частям, BE точно
так же — 40;4 и, наконец, BN — таким же 30;37 частям, каких в ZN
было 4;8. И так как сумма квадратов дает квадрат на BZ, то мы получим,
что длина гипотенузы BZ будет равна 30;54 таким же частям. Таким
образом, если гипотенуза BZ равна 120, то в ZN таких частей будет 16;2,
а дуга на ней будет равна таким 15;21 градусам, каких в окружности около
прямоугольного треугольника BZN содержится 360. И, следовательно, угол
ZBN будет равен 15;21 градусам, каких в двух прямых углах содержится
360, или же приблизительно 7;40 таким, каких 360 будет в четырех прямых
углах. Вот именно такому количеству градусов будет равна дуга ©К
эпицикла.
   Далее, так как во время наблюдения Луна отстояла на 262;20 градуса
от среднего апогея эпицикла и, следовательно, от среднего перигея К на
превышающие полуокружность 82;20 градуса, то дуга КА будет равна 82;20
градусам, а вся ©КА — 90 градусам; значит, угол ©ВА будет прямым.
Таким образом, если радиус ДВ эксцентра равняется 49;41, а радиус ВА
эпицикла — 5; 15, то согласно доказанному ЕВ равна 40;4 таким частям;
так как сумма их квадратов дает квадрат на ЕА, то длина ЕА получается
равной 40;25 таким же частям. Следовательно, во время наблюдения
расстояние Луны равнялось 40;25 частям, каких в радиусе ВА эпицикла
предполагалось 5; 15, расстояние ЕА от центра Земли до апогея эксцентра —
60 и расстояние ЕГ от центра Земли до перигея эксцентра — 39;22. Но было
   
доказано, что во время наблюдения расстояние Луны, т.е. прямая ЕЛ,
равнялось 39;45 частям, каких в радиусе Земли была 1; и, следовательно,
если прямая ЕЛ расстояния Луны во время наблюдения равна 39;45, а
радиус Земли — 1, то прямая ЕА, дающая среднее расстояние в сизигиях, 4\ь
73
будет равна 59 ;0 таким частям , а ЕГ — среднее расстояние в
квадратурах — 38;43, радиус же эпицикла — 5; 10 таким же частям. Это
74
и предполагалось показать  .
   После того как мы указанным образом нашли расстояния Луны, нам
следовало бы одновременно определить и расстояние Солнца, что легко
можно получить геометрически, если к расстояниям Луны во время сизигий
добавить также величины получающихся в это время углов, имеющих
вершину в глазу наблюдателя, под которыми видны диаметры Солнца, Луны
и тени.

14. О величинах видимых диаметров Солнца, Луны
и земной тени в сизигиях

   Из всех методов для такого исследования мы отказались от тех, в
которых определение диаметров светил производится при помощи водяных
измерителей, а также по времени, которое затрачивается  [светилом] на
восход в день равноденствия , так как при помощи подобных методов
нельзя точно определить требуемое. Мы сами, построив описанный еще
Гиппархом диоптр [рис. 5-Е] с линейкой в четыре локтя76, произвели с
его помощью наблюдения и нашли, что диаметр Солнца во всех положениях
виден приблизительно под одним и тем же углом, так что различие в
расстояниях Солнца не производит никакой существенной разницы, но
диаметр Луны виден под одинаковым
углом с Солнцем только когда в полно-
лунии она, будучи в апогее эпицикла,
находится на самом большом расстоянии
от Земли, а не в средних расстояниях,
как это предполагали предшествующие
наблюдатели77. Кроме этого, мы нашли,
что и сами углы на заметную величину
7Я
меньше традиционно принятых . При
этом мы вычислили их не при помощи
измерения на упомянутой линейке, но по
некоторым лунным затмениям. Действи-
тельно, определить, когда каждый из диаметров виден под одним и тем
же углом, можно очень легко по самой конструкции линейки, так как в
этом случае не требуется никакого измерения. Определение же самой
величины угла вообще казалось нам сомнительным, так как измерение, в
котором играет роль положение призмы, имеющей ширину, которая
покрывает светило на длине стержня, перемещаясь на расстояние от глаза
до призмы, может сильно удалиться от точности. Поскольку Луна, находясь
на наибольшем своем расстоянии, всегда казалась под одинаковым с Солнцем
углом зрения, то, вычисляя по наблюденным на этом расстоянии лунным
затмениям величину стягиваемого ею угла, мы сейчас же получили и
величину угла для Солнца. Сущность упомянутого метода мы разъясним
опять при помощи двух исходных затмений.

    В 5 году Набопалассара, т.е. в 127 году эры Набонассара, в конце 11-го
часа ночи с 27-го на 28-е число египетского месяца Атира в Вавилоне
начала затмеваться Луна, и наибольшая величина затмения была с юга на
1/4 часть диаметра79. Так как затмение началось в 5 часов после полуночи
по местному времени, а средняя фаза была приблизительно в 6 [сезонных]
часов, которые тогда в Вавилоне соответствовали 5V2V3 равноденственным
часам, поскольку истинное положение Солнца было на 27;3 градусах Овна,
то ясно, что средняя фаза затмения, когда большая часть диаметра попала
в тень, соответствовала в Вавилоне ЬУгУъ равноденственным часам после
полуночи, а в Александрии — только 5 часам. И время, прошедшее после
419	упомянутой эпохи, составляет 126 египетских годов, 86 дней и 17
равноденственных часов по обычному счету, или I61/2I/4, если отнести к
средним солнечным суткам . Таким образом, среднее положение Луны по
долготе соответствовало 25;32 градусам Клешней, а истинное — 27;5,
расстояние [по аномалии] от апогея эпицикла равнялось 340;7 градусам, а
от северного предела наклонной орбиты [по широте] — 80;40 градусам. И
ясно, что когда центр Луны в наибольшем ее расстоянии находился на
О 1
91/3 градусах от узла по наклонной орбите , а центр тени был на большом
круге, проведенном через лунный центр перпендикулярно орбите (а в этом
положении имеют место наибольшие затемнения), то в тень попадала 1/4
ее диаметра.
   Далее, в 7 году Камбиза, т.е. в 225 году от Набонассара, в ночь с
17-го на 18-е число египетского месяца Фаменот, за 1 [равноденственный]
час до полуночи в Вавилоне наблюдалось затмение Луны с севера на 1/2
ее диаметра . Следовательно, в Александрии это затмение произошло
приблизительно за IV2V3 равноденственный час до полуночи. И время,
прошедшее от принятой эпохи, составляет 224 египетских года, 196 дней
420	и 10Ц> равноденственных часов по обычному счету, или 91/2V3 по точному,
так как Солнце находилось на 18; 12 градусах Рака. Таким образом, среднее
положение Луны по долготе соответствовало 20;22 градусам Козерога, а
истинное — 18; 14 градусам .  От апогея эпицикла  [по аномалии] она
отстояла на 28;5 градусов84, а от северного предела наклонной орбиты [по
широте] — на 262; 12 градуса. Отсюда, следовательно, ясно, что когда центр
Луны отстоял от узла на 74/5 градусов по наклонной орбите, Луна находилась
в наибольшем расстоянии и центр тени занимал по отношению к центру
Луны указанное положение, тогда в тень попадала 1/2 лунного диаметра.
    Но если центр Луны находится на расстоянии 91/3 градусов от узлов
по наклонной орбите, то он находится на 481/2 шестидесятых градуса от
круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий, если измерять
по большому кругу, проведенному через него под прямым углом к орбите.
Если же он отстоит от узлов по наклонной орбите на TVs градусов, то по
проведенному через него большому кругу перпендикулярно орбите он отстоит
на 40Уз шестидесятых градуса от круга через середины знаков. Но так как
«i разность между двумя затемнениями составляет четверть лунного диаметра,
а разность двух расстояний центра от круга через середины зодиакальных
созвездий, т.е. от центра тени, составляет 71/2V3 шестидесятых долей градуса,
6   К. Птолемей

то отсюда следует, что весь диаметр Луны стягивает дугу большого круга
в 311/з шестидесятую долю градуса.
   Сейчас же становится ясно, что в том же наибольшем расстоянии Луны
радиус тени стягивает дугу в 40Уз шестидесятых долей градуса, так как
именно на такое число шестидесятых долей центр Луны отстоял от центра
тени и касался окружности тени вследствие того, что во втором затмении
затемнилась 1/2 лунного диаметра. Таким образом, радиус тени будет на
незначительную величину меньше 2У5 радиусов Луны который составляет
ос
15Уз шестидесятых долей градуса . На основании многочисленных подобных
наблюдений мы получили приблизительно такие же величины и восполь-
зовались ими при исследовании других вопросов, связанных с затмениями;
здесь же мы применим их для определения расстояния Солнца; этот метод
по существу является тем же, которому следовал и Гиппарх. Круги Солнца,
Луны и Земли, охватываемые конусами, считались в нем на ничтожную
величину меньшими больших кругов, проведенных на их [Солнца, Луны 422
и Земли] сферах, и то же самое касается их диаметров .

15. О расстоянии Солнца и о том, что определяется вместе с ним
   
   Имея эти данные, а также зная, что наибольшее расстояние Луны в
сизигиях равно 64; 10, если за 1 принять радиус Земли (действительно, мы
показали, что среднее расстояние равно 59, а радиус эпицикла составляет
5; 10 таких же частей), обратимся к рассмотрению, какой будет величина
расстояния Солнца.
    Пусть находящиеся в одной плоскости наибольшие круги упомянутых
сфер будут: Солнца — АВГ с центром А, Луны в наибольшем ее
расстоянии — EZH с центром © и Земли — КЛМ с центром N [рис. 5.12].
Из плоскостей же [касательных конусов], проведенных через центры, пусть
А2Г обнимет Землю и Солнце, a ANr — Солнце и Луну87, и пусть осью
конуса тени будет A0NS. Проходящие через точки касания прямые будут,
естественно, параллельными и приблизительно равными соответствующим
диаметрам; для солнечного круга это будет ААГ, для лунного — Е©Н, для
земного — KNM, а для тени в том месте, в котором в нее в наибольшем
расстоянии попадает Луна, — ОПР. Таким образом, 0N равна МТ, и 423
каждая из них будет равна 64; 10 таким частям, каких в радиусе NA Земли
содержится 1.
   Итак,   требуется  найти,   какое  отношение  прямая  NA  солнечного
расстояния имеет к радиусу Земли NA.
   Продолжим прямую ЕН [до пересечения с ЕГ] в 2. Так как мы
показали, что диаметр Луны в упомянутом наибольшем расстоянии в
сизигиях на описанной этим расстоянием около центра Луны окружности
стягивает дугу в 0;31,20 градусов, каких во всем круге будет 360, то угол
ENH будет равен 0;31,20 градусов, каких в четырех прямых углах 424
содержится 360, а его половина, т.е. угол 0NH, — тоже 0;31,20 градусов,
каких 360 будут равны двум прямым углам. Таким образом, дуга на 0Н
   
будет равна 0;31,20 градусов88, каких в описанной около прямоугольного
треугольника NH© окружности имеется 360, а дуга на ©N — остающимся
до полуокружности 179;28,40 градусам. Следователь-
но, из стягиваемых ими прямых Н0 будет иметь
0;32,48 частей, каких в диаметре NH содержится
120, а в N0 приблизительно 120 таких же частей;
таким образом, если прямая N0 равна 64; 10, то в
0Н будет 0; 17,33 таких частей. В радиусе Земли
таких частей будет 1. Но так как отношение ПР к
0Н равно приблизительно тому, какое 2;36 имеют
к I89, то ПР будет равна 0;45,38 таких же частей.
Следовательно, вместе взятые 0Н и ПР составляют
1;3,11 часть, каких в NM будет 1. Но вместе взятые
ПР и вся 02 составляют 2 такие части, так как
90
они вместе равны двум NM . Действительно, как
мы сказали, все такие прямые параллельны и Nn
равна N0; следовательно, остаток Н2 будет содер-
жать 0;56,49 таких частей, каких в прямой NM
будет 1. И как NM относится к Н2, так будет
относиться и ЫГ к НГ, и NA к ©А.
   Значит, если NA равна 1, то в А© будет 0;56,49
таких частей, а в остатке 0N — 0;3,11. Таким
образом, если прямая N0 равна 64; 10, прямая
NM — 1, то прямая NA (солнечное расстояние)
будет иметь таких частей приблизительно 121091.
   Таким же образом, если прямая NM равна 1, а
ПР согласно доказанному — 0;45,38, и как NM
относится к ПР, так будет относиться и NE к ЕП,
то, значит, если прямая N2 равна 1, 2П будет
равна 0;45,38, а остаток nN — 0;14,22 таких же
частей. И, следовательно, если прямая nN равна
64; 10, а радиус Земли NM — 1, то в ЕП таких
частей будет приблизительно 203;50, а во всей
SN — 26892.
   Следовательно, у нас получилось, что если
радиус Земли равен 1, то среднее расстояние Луны
в сизигиях будет 59, расстояние Солнца — 121093
и, наконец, расстояние от центра Земли до вершины конуса тени будет
268.
16. О величинах Солнца, Луны и Земли
    
    Отношения объемов светил непосредственно выводятся из отношений
диаметров Солнца, Луны и Земли.
   Действительно, так как доказано, что если радиус NM Земли равен 1,
то радиус 0Н Луны будет 0; 17,33, а прямая N0 — 64; 10, и как N0
   
164

V.17. О частных значениях параллаксов Солнца и Луны


относится к ©Н, так будет относиться и NA к АГ. Если NA согласно
доказанному равна 1210 таким частям, то мы получим, что радиус Солнца
АГ равен приблизительно 5Уг земным радиусам94, значит, таковы же будут
и отношения диаметров. Таким образом, если диаметр Луны принять за 1,
то диаметр Земли будет равен приблизительно 3%, а диаметр Солнца —
184/5. Следовательно, диаметр Земли будет в 3% раза больше диаметра
Луны, а диаметр Солнца в 184/$ раз больше лунного и приблизительно в
5V2 раз больше земного диаметра.
   И так как куб 1 равен 1, куб 3% равен приблизительно 391/4, а куб 427
184/5 приблизительно 66441/г, то у нас получается, что, если объем Луны
принять за 1, объем Земли будет равен 39V4, а объем Солнца — 66441/г.
Следовательно, Солнце будет приблизительно в 170 раз больше Земли95.
17. О частных значениях параллаксов Солнца и Луны
   После изложения этого нам следует также кратко указать, каким образом
по величинам расстояний Солнца и Луны вычисляют в отдельных случаях
получающиеся параллаксы, и прежде всего те, которые наблюдаются на
большом круге, проведенном через светило и полюс горизонта96.
   Пусть   в   плоскости   упомянутого   большого   круга   АВ   [рис. 5.13] 
42«
представляет большой круг [поверхности] Земли, ГА — большой круг
Солнца или Луны, a EZH0 — круг, по отношению к которому Земля

является точкой. Пусть К будет центром всех этих
кругов, а КАГЕ — диаметром, проведенным через
полюс горизонта. От этого полюса Г отложим
какую-нибудь дугу ГД, например, имеющую 30
градусов, каких в круге ГД имеется 360, проведем
опять соединяющие прямые КДН и АД©, из А
параллельно КН проведем AZ и восставим к ней
перпендикуляр АД.
    Как известно, расстояние каждого из светил не
остается всегда тем же самым. Однако получаю-
щаяся вследствие этого разница в параллаксах для
Рис. 5.13	Солнца будет малой и совершенно неощутимой как
                        вследствие небольшого эксцентриситета его круга,
так и благодаря значительности расстояния, тогда как для Луны эта
разница будет очень заметной как вследствие ее движения по эпициклу,
так и из-за движения самого эпицикла по эксцентру; каждое из этих
движений производит немалую разницу в расстояниях. По этой причине
параллаксы Солнца мы определим только для одного отношения, а именно
07
1210 к 1 , а параллаксы Луны — для четырех, которые будут наиболее 429
удобными для последующих выводов. Первые два из четырех этих
расстояний мы возьмем для случая, когда эпицикл оказывается в апогее
эксцентра. Первое из них получается в апогее эпицикла и на основании
изложенного соответствует расстоянию 64; 10, если радиус Земли принять
за 1; второе же получается в перигее эпицикла и равняется 53;50 таким
же частям. Два же остальных получаются, когда эпицикл оказывается в
перигее эксцентра. Из них первое опять определяется в апогее эпицикла
и на основании изложенного равняется 43;53 частям, одну из которых

представляет радиус Земли; второе же определяется в перигее эпицикла и
98
получается равным 33; 33 таким же единицам .
   Так как мы предположили, что дуга ГД равна 30 градусам, то угол
ГКД должен равняться 30 градусам, 360 которых составляют четыре прямых
угла, или же 60 таким, каких 360 содержатся в двух прямых углах. Таким
образом, дуга на АЛ будет равняться 60 градусам, каких в описанной около
430	прямоугольного треугольника АКЛ окружности будет 360, а дуга на КЛ
будет равняться дополняющим до полуокружности 120. И, следовательно,
из находящихся под ними прямых АЛ будет равна 60 частям, каких в
диаметре АК содержится 120, а КЛ — 103;55 таким же частям. И,
следовательно, если АК взять за 1, то прямая АЛ будет равна 0;30, а
КЛ — 0;52. В прямой КЛД, представляющей солнечное расстояние, таких
частей будет 1210, если же она представляет лунное расстояние, то в
первом из упомянутых случаев она будет равна 64; 10, во втором — 53;50,
в третьем — 43;53 и в четвертом — 33;33. Следовательно, получающаяся
в остатке ЛД или АА, так как они разнятся на незначительную величину,
будет для солнечного расстояния равна 1209;8, для лунных же в первом
случае — 63; 18, во втором — 52;58, в третьем — 43;1 и в четвертом —
32;41. Таким образом, если гипотенуза АА равняется 120 частям, то прямая
АЛ во всех пяти случаях, взятых в том же самом порядке, чтобы в
дальнейшем не повторяться, будет равна 0;2,59, 0;56,52, 1;7,58, 1;23,41,
1;50,9.  Следовательно,  стоящая  на  ней   [т.е.  хорде АЛ]  дуга  будет
приблизительно равна 0;2,50, 0;54,18, 1;4,54, 1;20, 1;45 градусу", каких
в описанной около прямоугольного треугольника АЛА окружности со-
431	держится 360; угол же АДВ или ZA© будет равен 0;2,50, 0;54,18, 1;4,54,
1;20, 1;45 градусов, 360 которых составляют два прямых угла, или же
0;1,25, 0;27,9, 0;32,27, 0;40, 0;52,30 градусов, 360 которых составляют
четыре прямых угла. Таким образом, поскольку точка А не отличается от
центра К, а дуга ZH© на несущественную величину больше Н0, так как
вся Земля является точкой по отношению к кругу EZH0, то дуга Н0
параллакса, если принять окружность EZH0 за 360 градусов, будет для
солнечного расстояния равна 0; 1,25, для лунных же — 0;27,9 в первом
случае, 0;32,27 во втором, 0;40,0 в третьем и 0;52,30 градусов в четвертом,
что и требовалось определить.
    Вычислив таким же образом параллаксы для каждого случая и для
других расстояний от полюса горизонта через 6 градусов вплоть до 90
градусов четверти окружности, мы составили для определения параллаксов
?•32 таблицу, имеющую тоже 45 строк и 9 столбцов. Из них в первом мы
поместили 90 градусов четверти окружности, возрастающих, конечно, через
2 градуса, во втором — соответствующие градусам каждой из этих дуг
шестидесятые доли солнечных параллаксов, в третьем — параллаксы Луны
для первого случая, в четвертом — избытки параллаксов второго случая
над параллаксами первого случая, в пятом — параллаксы для третьего
случая, в шестом — избытки параллаксов четвертого случая по отношению
100
к третьему . Так, например, для 30 градусов расстояния мы приняли
сначала 0;1,25 для Солнца, затем — 0;27,9 для первого случая Луны и
0;5,18, на которые параллакс второго случая превышает первый; далее,
опять — 0;40 для третьего случая и 0; 12,30, на которые параллакс
четвертого  случая  превышает третий.   Чтобы  было  удобно  вычислять

приращения параллаксов (по указанным расстояниям от полюса горизонта)
и для промежуточных положений [Луны] между апогеями и перигеями
[эксцентра и эпицикла] на основании значений, вычисленных в упомянутых
четырех случаях с использованием добавочных шестидесятых долей, мы
приложили три последних столбца, дающих соответствующие разности; их
вычисление мы произвели следующим образом.

Пусть АВГД [рис. 5.14] представляет лунный эпицикл с центром Е, а
Z будет центром Земли и круга, проведенного через середины зодиакальных
созвездий. Соединив AEAZ, проведем ZrB, затем соединим BE и ГЕ и
опустим на АД перпендикуляры ВН из точки В и Г© из точки Г. Сначала
предположим, что Луна [на эпицикле] отстоит от
истинного апогея А на дугу АВ, равную, например, 60
градусам. Таким образом, угол ВЕН будет равен 60
градусам, если принять четыре прямых угла за 360, или
же 120, если за 360 принять два прямых угла. Вследствие
этого стоящая на ВН дуга будет равна 120 градусам, каких
описанная около прямоугольного треугольника ВЕН окруж-
ность содержит 360, а дуга ЕН будет равна недостающим
до полуокружности 60 градусам. И, следовательно, из
стягивающих эти дуги прямых ВН будет равна 103; 55
частям, каких в диаметре ЕВ содержится 120, а ЕН —
60 таким же частям. Но когда центр Е эпицикла находится
в апогее эксцентра, то отношение ZE к ЕВ будет равно
отношению 60 к 5; 15; следовательно, если прямая ЕВ
равна 5; 15, то ВН будет равна 4;33, прямая ЕН — 2;38,
а вся HEZ — 62; 38. И так как квадрат на ZH вместе с
квадратом на НВ дает квадрат на ZB, то последняя прямая
будет равна 62;48 частям, каких расстояние ZA, соответ-
ствующее первому случаю, содержит 65; 15, расстояние
ЪЬ. второго случая — 54;45, а разность расстояний в двух
этих случаях АД — 10;30. И, следовательно, для положения В разность
по отношению к первому пределу будет равна [65;15р—62;48р = ] 2;27
частям, каких в полной разности расстояний имеется 10;30; таким образом,
если полную разность принять за 60, то тогда рассматриваемая нами разность
в В будет равна 14;0. Эти последние мы и поместим в седьмом столбце в
строке, содержащей половину числа 60, т.е. 30 градусов, так как все 90
градусов, стоящие в первом столбце таблицы, составляют половину 180
градусов от А до А101.
   На основании тех же самых рассуждений, если мы положим дугу Г А
равной тем же 60 градусам [что и дуга АВ выше ], то можно будет показать,
что Г© будет равна 4;33 частям, каких в радиусе ЕГ будет 5; 15, а в
Е© таких же частей будет 2;38 и, наконец, в остающейся Z© таких же
частей будет 57;22; вследствие этого гипотенуза Zr [прямоугольного
треугольника Zr©] будет их иметь 57;33. Если мы опять отнимем их от
соответствующих первому случаю 65; 15, то найдем, что остаток 7;42
составляет 44 шестидесятых от полной разности102. Это число мы поместим
в том же самом [седьмом] столбце в строке с числом 60, так как дуга
АВГ равна 120 градусам.
   
   Далее, взяв те же самые дуги [АВ и ГА], предположим, что центр
Е находится в перигее эксцентра; это положение соответствует третьему и
четвертому случаям. Так как в этом положении отношение ZE к ЕВ равно
отношению 60 к 8103, то, значит, если BE принять за 8, то каждая из
436	прямых ВН и Г© (в предположении, что дуги АВ и ГА равны 60 градусам)
окажется равной 6;56 частям, каких во всей прямой ZE имеется 60, а
каждая из ЕН и Е0 будет равна 4;0 таким же частям. Таким образом,
если ZH будет равна 64 таким же частям, a Z© — 56, то на основании
таких же рассуждений получится, что гипотенуза ZB [треугольника ZBH]
будет равна 64;23, а [гипотенуза] Zr [треугольника Zr©] — 56;26 таким
частям, каких в третьем случае прямая ZA содержит 68, а соответствующая
разности между третьим и четвертым случаями прямая ДА имеет 16.
Следовательно, если 64;23 мы отнимем от 68, то у нас останется 3;37,
которые составят 13;33 шестидесятых от всей разности 16. Эту величину
[13;33] мы точно так же поместим в строке с числом 30 в восьмом столбце.
Если же 56;26 мы отнимем от 68, то в остатке получается 11;34, которые
составляют 43;24 шестидесятых от полной разности 16; их мы точно так
же помещаем в том же самом восьмом столбце в строчке с числом 60104.
    Вот таким именно образом у нас получаются разности, происходящие
от перемещения Луны по эпициклу; те же, которые происходят от движения
эпицикла по эксцентру, мы определим так.
Пусть АВГД [рис. 5.15] представляет эксцентрический круг Луны с

437	центром Е и диаметром АЕГ, на котором мы предположим находящимся
центр Z круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий.
Проведя прямую BZA, будем опять считать, что каждый из углов AZB и
TZA равен 60 градусам, 360 которых составляют четыре прямых угла; это
бывает, когда элонгация равна 30 градусам при нахождении центра эпицикла
в В, или 120 градусам при нахождении его в Д.
Проведя соединительные прямые BE и ЕД, опустим
из Е на BZA перпендикуляр ЕН. Так как теперь
угол BZA равняется 120 градусам, каких в двух
прямых углах содержится 360, то находящаяся на
ЕН дуга будет равняться 120 градусам, каких в
описанной около прямоугольного треугольника В
EZH окружности имеется 360, а дуга на ZH будет
равна остающимся до полуокружности 60 градусам.
Следовательно, из находящихся под ними прямых
ЕН будет равна 103;55 частям, каких в гипотенузе
EZ содержится 120, a HZ равна 60 таким же
«в частям. Таким образом, если расстояние EZ между
центрами равно 10; 19 частям, а радиус эксцент-
ра — 49;41, то в прямой ЕН таких частей будет 8;56, а в ZH — 5;10.
И так как квадрат BE после вычитания квадрата ЕН дает квадрат ВН, то
каждая из прямых ВН и АН будет равна 48;53 таким же частям.
Следовательно, вся прямая ZB будет равна 54;3 частям, каких прямая
ZA первой пары случаев содержит 60, Zr второй пары — 39;22, их
разность — 20;38, а остаток ZA — 43;43 таким же частям. Теперь, так
как 60 превышают 54;3 на 5;57, которые от полной разности 20;38
составляют 17;18 шестидесятых, а 43;43 превышают на 16; 17, которые от

168

V.18. Таблица параллаксов


тех же 20;38 составляют 47;21 шестидесятых, то 17; 18 мы, конечно,
помещаем в девятом столбце в строке, соответствующей 30 градусам
элонгации, а 47;21 — в строке с числом 120, т.е. опять с числом 60, так
как при нахождении перигея на 90 градусов элонгации 60 и 120 по
расстоянию будут равносильными105.
    Вычислив таким же образом для других дуг получаемые шестидесятые «°
доли разностей по вышеизложенным трем видам разностей через 12 градусов,
которые опять будут соответствовать 6 градусам для находящихся в таблице
чисел, так как 180 градусов от апогеев до перигеев [эпицикла или эксцентра]
распределяются на 90 градусов [аргумента] таблицы, мы с каждым из
упомянутых чисел поставили рядом соответствующие шестидесятые доли,
найденные геометрически. Что касается поправок для промежуточных дуг,
то мы их нашли по закону равномерного приращения разностей в
шестиградусном интервале, поскольку при этом не получается никакой
существенной разницы по сравнению с числами, полученными  [строго]
геометрически, ни для шестидесятых долей, ни для самих параллаксов106.
И полученная таблица такова   .
18. Таблица параллаксов	442-443
См. с. 169
19. Об определении параллаксов	444
    
    Теперь, если мы хотим определить величину параллактического
смещения Луны для любого ее положения и прежде всего того, которое
получается на большом круге, проведенном через нее и полюс горизонта,
мы должны рассмотреть, на сколько равноденственных часов в заданном
климате она отстоит от полуденного круга . Найденную величину мы
вносим в таблицу углов для соответствующих климата и двенадцатой части
зодиака; во втором столбце таблицы мы найдем соответствующее этому
часу число градусов — полное или же с добавкой, приходящейся на часть
часа. Это число, представляющее расстояние Луны от полюса горизон-
та109 по тому же проведенному через нее большому кругу, мы вносим в
таблицу параллаксов и смотрим, в какую строку первого столбца оно
попадает, а также выписываем соответствующие этому числу величины,
находящиеся в следующих за солнечным параллаксом четырех столбцах,
т.е. в третьем, четвертом, пятом и шестом, каждую отдельно. После этого
определяем для указанного часа величину уточненной аномалии по
отношению к истинному апогею [эпицикла] и берем либо непосредственно
данную, либо, если она превышает 180 градусов, ее дополнение до 360
градусов. Беря всегда только половину определенных таким образом градусов 445
для внесения в числа первого столбца, смотрим, сколько шестидесятых в
отдельности соответствуют этому числу в седьмом и восьмом столбцах.
Стоящее в седьмом столбце число шестидесятых долей умножаем на
разность, стоящую в четвертом столбце, и всегда прибавляем к значению
параллакса в третьем столбце. [Точно так же] шестидесятые, стоящие в
восьмом столбце, мы умножаем на разность в шестом столбце и опять
всегда прибавляем к параллаксу из пятого столбца. Для полученных таким
образом двух параллаксов мы образуем разность; затем берем расстояние
Луны   в   среднем  движении   или  от   Солнца,   или   от  диаметрально

ЧислаПарал-
лаксы
Солнца
lc2(z)]Параллаксы ЛуныШестидесятые доли

1-й
случайРазность
для 2-го
случая
[с4(*)13-й
случайРазность
для 4-го
случая
[c6(z>]Для
эпицикла
в апогее
[с7(«)1Для
эпицикла
в перигее
[с8(«)1Для
эксцентра
[с9<л)12°
4
60°0' 7"
0 0 13
0 0 190° 1' 54"
0   3 48
0   5 410° 0' 23"
0   0 45
0   1   70° 3' 0"
0 6 0
0   9   00° 0' 50"
0   1 40
0   2 300' 14"
0 28
0 420' 11"
0 22
0 330' 15"
0 30
0 458
10
120 0 25
0 0 31
0 0 370   7 34
0   9 27
0 11 190   1 29
0   1 51
0   2 120 11 40
0 14 20
0 17   00   3 20
0   4 10
0   5   01	22
2	2
2 421   7
1	41
2	151	33
2	21
3	914
16
180 0 42
0 0 48
0 0 530 13 10
0 15   0
0 16 490   2 33
0   2 54
0   3 150 19 40
0 22 20
0 25   00   5 50
0   6 40
0   7 303	35
4	28
5	213	13
4	11
5	94	22
5	35
6	4820
22
240 0 58
0 1   4
0 1   90 18 36
0 20 22
0 22   60   3 36
0   3 57
0   4 180 27 40
0 30 20
0 33   00   8 20
0   9 10
0 10   06	39
7	57
9 156	25
7	41
8	578 25
10	2
11	3926
28
300 1 14
0 1 20
0 1 250 23 49
0 25 30
0 27   90   4 39
0   4 59
0   5 180 35 20
0 37 40
0 40   00 10 50
0 11 40
0 12 3010 50
12 25
14   010 29
12	1
13	3313 32
15 25
17 1832
34
360 1 30
0 1 35
0 1 400 28 46
0 30 21
0 31 540   5 37
0   5 55
0   6 130 42 20
0 44 40
0 47   00 13 20
0 14 10
0 15   015 52
17 44
19 3615 22
17 11
19   019 23
21 28
23 3338
40
420 1 44
0 1 49
0 1 540 33 24
0 34 51
0 36 140   6 30
0   6 47
0   7   40 49 0
0 51 0
0 53   00 15 40
0 16 20
0 17   021 36
23 36
25 3620 59
22 58
24 5725 40
27 47
29 5444
46
480 1 58
0 2   3
0 2   80 37 37
0 38 57
0 40 140   7 20
0   7 35
0   7 490 55 0
0 57 0
0 59   00 17 40
0 18 20
0 19   027 40
29 44
31 4827   1
29   5
31   932   0
34   6
36 1250
52
540 2 12
0 2 16
0 2 200 41 28
0 42 39
0 43 450   8   3
0   8 16
0   8 291 0 40
1 2 20
1   4   00 19 40
0 20 20
0 21   033 52
35 56
38   033 14
35 19
37 2438   9
40   6
42   356
58
600 2 23
0 2 26
0 2 290 44 48
0 45 48
0 46 460   8 42
0   8 53
0   9   31 5 20
1 6 40
1   8   00 21 20
0 21 40
0 22   040   0
42   0
44   039 24
41 24
43 2443 49
45 35
47 2162
64
660 2 32
0 2 34
0 2 360 47 40
0 48 30
0 49 150   9 13
0   9 22
0   9 311 9 20
1 10 40
1 12   00 22 20
0 22 40
0 23   045 50
47 40
49 3045 13
47	2
48	5148 49
50	17
51	4568
70
720 2 38
0 2 40
0 2 420 49 57
0 50 36
0 51 110   9 39
0   9 46
0   9 531 13 0
1 14 0
1 15   00 23 10
0 23 20
0 23 3050 56
52	22
53	4850	24
51	57
53 3052 57
54	9
55	2174
76
780 2 44
0 2 46
0 2 470 51 44
0 52 12
0 52 340   9 59
0 10   4
0 10   81 15 40
1 16 20
1 17   00 23 40
0 23 50
0 24   054 57
56	6
57	1554	41
55	52
57   356	12
57	3
57 5480
82
840 2 48
0 2 49
0 2 500 52 53
0 53   9
0 53 210 10 11
0 10 14
0 10 161 17 20
1 17 40
1 18   00 24 10
0 24 20
0 24 3057	57
58	39
59	2157	47
58	31
59	1558 26
58	58
59	3086
88
900 2 50
0 2 51
0 2 510 53 29
0 53 33
0 53 340 10 16
0 10 17
0 10 171 18 20
1 18 40
1 19   00 24 40
0 24 50
0 25   059 34
59	47
60	059 30
59	45
60	059 40
59	50
60	0
противоположной ему точки, выбирая всегда меньшее из обоих этих
расстояний, и вносим его в числа первого столбца. Шестидесятые,
соответствующие ему в девятом и последнем столбце, мы умножаем на
разность параллаксов, которую мы нашли, и полученную величину всегда
прибавляем к меньшей, т.е. к определенной из третьего и четвертого
столбцов. Полученная сумма покажет нам параллактическое смещение Луны
по тому же большому кругу, проведенному через нее и полюс горизон- «««
та110. Солнечный параллакс в подобном положении для солнечных затмений
берется просто из соответствующих градусов второго столбца для величины
дуги от полюса горизонта.
   Чтобы определить параллакс Луны по отношению к кругу, проходящему
через середины зодиакальных созвездий, как по долготе, так и по широте,
мы вносим в ту же самую часть таблицы углов111 число равноденственных
часов, на которое Луна отстоит от полуденного круга, и находим
соответствующие этому числу часов градусы. Если Луна еще не дошла до
полуденного круга, мы берем их в третьем столбце, если же уже прошла,
то в четвертом; если найденное число градусов будет менее 90, то мы
записываем его, если же оно больше 90, то записываем его дополнение до
180. Такова будет величина наименьшего из углов при рассматриваемом
пересечении [эклиптики и круга высоты], выраженная в градусах, каких
один прямой угол содержит 90. Теперь, удвоив записанное число градусов,
вносим его в таблицу прямых в круге112 вместе с его дополнением до 180.
Отношение прямой, стягивающей дугу с этим удвоенным числом градусов,
к прямой, стягивающей дугу, представляющую дополнение до полуокруж-
ности, дает нам отношение параллакса по широте к параллаксу по долготе, 447
так как соответствующие дуги этих кругов не очень отличаются от прямых.
Умножив теперь числа, полученные для этих прямых, на найденную
величину параллакса для большого круга, проходящего через полюс
горизонта, и разделив полученные величины каждую раздельно на 120, мы
получим соответствующие параллаксы [по долготе и по широте] равными
из
наиденным после деления числам   .
   Относительно параллаксов по широте мы можем сказать, что если полюс
горизонта на полуденном круге стоит севернее делящей небо пополам точки
зодиакального круга, то параллакс будет смещать [положения светил] к
югу; если же полюс горизонта будет южнее точки, которая делит небо
пополам, то параллакс по широте будет направлен к северу. Что же касается
параллаксов по долготе, то (поскольку величины данных в таблице углов
дают северный угол из тех двух, которые образует дуга зодиака, идущая
в направлении последовательности знаков) при параллаксе по широте к
северу параллакс по долготе будет иметь направление против последова-
тельности знаков, если рассматриваемый угол будет больше прямого, и в
направлении последовательности, если он меньше прямого; если же
параллакс по широте будет к югу, то, наоборот, при рассматриваемом угле,
большем прямого, параллакс по долготе будет в направлении последова-
тельности знаков, если же он меньше прямого, то против последователь- 448
114
ности    .
   Во всем изложенном выше мы предполагали, что Солнце не имеет
никакого заметного параллакса, зная, впрочем, что его параллакс,
определенный нами в дальнейшем, влияет на Солнце и производит
некоторую разницу [в его положении]. Однако мы считаем, что получаемая
   
вследствие этого неточность в наблюдаемых явлениях не является настолько
существенной, чтобы необходимо было изменять что-нибудь в произведенных
без ее учета вычислениях, которые мы вкратце изложили выше. Подобно
этому при определении параллаксов Луны мы довольствуемся углами и
дугами, образованными кругом через середины знаков в пересечении с
большим кругом, проведенным через полюсы горизонта, тогда как следовало
бы взять углы, получаемые у наклонного круга Луны [с кругом высоты].
Мы делали так, поскольку получающаяся вследствие этого разница в
сизигиях для затмений неощутима115, а если учесть и это, то доказательства
стали бы очень сложными, а вычисления трудными, поскольку расстояние
Луны от узла не фиксировано для данного положения Луны на зодиаке,
но претерпевает сложные изменения как по величине, так и по положению.

   Чтобы пояснить сказанное, возьмем отрезок АВГ круга, проходящего
через середины зодиакальных созвездий [рис. 5.16],
и отрезок АА лунной орбиты. Пусть узел будет в
точке А, а центр Луны в А. Проведем через А
перпендикуляр АВ к кругу, проходящему через
середины зодиакальных созвездий. Пусть Е будет
полюсом горизонта; проведем через него две дуги
больших кругов, а именно EAZ через центр Луны
и ЕВ через точку В. Пусть параллактическое
смещение Луны изобразится дугой АН; проведем
через Н два перпендикуляра, НО и НК, к прямым
ВД и BZ. Таким образом, из расстояний узла по
долготе истинным будет АВ, а видимым — АК, из
расстояний же по широте от круга через середины
знаков истинным будет АВ, а видимым КН; затем
для параллакса ДН, наблюдаемого по отношению к
зодиаку, параллакс по долготе будет равен ОН, а
по широте ДО.
   На основании изложенного известно, что параллакс ДН определяется
по заданной дуге ЕД, а каждая из составляющих параллакса ДО и ОН —
по заданному углу TZE. Только что мы нашли, каковы для заданных точек
зодиака будут величины дуг и углов, образуемых кругом, проходящим через
полюс горизонта; и в этом случае из заданных величин мы имеем только
точку В круга через середины знаков. Ясно поэтому, что вместо дуги
ЕД мы воспользуемся ЕВ, а вместо угла TZE возьмем ГВЕ.
   Хотя Гиппарх постарался дать соответствующее исправление, но,
по-видимому, сделал это вообще необдуманно, и даже противно рассудку.
Прежде всего, он пользовался только одним расстоянием АД, а не всеми,
или хотя бы большей частью, как следовало бы делать человеку,
намеревающемуся добиться высокой точности. Затем, он не заметил, что
впал в большие и еще более странные ошибки. Действительно, оказывается,
что он [как и мы] определил дуги и углы, относящиеся теоретически к
кругу через середины знаков зодиака, вычисляя ДН по заданной ЕД; это
он показал в первой книге своего сочинения «О параллаксах». Но он при
определении дуги ЕД пользуется как заданными дугой EZ и углом EZT.
Таким образом, вычислив во второй книге дугу ZA, он считает известной
дугу ЕД как остаток. Он, однако, ошибся, не заметив, что на круге через
середины знаков зодиака известной является точка В, а не Z; вследствие
   
этого из дуг будет заданной ЕВ, но не EZ, а из углов ГВЕ, но не TZE.
Между тем именно эти величины [дуга EZ и угол EZr], принятые как
исходные, необходимы для определения даже такой частичной коррекции.
Ведь во многих случаях разность между дугами
ЕА и EZ будет очень значительной, тогда как
разность между BE (а известна на самом деле
лишь она) и ЕА составляет самое большее
величину дуги ВД для любого данного рассто-
яния [Луны] от узла116.
   Правильный метод для определения поп-
равки [за параллакс] мы могли бы уяснить
так.
   Пусть АВГ будет зодиаком [рис. 5.17], а
ДВЕ пересекает его под прямым углом. Пусть
Луна находится в точках Д или Е, отстоя по
широте от круга через середины знаков АВГ
на дугу ВД или BE, так что для точки В
зодиака заданы дуга и угол большого круга,
проведенного из полюса горизонта, и требуется
определить углы, получающиеся при Д или
Е117.
    Если зодиак расположен так, что будет
перпендикулярен к дуге большого круга, про-
веденного через точку Z, которую мы предпо-
лагаем совпадающей с полюсом горизонта, и
через точку В, то ZB, очевидно, совпадает с
дугой ДЕ, и наблюдаемые при Д и Е углы
будут такими же, как при В; ибо вследствие
этого они будут перпендикулярны к зодиаку.
Дуга же ZA будет меньше ZB на величину
ВА, a ZE будет больше ее на BE, причем обе
эти дуги будут заданными.
    Если же зодиак АВГ совпадает с большим
кругом, проведенным через полюс горизонта
[рис. 5.18], то, предполагая, что этот полюс
находится в А, проведем соединительные
линии АД и АЕ; они будут отличаться от дуги
АВ, а углы В АД и ВАЕ от того, который в
предыдущем случае вообще не существовал.
Дуги АД и АЕ будут заданными, если известны
величины АВ, ВД и BE; мы используем
терминологию прямых линий, так как они не
отличаются на заметную величину от дуг;
действительно, сложив их квадраты, мы по-
лучим квадраты АД и АЕ, а вследствие этого
будут также даны и углы ВАД и ВАЕ.
При наклонном же положении зодиака [к кругу высоты ], если из полюса
горизонта Z провести соединяющие линии ZB, ZHA и ZEO [рис. 5.19],
то будут даны дуга ZB и угол ABZ, а следовательно, также и ВА с BE.
    
«4 Требуется же, чтобы были даны дуги ТА и ZE и также углы AHZ и
A0Z; они определятся, если опустить на ZB перпендикуляры ДК и ЕЛ.
    Так как угол ABZ дан, а угол ABE всегда прямой, то будут данными
и прямоугольные треугольники ВКД и ВЛЕ, и отношение ZB к сторонам,
прилегающим к прямому углу, отношения ZB к гипотенузам ДВ и BE
являются [также] данными. Таким образом, вследствие этого будут данными
и гипотенузы ZA, ZE, и углы AZK и EZA, представляющие разности
искомых углов с данными; действительно, угол AHZ больше ABZ на угол
AZB, а угол A0Z меньше ABZ на угол EZA. Ясно, что, предположив
расстояния по широте одинаковыми, мы получим наибольшую разницу
между углами, когда точка В будет совпадать с полюсом горизонта, ибо
тогда при В не получается никакого угла, а соединяющие этот полюс с
А и Е линии образуют прямые углы с зодиаком. В таком же положении
будет наибольшая разность и между дугами, ибо при В опять не получается
455	никакой дуги, а дуги при А и Е будут такими же, как расстояния Луны
по широте; то же будет, и когда круг, проведенный через полюс горизонта,
будет перпендикулярен к зодиаку, ибо тогда опять дуги ZA и ZE будут
отличаться от ZB на величину расстояния по широте. В других же
положениях АЕ, наклонной к ZB, разности дуг и углов будут меньшими.

   Таким образом, если Луна будет отстоять от круга через середины
знаков зодиака по широте на 5 градусов, то наибольшая разница между
параллаксами [вычисленными на эклиптике и лунной орбите] будет
представлять около 10 шестидесятых. Действительно, 5 градусов наибольшей
разности дуг дают именно столько шестидесятых параллакса при наибольших
избытках в наименьших расстояниях [Луны от наблюдателя]. Когда же в
солнечных затмениях расстояние Луны по широте
является наибольшим и становится приблизитель-
но равным 11/2 градусу, то разница в параллаксе А
будет равна 1V2 шестидесятой, но это случается
редко118.
    Таким образом, можно было бы предложить
следующий метод исправления углов и дуг как
456	более удобный, если бы кто-нибудь захотел иметь
дело с такими небольшими величинами. Удваива-
ем число, определяющее угол [между кругом
высоты и эклиптикой], и вводим его в таблицу
119
прямых в круге , а также его дополнение до
двух прямых углов. Находящиеся в ней числа,
соответствующие принятому значению аргумента,
умножаем по отдельности на градусы широты,
делим каждое из произведений на 120 и
полученную часть для первого угла отнимаем от	рис. 5.20
дуги, проходящей через полюс горизонта, когда
последний и Луна находятся с одной стороны [зодиака], или прибавляем,
когда они находятся с разных сторон. Затем полученные величины умножаем
каждую на саму себя, складываем с квадратами чисел для дополняющего
угла и, извлекая корень из суммы, находим соответственно искомую дугу
[ZE или ZA]. Затем умножаем на 120 числа, записанные для дополняющего
угла, и делим результат на дугу [ZE или ZA], которую мы нашли. С
найденной [прямой] входим в таблицу прямых в круге, берем соответст-

вующую дугу [в столбце аргумента] и делим ее пополам. Мы прибавляем
результат к величине первого угла, если исправленная дуга больше исходной,
или отнимаем от него, если она меньше, и таким образом получаем
исправленный угол120.
   Предположим для примера, что на приведенном выше чертеже
[рис. 5.20] дуга ZB равна 45 градусам, угол ABZ равен 30 таким градусам,
каких в одном прямом угле содержится 90, а каждая из дуг ДВ и BE
широты равна 5 градусам.
   Так как удвоенным 30 градусам, т.е. 60, соответствует прямая в 60 457
частей, а дополнению до двух прямых углов, т.е. 120 градусам, соответствует
прямая приблизительно в 104 части, то отношение ВЛ к ЛЕ будет равно
отношению 60 к 104. Такое же отношение будет и у ВК к ДК, если
гипотенузу [BE или ВД] предположить равной 120. Умножив каждое из
этих чисел на 5 градусов гипотенузы и разделив их на 120, получим, что
каждая из KB и ВЛ будет составлять 2;30 таких же части, а каждая из
ДК и ЕЛ — 4;20 таких же части. Если Луна предполагается в точке Е,
то мы сначала отнимаем 2;30 от 45 градусов дуги ZB, так как полюс
горизонта и положение Луны по широте находятся по одну сторону от
зодиака, т.е. оба или севернее, или южнее его; получим, что ZA равна
42;30 градусам. Если же Луна находится в Д, то прибавляем их, поскольку 458
мы имеем противоположный случай; получаем, что ZK равна 47;30 градусам.
Сложив теперь квадраты на ZK и ZA раздельно с квадратами на ДК и
ЕЛ, т.е. квадрат 4;20 с квадратом 42;30 и затем [квадрат 4;20] с квадратом
47;30, и взяв квадратные корни из каждой суммы в отдельности, получим,
что дуга ZE равна приблизительно 42;46 градусам, а дуга ZA — 47;44.
Остающиеся 4;20 умножаем на 120 и, разделив полученное отдельно на
42;46 и 47;54, получим, что ЕЛ равняется приблизительно 12;8 частям,
каких в гипотенузе ZE будет 120, а ДК — приблизительно IO1/2V3 частям,
каких в гипотенузе ZA будет 120. Но дуга, соответствующая прямой в 12;8
частей, равна ПЗ/5 градусам, а соответствующая прямой в IOV2V3 частей —
приблизительно IOV3 градусам. Взяв половины этих дуг, отнимем угол
EZA, т.е. 54-5 градусов, от угла ABZ, т.е. от 30 градусов, так как дуга
ZE меньше ZB, и получим угол A0Z, равный 241/5 градуса. А угол
AZK, т.е. 5Уб градусов, прибавим к тем же самым 30 градусам, так как «9
дуга ZA будет больше ZB, и получим угол AHZ, равный 35Уб градусам.
Это и предполагалось определить.
   
VI. I. О новолуниях и полнолуниях

175









Книга VI


1. О новолуниях и полнолуниях
   Теперь нам нужно разобрать определение соединений Солнца и Луны,
в которых происходят затмения. Этому в свою очередь должно предшест-
вовать исследование истинных наблюдаемых новолуний и полнолуний. Мы
полагаем, что в качестве первого представления об этом будут достаточными
определенные выше для каждого из светил движения — периодические и
по аномалии; с их помощью не боящиеся труда смогут в каждом отдельном
случае рассчитать место и время будущих сизигий — как получающиеся
через средние движения, так и точные, т.е. с учетом аномалии. Вместе с
этим для более удобного их исследования мы предварительно установили
не только времена и места периодических новолуний и полнолуний, но
также положения Луны по аномалии и широте, вычисленные в эти средние
времена, при помощи которых можно сделать поправку для определения
точных сизигий, а на их основании — и тех, в которые бывают
затмения; для этого исследования мы подготовили таблицы следующего
содержания.

2. Построение таблиц средних сизигий
   Прежде всего, чтобы опять установить для месяцев эпоху от первого
года Набонассара, как и для других астрономических явлений, мы берем
указанную  для  начала  египетского  месяца  Тот  этого года  величину
элонгации, равную 70;37 градусам1, и делим на среднее дневное изменение
элонгации; получаем 5;47,33 дней, на которые среднее новолуние предше-
ствовало полудню 1-го числа месяца Тот. И, значит, следующее за тем
новолуние имело место приблизительно через 23;44,17 дня после этого
самого полудня, т.е. через 44; 17 шестидесятых дня после полудня 24-го
числа. В течение 23;44,17 дней Солнце в среднем движении проходит
23;23,50 градуса, а Луна — 310;8,15 градусов аномалии и 314;2,21 градусов
[аргумента] широты. В полдень 1-го числа месяца Тот среднее положение
Солнца было на 0;45 градусов Рыб, или на 265; 15 градусах от собственного
апогея, Луна же была по аномалии на 268;49 градусах от апогея эпицикла
и на 354; 15 градусах [аргумента] широты от северной точки наклонной
орбиты. Следовательно, в указанное время среднего новолуния после начала
месяца [Тот] среднее расстояние Солнца и Луны от солнечного апогея, т.е.
от 5;30 градусов Близнецов, было 288;38,50 градусов; Луна же по аномалии

была на 218;57,15 градусах от апогея, а по [аргументу] широты — на
308; 17,21 градусах от северного предела .
   Первую таблицу новолуний мы составим опять из 45 строк и 5 столбцов.
В первой строке первого столбца мы поместим первый год Набонассара, во
втором столбце — 24;44,17 дня4 месяца Тот, так как избыточные шестидесятые
считаются от полудня 24-го числа, в третьем столбце — 288;38,50 градусов
среднего расстояния от апогея Солнца, в четвертом — 218;57,15 градусов от
апогея лунной аномалии, в пятом — 308; 17,21 градусов [аргумента] широты
от северного предела. Поскольку же в половине продолжительности среднего
месяца содержатся приблизительно 14;45,55 дней, 14;33,12 градусов
солнечной элонгации, 192;54,30 градуса лунной аномалии и 195;20,6 градусов
[аргумента] широты, то, отняв эти числа от соответствующих значений 464
для рассматриваемого новолуния, поместим полученные остатки в начало
второй таблицы, построенной таким же образом, но предназначенной для
полнолуний. У нас получилось 9;58,22 дней, 274;5,38 градуса от солнечного
апогея, 26;2,45 градусов аномалии от апогея Луны, 112;57,15 градусов
[аргумента] широты от северного предела. Далее, так как в 25 египетских
годах без 2;47,5 шестидесятых одного дня содержится приблизительно целое
число месяцев5 и Солнце в среднем движении за вычетом полных оборотов
проходит 353;52,34,13 градуса, а Луна — 57;21,44,1 градусов аномалии,
117; 12,49,54 градусов [аргумента] широты, мы будем увеличивать числа
первых столбцов обеих таблиц на 25 лет, числа вторых — уменьшать на
0;2,47,5 градусов, числа третьих — увеличивать на 353;52,34,13, четвер-
тых — на 57;21,44,1 и пятых — на 117; 12,49,54 градусов.
   После этих таблиц мы составим еще годичную таблицу в 24 строки и
месячную в 12 строк и с тем же числом столбцов, что и в первых. В первых
строках месячной таблицы мы поставим в первом столбце первый месяц,
во втором — 29;31,50,8,20 дней месяца, в третьем — соответствующие 465
этому времени 29;6,23,1 градусов для Солнца, в четвертом — 25;49,0,8
градусов лунной аномалии, в пятом — 30;40,14,9 градусов [аргумента]
широты6. Будем и эти числа увеличивать на те же величины, которые
стоят в первых строках. В годичной таблице в первой строке мы ставим
в первом столбце первый год, во втором — остающиеся от 13 месяцев
18;53,51,48 дней, в третьем — соответствующие этому времени 18;22,59,18
градусов прибавления солнечного движения, в четвертом — 335;37,1,51
градусов лунной аномалии, в пятом — 38;43,3,51 градусов [аргумента]
широты. Будем увеличивать эти числа иногда на указанные прибавления
за 13 месяцев, а иногда — на прибавление за 12 месяцев. Они составляют
354;22,1,40 дня, 349; 16,36,16 градусов солнечной элонгации, 309;48,1,42
градусов лунной аномалии, 8;2,49,42 градусов [аргумента] широты для того,
чтобы найти первую сизигию [каждого года], которая произойдет через
целое число египетских годов . Поставленные числа достаточно иметь
с точностью до вторых шестидесятых. И расположение этих таблиц
таково.

VI.3. Таблицы новолуний и полнолуний

177


466-471	3. Таблицы новолуний и полнолуний

178	V1.3. Таблицы новолуний и полнолуний

Пределы затмений
Солнца в среднем движении [по широте]:
от 69;19° до 101;22° и от 258,38° до 290;41°
Луны в среднем движении [по широте]:
от 74;48° до 105;12° и от 254;48° до 285;12°

4. О том, как следует определять средние и истинные сизигии        472
    
    Если мы хотим для какого-нибудь исследуемого года определить средние
наблюдаемые сизигии, то мы должны вычислить номер рассматриваемого
года, каким он будет от первого года Набонассара, и определить, какие
строки содержат [в сумме] это число годов — как в первых двух таблицах
двадцатипятилетий, так и в третьей таблице простых годов. Соответствую-
щие обеим этим строкам числа в столбцах мы последовательно складываем:
при вычислении новолуний — из первой и третьей таблицы, а при
вычислении полнолуний — из второй и третьей. После сложения чисел
второго столбца мы получим время сизигий, отсчитываемое от начала
рассматриваемого года; например, если после сложения получилось 24;44
дня, то оно будет иметь место по истечении 44 шестидесятых после полудня
24-го числа месяца Тот; если же это число будет 34;44, то по истечении
такого же числа шестидесятых долей после полудня 4-го числа месяца
Фаофи9. По числам третьего столбца мы определим [среднее] расстояние
Солнца в градусах от апогея, по числам четвертого — градусы аномалии
Луны, считая от апогея [эпицикла], по числам пятого столбца определим *73
число градусов расстояния [по аргументу ] широты от северного предела.
Таким же образом мы вычислим и следующие за этим [сизигии этого года],
все или некоторые в зависимости от нашего желания, при помощи четвертой
таблицы для месяцев путем соответствующего сложения, превращая ради
удобства для каждого полученного времени шестидесятые доли дня в
равноденственные часы. Однако время в часах, получающееся после
сложения, будет выражено в средних солнечных сутках; оно не всегда будет
совпадать с наблюденным местным временем в сезонных часах, но должно
быть пересчитано с учетом неравенства солнечных суток. Мы введем
поправку и на это, определив разницу, как уже было показано; если
прибавка времени будет больше выраженной в неравномерных часах, то
вычтем ее из суммы, полученной в предположении среднего суточного
времени; если же она будет меньше, то прибавим ее к последней10.
    Определив таким образом времена новолуний и полнолуний, наблюдае-
мых в среднем движении, а также величины соответствующих им неравенств
для каждого из светил, мы сможем легко получить время и место для
истинных сизигий, а также положение Луны по широте, если сопоставим
оба неравенства. Действительно, зная каждое из них, мы можем при помощи
найденного простафереза определить для момента средней сизигии истинные
положения Солнца и Луны и широту последней; если их положения будут
соответствовать одному и тому же [для соединений] или диаметрально
противоположному [для оппозиций] числу градусов, то это же время будет 474
и для истинной сизигии, если же нет, то, взяв градусы расстояния между
светилами и прибавив к ним двенадцатую их часть, представляющую
приблизительно величину движения Солнца, посмотрим, во сколько
равноденственных часов Луна пройдет тогда в своем неравномерном
движении такое же число градусов. Полученное число часов мы прибавим
ко времени средней сизигии, если истинное положение Луны будет отставать
от [положения] Солнца, или отнимем от него, если Луна будет опережать
Солнце11.
    Точно так же полученные таким образом градусы расстояния обоих
светил, сложенные опять с двенадцатой их частью, мы прибавим к
найденному положению Луны, если установленное по времени средней
    
сизигии истинное положение Луны будет меньше положения Солнца; если
же оно будет больше, то отнимем их [от положений Луны] по долготе и
[аргументу] широты. Таким образом, мы будем иметь время истинной
сизигии, а также приблизительно и место Луны на ее наклонной орбите.
    Неравномерное движение Луны за один час вблизи сизигий определяется
каждый раз следующим образом. Число градусов аномалии Луны для
соответствующего времени вносим в таблицу лунного неравенства и по
разности соответствующих ему простаферезов находим разницу, соответст-
475	вующую 1 градусу аномалии. Умножаем ее на часовое среднее движение
аномалии, т.е. на 0;32,40, полученное произведение отнимаем от 0;32,56
— среднего часового движения по долготе, — если число аномалии попадает
в строки, стоящие выше наибольшего простафереза, или же прибавляем к
нему, если число аномалии будет в строках, стоящих ниже его. Полученный
результат покажет, на какую величину Луна в неравномерном движении по
долготе передвинется за 1 равноденственный час12.
   Таким образом, у нас определится время истинных сизигий для
Александрии, поскольку все относительные положения светил в соответст-
вующие времена мы взяли по часам для александрийского меридиана. Но
из полученных для Александрии времен легко можно будет найти и
соответствующие той же сизигии для любого климата, если будет дано
выраженное в равноденственных часах расстояние от указанного меридиана.
Действительно, если по разнице долготы мест определим меридиан
рассматриваемой страны, а именно, на сколько градусов он отличается от
александрийского, и если меридиан рассматриваемой местности будет лежать
к востоку от Александрии, то там наблюдаемое явление произойдет позднее
на такое же число часов, а если к западу, то на такое же число часов
раньше, причем опять 15 градусов времени будут, конечно, всегда
соответствовать 1 равноденственному часу.

476	5. О пределах для затмений Солнца и Луны
    После этого введения следовало бы изложить относящееся к предельным
сближениям Солнца и Луны, при которых могут иметь место затмения,
чтобы нам не нужно было производить расчет для всех средних сизигий,
но только для таких, при которых могут произойти затмения. Определение
это может быть легко сделано при помощи соответствующего каждой сизигии
среднего положения Луны по широте.
   В предыдущей книге мы показали, что диаметр Луны стягивает дугу в
31;20 шестидесятую одного градуса в круге,  описанном около центра
большого круга зодиака радиусом, равным наибольшему ее расстоянию13.
Мы вычислили это при помощи двух затмений, имевших место около апогея
ее эпицикла. Теперь же, когда мы предполагаем определить наибольшие
пределы для сизигиев, в которых могут иметь место затмения, а это
соответствует нахождению Луны в перигее ее эпицикла14, мы опять сделаем
это при помощи двух затмений, наблюденных в перигее, так как подобные
величины надежнее определять из действительно наблюденных явлений, и
так же вычислим, какую дугу стягивает лунный диаметр в этом положении.
477	Так вот, в 7 год Филометора, который является 574 после Набонассара,
в ночь с 27-го на 28-е число египетского месяца Фаменот, начиная с 8-го
часа и до конца 10-го, в Александрии затмилась Луна в наибольшей фазе
на 7 пальцев с севера15. Так как время средней фазы соответствовало

2Уг часам местного времени после  полуночи,  которые соответствовали
21/з равноденственным16, поскольку истинное положение Солнца было на
6V4 градусах Тельца, то время, прошедшее от упомянутой эпохи до
затмения, получается равным 573 египетским годам, 206 дням и 14Уз
равноденственным часам по обычному счету, или только 14, если отнести
к   средним   суткам.   В   это   время   среднее   положение   центра   Луны
1 7
соответствовало 7;49 градусам Скорпиона, а истинное — 6; 16 градусам ,
расстояние от апогея эпицикла было 163;40 градуса, а от северного предела
наклонного круга — 98;20 градусов. Ясно, что когда центр Луны отстоял
от узла на 8; 20 градусов по наклонной орбите в наименьшем расстоянии
Луны, а центр тени находился на большом круге, проведенном через это
положение перпендикулярно орбите (в этом положении получаются наибольшие
затмения), то в тень была погружена Уг и У12 часть диаметра Луны.
   Затем в 37 год третьего периода Калиппа, который является 607 после
Набонассара, в ночь со 2-го на 3-е число египетского месяца Тиби, в 478
начале 5-го часа на Родосе начала затмеваться Луна, и в наибольшей фазе
было затемнено 3 пальца с юга . Поскольку и в этом случае начало
затмения произошло за 2 часа местного времени перед полуночью, что
соответствует 2V3 равноденственным часам на Родосе и в Александрии, так
как истинное положение Солнца было на 5;8 градусах Водолея, то время
средней фазы, когда затенение было наибольшим, соответствовало при-
близительно 11/2Уз равноденственному часу до полуночи19. Таким образом,
время, прошедшее от упомянутой эпохи до середины затмения, оказывается
равным 606 египетским годам, 121 дню и 10Уб равноденственным часам
как по обычному счету, так и отнесенным к средним суткам. В это время
среднее положение центра Луны было на 5; 16 градусах Льва, а истинное —
20
на 5;8 ; расстояние от апогея эпицикла равнялось 178;46 градусам, а от
северного предела наклонной орбиты — 280;36 градусам. Отсюда ясно, что
когда центр Луны на наклонной орбите находился на 10; 36 градусах от
узла в том же наименьшем расстоянии, а центр тени — на пересечении
больших кругов, проведенных один через середины зодиакальных созвездий,
а другой через центр Луны — перпендикулярно ее наклонной орбите, то
в тень попадала четвертая часть лунного диаметра.
    Но если центр Луны находился на 8 Уз градусах от узла по наклонной 479
орбите, то от круга через середины знаков он отстоял на 43Уго шестидесятых
долей градуса по большому кругу, проведенному через его полюсы21; если
же он отстоял от узла на ЮУ5 градуса по наклонной орбите, то от круга
через середины знаков он отстоял на 54УгУз шестидесятых долей одного
градуса по большому кругу, проведенному через его полюсы. Поскольку же
разность между обоими затмениями соответствует Уз лунного диаметра, а
разность упомянутых двух расстояний ее центра по тому же самому
большому кругу от той же точки эклиптики, т.е. центра тени, равна 11;47
шестидесятым одного градуса, то ясно, что весь диаметр Луны на большом
круге,  описанном наименьшим  ее расстоянием около центра  зодиака,
стягивает дугу приблизительно в 35 Уз шестидесятых долей одного градуса22.
Но так как во втором из упомянутых затмений, когда затмилась Щ лунного
диаметра, центр Луны отстоял от центра тени на 54УгУз шестидесятых, а
от точки, в которой окружность тени пересекается соединяющей эти центры
линией,   был  удален  на   У4 лунного диаметра,   что  равняется  8У2У3 4во

шестидесятым градуса, то отсюда ясно, что радиус тени в наименьшем
расстоянии Луны составляет 46 шестидесятых градуса. И он приблизительно
23

в 23/5 раза больше радиуса Луны, равного \1Уъ шестидесятым . Но радиус
Солнца на том же большом круге, проведенном через него вокруг центра
зодиака, стягивает дугу в 15;40 шестидесятых, так как мы показали, что
в наибольшем расстоянии в сизигиях Солнце и Луна покрывают одинаковые
величины своими собственными кругами. Следователь-
но, если видимый центр Луны отстоит от центра	р д
Солнца на 0;33,20 градусов в ту или другую сторону
от круга через середины знаков, то это и есть та
предельная ситуация, в которой диск Луны видимым
образом может коснуться солнечного24.
    Если теперь мы вообразим, что АВ представляет
дугу круга [рис 6.1], проведенного через середины
зодиакальных созвездий, а ГА — дугу наклонной
орбиты Луны, которая приблизительно параллельна
первой для промежутков, соответствующим временам
затмений, а затем через полюсы наклонного круга
проведем дугу АЕГ большого круга и вообразим вокруг
точки А полудиск Солнца, а вокруг Е видимый
полудиск Луны, когда он в первый раз касается солнечного в точке Z, то
дуга АЕ, представляющая расстояние видимого центра Е Луны от центра
А Солнца, может когда-нибудь сделаться равной упомянутому 0;33,20 градусов.
Но в местах, начиная от Мероэ, где наибольший день равняется 13
равноденственным часам, вплоть до устьев Борисфена25, где наибольший
день равняется 16 равноденственным часам, наибольшее параллактическое
смещение Луны к северу в наименьшем расстоянии в сизигиях будет с
учетом солнечного параллакса приблизительно 0;8, а наибольшее парал-
лактическое смещение к югу — 0;58 градусов. Наибольшее параллактиче-
ское смещение ее по долготе будет иметь место, когда ее [широтный]
параллакс к северу равен 0;8 градусов, и соответствует приблизительно 0;30
градусов в окрестности Льва или Близнецов. Если же параллактическое
смещение [по широте] к югу равно 0;58, то наибольший параллакс по
долготе будет приблизительно 0; 15 в окрестности Скорпиона и Рыб .
Следовательно, если мы предположим, что истинное положение центра
Луны будет в А, и проведем соединительную линию АЕ, представляющую
полное параллактическое смещение, то АГ будет приблизительно параллак-
сом по долготе, а ГЕ — по широте. Таким образом, когда Луна находится
к северу от Солнца и имеет наибольшее параллактическое смещение к югу,
то АГ будет равна 0; 15, а АЕГ — приблизительно 1 ;31 градусу27. И так
как отношение дуги орбиты от узла до точки Г к дуге ГА (расстоянию
между пределами затмений) равно отношению 111/2 к 1 (ибо это мы легко
можем сообразить на основании определенного ранее наклона круга лунной
орбиты), то сама дуга от узла до точки Г равна 17;26 градусам, а вместе
с ГА — 17;41 градусам. Когда же Луна, находясь к югу от Солнца, имеет
наибольшее параллактическое смещение к северу, то АГ будет равна 0;30,
а вся АЕГ — 0;41. На основании тех же рассуждений расстояние от узла
до точки Г будет равно 7;52 градусам, а вместе с отрезком ГА — 8;22
таким же градусам. Следовательно, когда истинное расстояние центра Луны

от каждого из узлов по наклонной орбите будет составлять 17;41 градусов
к северу или 8;22 градусов к югу, только тогда в упомянутых местах
обитаемого мира возможно будет видимое касание диска Луны и
солнечного.
   Далее, так как наибольшая разность солнечного неравенства оказалась
равной 2;23 градусам, а лунного во время сизигий 5;1 градусам, то возможно,
что когда-нибудь расстояние Луны от Солнца в средних сизигиях будет в 4«з
действительности равным 7;24 градусам. Однако за то время, когда Луна
пройдет эти градусы, Солнце продвинется вперед приблизительно на V13
их часть, т.е. на 0;34; когда же Луна пройдет эти 0;34 градуса, Солнце
опять продвинется на 1/13 их часть, т.е. приблизительно на 0;3 градуса,
для которых Из часть не представляет ничего существенного. Следовательно,
если эти 0;37 градусов, представляющие У12 часть первоначальных 7;24
градусов, мы прибавим к 2;23 градусам солнечного неравенства, то получим
3 градуса, представляющие приблизительно наибольшую разницу по долготе
и [по аргументу] широты между средним положением [светил] в среднюю
28
сизигию и их истинным положением [в истинную сизигию] . И, сле-
довательно, если среднее положение центра Луны отстоит от узла по
наклонной орбите на 20;41 градусов к северу, или на 11;22 к югу, то
только тогда возможно в вышеупомянутых местностях видимое касание
солнечного и лунного дисков. И на этом основании, если отсчитываемое
от северного предела по наклонной орбите Луны число градусов,
соответствующее средним сизигиям, попадет в промежуток между 69; 19 и
101 ;22 или между 258;38 и 290;41, то только тогда в вышеупомянутых
местностях и возможно наступление указанного [касания]29.
   Далее, что касается границ затмений для Луны, то мы показали, что 484
радиус Луны в ее наименьшем расстоянии стягивает дугу в 0; 17,40 градусов,
а радиус тени приблизительно в 2З/5 раза больше радиуса Луны, оказываясь
30
равным 0;45,56 таких же градусов . Ясно, что когда истинное расстояние
между центрами Луны и тени, измеряемое по большому кругу, проходящему
через полюсы наклонной лунной орбиты, будет равно 1;3,36 градусу в ту
и другую сторону от круга через середины знаков, или будет приблизительно
равно 12; 12 градусам от каждого из узлов по ее наклонной орбите (согласно
отношению 1 к 111/2), только в этом предельном положении будет возможно
касание Луны и тени. И на основании того, что было сказано относительно
неравенства, предельное положение, при котором возможно будет касание
Луны и тени, будет иметь место, когда определяемое по среднему движению
положение центра Луны будет отстоять от узлов на 15; 12 градусов по
наклонной орбите Луны, что опять соответствует отсчитываемым от
северного предела числам [аргумента широты] от 74;48 до 105; 12 или от
254;48 до 285; 12 градусов . Поэтому в упомянутые таблицы сизигий мы
включили также значение [среднего аргумента] широты Луны для границ
солнечных и лунных [затмений] , чтобы подготовить все для исследования 485
возможных затмений.

6. О промежутках между месяцами, в которые происходят затмения
    
    Было бы очень полезно дополнительно рассмотреть здесь вопрос об
определении интервалов, по истечении которых возможно в принципе
повторение сизигий с затмениями; тогда, взяв в качестве начальной эпохи
    
какую-нибудь сизигию с затмением, можно было бы не исследовать снова
их все подряд, а только те, для которых согласно данному числу месяцев
затмения являются возможными, и производить исследование пределов
зз
только для них  .
   Сразу же очевидно, что затмения Солнца и Луны могут происходить
через 6 месяцев, так как среднее движение Луны по [аргументу] широты
за 6 месяцев составляет 184; 1,25 градуса. Дуги же, заключающиеся между
пределами возможных затмений [у противоположных узлов] как Солнца,
так и Луны, содержат или меньшее число градусов, если они внутри
полуокружности, или большее, если они выходят за полуокружность.
Действительно, упомянутые пределы для Солнца к северу от каждого из
узлов содержат упомянутые выше 20;41 градусов по наклонной орбите
Луны, а к югу 11;22 градусов, и лишенная затмений северная дуга равняется
486 1 38 ;38 градусам, а южная — 157; 16 градусам. Для Луны же упомянутые
пределы отрезают с каждой стороны круга, проходящего через середины
зодиакальных созвездий, по 15; 12 градусов от узлов по той же лунной
орбите,  и каждая из дуг,  на  которой затмения не могут произойти,
оказывается равной 149;36 градусам34.
   А то, что на основании таких предположений возможно лунное затмение
через промежуток времени в 5 месяцев, имеющих наибольшую про-
должительность, а именно если движение Солнца будет наибольшим, а
тт	35
Луны наименьшим, можно установить из следующего .
    Так как для среднего промежутка в 5 месяцев мы нашли, что среднее
движение каждого из этих светил по долготе составляет 145;32 градусов,
а лунная аномалия эпицикла равняется 129;5 градусам, то 145;32 градусов
наибольшего продвижения Солнца прибавляют по обеим сторонам от перигея
к среднему 4;38 градуса, а 129;5 градусов на лунном эпицикле для
наименьшего продвижения по обеим сторонам апогея отнимают 8;40 градусов
от среднего . Следовательно, в течение промежутка в 5 средних месяцев,
когда движение Солнца является наибольшим, а Луны наименьшим, Луна
будет опережаться Солнцем на сумму обеих этих аномалий 13; 18 градусов.
Взяв от них опять V\2 часть, на основании показанного выше получим
приблизительно 1;6 градус, на который продвинется Солнце, пока его не
захватит Луна . Но так как от своей собственной аномалии оно получает
+87 4;38 градуса и при достижении истинной сизигии получает еще 1;6 градус,
то наибольший пятимесячный промежуток будет больше среднего на 5;44
градусов по долготе. Следовательно, приблизительно столько же градусов
пройдет Луна по наклонной орбите в своем движении по широте; эта
величина прибавится приблизительно к 153;21 градусам, получаемым за 5
средних месяцев в движении по широте . Таким образом, теоретическое
истинное движение по широте в наибольшем пятимесячном промежутке
окажется равным 159;5 градусам.
   Но для среднего расстояния Луны границы затмений по обеим сторонам
круга через середины знаков содержат: на большом круге, проведенном
через полюсы наклонной орбиты, приблизительно 1 градус, так как в
наименьшем расстоянии они имеют 1;3,36 градус, а в наибольшем — 0;56,24
градусов, на наклонной же орбите 11;30 градусов от узлов; заключенная
между ними дуга, лишенная затмений, на основании этого получается
3Q
равной 157;0 градусам , которые на 2;5 градуса будут меньше дуги в 159;5
градусов на наклонной орбите для наибольшего пятимесячного промежутка.
Из этого ясно, что, если Луна затмилась в первое полнолуние наибольшего

пятимесячного промежутка, удаляясь от какого-нибудь узла, то возможно, 488
что она снова затмится в последнее полнолуние, приближаясь к противо-
положному узлу; при этом в обоих затмениях затемнение будет происходить
с одной и той же стороны зодиакального круга, а не с противоположных.
   Таким   образом,   мы   выяснили,   что   в   наибольший   пятимесячный
промежуток может произойти два лунных затмения.
   А то, что это невозможно для промежутка времени в 7 месяцев, даже
если мы возьмем наименьший семимесячый промежуток, т.е. когда Солнце
имеет наименьшее, а Луна наибольшее движение, мы можем установить,
идя тем же путем, что и выше40.
    Действительно, в течение среднего промежутка в 7 месяцев среднее
движение каждого из светил по долготе составит 203;45 градуса, а Луны
по эпициклу — 180;43; из них 203;45 градуса Солнца в наименьшем
[истинном] движении с каждой стороны апогея отнимут от среднего
движения 4;42 градуса, а 180;43 градусов лунного эпицикла в наибольшем
движении с каждой стороны перигея прибавят к среднему движению 9;58
градусов. Следовательно, за время наименьшего семимесячного промежутка,
когда движение Солнца будет наименьшим, а Луны наибольшим, Луна 489
опередит Солнце на сумму из обеих этих аномалий 14;40 градусов41. Если
мы на том основании, что и выше, возьмем от них V12 часть и сложим с
недостающими 4;42 градусами солнечной аномалии, то получим при-
близительно 5;55 градусов, на которые перемещение по долготе в течение
наименьшего семимесячного промежутка отстает от среднего; такое же
отставание произойдет и в движении по широте от соответствующих
среднему семимесячному промежутку 214;42 градусов. Следовательно, в
наименьшем семимесячном промежутке по широте Луна пройдет по
наклонной орбите 208;47 градусов; вся же наибольшая дуга наклонной
орбиты между пределами затмений для среднего расстояния равняется 203;0
градусам, если считать от приближения к одному узлу до удаления от
противоположного. Следовательно, если Луна затмится каким-либо образом
в первом полнолунии наименьшего семимесячного промежутка, то будет
невозможным еще какое-либо ее затмение в последнее полнолуние42.
    После этого мы должны показать, что для Солнца также возможно в
течение наибольших 5 месяцев два раза затмиться в одной и той же
местности, и это [может иметь место] во всех частях обитаемого мира.
Действительно, в течение наибольших 5 месяцев [истинное] движение
Луны по широте согласно показанному равняется 159;5 градусам43, и
лишенная затмений дуга для Солнца при среднем расстоянии Луны
равняется тем же самым 167;36 градусам, так как для Солнца пределы 490
затмений отстоят от круга через середины знаков на 0;32,20 градусов по
большому кругу, проведенному через его полюсы, или приблизительно на
6; 12 градусов по наклонной орбите Луны44. На этом основании ясно, что
при отсутствии параллактического смещения Луны упомянутое выше [т.е.
затмения с промежутком в 5 месяцев] невозможно, так как лишенная
затмений дуга будет больше перемещения за наибольшие 5 месяцев, а
именно на 8;31 градусов по наклонной орбите и приблизительно на 0;45
градусов   по   кругу,   перпендикулярному   проходящему   через   середины
знаков45. Но там, где возможно такое параллактическое смещение, что или
в одном из крайних новолуний, или же в обоих одновременно параллаксы

превышают 0;45 градусов, может случиться, что оба крайних новолуния
будут сопровождаться затмениями.
После того как мы показали, что за время наибольшего пятимесячного
промежутка46, когда движение Луны является наиболее медленным, а
Солнца наиболее быстрым (в промежутке от двух третей Девы до двух
третей Водолея), Луна будет опережаться Солнцем на 13; 18 градусов47,
получающихся от обеих аномалий, и что эти градусы вместе с их Цг
частью Луна проходит в среднем движении за 1 день и 2V4 часа48, становится
ясно, что, если продолжительность средних 5 месяцев равна 147 дням и
приблизительно ISV2V4 часам49, продолжительность наибольших 5 месяцев
491	составит 148 дней и 18 часов. И вследствие этого, если первое новолуние
произойдет на Уз Девы, а последнее на Уз Водолея, то второе произойдет
раньше на 6 часов, недостающих до полного дня. Таким образом, нужно
исследовать, где и когда может случиться такое параллактическое смещение
в одном или в обоих упомянутых знаках зодиака, чтобы в указанном
положении в Водолее на 6 часов раньше по отношению к положению в
Деве получилось перемещение, большее упомянутых 45 шестидесятых50.
   Как мы уже указали, в обитаемой части Вселенной нигде не найдется
возможности для столь большого параллактического смещения Луны к
северу. Таким образом, Солнце не может затмиться дважды в течение
наибольших 5 месяцев при движении Луны к югу от круга через середины
знаков, т.е. когда в первом новолунии Луна удаляется от нисходящего узла,
а в последнем приближается к восходящему51. Но параллактическое
отклонение такой величины к югу в местах, начиная от экватора и далее
к северу, в положениях, разнящихся на 6 часов, в обоих упомянутых
знаках зодиака возможно, если предположить, что Уз Девы заходят во
время первого новолуния, а Уз Водолея во время второго новолуния стоят
на полуденном круге. В этих положениях мы действительно находим, что
Луна в среднем расстоянии имеет параллактическое смещение к югу (с
492	учетом солнечного параллакса), для живущих у экватора равное для
положения в Деве приблизительно 0;22 градусов, а для положения в
Водолее — 0; 14 градусов; там же, где наибольший день равняется 121/г
часам, для положения в Деве параллакс будет 0;27 градусов, а в Водолее —
0;22, так что оба параллакса вместе будут на 4 шестидесятых больше
52
упомянутых 0;45 . Но так как при удалении к северу южный параллакс
все время возрастает, то ясно, что для обитателей этих местностей
увеличивается вероятность наблюдать два раза затмение Солнца за
наибольший пятимесячный интервал. Но это может случиться, только если
положение Луны будет к северу от круга через середины знаков, т.е. когда
в первом новолунии Луна удаляется от восходящего узла, а во втором —
приближается к нисходящему.
    Кроме того, я утверждаю, что Солнце может два раза затмиться в
одном и том же месте также и в течение наименьшего семимесячного
промежутка. Мы показали, что за время наименьшего семимесячного
промежутка [истинное] движение Луны по [аргументу] широты составляет
208;47 градусов, и наибольшая дуга наклонной [лунной] орбиты между
пределами затмений, а именно в пределах от приближения к одному до
удаления от противоположного узла, для Солнца при среднем расстоянии
со
493	Луны равняется 192;24 градусам  . Ясно, что при отсутствии параллакса

Луны упомянутое выше становится невозможным вследствие того, что дуга
наклонной орбиты для наименьшего семимесячного промежутка будет больше
наибольшей дуги между граничными точками затмений Солнца на 16;23
градусов по наклонной орбите и на  1;25 градус по большому кругу,
проходящему через полюсы зодиакального круга . Но там, где возможно
такое параллактическое смещение, чтобы либо в одном из двух крайних
новолуний, либо в обоих в сумме параллаксы превысили 1;25 градус, может
случиться, что оба крайних новолуния будут сопровождаться затмениями.
   Так как мы показали, что за время наименьшего семимесячного
промежутка, когда Луна движется всего быстрее, а Солнце всего медленнее,
от конца Водолея до середины Девы55 Луна в истинном движении обгоняет
Солнце на 14;40 градусов и что эти градусы вместе с Цг их частью Луна
в среднем движении проходит за 1 день и 5 часов56, то ясно, что если
продолжительность среднего семимесячного промежутка равняется при-
близительно 206 дням и 17 часам, то продолжительность наименьшего
семимесячного промежутка составит 205 дней и 12 часов; вследствие этого 494
время последнего новолуния в середине Девы опоздает на 12 часов по
отношению к первому в конце Водолея. Таким образом, мы должны
исследовать, где и когда Луна может иметь параллактическое смещение,
большее 1;25 градуса: в одном из упомянутых знаков зодиака или в обоих,
где положения светил разделены 12-ю часами, т.е. когда один знак заходит,
а другой восходит, так как иначе оба затмения не смогут произойти над
горизонтом. Опять нигде в обитаемой части мира Луна ни в каком
положении не может иметь столь большого параллактического смещения к
северу, и даже для живущих на самом экваторе параллакс по широте в
47
среднем расстоянии не может быть больше 23 шестидесятых . Поэтому
Солнцу невозможно два раза затмиться в течение наименьшего семимесяч-
ного промежутка во время движения Луны к югу от круга через середины
знаков, т.е. когда в первом новолунии она приближается к восходящему
узлу, а в последнем удаляется от нисходящего. Подобный параллакс к югу
мы находим, начиная приблизительно от параллели Родоса, когда конец
Водолея восходит, а середина Девы заходит. Действительно, на Родосе и в 4«
местностях под той же параллелью для каждого из этих положений
параллактическое смещение Луны в среднем расстоянии и после вычитания
солнечного параллакса будет направлено к югу и окажется равным
приблизительно 0;46 градусов, так что в обоих новолуниях параллаксы уже
становятся больше 1;25 градуса. И так как параллактическое смещение к
югу возрастает по мере удаления к северу, то ясно, что для живущих в
этих местах возможно два раза увидеть затмение Солнца в течение
58
наименьшего семимесячного промежутка , однако опять только при
движении Луны к северу от круга через середины знаков, т.е. когда в
первом затмении она приближается к нисходящему узлу, а во втором
удаляется от восходящего.
   Теперь, пожалуй, остается показать, что за один месяц Солнце не
может затмиться два раза в обитаемой части мира, ни в одном и том же
климате, ни в различных, даже если мы предположим совместное действие
обстоятельств, которые в действительности не могут существовать одновре-
менно, но в отдельности каждое усиливает возможность упомянутого. Я
имею в виду, что Луну мы будем считать находящейся в наименьшем
расстоянии, чтобы ее параллакс был побольше, а месяц наименьшим, чтобы
   
месячное движение по широте на возможно меньшую величину превышало
496 расстояние по широте на границах солнечных затмений, и даже будем
произвольно выбирать часы и двенадцатые части зодиака, в которых Луна
имеет наибольшие параллактические смещения59.
    Итак, за 1 средний месяц движение по долготе каждого из светил
составляет в среднем 29;6 градусов, а движение Луны по эпициклу — 25;49
градусов; 29;6 градусов солнечного движения при наименьшей скорости по
обе стороны апогея отнимают 1;8 градус от среднего движения, а 25;49
градусов лунного эпицикла при наибольшей скорости по обе стороны от
перигея прибавляют 2;28 градуса к среднему движению. Если согласно
показанному выше мы сложим простаферезы от обеих аномалий и V12 часть
от получающихся 3;36 градусов, а именно 0; 18, прибавим к тем, которые
Солнце потеряло, то получим 1;26 градус; на такое число градусов движение
и по долготе, и по аргументу широты в течение наименьшего месяца будет
меньше соответствующих движений за средний [синодический ] месяц. Таким
образом, поскольку движение по широте за средний месяц равно 30;40
градусам, движение за наименьший месяц окажется равным 29; 14 градусам,
которые отсекут приблизительно 2;33 градуса на большом круге, перпендику-
лярном к зодиаку60. Но все расстояние между граничными точками затмений
497	для Солнца при наименьшем расстоянии Луны будет равно 1;6 градусу;
таким образом, перемещение  [по широте] за наименьший месяц будет
больше на 1;27 градус61. Теперь, если бы в течение 1 месяца Солнце
затмевалось два раза, то для этого было бы необходимо, чтобы во время
одного из новолуний Луна либо совсем не имела параллактического
смещения, а во время второго имела большее 1;27 градуса, либо чтобы во
время каждого новолуния имела параллактическое смещение в одну и ту
же сторону и разность параллаксов была больше 1;27 градуса, либо, наконец,
чтобы оба параллакса вместе давали величину, большую упомянутого числа
градусов, но в одном новолунии параллактическое смещение было к северу,
а в другом — к югу . Но нигде на Земле во время сизигий даже в
наименьшем расстоянии Луна не имеет параллакса по широте, большего 1
градуса, если вычесть параллакс Солнца . Следовательно, невозможно,
чтобы в течение наименьшего месяца Солнце затмилось два раза, даже
если бы Луна в одном новолунии или совсем не имела параллакса, или в
обоих новолуниях имела смещение в одну сторону, так как разность этих
параллаксов не может превысить 1 градуса, а требуется, чтобы она равнялась
498	1;27 градусу. Все сказанное могло бы случиться, только если бы параллаксы
были [направлены] в противоположные стороны и их сумма оказалась
большей 1;27 градуса. Но это может случиться лишь для отличной от
нашей части мира, так как в лежащих к северу от экватора частях мира
Луна имеет параллакс к югу, а в так называемых антихтонных64 частях,
лежащих к югу от экватора, имеет параллакс к северу, могущий с учетом
солнечного иметь величину от 0;25 до 1 градуса65.
    Но для одной и той же части мира этого, пожалуй, никогда не может
случиться, так как наибольший параллакс Луны для живущих на самом
экваторе не будет более 25 шестидесятых к северу или к югу66, для мест
же, более северных или более южных, он не будет больше 1 градуса и не
будет направлен в противоположные стороны; следовательно, даже в этом
случае сумма обоих параллаксов будет меньше 1;27 градуса. Но так как

в местностях, расположенных между экватором и другой границей [каждой
из ойкумен к югу и к северу от экватора], параллаксы в противоположную
сторону становятся все меньше, то для них упомянутое оказывается еще
более невозможным. Значит, в одной и той же местности на Земле Солнце
нигде не может два раза затмиться в течение одного месяца, и то же самое
касается различных местностей, принадлежащих одной и той же части
обитаемого мира  . Это мы и хотели доказать.
7. Построение таблиц затмений
   Итак, на основании сказанного нам стало ясно, какого рода промежутки
времени между сизигиями мы должны брать при исследовании затмений.
А чтобы после определения среднего времени этих сизигий и вычисления
для них положений Луны (видимых для новолуний и истинных для
полнолуний) легко можно было определять по [известному] расстоянию
Луны по широте для всех сизигий, которые могут сопровождаться
затмениями, также величины и продолжительности затмений, мы приго-
товили таблицы: две для солнечных затмений и две для лунных, как для
наибольшего, так и для наименьшего расстояния Луны, предполагая, что
приращение величин затмений [между последовательными значениями
аргумента в таблице] будет определяться в V\2 частях затемняемого диаметра
обоих светил68.
   Первую таблицу солнечных затмений, которая содержит пределы
затмений для наибольшего расстояния Луны, мы составили в 25 строках и
4 столбцах. Из них два первых содержат видимые положения Луны по
широте на наклонной орбите для каждого из затемнений. Действительно,
так как диаметр Солнца равняется 31 ;20 шестидесятой градуса, а диаметр
Луны в наибольшем расстоянии, согласно показанному, равняется той же
самой 31;20 шестидесятой69, то вследствие этого первое касание с Солнцем
будет тогда, когда видимый центр Луны будет отстоять от солнечного центра
на 31;20 шестидесятую по большому кругу, проходящему через эти центры,
а  от узла  —  на  6  градусов  по наклонной орбите   [на  расстоянии,
7П
вычисляемом] из приведенного выше отношения 11 ;30 к 1 . Поэтому в
первых строках этих столбцов мы поместили 84 градуса для первого столбца
и 276 для второго, в последних же строках для первого опять 96, а для
второго 264. И так как V12 части солнечного диаметра на наклонной орбите
71
соответствуют приблизительно 0;30 градусов , то в этих двух столбцах мы
будем производить увеличение и уменьшение через упомянутое число
шестидесятых, начиная от крайних строк по направлению к средним. В
средних же строках мы поместим 90 и 270 градусов. Третий столбец будет
содержать величины затемнения, причем в крайних строках будут помещены
соответствующие касанию 0;0, а в следующих — из расчета один палец
на V\2 часть диаметра, причем возрастание идет через один палец до
72
средней строки, на которую попадет число 12 пальцев . Четвертый столбец
будет содержать получающиеся положения центра Луны для каждой фазы
затмения без учета движений Солнца во время затмения и приращения
параллаксов Луны73.
    Вторую таблицу солнечных затмений, содержащую границы затмений
для наименьшего расстояния Луны, мы составим так же, как и первую,
но только из 27 строк и 4 столбцов, так как в наименьшем расстоянии
    
Луны ее радиус согласно доказанному будет равняться 17;40 таким частям ,
каких в радиусе Солнца имеется 15;40. Когда Луна начнет касаться Солнца,
то  ее  видимый  центр будет отстоять от солнечного опять на  33; 20
75
шестидесятых, а от узлов по наклонной орбите — на 6;24 градусов . В
крайних строках находятся числа видимого аргумента широты 83;36 и
276;24, а также 96;24 и 263;36. Средняя же строка в столбце для пальцев
будет содержать 12 пальцев и еще Vs одного пальца вследствие линейной
экстраполяции  величины  разности   [диаметров  Солнца  и  Луны].  Эта
величина будет также представлять полное затмение .
   Каждую из лунных таблиц мы составим из 45 строк и 5 столбцов и в
первой поместим числа для аргумента широты в предположении, что Луна
находится на наибольшем расстоянии. Так как согласно доказанному радиус
77
Луны в наибольшем расстоянии равен 15;40 шестидесятым , а радиус
тени — 40;44 градусам, так что в начале касания Луны с тенью ее центр
будет отстоять от центра тени на 56;24 шестидесятых по большому кругу,
проходящему через оба центра, а от узлов — на 10;48 градусов по наклонной
орбите78, то в первых строках мы поставим числа 79; 12 и 280;48, а в
последних — 100;48 и 259; 12. На том же основании, что и выше, увеличение
и уменьшение будем производить через 30 шестидесятых, соответствующих
i/i2 части лунного диаметра.
    Во второй таблице мы поместим числа для [аргумента] широты в
предположении наименьшего расстояния Луны, на котором согласно
доказанному ее радиус равняется 17;40 шестидесятым, а радиус тени —
45;5679. Таким образом, когда Луна начнет касаться тени, ее центр будет
отстоять от центра тени также на 1;3,36 градус и от узлов — на 12; 12
on
градусов по наклонной орбите . Вследствие этого, поместив в первых
строках числа 77;48 и 282;12, а в последних — 102; 12 и 257;48, будем
производить увеличение и уменьшение через 34 шестидесятых, соответст-
Q1
вующих V\2 части лунного диаметра . Третьи же столбцы для пальцев [в
каждой лунной таблице] будут составлены так же, как и в солнечных
[таблицах ] ; равным образом и следующие столбцы, содержащие положения
Луны для каждой фазы затмения: [четвертый столбец] для погружения в
тень и для выхода из нее, [пятый] для половины времени пребывания в
83
полном затемнении .
   Упомянутые положения Луны для каждой фазы затенения мы вычислили
геометрически, беря при расчетах плоскости и прямые, поскольку дуги
такой величины нечувствительно отличаются от прямых, а также поскольку
движение Луны по орбите ничем существенным не отличается, если мы
будем относить его к кругу, проходящему через середины зодиакальных
созвездий. Пусть никто не предполагает, что мы не знаем, почему, вообще
говоря, получается существенная разница при рассмотрении движения Луны
по долготе, если брать дуги наклонной орбиты вместо дуг круга через
середины знаков, а также что времена сизигий не будут в точности теми
же самыми, что времена средней фазы затмений84.
   Если мы от узла А [рис. 6.2] отложим две равные дуги, АВ и АГ,
упомянутых кругов и, проведя соединительную прямую ВГ, опустим из
В перпендикуляр ВА на АГ, то сразу же станет ясно, что если предположить
Луну [находящейся] в В и вместо АА пользоваться дугой АГ круга через
середины знаков, так как движения по последнему определяются при помощи
   
круга, проходящего через полюсы зодиака, то получающаяся вследствие
наклонения лунной орбиты разница будет равна ГД. Далее, если мы
ос
вообразим в В центр Солнца или тени, то вследствие незначительности
разницы между кругами время сизигии получится, когда Луна дойдет до
Г, а средняя фаза — когда она будет в Д (опять
вследствие того, что времена средней фазы затмений
определяются по кругу, проходящему через полюсы
лунной орбиты). И время сизигии будет отличаться
от средней фазы затмения на дугу ГД.
    Причина того, что мы не учитываем эти дуги sos
в вычислениях для отдельных случаев, заключается
в том, что эти разности малы и нечувствительны,
хотя было бы неумно вообще не знать чего-нибудь
в этом роде. Если же мы ради простоты методов
будем сознательно пренебрегать тем, что можно отбросить и в предполо-
жениях, и в самих наблюдениях, то вследствие достигнутой простоты это
будет производить большее впечатление полезности и вместе с тем в
наблюденных явлениях или совсем не даст никакой погрешности, или даст
самую незначительную. Так вот, для дуги, соответсвующей ГД, мы нашли,
что она в общем не превосходит 0;5 градусов. Это можно показать при
помощи той же самой теоремы, на основании которой мы вычисляем разницы
между дугами равноденственного круга и проходящего через середины
знаков,  если они определяются кругами,  проходящими  через  полюсы
Of.
равноденственного круга . В случае затмений эта разность [соответствую-
щая дуге ГД] не превышает 2 шестидесятых градуса, так как если дуги
АВ и АГ равняются 12 градусам (ибо примерно такой величины достигают
перемещения Луны во время затмений), то ВД будет равна приблизительно
1, а вследствие этого дуга АД будет равна приблизительно 11;58 таким же
единицам, а разность ГД получается равной 2 шестидесятым, что не
87

составляет даже Vi6 доли равноденственного часа . Доводить же точность 506
до таких пределов прилично скорее любителю пустой
славы, а не истины. Вследствие этого упомянутые
положения Луны при затемнении мы вычисляли так, как
будто не было никакой чувствительной разницы между
указанными кругами. Соответствующее вычисление про-
изводилось, как мы покажем на одном или двух примерах,
следующим образом.
    Пусть А [рис. 6.3] будет центром Солнца или тени,
а вместо лунной орбиты мы возьмем прямую ВГД.
Предположим, что в момент начала касания с Солнцем
или тенью центр Луны будет в В, когда она будет
приближаться, и в Д, когда она будет удаляться. Проведя соединительные
прямые АВ и АД, опустим из А на ВД перпендикуляр АГ.
    Когда центр Луны дойдет до Г, будет иметь место середина затмения,
и наибольшее затемнение. Это ясно из того, что АВ равна АД, а вследствие
этого перемещение ВГ равно ГД, а также из того, что АГ будет наименьшей
из всех прямых, соединяющих два центра на прямой ВД. Ясно также,
что каждая из АВ и АД содержит вместе взятые радиусы Луны и Солнца
или тени и что АГ будет меньше каждой из этих прямых на величину
затемненной части затмевающегося диаметра.
    
   Если все это так, то возьмем для примера затемнение в 3 пальца и
предположим сначала, что А будет центром Солнца. Следовательно, при
наибольшем расстоянии Луны АВ будет равна 31 ;20 шестидесятой , а ее
квадрат — 981 ;47, АГ же будет равна 23;30 шестидесятым, ибо она меньше
АВ на 3/i2 солнечного диаметра, т.е. на 7;50 шестидесятых, а ее квадрат
будет равен 552; 15. Таким образом, квадрат на ВГ будет равен 429;32, а
сама ВГ по длине — приблизительно 20;43 шестидесятым, что мы и
помещаем в первой таблице солнечных затмений рядом с 3 пальцами в
четвертом столбце. При наименьшем расстоянии Луны АВ будет равна 33; 20
шестидесятым , ее квадрат 1111;7, АГ равна 25;30 шестидесятым, а ее
квадрат — 650; 15. Получающийся в остатке квадрат ВГ будет равен 460;52
шестидесятым, и, следовательно, сама ВГ по длине — 21;28 шестидесятой,
что мы и помещаем во второй таблице солнечных затмений для 3 пальцев
в четвертом столбце.
   Затем предположим, что А будет центром тени, а затемнение также
равно 1/4 части лунного диаметра. Следовательно, в наибольшем расстоянии
Луны АВ будет равна 56;24 шестидесятым91, а ее квадрат — 3180;58; тогда
АГ будет равняться 48;34 шестидесятым, ибо она меньше АВ на 1/4 часть
лунного диаметра, т.е. для наибольшего расстояния на 7;50 шестидесятых,
а ее квадрат равняется 2358;43 шестидесятым. Таким образом, для квадрата
ВГ останется 822;15, а сама ВГ по длине будет равна 28;41 таким же
шестидесятым. Это мы и поставим в первой из лунных таблиц на месте,
соответствующем 3 пальцам в четвертом столбце; они дадут перемещение
Луны во время погружения в тень, которое будет приблизительно таким
же и при выхождении из тени. В наименьшем расстоянии АВ будет равна
63;36 шестидесятым , а ее квадрат — 4044;58, и АГ окажется равной
54;46 таким же шестидесятым. Действительно, 8;50 шестидесятых разницы
представляют 1/4 лунного диаметра в наименьшем расстоянии, и их квадрат
будет 2999;23. Таким образом, для квадрата ВГ остается 1045;35, а сама
ВГ будет по длине равняться 32;20 шестидесятым,
что мы точно так же поставим в месте, соответ-
ствующем 3 пальцам в четвертом столбце второй
из лунных таблиц.
    Теперь для [случая] лунных затмений, когда
Луна пребывает в тени Земли определенное вре-
мя , возьмем в точке А [рис. 6.4] центр тени, а
вместо дуги наклонной орбиты Луны возьмем
прямую BrAEZ. Предположим, что точка В будет
местом центра Луны, когда она при своем при-
ближении начнет касаться извне тени, а Г — место
центра Луны, когда последняя, затмившись полно-
стью, будет касаться круга тени изнутри. Точка Е будет местом центра
Луны, когда она при своем удалении начнет касаться тени изнутри, a Z
будет местом центра Луны, когда она при своем выходе в последний раз
извне коснется тени. Опять опустим из А на BZ перпендикуляр АА. Если
мы предположим, что выполняется все то, что было доказано выше, то
будет ясно, что каждая из прямых АГ и АЕ будет представлять разность
радиусов тени и Луны, так что перемещение ГД будет равняться ДЕ, и
7   К. Птолемей

каждое из них будет содержать половину времени пребывания Луны в тени,
причем остаток ВГ будет соответствовать погружению, a EZ — выходу [из
тени ].
   Предположим теперь [например], что затемнение соответствует 15
пальцам Луны, т.е. [имеет место ситуация] когда центр Луны [в момент
средней фазы] будет внутри границ области затемнения на IV4 лунный
диаметр94, т.е. когда АА будет меньше каждой из АВ и AZ на упомянутый
11/4 лунный диаметр и меньше каждой из АГ и АЕ на 1/4 лунного диаметра.
Следовательно, если Луна находится на наибольшем расстоянии, то АВ
будет равна упомянутым 56;24 шестидесятым95, а ее квадрат — 3180;58,
и АГ будет равна 25; 4 шестидесятым, ибо диаметр Луны в наибольшем
расстоянии составляет 31 ;20 шестидесятую, а ее квадрат — 628;20
шестидесятым. Точно так же АА будет равна 17; 14 шестидесятым, а ее
квадрат — 296;59. Таким образом, для квадрата на ВА останется 2883;59,
и сама она по длине будет равняться 53;42 шестидесятым; для квадрата
же ГА останется 331 ;21, и сама она по длине будет равна 18;12
шестидесятым, а разность ВГ равна 35;30 таким же шестидесятым. Теперь
для числа 15 пальцев первой таблицы лунных затмений в четвертом столбце
мы поместим число 35;30 шестидесятых погружения, которые будут также
равны и шестидесятым выхода, а в пятом для половины продолжительности
пребывания в тени — 18; 12 шестидесятых. Если же Луна находится на su
наименьшем расстоянии, то АВ будет опять равна вышеупомянутым 63;36
шестидесятым96, квадрат на ней — 4044;58, и АГ равна 28;16 таким же
шестидесятым (ибо диаметр Луны на наименьшем расстоянии равняется, как
показано, 35;20 шестидесятым), и ее квадрат — 799;0; точно так же АА
будет равна IfyHt91, а ее квадрат — 377;39. Следовательно, для квадрата на
ВА останется 3667; 19, и сама ВА будет равна по длине 60;34 таким же
шестидесятым; для квадрата на ГА останется 421 ;21, а длина ее будет равна
20;32 шестидесятым, разность же ВГ равна 40;2 шестидесятым. Таким образом,
во второй таблице лунных затмений для числа 15 пальцев, мы поместим в
четвертом столбце для погружения 40;2 шестидесятых, которые также будут
соответствовать и выходу [из тени], а в пятом столбце для половины
пребывания [в полной фазе] — 20;32 шестидесятых.
   Чтобы для положений Луны на эпицикле в наибольших и наименьших
расстояниях иметь в готовности соответствующие доли полной разности,
выраженные в шестидесятых, мы присоединим к приведенным таблицам 512
еще одну небольшую таблицу, содержащую числовые величины для
положений Луны на эпицикле и соответствующие каждому шестидесятые
доли видимых разностей из первых и вторых таблиц затмений. Числа этих
шестидесятых, полученные по приведенной выше параллактической таблице
Луны, помещены в седьмом столбце; предполагается, что эпицикл во время
QQ
сизигиев находится в апогее эксцентра .
   Так как большая часть предсказателей по затмениям измеряют величину
затемнения не по диаметрам дисков, но в целом по видимым их площадям,
сравнивая видимую и невидимую части светила, мы добавили к вышеупо-
мянутым еще небольшую таблицу в 12 строк и 3 столбца. В первом из
них мы разместили 12 пальцев так, что каждый палец соответствует 1/12
части диаметра каждого из светил, как и в самих таблицах затмений; в
   

следующих же столбцах мы поместили соответствующие им двенадцатые
части полных площадей — во втором для Солнца, а в третьем для Луны.
Мы вычислили эти добавки только для тех величин, которые получаются
в среднем расстоянии Луны, так как для таких незначительных увеличений
и уменьшений диаметра получается всегда приблизительно одно и то же
соотношение. В качестве отношения окружности к диаметру мы взяли
величину 3;8,30 к 1, поскольку эта
величина находится приблизительно в
промежутке между отношениями З1/7 и
310/71, которыми для наибольшей прост-
оты пользовался Архимед".
    Пусть сначала для солнечных за-
тмений АВГА [рис. 6.5] будет представ-
лять солнечный диск с центром в Е, а
AZTH — соответствующий среднему рас-
стоянию диск Луны с центром в ©,
пересекающий окружность солнечного диска в точках А и Г. Проведя
соединительную прямую ВЕЭН, предположим, что затмилась 1/4 часть
солнечного диаметра, так что линия ZA равняется 3 таким частям, каких
в диаметре ВА содержится 12, а в диаметре ZH Луны — приблизительно
12;20 таких же частей, согласно отношению 15;40 к 16;40   ; вследствие
этого Е© окажется равной 9;10 таким же частям101. Следовательно, согласно
отношению 1 к 3;8,30 мы получим окружности солнечного диска 37;42
частей, а лунного — 38;46 таких же частей. Точно так же, поскольку
радиус, помноженный на окружность, дает удвоенную площадь круга, мы
получим для площади солнечного диска 113;6, а для лунного — 119;32
таких же частей.
   Установив это, поставим задачу определить, какую величину имеет
ограниченная линией AArZ площадь, если всю площадь солнечного диска
будем считать равной 12.
    Проведем соединительные прямые АЕ и А©, затем ГЕ и Г© и еще
перпендикуляр АКТ.
    Если прямая Е© равна 9; 10 частям, каких в АЕ и ЕГ предполагается 6,
а в А© и ©Г — по 6; 10, и угол при К прямой, то, разделив на Е©
разность квадратов на А© и АЕ, т.е. 2;2, получим разность между ЕК и
102
К©, равную 1З1/3 шестидесятым . Таким образом, ЕК получается равной
4;28, а К© — 4;42 таким же частям. Вследствие этого каждая из АК и
КГ, ибо они равны, будет приблизительно равняться 4 таким же частям.
Далее будем иметь, что площадь треугольника АЕГ равняется 17;52, а
треугольника А©Г — 18;48. Затем, поскольку ВА равен 12 частям, а
ZH — таким же 12;20, то АГ получится равной 8 частям. Если же диаметр
В А принять за 120, то в АГ таких частей будет 80, если же за 120 принять
диаметр ZH, то в АГ будет 77;50 таких частей. Следовательно, из
соответствующих им дуг ААГ будет равна 83;37 градусам, каких в
окружности АВГА содержится 360, a AZr — 80;52 градусам, каких в
окружности AZrH будет 360. Таким образом, поскольку у окружностей к
дугам будет такое же отношение, как у площадей кругов к площадям
секторов на этих дугах, мы получили, что площадь сектора АЕГА равна

26; 16 частям, каких в круге АВГА по доказанному имеется 113;6, а площадь
сектора A©rZ равна 26;51 таким же частям, так как площадь круга
AZrH равнялась 119;32 таким частям. Но было доказано, что площадь
треугольника АЕГ равна 17;52 таким же частям, а площадь АвГ — 18;48;
следовательно, получающаяся при вычитании площадь сегмента ААГК будет
у нас 8; 24, а площадь AZrK — 8;3. Значит, вся площадь, ограниченная
линией AZrA, будет равна 16;27 частям, каких в площади круга АВГА
предполагалось 113;6. Таким образом, если площадь солнечного диска
принять за 12, то в затмившейся части их будет приблизительно W2V4, 54
что мы и поместим в упомянутую таблицу в строке для 3 пальцев во
втором столбце.
   Теперь для лунных затмений предположим, что на том же чертеже
[рис. 6.5] АВГА будет диск Луны, a AZrH — круг тени в среднем
расстоянии, и пусть точно так же затмится 1/4 лунного диаметра. Таким
образом, если диаметр ВА равен 12, то затмившаяся часть ZA будет равна
3. Пусть диаметр ZH тени по отношению 1 к 2;36 будет равен 31; 12 таким
же частям. Вследствие этого ЕК© получится равной 18;36. Следовательно,
периметр лунного диска будет 37;42, а периметр тени — 98; 1; площадь
лунного диска будет 113;6, а площадь тени — 764;32. Так как и в этом
случае, если прямая Е© равна 18;36 и каждая из АЕ и ЕГ предполагается
содержащей 6 таких же частей, а каждая из А© и ©Г — по 15;36, то
точно так же, разделив на Е© разность квадратов ©А и АЕ, получим
разность ЕК и К©, равную 11;8 таким же частям104. Таким образом, sn
ЕК получается равной 3;44, а К© — 14;52 и вследствие этого каждая из
АК и КГ будет равна 4; 42. В соответствии с этим получим площадь
треугольника АЕГ равной 17;33, а А©Г — 69;52 таким же частям. Затем,
если диаметр ВД равен 12, a ZH — 31; 12, то АГ получится равной 9;24
таким же частям; если же диаметр ВД равен 120, то АГ будет равняться
94, а если диаметр ZH равен 120, то АГ будет иметь 36;9 таких частей.
Следовательно, из соответствующих ей дуг АДГ будет равняться 103;8
градусам, каких в окружности АВГА содержится 360, a AZr — 35;4
градусам, каких 360 будет в окружности AZrH. Таким образом, вследствие
изложенного выше площадь сектора АЕГД получим равной 32;24 таким
частям, каких в круге АВГД согласно показанному было 113;6, а площадь sis
сектора AT©Z будет равна 74;28 таким же частям, так как площадь круга
AZrH равнялась 764;32 таким же частям. Но было доказано, что площадь
треугольника АЕГ равнялась 17;33 таким же частям, а площадь А©Г —
таким же 69;52; значит, получающаяся в остатке площадь сегмента
ААГК будет у нас 14;51, а площадь AZTK — 4;36. Следовательно, вся
площадь, ограниченная дугами AZ, ГД, будет равна 19;27 частям, каких
в круге АВГД предполагалось 113;6. Таким образом, если площадь лунного
диска равна 12, то содержащаяся в затмившемся сегменте ее часть будет
приблизительно 21/15, что мы и поставим в той же таблице в строке для
3 пальцев в третьем столбце, относящемся к Луне. И расположение этих
таблиц будет таким105.

8. Таблицы затмений



Таблица площадей
затемненных частей Солнца и Луны

Пальцы
[линейные]Пальцы
[площади]
СолнцаПальцы
[площади]
Луны1
2
30	1/з
1
1	1/2 V40	1/2
1	Ув
2	1/154
5
62 Уз
ЗУз
4Уз3	'/б
4	1/з
5	1/27
8
95 V2 1/з
7
8 1/з6 1/2 1/4
8
9 '/б10
11
12 9Уз
10 V2 Уз
1210	Уз
11	Уз
12
9. Вычисление лунных затмений
   Итак, на основании всего изложенного выше вычисление лунных
затмений мы будем производить следующим образом. Взяв для исследуемого
полнолуния получившиеся по александрийскому времени для момента
среднего полнолуния число градусов так называемой аномалии от апогея
эпицикла, а также число градусов [аргумента ] широты от северного предела
вместе с поправкой от простафереза, мы сначала внесем в таблицы лунных
затмений число, получающееся для [аргумента] широты. Если оно совпадет
с числами двух первых столбцов, то числа, соответствующие этому
[аргументу] широты в каждой из таблиц как в столбце положений, так и
   
в столбце пальцев, запишем каждое в отдельности. Затем, внеся число
аномалии в таблицу поправок, мы для записанных в двух первых таблицах
чисел пальцев и минут возьмем столько шестидесятых долей их разности,
сколько их соответствует рассматриваемым числам, и прибавим их к числам,
взятым из первой таблицы. Если, однако, получится так, что полученное
число для [аргумента] широты попадает только во вторую таблицу, то мы 524
запишем искомые шестидесятые доли пальцев и градусов, находящиеся
только в ней одной. И сколько пальцев мы получим после этого исправления,
на столько двенадцатых долей лунного диаметра, мы скажем, и будет
затемнена Луна в среднюю фазу затмения. К полученным согласно этому
исправлению шестидесятым долям мы будем всегда прибавлять их 1/12 часть
для учета движения Солнца за это время. Разделив указанную величину
на соответствующее данному времени среднее часовое неравномерное
движение Луны, мы получим после деления числа равноденственных часов,
соответствующие каждой фазе затмения, а именно из четвертого столбца берем
время погружения в тень и выхода из нее, а из пятого — половину времени
пребывания в тени106. Время вступления в тень и полного из нее выхода
для начала и конца затмения могут быть сейчас же определены при помощи
прибавления или вычитания каждого из найденных чисел к середине
промежутка времени пребывания в тени, т.е. приблизительно времени
истинного полнолуния107. Внеся [полученные] отсюда двенадцатые доли
диаметра [характеризующие величины затмений] в стоящую последней
маленькую таблицу, мы найдем по числам третьего столбца [а для
солнечных затмений — по числам второго ] двенадцатые доли всех площадей.
   Теперь здравый смысл подсказывает, что не всегда время, прошедшее S2S
от начала затмения до средней фазы, будет равным времени от средней
фазы до конца затмения вследствие неодинаковости скоростей Солнца и
Луны на одинаковых перемещениях, так как последние могут совершаться
в неравные промежутки времени. Однако мы не получим никакой
существенной разницы в наблюдаемых явлениях, если не будем предполагать
эти промежутки неравными, так как если даже мы возьмем их в местах
со средним движением, где разницы скоростей являются наибольшими, то
перемещения за время, которое длится затмение, вообще не производят
никакого существенного различия в получаемой разности.
   Поэтому мы считаем, что Гиппарх, наверное, ошибся, определяя период
изменения широты Луны, так как приращение [аргумента широты] между
[двумя] затмениями получилось по его определению меньше, тогда как по
нашим вычислениям оно оказывается большим108.
   Действительно, для определения этого времени он взял два лунных
затмения, разделенных промежутком в 7160  [синодических] месяцев, в
которых оказалась затмившейся 1/4 часть лунного диаметра, когда Луна 526
находилась в одинаковом положении относительно восходящего узла. Первое
из них наблюдалось во 2 году Мардокемпада, а второе в 37 году третьего
периода Калиппа109. Для определения времени возвращения он пользуется
тем, что в обоих затмениях положение по широте было точно одним и
тем же, так как первое затмение имело место при нахождении Луны в
апогее эпицикла, а второе — в перигее; вследствие этого, как он полагал,
не было никакой разницы от аномалии. В этом он ошибся прежде всего
потому, что аномалия произвела некоторую существенную разницу из-за
того, что равномерные движения в обоих этих затмениях оказываются не

на одинаковую величину большими истинных, но в первом приблизительно
на 1 градус, во втором же на i/s часть одного градуса110. Таким образом,
движение по широте отстает от полного периода восстановления на
1/2 У4 У% такого градуса, каких в наклонной орбите Луны содержится 360.
   Далее, он не учел разницу, происходящую в величинах затмений
вследствие расстояний Луны, а она в этих затмениях была наибольшей,
так как первое затмение произошло на наибольшем расстоянии Луны, а
527	второе — на наименьшем; а ведь необходимо, чтобы затмение на одну и
ту же 1/4 диаметра происходило для первого затмения на меньшем расстоянии
от восходящего узла, а для второго — на большем.  Соответствующая
разница, как мы показали, составляет I1/5 градус111. Таким образом, в
данном случае на эту величину дополняется период изменения широты
после исключения целых оборотов. А при такой неточности период
восстановления широты отличался бы от истинного приблизительно на 2
градуса, получившиеся от сложения обеих погрешностей, если бы эти
погрешности обе складывались или вычитались. Поскольку же одна случайно
укорачивает, а другая удлиняет время возвращения (о чем, вероятно,
догадывался уже Гиппарх), то так получилось, что полученное им значение
[движения по широте] превосходит [точное] значение только на величину
разности [двух] погрешностей, а именно на 1/3 градуса

10. Вычисление солнечных затмений
   
   Вычисление лунных затмений будет, пожалуй, точным, если мы будем
строго придерживаться изложенным методам расчета. Далее мы рассмотрим
528	вычисление солнечных затмений, являющееся более затруднительным
вследствие лунных параллаксов.
   Определив для Александрии время истинного новолуния, а именно число
равноденственных часов до или после полудня в момент его наступления,
мы, если рассматриваемая местность находилась в другом климате, т.е. если
она не находилась на меридиане, проходившем через Александрию, после
этого прибавляем или вычитаем разность долгот между обоими меридианами
в равноденственных часах. Определив, на сколько равноденственных часов
раньше или позже будет время истинного новолуния для этой местности,
мы прежде всего находим время видимого новолуния в рассматриваемом
климате, приблизительно совпадающее со средней фазой затмения. При
этом мы пользуемся изложенным нами выше методом для параллаксов. Из
таблиц углов и параллаксов113 для соответствующего климата и расстояния
в часах от меридиана, а также для соответствующей части зодиака, в
которой происходит новолуние, и, кроме того, для расстояния Луны берем
получающиеся параллаксы сначала по большому кругу, проходящему через
полюс горизонта и центр Луны. Отнимая от него всегда солнечный
параллакс, находящийся в той же строке, мы по остатку определяем, как
было показано, при помощи найденного угла в сечении зодиака с большим
529	кругом, проведенным через полюс горизонта, тот параллакс, который
получается для одной только долготы. К нему мы прибавляем всегда
приходящуюся на выраженный в равноденственных часах соответствующий
промежуток времени разность дополнительных параллаксов, т.е. содержа-
щуюся в той же самой таблице разность двух параллаксов; один из них
соответствует первоначальному расстоянию от полюса горизонта, а другой —

расстоянию, получающемуся с учетом прошедших равноденственных часов.
Мы берем долготную составляющую этой разности плюс дополнительную
величину (если она значительна), которая составляет такую же дробь от
последней, какую последняя образует от исходного [долготного] параллак-
са114. К полученным таким образом долям всего параллакса по долготе мы
опять прибавляем по V\2 их части для учета движения Солнца; затем
полученную сумму выражаем в равноденственных часах, разделив их на
часовое перемещение Луны в неравномерном движении в окрестности места
новолуния. Если параллакс по долготе пойдет в направлении последова-
тельности знаков зодиака (ранее мы показали, как это можно определить)115,
то выраженные в равноденственных часах эти градусы мы отнимаем от
найденных ранее градусов положения Луны во время истинного новолуния, 530
делая это отдельно для долготы, широты и аномалии; так мы получим для
времени видимого новолуния истинные положения Луны. Эти самые часы
дадут нам время, на которое видимое новолуние произойдет ранее истинного.
   Если же параллакс по долготе окажется против последовательности
знаков зодиака, то упомянутые доли мы, наоборот, прибавим к определен-
ным ранее для истинного времени новолуния положениям как по долготе,
так и по широте, и аномалии; мы получим время в часах, на которое
видимое новолуние будет позднее истинного. Затем в соответствии с
выраженным в равноденственных часах расстоянием видимого новолуния от
меридиана теми же самыми методами исследуем сначала, на какую величину
Луна параллактически отклоняется по большому кругу, проведенному через
нее и полюс горизонта. Отняв от найденного [значения] соответствующий
этому числу [аргумента] параллакс Солнца, мы по остатку при помощи
угла в сечении упомянутых кругов определим параллакс по широте [т.е.
параллакс] по перпендикулярному к зодиаку кругу и, переводя полученные
после сложения доли в отрезки наклонной орбиты, т.е. умножая их на
12116, полученные градусы прибавим к определенному ранее для времени
видимого новолуния положению по [аргументу] широты, если параллакс 531
по широте будет к северу от круга через середины знаков и Луна находится
в восходящем узле; если же Луна будет в нисходящем [узле], то подобным
же образом вычтем. Если же параллакс по широте будет к югу от круга
через середины знаков, то, наоборот, при нахождении Луны в восходящем
узле отнимаем полученные градусы параллакса от ранее определенных
градусов [аргумента ] широты для времени видимого новолуния; если же
Луна будет в нисходящем узле, то точно так же прибавляем. И таким
образом мы получим для времени видимого новолуния значение видимого
[аргумента ] широты. С этим значением входим в таблицы солнечных
затмений, и если оно попадает в область, определяемую числами двух
первых столбцов, то мы скажем, что произойдет затмение Солнца, средняя
фаза которого приблизительно совпадет с видимым новолунием. Установив
теперь соответствующие этому аргументу широты числа пальцев и долей
погружения в тень и выхода из нее отдельно из каждой таблицы, внесем
числовую величину аномалии Луны от апогея в видимом новолунии в
таблицу поправок и, если в ней имеются соответствующие шестидесятые,
возьмем их число от каждой разности написанных выше чисел и будем их «2
всегда прибавлять к числам, взятым из первой таблицы. Число пальцев,
полученных после этого исправления, покажет нам, сколько двенадцатых
частей солнечного диаметра затмится приблизительно в середине времени
затмения. Затем, прибавив к градусам каждого положения их 1/12 части

для учета движения Солнца и переведя последние в равноденственные часы
в соответствии с неравномерным движением Луны, получим продолжитель-
ности погружения в тень и выхода из нее в предположении, однако, что
в соответствующее время не возникнет никакой  разницы в  параллак-
сах117.
Но  для  этих  промежутков  заметное  неравенство  получается  из-за
118
параллаксов Луны, а не из-за аномалий обоих светил . Поэтому каждый
из упомянутых промежутков [погружения в тень и выхода из нее] в
отдельности будет всегда больше, чем величина, определенная вышеописан-
ным методом, и в общем [они будут] не равными друг другу. Мы не
обойдем этот вопрос молчанием, даже если разность и окажется незначитель-
ной. Это явление возникает из-за того, что в видимом движении Луны
из-за параллаксов всегда получаются как бы некоторые попятные движения,
как если бы Луна не совсем по-настоящему двигалась в направлении
последовательности знаков. Действительно, если мы видим ее движущейся
по направлению к меридиану, то она понемногу поднимается и дает все
меньшие и меньшие параллактические смещения к востоку; вследствие этого
она кажется нам движущейся медленнее в направлении последовательности
знаков. Если же она идет от меридиана и понемногу опускается и дает
все более и более значительный параллакс к западу, то она точно так же
кажется нам движущейся медленнее в направлении последовательности
знаков. Вследствие этого вышеупомянутые времена в действительности будут
всегда больше вычисленных таким простым способом; и так как разности
последовательных параллаксов увеличиваются при приближении к ме-
ридиану, то необходимо, чтобы вблизи меридиана продолжительности
затмений были несколько большими. По этой причине, если средняя фаза
затмения придется на полдень, то только тогда окажутся приблизительно
равными времена погружения в тень и выхода из нее, так как с обеих
сторон кажущиеся движения против последовательности знаков окажутся
приблизительно равными. Если же средняя фаза будет до полудня, то тогда
время выхода из тени будет несколько больше, так как это происходит в
большей близости к меридиану; если же она будет после полудня, то из-за
большей близости к меридиану будет большим время погружения в тень.
   Чтобы учесть и это исправление промежутков времени, определим
[сначала] указанным выше способом неуточненную длину каждого из
рассматриваемых промежутков и расстояние от полюса горизонта в середине
промежутка времени затмения.
    Пусть, например, каждый из рассматриваемых промежутков времени
будет равен 1 равноденственному часу, а расстояние от полюса горизонта
составляет 75 градусов. В параллактической таблице119 находим число
шесидесятых долей параллакса, соответствующее [значению аргумента] 75
градусов; если, например, Луна находится в наибольшем расстоянии, то
для него соответствующие числа стоят в третьем столбце. Мы нашли, что
75 градусам соответствуют 52 шестидесятые. Так как каждый средненаб-
людаемый промежуток времени погружения в тень и выхода из нее
предполагается равным 1 равноденственному часу, или 15 градусам часового
угла, то, отняв последние от 75 градусов расстояния, определяем для
полученных в остатке 60 градусов соответствующие шестидесятые парал-
лакса, а именно 47 в том же третьем столбце, так что в среднем движении
к меридиану приближение вследствие параллаксов составит 5 шестидесятых.
Прибавив же эти 15 градусов к 75, мы получим для 90 градусов суммы в

том же самом столбце 531/2 шестидесятых полного параллакса, так что в
этом случае при движении светила к горизонту получающееся [из-за
параллакса] приближение составит I1/2 шестидесятую. Теперь, взяв для
данных разностей соответствующие прибавки для долготы и переведя их, 535
как показано, в доли равноденственного часа для неравномерного движения
Луны, величины, полученные для каждой, прибавляем соответствующим
образом к обоим средним определенным простым методом интервалам
погружения в тень и выхода из нее, а именно большую величину — ко
времени перемещения, более близкого к меридиану, а меньшую — ко
времени перемещения, более близкого к горизонту. Ясно, что для
рассматриваемых промежутков времени разница составляет З1/2 шестидеся-
тых, т.е. приблизительно 1/9 часть одного равноденственного часа; за это
время Луна в среднем движении продвинется на такое же количество
шестидесятых . После этого остается лишь, если желаем, для удобства
перевести для каждого расстояния равноденственные часы в местное время
121
согласно указанному нами ранее методу
122
11. Об углах «наклонений» в затмениях
   Теперь следует рассмотреть получающиеся в затмениях направления;
они складываются, во-первых, из направления затмившейся части [светила]
по отношению к кругу через середины знаков и, во-вторых, из направления
123
самого этого круга по отношению к горизонту    .
    Если бы кто-нибудь захотел рассмотреть все направления, получающиеся «6
в течение затмения в целом, то это не оказалось бы необходимым или
просто полезным для предсказаний вследствие необычайно большой и
необъятной переменчивости положений для каждой фазы затмения.
Действительно, положение зодиака по отношению к горизонту определяется
по местам на горизонте его восходящих и заходящих знаков. За время
затмения восходящие и заходящие созвездия с необходимостью будут
непрерывно изменяться, равно как и места их пересечений с горизонтом.
Точно так же, если направления затемнений по отношению к кругу через
середины знаков определять по большому кругу, проходящему через оба
центра — Луны и Солнца или Луны и тени, — то опять вследствие
перемещения центра Луны во время затмения большой круг, проходящий
через оба эти центра, с необходимостью будет всегда занимать непрерывно
изменяющиеся положения по отношению к зодиаку и образовывать с
последним непрерывно изменяющиеся углы. Следовательно, вполне доста-
точно будет произвести это исследование только для таких точек на
протяжении затмения, которые имеют какое-либо предзнаменовательное
значение, отмечая приближенно наблюдающиеся на горизонте дуги. Это
можно сделать непосредственно, на глаз, отмечая получающиеся состояния 537
при рассмотрении обоих упомянутых направлений [в затмении и по
отношению к горизонту] для наиболее важных положений, поскольку, как
мы сказали, в таком деле достаточна приближенная оценка. Вместе с тем,
чтобы  не  пропустить совершенно эту  тему,  мы  попытаемся  привести
наиболее удобные [математические] методы и для этого исследования124.
   Что касается затмений, то для предзнаменований мы считаем также
необходимым отмечать [следующие положения]: место первой фазы
затемнения — начало всего времени затмения; затем место последней фазы
затемнения, что соответствует началу пребывания в тени; и место фазы
   
наибольшего затемнения, что соответствует середине промежутка времени
всего затмения, если оно не является полным ; место первой фазы
освещения, что происходит в конце всего времени пребывания в тени; место
последней  фазы   освещения,   что  происходит  в   конце   всего  времени
затмения . Затем из направлений [по отношению к горизонту ] мы считаем
наиболее очевидными и самыми важными те, которые определяются
меридианом, местами восхода и захода точек на круге через середины
знаков в дни равноденствий и солнцеворотов, летнего и зимнего. Если же
говорить о началах направлений различных ветров, то хотя они многими
часто называются по-разному, но при желании их тоже можно обозначить
538 при помощи соответствующих углов на горизонте . Что же касается
сечений меридиана с горизонтом, то северное мы называем арктическим,
а южное — полуденным. Те из точек восхода и захода, которые
определяются началами Овна и Клешней, всегда находятся на горизонте
на расстоянии четверти окружности от меридиана и называются точками
равноденственных восхода и захода; определяемые началом Рака называются
точками летнего восхода и захода; определяемые началом Козерога
называются точками зимнего восхода или захода. Расстояния указанных
[четырех] точек [от пересечения с меридианом] меняются в зависимости
от широты; наклонения достаточно характеризуются, если указать, что они
совпадают с одним из выделенных направлений или находятся между двумя
какими-нибудь из них.
Для определения положения зодиака относительно горизонта мы согласно
указанному в первых книгах этого сочинения способу вычислим
получающиеся на горизонте расстояния точек восхода и захода начал
каждого из 12 делений зодиака по отношению к точкам пересечения
меридиана с горизонтом. Это мы сделали для каждого климата, начиная
от  Мероэ  и  кончая  Борисфеном.  Для  них  мы  определили  также  и
1 20
углы и для наглядности вместо таблицы начертили 8 кругов около одного
и того же центра [рис. 6.7], которые нужно представлять расположенными
5зч в плоскости горизонта; между ними содержатся расстояния и названия для
7 климатов. Затем через все эти круги мы провели две взаимно
перпендикулярные прямые, из которых одна, горизонтальная, представляет
общее сечение горизонта и равноденственного круга, а другая, вертикаль-
ная, — общее сечение горизонта и меридиана; на находящихся вне круга
концах горизонтальной прямой мы написали «равноденственные восход и
заход», а на концах вертикальной — «север» и «юг». Точно так же с обеих
сторон равноденственной прямой на разных от нее расстояниях мы провели
через все круги [четыре] прямые линии и в находящихся между кругами
7 промежутках написали для каждого климата расстояние по горизонту
тропических точек от равноденственной130, считая, что четверть круга
соответствует 90 градусам. По внутренним концам этих линий мы написали
для южных «зимние восход и заход», а для северных — «летние восход и
заход». Для промежуточных двенадцатых долей зодиака мы поместили в
каждом из четырех промежутков две другие линии, и на них записали
соответствующие этим долям расстояния по горизонту от равноденственного
круга, поместив название каждого знака на наружном круге. На
540 меридианной линии мы записали названия параллелей, соответствующие
им величины [самого длинного дня] в часах, а также высоты полюса, начав

запись с наибольшего и наиболее удаленного от центра круга с более
131
северных данных
    Чтобы иметь в табличном виде видимые направления затемнений
относительно круга через середины знаков, т.е. углы, получающиеся для
каждой отмеченной точки в пересечениях зодиака с большим кругом,
проведенным через названные точки, мы также вычислили и их для каждого
положения Луны с промежутками в 1 палец затемнения, ограничиваясь
только (что вполне достаточно) лишь положениями при среднем расстоянии
Луны и считая в затмениях приблизительно параллельными дуги круга
1 49
через середины знаков и наклонной орбиты Луны
   Пусть опять для примера прямая АВ [рис. 6.6] будет заменяющей дугу
круга через середины знаков, на которой в точке А предполагается
находящимся центр Солнца или тени, а ГАЕ будет прямой, заменяющей
наклонную орбиту Луны. Пусть Г будет точкой, в которой находится центр
Луны в середине затмения, а А — местом нахождения этого центра, когда
.	R вся Луна или только что затмилась целиком или
   

только что начала освещаться, иными словами, это
будет точка, в которой она касается изнутри круга
тени. Далее, Е будет точкой, в которой находится
центр Луны, когда она только что начала затмеваться
или, наоборот, закончила прибавляться в свете, т.е.
когда упомянутые круги будут касаться извне. Затем
проведем соединительные линии АГ, АД и АЕ.
   Ясно, что углы ВАГ и АГЕ, соответствующие
середине времени затмения, будут для наблюдателя
Рис. 6.6	прямыми, угол ВАЕ представляет угол, образуемый
                      в начале затемнения или в конце выхода из тени, а
угол ВАД — образуемый в конце [полного] затемнения или в начале
выхода из тени. Отсюда ясно, что АЕ представляет сумму радиусов обоих
кругов, а АД — их разность.
Возьмем для примера затмение, в котором затемняется 1/2 солнечного
диаметра в момент середины затмения. Пусть А будет центром Солнца,
так что АЕ всегда для среднего расстояния Луны будет равняться 32; 20
133
частям , а АГ — оставшаяся половина солнечного диаметра — 16;40
таким же частям. Так как гипотенуза ЕА равна 32;20, то АГ по принятой
величине затемнения будет равна 16;40; следовательно, если гипотенузу
ЕА принять за 120, то АГ будет равна 61;51, и построенная на ней дуга
будет равняться 62;2 градусам, каких описанный около прямоугольного
треугольника АГЕ круг содержит 360. Таким образом, угол АЕГ или
ВАЕ будет равняться 62;2 градусам, каких в двух прямых углах содержится
360, или 31 ;1 градусу, каких 360 будет в четырех прямых углах.
   Далее, что касается лунных затмений, то пусть А будет центром тени.
Поскольку мы предположили, как и ранее, что Луна находится на среднем
расстоянии, прямая АЕ будет всегда равна 60 частям, а АД — таким же
26;40134. И пусть Луна затмевается в положении, соответствующем 18
пальцам, так что АГ меньше АД на 1/2 диаметра [Луны] и в остатке [при
вычитании] получается 10;0 таких же частей135.
    Теперь, если гипотенуза АЕ содержит 120 частей, то в АГ таких частей
будет 20;0, а соответствующая ей дуга будет иметь 19; 12 градусов, каких
    
в описанной около прямоугольного треугольника АГЕ окружности содержится
360. Тогда угол АЕГ или ВАЕ будет иметь 19; 12 градусов, каких в двух
прямых углах содержится 360, или 9;36, каких 360 будет в четырех прямых
углах. Точно так же, если гипотенуза АД равна 120, то АГ будет равняться
45, а соответствующая ей дуга 44;2 градусам, каких в описанной около
прямоугольного треугольника АГД окружности содержится 360. Тогда угол
АДГ, т.е. ВАД, равнялся бы 44;2 градусам, каких в двух прямых углах
имеется 360, или 22; 1 таким, каких 360 содержится в четырех прямых
углах.
    Поступая таким же образом и в случае другого количества пальцев и
беря значения углов, меньших прямого, полагая последний равным 90
градусам, как считается для квадранта окружности горизонта, мы составили
таблицу из 22 строк и 4 столбцов. Первый из них содержит искомые числа
пальцев затемнения лунного диаметра в средней фазе затмения; второй
содержит получающиеся в солнечных затмениях углы в начале затмения
или конце освещения; третий — углы, получающиеся в лунных затмениях
в начале затемнения и конце освещения; четвертый же — углы,
получающиеся тоже при лунных затмениях в конце затемнения и начале
освещения. Эта таблица, а также вышеупомянутые круги таковы

13. Определение «наклонений»
    
    Если мы вычислили указанным выше способом времена упомянутых
фаз, а по временам, конечно, восходящие и заходящие части круга через
середины знаков, то по диаграмме [рис. 6.7] мы можем определить их
положения относительно горизонта . Если центр Луны (видимый центр
при солнечных  затмениях  и истинный  центр при лунных затмениях)

находится на самом круге через середины знаков, то «наклонение» в
начальной фазе затмения Солнца [/] и в конце частной фазы, и в конце
выхода из тени Луны [2, 5] мы определим по положению на горизонте
заходящего в то время знака зодиака; «наклонение» же в конце затемнения
Солнца 15] или в начале затемнения и выхода из тени Луны [1, 4] мы
определяем по положению восходящего знака зодиака139. Если же центр
Луны не находится на круге через середины знаков, то, взяв из таблицы
величины углов, соответствующие указанному числу пальцев, приложим их

к градусам общего сечения горизонта и круга через середины знаков .
Если центр Луны будет севернее последнего, то мы отложим угол [о] к
северу от заходящей точки [зодиакального круга] для начала затемнения
546 Солнца [I] и конца погружения в тень Луны [2]; для окончания же
прибавления света у Солнца [5] и начала [прибавления света] у Луны
[4] мы откладываем его к северу от восходящей точки; для начала
затемнения Луны [1 ] мы отложим его к югу от восходящей точки, а для
конца прибавления света [5] — к югу от заходящей точки141. Если центр
Луны будет южнее круга через середины знаков, то для начала затемнения
Солнца [I] и для конца погружения в тень Луны [2] мы отложим его к
югу от заходящей точки, а для конца прибавления света Солнца [5] и
начала прибавления света Луны [4] — к югу от восходящей точки; для
начала же затемнения Луны [1] — к северу от восходящей точки, а для
конца прибавления света Луны [5] — к северу от заходящей точки. При
помощи этой процедуры получаем точку на линии горизонта, по отношению
к которой (говоря грубо, как мы сказали) наклонны те точки светил,
которые образуют [астрологически] значащие моменты фаз, а именно начало
и конец затмения и полной фазы.

Книга VII

1. О том, что неподвижные звезды всегда сохраняют	г
одно и то же положение по отношению друг к другу
   Изложив, о Сир, в предыдущих книгах все, что касается прямой и
наклонной сфер, а также предположения относительно движений Солнца и
Луны и усматриваемых их аспектов между собой, в качестве основы
следующей за этим теории мы поведем речь о звездах и прежде всего,
согласно логическому порядку, о так называемых неподвижных звездах1.
   Этому прежде всего нужно предпослать то, что звезды эти вполне
правильно названы неподвижными, так как они образуют всегда неизменные
фигуры и сохраняют одинаковые расстояния одна от другой. Однако
поскольку вся их сфера, вместе с которой они, как бы скрепленные с ней,
вращаются, сама тоже, как видно, совершает собственное правильное
перемещение в направлении последовательности знаков зодиака и к востоку
противоположно первому [суточному] движению, то название неподвижной
к этой сфере никак не подходило бы . В действительности же мы находим,
что оба эти названия справедливы, если основываться на свидетельствах,
дошедших до нас. Впервые только Гиппарх на основании имевшихся
наблюдений стал задумываться о правильности обоих этих названий, но
так как для этого нужен был очень большой промежуток времени, то он
высказал скорее догадку относительно этого, а не вполне подтвержденное з
заключение, так как до его времени было произведено лишь очень
незначительное число наблюдений неподвижных звезд, пожалуй, даже одни
только записанные Аристиллом и Тимохарисом, причем и эти наблюдения
не были ни вполне надежными, ни до конца доработанными3. Из сравнения
современных наблюдений с произведенными в то время мы также пришли
к этому же заключению, но уже более прочно установленному, так как
эти исследования охватывали большой промежуток времени, а также потому,
что записи Гиппарха о неподвижных звездах, которыми мы большей частью
и пользовались для сравнения, дошли до нас в полной сохранности.
   А то, что не произошло никакого изменения в положении звезд по
отношению друг к другу и наблюденные Гиппархом конфигурации усматрива-
ются в неизменном виде и теперь, причем это касается не только положений
зодиакальных созвездий относительно друг друга или же расположенных
вне зодиака созвездий по отношению к таким же (а это случилось бы,
если бы согласно первому предположению, высказанному Гиппархом,
указанное перемещение в направлении последовательности знаков совершали
4
одни лишь зодиакальные созвездия) , но это верно также и для созвездий,
расположенных в поясе зодиака, по отношению к находящимся с обеих его
сторон внешним созвездиям, — все это легко можно понять каждому,

желающему произвести такое сравнение и ради любви к истине посмотреть,
4   будет ли все это соответствовать оставленным записям времен Гиппарха.
Для убедительности мы приводим здесь небольшое число выписок из
его сочинений5, которые лучше всего могут сделать наглядным это сравнение
и показать, что конфигурации, образуемые звездами, расположенными вне
зодиака, будут одинаковыми как между собой, так и по отношению к
зодиакальным6.
   Так, например, относительно звезд Рака Гиппарх пишет , что звезда,
находящаяся  в  южной  клешне  Рака   [а  Спс]  и  та  яркая   |j3  Спс],
о
предшествующая   как упомянутой звезде, так и голове Гидры, а также
самая яркая звезда Проциона [a CMi] приблизительно находятся на одной
„9
прямой ; действительно, средняя из них лишь на полтора пальца отклоняется
к северу и востоку от прямой, проведенной через северный и южный концы,
и промежуточные расстояния равны10.
   Относительно звезд Льва он пишет, что из четырех звезд, находящихся
в его голове \ju, е,к,к Leo], две самые восточные [/л, е Leo] и звезда Гидры,
находящаяся в начале шеи  [шНуа], лежат на одной прямой11. Далее
прямая, проведенная через хвост Льва IjS Leo] и конечную звезду хвоста
s   Большой Медведицы [т] UMa], оставляет на один палец к западу звезду,
которая сияет под хвостом Большой Медведицы [a CVn] . Также прямая,
проведенная через упомянутую звезду под хвостом Большой Медведицы и
через хвост Льва, соединит и две предшествующие звезды в Волосах
[Вероники]  .
   Относительно звезд Девы он пишет, что между северной ногой Девы
[/< Vir] и правой ногой Волопаса [? Boo] расположены две звезды14, из
которых южная [109 Boo], одинаковой яркости со звездой на [правой] ноге
Волопаса, смещена к востоку от прямой, проходящей через две эти ноги,
а северная, слабо светящая [31 Boo], находится на одной прямой с этими
ногами15; затем слабо светящей из двух этих звезд предшествуют две яркие,
которые вместе со слабо светящей образуют равнобедренный треугольник,
вершиной которого является слабо светящая16; обе эти звезды будут на
1 7
одной прямой с Арктуром [а Boo] и южной ногой Девы [Д Vir] . Затем
между Колосом [Спикой, a Vir] и второй звездой от конца хвоста Гидры
[у Нуа]18 находятся три звезды [57, 63, 69 Vir] на одной с ними прямой19;
средняя из них [63 Vir] будет на одной прямой с Колосом и предпоследней
в хвосте Гидры.
   Что касается звезд в Клешнях Скорпиона, то приблизительно на одной
прямой с двумя яркими звездами Клешней [а, /3 Lib ] находится к северу
яркая тройная звезда  [м Ser], ибо по обе ее стороны расположены две
маленькие [36, 30 Ser]20.
Относительно звезд Скорпиона он пишет, что прямая, проведенная через
б   последнюю из звезд жала Скорпиона  [Д Sco] и через правое колено
Змееносца  [т] Oph], делит пополам расстояние между двумя предшест-
вующими звездами [36, в Oph] на правой ноге Змееносца . Далее, пятое
[в Sco] и седьмое [к Sco] сочленения [хвоста] лежат на одной прямой с

яркой звездой в середине Жертвенника [а Ага] . Затем, более северная
94
звезда [о Ага ] в основании Жертвенника [а, в Ага ] лежит почти на одной
прямой между пятым сочленением [хвоста] [в Sco] и средней звездой
Жертвенника, примерно на одинаковом расстоянии от каждой из этих звезд.
   Относительно звезд Стрельца он пишет, что к востоку и к югу от Венца
[Южная Корона ], находящегося под Стрельцом, лежат две яркие звезды
[a, /3 Sgr], расположенные приблизительно на расстоянии трех локтей; из
них более южная и яркая IjS], находящаяся на ноге Стрельца, будет
приблизительно на одной прямой со средней [а СгА] из трех ярких звезд
Венца [у, а,уЗСгА], расположенных в нем к востоку, и с последующей
[? Sgr] из ярких звезд [?, т, о, <р Sgr] в противоположных углах
четырехугольника; два расстояния [между этими тремя звездами] равны;
более северная из них [a Sgr] отклоняется от этой прямой к востоку и
находится   на   одной   прямой   с   двумя   яркими   звездами   [?, о   Sgr],
24
расположенными в противолежащих углах четырехсторонника .
   О звездах Водолея он пишет, что две близко расположенные звезды в
голове Коня [в, v Peg ] и последующее плечо Водолея [a Aqr ] находятся
приблизительно на одной прямой, параллельной проведенной через пред-    7
ОС
шествующее плечо Водолея IjS Aqr] к звезде на щеке Коня [е Peg] .
Затем, предшествующее плечо Водолея IjS Aqr] и более яркая звезда [?
Peg] из двух на шее Коня [?, ? Peg], а также звезда на пупке Коня [а
9Л
And] будут на одной прямой, и их расстояния равны . И он пишет еще,
что прямая, проведенная через морду Коня [е Peg] и восточную [rj Aqr]
из четырех звезд [т],^,л,у Aqr] сосуда [Водолея], делит пополам и почти
под прямым углом прямую через две близко расположенные звезды на
голове Коня [в, v Peg]27.
   Относительно же Рыб он пишет, что звезда во рту более южной рыбы
IjS Psc], яркая на плечах Коня [a Peg] и яркая на груди \fi Peg] лежат
28
на одной прямой .
   Что же касается Овна, то ведущая звезда в основании Треугольника
\fi Tri] отклоняется на один палец к востоку от прямой, проведенной через
90
звезды на морде Овна [a Ari] и через левую ногу Андромеды [у And] .
Далее, две ведущие у Ari ] из звезд на голове Овна и середина основания
Треугольника [т.е. средняя точка линии, соединяющей звезды уЗ и у Tri]
«зо
находятся на одной прямой  .
   Относительно звезд Тельца он пишет, что восточные звезды Гиад
[а, е Таи ] и шестая с юга из звезд шкуры, которую Орион держит в левой
руке [л  Ori], будут на одной прямой . Далее прямая, проведенная через    »
передний глаз Тельца [е Таи] к седьмой с юга из звезд шкуры [о   Ori],
49
оставляет на 1 палец к северу яркую звезду в Гиадах [а Таи] .
   Что касается звезд Близнецов, то он пишет, что на одной прямой с
головами Близнецов [а,уЗ Gem] находится некоторая звезда [? Спс],
отстоящая от задней головы \fi Gem ] на тройное расстояние между головами;
эта же самая звезда будет на одной прямой с южными звездами [д,в Спс]
из четырех звезд [д,в,у,т] Спс] вокруг туманности [Ясли]33.

   Таким образом, во всех этих конфигурациях, охватывающих большую
часть всей сферы, мы не видим до настоящего времени никаких изменений,
которые были бы вообще заметными в течение протекших [со времен
Гиппарха] 260 лет, а они выявились бы, если бы движение к востоку
совершали лишь звезды, расположенные в круге зодиака.
   Однако, чтобы астрономы в дальнейшем смогли по прошествии большего
времени производить сравнение на основании еще большего числа подобных
этим конфигураций, мы прибавим еще некоторые не встречающиеся в более
ранних писаниях и наблюденные нами конфигурации, которые особенно
легко могут быть замечены начиная от созвездия Овна.
       Две самые северные [а, /3 Ari ] из трех звезд [а, /3, у Ari ] на голове
9   Овна и яркая звезда в южном колене Персея  [е Per], а также так
называемая Коза [а Аиг, Капелла] находятся на прямой линии34.
   Прямая, проведенная через так называемую Козу [а Аиг] и самую
яркую  из  Гиад   [а  Таи],  проходит немного к  востоку от звезды на
предшествующей ноге Возничего [i Aur] . Затем, так называемая Коза и
звезда, общая для расположенной сзади ноги Возничего и конца северного
рога Тельца \fi Таи], лежат на одной прямой со звездой на переднем плече
Ориона [у Ori]36.
Далее,  [две] яркие звезды на головах Близнецов [а,/3 Gem] лежат
17
почти на одной прямой с яркой звездой на шее Гидры [в Нуа]  .
   Затем, две рядом расположенные звезды на передней лапе Большой
Медведицы [i, к UMa] и находящаяся на конце северной клешни Рака
[i Спс] будут на одной прямой с более северным из [двух] Ослят [у Спс]38.
Равным образом южный Осленок [«5 Спс] и яркая звезда Проциона [а
CMi] лежат приблизительно на одной прямой с находящейся между ними
яркой звездой перед головой Гидры [/3 Спс]  .
   Далее, прямая, проведенная от средней [у Leo] из ярких звезд на шее
Льва [?, у, г/ Leo] к яркой звезде в Гидре [а Нуа], чуть-чуть отклоняется
к востоку от звезды на сердце Льва [a Leo]40. И прямая, проведенная от
яркой звезды на крестце Льва [«5 Leo] к яркой звезде, находящейся на
ю заднем бедре Большой Медведицы [у UMa], являющейся южной звездой
на задней стороне четырехугольника, оставляет немного к западу две рядом
расположенные  звезды   [v, ?   UMa ]   на  конце  задней  лапы   Большой
Медведицы41.
   Затем, прямая, проведенная от звезды сзади на бедре Девы g Vir] ко
второй звезде от конца хвоста Гидры [у Нуа], проходит чуть-чуть к западу
от так называемого Колоса [a Vir]42. Прямая, проведенная от Колоса к
звезде на голове Волопаса \fi Boo], слегка отклоняется к востоку от Арктура
[а Boo]43. На одной прямой лежат также Колос и звезды на крыльях
Ворона [д,у Crv]44. Колос и звезда сзади на бедре Девы [? Vir] лежат на
одной прямой с самой северной и яркой [г/ Boo] из трех звезд на переднем
колене Волопаса [г/, т, v Boo ]45.
    Кроме того, яркие звезды Клешней [а,/3 Lib] лежат почти на одной
прямой со звездой на конце хвоста Гидры [л Нуа]. Яркая звезда на южной
клешне [a Lib], Арктур и средняя из трех звезд на хвосте Большой
Медведицы [? UMa] лежат на одной прямой. Яркая звезда на северной
    
клешне \fi Lib], Арктур и звезда сзади на бедре Большой Медведицы [у
UMa] лежат на одной прямой46.
   Далее, звезда на задней голени Змееносца [? Oph], звезда на пятом
сочленении хвоста Скорпиона [в Sco] и передняя [и Sco] из двух близко
расположенных звезд на его жале [Л, v Sco] будут на одной прямой47.
Передняя [aSco] из трех звезд на груди Скорпиона [а, а, т Sco] и две
звезды на коленях Змееносца [?/, ? Oph] образуют равнобедренный треу-   и
гольник, вершиной которого служит передняя звезда из трех на груди
Скорпиона48.
   Затем, звезда второй величины на передней, южной лодыжке Стрельца
\fi Sgr], звезда на острие стрелы  [у Sgr] и звезда на заднем колене
Змееносца [rj Oph] лежат на одной прямой49. Звезда на колене той же
[передней] ноги Стрельца [a Sgr], находящаяся по соседству с [Южной]
Короной, звезда на острие стрелы [у Sgr] и звезда на переднем колене
Змееносца [? Oph] лежат на одной прямой50.
   Кроме того, прямая, соединяющая яркую звезду в Лире [a Lyr] со
звездами на рогах Козерога [а, /3, v, ? Cap ], проходит немного к востоку
от яркой звезды в Орле [а Aql]51. Прямая, проведенная от яркой звезды
в Орле к звезде первой величины во рту Южной Рыбы [a PsA], делит
приблизительно пополам расстояние между двумя яркими звездами на хвосте
Козерога [у, д Сар ]52.
   Затем прямая, проведенная от звезды первой величины во рту Южной
Рыбы к звезде на морде Коня [е Peg], проходит немного к востоку от
53
яркой звезды на заднем плече Водолея [a Aqr ] .
   Далее, две звезды, что во рту Южной Рыбы [a PsA] и южной рыбы
[из созвездия Рыб, /3 Psc], и передние звезды четырехугольника Коня
[а,/3 Peg] лежат на одной прямой54.
   И если кто-нибудь эти конфигурации снова приложит к изображениям
созвездий на небесном глобусе Гиппарха, то найдет,  что они теперь   12
приблизительно таковы, какими были положения их на глобусе согласно
записям их наблюдений времен [Гиппарха]55.

2. О том, что сфера неподвижных звезд совершает
некоторое движение в направлении последовательности знаков круга,
проходящего через середины зодиакальных созвездий
   Из этих и им подобных наблюдений мы можем установить, что все
звезды, называемые обычно неподвижными, сохраняют одно и то же
взаимное положение и имеют одно и то же движение. Но, кроме того, их
сфера совершает некоторое свойственное ей движение в сторону, противо-
положную вращению мира, а именно в направлении последовательности
знаков, т.е. движению большого круга, проведенного через полюсы
равноденственного круга и круга через середины зодиакальных созвездий.
Нам легче всего убедиться в этом, если заметить, что одни и те же звезды
в древности и в наше время не сохраняют одинаковых расстояний по
отношению к точкам солнцеворотов и равноденствий, но всегда в более
   
поздние времена эти звезды имеют большие расстояния от этих точек в
направлении последовательности знаков56.
   Действительно, Гиппарх в своем сочинении «О смещении солнцеворотных
и равноденственных точек», сопоставляя лунные затмения, точно наблю-
денные им самим, с более ранними, наблюденными Тимохарисом, получает
вычислением, что в наблюдениях его времени Колос отстоял от точки
осеннего равноденствия на 6 градусов в направлении против последователь-
ности знаков, а в наблюдениях Тимохариса приблизительно на 8 градусов.
Обо всем этом он говорит так: «Итак, если, например, раньше Колос на
зодиаке предшествовал точке осеннего равноденствия по долготе на 8
градусов, то в настоящее время на 6 градусов», и так далее . Он доказывает,
что такое же отступление в направлении последовательности знаков
произошло почти и у всех других звезд, для которых было произведено
со
сравнение . А мы, сравнивая в наше время видимые расстояния
неподвижных звезд от точек солнцеворотов и равноденствий с записями
наблюдений Гиппарха, точно так же нашли перемещение их в направлении
последовательности знаков, совершающееся в тех же пропорциях, как и
предшествующее. Это исследование мы произвели при помощи предваритель-
но построенного нами инструмента для наблюдений различных расстояний
Луны от Солнца. Для этого один из кругов астролябии мы устанавливали
по направлению к видимому во время наблюдения положению Луны, а
второй поворачивали к исследуемой звезде так, чтобы и звезду, и Луну
можно было наблюдать в соответствующих положениях. Таким именно
образом по расстояниям от Луны мы и определяем положение каждой в
отдельности яркой звезды59.
В качестве одного из примеров мы приведем наблюдение во 2 год
Антонина, в 9-й день египетского месяца Фармути60. Когда Солнце уже
заходило в Александрии и в меридиане стоял последний градус Тельца,
т.е. было 51/г равноденственных часов после полудня 9-го числа, мы
наблюдали видимое расстояние Луны от Солнца, находившегося примерно
на 3 градусе Рыб, и получили 921/s градуса. Через полчаса, когда Солнце
уже зашло и в меридиане стояла первая четверть Близнецов [т.е. 7;30
градусов Близнецов], видимое положение Луны определялось таким же
положением круга астролябии, и звезда на груди Льва [a Leo], визируемая
при помощи второго круга астролябии, оказалась на расстоянии от Луны
в 571/6 градусов в направлении последовательности знаков по кругу,
проходящему через середины зодиакальных созвездий.
    В первом наблюдении истинное положение Солнца было очень близко
к 31/20 градусам Рыб, так что при видимом положении Луны на расстоянии
921/8 градусов в направлении последовательности знаков она находилась
приблизительно на 51/б градусах Близнецов, где она и должна была
находиться согласно нашим основным гипотезам. Через полчаса же Луна
должна была продвинуться приблизительно на V4 градуса в направлении
последовательности знаков и по сравнению с первым положением иметь
параллактическое смещение приблизительно в 1/12 часть градуса против
последовательности знаков. Следовательно, видимое положение Луны через
полчаса должно было быть на 51/з градусах Близнецов, так что звезда на
груди Льва, поскольку видимое ее расстояние от Луны было 51 V(, градусов
    
в направлении последовательности знаков, находилась на 21/г градусах Льва
и, следовательно, отстояла на 321/г градуса от точки летнего солнцеворота61.
   Но в 50 год третьего периода Калиппа , как записал Гиппарх исходя
из своих наблюдений, эта звезда от той же самой точки летнего солнцеворота
отстояла на 291/г1/з градусов в направлении последовательности знаков.
Следовательно, звезда на груди Льва передвинулась в направлении
последовательности знаков на 2% градуса по кругу, проходящему через
середины  зодиакальных  созвездий  за  период  от  времени  наблюдений
Гиппарха до начала царствования Антонина, когда и мы произвели большую
63
часть наблюдений за положениями неподвижных звезд , т.е. приблизительно
за 265 лет64. Из этого обнаруживается, что перемещение в направлении
последовательности знаков составляет приблизительно 1 градус за 100 лет.
По-видимому, так же предполагал и Гиппарх, если судить по следующим
его словам в книге «О продолжительности года»: «Если по этой причине
равноденственные и солнцеворотные точки передвигаются против последо-
вательности знаков зодиака не менее, чем на сотую часть градуса за один
год, то необходимо, чтобы в 300 лет они передвигались на расстояние, не   16
1	65
меньшее 3 градусов» .
Произведя подобным же образом наблюдение расстояний от Луны для
Колоса [a Vir] и наиболее ярких звезд вблизи средней окружности зодиака,
а затем [опираясь на них] и наблюдения остальных звезд66, мы нашли,
что их взаимные расстояния приблизительно таковы же, как их наблюдал
и Гиппарх, расстояние же от точек солнцеворотов и равноденствий по
сравнению с записанными Гиппархом в каждом случае увеличились
приблизительно на 22/з градуса в направлении последовательности зна-
ков67.
   
   3. О том, что сфера неподвижных звезд совершает движение
вокруг полюсов зодиака в направлении последовательности знаков
   На основании сказанного нам становится понятным, что сфера
неподвижных звезд совершает в направлении последовательности знаков
приблизительно такое перемещение по окружности, проходящей через
середины зодиакальных созвездий. После этого нам нужно исследовать
характер этого движения, иными словами, установить, совершается оно
вокруг полюсов равноденственного круга или же вокруг полюсов наклонного
круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий. Это можно
было бы установить и на основании рассмотренного выше перемещения по
долготе, так как большие круги, проводимые через полюсы одного из
указанных кругов, отсекают на другом круге неравные дуги, если, конечно,
при незначительности перемещения по долготе в течение рассматриваемого п
небольшого промежутка времени возникающая от этого разница не окажется
нечувствительной. Лучше всего это уяснить, исследовав перемещения по
широте между прошедшим и настоящим временем. Очевидно, круг,
равноденственный или проходящий через середины зодиакальных созвездий,
для полюсов которого звезды будут, согласно наблюдениям, сохранять одно
и то же расстояние по широте, и окажется тем, по которому совершается
движение сферы [неподвижных звезд]68.
   
   Гиппарх точно так же предполагает, что вращение происходит вокруг
полюсов наклонного круга. Действительно, в книге «О смещении солнце-
воротных и равноденственных точек» он приводит [в качестве примера]
тот же самый Колос, который по наблюдениям и Тимохариса, и его
собственным сохранил неизменной величину своего расстояния по широте
по отношению не к равноденственному кругу, а к кругу, проходящему
через середины зодиакальных созвездий. Эта звезда и раньше, и теперь
находилась на 2 градуса южнее круга, проходившего через середины
зодиакальных созвездий. На основании этого в книге «О продолжительности
года» он полагает, что это движение может совершаться только вокруг
полюсов зодиака. Однако, по его собственным словам, он сомневается в
полной надежности наблюдений Тимохариса, так как они производились
достаточно грубо, а также и поскольку за прошедшее время не накопилось
еще достаточной разницы для того, чтобы можно было сделать надежные
выводы. Однако мы, пришедшие к тому же выводу на основании наблюдений
и за больший промежуток времени, и почти для всех неподвижных звезд,
можем уже считать значительно лучше установленным положение, что
движение неподвижных звезд совершается вокруг полюсов наклонного круга.
Действительно, наблюдая для каждой звезды ее расстояние по широте от
круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий, т.е. по
большому кругу, проведенному через его полюсы, мы нашли, что эти
расстояния являются или такими же, какие были записаны и собраны
Гиппархом69, или же отличающимися только на очень малые величины,
которыми можно пренебречь при наблюдениях.
    Что же касается расстояний [звезд] до равноденственного круга,
отсчитываемых по большому кругу, проведенному через его полюсы, то
определенные нами их величины не совпадают ни с записанными Гиппархом
в наблюдениях такого рода, ни с теми, которые еще раньше были получены
Тимохарисом. Из них, однако, мы еще надежнее установили тождественность
широт [звезд] по отношению к кругу, проходящему через середины
зодиакальных созвездий. В полушарии, идущем от зимнего тропика к
летнему через точку весеннего равноденствия, положения звезд относительно
равноденственного круга оказались более северными, чем были ранее, а в
противоположном полушарии — более южными. Вблизи равноденственных
точек в расстояниях получались большие разности, а вблизи точек
солнцеворота — меньшие, и почти всегда пропорциональные перемещениям
в долготе, когда отрезки зодиакального круга по отношению к равноденст-
венному кругу становились более северными или более южными. Чтобы
сделать излагаемое более понятным, мы приведем для каждого из
упомянутых полушарий записанные расстояния звезд по широте от
равноденственного круга, измеренные по большому кругу, проведенному
через его полюса, по Тимохарису, по Гиппарху, а затем и наши, полученные
таким же образом.
   Яркая звезда в Орле [a Aql], по записям Тимохариса, оказывается
севернее равноденственного круга на 5Vs градусов, у Гиппарха так же,
тогда как мы нашли 5V2V3 градусов. Средняя звезда Плеяд [г/ Таи]70, по
записям Тимохариса, располагалась севернее равноденственного круга на
141/2 градусов, по Гиппарху — на 151/6 градусов, а мы получили I6V4.
Яркая звезда Гиад [а Таи], по записям Тимохариса, была севернее
равноденственного круга на 8V2V4 градусов, а по Гиппарху — на W2V4,
мы же получили 11 градусов. Самая яркая звезда Возничего, называемая

Козой [а Аиг], по записям Аристилла, располагалась севернее равноденст-
венного круга на 40 градусов, а по Гиппарху — на 40%, мы же нашли
величину 411/6 градус. Звезда на переднем плече Ориона [у Ori], по записям
Тимохариса, стоит на IV5 градус севернее равноденственного круга, по
Гиппарху же — на IV5 градуа, мы же получили расстояние в 21/г градуса.
Звезду на заднем плече Ориона [a Ori] Тимохарис записывает севернее
равноденственного круга на 3V2V3 градуса, Гиппарх — на 41/з, а мы
получили 5У4 градусов. Яркая звезда во рту Пса [а СМа], по записям
Тимохариса, расположена южнее равноденственного круга на I6I/3 градусов,
по Гиппарху — на 16, а мы нашли I5V2V4 градусов. Передняя яркая звезда
на головах Близнецов [a Gem ], по записям Аристилла, расположена севернее
равноденственного круга на 33 градуса, по Гиппарху — на 331/б, а мы
получили 33Vs градуса. Следующую из них \fi Gem] Аристилл записывает
расположенной севернее экватора на 30 градусов, Гиппарх дает столько же,
мы же нашли ЗОУб градусов71.
    Все эти данные получены для того из вышеуказанных полушарий,
которое в своем протяжении по долготе включает точку весеннего
равноденствия. При этом оказывается, что положения относительно
равноденственного круга, наблюденные в более позднее время, стали по
широте более северными, чем были раньше, причем изменения для звезд,
расположенных у точек солнцеворотов, вообще малы, а для близких к
равноденственным достаточно значительны. Все это является следствием
вращения в направлении последовательности знаков вокруг полюсов
наклонного круга, так как расположенные дальше отрезки этого полукруга
всегда становятся более северными, чем предшествующие им, и располо-
женные вблизи равноденственных точек дают большие отклонения, а вблизи
точек солнцеворота — меньшие.
   В противоположном полушарии звезду на сердце Льва [a Leo ] Тимохарис
записывает расположенной севернее равноденственного круга на 211/3 градус,
Гиппарх — на 2OV3, а мы нашли WV2V3. Так называемый Колос [a Vir]
Тимохарис записывает расположенным севернее равноденственного круга на
IV5 градус, Гиппарх — всего лишь на З/5, а мы нашли, что он будет южнее
равноденственного круга на V2 градуса. Самую крайнюю звезду из трех в
хвосте Большой Медведицы [rj UMa] Аристилл записывает севернее
равноденственного круга на 6W2 градус, Гиппарх — на 601/21/4, а мы
получили 597/з градусов. Вторая звезда от конца, находящаяся в середине
хвоста [? UMa], по записям Аристилла, расположена севернее равноденст-
венного круга на 671/4 градусов, по Гиппарху — на 66V2, а мы нашли 65
градусов. Третья от конца звезда, находящаяся как бы в начале хвоста
[е UMa], по записям Аристилла, севернее равноденственного круга на
68V2 градусов, по Гиппарху — на 67У572, а мы получили 66V4 градусов.
Арктур [а Boo], согласно записям Тимохариса, находился севернее
равноденственного круга на 31V2 градус, согласно Гиппарху — на 31, а
мы получили 291/г Уз- Из ярких звезд в клешнях Скорпиона находящуюся
на конце южной клешни [a Lib] Тимохарис записывает более южной
равноденственного круга на 5 градусов, Гиппарх — на 5Vs, а мы получили
7Уб градусов. Находящаяся в конце северной клешни |j3 Lib], по записям
Тимохариса, расположена севернее равноденственного круга на IV5 градус,
по Гиппарху — только на V5 градуса, а мы нашли, что она будет на

1 градус южнее равноденственного круга. Яркую звезду на груди Скорпиона,
так называемый Антарес [a Sco], Тимохарис записывает как расположенную
южнее экватора на 181/з градусов, Гиппарх — на 19, а мы получили
201/4 градусов73.
   Итак, из всего этого получается противоположное [установленному
ранее] следствие, а именно: более поздние по широте положения
относительно равноденственного круга сделались более южными по срав-
нению с более ранними пропорционально [временным промежуткам и
положениям ].
   Таким образом, можно заключить, что перемещение сферы неподвижных
звезд по долготе совершается в направлении последовательности знаков и,
как мы сказали, приблизительно на 1 градус в 100 лет, а именно на
22/з градуса за 265 лет, протекших между Гиппарховыми и нашими
наблюдениями; и все это устанавливается главным образом на основании
разностей в широте тех звезд, что расположены близко к равноденственным
точкам.
   Действительно, средняя из Плеяд [г/ Таи], по Гиппарху, находилась
севернее экватора на 151/6 градусов, мы же нашли 161/4, так что в протекшее
до нас от Гиппарха время она стала на I1/12 градус более северной;
24 приблизительно такую же разницу в широте относительно экватора
произведут за то же время 2V3 градуса зодиакального круга в конце Овна
при перемещении по долготе в направлении последовательности знаков на
этот интервал74. Так называемая Коза [а Аиг], находившаяся, по Гиппарху,
севернее экватора на 40Vs градусов, а по нашим наблюдениям — на
411/6, стала более северной на 4/5 градуса; на эту самую величину опять
будут различаться широты относительно экватора при перемещении середины
Тельца на 2V3 градуса по зодиакальному кругу . Звезда на переднем плече
Ориона [у Ori], находившаяся, по Гиппарху, севернее экватора на IV5, а
по нашим наблюдениям — на 21/2 градуса, стала более северной на V3
градуса; приблизительно на такую величину будут опять отличаться по
широте относительно экватора 2V3 градуса зодиакального круга за двумя
7 Л
третями Тельца .
   Так же в противоположном полушарии Колос, находившийся, по
Гиппарху, севернее экватора на З/5 градуса, а по нашим наблюдениям —
южнее на V2 градуса, стал более южным на \V\2 градус; на такую величину
опять будут отличаться по широте относительно экватора звезды в конце
77
15 Девы при перемещении, на 27/з градуса по зодиакальному кругу . Звезда
на конце хвоста Большой Медведицы [rj UMa], находившаяся, по Гиппарху,
севернее экватора на 601/г1/4 градусов, а по нашим наблюдениям на —
597/з градусов, стала более южной на 1142 градус, на такую же величину
по широте относительно экватора будут отличаться звезды у первых градусов
знака Весов при перемещении на 2V3 градуса по зодиакальному кругу78.
Арктур, находившийся, по Гиппарху, севернее экватора на 31 градус, а по
нашим наблюдениям — на 291/г1/з градусов, стал более южным на IVe
градус, на такую же величину приблизительно различаются по широте
относительно экватора звезды первой трети Клешней при передвижении на
2Уз градуса по зодиакальному кругу79.

Все изложенное, пожалуй, станет для нас еще более ясным на основании
80
следующих наблюдений .
   Тимохарис пишет, что он произвел в Александрии такие наблюдения.
В 47 год первого 76-летнего Калиппова периода, в 8-й день Анфестерия,
или 29-й день египетского месяца Атир, на исходе 3-го часа ночи южная
половина Луны наблюдалась точно покрывающей расположенную сзади [т.е.
восточную] треть или половину Плеяд . И это было в 465 году после
Набонассара, в египетском месяце Атир, в ночь с 29-го на 30-е число, за
3 часа до полуночи по местному времени, или за ЗУз равноденственных
часа, так как Солнце находилось на 7 градусе Водолея. Время до полуночи
в средних солнечных сутках получается приблизительно равным такому же
числу часов [т.е. З1/3 ]. В этот час, согласно рассмотренным нами выше
гипотезам, истинное положение Луны было на 0;20 градусов Тельца, т.е.
она находилась на расстоянии 30;20 градусов от точки весеннего
равноденствия и была на 3;45 градуса севернее средней линии зодиака.
Видимое же ее положение в Александрии было по долготе на 29;20 градусах
Овна и на 3;35 градуса севернее средней линии зодиака, так как в меридиане
стояли 7/ъ знака Близнецов . Таким образом, расположенный сзади
(восточный) конец Плеяд отстоял от точки весеннего равноденствия
приблизительно на 29Уг градусов в направлении последовательности знаков,
так как центр Луны находился впереди него и располагался приблизительно
на ЗУз градуса севернее средней линии зодиака; следовательно, конец Плеяд
был чуть-чуть севернее центра Луны.
   Агриппа, производивший наблюдения в Вифинии, пишет, что в 12 году
Домициана, 7-го числа местного месяца Метроя, в начале 3-го часа ночи
Луна своим южным рогом закрыла расположенную сзади южную часть
от
Плеяд . И соответствующее время было в 840 году после Набонассара, в
египетском месяце Тиби, в ночь со 2-го на 3-е число, за 4 часа местного
времени до полуночи, или за 5 равноденственных часов, так как Солнце
было на 6 градусах Стрельца. Следовательно, для меридиана Александрии
наблюдение имело место за 5 Уз равноденственных часов до полуночи84,
или за 5V2V4 часов среднего времени. В этот момент истинное положение
центра Луны было на 3;7 градусах Тельца и на 41/2Уз градуса севернее
средней линии зодиака; видимое же положение в Вифинии было по долготе
на 3; 15 градусах Тельца и на 4 градуса севернее средней линии зодиака,
так как в этот момент через меридиан проходили 2/3 знака Рыб. Таким
образом, в это время расположенная сзади часть Плеяд отстояла по долготе
от точки весеннего равноденствия на 33 У4 градуса в направлении
последовательности знаков и была на ЗУз градуса севернее средней линии
85
зодиака .
   Таким образом, ясно, что расположенная сзади часть Плеяд была и
тогда, и в настоящее время по широте севернее средней линии зодиака на
те же самые ЗУз градуса по большому кругу, проведенному через ее полюсы,
по долготе же она продвинулась от точки весеннего равноденствия на 3;45
градуса в направлении последовательности знаков, так как во время первого
наблюдения она отстояла на 29Уг градусов от точки весеннего равноденствия,
а во время второго на 33 У4, причем время, прошедшее между обоими
наблюдениями, равнялось 375 годам. Таким образом, за 100 лет эта часть
Плеяд подвинулась на 1 градус в направлении последовательности знаков.
   
   Далее, Тимохарис, который производил наблюдения в Александрии,
пишет, что в 36 году первого Калиппова периода, 15-го числа Элафеболия,
или 5-го числа месяца Тиби, в начале 3-го часа Луна серединой своего
горба, обращенного к точке равноденственного восхода [т.е. к востоку],
коснулась Колоса, который прошел за ней, точно отсекая северную треть
[лунного] диаметра. Соответствующее время было в 454 году после
Набонассара, в египетском месяце Тиби, в ночь с 5-го на 6-е число, за 4
часа до полуночи как местных, так приблизительно и равноденствен-
ных86, так как Солнце находилось около 15 градуса Рыб; примерно такое
же количество часов дает подсчет и в среднем времени. В этот час истинное
положение центра Луны было по долготе на 21;21 градусе Девы, т.е. от
точки летнего солнцестояния центр Луны отстоял на 81;21 градус в
направлении последовательности знаков и был на IV2V3 градус южнее
средней линии зодиака; видимое же его положение по долготе было на
87
82i/i2 градусах от точки летнего солнцеворота и к югу от средней линии
зодиака приблизительно на 2 градуса, ибо в меридиане стояла середина
Рака. Следовательно, на основании сказанного Колос отстоял тогда по
долготе на 821/3 градуса от точки летнего солнцеворота и был самое большее
од
на 2 градуса южнее эклиптики .
   Он также пишет, что в 48 году того же самого [первого Калиппова]
периода, в конце 6-го дня от конца последней трети месяца Пианепсия,
или 7-го числа месяца Тот, по прошествии половины 10-го часа при восходе
Луны на горизонте можно было видеть, что Колос как раз касался ее
северной части89. Соответствующее время было 466 год после Набонассара,
египетский месяц Тот, в ночь с 7-го на 8-е число, как говорит он сам,
через ЗУ2 часа местного времени после полуночи, или приблизительно
3V8 равноденственных часа, так как Солнце было в середине Скор-
пиона90; отсюда следует, что это происходило через 21/2 часа после полуночи.
Действительно, именно через столько равноденственных часов после
полуночи в меридиане находятся 221/2 градуса Близнецов и восходит
приблизительно тот же градус Девы; находясь на этом градусе, Луна, как
91
говорит Тимохарис, тогда и взошла . Переводя в среднее время, мы нашли,
что это занимает всего лишь 2 равноденственных часа после полуночи. В
это время истинное положение центра Луны было на расстоянии 81;30
градуса от точки летнего солнцеворота, на 2Уб градуса южнее средней
линии зодиака; видимое же его положение было по долготе 821/2 градуса
и 21/4 градуса к югу . И, следовательно, согласно этому наблюдению Колос
находился южнее средней линии зодиака приблизительно на те же самые
2 градуса, а от точки летнего солнцеворота отстоял на 821/2 градуса93.
Итак, за 12 лет, протекших между обоими наблюдениями, он продвинулся
от точки летнего солнцеворота приблизительно на i/б градуса в направлении
последовательности знаков.
   Геометр Менелай говорит, что он в первом году Траяна, в ночь с 15-го
на 16-е Мехира, по истечении 10-го часа наблюдал в Риме покрытие Колоса
Луной; звезду не было видно, но по истечении 11-го часа она была замечена
впереди центра Луны [на расстоянии ] меньше, чем [один ] лунный диаметр,
и одинаково удаленной от [обоих] рогов. Соответствующее время было 845
год после Набонассара, египетский месяц Мехир, в ночь с 15-го на 16-е
94	л
число , через 4 часа местного времени после полуночи, когда центр Луны

приблизительно совпал с Колосом. В равноденственных часах это соответ-
ствовало 5, так как Солнце находилось на 20 градусе Козерога, а по
александрийскому меридиану в 6V3 часов95 и по среднему времени в 6V4
часов или немного больше. В этот момент истинное положение центра Луны
отстояло на 85V2V4 градусов от точки летнего солнцеворота и приблизительно
на I1/3 градус южнее средней линии знаков. Видимое же его положение
было по долготе на 861/4 градусах и на 2 градуса к югу, так как в меридиане
стояла самое большее четверть знака Клешней. Следовательно, такое же
положение имел в тот момент и Колос96.
   Ясно, что он опять оказался южнее эклиптики на такое же число
градусов, а именно на 2, как это было во времена Тимохариса и в наше
время; по долготе же он сместился в направлении последовательности знаков
от наблюдения в 36 году [первого Калиппова периода] на 3;55 градуса за
391 год, от наблюдения же в 48 году — на 3;45 градуса за 379 лет. Таким
образом, и из этих наблюдений получается, что для Колоса перемещение
в направлении последовательности знаков за 100 лет равно приблизительно
1 градусу.
   Кроме того, Тимохарис, наблюдавший в Александрии, говорит, что в
36 году первого Калиппова периода, 25-го Посидеона, или 16-го Фаофи, в
начале 10-го часа Луна казалась своим северным краем точно коснувшейся
северной звезды на лбу Скорпиона [fi Sco]. И соответствующее время было
454 год после Набонассара, египетский месяц Фаофи, в ночь с 16-го на
17-е число97, через 3 часа местного времени после полуночи, или ЗУ5
равноденственных часа, так как Солнце было на 26 градусе Стрельца; по
среднему же времени это соответствовало ЗУб часа. В это время истинное
расстояние центра Луны от точки осеннего равноденствия было 311/4 градус
и на I1/3 градус севернее средней линии знаков; видимое же положение
было на 32 градусах по долготе и на IV12 градус севернее средней линии
98
знаков , так как в меридиане стояла середина Льва. Следовательно, самая
северная звезда на лбу Скорпиона отстояла тогда по долготе на такое же
число 32 градуса от точки осеннего равноденствия и была севернее средней
линии зодиака приблизительно на IV3 градус.
   Менелай же, производивший наблюдения в Риме, говорит, что в первом
году Траяна, в ночь с 18-го на 19-е число Мехира, на исходе 11-го часа
южный рог Луны наблюдался на одной прямой со средней [д Sco] и южной
[л Sco] звездами на лбу Скорпиона; центр же ее отставал от этой прямой
и находился на таком же расстоянии от средней звезды, на каком эта
средняя находилась от южной; северная звезда на лбу |уЗ Sco ], по-видимому,
была закрыта [Луной], так как ее нигде не было видно. И это время было
опять 845 год после Набонассара, египетский месяц Мехир, с 18-го на 19-е
99	_
число , через 5 часов местного времени после полуночи, или через 6Уб
равноденственных, так как Солнце было на 23 градусе Козерога; по
александрийскому меридиану это соответствовало 71/2 часам и почти
стольким же по среднему времени. В этот момент истинное положение
центра Луны было на 351/з градусах от точки осеннего равноденствия и на
2Уб градуса севернее средней линии зодиака. Видимое же его положение
было на 35;55 градусах долготы и на 1V3 градус к северу, так как в
1 ПО
меридиане стоял конец Клешней . Следовательно, самая северная звезда
на лбу Скорпиона имела тогда приблизительно то же самое положение.

Таким образом, ясно, что для этой звезды также расстояние ее по широте
от средней линии зодиака в древности и теперь усматривалось одним и
тем же, по долготе же она удалилась от точки осеннего равноденствия на
3;55 градуса в направлении последовательности знаков; время, протекшее
между наблюдениями, составляет 391 год, откуда опять следует, что за 100
лет перемещение указанной звезды в направлении последовательности
знаков оказывается равным 1 градусу.
4. О способе составления каталога неподвижных звезд
   На основании наблюдений и сравнения относительных положений этих
и других ярких звезд, а также на основании того, что расстояния остальных
звезд, которые мы нашли, согласуются с ранее исследованными, мы сочли
установленным, что сфера неподвижных звезд совершает указанной
величины перемещение от солнцеворотных и равноденственных точек в
направлении последовательности знаков зодиака, насколько это возможно
заключить для соответствующего промежутка времени наблюдений, а также
что это движение совершается вокруг полюсов наклонного круга, проведен-
ного через середины зодиакальных созвездий, а не вокруг полюсов
равноденственного круга, как в первом движении. После этого мы сочли
уместным провести наблюдения каждой из упомянутых выше, а также и
других звезд и составить для них каталог наблюдаемых в настоящее время
долгот и широт, отнесенных не к равноденственному кругу, но к
проходящему через середины зодиакальных созвездий, отсчитывая соответ-
ствующие величины по большим кругам, проведенным через полюсы зодиака
и каждую из рассматриваемых звезд; в соответствии с установленной выше
гипотезой об упомянутом движении измеряемые по этим кругам расстояния
от зодиакального круга необходимо должны всегда усматриваться одними и
теми же, а перемещения по долготе в направлении последовательности
знаков должны в равные времена охватывать равные дуги.
    Поэтому, пользуясь опять тем же самым инструментом (поскольку круги
астролябии вращаются около полюсов наклонного круга), мы произвели
наблюдения всех звезд, какие мы могли увидеть вплоть до шестой величины.
Один из кругов упомянутой астролябии [круг 5 на рис. 5-А] мы
устанавливали на одну из ярких звезд, положение которой было заранее
определено при помощи Луны, и на соответствующее деление зодиакального
круга [I]; второй же круг [6], полностью градуированный и способный
вращаться как по широте [с помощью внутреннего кольца 7], так и вокруг
полюсов [е—е] наклонного круга, устанавливался на исследуемую звезду,
пока она не усматривалась через отверстие соответствующего ей круга
путем   его  вращения  по  внешнему  кругу,   в  то  время  как  первая
[контрольная] звезда наблюдалась [в установленном положении]101. Достиг-
нув этого, мы легко получали обе координаты, определяющие положение
исследуемой звезды, по соответствующему ей кругу астролябии: величина
долготы определялась общим сечением этого круга [б] с зодиакальным [I],
а величина широты — по дуге его, заключающейся между этим сечением
и верхним отверстием.
   Теперь, чтобы задать этим способом положения звезд на небесном
глобусе, мы разместили их в таблице в 4 столбцах, распределив светила
по созвездиям. Для каждой звезды мы приводим в первом столбце
определяемую этой звездой часть фигуры [созвездия], во втором —
положение  звезды  по  долготе  относительно   [начала]  знака  зодиака,
   
приведенное к наблюдениям начала царствования Антонина (начало
каждого квадранта зодиака берется относительно [одной из] солнцеворотных
и равноденственных точек); в третьем — расстояние каждой звезды от
зодиакального круга по широте соответственно к северу или к югу; в
103
четвертом же — номер звезды по ее величине . Расстояния по широте
остаются всегда одними и теми же, расстояние же по долготе и вообще
положение для [любой] другой эпохи можно легко получить, если число
градусов, соответствующее промежутку времени между рассматриваемой и
данной выше эпохами (из расчета I градус за 100 лет), мы отнимем от
соответствующего числа нашей эпохи для более древнего времени или
прибавим — для наступающего.
   Что касается обозначений частей фигур [созвездий], то их нужно
понимать как положения в соответствующем созвездии, а также по
отношению к полюсам зодиака. Мы будем говорить о звезде [расположенной ]
«впереди чего-нибудь» или о «следующей за чем-нибудь» в зависимости от
положения рассматриваемой звезды на предшествующем [западном] или
последующем [восточном] градусах зодиака104, а «более южным» или «более
северным» мы будем называть в зависимости от близости к соответствующему
полюсу зодиака.
   А относительно названий звезд по частям фигуры мы не всегда
пользовались теми же самыми, что и наши предшественники, поскольку и
они так же поступали по отношению к своим предшественникам: они часто
брали другие названия в зависимости от удобства или большего соответствия
правильности начертания фигуры. Так, например, те звезды, которые
Гиппарх помещает на плечи Девы, мы назвали звездами «на ее боках»,
поскольку они показались нам более удаленными от тех, что на голове,
чем звезды на концах рук; поэтому они более соответствовали бокам и
совершенно ничего не имели общего с плечами. Во всяком случае
отождествлять различно названные звезды вполне возможно при помощи
сравнения записанных положений105. Расположение записей каталога таково106.



[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]28
29
30
31
32
33
34
35
Всего
4 туе
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17Под [Большой Медве;
Под хвостом далеко к югу
Более темная, предшест-
вующая ей
Из звезд между передни-
ми лапами Большой Мед-
ведицы и головой Льва,
более южная
Более северная из них
Из трех остальных тем-
ных, следующая
Предшествующая ей
Предшествующая послед-
ней
Звезда между передними
лапами и Близнецами
 8 звезд, не вошедших в
клых.
   Созвездие Дракона
Звезда на языке
Звезда в пасти
Звезда выше глаза
Звезда на щеке
Звезда над головой
Северная из трех по пря-
мой в первом витке шеи
Южная из них
Средняя из них
Следующая за ними,  к
востоку
Южная на предшествую-
щей   стороне    четырех-
угольника  в следующем
витке
Более северная на веду-
щей стороне    [четырех-
угольника]
Северная на следующей
стороне
Южная    на следующей
стороне
Южная звезда треуголь-
ника на следующем витке
Предшествующая из двух
остальных звезд треуголь-
ника
Из них следующая
Предшествующая из трех
звезд в ближайшем тре-
угольнике, который пред-
шествует [последнему]"5|ицей], не вошедшие
Лев 2V/2Vi
Лев 20Уб(?)т
Рак 15
Рак 13'/з
Рак 161/6
Рак 12i/6(?)
Рак 11 Уб
Рак 0
фигуру; из них 1 тре
Весы 26Уз
Скорпион Ш/2У3
Скорпион 13'/б
Скорпион 27 !/з
Скорпион 29%
Стрелец 242/3
Козерог 2(/з
Стрелец 28УгУз
Козерог 19V2
Рыбы 8
Рыбы 20V2
Овен 7Уз
Рыбы 221/21/3
Овен ЮУз
Овен 21%
Овен 261/6
Близнецы 13 Dra
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Всего
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Всегс
12
13
Две iЮжная из двух других
звезд,   образующих   тре-
угольник
Более северная из них
Из двух малых звезд к
западу  от  треугольника,
последующая
Предшествующая из них
Из следующих трех  по
прямой, более южная
Средняя из этих трех
Более северная из них
Из   двух   следующих   к
западу, более северная
Из них более южная
Звезда   к западу от них
в завитке, ближайшем к
хвосту
Предшествующая из двух
на достаточном расстоя-
нии от нее
Следующая из этих двух
Примыкающая к ним у
хвоста
Последняя на конце хво-
ста
31 звезда, из которых 8 т
Созвездие Цефея
Звезда на правой ступне
Звезда на левой ступне
Звезда под поясом с пра-
вого бока
Звезда над правым пле-
чом, касающаяся его
Звезда над правым лок-
тем, касающаяся его
Звезда под правым лок-
тем,   также   касающаяся
его
Звезда на груди
Звезда на левой руке
Южная из трех на венце
Средняя из этих трех
Самая северная из трех
11 звезд, из них 1 треты
    Не вошедшие в фигур
Предшествующая венцу
Следующая за венцом
ie вошедшие в фигуру, изТелец 20VS
Телец UViVi
Рак 28%
Рак 21%
Дева 9
Дева 9Уз
Дева 81/з
Дева 10
Дева 13(?) 1,8
Дева 12%
Лев 7W
Лев 11'/б
Рак 19V6
Рак 13V6
ретьей величины, 16 •
Телец 5
Телец 3
Овен IVi
Рыбы 16%
Рыбы 9%
Рыбы 10
Рыбы 281/2
Овен 1V2
Рыбы 16%
Рыбы 17%
Рыбы 19
гй величины, 7 четвер
у вокруг Цефея
Рыбы 13%
Рыбы 211/з
которых 1 четвертой+83V2(?)"6
+84У2%
+871/2
+S6V2V3
+ 811/4
+83(?)"7
+841/2'/3
+78
+74%
+70
+64%
+ 651/2
+ 611/4
 +56V4
«етвертой, 5 п
+75%
+641/4
+711/6
+69
+72
+74
+ 651/2
+ 621/2
+601/4
+6И/4(?)119
+61%
той, 3 пятой.
+64
+591-2
величины и 14
4
6
6
5
5
3
3
4-3
3
4
3
3
3
ятой, 2
4
4
4
3
4
4
5
4-3
5
4
5
5
4
пятой.X Dra
<р Dra
27(f) Dra
ш Dra
18(g) Dra
19(h) Dra
С Dra
n Dra
в Dra
1 Dra
100) Dra
a Dra
к Dra
X Dra
шестой.
к Сер
У Сер
/? Сер
а Сер
п Сер
в Сер
? Сер
i Сер
е Сер
С Сер
X Сер
1< Сер
<5 Сер
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Всего
23
Одна
1
2
3
4
5Созвездие Волопаса
Из трех в левой руке,
предшествующая
Средняя и более южная
из трех
Последующая из трех
Звезда на левом локте
Звезда на левом плече
Звезда на голове
Звезда на правом плече
Более северная, чем они,
и на палице
Более северная, чем эта,
на конце палицы
Более северная из двух на
палице ниже плеча
Более южная из них
Звезда на конце правой
руки
Ведущая звезда из двух
на кисти
Из них последующая
На конце ручки палицы
Звезда на правом бедре на
опоясании
Последующая из двух на
поясе
Предыдущая из них
Звезда на правой пятке
Более северная из трех на
левой голени
Средняя из этих трех
Южная из них
22 звезды, из которых 4
Не вошедшая в фигур
Звезда    между бедрами,
называемая      Арктуром,
красноватая
звезда первой величины.
Созвездие Северной К
Яркая звезда на короне
Звезда,  предшествующая
всем
Следующая за ней, более
северная
Следующая за этой и бо-
лее северная
Следующая за яркой с
юга5*3Дева 2Vi
Дева 4'/б
Дева 5Уз(?)120
Дева 9%
Дева 19%
Дева 26%
Весы 5%
Весы 5%
Весы 5
Весы 7%
Весы 81/2
Весы 81/6
Весы 6%
Весы 7
Весы 7 Уз
Весы 0
Дева 25%
Дева 25
Весы 5 Vi
Дева 211/з
Дева 201/2
Дева 2И/3
третьей величины, 9 <
у [Волопаса], под ни
Дева 27
ороны
Весы 14%
Весы 11%
Весы \\ViVi
Весы 13%
Весы 17Уб+58%
+581/з
+601/6
+54%
+49
+531/2 Vi
+48%
+531/4
+571/2
+46i/2(?)121
+45V2
+41V3
+41%
+421/2
+ 40W
+401/4
+41%
+421/6
+ 28
+28
+ 261/2
+ 25
1етвертой, 9 г
м
+ 311/2
+44 Vi
+46V2(?)122
+48
+50Vi
+ 441/21/45
5
5
5
3
4-3
4-3
4
4
4-3
5
5
5
5
5
3
4
4-3
3
3
4
4
ятой.
1
2-1
4-3
5
6
4к Boo
i Boo
в Boo
X Boo
у Boo
Р Boo
6	Boo
и Boo
v Boo
7	CrB(?)
    о CrB
45(c) Boo(?)
y> Boo(?)
46(b) Boo(?)
ш Boo(?)
?  BOO
a Boo
p Boo
С Boo
^ Boo
т Boo
v Boo
a Boo
a CrB
/S CrB
0 CrB
л CrB
у CrB
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]6
7
8
Всего
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Звезд
Не с
3 шеСледующая     за     этой
близко
После ннх следующая
Последняя за всеми [звез-
дами] Короны
8 звезд, из которых 1 втс
   Созвездие Коленопрек
Звезда на голове
Звезда на правом плече у
подмышки
Звезда на правой руке
Звезда на правом локте
Звезда на левом плече
Звезда на левой руке
Звезда на левом локте
Из трех звезд на левой
кисти последующая
Северная из двух осталь-
ных
Южная из них
Звезда на правом боку
Звезда на левом боку
Более северная этой на
левой ягодице
Звезда в начале того же
бедра
Предшествующая    звезда
из трех на левом бедре
Следующая за ней
Звезда, следующая и за
этой
Звезда на левом колене
Звезда на левой голени
Ведущая звезда из трех на
левой ступне
Средняя из этих трех
Последующая из них
Звезда в начале правого
бедра
Более северная, на том же
бедре
Звезда на правом колене
 Более    южная из двух
звезд под правым коленом
Из них более северная
Звезда на правой голени
а на конце правой ступни
читая последнюю, 28 звез
стой.Весы 194/6
Весы 21 Уз
Весы 21%
эрой величины, 5 четв
лоненного124
Скорпион 17%
Скорпион 3%
Скорпион 1%
Весы 28
Скорпион 16%
Скорпион 22
Скорпион 27%
Стрелец 5%
Стрелец 1%
Стрелец 1%
Скорпион 3%%
Скорпион 101/6
Скорпион 10
Скорпион 11 Уб
Скорпион 14
Скорпион 151/3
Скорпион 16%
Стрелец ОУ2У3
Скорпион 22 Ч/б
Скорпион \5Уз
Скорпион 16У2У3
Скорпион 19%
Скорпион 0%
Весы 25%
Весы 15%
Весы 13%
Весы 104/6
Весы 11'/б
  тождественная со зве
д, из которых 6 трет!+441/2%
+46V6
+49%
вртой, 1 пято
+371/2
+43
+40V6
+371/6
+48
+491/2
+52
+521/2%
+54
+53
+53%(?)125
+53%
+56%(?)127
+58%
+59%%
+60%(?)128
+ 611/4
+61
+69%
+70i/4(?)129
+71V4
+721/4(?)130
+601/4(?)131
+63
+65%
+63%
+ 64V4
+60
здой на конц
>ей величины.4
4
4
й, 1 ше
3
3
3
4
3
4-3
4-3
4-3
4-3
4
3
5(?)126
5
3
4
4
4-3
4
4
6
6
6
4-3
4
4-3
4
4
4
г палиць
17 чет6 СгВ
s СгВ
i СгВ
:той.
a Her
/? Her
у Her
к Her
6 Her
Я Her
ft Her
0	Her
v Her
? Her
С Her
s Her
59(d) Her
61(c) Her
л Her
69(e) Her
p Her
в Her
1	Her
74 (x) Her
77 (y) Her
82(z) Her
n Her
a Her
x Her
	17 звезд, из которых 1 в
Не вошедшие в фигу[
Более    южная из двух
звезд под левым крылом
Более северная из них
>	2 звезды четвертой велич
Созвездие Кассиопеи
Звезда на голове
Звезда на груди
Более северная на поясе
Звезда над троном у бедер
Звезда на коленях
Звезда на голени
Звезда на конце ноги
Звезда на левой руке
Звезда ниже левого локтя
Звезда на правом локте
Звезда    над подножием
трона
Звезда на середине спин-
ки трона
Звезда на конце спинки
трона
) 13 звезд, из которых 4 т
Созвездие Персея
Туманное  скопление  на
конце правой руки
Звезда на правом локте
Звезда на правом плече
Звезда на левом плече
Звезда на голове
Звезда на лопатках
Яркая звезда на правом
боку
Предшествующая из трех,
стоящих  за  звездой  на
боку
Средняя из этих трех
Следующая из них
Звезда на левом локтеВодолей IVe
Водолей 2%
Водолей 121/6
торой величины, 5 тр<
>у [Птицы], соседние
Водолей 10%
 Водолей 13V2V3
ины.
Овен 7ViV3
Овен   lO^J/з
Овен 13
Овен 16%
Овен 20%
Овен 27
Телец 1%(?)140
Овен 14%
Овен 17%
Овен 2Vi
Овен 15
Овен ПУгУъ
Овен 3%
ретьей величины, 6 ч
Овен 26%
Телец 1И>
Телец 2%
Овен 27 Vi
Телец 0%
Телец 1Уг
Телец AViVz
Телец SV3
Телец 7
Телец 7%
Телец OVi+64
+ 641/2
 +MV2V4
втьей, 9 четве
+49%
+51%
+45W
+46V2V*
+ A7V2V3
+49
+4SV2
+47VW4
+47 Уз
+44Уз
+45
+50
+52%
+51%
+51%
гтвертой, 1 ns
+40 Vi
+371/2
+34Vi
+32^3
+341/2
+3U/6
+30
+ 27V2V3
+27%
+ 27V3
+274
4
5
ртой, 2
4-3
4-3
4-3
3
4
3-2
3
4
4
4
5
6
4-5
3
6
[той, 2 i
тум.
4
3-4
4
4
4
2
4
4
3
401	Cyg
02	Cyg
(о Cyg
пятой.
* Cyg
0	Cyg
С Cas
a Cas
п Cas
у Cas
д Cas
? Cas
1	Cas
в Cas(?)
<р Cas(?)
о Cas
к Cas
Р Cas
о Cas
иестой.
h, х Per
V	Per
у Per
в Per
т Per
< Per
a Per
о Per
V	Per
6 Per
к Per
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Всей
27
28
29
Всего
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Яркая  из  тех,   что   на
голове Медузы
Следующая за ней
Звезда,   предшествующая
яркой
Предшествующая и этой
последняя звезда
Звезда на правом колене
Предшествующая ей, под
коленом
Предшествующая из двух,
над сгибом колена
Следующая  за  ней,  на
самом сгибе колена
Звезда на правой икре
Звезда на правой лодыжке
Звезда на левом бедре
Звезда на левом колене
Звезда на левой голени
Звезда на левой пятке
 Следующая  за  ней,   на
конце левой ноги
> 26 звезд, из них 2 второ
Не вошедшие в фигу|
Звезда к востоку от той,
что на левом колене142
Звезда к северу от той,
что на правом колене
Предшествующая тем, что
на голове Медузы
3 звезды, 2 пятой величи
Созвездие Возничего
Северная из двух, что на
голове
Более северная, над голо-
вой
Звезда на левом плече,
так   называемая     Коза
[Капелла]
Звезда на правом плече
Звезда на правом локте
Звезда на правой кисти
Звезда на левом локте
Из двух на левой кисти,
называемых   Козлятами,
следующая
Предшествующая из них
Звезда на левой лодыжкеОвен 29%
Овен 291/6
Овен 27%
Овен 26%%
Телец 14%%
Телец 13
Телец 121/3
Телец 14
Телец 14%
Телец 16%
Телец 6%%
Телец 8%
Телец 8%
Телец 41/6
Телец 6%
й величины, 5 третье!
>у вокруг Персея
Телец 11%%
 Телец 15
Овен 24%
ны, 1 тусклая.
Близнецы 2%
Близнецы 2%
Телец 25
Близнецы 2%%
Близнецы 1%
Близнецы 2%%
Телец 22
Телец 22Vb
Телец 22
Телец 19%%+23
+21
+21
+221/4
+28(?)141
+281/6
+25
+ 261/4
+24%
+ I81/2V4
+21%%
+ 191/4
+ 14%1/4
+ 12
+ 11
i, 16 четверто
+ 18
+31
+20%
+30
+31%%(?)143
+22%
+20
+ 151/4
+ 13%
+20%
+ 18
+ 18
+ 10%(?)1442
4
4
4
4
4
4
4
5
5(?)
4-3
3
4
3-4
3-2
й, 2 пят
5
5
тускл.
4
4
1
2
4
4-3
4-3
4-3
4
3-4Р Per
со Per
р Per
л Per
72(b) Per
X Per
48(c) Per
ft Per
53(d) Per
58(e) Per
v Per
s Per
5 Per
0	Per
? Per
ой, 1 туманная.
52(f) Per
BSC 1314(?)
16 Per
S Aur
? Aur
a Aur
P Aur
v Aur
в Aur
e Aur
n Aur
? Aur
1	Aur
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]11
12
 13
14
Всего
1 ше
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
 19
20
21
22
23
24
ВсегоЗвезда на правой лодыж-
ке, общая с рогом [Тель-
ца]'45
Звезда к северу от нее,
около нижнего края [оде-
, 146
яния]
Еще более северная, на
ягодице
Маленькая звезда над ле-
вой ступней
  14 звезд, из них 1 nepi
стой.
Созвездие Змееносца
Звезда на голове
Передняя из двух на пра-
вом плече
Задняя из этих двух
Передняя из двух на ле-
вом плече
Задняя из них
Звезда на левом локте
Передняя из двух на кон-
це левой руки
Задняя из них
Звезда на правом локте
Передняя из двух на кон-
це правой руки
Задняя из них
Звезда на правом колене
Звезда на правой голени
Передняя из четырех на
правой ступне
Следующая за ней
Следующая за этой
Последняя из четырех, са-
мая задняя
Звезда, следующая за ни-
ми, касающаяся пятки
Звезда на левом колене
Северная из трех по пря-
мой на левой голени
Средняя из них
Южная из этих трех
Звезда на левой пяте
Звезда,  касающаяся  по-
дошвы левой ноги
24 звезды, из них 5 третТелец 25%
Телец 26
Телец 26Уз
Телец 20%(?)147
юй величины, 1 втор
Скорпион 241/21/3
Скорпион 28
Скорпион 29
Скорпион 131/3
Скорпион 14%
Скорпион 81/з
Скорпион 5
Скорпион 6
Скорпион 26%
Стрелец 21/з
Стрелец ЗУз
Скорпион 21V6
Скорпион 23%(?)150
Скорпион 23
Скорпион 24Уз
Скорпион 25
Скорпион 251/21/3
Скорпион 27 Ve
Скорпион 121/6
Скорпион 11%
Скорпион 10%
Скорпион 9V2V3
Скорпион 12 Уз
Скорпион 10%
ьей величины, 13 чет!+5
+8V2
+ 121/6
+ 101/з(?)148
ой, 2 третьей
+36
+271/4
+ 261/2
+33
+ 311/21/3
+ 24!/2(?)U9
+ 17
+ 16V2
+ 15
+ 13%
+ 14V3
+ 71/2
+ 21/4
-21/4(?)!5!
-11/2(?)
-01/з(?)
-01/4(?)
+ 1
+ 111/21/3
+5Уз
+31/6
+ 1%(?)153
+0%
-OV2I/4
юртой, 6 пято3-2
5
5
6
, 7 чет!
3-2
4-3
4
4
4
4
3
3
4
4-5
4
3
4-3
4
4-3
4
5
5
3
5-4
5
5-4
5
4
й.Р Таи
X Аиг
<р Аиг
14 Аиг(?)
зертой, 2 пятой,
a Oph
Р Oph
у Oph
1 Oph
к Oph
A Oph
6 Oph
? Oph
и Oph
v Oph
т Oph
t] Oph
? Oph(?)
36(A)   Oph(?)
в Oph(?)
44(b) Oph(?)
51(c) Oph(?)
51 Oph1"
С Oph

Звезда на конце нижней
челюсти в четырехуголь-
нике головы
Звезда, касающаяся нозд-
рей
Звезда на виске
Звезда у начала шеи
Средняя в четырехуголь-
нике илн во рту
Звезда вне головы, к се-
веру от нее
Звезда за первым изгибом
шеи
Северная звезда нз трех
за ней следующих
Средняя из этих трех
Южная из них
Звезда за следующим вит-
ком, предшествующая ле-
вой руке Змееносца
Звезда сзади тех, что на
руке
Звезда за правым бедром
Змееносца
Южная нз двух, следу-
ющих за ней
Северная из них
Звезда за правой рукой на
изгибе хвоста
Следующая за ней, тоже
на хвосте
Звезда на конце хвоста
18 звезд, из которых 5 т
Созвездие Стрелы
Уединенная звезда на ос-
трие
Задняя из трех на древке
Средняя из нихэу вокруг Змееносца
Стрелец 2
Стрелец 2%
Стрелец 3(?)154
Стрелец 3%
Стрелец 4%
ны.
юсца155
Весы 18%%
Весы 21 Уз
Весы 24%(?)156
Весы 22
Весы 21%
Весы 23%
Весы 21%
Весы 24%%
Весы 24%
Весы 26%
Весы 28%%
Скорпион 8%
Скорпион 23%
Скорпион 27
Скорпион 27%%
Стрелец 3%
Стрелец 8%
Стрелец 18%
зетьей величины, 12 1
Козерог 10%
Козерог 6%
Козерог 5%%+28%
+26%
+25
+ 27
+33
+38
+40
+36
+34V4
+ 37%
+42%
+ 29%
+26%
+25%
+ 24
+ 16%
+ 13^4(?)157
+ 10%
+ 8%
+ 10%%
+20
+21%
+ 27
штвертой, 1 л
+39%
+39V6
+39%4
4
4
4
4
4
4
3
3
4
4
3
4
3
3
4
5
4
4-3
4
4
4-3
4
ятой.
4
6
566	(n) Oph
67	(0) Oph
68	00 oph
70 (р) Oph
72(s) Oph
1 Ser
0 Ser
у Ser
P Ser
к Ser
л Ser
S Ser
A Ser
a Ser
s Ser
и Ser
v Oph
v Ser
? Ser
0 Ser
? Ser
7 Ser
в Ser
У Sge
? Sge
<$ Sge
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]4
5
Всего
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Всего
10
11
12
13
14
15
Всего
1
2
3
4
5
6
7
8Передняя из трех
Звезда на конце выреза
5	звезд, из ннх 1 четвер]
Созвездие Орла
Звезда посередине головы
Предшествующая ей, на
шее
Яркая звезда на спнне,
называемая Орлом
Близкая к ней, к северу
Передняя из двух на ле-
вом плече
Задняя из ннх
Передняя из двух на пра-
вом плече
Следующая за ней
Звезда на некотором рас-
стоянии ниже хвоста Ор-
ла, касающаяся Млечного
Пути
9 звезд, из них 1 второй
Звезды около Орла, к
Передняя из двух к югу
от головы Орла
Задняя нз них
Звезда к юго-западу от
правого плеча Орла
Звезда к югу от этой
Еще более южная
Стоящая впереди всех
6	звезд, из которых 4 тр<
Созвездие Дельфина
Передняя нз трех на хво-
сте
Северная из двух осталь-
ных
Южная из них
Южная звезда на перед-
ней стороне ромбовидного
четырехугольника
Северная звезда на перед-
ней стороне
Южная звезда на задней
стороне ромба
Северная звезда на задней
стороне
Южная из трех  между
хвостом и ромбом Козерог 4%
Козерог ЗУз
гой величины, 3 пятой
Козерог 7 Ms
Козерог 4У2У3
Козерог ЗУгУз
Козерог 4%
Козерог ЗУб
Козерог 6
Стрелец 29%
Козерог 1Уб
Стрелец 22Уб
величины, 4 третьей,
оторым присвоено им;
Козерог 3%
Козерог 8У2У3
Стрелец 26
 Стрелец 28 Уг
Стрелец 29%
Стрелец 21УЬ
гтьей величины, 1 чет
Козерог 17%
Козерог 18%
Козерог 18%
Козерог I8V2
Козерог 20Уб(?)160
Козерог 21 Уз
Козерог 23 Уб
Козерог 17Уг+39
 +38%(?)158
, 1 шестой.
+26У2У3
+27У6
+29У6
+30
+ 31 У2
+ 31 У2
+28%
+26%
+З6У3
1 четвертой,
а «Антиной»1^
+21%
+ 19У6
+25
+20
+ 15У2
+ 18Уб
вертой, 1 пят
+29У6
+29
+ 27УгУ4
+32
+ЗЗУгУз(?)
+32
+ЗЗУ6
+30У4(?)1615
5
4
3
2-1
3-4
3
5
5
5-4
3
3 пятой
9
3
3
4-3
3
5
3
ой.
3-4
4-5
4
3-4
3-4
3-4
3-4
6a Sge
fi Sge
т Aql
Р Aql
a Aql
0 Aql(?)
У Aql
<р Aql
и Aql
0	Aql
С Aql
V Aql
в Aql
6 Aql
 1	Aql
к Aql
X Aql
? Del
1 Del
к Del
P Del
a Del
6 Del
у Del
t] Del
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]9
10
Всегс
1
2
3
4
Всегс
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ВсегсПередняя из двух осталь-
ных северных
Последняя, следующая за
этой
>	10 звезд, из которых 5 т
Созвездие Головы Koi
Передняя из двух звезд на
голове
Следующая за ней
Передняя нз двух во рту
Следующая за ней
>	4 тусклые звезды.
Созвездие Коня163
Звезда на пупке, общая со
звездой на голове Андро-
меды
Звезда на пояснице у кон-
ца крыла
Звезда на правом плече у
начала ноги
Звезда на спине у плече-
вой части крыла
Более северная из двух на
теле под крылом
Более южная из них
Более северная из двух на
правом колене
Более южная из них
Передняя из двух смеж-
ных на груди
Задняя из них
Передняя из двух смеж-
ных на шее
Задняя из них
Из двух на гриве более
южная
Более северная
Из двух близких на голове
более северная
Более южная
Звезда на морде
Звезда на правой лодыжке
Звезда на левом колене
Звезда на левом коленном
сухожилии
>	20 звезд, из которых 4 вКозерог 17%
Козерог 19
ретьей величины, 2 ч<
Козерог 26%
Козерог 28
Козерог 26%
Козерог 27%
Рыбы 17%%
Рыбы 12%
Рыбы 2%
Водолей 26%
Рыбы 4%
Рыбы 5
Водолей 29
Водолей 28%
Водолей 26%
Водолей 27
Водолей 18%%
Водолей 20%
Водолей 21%
Водолей 20%
Водолей 9%(?)165
Водолей 8
Водолей 5%
Водолей 23%
Водолей 17%
Водолей 12%
торой величины, 4 тр+31%%
+31%
гтвертой, 3 ш
+20%
+20%
+25%
+25
+26
+ 12%
+ 31
+ 19%
+ 25%
+25
+35
+ 34%
+29
+29%
+ 18
+ 19
+ 15
+ 16
+ 16%
+ 16
+22%
+41%
+ 341/4
+36%%
етьей, 9 четве6
6
встой.
Тускл.
Тускл.
Тускл.
Тускл.
2-3
2-3
2-3
2-3
4
4
3
5
4
4
3
4
5
5
3
4
3-2
4-3
4-3
4-3
ртой, 3С Del
в Del
a Equ
Р Equ
у Equ
S Equ
a And164
У Peg
Р Peg
a Peg
т Peg
v Peg
п Peg
0	Peg
X Peg
и Peg
? Peg
? Peg
P Peg
a Peg
в Peg
v Peg
s Peg
л Peg
 1	Peg
к Peg
пятой.
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Всегс
1
2
3
4
Всего
В се
81 т]Созвездие Андромеды
Звезда между лопатками
Звезда на правом плече
Звезда на левом плече
Южная из трех на правом
предплечье
Из них более северная
Средняя из трех
Южная из трех на конце
правой руки
Средняя из них
Северная из трех
Звезда  на  левом  пред-
плечье
Звезда на левом локте
Более южная нз трех над
поясом
Средняя из них
Северная из трех
Звезда над левой ступней
Звезда на правой ступне
Звезда южнее этой
Северная из двух на ле-
вом коленном сгибе
Южная из них
Звезда на правом колене
Из двух на бахроме более
северная
Южная из них
Предшествующая трем на
правой руке, вне руки
) 23 звезды, из них 4 Tpei
Созвездие Треугольни
Звезда  в  вершине  тре-
угольника
Передняя из трех на осно-
вании
Средняя из них
Задняя нз трех
4 звезды, из них 3 треть
верном полушарии всего 3(
ретьей, 177 четвертой, 58Рыбы 25Уз
Рыбы 26Уз
Рыбы 24Уз
Рыбы 23%
Рыбы 24%
Рыбы 25
Рыбы 19%
Рыбы 20%
Рыбы 2214
Рыбы 24>/б
Рыбы 25%
Овен 31/21/3
Овен ll/21/з
Овен 2
Овен 161/2^3
Овен 171/6
Овен 151/6
Овен 12Уз
Овен 12
Овен 101/6
Овен 12%
Овен 141/6
Овен 11%
ьей величины, 15 чет
ка
Овен 11
Овен 16
Овен 16Уз
Овен 161/2^3
ей величины, 1 четве|
SO звезд, из них 3 пе]
пятой, 13 шестой, 9 т+ 241/2
+27
+23
+ 32
+ 331/2
+321/3
+41
+42
+44
+ 171/2
+ 151/21/3
+26Уз
+30
+ 321/2
+28
+37Уз
+35%
+29
+28
+351/2
+341/2
+321/2
+ 44
вертой, 4 пяте
+ 161/2
+20%
+ 19%
+ 19
ПОЙ.
звой величинь
усклых, 1 ту*3
4
4
4
4
5
4
4
4
4
4
3
4
4
3
4-5
4-3
4
4
5
5
5
3
)й.
3
3
4
3
I, 18 втс
юнная.6 And
л And
? And
0	And
в And
р And
1	And
к And
X And
? And
n And
P And
 и And
v And
у And
рой,
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Всего
14
15
16
17
18
Всего
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10              Созвезди
Созвездие Овна
Передняя звезда из двух
на рогах
Задняя из них
Более северная из двух на
морде
Более южная из них
Звезда на шее
Звезда на бедрах
Звезда в начале хвоста
Передняя из трех на хво-
сте
Средняя из трех
Последняя из них
Звезда на заднем бедре
Звезда под коленом
Звезда на конце задней
ноги
13 звезд, из которых 2 т
Около Овна, не воше;
Звезда над головой, кото-
рую    Гиппарх называет
169
«звезда на морде»
Из четырех над крестцом
задняя и более яркая
Из  трех   более  тусклая
северная
Средняя из трех
Южная из них
5 звезд, из которых 1 тр<
Созвездие Тельца
Северная из четырех на
срезе171
Близкая к ней
Близкая и к этой
Самая южная из четырех
Следующая за ними на
правой лопатке
Звезда на груди
Звезда на правом колене
Звезда на правом колен-
ном сухожилии
Звезда на левом колене
Звезда на левой голения [северной части) зс
Овен 6%
Овен 7%
Овен 11
Овен 11%
Овен 6%(?)167
Овен 17%
Овен 21%
Овен 23%'/з
Овен 25%
Овен 27
Овен 19%
Овен 18
Овен 15
>етьей величины, 4 че
\шие в фигуру
Овен 10%
Овен 21%
Овен 21%
Овен 19%
Овен 19%
гтьей величины, 1 чет
Овен 26%
Овен 26
Овен 24V3(?)172
Овен 24%
Овен 29%
Телец 3%
Телец 6%
Телец 3
Телец 12%
Телец 13 (?)173>диака
+7%
+8%
+7%
+6
+5%
+6
+4%%
+ 1%
+ 2%
+ 1%1/з
+ 1%(?)168
-1%
-51/4
твертой, 6 пя
+ 10(?)170
+ 10V6
+ 12%
 + 11%
+ 10%
вертой, 3 пят
-6
-1V4
-8%
-91/4
-9%
-8
-12%
-14%%
-10
-13(?)'743-4
3
5
5
5
6
5
4
4
4
5
5
4-3
той, 1 и
3-2
4
5
5
5
ой.
4
4
4
4
5
3
4
4
4
4у Ari
/3 Ari
п Ari
в Ari
1 Ari
v Ari
s Ari
6 Ari
? Ari
т Ari
p Ari
a Ari
и Cet
лестой.
a Ari
41(c) Ari
39 Ari
35 Ari
33 Ari
5(f) Tau
4(s) Tau
? Tau
0 Tau
30(e) Tau
X Tau
и Tau
v Tau
90(c!)  Tau
88(d) Tau
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широты 'Вели-
чины[Современные
обозначения]11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Всегс
1 шеЗвезды на морде и так
называемые Гиады: звезда
на ноздрях
Звезда между этой и се-
верным глазом
Звезда      между      этой
[№11] и южным глазом
Яркая из Гиад, на южном
глазу, красноватая
Последняя нз  Гиад,  на
северном глазу
Звезда у начала южного
рога и уха
Из двух на южном роге
более южная
Более северная из них
Звезда на конце южного
рога
Звезда у начала северного
рога
Звезда на конце северного
рога,    тождественная со
звездой на правой ноге
Возничего179
Более северная из двух
близких на северном ухе
Более южная из них
Передняя   из   двух   ма-
леньких на шее
Следующая за ней
Самая южная на передней
стороне   четырехугольни-
ка, что на шее
Северная   на   передней
стороне
Более южная на задней
стороне
Более северная на задней
стороне
Северный конец передней
183
стороны Плеяд
Южный конец передней
стороны
Задний и самый узкий
конец Плеяд
Маленькая звезда к северу
от Плеяд
 32 звезды,   из которых
стой.Телец 9
Телец lOVi
Телец 101/iW
Телец 12%
Телец 11У2Уз(?)176
Телец 171/б(?)177
Телец 201/з
Телец 20
Телец 27%
Телец 15%
Телец 25%
Телец 12
Телец 11%
Телец 7
Телец 9
Телец 8 (?>ш
Телец 8Уг(?)
Телец 12
Телец 11%
Телец 2Ve
Телец 2V2
Телец 3%
Телец 3%
первой величины, 6-51/21/4
-4У4(?)175
-51/2 Vi
-SVb
-3
-4
-5
-31/2
-21/2
-01/4(?)178
+5
+01/2
+01/4
+0%
-1(?)180
+5
+71/з(?)182
+3
+5
+ 41/2
+ 3%
+ЗУз
+5
третьей, 11ч3-4
3-4
3-4
1
3-4
4
5
5
3
4
3(?)
5
5
5
6
5
5
5
5
5
5
5
4(?)
етвертойу Таи
<$' Таи
в1 Таи
а Таи
е Таи
97 (i) Таи
104(ш) Таи
106(1) Таи
? Таи
т Таи
/3 Таи
v Таи
к Таи
37(Л') Таи
(о Таи
44 (р) Таи
V Таи(?)
X Таи
<р Таи
19 Таи(?)
23 Таи (?)
27 Таи(?)
BSC 1188(?)
, 13 пятой,
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
Всего
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14Около Тельца, не воп
Звезда под правой ногой
н лопаткой
Передняя   из   трех   над
южным рогом
Средняя из трех
Последняя из ннх
Более северная из двух
под концом южного рога
Более южная из них
Передняя нз 5 следующих
под южным рогом
Следующая за ней
Следующая за этой
Из двух остающихся зад-
них северная
Более южная нз них
11 звезд,   из которых 1
Созвездие Близнецов
Звезда на голове передне-
го близнеца
Красноватая звезда на го-
лове заднего близнеца
Звезда   на  левом   пред-
плечье переднего близне-
ца
Звезда на том же самом
предплечье
Звезда, следующая за ней,
между лопатками
Следующая за этой, на
правом   плече   того   же
близнеца
Звезда на заднем плече
следующего близнеца
Звезда  на  правом  боку
переднего близнеца
Звезда на левом боку зад-
него близнеца
Звезда на левом колене
переднего близнеца
Звезда под левым коленом
заднего близнеца
Звезда на левом паху зад-
него близнеца
Звезда на сгибе правого
колена того же близнеца
Звезда на конце ведущей
ноги переднего близнеца1едшие в фигуру
Овен 25
Телец 20
Телец 24 (?)184
Телец 26
Телец 29
Телец 29
Телец 27
Телец 29
Близнецы 1
Близнецы 2%
 Близнецы 3%
четвертой величины, :
Близнецы 23%
Близнецы 26%
Близнецы 16%
Близнецы 18%
Близнецы 22
Близнецы 24
Близнецы 26%
Близнецы 21%
Близнецы 23%(?)186
Близнецы 13
Близнецы 18V4(?)188
Близнецы 21%
Близнецы 21 %(?)189
Близнецы 6%-17%
-2
-\ViVt
-2
-6%
-7%
+0%
+ 1
+ 1%
+3%
+ 1V4
0 пятой.
+ 9%(?)185
+ 61/4
+ 10
+ 7%
+5%
+4%%
+2%
+ 2%
+0%(?)187
+ 1%
-2%
-0%
-6(?),9°
-1%4
5
5
5
5   •
5
5
5
5
5
5
2
2
4
4
4
4
4
5
5
3
3
3
3
4-310 Таи
i Таи
109(п) Таи
114(0) Таи
126 Таи(?)
129 Таи(?)
121 Таи(?)
125 Таи(?)
132 Таи(?)
136 Таи(?)
139 Таи(?)
a Gem
Р Gem
в Gem
т Gem
1 Gem
v Gem
к Gem
57(A) Gem
58 Gem(?)
? Gem
? Gem
6 Gem
X Gem
tj Gem
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]15
16
17
18
Всего
19
20
21
22
23
24
25
Всего
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ВеекСледующая за  ней,  на
той же ноге
Звезда на конце правой
ноги переднего близнеца
Звезда  на  конце  левой
ноги заднего близнеца
Звезда на конце правой
ноги заднего близнеца
18 звезд, из которых 2 в
Около Близнецов, не
Предшествующая   перед-
ней ноге ведущего близне-
ца
Предшествующая   перед-
нему колену, яркая
Предшествующая  левому
колену заднего близнеца
Северная из трех звезд по
прямой, идущих за пра-
вой рукой заднего близне-
ца
Средняя из трех
Южная из них, у пред-
плечья [правой руки]
Следующая за тремя упо-
мянутыми, яркая
7 звезд, из которых 3 че
Созвездие Рака
Средняя звезда туманного
скопления на груди, так
называемые Ясли
Северная из двух предше-
ствующих   четырехуголь-
нику около туманности
Более     южная из двух
предшествующих
Северная из двух следу-
ющих  за  четырехуголь-
ником,   так   называемые
Ослята
Южная из двух упомяну-
тых
Звезда на южной клешне
Звезда на северной клеш-
не
Звезда на задней части
северной лапы
Звезда на задней части
южной лапы
> 9 звезд, из которых 7 че Близнецы 8У2(?)191
Близнецы 10'/б
Близнецы 12
Близнецы 14%
горой величины, 5 тре
вошедшие в фигуру
Близнецы 4'/б
Близнецы 6У2
Близнецы 15'/б
Близнецы 28 Уз
Близнецы 26 Уз
Близнецы 26
Рак 0Щ1)192
гвертой величины, 4 г
Рак ЮУз
Рак IVi
Рак 8
Рак ЮУз
Рак 11 Уз
Рак 16Уг
Рак 8Уз
Рак 1Уъ
Рак 7Уб
твертой величины, 1-1У«
-3V2
-7У2
-10V2
тьей, 9 четве
-ОУз
+5УгУз
-2У«
-1Уз
-ЗУз
-4Уг
-2Vi
[ЯТОЙ.
+0Уз(?)193
+ 1У4
-1Уб
+2%
-ОУб
-5У2
+ ПУ2У3
+ 1
  -7У2(?),М
пятой, 1 тума4-3
4-3
3
4
ртой, 2
4
4-3
5
5
5
5
4
Тум.
4-5
4-5
4-3
4-3
4
4
5
4-3
иная.ц Gem
v Gem
у Gem
f Gem
пятой.
1(H) Gem
к Aur
36(d) Gem
85 Gem(?)
81(g) Gem(?)
74(f) Gem(?)
? Cnc(?)
M 44194
n Спс
в Спс
у Спс
<$ Спс
а Спс
i Спс
ц Спс
Р Спс
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]10
11
12
13
4 зве
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24Около Рака, не вошед
Звезда над изгибом юж-
ной клешни
Следующая     за концом
южной клешни
Передняя из двух, следу-
ющих за туманностью
Задняя из них
зды, из них четвертой вел
Созвездие Льва
Звезда на конце ноздрей
Звезда в пасти
Из двух на голове более
северная
Более южная из них
Северная из трех на шее
Следующая,   средняя  из
трех
Южная из них
Звезда на сердце, так на-
зываемый Регул
Звезда к югу от нее, как
бы на груди
Звезда, немного предшест-
вующая той, что на серд-
це
Звезда на правом колене
Звезда на передней пра-
вой лапе
Звезда на передней левой
лапе
Звезда на левом колене
Звезда на левой подмыш-
ке
Передняя нз трех на брю-
хе
Северная  из двух оста-
ющихся задних
Южная из них
Передняя из двух на кре-
стце
Задняя из них
Северная из двух на кру-
пе
Южная из них
Звезда на задних бедрах
Звезда на задних сгибах
ногшие в фигуру
Рак 19%(?)196
Рак 21 %(?)197
Рак 14
Рак 17
ичины 2, пятой 2.
Рак 18V3
Рак 211/6
Рак 24%
Рак 24%
Лев 0%(?)199
Лев 21/6
Лев 0%
Лев 2%
Лев 3%
Лев 0
Рак 27%
Рак 24%
Рак 27%
Лев 2%
Лев 9%
Лев 7
Лев 10%(?)200
Лев 12V6C?)201
Лев 11%
Лев 14%
Лев 14%(?)
Лев 16%
Лев 20%
Лев 21%-2%
-5%
+7V4(?)198
+4%%(?)
+ 10
+7%
+ 12
+9%
+ 11
+8%
+4%
+0%
-1%%
-01/4
0
-3%
-4%
-41/4
-0%
+4
+5%
+2%
+ 12V4
+ 13%
+ lli/6(?)202
+9%
+5%%
+ 1V44-5
4-5
5
5
4
4
3
3-2
3
2
3
1
4
5
5
5	(?)
4
4
4
6
б
6
6	(?)
2-3
5
3
3
4л Спс(?)
к Спс
v Спс(?)
? Спс(?)
к Leo
X Leo
Ia Leo
e Leo
S Leo
у Leo
n Leo
a Leo
31(A) Leo
v Leo
V Leo
f Leo
о Leo
л Leo
p Leo
460) Leo
52 (k) Leo
53(1) Leo
60(b) Leo
<5 Leo
81 LeoC?)**
в Leo
( Leo
a Leo
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]25
26
27
Всего
шесте
28
29
30
31
32
33
34
35
5 зве
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13Звезда к югу от нее, как
бы на передних частях ног
Звезда на задних когтях
Звезда на конце хвоста
  27 звезд, из них первой
>й 4.
Около Льва, не вошед]
Передняя   из  двух   над
спиной
Задняя из них
Северная     из трех под
брюхом
Средняя из них
Южная из них
Северная часть туманного
скопления между концами
Льва и Медвидицы, назы-
ваемого Волосами [Веро-
ники]206
Передняя   из   выступаю-
щих южных звезд Волос
Следующая  за  ними  в
форме листа плюща
зд, из которых 1 четверто!
Созвездие Девы
Южная из двух сверху на
голове
Более северная из них
Более северная из двух
следующих за  ними  на
лице
Более южная из них
Звезда на конце южного,
левого крыла
Передняя из четырех на
левом крыле
Следующая за ней
Следующая за этой
Последняя и самая задняя
из четырех
Звезда на правом боку под
поясом
Передняя из трех на пра-
вом, северном крыле
Южная из двух остальных
Северная из них, так на-
зываемая      Виндемиат-
212
риксЛев 24%
Лев 27Vi
Лев 24Vi
величины 2, второй
шие в фигуру
Лев 6(?) 205
Лев 81/6
Лев 17Vi
Лев 17V6
Лев 18
Лев 24ViV3
Лев 241/з
Лев 28V2
а величины, 4 пятой,
Лев 26Щ"!)207
Лев 27 (?)
Дева 0%
Дева OVi
Лев 29
Дева 8i/4
Дева 131/6
Дева 17Vi
Дева 21
Дева 14Уз(?)2"
Дева 8 Us
Дева ЮУб
Дева 121/6-OVi Уз
-ЗУбС?)204
+ IIV2V3
2, третьей 6
+ 131/3
+ 15Vi
+ 1V6
-0V2
-2%
+30
+25
+25 Vi
а также Воло
+4V4
+5%
+8
+5Vi
+0V6(?)208
+ 1V6(?)209
+2V2V3
+2ViV3(?)210
+ 1%
+8V2
+13Vi(?)
+ 11%
+ 15Ve(?)4
5
1-2
, четвер
5
5
4-5
5
5
ТускЛ?)
Туск.
Туск.
сы [Bepi
5
5
5
5
3
3
3
5
4
3
5
6
3-2т Leo
v Leo
/8 Leo
той 8, пятой 5,
41 LMi
54 Leo
X Leo
59(c) Leo
58(d) Leo
15(c) Com(?)
7(h) Com(?)
23 (k) Com(?)
эники].
v Vir
? Vir
0 Vir
л Vir
/8 Vir
V Vir
у Vir
46 Vir(?)
в Vir
д Vir
p Vir
32 (d2) Vir
e Vir
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Всего
27
28
29
30
31
32
6 звеЗвезда  на  конце  левой
руки, так называемая Ко-
лос213 [Спика]
Звезда   под   опоясанием,
как бы на правой ягодице
Северная звезда на перед-
ней    стороне четыреху-
гольника на левом бедре
Южная звезда на перед-
ней стороне
Северная из двух на за-
дней стороне
Южная на задней стороне
Звезда на левом колене
Звезда на правом бедре
Средняя из трех на краю
платья у передней ноги
Южная из них
Северная из них
Звезда  на  конце  левой
(южной) ноги
Звезда на конце правой
(северной) ноги
26 звезд, из которых 1 пе
Около Девы, не вопвд
Передняя из трех по пря-
мой под левым локтем
Средняя из них
Задняя из трех
Передняя из трех по пря-
мой под Колосом
Средняя из них, двойная
Последняя из трех
зд, из которых 4 пятой веДева 26%
Дева 24%%
Дева 26%
Дева 27той, 2
тум.
5-4
540 Lib6
шестой.
/8 Sco
д Sco
л Sco
р Sco
v Sco
(о Sco(?)
a Sco
a Sco
т Sco
13 (с2) Sco
d Sco
(BSC 6070)
e Sco
fi Sco
S2 Sco(?)9
?! SC0(?)
n Sco
в Sco
Sco
к Sco
A Sco
v Sco
пятой.
G Sco
45(d) Oph
3(X) Sgr(?)
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28Созвездие Стрельца
Звезда на острие стрелы
Звезда на рукоятке у ле-
вой рукн
Звезда на южной части
лука
На северной части лука
более южная [из двух]
Более северная из них, на
верхушке лука
Звезда на левом плече
Предшествующая   ей   на
стреле
На глазу' двойная и ту-
манная звезда
Передняя из трех на го-
лове
Средняя из них
Задняя нз трех
Более южная    из   трех
на северной завязке пла-
ща"
Средняя из ннх
Северная нз трех
Следующая за тремя, тус-
клая звезда
Более северная из двух,
на южной завязке плаща
Более южная нз них
Звезда на правом плече
Звезда на правом локте
Из трех звезд на спине
между плечами
Средняя из них, на лопат-
ке
Последняя из трех, ниже
подмышки
Звезда на переднем левом
коленном сухожилии
Звезда на колене той же
ноги
Звезда на переднем пра-
вом коленном сухожилии
Звезда на левом бедре
Звезда на задней части
низа правой ноги
Передняя звезда северной
стороны  из  четырех  на
корне хвостаСтрелец 4Уг
Стрелец 7%
Стрелец 8
Стрелец 9
Стрелец 6%
Стрелец 15 Уз
Стрелец 13
Стрелец 15Уб
Стрелец 15%
Стрелец 17%
Стрелец 19Уб
Стрелец 21 Уз
Стрелец 22Уз(?)16
Стрелец 22УгУз
Стрелец 25%(?)17
Стрелец 29V2
Стрелец 27%
Стрелец 22%(?)18
Стрелец 24УгУз
Стрелец 20
Стрелец 17%
Стрелец 16Уз
Стрелец 17%
Стрелец 17
Стрелец 6%
Стрелец 27 Уз
Стрелец 26У2Уз(?)22
Стрелец 27%(?)24-6У2
-6V2
-ЮУгУз
-1Уг
+2УгУз
-ЗУб13
-ЗУ2(?)14
+ОУ2У4
+2Уб
+ 1V2
+2
+ 2УгУз
+4Уг
+6У2
+5Уг
+5УгУз
+2
-1УгУз
-2УгУз
-2У2
-4У2
-6У2У4
-23
-18
-13
-13V2
-20Уб(?)23
-4УгУз3
3
3
3
4
3
4
Тум.
4
4
4
5
4
4
б
5
6
5
4
5
4-3
3
2(?)19
2-320
3
3
3
5у Sgr
д Sgr
е Sgr
A Sgr
Sgr
а Sgr
Р Sgr
v'+v2 Sgr
f 2 Sgr
0 Sgr
n Sgr
43(d) Sgr
P Sgr
v Sgr
55(e) Sgr
61(g) Sgr
57 Sgr(?)
X1 s8r(?)
51(A1)+52(A2)
Sgr(?)
У Sgr
т Sgr
S Sgr
Pl+P2 Sgr(?)
a Sgr
n Sgr
к1+к2 Sgr21
' Sgr
to Sgr
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]29
30
31
Всего
1 TJ™
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26Следующая    с северной
стороны
Передняя с южной сторо-
ны
Следующая с южной сто-
роны
  31 звезда, из них 2 вто
данная.
Созвездие Козерога
Северная из трех на зад-
нем роге
Средняя из них
Южная из трех
Звезда на конце переднего
рога
Южная звезда из трех на
морде
Передняя из двух осталь-
ных
Задняя из них
Ведущая из трех под пра-
вым глазом
Более северная из двух на
шее
Южная из них
Звезда на левом согнутом
колене
Звезда под правым коле-
ном
Звезда на левом плече
Предшествующая из двух
смежных под брюхом
Следующая из них
Последующая из трех по-
середине тела
Более    южная из двух
остальных   предшествую-
щих
Более северная из них
Передняя     из двух  на
спине
Задняя из них
Передняя из двух на спин-
ном плавнике2
Задняя из них
Передняя из двух в начале
хвоста
Задняя из них
Передняя звезда  из че-
тырех на северной части
хвоста
Из трех остальных южнаяСтрелец 28%%
Стрелец 28%%
Стрелец 29%
эой величины, 9 тре
Козерог 7V3
Козерог 7%
Козерог 7%
Козерог 5(?)25
Козерог 9
Козерог 8%
Козерог 8%%
Козерог 6%
Козерог 11%
Козерог 11%%
Козерог 11%
Козерог 10%%
Козерог 16%
Козерог 20%
Козерог 20%(?)27
Козерог 18%
Козерог 16%
Козерог 16%
Козерог 16%
Козерог 21
Козерог 23%
Козерог 25
Козерог 24%%(?)30
Козерог 26%
Козерог 26%%
Козерог 28%-4%%
-5%%
-б%
лъей, 9 четве
+7%
+6%
+5
+8
+0%V4
+ 1%V4
+1%
+0%
+3%%
+0%%(?)26
-8%
-6%
-7%
-6%%
-6
-4V4
-4
-2%%
-О28
-0%%
-4%V4
-4%
-2%
-2
+0%
+05
5
5
ртой,
3
6
3
6
6
6
6
5
6
5
4
4
4
4
5
5
5
5
4
4
4
4
3
3
4
560(A) Sgr
59(b) Sgr
62(c) Sgr
8 пятой, 2 шестой,
а+а2 Сар
v Сар
Р Сар
?Н2 Сар
о Сар
л Сар
Р Сар
а Сар
т Сар
v Сар
(о Сар
V Сар
24(A) Сар
С Сар
36(b) Сар
<р Сар
X Сар
п Сар
в Сар
< Сар
е Сар
к Сар
У   Сар
& Сар
42(d) Сар
/4 Сар
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]27
28
Всего
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28Средняя из них
Северная из них, на конце
хвоста
28 звезд, из них 4 третье
Созвездие Водолея
Звезда на голове Водолея
Более блестящая из двух
на правом плече
Под ней, более темная
Звезда на левом плече
Звезда под ней на спине,
как бы под подмышкой
Задняя звезда из трех на
левой руке, на одеянии
Средняя из них
Передняя из трех
Звезда на правом пред-
плечье
Северная из трех на конце
правой руки
Передняя из двух осталь-
ных к северу31
Задняя из них
Передняя из двух смеж-
ных на правом бедре
Следующая за ней
Звезда на правой ягодице
Южная из двух на левой
ягодице
Более северная из них
Более южная из двух, на
правой голени
Более северная из них,
под коленным сгибом
Звезда на левом бедре
Более южная из двух на
левой голени
Более северная из них,
под коленом
Передняя из тех, что на
потоке воды у руки
Смежная к югу от упомя-
нутой
Следующая за этой после
изгиба [потока воды]
Следующая за этой
Звезда к югу от той, что
в изгибе
Более северная из двух,
что к югуКозерог 27%
Козерог 28%
:й величины, 9 четве
Водолей ОУз
Водолей 6V3
Водолей 5 Ms
Козерог 26 Vi
Козерог 27 V3
Козерог 17%
Козерог 16V6
Козерог 14%
Водолей 9V2
Водолей 11%
Водолей 12
Водолей 13 Уз
Водолей 6V6
Водолей 7
Водолей 8%
Водолей 1%
Водолей ЗУб
Водолей 11%
Водолей 11 Уз
Водолей 4%
Водолей 8 Уз
Водолей 7УгУз
Водолей 15
Водолей 14ViVS
Водолей 17%
Водолей 20
Водолей 20V2
Водолей 19+2ViV3
+ 4Уз
зртой, 9 пято1
+ 15V2V4
+11
+9%
+8V2V3
+6V4
+5Vi
+8
+8%
+8V2V4
+ IOV2V4
+9
+8У2
+3
+ЗУб(?)32
-OV2V3
-1%
+0V4(?)33
-7Vi(?)34
-5
-5%
-10
-9
+2
+0Уб
-1Уб
-OVi
-1%
-ЗУ25
5
1, 6 ш
5
3
5
3
5
5
4
3
3
3
3
3
4
5
4
4
6
3
4
5
5
5
4
4
4
4
4
4к Cap
46(с') Cap
естой.
25(d) Aqr
a Aqr
0	Aqr
/8 Aqr
* Aqr
" Aqr
и Aqr
« Aqr
У Aqr
л Aqr
S Aqr
П Aqr
в Aqr
P Aqr
a Aqr
1	Aqr
38(c) Aqr
<* Aqr
т Aqr
53(f) Aqr
68 (g2) Aqr
66 (g1) Aqr
к Aqr(?)
X Aqr
83(h) Aqr
ip Aqr
X Aqr
V1 Aqr
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Всегс
43
44
45
Всего
1
2
3
4
5
6
7
8
9Более южная из двух
Отдельная звезда на не-
котором расстоянии к югу
от них
Передняя из двух смеж-
ных за ней
Задняя из них
Северная из трех в сосед-
нем витке
Средняя из трех
Задняя из них
Северная из трех, точно
так же расположенных
Более южная из трех
Средняя из них
Передняя из трех в по-
следнем витке струи
Из двух остальных более
южная
Северная из них
На конце струи и во рту
Южной Рыбы
42 звезды, из них 1 перс
Около Водолея, не BOI
Передняя звезда из трех,
следующих    за изгибом
струи
Из двух остальных более
северная
Более южная из них
3 звезды величиной, неск
Созвездие Рыб
Звезда во рту передней
рыбы
Более южная из двух на
ее голове
Более северная из них
Передняя     из  двух  на
спине
Задняя из них
Передняя из двух на брю-
хе
Задняя из них
Звезда на хвосте той же
рыбы
Из звезд   на ленте41 пе-
редняя    от хвоста этой
рыбыВодолей \9ViVi
Водолей 201/гУз
Водолей 22%(?)36
Водолей 23V6
Водолей 21%
Водолей 221/6
Водолей 23'/б
Водолей 17
Водолей 18 Уз
Водолей 17Уг
Водолей ПУг'/з
Водолей 12Уз
Водолей 13У6
Водолей 7
юй величины, 9 треп
иедшие в фигуру
Водолей 26%
Водолей 29%
 Водолей 29
олько большей четве
Водолей 21%
Водолей 24 Уб
Водолей 26
Водолей 28Уб
Рыбы 0%
Водолей 26
Водолей 29%
Рыбы 6
Рыбы 11-41/6
-8V4
-11(?)37
-\0ViVi
-14
-14У2У4
-15%
-141/6
-151/21/4
-15
-14У2У4(?)38
-15Уз
-14
-20Уз
ьей, 18 четве
-15V2
-14%
 -18У4
ртой.
+9У4
+7У2(?)40
+9Уз
+9У2
+7У2
+ 41/2
+ ЗУ2
+6Уз
+5V2V44
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4(?)
4(?)
4(?)
1
этой,
4-3
4-3
4-3
4(?)39
4
4
4
4
4
4
4
6V3 Aqr(?)35
BSC 8958 (?)
со1 Aqr
со2 Aqr
103(Л1)+104(Л2)
Aqr(?)
10601) Aqr
108G3) Aqr(?)
98(bl) Aqr
101 (b3) Aqr
99 (b2) Aqr
86^) Aqr
89(c3) Aqr
88 (c2) Aqr
a PsA
3 пятой, 1 шестой.
2 Cet
6	Cet
7	Cet
/8 Psc
7 Psc
7(b) Psc
в Psc
i Psc
к Psc
A Psc
аз Psc
41(d) Psc
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]10
11
12
13
14
15
16
17
1S
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Всего
35
36Задняя из них
Передняя из трех следую-
щих ярких
Средняя из них
Задняя из трех
Северная из двух неболь-
ших на изгибе под этими
Более южная из них
Передняя из трех после
изгиба
Средняя из них
Задняя из трех
Звезда на узле, соединяю-
щем две ленты
На северной ленте первая
от узла
Из трех следующих за ней
южная
Средняя из них
Северная из трех на конце
хвоста
Северная из двух во рту
задней рыбы
Южная из них
Задняя из трех малых на
голове
Средняя из них
Передняя из трех
Передняя из трех на спин-
ном плавнике, после звез-
ды   на   локте   Андроме-
ды49
Средняя из них
Задняя из трех
Более северная из двух на
брюхе
Более южная из них
Звезда   на    следующем
плавнике у хвоста
34 звезды, из них 2 трет
Около Рыб, не вошедп
Передняя из двух север-
ных звезд четырехуголь-
ника под передней рыбой
Задняя из нихРыбы 13
Рыбы 171/6
Рыбы 20W(?)42
Рыбы 23
Рыбы 221/з(?)44
Рыбы 23(?)45
Рыбы 26%
Рыбы 28%(?)46
Овен 0%
Овен 2%
Овен 0%
Овен 01/6
Овен 0%(?)47
Овен 0%
Овен 2
Овен 1%
Рыбы 28%
Рыбы 27%
Рыбы 27
Рыбы 25%
Рыбы 2б%(?)50
Рыбы 27%
Овен 21/6
Рыбы 29%%
Овен 0
ьей величины, 22 че
те в фигуру
Рыбы 1%
Рыбы 21/4+ 3%1/4
+2%
+ 1%
-0%(?)43
-2
-5
-2%
-4%
-7%И
-8%
-1%
+ 1%%
+5%
+9
+ 21%1/4
+21%
+ 20
+ 19%%
+20%(?)48
+ 14%
+ 13%(?)51
+ 12
+ 17
+ 15%
+ 11%%
твертой, 3 пя
-2%
-2%6
4
4
4
6
6
4
4
4
3
4
5
3
4
5
5
6
6
6
4
4
4
4
4
4
гой, 7
4
451 Psc
д Psc
е Psc
? Psc
80(e) Psc
89(f) Psc
ft Psc
" Psc
? Psc
a Psc
о Psc
ж Psc
tl Psc
p Psc
82(g) Psc
т Psc
68(h) Psc
67 (k) Psc
65 (i) Psc
y,1 Psc
V2 Psc
X Psc(?)52
v Psc
 
/б
Овен 24%
Телец 4%
Телец 5
Овен 281/6
Овен 25%%
Овен 17%%
Овен 14%%
Овен 11%%
Овен 01/6
юй величины, 5 тре!
Телец 19%
Телец 19%%
Телец 21%
Телец 21%
Телец 19%
Телец 161/6
Телец 25%%
Телец 24%^(?)75
Близнецы 1
Телец 29
Близнецы 0
Близнецы 2%
:й величины, 6 чета-39
-41%
-42%
-43%
-43%
-50%(?)72
-51%%
-53%%
-53%
-53
-53%
-52%
-53%
гьей, 26 четве
-35
-36%
-35%
-36%
-391/4
-45%
-41%
-44%
-44%(?)76
-45%%
-38^
-38%
гртой, 4 пяток4
4
5
4
4
4
4
4
4
4
4
4
1(?)74
ртой,
5
5
5
5
4-3
4-3
3
3
4-3
4-3
4-3
4-3т5 Eri
т6 Eri
т7 Eri
т8 Eri
т9 Eri
vl Eri
v2 Eri
i;3 Eri
v* Eri
g Eri(?)73
f Eri(?)
h Eri(?)
в Eri
2 пятой.
i Lep
к Lep
v Lep
A Lep
и Lep
e Lep
a Lep
P Lep
6 Lep
У Lep
? Lep
V Lep
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Всегс
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28Созвездие Пса77
Красноватая, самая яркая
[из     всех неподвижных
звезд] звезда во рту, на-
зываемая Псом78
Звезда на ушах
Звезда на голове
Северная из двух на шее
Южная из них
Звезда на груди
Северная из двух на пра-
вом колене
Более южная из них
На конце передней лапы
Передняя из двух на ле-
вом колене
Задняя из них
Задняя из двух на левом
плече
Передняя из них
Звезда  в  начале левого
бедра
Звезда под брюхом между
бедрами
Звезда на сгибе правой
лапы
Звезда на конце правой
лапы
Звезда на хвосте
18 звезд, из них 1 перво
Около Пса, не вошеди
Звезда к северу от головы
Пса
Самая южная из четырех
по прямой под задними
лапами
Более северная от нее
Более северная от этой
Последняя и самая север-
ная из четырех
Передняя из трех по пря-
мой  к  западу  от  этих
четырех
Средняя из них
Задняя из трех
Задняя из двух блестящих
за ними
Предшествующая ейБлизнецы 17%
Близнецы 19%
Близнецы 21 Уз
Близнецы 23'/з
Близнецы 25Уз(?)79
Близнецы 20 Vi
Близнецы 1 б'/б
Близнецы 16
Близнецы 11
Близнецы 14%
Близнецы 16Уб
Близнецы 24%
Близнецы 21%
Близнецы 26%
Близнецы 23%
Близнецы 23
Близнецы 9%
 Рак 2Уб
й величины, 5 треть
иие в фигуру
Близнецы 19Уг
Близнецы 10(?)81
Близнецы 11 Уз
Близнецы 13
Близнецы 14Уб
Телец 28
Близнецы ОУз
Близнецы 2Уз
Телец 29
Телец 26-39Уб
-35
-36У2
-37У2У4
-40
-42%
-41У4
-42У2
-41Уз
-46У2
-45У2У3
-46Уб(?)
-47
-48У2У4
-51У2
-55Уб
-5ЗУ2У4
 -50%
ей, 5 четверо
-25У4(?)
-61 Vi
-58У2У4
-57
-56
-55У2
-57%
-59У2У3
-59%
-57%1
4
5
4
4
5
5
5
3
5
5
4
5
3-4
3
4
3
3-4
)й, 7 г
4
5
4
4
4
4
4
4
2
2а СМа
 в СМа
и СМа
у СМа
i СМа
ж СМа
v3 СМа
v2 СМа
в СМа
?' СМа
? СМа
о2 СМа
о1 СМа
S СМа
е СМа
к СМа
? СМа
г\ СМа
1ЯТОЙ.
22 Моп(?)80
в Col
к Col
S Col
А СМа
ц Col
A Col
у Col
в Col
a Col
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]29
Всегс
1
2
Всегс
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24Последняя и более южная
из упомянутых
>	11 звезд, из них 2 второ
Созвездие Проциона
Звезда на шее
Яркая на задних лапах,
называемая Проционом
>	2 звезды, из которых 1 i
Созвездие Арго84
Из двух на корме корабля
предшествующая
Следующая за ней
Более северная из двух
смежных над небольшим
щитом на корме
Более южная из них
Звезда, им предшествую-
щая
Яркая звезда посередине
небольшого щита
Передняя из трех звезд
под небольшим щитом
Задняя из них
Средняя из трех
Звезда на гуське89
Более северная из двух на
киле кормы
Более южная из них
Более северная из тех, что
на палубе кормы
Передняя из трех следую-
щих
Средняя из них
Задняя из трех
Следующая за ними яркая
звезда на палубе
Передняя из двух тусклых
под яркой
Задняя из них
Передняя из двух над упо-
мянутой яркой
Задняя из них
Северная из трех на щи-
тах, как бы у основания
мачты
Средняя из них
Южная из трех Телец 221/6
й величины, 9 четве
Близнецы 25
Близнецы 29%(?)83
тервой величины, 1
Рак \QVb
Рак 14%
Рак 8%%
Рак 8%
Рак 5Vi
Рак 6%
Рак 5%
Рак 9%
Рак 81/2
Рак 14
Рак 4
Рак 4
Рак 101/6
Рак 121/6
Рак 13%
Рак 16%
Рак 211/6
Рак 18%
Рак 21
Рак 23%(?)
Рак 24%
Лев 5%
Лев 6%
Лев 4 -59%
ртой.
-14
-16%
четвертой.
-42%
-43%
-45
-46(?)85
-45%
-47%
-49%(?)87
-49%(?)88
-49%
-53
-58%
-55%
-58%
-57%
-57%%(?)91
-58%
-60
-59%
-56%
-57%
-51 %(?)92
-55%
-57%4
4
1
5
3
4
4
4
З86
4
4
4
4
4
3
5
5
4
4
2
5
5
5
5
4-3
4-3
4-3е Col
/? CMi
a CMi
11(e) Pup
Р Pup
f Pup
0	Pup
ш Pup
BSC 2948+2949
P Pup
3 Pup
   1	Pup
BSC 3113
BSC 2834(?)90
я Pup
f Pup
BSC
2961+2964(7)
с Pup
b Pup
? Pup
a Pup
BSC 3162(?)
h1 Pup
h2 Pup
BSC 343993
d Vel
e Vel
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]25
26
27
2S
29
30
31
32
33
34
35
36
37
3S
39
40
41
42
43
44
45
Всего
1 ше
1
2
3
4
5Северная из двух близких
под этими
Более южная из них
Южная из двух на се-
редине мачты
Более северная из них
Передняя из двух на вер-
шине мачты
Задняя из них
Звезда под третьим зад-
ним щитом
Звезда    на срезе палу-
бы96
Звезда   на   киле   между
97
кормилами
Следующая за ней, туск-
лая
Следующая за этой яркая
под палубой
Яркая к югу от этой на
нижней [части] киля
Из  трех  следующих  за
этой передняя
Средняя из них
Задняя из трех
Из  двух  следующих  за
этими у среза передняя
Задняя из них
Передняя из двух на се-
верном и переднем кор-
миле
Задняя из них
Передняя из двух на ос-
тавшемся    кормиле, так
называемый Канопус
Последняя, задняя из них
  45 звезд, из них 1 первс
стой.
Созвездие Водяного 3J
Из пяти звезд на голове
южная из двух передних,
на ноздрях
Более северная из них,
над глазом
Из  двух  следующих  за
ними северная, на голове
Более южная из них, на
глотке
Следующая за всеми, как
бы на щекеЛев 9%
Лев 9
Лев 0%
Рак 29%
Рак 28
Рак 29
Лев 141/6
Лев 17%
Рак 111/6
Рак 19
Лев 0
Лев 8%
Лев 15%
Лев 21%
Лев 26
Дева 1
Дева 8
Близнецы 4
Близнецы 20%
Близнецы 17'/б
 Близнецы 29
)й величины, 6 втор
«я99
Рак 14
Рак 13%
Рак 15%
Рак 15%
Рак 17%-60
-611/4
-51%%(?)94
-49
-43%(?)95
-43%
-54%
-51%
-63
-64%
-63%%
-69%
-65%
-65%%
-67%
-62%%
-62%
-65%%
-65%
-75
 -71%%(?)98
ой, 11 третье
-15
-13%
-11%
-14i/4(?)100
-12%(?)1014-3
4-3
3
3
4
4
2
2-3
4
6
2
2
3
3
2
3
3
4-3
3-2
1
 3-2
й, 19
4
4
4
4
4a Vel(?)
b Vel(?)
Р Pyx
a Pyx
у Pyx
5	Pyx
A Vel
V	Vel
a Pup(?)
P Pup(?)
у Vel
X Car(?)
о Vel(?)
6	Vel(?)
f Car(?)
к Vel
N Vel
t] Col
v Pup
a Car
         т Pup
четвертой, 7 пятой,
а Нуа
6 Нуа
e Нуа
V	Нуа
К Нуа
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]6
7
S
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1S
19
20
21
22
23
24
25
Всегс
26
27
Всегс
1
2
3Передняя из двух в начале
шеи
Задняя из них
Средняя из трех следую-
щих на изгибе шеи
Задняя из трех
Самая южная из трех
Из двух близких на спине
тусклая и северная
Яркая из двух смежных
Передняя из трех, следую-
щих за изгибом [шеи]
Средняя из них
Задняя из трех
Передняя из трех, следую-
щих по прямой
Средняя из них
Задняя из трех
Более северная из двух,
за основанием Чаши
Более южная из них
Передняя из трех за эти-
ми, как бы в треугольнике
Средняя и более южная
из них
Задняя из трех
Звезда у начала хвоста, за
Вороном
Звезда на конце хвоста
25 звезд, из них 1 второ
Около Водяного Змея,
Звезда к югу от головы
Звезда, следующая на не-
котором    расстоянии за
звездами на шее
2 звезды третьей величин
Созвездие Чаши
Звезда   на     основании
Чаши, общая с Водяным
Змеем
Более южная из двух, на
середине Чаши
Более северная из нихРак 201/3
Рак 231/3
Рак 28V21/3
Лев 0%
Рак 281/2
Рак 29Уб
Лев 0
Лев 6
Лев 8%
Лев 111/6
Лев 18
Лев 20
Лев 23(?)106
Дева 1>/2
Дева 21/з
Дева 12>/б
Дева 141/2
Дева 16Уб
Весы 0
Весы 13V2
й величнины, 3 трет
не вошедшие в фи
Рак 12V2
Лев 11
ы.
Лев 231/б(?)п0
Лев 21/2
Дева 0-11У2/3102
-13%(?)103
-15Уз
-\WiVi
-171/6
-191/21/4
-20У2(?)104
-26V2
-26
-231/4(?)105
-24%
-231/4
-221/б(?)107
-25V2V4
-301/6
-зт
-331/6
-311/3
-13%
 -17%(?)108
ьей, 19 четве
ГУРУ
-231/4
-16Уз(?)109
-23
-19V2
-185
4
4
4
4
6
2
4
4
4
3
4
3
4-3
4
4
4
3
4-3
4-3
)ТОЙ,
3
3
4
4
4ш Нуа
в Нуа
т2 Нуа
   i Нуа
т1 Нуа
BSC 3750(?)
а Нуа
к Нуа
vl Нуа
v2 Нуа
и Нуа
<Р Нуа
v Нуа
в СП
ХХ Нуа
? Нуа
о Нуа
в Нуа
У Нуа
       л Нуа
пятой, 1 шестой.
BSC 3314
е Sex(?)
а СП
у СП
д Сп
[Но-
мер]КонфигурацииГрадусы долготыГрадусы
широтыВели-
чины[Современные
обозначения]4
5
6
7
Всего
1
2
3
4
5
6
7
Всегс
1
2
3
4
5
6
7
S
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1SНа    южной окружности
края
На северной окружности
На южной ручке
На северной ручке
7 звезд четвертой величи
   Созвездие Ворона
Звезда на клюве, общая с
Водяным Змеем111
Звезда на шее у головы
Звезда на груди
Звезда на переднем пра-
вом крыле
Передняя звезда из двух
на заднем крыле
Задняя из них
Звезда  на  конце  лапы,
общая с Гидрой
7 звезд, из них 5 третьей
Созвездие Кентавра
Самая южная из четырех
на голове
Более северная из них
Передняя из двух осталь-
ных, средних
Задняя из них и послед-
няя из четырех
Звезда на левом, предше-
ствующем плече
Звезда на правом плече
Звезда на левой лопатке
Из четырех звезд на тир-
112
се      северная   из  двух
передних
Более южная из них
Из двух остальных звезда
на верхушке тирса
Последняя, южнее этой
Передняя из трех на пра-
вом боку
Средняя из них
Задняя из трех
Звезда на правом пред-
плечье
Звезда на правом локте
Звезда на конце правой
руки
Яркая  звезда  в  начале
человеческого телаДева 7
 Лев 29%
Дева 91/6
Дева 1%
ны.
Дева 15%
Дева 14%
Дева 16%
Дева 13%
Дева 16%
Дева 17
Дева 20%
1 величины, 1 четве
Весы 10%
Весы 10
Весы 9%
Весы 10
Весы б'/б
Весы 15%
Весы 9%
Весы 181/6
Весы 191/6
Весы 22
Весы 22%
Весы 13%
Весы 14
Весы 151/6
Весы 16%
Весы 22%%
Весы 27%
Весы 18-18%
-13%
-161/6
-11%
-21%
-19%
-181/6
-14%%
-12%
-lH/2%
 -18%
)ТОЙ, 1 пятой.
-21%
-18%%
-20%
-20
-25%
-22%
-27%
-22W
-23%%
-181/4
-20%%(?)"3
-28%
-29%
-28
-26%
-25%
-24%
-33%4-3
4
4-5
4
3
3
5
3
3
4
3
5-4
5-4
4-3
5-4
3
3
4
4
4
4
4
4-3
4-3
4-3
4-3
3
4
3-25	Crt
е Crt
П Crt
в Crt
a Crv
е Crv
cj Crv
у Crv
6	Crv
n Crv
/? Crv
2(g) Cen
4(h) Cen
1(1) Cen
3(k) Cen
i Cen
в Cen
d Cen
V Cen
a Cen
c'+c2 Cen
b Cen
v Cen
ц Cen
/б(?)123
 Весы 26%
;й величины, 11 чет
a
Скорпион 27%
Стрелец 3(?)126
Скорпион 26'/з(?)127
Скорпион 20%
Скорпион 25'/б
Скорпион 25
Скорпион 20 Уг Уз
гой величины, 2 пят
юны
Стрелец 91/6
Стрелец 11 Уз
Стрелец 13 Уь
Стрелец 14%'/з
Стрелец 16'/б
Стрелец 17
Стрелец 16%%
Стрелец 16'Л
Стрелец 15 Уь
Стрелец 14%
Стрелец 111/2 %
Стрелец 9%-29%
-17
-15%
-13%
-11 %'/з
-11%%12*
 -10
вертой, 6 пят(
-22%
-25>/2>/4
-26%
-30%
-34%
-33%
-34%(?)128
ой.
-21%
-21
-23(?)130
-20
-18%
-17%
-16
-15%
-15%
-14%1/з
-14%
-\5УгУз4-3
4
4-3
4
4
4-3
4-3
)й.
5
4
4-3
5
4-3
4
4
4
5
5
4
5
4
4
4
6
6
5
5х Lup
п Lup
в Lup
V Lupники].Стрелец 9Уб
пой величины, 6 пя
5ы
Водолей 7
Водолей QVi
Водолей 4Уб
Водолей 5Уз
Водолей 4Уз
Козерог 2SVb
Водолей Щ
Козерог 2%УгУъ
Козерог 25 Уь
 Козерог 2IV2V3
Козерог 21
Козерог 20Уб(?)135
вертой, 2 пятой вел!
цшие в фигуру
Козерог 8
Козерог lV/б
Козерог 14
Козерог 12
Козерог 1ЗУ2У3
Козерог 1ЗУ2У3
i величины, 2 четве;
IX 7 первой величин!
1022138, из них 15 га
49 шестой,    9 туск-187Mic137
в1 Mic(?)
I Gru(?)
в2 Mic(?)
у Mic(?)
a Mic(?)
гьей, 164 четвертой,
порой, 208 третьей,
а также Волосы
2. О положении круга Млечного Пути
   Итак, порядок неподвижных звезд дан нами в приведенном выше
изложении. В дополнение к этому согласно логической последовательности
[изложения] скажем также и о положении круга Млечного Пути, насколько
это возможно сделать и как мы наблюдали каждую из его частей; это
будет попыткой изобразить его форму в различных местах.
    Нужно сказать, что Млечный Путь представляет собой не просто круг,
но некоторый пояс, имеющий как бы цвет молока, в связи с чем он и
получил свое наименование. И этот круг не является во всех частях ни
одинаковым, ни правильным, но различается и по ширине, и по цвету, и
по плотности, и по положению и в одном месте он оказывается даже
раздвоенным, как легко могут заметить с первого взгляда все смотрящие
на него. Что же касается деталей, требующих более тщательного
наблюдения, то мы нашли их такими, как это описано ниже.
   Раздвоенная часть этого пояса имеет [две] так называемые развилки,
одну у Жертвенника, а другую у Птицы. Предшествующий [более западный ]
пояс нигде не касается другого; он образует разрыв у обеих развилок —
и около Жертвенника, и около Птицы. Последующий же пояс соединяется
с остальной частью Млечного Пути и образует [вместе с ней] единый пояс,
посередине которого можно было бы провести большой круг; его-то прежде
мы и опишем, начиная с самой южной его части.
   Эта часть проходит через ноги Кентавра, где [Млечный Путь] является
наиболее разреженным и темным. Звезда [у Cru], находящаяся на сгибе
задней правой ноги, расположена несколько севернее южной линии Млечного
Пути, так же, как и звезды, находящиеся у переднего левого колена \§ Cen ]
и под задней правой лодыжкой |)3 Сги]. Звезда же на нижней части задней
левой ноги расположена посередине Млечного Пути [<5 Cru], а звезды на
лодыжке этой же ноги [a Cru] и на передней правой лодыжке [а Cen]
отстоят к северу от южной дуги приблизительно на 2 градуса, каких в
большом   круге  содержится  360.   Части,   находящиеся   у   задних  ног,
значительно более плотные139.
   В дальнейшем северная дуга Млечного Пути отстоит от звезды на
крестце Зверя [? Lup] приблизительно на градус; южная же часть
занимает место у пламени Жертвенника [? Ara] и касается более северной
\{i Ara] из двух смежных звезд на верхней части очага и более южной [в
Ara] из двух на его основании. Звезды же, находящиеся в более северной
части очага [е1 Ara] и в середине его [а Ara], расположены на самом
Млечном Пути,    и соответствующие части последнего будут наиболее
140
разреженными
   Затем, северная часть Млечного Пути охватывает три сочленения
[в,1,к Sco] перед жалом Скорпиона [G Sco] и следующее за жалом
туманообразное скопление; южная же дуга касается звезды, расположенной
в правой задней пятке Стрельца \r\ Sgr], и захватывает также звезду на
левой руке [<5 Sgr]. Звезда, находящаяся на южной части лука [е Sgr],
расположена вне Млечного Пути, звезда же на острие стрелы [у Sgr] —
в самой его середине. Звезды, находящиеся в северной части лука [Л,,м Sgr],
также лежат на Млечном Пути, отклоняясь чуть больше 1 градуса от обеих
дуг, а именно южная звезда к югу, а северная в противоположную
сторону141.   Часть   [Млечного   Пути]   около   трех   сочленений   [хвоста
   
Скорпиона] значительно более плотная, а часть на острие стрелы очень
плотная и кажется дымообразной.
   Следующая часть менее плотная. Она простирается до Орла, сохраняя
приблизительно одинаковую ширину. Звезда, находящаяся на конце хвоста
Змеи [в Ser], которую держит Змееносец, лежит в чистом воздухе142 и
немного больше, чем на 1 градус отстоит от предшествующей дуги Млечного
Пути. Из расположенных под Орлом ярких звезд две предшествующие
находятся на самом Млечном Пути, причем более южная [Я Aql] отстоит
от задней дуги на 1 градус, а более северная [<5 Aql] — на 2. И задняя
[из двух] звезда [a Aql] из тех, которые находятся на правом плече Орла,
касается этой самой дуги, а предшествующая ей [ц Aql] находится внутри
нее, как и предшествующая [последней] яркая звезда на левом крыле
[у Aql]. Яркая звезда на спине [a Aql] и две, находящиеся с ней на одной
прямой, тоже почти касаются этой дуги . Далее, Стрела целиком
охватывается Млечным Путем; звезда ее, находящаяся на острие [у Sge],
отстоит на 1 градус от восточной дуги, а звезда на оперении |)3 Sge] — на
2 градуса от западной144. Часть Млечного Пути в районе Орла более
плотная, а остальные более разреженные.
   После этого Млечный Путь проходит через Птицу, и дуга, лежащая к
северу и западу, граничит в своем изгибе со звездой, лежащей на южном
плече Птицы [Я Cyg], затем с лежащей под ней на том же [южном] крыле
[? Cyg] и с двумя звездами на южной ноге [v, ? Cyg]; к востоку же и к
югу дуга граничит со звездой, лежащей на конце южной лапы [? Cyg], и
охватывает две звезды, не вошедшие в фигуру [т, a Cyg ], под тем же
самым крылом, так что они отстоят от дуги приблизительно на 2 градуса145.
Часть [Млечного Пути] вокруг этого крыла значительно более плотная.
Следующая за ним часть соединена с этим поясом, но [она] гораздо более
плотная и исходит как бы от другой начальной точки. Они действительно
отклоняются к крайним частям другого пояса, образуя с ним некоторый
промежуток; они примыкают южной стороной к описываемому нами поясу,
который в месте соединения будет очень разреженным. После же разрыва
между обеими частями он становится более плотным, начиная от яркой
звезды в правой части хвоста Птицы [a Cyg] и от туманного скопления
на северном колене [со Cyg]. Затем, слегка поворачиваясь, он сохраняет
свою плотность до звезды на южном колене [? Cyg ] и понемногу разрежается
до тиары Цефея. Северная сторона ограничивается южной звездой из трех
в тиаре [е Сер], а также следующей за этими тремя звездой [<5 Сер];
около нее он образует два выступа, из которых один направляется как бы
к северо-востоку, а другой — как бы к юго-востоку146.
   После этого Млечный Путь охватывает всю Кассиопею за исключением
звезды на конце ноги [i Cas]. Южная дуга определяется звездой на голове
Кассиопеи [? Cas], а северная — звездой на подножии трона [к Cas] и
звездой на голени Кассиопеи [е Cas]147. Остальные окружающие их звезды
[Кассиопеи] расположены все на Млечном Пути, причем места по краям
представляются более разреженным потоком, а посередине Кассиопеи
кажутся уплотненными.
   Дальше правые части Персея тоже охватываются Млечным Путем.
Северную часть, также более разреженную, ограничивает уединенная звезда,
находящаяся вне правого колена Персея [BSC 1314], а с очень плотной
   
южной граничат яркая звезда на правом боку [a Per] и две следующие
звезды из трех, находящихся к югу от нее [V, <5 Per]. На Млечном Пути
располагается также и туманообразное скопление [h, % Per], находящееся
на рукоятке, звезда на голове [т Per], на правом плече [у Per] и на
правом локте [rj Per]. Посередине Млечного Пути лежит четырехугольник
на правом колене [72, Я, 48, ц Per], затем звезда на икре той же ноги
[53 Per]. В его пределах находится также звезда на правой пятке [58 Per]
на небольшом расстоянии от его южного края148.
    После этого пояс идет через Возничего, причем поток представляется
более разреженным. При этом звезда на левом плече, так называемая Коза
[a Aur], и две звезды на правом локте [v, в Aur] почти касаются
северо-восточного края Млечного Пути; небольшая звезда над левой ступней
[14 Aur] лежит на границе с юго-западным краем. Звезда же над правой
ступней \х Aur] находится на полградуса внутри от этого края, а две
смежные  звезды,  находящиеся  на  левой  локтевой  части,  называемые
Козлятами [г/, ? Aur], расположены посередине пояса149.
   Далее Млечный Путь проходит через ноги Близнецов, образуя большое
и достаточно протяженное уплотнение около звезд, находящихся на концах
ног. Задняя звезда из трех звезд по прямой под правой ногой Возничего
[1(H) Gem] и задняя звезда из двух на палице Ориона \х  Ori], а также
1   2
две северные звезды из четырех на его руке [f , f Ori ] ограничивают
передний край Млечного Пути, а яркая звезда под правой рукой Возничего
[к Aur] и звезда на конце последующей ноги заднего Близнеца [? Gem]
находятся приблизительно на 1 градус внутрь от заднего края пояса.
Остальные же звезды на концах ног [rj,fi,v, у Gem] расположены посреди
Млечного Пути150.
   Затем пояс проходит в стороне от Проциона и Пса, оставляя Процион
целиком к востоку и достаточно далеко от Млечного Пути, а Пса — к
западу и также почти целиком вне Млечного Пути. Он как бы выступом
охватывает звезду, находящуюся на спине151 Пса [в СМа], и почти касается
следующих за ней трех звезд на шее Пса [ju, у, i, л СМа], а уединенная
звезда,  расположенная над головой  Пса   [22 Моп],  находится внутри
восточной дуги приблизительно на расстоянии 2 Уг градуса152. Плотность
[Млечного Пути] в этом месте несколько разреженнее.
После этого Млечный Путь проходит через Арго. При этом северная и
передняя звезда из находящихся на щитах кормы [m Pup] ограничивает
западную дугу пояса. Звезда же посередине щита [BSC 2948 + 2949 ], затем
две смежные с ней [3, 1 Pup], яркая звезда в начале палубы у кормила
[? Pup] и средняя из трех на киле [<5 Vel] почти касаются этого края.
Северная звезда из трех на основании мачты [BSC 3439] ограничивает
восточную дугу, тогда как яркая звезда на борту [р Pup] располагается
на 1 градус внутрь от этого [восточного] края, а яркая звезда под
следующим щитом на палубе [Я Vel] находится тоже на 1 градус за
пределами этого края. Южная из двух ярких звезд посередине мачты
ф Рух] касается этого же края, а две яркие звезды на краю киля [у Vel,
X Car] находятся приблизительно на 2 градуса внутрь от предшествующей
153
дуги . В этом месте Млечный Путь соединяется с поясом, проходящим
через ноги Кентавра. В области Арго он в высшей степени разрежен; больше

всего он уплотняется в местах около щитов, около основания мачты и
около края киля.
   Вышеупомянутый пояс154 образует, как мы уже сказали, разрыв между
[развилкой у Птицы] и частью, которую мы описали у Жертвенника.
Начиная с этой точки он включает три сочленения хвоста Скорпиона
[е)Уи,?2 Sco], но оставляет на 1 градус вне западной дуги заднюю из трех
звезд на туловище [т Sco]. Звезда же на четвертом сочленении [rj Sco]
лежит в свободном пространстве между обоими поясами155, отстоя от каждого
из них приблизительно на одинаковое расстояние, немного большее
1 градуса.
   Отсюда предшествующий пояс поворачивает на восток по дуге круга и
ограничивает передний [западный] край Млечного Пути звездой на правом
колене Змееносца [rj Oph], а задний — звездой на его передней голени
[? Oph ]. Предшествующая же звезда из тех, что на конце той же ноги
[36 Oph], касается этого же края. Затем, с западной дугой граничит звезда
на правом локте Змееносца \ц Oph], а с восточной — передняя из двух
на конце той же руки [v Oph], Отсюда идет достаточно большой разрыв
со свободным пространством, в котором расположены две звезды на хвосте
Змеи [?, rj Ser], следующие после звезды на его конце [в Ser]156. Вся
упомянутая часть этого пояса совершенно разрежена и почти воздушна, за
исключением места, включающего три хвостовых сочленения [Скорпиона];
здесь она значительно уплотняется.
I?*' После этого разрыва Млечный Путь начинается вновь от четырех звезд,
следующих за правым плечом Змееносца [66, 67, 68, 70 Oph]. Восточный
край этого пояса ограничивает касающаяся его яркая звезда, уединенно
стоящая под хвостом Орла [? Aql], а противолежащую дугу определяет
звезда, удаленная на некоторое расстояние к северу от названных четырех
[72 Oph]. Отсюда упомянутый пояс становится не только разреженным, но
и сильно сужается в местах, предшествующих клюву Птицы \fi Cyg], так
что имеет вид разрыва. Однако остальная часть этого пояса, от звезды
около клюва и до звезды на груди Птицы [у Cyg], более широкая и
достаточно плотная. Звезда на шее Птицы [rj Cyg] расположена в середине
уплотнения. От звезды на груди некоторая разреженная часть уходит к
северу до звезды на плече правого крыла [д Cyg] и до двух смежных
1     2
звезд на конце правой ноги [о , о Cyg ]. Отсюда, как мы сказали,
начинается разрыв, идущий от упомянутых звезд Птицы до яркой звезды
157
на хвосте [a Cyg]   .

3. Об устройстве небесного глобуса
   Итак, мы указали места расположения различных частей Млечного
Пути. Но мы также хотим построить при помощи глобуса изображение,
180 соответствующее установленным предположениям относительно сферы не-
подвижных звезд, которая перемещается, как и сферы блуждающих светил,
первым движением вокруг полюсов равноденственного круга с востока на
запад и одновременно движется в противоположную сторону вокруг полюсов
зодиака и круга, проведенного через середины зодиакальных созвездий.
Построение глобуса и нанесение созвездий произведем следующим обра-
зом158.
   
   Цвет фона глобуса мы сделаем довольно темным, чтобы он походил на
цвет не дневного, но ночного неба, в котором появляются звезды. Взяв на
нем две точки, расположенные точно на одном диаметре, мы, используя
их в качестве полюсов, опишем большой круг, который всегда будет
находиться в плоскости, проходящей через середины зодиакальных созвездий.
Под прямыми углами к этому кругу и через его полюсы мы проводим
другой круг и, начиная от одной из точек его сечения с первым, делим
круг через середины зодиакальных созвездий на 360 частей, надписывая на
нем числа градусов, насколько это окажется возможным. После этого сделаем
из крепкого и хорошо сохраняющего свою форму материала159 два круга,
которые образовывали бы на поверхностях квадранты и были бы везде
хорошо обточены; пусть меньший из них касается сферы по всей своей 181
вогнутой поверхности, а другой будет немного больше. Посередине выпуклой
поверхности каждого круга вырежем [средние] линии, которые точно
разделят пополам толщину этих кругов; используя эти линии как ориентиры,
160
отрежем одну из половин каждого круга ; при помощи насечек, сделанных
на [оставшейся] половине периметра, разделим полуокружность на 180
частей. Когда это будет сделано, наложим меньший круг так, чтобы
поверхность упомянутого выреза всегда проходила через полюсы равноден-
ственного и зодиакального кругов, а также и через точки солнцеворотов,
и, просверлив его посередине по диаметру у концов выреза, приладим его
при помощи шпеньков к взятым на сфере полюсам круга, проходящего
через середины зодиакальных созвездий, так, чтобы он мог вращаться по
всей сферической поверхности.
   В качестве постоянного начала для созвездий неподвижных звезд
{поскольку не будет хорошо, если мы возьмем точки равноденствий и
солнцестояний на зодиаке глобуса, ибо расстояния наносимых звезд от них
не остаются постоянными) мы выбираем самую яркую звезду, а именно
расположенную во рту Пса161, и на круге, проведенном перпендикулярно
зодиаку через сечение, отмечаем в качестве начальной точки деление,
соответствующее числу градусов широты [которое принято для этой звезды т
в каталоге] от средней линии зодиака по направлению к южному его
полюсу. Мы отмечаем каждую из остальных неподвижных звезд в
последовательности их записи, вращая вокруг полюсов зодиака круг с
разделенным вырезом. Придвигая поверхность вырезанной его стороны к
той точке круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий,
которая отстоит от отмеченного сечения Пса в начале отсчета на то число
градусов, на какое рассматриваемая звезда отстоит по записанной в каталоге
долготе от Пса , и, приходя к точке на вращающейся и разделенной
стороне [широтного круга], отстоящей от средней линии зодиака на число
градусов, соответствующее расстоянию звезды по направлению к северному
или южному полюсу, мы отмечаем там место звезды, накладывая желтый
или для некоторых звезд какой-нибудь другой выбранный цвет соразмерно
и соответственно величине звезды.
   Очертания каждого из созвездий мы сделаем возможно более простыми,
соединяя только одними линиями служащие для их изображения звезды,
причем эти линии не должны очень отличаться от цвета всей сферы, чтобы,
с одной стороны, не была утеряна практическая цель обозначений звезд
по образуемым ими фигурам, а с другой — чтобы наложение пестрых 1«з
цветов не уничтожило сходство изображения с действительностью; это
позволяет нам, когда мы начнем изучать [звездное небо], легче запомнить,
   
а потом сравнить относительные положения звезд, поэтому мы должны
привыкнуть к неприукрашенному изображению звезд также и на глобусе.
    Поместим затем [на глобусе] и расположение круга Млечного Пути в
соответствии с его положениями, очертаниями, сгущениями и разрывами,
как они описаны выше. Затем мы прилаживаем больший из кругов, который
всегда будет изображать меридиан, к объемлющему глобус меньшему и к
полюсам, которые в дальнейшем будут совпадать с полюсами равноденст-
венного круга. Эти точки должны быть отмечены по диаметру на большем
меридианном круге опять на концах вырезанной и разделенной ею стороны,
которая обозначает часть меридиана, находящуюся над поверхностью Земли;
на меньшем же круге, проходящем через обе пары полюсов, они должны
быть расположены по диаметру на концах дуг, отстоящих от полюсов
зодиака на градусы наклону эклиптики, а именно 23;51; по вырезам на
обеих сторонах круга должны быть вставлены маленькие шипы, соответст-
вующие отверстиям для полюсов163.
    Затем вырезанную сторону меньшего из кругов, которая, конечно,
должна быть всегда тождественной с меридианом, проходящим через точки
солнцеворотов, мы будем каждый раз устанавливать на ту из точек деления
зодиака, которая будет отстоять на столько градусов от начала Пса, на
сколько Пес в рассматриваемое время отстоит от точки летнего солнцеворота;
так, для начала царствования Антонина — на 121/3 градусов в направлении,
противоположном последовательности знаков зодиака164. Меридиан мы
сделаем перпендикулярным к находящемуся на основании горизонту так,
чтобы он разделился пополам видимой поверхностью последнего. Он тоже
может вращаться в своей плоскости, и поэтому при помощи делений
меридиана мы сможем поднимать над горизонтом северный полюс на дугу,
соответствующую предполагаемому климату165.
   Не будет никакого вреда для нас, если не оказалось возможным отметить
на сфере положения равноденственного круга и тропиков. Действительно,
на разделенной стороне меридианного круга точка, находящаяся между
полюсами равноденственного круга и отстоящая от каждого из них на
90 градусов четверти круга, будет эквивалентна точкам равноденственного
круга, а точки, отстоящие от нее на 23;51 градуса в обе стороны, будут
обладать свойствами точек каждого из тропиков, а именно северная — лет-
него тропика, а южная — зимнего. Таким образом, передвигая первым
вращением с востока на запад каждую из исследуемых звезд к разделенной
стороне меридианного круга, при помощи его делений мы сможем также
определить расстояние их от тропиков или экватора, как если бы мы были
в состоянии определить их при помощи круга, проходящего через полюсы
равноденственного.

4. О свойственных неподвижным звездам конфигурациях
   После того как мы определили собственные расположения неподвижных
звезд по созвездиям, нам остается рассказать об их конфигурациях. Если
оставить в стороне фиксированные их расположения по отношению друг к
другу, например, когда некоторые из них расположены по прямой или
образуют треугольники или иные фигуры, то из меняющихся их положений
некоторые рассматриваются по отношению к одним только блуждающим
светилам, к Солнцу и Луне или к делениям зодиака; другие же — по
отношению к одной Земле; наконец, [третьи] — по отношению одновременно
   
к Земле и блуждающим светилам, к Солнцу и Луне или к делениям
зодиака.
    Положения неподвижных звезд по отношению к одним только блуждаю-
щим светилам или к частям зодиака вообще определяются или когда звезды
и планеты оказываются на одном и том же круге, проходящем через полюсы i»«
зодиака, или на различных, образуя своими расстояниями треугольники,
квадраты или шестиугольники, т.е. когда они образуют углы или прямые,
или треть прямого угла, или больше, или меньше166. В особом смысле это
бывает, если какое-нибудь из блуждающих светил может пройти под
какой-нибудь неподвижной звездой, причем последние находятся в
образуемой   зодиаком   призме,   включающей   отклонения   по   широте
движущихся светил . По отношению к пяти блуждающим светилам они
определяются по их видимым сближениям или соединениям, по отношению
же к Солнцу и Луне — их заходами, покрытиями и восходами. Мы
называем заходом конфигурацию, при которой какая-нибудь звезда
становится невидимой из-за сияния светила, покрытием, когда она
покрывается центром одного из них, и восходом, когда она становится
видимой, удаляясь от сияния светила.
   Положения же неподвижных звезд по отношению только к Земле бывают
четырех родов, некоторые называют их основными. Это будут восход,
прохождение через меридиан над Землей, заход и прохождение через
меридиан под Землей . Там, где равноденственный круг проходит через
точку непосредственно над головой, все неподвижные звезды восходят и
заходят и при каждом [суточном] обращении один раз проходят через
меридиан над Землей и один раз под Землей, так как полюсы 187
равноденственного круга касаются горизонта, и ни один из параллельных
кругов не будет или всегда видимым, или никогда невидимым. Там же,
где полюс оказывается прямо над головой, ни одна из неподвижных звезд
не восходит и не заходит; равноденственный круг занимает положение
горизонта, и одно из определяемых им полушарий будет всегда вращаться
над Землей, а другое под Землей; так что во время одного оборота каждое
светило два раза проходит через меридиан, одни [светила] над Землей, а
другие под ней169. При других наклонах [равноденственного круга
относительно горизонта], лежащих между указанными, одни круги бывают
или всегда видимыми, или всегда невидимыми, и звезды, заключенные
между ними со стороны полюсов, не будут ни восходить, ни заходить, и
в течение каждого оборота они производят два прохождения через меридиан:
те, которые находятся в вечно видимой области, — над Землей, а
находящиеся в вечно невидимой — под Землей. Остальные же звезды,
находящиеся на больших параллельных кругах, и восходят, и заходят, и
в каждом обращении бывают [в меридиане] один раз над Землей, один iss
раз под ней. Время этих оборотов от одного основного положения до другого
такого же всегда будет одним и тем же; для наших чувств оно составляет
время полного оборота. Время же перехода из какого-нибудь основного
положения в прямо противоположное по диаметру меридианного круга тоже
будет всегда одним и тем же, ибо оно содержит половину одного оборота.
По отношению же к горизонту оно будет всегда одним и тем же, только
если равноденственный круг проходит через точку над головой, ибо [в этом
случае] каждый переход включает половину времени полного оборота, так

как все параллели делятся пополам не только равноденственным кругом,
но и горизонтом. Для других же наклонов время пребывания над и под
Землей не будет одинаковым ни для всех светил вместе, ни для каждого
в отдельности, если только светило не окажется на самом равноденственном
круге, ибо только он один делится горизонтом на равные части и на
наклонной сфере, все же другие круги рассекаются и на неравные, и на
неподобные части. В соответствии с этим время от восхода или захода до
какого-нибудь прохождения через меридиан будет для каждого светила равно
времени от этого прохождения до следующего восхода или захода вследствие
того, что меридиан делит на равные части отрезки параллелей как над,
так и под Землей. Время же от восхода или захода до прохождения через
соответствующий меридиан на наклонной сфере не будет одинаковым [для
всех звезд], разве только на прямой сфере, так как только в этом случае
все отрезки над Землей оказываются равными отрезками под ней. Поэтому
на прямой сфере звезды, одновременно проходящие через меридиан, будут
всегда одновременно восходить и заходить, по крайней мере если их
перемещения вокруг полюсов зодиака не будут заметными170. На наклонной
же сфере звезды, одновременно проходящие через меридиан, не будут
одновременно ни восходить, ни заходить, но более южные звезды будут
всегда позднее восходить и ранее заходить по сравнению с более северными.
    Конфигурации же неподвижных звезд, наблюдаемые по отношению к
Земле и одновременно к планетам или частям зодиака, вообще определяются
тоже или по совместным восходам, прохождениям через меридиан, или по
заходам вместе с какой-нибудь из планет или частей зодиака ; в частности,
по отношению к Солнцу выделяют положения следующих 9 видов.
    Первый вид конфигураций представляет так называемый утренний восход
вместе с Солнцем, когда звезда оказывается вместе с Солнцем на восточном
горизонте. Одна его разновидность называется невидимым поздним утренним
восходом, когда звезда, у которой вот-вот наступит первая видимость,
восходит сейчас же за Солнцем; другая разновидность называется истинным
совместным утренним восходом, когда звезда находится на восточном
горизонте одновременно с Солнцем и в том же месте; еще одна разновидность
называется видимым утренним ранним восходом, когда звезда, начавшая
уходить от Солнца, предшествует своим восходом Солнцу172.
   Второй вид конфигураций — утреннее прохождение через меридиан —
бывает, когда Солнце находится на восточном горизонте, а звезда на
меридиане — над или под Землей. Одна его разновидность опять называется
невидимым утренним прохождением через меридиан, когда звезда проходит
через меридиан сейчас же после восхода Солнца, другая — истинным
утренним прохождением через меридиан, когда звезда проходит через
меридиан одновременно с восходом Солнца; еще одна называется утренним
ранним прохождением через меридиан, когда при прохождении звезды через
меридиан Солнце сейчас же восходит, и если прохождение бывает над
Землей, то оно бывает видимым.
    Третий вид конфигураций называется утренним заходом, когда Солнце
находится на восточном горизонте, а звезда на западном. Опять одна его
разновидность называется утренним невидимым поздним заходом, когда
звезда заходит непосредственно после восхода Солнца, другая — утренним
истинным совместным заходом, когда одновременно с восходящим Солнцем
    
звезда заходит, третья — утренним видимым ранним заходом, когда Солнце
173
тотчас же восходит после захода звезды
   Четвертый вид конфигураций называется полуденным восходом, когда
при нахождении Солнца на меридиане звезда будет на восточном горизонте.
Одна разновидность [этого положения] опять называется дневным и
невидимым восходом, когда звезда восходит при прохождении Солнца через
меридиан над Землей, другая же — ночным и видимым, когда звезда
восходит при прохождении Солнца через меридиан под Землей.
   Пятый вид конфигураций называется полуденным прохождением через
меридиан, когда и звезда, и Солнце оказываются одновременно на
меридиане. И здесь имеются две разновидности: дневных и невидимых,
когда Солнце проходит через меридиан над Землей, а звезда вместе с ним
проходит меридиан или над Землей, или в диаметрально противоположном
положении под Землей; а также две ночных, когда Солнце проходит через
меридиан под Землей, из них одна будет невидимой, когда звезда и сама
вместе с Солнцем проходит через меридиан под Землей, другая же видимая,
когда она в диаметрально противоположном направлении проходит через
меридиан над Землей.
   Шестой вид конфигураций называется полуденным заходом, когда при
нахождении Солнца на меридиане звезда будет на западном горизонте.
Одна разновидность будет опять дневной и невидимой, когда при
прохождении Солнца через меридиан над Землей звезда заходит; другая
же ночной и видимой, когда звезда заходит при прохождении Солнца через
меридиан под Землей.
Седьмой вид конфигураций называется вечерним восходом, когда при
нахождении Солнца на западном горизонте звезда будет на восточном. Здесь
опять одна разновидность [этого положения] называется вечерним поздним
видимым восходом, когда при заходе Солнца звезда тотчас же вос-
174
ходит ; другая называется вечерним одновременным истинным заходом,
когда звезда восходит вместе с заходом Солнца; третья называется вечерним
ранним невидимым восходом, когда при восходе звезды Солнце сейчас же
заходит.
   Восьмой вид конфигураций называется вечерним прохождением через
меридиан, когда Солнце находится на западном горизонте, а звезда на
меридиане над или под Землей. Здесь опять одна разновидность называется
вечерним видимым поздним прохождением через меридиан, когда после
захода Солнца звезда сейчас же проходит через меридиан, другая —
вечерним истинным одновременным прохождением через меридиан, когда
одновременно Солнце заходит, а звезда проходит через меридиан, а
третья — вечерним невидимым ранним прохождением через меридиан, когда
после прохождения звезды через меридиан Солнце сейчас же заходит.
   Девятый вид конфигураций называется вечерним заходом, когда звезда
вместе с Солнцем оказывается на западном горизонте. Здесь опять одна
разновидность [этого положения] называется вечерним видимым поздним
заходом, когда звезда, у которой имеет место последняя видимость, заходит
сейчас же после Солнца , другая называется вечерним истинным
совместным заходом, когда звезда и Солнце заходят одновременно, третья
же называется вечерним невидимым ранним заходом, когда звезда, начавшая
уходить от Солнца, заходит перед Солнцем.

5. Об одновременных восходах, кульминациях
и заходах неподвижных звезд

   Для указанных положений времена истинных, т.е. относимых к центру
Солнца, совместных восходов, кульминаций и заходов могут быть
определены нами немедленно геометрически, если известны положения
[рассматриваемых звезд] по созвездиям [на небесном глобусе]. Точки же
средней линии зодиака, с которыми одновремен-
но кульминирует, восходит и заходит каждая
звезда, могут быть геометрически определены
176
при помощи приведенных выше теорем
   Пусть сначала в случае одновременных
кульминаций кругом, проходящим через полюсы
равноденственного и зодиакального кругов, будет
АВГД [рис. 8.1 ], полуокружностью равноденст-
венного будет АЕГ около полюса Z, а зодиака —
ВЕД около полюса Н. Через полюсы зодиака
проведем отрезок большого круга НЭКЛ, на
котором в точке 0 вообразим исследуемую
неподвижную звезду. Положения звезд по отно-
шению к полученным таким образом кру-
гам177 могут быть определены по нашим наблюдениям и каталогу. Затем
через полюсы равноденственного круга и звезду 0 проведем отрезок
Z0MN большого круга.
Теперь очевидно, что находящаяся в 0 звезда кульминирует одновре-
178
менно с точками М и N равноденственного круга и зодиака ; но положения
этих точек и дуга 0N известны, что выяснится из дальнейшего рассмотрения.
Действительно, на основании доказанного в первых книгах этого сочинения,
две дуги больших кругов АН и AN пересечены дугами больших кругов
НЛ и NZ, и отношение стягивающей удвоенную дугу НА к стягивающей
удвоенную AZ складывается из отношения стягивающей удвоенную дугу
НЛ к стягивающей удвоенную ЛЭ и отношения стягивающей удвоенную
дугу N0 к стягивающей удвоенную ZN. Но каждая из дуг AZ, ZN и
НК будето равна четверти окружности, и по каталогу звезд будут известны
дуги К0 широты и KB на основе долготы, а поскольку известен наклон
зодиакальной линии, то будут заданными и дуги ZH и КЛ. Следовательно,
ясно, что из искомых дуг будут заданными НА, AZ, ЛЭ, НЛ и NZ, а при
179
их помощи определится и остающаяся дуга N0   .
   Далее, поскольку отношение стягивающей удвоенную дугу ZH к
стягивающей удвоенную НА складывается из отношения стягивающей
удвоенную дугу Z0 к стягивающей удвоенную 0N и отношения стягивающей
удвоенную дугу NA к стягивающей удвоенную АА, на основании
изложенного выше из искомых дуг известны ZH и НА, затем Z0 и 0N;
и дуга ЛА определится по KB на основе дуг равноденственного круга,
которые восходят одновременно с дугами наклонного круга в прямой сфере;
и, следовательно, будет известной и остающаяся NA. Аналогичным образом
по дуге NA определится и дуга MB зодиака180.
    Если известны одновременно кульминирующие точки181, то точки равно-
денственного круга и зодиака, одновременно восходящие и заходящие с
[данной ] неподвижной звездой, легко могут быть найдены следующим способом.
    
    Пусть АВГД будет кругом меридиана [рис. 8.2], АЕГ — полуокружно-
стью равноденственного круга вокруг полюса Z, а ВЕД — полуокружностью
горизонта. Пусть звезда восходит в точке Н
горизонта. Через точки Z, Н проведем четверть
ZH0 большого круга. Поскольку опять две дуги
больших кругов, AZ и АЕ, пересечены дугами
Z0 и ЕВ, отношение стягивающей удвоенную
дугу ZB к стягивающей удвоенную ВА скла-
дывается из отношения стягивающей удвоенную
дугу ZH к стягивающей удвоенную НЭ и
отношения стягивающей удвоенную дугу ЭЕ к
стягивающей удвоенную АЕ. Но среди искомых
каждая из дуг ZA, Z0 и ЕА равна четверти
окружности, по высоте полюса определится и
ZB, при условии же совместности кульминаций
найдутся точка Э равноденственного круга и дуга ЭН. Следовательно, будет
182
известной и остающаяся дуга 0Е
   Для одновременных заходов легко сообразить, что если дугу, равную
дуге ЭЕ, отложить от Э в направлении против последовательности знаков —
пусть это будет дуга ЭК, — то звезда [Н, восходящая одновременно с
Е] будет заходить одновременно с точкой К равноденственного круга, так
как и в этом случае заход совершается на равной ВН дуге [горизонта], и
на приведенной фигуре от меридиана в направлении против последователь-
ности знаков откладывается угол, равный углу между AZ и Z.&
[отсчитываемому] в направлении последовательности знаков.
    И на основании доказанного выше для каждого климата по одновременно
восходящим и заходящим точкам равноденственного круга и зодиака
определяются градусы зодиака, одновременно восходящие с точкой Е
равноденственного круга и звездой и одновременно заходящие с точкой
К и звездой . И ясно, что одновременные с центром Солнца восходы,
кульминации и заходы неподвижных звезд — так называемые истинные
основные положения — будут совершаться в те самые времена, когда
истинное положение Солнца будет совпадать с указанными точками зодиака.

6. О гелиакических восходах и заходах неподвижных звезд
    Нельзя, однако, считать, что изложенный геометрический метод задания
одного только положения звезды [по долготе и широте] будет достаточным
также и для определения гелиакических восходов и заходов. Действительно,
если, например, будет найдено, с какой точкой зодиака одновременно
восходит звезда, то на основании этого нельзя еще, используя те же методы,
определить дугу, на какой должно стоять под горизонтом Солнце, чтобы
рассматриваемая звезда стала впервые видимой или невидимой. Эта дуга
не может быть везде одинаковой для всех звезд и всех положений, но
она изменяется как в зависимости от величины звезды, так и от ее
расстояния по широте от Солнца и от изменений наклонений зодиака [по
1 АА
отношению к горизонту]   .
    Представим себе, что АВГД будет кругом меридиана [рис. 8.3],
AEZr — полуокружностью зодиака, а ВЕД — полуокружностью горизонта
вокруг полюса Н. Ясно, что если из звезд, одновременно восходящих с
точкой Е зодиака, звезда с большей величиной начнет становиться видимой,
когда Солнце будет находиться под Землей на расстоянии, например, дуги
    
EZ, то звезда с меньшей величиной, хотя бы она и находилась от Солнца
на равном по широте расстоянии, появится впервые, когда Солнце будет
находиться на дуге, большей EZ, так как эффект от ее сияния будет
слабее. И, далее, для звезд одинаковой величины, если расположенная
ближе по широте к точке Е [звезда] будет увидена на расстоянии EZ
[Солнца от горизонта], то [звезда] находящаяся на большем, чем у [точки]
Е, расстоянии по широте появится при меньшем расстоянии Солнца. Так
как для одного и того же положения Солнца под Землей сияние Солнца
на самом зодиаке [в точке Е] больше, чем на
более от него дальнем расстоянии [по широте].
Что же касается звезд одинаковой величины,
восходящих на одинаковых расстояниях по ши-
роте, то чем больше будет зодиак склоняться к
горизонту, делая меньшим угол AEZ, тем на Bi
большем расстоянии EZ будет впервые ста-
новиться видимой звезда.
   Действительно, если мы, как это сделано на
следующем рисунке [рис. 8.4], проведем до-
полнительно через полюс горизонта и точку Z,
где находится Солнце, большой круг, который
будет, конечно, перпендикулярным к горизонту,
а именно H0ZK, то расстояние Солнца под
Землей для тех же самых звезд будет всегда
оставаться равным Z0, так как при одинаковости
этого расстояния будут одинаковыми и лучи
Солнца над поверхностью Земли. Если же, как
мы сказали, дуга 0Z будет оставаться одной и
той же, то дуга EZ при положении зодиака ближе BJ
к перпендикуляру в точке восхода будет меньше,
а при более наклонных [положениях зодиака] —
больше.
   Следовательно, если мы хотим определить по
зодиаку расстояние Солнца под Землей, то
необходимы наблюдения для каждой отдельной
1 ог
звезды . А если и измеренное перпендикулярно
горизонту расстояние, как, например, Z0 на
приведенном чертеже, не остается одним и тем же для всех климатов и
для одних и тех же звезд вследствие того, что солнечное сияние не будет
таким же в более плотном воздухе северных стран, то нам понадобятся
наблюдения не только для одного климата, но и для каждого из остальных.
   Если же для одних и тех же звезд дуга Z0 остается той же самой
везде, как можно считать вероятным на основании того, что при изменении
климата сияния и Солнца, и звезд необходимо должны изменяться
одинаково, то для нас будут достаточными и расстояния, наблюденные
только в одном климате . Все же остальные можно будет исследовать
геометрически, даже если в различных климатах будет изменяться наклонение
зодиака и по отношению к нему будет происходить упомянутое движение
сферы неподвижных звезд в направлении последовательности знаков.
   Действительно, пусть на указанном рисунке [8.4] будет дано расстояние
EZ на основании наблюдений в одном каком-нибудь климате. Теперь,
поскольку опять две дуги больших кругов, НВ и HZ, пересечены дугами
В0 и ZA, отношение стягивающей двойную дугу АВ к стягивающей двойную
дугу ВН складывается из отношения стягивающей двойную дугу АЕ к
   
стягивающей двойную дугу EZ и отношения стягивающей двойную дугу
Z0 к стягивающей двойную дугу ЭН.
    Но из рассматриваемых дуг ВН и ЭН каждая будет равна четверти
окружности. И так как точка Е [зодиака], одновременно с которой восходит
звезда, известна, то будет также заданной и кульминирующая точка А
меридиана, определяемая по теории времен восхода. Вследствие этого будет
известной дуга АЕ, а по наблюдениям — и EZ; будет также известной и
дуга АН, определяемая по расстоянию точки А от равноденственного круга
при помощи таблицы склонений, и по расстоянию равноденственного круга
от точки зенита по тому же меридиану, которое будет равно высоте полюса.
Следовательно, будет известной и остающаяся дуга Z0187.
   Так как эта дуга будет найдена и остается везде одинаковой, то мы
при помощи тех же самых рассуждений определим через нее получающиеся
при других наклонах величины EZ. Действительно, отношение стягивающей
удвоенную дугу НВ к стягивающей удвоенную АВ складывается из
отношения стягивающей удвоенную дугу НЭ к стягивающей удвоенную
ZQ и отношении стягивающей удвоенную ZE к стягивающей удвоенную
ЕА. Из рассматриваемых дуг мы ZQ предполагаем теперь известной, а
точка Е, одновременно с которой восходит звезда в рассматриваемом
климате, дана согласно показанному выше. Точно так же будут даны дуги
1 ftft
ЕА и ВА, и, следовательно, будет известной и остающаяся дуга EZ зодиака
   Тот же самый способ мы можем применить и для гелиакических заходов,
если только начертим на таком же рисунке с другой стороны положение
зодиака согласно его наклону, так что дугу горизонта мы теперь
предполагаем западной. Итак, чтобы не опускать совершенно этой темы,
мы считаем, что сказанного будет вполне достаточно для получения выводов
и в этой теории. Действительно, получаемые из такого рода предсказаний
выводы, вообще говоря, ненадежны не только вследствие очень больших
различий в климатах и наклонениях зодиака, но также и вследствие самого
множества звезд; и, кроме того, и сами наблюдения появлений звезд очень
трудны и неясны вследствие различия наблюдателей и состояния воздуха
в местах наблюдения, что может сделать неодинаковыми и ненадежными
времена первой видимости, как я сам хорошо узнал на опыте по различиям,
получаемым в такого рода наблюдениях.
    Кроме того, вследствие перемещения сферы неподвижных звезд нельзя
думать, чтобы всегда даже в одном и том же климате оставались
постоянными те же самые одновременные восходы, кульминации и заходы,
что и в настоящее время, вычисленные при помощи тех же самых числовых
данных и чертежей . Поэтому мы отказались от ненужной траты времени,
удовлетворяясь для настоящего времени только приближенными [данными
о восходах и заходах звезд], поскольку все это в каждом случае можно
100
получить или по самим записям наших предшественников , или непосред-
ственно по положению звезд на глобусе. Даже указания на состояние
воздуха, получаемые из [наблюдений] таких восходов и заходов (если
приписывать причину различий [в погоде] именно этим обстоятельствам,
а не местам [Солнца] в зодиаке), как мы почти всегда видим, не являются
ни правильными, ни неизменными, так как эта причина действует лишь
самым общим образом и не зависит от точного времени самих первых
восходов или заходов звезд, а скорее от положений относительно Солнца,
выраженных как интервалы в круглых числах, и частично от различий в
положениях по отношению к Луне191.

Книга IX


1. О последовательности расположения сфер Солнца,
Луны и пяти планет
    
    Мы изложили приблизительно все, что можно в основных чертах сказать
относительно неподвижных звезд на основании достигнутых до сих пор
успехов в понимании связанных с ними явлений. Так как для полноты
сочинения нам остается еще теория пяти планет, мы во избежание
повторений изложим ее сначала насколько возможно в общем виде, а потом
присоединим выводы для каждой из планет в отдельности.
   Прежде всего нужно сказать о последовательности, в которой располо-
жены их сферы. Мы видим согласие почти всех первостепенных математиков
в том, что все эти сферы располагаются как бы вокруг полюсов наклонного
круга или круга, проходящего через середины знаков зодиака; что все они
ближе к Земле, чем сфера неподвижных звезд, и дальше от нее, чем
лунная сфера; что три сферы, а именно самая большая сфера Сатурна,
затем более близкая к Земле и вторая по величине сфера Юпитера и,
наконец, находящаяся под ней сфера Марса, являются более далекими от
207 Земли, чем остальные сферы, включая и [сферу] Солнца. Что же касается
сфер Венеры и Меркурия, которые более древние математики помещали
под солнечной, то некоторые из более поздних помещают их выше Солнца1
на том основании, что последнее никогда не затмевалось никакой из планет.
Нам, однако, это рассуждение кажется неосновательным, поскольку
возможно, что некоторые светила могут вообще находиться не в плоскости,
проходящей через Солнце и место нашего наблюдения, а в какой-нибудь
другой. Вследствие этого они не будут казаться нам загораживающими его,
подобно тому как  [зачастую] не происходит затмений в синодических
обращениях Луны, когда последняя проходит под Солнцем2.
    Поскольку мы никоим образом не можем уйти от этих соображений,
так как ни одно из этих светил не дает заметного параллакса, на основании
которого только и можно определять расстояния, то наиболее вероятным
нам кажется порядок, установленный более древними [астрономами]. В нем
находящееся в середине Солнце более естественно разделяет планеты,
могущие находиться [по долготе] на любых от него расстояниях, и те, для
которых это не имеет места, но которые всегда движутся около него; при
этом, конечно, в перигеях не получается такого расстояния, которое могло
бы произвести какой-нибудь заметный параллакс3.

2. Об изложении гипотез относительно планет
   
   Вот что можно сказать о расположении сфер. Так как мы поставили
себе цель объяснить для пяти планет все наблюдаемые у них неравенства,
как для Луны и Солнца, при помощи круговых равномерных движений,
которые по природе свойственны божественному, чуждому беспорядка и
неравномерности, то хотя и следует высоко ценить окончательное и
правильное достижение этого как истинную цель математической теории в
философии4, но все-таки эта задача представляет очень большие трудности
и как следует еще не была решена никем из предшествующих5.
Действительно, что касается исследований периодических движений каждого
из светил, то при сопоставлении наблюдений малейшая возможная ошибка
наблюдателя в дальнейшем может привести к заметной разнице очень
быстро, если эти наблюдения охватывают небольшой промежуток времени,
или более медленно, если этот промежуток больше. Время же, для которого
мы имеем записи планетных наблюдений, слишком коротко для подробных
теорий и делает ненадежным предсказания для значительно большего
промежутка времени6. Что же касается исследования неравномерных
движений, то немалым препятствием является то обстоятельство, что для
каждой планеты наблюдаются два неравенства, и оба они неодинаковы как
по величине, так и по временам возвращения; одно из них наблюдается 209
по отношению к Солнцу, другое же — к различным частям зодиака; и
оба они настолько смешаны друг с другом, что очень трудно различать,
'	7
что именно относится к какому .
   Далее, древние наблюдения записаны недостаточно достоверно и не так
уж подробно. Те из них, которые дают достаточно непрерывные ряды,
содержат только стояния и гелиакические восходы и заходы. Однако никакая
из этих особенностей не может быть определена достаточно надежно, ибо
стояния не могут дать точное время, так как за много дней до и после
стояния изменение места [планеты] становится неощутимым. Что же
касается гелиакических восходов и заходов, то для наблюдателей первой и
последней видимости одновременно с ними не только исчезают их места,
но можно также ошибиться и относительно времени из-за различий в погоде
и в [остроте] зрения наблюдателей. Вообще говоря, наблюдения [планет],
произведенные для довольно больших расстояний от какой-нибудь не-
подвижной звезды, если они не сделаны во всем тщательно и со знанием
дела, дают с трудом вычисляемое и подверженное случайностям значение
о
измеряемой величины . Это происходит не только потому, что проводимые
через наблюдаемые светила [звезду и планету] линии не всегда образуют
прямые углы с кругом, проходящим через середины зодиакальных созвездий,
но могут образовывать углы любой величины (откуда, естественно,
вследствие разнообразия наклонений зодиака [относительно горизонта] 210
проистекают большие колебания в определении расстояний по долготе и
широте), но и по той причине, что расстояния [между звездой и планетой]
у горизонта представляются глазам большими, а в меридиане — меньшими9.
Вследствие этого, конечно, возможно, что измеренные расстояния будут
иногда большими, иногда же меньшими тех, которые имеют место в
действительности.
   Поэтому я полагаю, что Гиппарх выказал себя наиболее любящим
истину, поскольку как на основании всего изложенного, так и главным
   
образом потому, что, у него не было более ранних таких же точных
наблюдений, какие он сам оставил для нас, он занялся только исследо-
ваниями гипотез относительно Солнца и Луны и показал [так точно], как
только было возможно, что они всецело объясняются при помощи круговых
равномерных движений. Относительно же пяти планет, как можно видеть
из дошедших до нас его произведений, он даже не положил начала
разработке их теории, но только собрал их наблюдения, расположив в
удобном для [практического ] использования виде, и показал при их помощи,
что наблюдавшиеся явления не соответствовали тогдашним математическим
гипотезам10. Он, по-видимому, считал, что еще не в состоянии как следует
объяснить их движения, так как каждая из планет имела два неравенства,
и у каждой из них получались неодинаковые попятные движения такой-то
величины, в то время как другие математики доказывали геометрически,
что все это происходит в силу только одного и всегда неизменного
неравенства и попятного движения. Однако можно было клясться Зевсом,
что этого нельзя объяснить ни при помощи эксцентрических кругов, ни в
силу гомоцентрических с зодиаком кругов, несущих эпициклы, ни при
помощи того и другого одновременно (что зодиакальное неравенство имеет
такую-то величину, а неравенство по отношению к Солнцу такую-то). А
ведь почти только на это опирались те, кто хотели определять круговые и
равномерные движения при помощи так называемых вечных таблиц11; при
своих ошибках и отсутствии доказательств одни из них совсем не достигли
своей цели, а другие достигли лишь отчасти.
    Он также считал, что человеку, достигшему такой степени точности и
любви к истине при помощи всех математических наук, не следует
останавливаться на этой ступени, как это делают другие, не заботящиеся
[о совершенстве ]. Желающий убедить самого себя и других интересующихся
необходимо должен был определить величину и периоды каждого из
неравенств при помощи очевидных и согласных друг с другом наблюдений,
а затем, соединив их снова вместе, определить положение и последователь-
ность кругов, при помощи которых они получаются, и найти такой характер
их движений, чтобы, наконец, можно было почти целиком согласовать
явления с характерными особенностями гипотез этих кругов. Это, как я
полагаю, показалось трудным и ему самому.
   Я сказал это не для того, чтобы похвалиться [собственными дости-
жениями]. Но когда мы где-нибудь по самому существу дела вынуждены
пользоваться при доказательствах чем-нибудь, не вполне отвечающим
истине, как, например, когда мы при доказательствах используем простые
круги, описываемые движением планет на их сферах, [предполагая] для
большего удобства, что они расположены в одной плоскости с кругом,
12
проходящим через середины знаков зодиака , или когда мы делаем
какие-нибудь предположения, не исходя просто из наблюдаемых данных, а
пользуясь понятиями, полученными из постоянных проб и прилажи-
ваний13, или когда мы соглашаемся допустить, что не во всех случаях
характер движения или наклона кругов остается одним и тем же и
неизменным14, мы знаем, что использование чего-либо подобного не
повредит ни в чем поставленной цели, если от этого не получается заметной
ошибки. Мы знаем, что сделанные без доказательства предположения в
случае их полного согласия с явлениями не могут быть найдены без
какого-нибудь  [фундаментального] метода или соображения, даже если

трудно изложить способ их определения. Вообще причина для первых начал
или совсем не может быть изложена по существу, или же излагается с
большими трудностями. Мы знаем, что видоизменения гипотез, связанных
с кругами [планет], не могут показаться кому-нибудь удивительными и
противоречащими разуму, если обратить внимание на разнообразие явлений
для различных светил. Поскольку круговое равномерное движение исполь-
зуется для [объяснения движений] всех [планет] без исключения, отдельные 213
явления оказываются связанными с принципом, более фундаментальным и
более широко приложимым, чем подобие гипотез.
   Для отдельных доказательств мы использовали наиболее надежные
наблюдения, а именно относящиеся к соединениям или наибольшим
сближениям светил друг с другом или с Луной, полученные главным образом
инструментально при помощи астролябии. При этом луч зрения [наблюда-
теля] как бы направляется при помощи расположенных по диаметру
отверстий, и равные расстояния всегда соответствуют равным дугам, а
положение каждой планеты по долготе и широте относительно зодиака
можно точно определить вращением относительно наблюдаемых светил
изображающего  зодиак  круга  астролябии,  а  широту  —  при  помощи
отверстий, расположенных диаметрально на кругах15, проходящих через
полюсы зодиака.

3. О периодических возвращениях пяти планет
   
   После этих предварительных замечаний мы приведем сначала для каждой
из пяти планет наименьший период, за который она совершает приближенное
возвращение по обеим аномалиям согласно тому, что вычислил Гиппарх16.
Эти периоды исправляются нами после сопоставления их [т.е. планет]
позиций [разделенных большим промежутком времени], что стало возмож-
ным после того, как мы определили их аномалии. Это будет объяснено в
своем месте, однако мы предварительно приводим их [эти периоды] здесь, 2н
чтобы иметь отдельные средние движения по долготе и аномалии,
представленные в виде, удобном для вычисления аномалий. В действитель-
ности не должно быть заметной разницы в вычислениях, даже если
использовать определенные более грубо средние движения17. Следует иметь
в виду, что вообще движение по долготе определяется перемещением центра
эпицикла по эксцентрическому кругу, а по аномалии — перемещением
светила по эпициклу.
Итак, мы находим, что 57 аномалистических периодов Сатурна
распределяются на 59 наших солнечных годов, а именно начинающихся и
кончающихся у тех же самых тропических или равноденственных точек. К
этому промежутку следует еще прибавить приблизительно 11/21/4 день;
указанное время охватывает 2 полных обращения [по долготе] светила с
добавлением W3V20 градуса. Действительно, для трех светил, постоянно
18
обгоняемых Солнцем , в течение каждого периода возвращения Солнце
делает всегда столько полных оборотов, сколько составляют вместе взятые
числа обращений светила по долготе и возвращений аномалий. Для Юпитера 2,5
мы находим, что 65 аномалистических периодов распределяются на 71
солнечный год, определенный подобным образом с недостатком при-
близительно 4V2V3V1S дня, или на 6 оборотов светила от одной тропической
точки к той же самой с недостатком 41/21/3 градуса. Затем 37 ано-



   Подобным же образом, умножив каждое годовое движение на 18, как
это делается при составлении таблиц Солнца и Луны, получим средний
избыток по аномалии за период в 18 египетских лет, а именно:
для Сатурна       135;36,14,39,11,30,0   градусов,
для Юпитера      169;30,33,44,27,0,0    градусов,
для Марса	152;33,5,18,45,51,0    градуса,
для Венеры	90;27,44,34,23,46,30 градусов,
для Меркурия , 251 ;0,45,45,53,45,0    градус.
   Мы можем также найти средние движения по долготе, соответствующие
величинам, полученным выше, без обращения числа оборотов [по долготе]
в градусы и деления их на число дней в периоде, установленном выше
для каждой планеты. Для Венеры и Меркурия мы, очевидно, получим те
же самые величины, что и изложенные выше для Солнца, для остальных
же трех светил [требуемые] числа получатся после вычитания чисел их
[средних движений по] аномалии из соответствующей величины среднего
движения Солнца . Таким образом, мы получим для среднего дневного
движения по долготе:
для Сатурна      0;2,0,33,31,28,51     градусов,
для Юпитера     0;4,59,14,26,46,31   градусов,
для Марса	0;31,26,36,53,51,33 градусов.
Среднее часовое движение будет:
для Сатурна      0;0,5,1,23,48,42,7,30 градусов,
для Юпитера     0;0,12,28,6,6,56,17,30 градусов,
для Марса	0;1,18,36,32,14,39     градусов.
Среднее месячное движение:
для Сатурна        1;0,16,45,44,25,30    градус,
для Юпитера       2;29,37,13,23,15,30  градуса,
для Марса	15;43,18,26,55,46,30  градусов.
Среднее годовое движение:
для Сатурна        12; 13,23,56,30,30,15 градусов,
для Юпитера       30;20,22,52,52,58,35 градусов,
для Марса	191;16,54,27,38,35,45 градус.
Среднее движение за 18 лет:
для Сатурна      220; 1,10,57,9,4,30     градусов,
для Юпитера      186;6,51,51,53,34,30  градусов
(избыток над полными оборотами),
для Марса	203;4,20,17,34,43,30  градуса
(избыток над полными оборотами).
   Теперь ради удобства использования мы для каждой планеты по порядку
последовательным суммированием упомянутых величин составим таблицы
средних движений. Как и другие таблицы [средних движений], они будут
состоять из 45 строк и подразделяться на 3 части, из которых первая будет
содержать последовательные кратные для 18-летних периодов, вторая — го-
довые и часовые движения, а третья — месячные и дневные. Таблицы эти
таковы25.

4. Таблицы средних движений по долготе и аномалии	220-249
для пяти планет
См. с. 283-297

Сатурн
Среднее положение [для начальной эпохи]	Место апогея 14; 10° Скорпиона.
по долготе 26;43° Козерога	Среднее положение по аномалии 34;2°

18-летние
периодыГрадусы долготыГрадусы аномалии18
36
54220°
80
3001'
2
310"
21
3257"'
54
519/V
18
27 4V
9
1330w
0
30135°
271
4636'
12
4814"
29
4339"'
18
57ll/v
23
3430V
0
30ow
0
072
90
108160
20
2404
5
743
54
548
45
4236
45
5418
22
270
30
0182
318
9324
1
3758
13
2736
15
5546
57
90
30
00
0
0126
144
162100
320
1808
9
1016
27
3840
37
343
12
2131
36
4030
0
30229
4
14013
49
2642
57
1134
13
5220
32
4330
0
300
0
0180
198
21640
260
12011
13
1449
0
1131
28
2530
39
4845
49
540
30
0276
51
1872
38
1426
41
5531
11
5055
6
180
30
00
0
0234
252
270340
200
6015
16
1722
33
4422
20
1757
7
1658
3
730
0
30322
98
23451
27
310
25
3929
8
4729
41
5230
0
300
0
0288
306
324280
140
018
20
2155
6
1714
11
825
34
4312
16
210
30
09
145
28039
16
5254
9
2327
6
454
15
270
30
00
0
0342
360
378220
80
30022
23
2428
39
505
3
052
1
1025
30
3430
0
3056
192
32728
4
4138
53
724
3
4338
50
130
0
300
0
0396
414
432160
20
24026
27
280
11
2257
54
5119
28
3739
43
480
30
0103
238
1417
53
2922
37
5122
1
4013
24
360
30
00
0
0450
468
486100
320
18029
30
3133
44
5548
45
4346
55
552
57
130
0
30150
285
616
42
186
20
3519
58
3847
59
1030
0
300
0
0504
522
54040
260
12033
34
356
17
2840
37
3414
23
326
10
150
30
0196
332
10854
31
750
4
1917
56
3522
33
450
30
00
0
0558
576
594340
200
6036
37
3939
50
131
28
2541
50
5919
24
2830
0
30243
19
15443
19
5634
48
314
54
3356
8
1930
0
300
0
0612
630
648280
140
040
41
4212
23
3423
20
178
17
2633
37
420
30
0290
66
20132
8
4418
32
4712
51
3031
42
540
30
00
0
0666
684
702220
80
30043
44
4645
56
714
11
835
44
5346
51
5530
0
30337
112
24821
57
332
16
3110
49
285
17
2830
0
300
0
0720
738
756160
20
24047
48
4918
29
406
3
03
12
210
4
90
30
024
159
2959
46
2246
0
157
46
2640
51
30
30
00
0
0774
792
810100
320
18050
52
5350
1
1257
54
5130
39
4813
18
2230
0
3070
206
34258
34
1030
44
595
44
2314
26
3730
0
300
0
0




Юпитер
Среднее положение [для начальной эпохи]      Место апогея 2;9° Девы.
по долготе 4;41° Весов	Среднее положение по аномалии 146;4°

18-летние
периодыГрадусы долготыГрадусы аномалии18
36
54186°
12
1986'
13
2051"
43
3551"'
43
3553"
47
4034V
9
4330W
0
30169°
339
14830'
1
3133"
7
4144"'
28
1327"
54
21о"
0
00VI
0
072
90
10824
210
3627
34
4127
19
И27
19
1134
27
2118
52
270
30
0318
127
2972
32
314
48
2257
42
2648
15
420
0
00
0
0126
144
162222
48
23548
54
13
54
463
55
4715
8
21
36
1030
0
30106
276
8533
4
3556
29
311
55
409
36
30
0
00
0
0180
198
21661
247
738
15
2238
30
2238
30
2255
49
4245
19
540
30
0255
64
2345
36
637
11
4424
8
5330
57
240
0
00
0
0234
252
270259
85
27129
36
4214
6
5714
6
5836
30
2328
3
3730
0
3043
213
2237
7
3818
52
2637
22
651
18
450
0
00
0
0288
306
32497
283
ПО49
56
349
41
3350
42
3417
10
412
46
210
30
0192
1
1718
39
1059
33
751
35
2012
39
60
0
00
0
0342
360
378296
122
30810
17
2425
17
925
17
957
51
4555
30
430
0
30340
150
31940
11
4141
14
484
49
3333
0
270
0
00
0
0396
414
432134
320
14631
37
441
52
441
53
4538
32
2539
13
480
30
0129
298
10812
42
1322
56
2917
2
4654
21
480
0
00
0
0450
468
486332
158
34551
58
536
28
2037
29
2119
12
622
57
3130
0
30277
87
25644
14
453
37
1131
15
015
42
90
0
00
0
0504
522
540171
357
18312
19
2512
4
5513
4
560
53
476
40
150
30
066
235
4515
46
1644
18
5244
29
1336
3
300
0
00
0
0558
576
5949
195
2132
39
4647
39
3148
40
3240
34
2749
24
5830
0
30214
24
19347
17
4825
59
3357
42
2657
24
510
0
00
0
0612
630
648207
34
22053
0
723
15
724
16
821
15
833
7
420
30
03
172
34219
49
207
40
1411
55
4018
45
120
0
00
0
0666
684
70246
232
5813
20
2759
50
420
51
432
55
4916
51
2530
0
30151
321
13050
21
5148
22
5524
9
5339
6
330
0
00
0
0720
738
756244
70
25634
41
4834
26
1835
27
1943
36
300
34
90
30
0300
109
27922
53
2329
3
3738
22
60
27
540
0
00
0
0774
792
81082
269
9555
2
810
2
5311
3
5523
17
1043
18
5230
0
3088
258
6754
24
5510
44
1851
35
2021
48
150
0
00
0
0




Марс
Среднее положение [для начальной эпохи]     Место апогея 16;40° Рака.
по долготе 3;32° Овна	Среднее положение по аномалии 327; 13°

18-летние
периодыГрадусы долготыГрадусы аномалии18
36
54203°
46
2494'
8
1320"
40
017"'
35
5234/V
9
4443"
27
1030W
0
30152°
305
9733'
6
395"
10
1518"'
37
5645/V
31
175lv
42
330W
0
072
90
10892
295
12817
21
2621
41
110
27
4518
53
2854
37
210
30
0250
42
19512
45
1821
26
3115
33
523
49
3524
15
60
0
0126
144
162341
184
2730
34
3922
42
23
20
383
37
124
48
3130
0
30347
140
29251
24
5737
42
4711
30
4820
6
5257
48
390
0
0180
198
216230
73
27643
47
5222
43
355
13
3047
21
5615
58
420
30
085
238
3030
3
3753
58
37
26
4538
24
1030
21
120
0
0234
252
270119
323
16656
0
523
44
448
6
2331
6
4025
9
5230
0
30183
335
12810
43
169
14
193
22
4156
41
273
54
450
0
0288
306
3249
212
559
13
1824
44
541
58
1615
50
2536
19
30
30
0280
73
22549
22
5525
30
350
18
3713
59
4536
27
180
0
0342
360
378258
101
30422
26
3125
45
633
51
959
34
946
30
1330
0
3018
171
32328
1
3440
46
5156
15
3431
17
29
0
510
0
0396
414
432147
350
19335
39
4426
46
726
44
143
18
5357
40
240
30
0116
268
617
41
1456
2
752
11
3048
34
2042
33
240
0
0450
468
48636
239
8248
52
5727
47
719
37
5428
2
377
51
3430
0
30213
6
15847
20
5312
18
2349
7
266
52
3715
6
570
0
0504
522
540286
129
3321
5
1028
48
812
29
4712
47
2118
1
450
30
0311
103
25626
59
3228
34
3945
4
2223
9
5548
39
300
0
0558
576
594175
18
22114
18
2329
49
94
22
4056
31
528
12
5530
0
3049
201
3545
38
1144
50
5541
0
1941
27
1321
12
30
0
0612
630
64864
267
ПО27
31
3629
50
1057
15
3240
15
5039
22
60
30
0146
299
9145
18
510
5
1137
56
1558
44
3054
45
360
0
0666
684
702313
156
35940
44
4930
51
1150
7
2524
59
3449
33
1630
0
30244
36
18924
57
3016
21
2734
53
1116
2
4827
18
90
0
0720
738
756202
45
24953
57
231
52
1243
0
189
43
180
43
270
30
0342
134
2873
36
932
37
4330
49
834
19
50
51
420
0
0774
792
81092
295
1386
10
1532
52
1335
53
1153
27
210
54
3730
0
3079
232
2442
15
4848
53
5926
45
451
37
2333
24
150
0
0




Венера





Меркурий





5. Основные положения относительно гипотез о пяти планетах        250
   За таблицами [средних движений] должна последовать теория нера-
венств, получающихся при движении пяти планет по долготе. Общий очерк,
касающийся их определения, мы сделаем в таких словах.
    Согласно сказанному выше для достижения упомянутой цели [мо-
делирования движений планет] можно применить два вида движений,
являющихся одновременно и самыми простыми, и вполне ей удовлетво-
ряющими, а именно движение, совершающееся при помощи кругов,
эксцентрических по отношению к зодиаку, и другое — при помощи
гомоцентрических кругов, несущих эпициклы. Равным образом для каждого
светила имеются два вида неравенств: одно, усматриваемое по отношению
к частям зодиака, и другое, касающееся положения относительно
Солнца.
   Что касается последнего, то из непрерывно наблюдающихся изменений
относительных положений [Солнце—планета] в одних и тех же частях
зодиака27, а также из того, что для пяти планет время перехода от наиболее
быстрого движения к среднему всегда больше времени, потребного для
перехода от среднего движения к наиболее медленному, мы усматриваем,
что эта характерная особенность не может быть получена при помощи
гипотезы эксцентриситета, ибо последняя дает как раз противоположное, а
именно, что при ее допущении наиболее быстрое движение имеет место в 251
перигее. Кроме того, в обеих наших гипотезах дуга от перигея до точки
со средним движением будет меньше дуги от последней упомянутой точки
до апогея, но в гипотезе с эпициклом может получиться, что наиболее
быстрое движение совершается не в перигее, как у Луны, а наоборот, в
апогее, что будет иметь место, когда светило, начиная от апогея эпицикла,
движется не против направления знаков зодиака, как это, например, делает
Луна, но в направлении последовательности. На основании этих соображений
мы предполагаем, что это неравенство производится при помощи эпи-
ЦИКЛОВ    .
   Что же касается неравенства, наблюдающегося в различных частях
зодиака, то мы находим из [наблюдений] дуг эклиптики между [последо-
вательными] гелиакическими восходами или относительными положениями
[планета—Солнце ] одного и того же типа, что имеет место противоположное:
время от наименьшей скорости до средней всегда больше времени от средней
скорости до наибольшей. Хотя это свойство может быть получено при
помощи каждой из упомянутых гипотез, как мы показали при доказательстве
их эквивалентности в начале изложения теории Солнца29, но все же оно
скорее свойственно теории эксцентра. Поэтому мы предполагаем, что
указанное неравенство получается как раз соответственно этой гипотезе,
поскольку другое [неравенство] может быть определено только при помощи
гипотезы с эпициклом как наиболее соответствующей30.
   Но при дальнейшем сравнении отдельных наблюдаемых положений
планет с выводами, получающимися из соединения обеих гипотез, 252
обнаруживается, что дело совсем не будет таким простым, поскольку
плоскости, в которых мы рисуем эксцентрические круги, не будут
неподвижными, и расстояние от тропических и равноденственных точек до
прямой, проходящей через центры этих кругов ([планетного] эксцентра и
зодиака), на которой усматриваются перигеи и апогеи, не остается всегда
одним и тем же. Точно так же центры перемещающихся по эксцентрическим
   
кругам эпициклов, совершая равномерное вращение в направлении после-
довательности знаков, не описывают в равные времена одинаковые углы
вокруг центров этих кругов. Кроме того, и апогеи эксцентров совершают
некоторое небольшое движение в направлении последовательности знаков
относительно тропических точек; это движение тоже будет равномерным [и
происходящим] вокруг центра зодиака и для всех планет почти одинаково
с предположительно совершаемым сферой неподвижных звезд движением,
т.е. на 1 градус в 100 лет, как можно видеть из предшествующего изложения.
Мы нашли, кроме того, что для всех планет, кроме Меркурия, центры
эпициклов перемещаются по кругам, хотя и равным [по величине]
эксцентрическим, производящим аномалию, но описанным не вокруг [их ]
центров, а вокруг точек, делящих пополам прямые, соединяющие центры
упомянутых кругов и зодиака. И только для Меркурия [центром круга,
несущего эпицикл] будет точка [Н, см. рис. 9-В в примечаниях], настолько
удаленная от центра [Z] вращающего его круга, насколько этот центр
отстоит по направлению к апогею от центра [круга А], производящего
аномалию, а последний — от центра [Е], где находится глаз наблюдателя .
Действительно, для одной лишь этой планеты мы обнаруживаем, как это
имеет место для Луны, что эксцентрический круг вращается вокруг этого
центра [Z] в сторону, противоположную движению эпицикла, [а именно]
против последовательности знаков, и совершает один оборот в течение года.
Поэтому рассматриваемая планета в течение одного обращения дважды
бывает в наибольшей близости к Земле подобно тому, как это делает Луна
в течение одного месяца.


6. О характере и различиях между гипотезами

    Конкретные особенности принятого соединения обеих гипотез на основе
рассмотренных  выше   [явлений],  может  быть,  лучше  разъяснить  так.
Согласно   гипотезе   для   других   планет   (кроме   Меркурия)   вообразим
эксцентрический   круг  АВГ   около   центра   А
[рис. 9.1 ]. Пусть АДГ будет диаметром, прохо-
дящим через А и центр зодиака, а точка Е на
нем будет центром зодиака, или точкой зрения
наблюдателя; пусть в точке А будет апогей, а в
Г перигей. Разделив расстояние АЕ пополам в
точке Z, опишем из Z как из центра радиусом
АА окружность НвК, равную,  конечно, АВГ.
Затем вокруг центра в опишем эпицикл AM и
проведем соединительную прямую АвМА.
   Прежде всего мы должны предположить, что
плоскость эксцентрических кругов будет наклонна
к плоскости зодиака, а также и плоскость
эпицикла наклонна к плоскости эксцентра; этого,
как мы покажем далее, требует наличие движений
светил по широте. Что же касается движений по
долготе, то ради простоты мы предположим, что все они совершаются в
плоскости зодиака, так как для долготы не получается никаких заметных
различий при таких величинах наклонения, какие мы получим далее для
32
каждого из светил .
   После этого скажем, что вся плоскость равномерно вращается вокруг
центра Е в направлении последовательности знаков, причем апогеи и перигеи
   

будут перемещаться на 1 градус в 100 лет, а диаметр Л0М эпицикла будет
вращаться вокруг центра А тоже равномерно в направлении последователь-
ности знаков в соответствии с обращениями планеты по долготе; вместе с 255
ним будут вращаться и точки Л и М эпицикла, а центр 0 будет всегда
двигаться по эксцентру H0K, само же светило равномерно вращается по
эпициклу ЛМ, совершая возвращения к тому
диаметру [эпицикла], который всегда направлен
к центру А, в соответствии со средним периодом
аномалии, относящейся к Солнцу; и в апогее
[эпицикла]   Л   это  движение   происходит   в
зз
направлении последовательности знаков .
   Гипотезу относительно Меркурия мы могли
бы наглядно представить так. Пусть АВГ будет
эксцентрическим кругом аномалии с центром
А [рис. 9.2], а диаметр АДЕГ проходит через
А, центр Е зодиака и апогей А. На АГ по
направлению к апогею отложим [прямую] AZ,
равную АЕ. Теперь, не трогая всего остального,
заставим всю плоскость вместе с апогеем А
вращаться вокруг центра Е в направлении последовательности знаков, как
и у других планет; пусть эпицикл равномерно вращается вокруг центра
А в направлении последовательности [знаков], движимый прямой АВ, а
светило перемещается по эпициклу, как и другие планеты. После этого
пусть центр [Н] второго эксцентра, во всех отношениях одинакового с
первым и несущего центр [К] эпицикла, будет вращаться вокруг точки
Z равномерно и с одинаковой [как у эпицикла] скоростью, но только в 256
противоположную ему сторону, т.е. против последовательности знаков, и
движущей его прямой пусть будет ZH0. Таким образом, по отношению к
точкам зодиака каждая из прямых АВ и ZH0 в течение одного года будет
один раз возвращаться в исходное положение, по отношению же друг к
другу, естественно, два раза. Расстояние ZH центра [второго эксцентра]
от точки Z будет всегда оставаться одинаковым и равным каждой из прямых
ЕА и AZ. Таким образом, в движении против последовательности знаков
он [т.е. центр Н ] всегда будет описывать около центра Z радиусом ZH
малый круг, который будет проходить через центр А первого и неподвижного
эксцентра. Равным образом подвижный эксцентр будет каждый раз
описываться радиусом Н0, равным АА, вокруг центра Н (как в нашем
случае 0К) и, наконец, эпицикл будет всегда иметь на нем центр (как
на чертеже, в точке К)34.
   Пожалуй, мы лучше разберемся в этих гипотезах, если для каждой
планеты определим значения соответствующих величин, причем причины,
побудившие нас к использованию той или другой гипотезы, во многих 257
отношениях выявятся нагляднее.
    Следует, однако, предупредить, что периодические возвращения по
долготе не будут иметь место по отношению к одним и тем же точкам
круга, проходящего через середины знаков зодиака, и [одновременно] по
отношению к апогеям и перигеям эксцентров вследствие предположенного
их перемещения. Поэтому приведенные выше в таблицах средние движения
по долготе не могут дать наблюдаемых возвращений к апогеям эксцентров,
    
а дают их только по отношению к тропическим и равноденственным точкам
35
в соответствии с принятой нами продолжительностью года .
    Итак, прежде всего необходимо показать на основании указанных
гипотез, что если средние положения планеты по долготе будут определяться
с обеих сторон от апогеев или перигеев одинаковыми расстояниями, то
получающиеся от зодиакального неравенства разности будут для каждого
положения одинаковыми, равно как и наибольшие расстояния планеты на
36
эпицикле от тех же самых точек среднего положения .

   В самом деле, пусть АВГД будет эксцентрическим кругом, по которому
перемещается центр эпицикла [рис. 9.3]; пусть Е будет его центром, а
АЕГ — диаметром, на котором мы предпо-
ложим находящимися центры Z зодиака и
Н производящего аномалию эксцентра, т.е.
точку, вокруг которой, как мы сказали,
совершается среднее равномерное движение
эпицикла. Проведем находящиеся на оди-
наковых  расстояниях  от  апогея  прямые
258	BH0 и ДНК, так что углы АНВ и АНД
будут равными; вокруг точек В и Д опишем
одинаковые эпициклы; проведем соедини-
тельные прямые BZ и AZ и из точки Z
нашего зрения касательные ZA и ZM к
эпициклам.
   Я утверждаю, что угол ZBH, представ-
ляющий неравенство от зодиакальной ано-
малии, будет равен HAZ, а наибольшее
отклонение BZA, обусловленное эпициклом, точно так же будет равно
AZM. На основании этого будут равны и величины наибольших отклонений
[по обе стороны от линии апсид] от средних [положений], получающиеся
в результате совместного действия [гипотез].
   Из точек В и Д опустим на ZA и ZM перпендикуляры ВА и ДМ, а
из Е на В© и ДК перпендикуляры ES и EN. Так как угол SHE равен
NHE , углы при N и S прямые и сторона ЕН общая у равноугольных
треугольников, то NH равна SH, а также перпендикуляр EN равен ЕЕ.
259	Следовательно,   прямые  В©  и  ДК  будут  находиться  на  одинаковых
расстояниях от центра Е; значит, будут равны и они, и их половины , а
после вычитания [SH из BS и NH из ДН] — и их остатки ВН и ДН.
Но сторона HZ является общей, и заключенные между равными сторонами
углы BHZ и ДНг равны. Следовательно, основание BZ будет равно
основанию AZ, а угол HBZ равен углу НДг. Но также и радиус эпицикла
ВА равен ДМ и углы при Л и М прямые. Значит, и угол BZA равен углу
AZM. Что и требовалось доказать.
   Пусть теперь в случае гипотезы для Меркурия АВГ будет диаметром
[рис. 9.4], проходящим через центры и апогей кругов, и пусть А будет
центром зодиака, В — центром эксцентра, производящего аномалию, а Г
будет точкой, вокруг которой движется центр несущего эпицикл эксцентра.
Проведем опять с каждой стороны прямые ВД и BE, определяющие
равномерные движения эпицикла в направлении последовательности знаков,
а также прямые TZ и ГН, определяющие вращение эксцентра против
   
последовательности знаков со скоростью, равной скорости эпицикла. В таком
случае, очевидно, углы при Г и В равны, и прямые ВА и TZ, а также 260
BE и ГН параллельны. На TZ и ГН возьмем центры эксцентрических
кругов; пусть это будут © и К; описанные вокруг них эксцентры, на

А
Рис. 9.4
которых находятся эпициклы, должны пройти через точки А и Е. Построив
снова вокруг точек А и Е равные эпициклы, проведем соединительные
прямые АА и АЕ и касательные АА и AM к эпициклам. Следует доказать,
что и в этом случае угол ААВ зодиакального неравенства будет равен
АЕВ, а угол AAA наибольшего отклонения на эпицикле будет равен
ЕАМ.
   Проведем соединительные прямые BG и ВК, 0Д и КЕ и опустим
перпендикуляры TN и ГЕ из точки Г на В А и BE, а из точек А и Е —
перпендикуляры AZ и ЕН на TZ и ГН и перпендикуляры АА и ЕМ на
АА и AM. Так как угол TBN равен ГВЕ, углы при N и Е прямые и MI
линия ГВ общая, то прямая TN будет равна ГЕ, т.е. AZ равна ЕН . Но
также прямая 0А равна КЕ40 и углы при Z и Н прямые. Следовательно,
угол A0Z равен ЕКН, а угол Г0В равен ГКВ, ибо мы положили прямую
©Г равной ГК, ГВ общая, а углы ©ГВ и КГВ равны. Таким образом,
остающийся угол В®А будет равен ВКЕ41, а основание ВА равно основанию
BE. Но сторона ВА также общая и угол ABA равен ЕВА; значит, основание
АА равно основанию АЕ, а угол ААВ равен углу АЕВ. Рассуждая
аналогичным образом, получаем, что если ДА равна ЕМ, а углы при А и
М прямые, то угол AAA будет тоже равен углу ЕАМ. Это и требовалось
доказать.

7. Определение положения апогея планеты Меркурий
и его перемещения
   Установив это, мы сначала следующим образом определили, на каких
градусах  круга,  проходящего  через  середины  зодиакальных  созвездий, 262
находится апогей планеты Меркурий. Мы отыскали наблюдения наибольших
отклонений восточных и западных положений планеты, когда последние
были одинаково удалены от среднего положения Солнца, иными словами,
от среднего положения рассматриваемой планеты42. Действительно, если мы
найдем такие положения, то на основании доказанного выше точка
зодиакального круга, лежащая посередине между двумя такими поло-

жениями, будет необходимо содержать апогей эксцентра . Для этой цели
мы взяли некоторое число наблюдений, правда, небольшое, так как такое
точное равенство встречается очень редко; они могут дать наглядное
представление о предложенном. Более новые из этих наблюдений таковы.
    [1] Мы сами в 16 году Адриана, в египетском месяце Фаменот, вечером
с 16-го на 17-е число наблюдали при помощи астролябии планету Меркурий
в наибольшем расстоянии от среднего положения Солнца. Тогда он,
наблюдаемый по отношению к самой яркой из Гиад, был виден по долготе
на 1 градусе Рыб44. Но в соответствующее время среднее положение Солнца
было на 9V2V4 градусах Водолея. Следовательно, наибольшее вечернее
расстояние планеты от среднего положения оказалось равным 211/4 градусу45.
[2] А в 18 году Адриана, в египетском месяце Эпифи, утром с 18-го
263	на 19-е планета Меркурий, находясь на наибольшем расстоянии [от среднего
Солнца], казалась очень маленькой и темной; наблюдаемая по отношению
к яркой из Гиад она казалась находящейся на \SV2V4 градусах Тельца46.
И в то же самое время среднее положение Солнца было на 10 градусах
Близнецов. Отсюда наибольшее утреннее расстояние от среднего положения
оказалось равным тому же самому 21V4 градусу.
    Таким образом, поскольку в одном из этих наблюдений среднее
положение планеты было на 9V2V4 градусах Водолея, а в другом — на
10 градусах Близнецов, находящаяся посередине между ними точка средней
линии зодиака будет соответствовать 10 градусам Овна без V% части градуса;
в этой точке находился в этот момент конец диаметра, проведенного через
апогей.
    [3] Далее, в первом году Антонина, вечером с 20-го на 21-е число
египетского месяца Эпифи мы наблюдали при помощи астролябии планету
Меркурий в наибольшем расстоянии от среднего положения Солнца.
Наблюдаемый тогда по отношению к звезде на сердце Льва он находился
на 7 градусах Рака47. Но в соответствующее время среднее положение
Солнца было на IOV2 градусах Близнецов. Следовательно, наибольшее
вечернее расстояние от среднего положения было тогда 26градусов.
    [4] Точно так же в 4 году Антонина, в египетском месяце Фаменот,
тоже утром с  18-го на  19-е число Меркурий,  бывший в наибольшем
264	расстоянии [от среднего Солнца] и наблюдавшийся по отношению к звезде,
называемой Антарес, находился на 13^2 градусах Козерога48, а среднее
положение Солнца было на 10 градусах Водолея. Следовательно, отсюда
наибольшее утреннее расстояние от среднего положения оказалось равным
тем же самым 26 V2 градусам.
    Таким образом, поскольку в одном из этих наблюдений среднее
положение планеты было на IOV2 градусах "^Близнецов, а в другом — на
10 градусах Водолея и находящаяся посередине между ними точка средней
линии зодиака соответствует IOV4 градусам Клешней, то в этом положении
в этот момент находился конец проведенного через апогей диаметра.
Следовательно, из этих наблюдений мы находим, что апогей должен попасть
приблизительно на 10 градусов Овна или Клешней49; согласно же древним
наблюдениям наибольших расстояний он был на 6 градусе того же знака,
как можно будет заключить из нижеследующего.
    
     [5] Действительно, в 23 году по Дионисию, 21-го числа месяца Гидрона
Стилбон51, утром находился на расстоянии трех лун к северу от самой
блестящей звезды в хвосте Козерога . Упомянутая неподвижная звезда
находилась тогда по отношению к принимаемым нами начальным точкам,
т.е. к точкам равноденствий или солнцеворотов, на 221/з градусах Козерога.
На таком же расстоянии была и планета Меркурий; а среднее положение
Солнца было на 181/6 градусах Водолея. Время же это соответствовало 486
году после Набонассара и утру с 17-го на 18-е число египетского месяца
Хойак. Следовательно, наибольшее утреннее расстояние [Меркурия] от
среднего положения [Солнца] оказалось равным 251/21/3 градусам.
   В дошедших до нас наблюдениях мы не находим наибольшего расстояния,
в точности равного указанному, но при помощи двух наблюдений мы
следующим образом вычислили равное ему приблизительно расстояние.
    [6] Действительно, в том же самом 23 году по Дионисию, вечером 4-го
Таврона [Меркурий] на три луны отставал от прямой, проведенной через
рога Тельца; в своем движении он казался отстоящим от общей [линии]
го
более чем на 3 луны к югу . Таким образом, по отношению к нашим
начальным точкам он находился на 23Уз градусах Тельца. И это время
опять соответствовало 486 году Набонассара, вечеру с 30-го числа месяца
[Мехира] на 1-е Фаменота54, когда среднее положение Солнца было на
291/2 градусах Овна. Итак, наибольшее вечернее расстояние от среднего
положения оказалось равным 241/б градусам.
    [7] В 28 году по Дионисию, вечером 7-го Дидимона Меркурий был на
одной прямой с головами Близнецов, находясь к югу от южного Близнеца
на расстоянии, которое на 1/з часть луны меньше удвоенного расстояния
между головами55. Таким образом, тогда планета Меркурий по отношению
к нашим начальным точкам находилась на 291/з градусах Близнецов. А это
время соответствовало 491 году после Набонассара и вечеру с 5-го на 6-е
число египетского месяца Фармути, когда среднее положение Солнца было
на 21/г '/з градусах Близнецов. Следовательно, и здесь [наибольшее]
расстояние было равным 261/2 градусам.
   Теперь, когда среднее положение Солнца было на 29 Уг градусах Овна,
наибольшее расстояние равнялось 241/6 градусам, а для 21/2I/3 градусов
Близнецов расстояние было 261/г градусов; утреннее же расстояние,, для
которого мы искали противоположное ему, было 251/2I/3. Следовательно,
если мы примем, что ему где-то соответствует среднее, то и вечернее
расстояние будет равно тем же 75УгУъ градусам на основании разности
средних мест для двух приводимых ниже наблюдений. Действительно,
разность средних положений в обоих наблюдениях получается равной
ЗЗ1/3 градусам, разность же наибольших отклонений — 21/3 градусам. Таким
образом, I2/3 градус, на который 25УгУъ превышают 241/б, соответствует
приблизительно 24 градусам; если мы прибавим их к 291/2 градусам Овна,
то получим среднее положение, по отношению к которому наибольшее
вечернее расстояние окажется равным тем же самым 251/2I/3 градусам, что
и для утреннего, и будет соответствовать 231/г градусам Тельца56. И средняя
точка между 181/б градусами Водолея и 231/г градусами Тельца находится
на 51/21/3 градусах Овна.

    [8] Далее, в 24 году по Дионисию, вечером 28-го Леонтона Меркурий
на основании расчетов Гиппарха предшествовал Колосу на расстояние
немногим больше 3 градусов, так что по отношению к нашим начальным
точкам он тогда находился на 191/2 градусах Девы . Это время
соответствовало 486 году после Набонассара и вечеру 30-го числа египетского
месяца Паини, когда среднее положение Солнца было на HVjVz градусах
Льва. Следовательно, наибольшее вечернее расстояние от среднего поло-
жения оказалось равным 21 Уз градусу. Соответствующее ему точно утреннее
расстояние мы вычислили опять на основании двух нижеследующих
[наблюдений ].
го
    [9] Действительно,  в 75 году халдеев,  14-го числа месяца Дия
Меркурий утром был на расстоянии половины локтя над звездой южной
59
чаши [Весов] , так что по отношению к нашим начальным точкам он
находился тогда на 141/g градусах Клешней. И это время соответствовало
512 году после Набонассара и утру с 9-го на 10-е число египетского месяца
Тот, когда среднее положение Солнца находилось на 5Ve градусах
Скорпиона. Следовательно, наибольшее утреннее расстояние равнялось 21
градусу.
    [10] А в 67 году халдеев, 5-го Апеллея Меркурий утром был на поллоктя
выше северной части лба Скорпиона, так что, по-нашему, он находился
на 21/3 градусах Скорпиона60. Это же время соответствовало 504 году после
Набонассара и утру с 27-го на 28-е число египетского месяца Тот, когда
среднее положение Солнца было на 2AV2V3 градусах Скорпиона. Следова-
тельно, само расстояние оказалось равным 221/2 градусам.
   Теперь, так как опять в двух этих наблюдениях разность средних
положений составляет \9Уз градусов, а наибольших расстояний — I1/2 гра-
дус, отсюда следует, что Уз одного градуса, на которые 21 Уз градус искомого
расстояния превышает 21 градус наименьшего, соответствуют приблизитель-
но 9 градусам. Если мы прибавим их к 5Ve градусам Скорпиона, то получим
среднее положение, для которого наибольшее утреннее расстояние окажется
равным 21 Уз градусу вечернего; это положение соответствует 14И градусам
Скорпиона61. И также средняя точка между 271/2I/3 градусами Льва и
141/б градусами Скорпиона будет находиться самое большее на 6 градусах
Клешней.
    Итак, на основании этих наблюдений и точных сравнений видимых
положений для других планет мы нашли, что диаметры, проходящие через
апогеи и перигеи пяти планет, совершают некоторое перемещение вокруг
центра зодиака в направлении последовательности знаков и что это
перемещение совершается в одинаковое время с перемещением сферы
неподвижных звезд. Поскольку последняя на основании доказанного выше
перемещается приблизительно на 1 градус в течение 100 лет, то за 400 лет,
охватывающих время, прошедшее от этих древних наблюдений вплоть до
наших, апогей Меркурия, находившийся на 6 градусах62, передвинулся
приблизительно на 4 градуса и находится теперь на 10 градусах63.

8. О том, что планета Меркурий также в течение одного оборота
дважды становится в ближайшее к Земле положение64
   В соответствии с этим мы исследовали величины получающихся
наибольших отклонений, когда среднее положение Солнца оказывалось в
апогее Меркурия, а также в диаметрально противоположном месте. Это мы
определяли не из древних наблюдений, но из наблюдений, сделанных нами
при помощи астролябии; в наблюдениях такого рода лучше всего познается
польза этого прибора. Действительно, если наблюдаемые планеты не
оказываются поблизости от заранее выбранных звезд, положения которых
известны, как это чаще всего и бывает с Меркурием, вследствие того, что
очень редко можно увидеть большую часть неподвижных звезд на
одинаковых с ним расстояниях от Солнца, то при помощи наблюдений
звезд, находящихся на гораздо больших расстояниях, можно точно
определить положения наблюдаемых светил как по долготе, так и по
широте65.
   Так вот, в 19 году Адриана, в ночь с 14-го на 15-е число египетского
месяца Атир утренний Меркурий, находившийся в наибольшем отклонении
и сравниваемый со звездой в сердце Льва, наблюдался на 20Vs градусах
Девы66, а среднее положение Солнца было на 91/4 градусах Клешней, так
что наибольшее отклонение оказалось равным 19 V20 градусам.
    В том же самом году, вечером 19-го Пахона Меркурий опять находился
в наибольшем отклонении и сравниваемый с блестящей звездой в Гиадах

наблюдался на 41/3 градусах Тельца , а среднее положение Солнца было
на Hi/12 градусах Овна. Отсюда наибольшее отклонение оказывалось равным
231/4 градусам. Таким образом, ясно можно было видеть, что
апогей эксцентра был в Клешнях, а не в Овне .
    После того как это установлено, пусть АВГ будет
диаметром [рис. 9.5], проходящим через апогей. Предположим,
что точка В будет центром зодиака и местом, где находится
глаз наблюдателя, точка А соответствует 10 градусам Клешней,
а Г — 10 градусам Овна. Вокруг А и Г опишем равные
эпициклы, на которых находятся точки А и Е, и проведем
из В к ним касательные прямые ВА и BE и соединим центры
с точками касания перпендикулярами АА и ГЕ. Так как в
Клешнях наибольшее утреннее отклонение от среднего поло-
жения наблюдалось равным 191/20 градусам, то угол ABA будет
равняться 19;3 градусам, каких в четырех прямых углах
содержится 360, или 38;6 таким, 360 которых составляют два
прямых угла. Таким образом, дуга, стоящая на прямой АД,
Рис. 9.5 будет равняться 38; 6 градусам, каких в круге, описанном около
прямоугольного треугольника АВД, будет 360; стягивающая ее
прямая АА будет равна приблизительно 39;9 частям, каких в гипотенузе
АВ содержится 12069.
   Затем, поскольку в Овне наблюденное вечернее наибольшее отклонение
от среднего положения равнялось 23 V4 градусам, угол ГВЕ будет равняться
23; 15 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360, или 46;30
градусам, каких в двух прямых углах содержится 360. Таким образом, дуга
на ГЕ будет равна 46;30 градусам, каких в описанной около прямоугольного
   
треугольника ГВЕ окружности содержится 360, а стягиваемая ею прямая
ГЕ будет равна 47;22 частям, если гипотенузу ВГ положить равной 120.
Следовательно, если прямая ГЕ равняется 39;9 вследствие равенства АА и
ГЕ как радиусов эпицикла, а прямая АВ — 120 частям, то прямая ВГ
будет равна 99;9 таким частям, а вся прямая АВГ — 219;9. Если мы
разделим ее пополам в точке Z, то половина AZ будет равна 109; 34, а
70
расстояние между В и Z — 10; 25 таким же частям .
   Теперь очевидно, что либо точка Z будет центром того эксцентра, на
котором всегда находится центр эпицикла, либо вокруг нее будет вращаться
центр упомянутого круга; действительно, только таким образом и может
центр эпицикла находиться, как показано, на одинаковом расстоянии от
Z в каждом из взятых по диаметру положений. Но если бы точка Z была
центром эксцентра, на котором всегда находится центр эпицикла, то этот
эксцентр был бы неподвижным, и из всех положений наиболее близким к
Земле (т.е. совпадающим с перигеем) было бы то, которое получалось в
Овне, так как ВГ — наименьшая прямая из всех секущих, проведенных
из В к описанной около Z окружности. Однако положение в Овне не будет
самым близким к Земле по сравнению с другими, но положения в Близнецах
и Водолее оказываются более близкими к Земле, и к тому же с
приблизительно равными расстояниями. Таким образом, ясно, что центр
упомянутого эксцентра вращается вокруг точки Z в противоположную сторону
вращения эпицикла, т.е. против последовательности знаков, и делает один
оборот в течение одного периода [обращения эпицикла]. Таким образом, в
этом движении центр эпицикла будет наиболее близким к Земле два раза в
течение одного обращения71.
   А то, что в Близнецах и Водолее эпицикл является более близким к
Земле, чем в Овне, легко можно увидеть из приведенных выше наблюдений.
Действительно, в наблюдении 16-го Фаменота в 16 году Адриана наибольшее
вечернее отклонение от среднего положения равнялось 211/4 градусу, в
наблюдении же 18-го Фаменота72 4 года Антонина наибольшее утреннее
отклонение от среднего положения составляло 261/2 градусов, причем в
обоих наблюдениях среднее положение Солнца было на 10 градусах Водолея.
Точно так же в наблюдении 19-го Эпифи 18 года Адриана наибольшее
утреннее отклонение от среднего положения равнялось 21V4 градусу, а в
первом году Антонина, 20-го Эпифи наибольшее вечернее отклонение от
среднего положения равнялось 261/2 градусам, и в обоих этих наблюдениях
среднее положение Солнца было на 10 градусах Близнецов . Таким образом,
если сложить обращенные в противоположные стороны наибольшие откло-
нения в Водолее и Близнецах, то получится 471/21/4 градусов, а оба
отклонения в Овне охватывают вместе [только] 461/2 градусов, так как по
наблюдениям вечернее отклонение, которое равнялось утреннему, составило
231/4 градуса74.

9. Об отношении и величине аномалий Меркурия
    После этих предварительных замечаний остается показать, около какой
точки прямой АВ совершается возвращение эпицикла в годовом равномерном
движении в направлении последовательности знаков, а также каково будет
расстояние от Z центра эксцентрического круга, совершающего движение
    
г	i75
против последовательности знаков в такое же время [что и эпицикл] .
Для этого исследования мы использовали два наблюдения наибольших
отклонений, как утреннего, так и вечернего, причем в обоих наблюдениях
среднее положение отстояло на четверть окружности в одну и ту же сторону
от апогея, ибо в этом месте получается наибольшая разница зодиакальной
аномалии.
   В 14 году Адриана, вечером 18-го числа египетского месяца Месоре,
как мы нашли В наблюдениях, произведенных Теоном, наибольшее
отклонение Меркурия от Солнца было, как он говорит, когда планета была
на 3V2V3 градуса сзади звезды, что на сердце Льва76. Таким образом, по
отношению к нашим начальным точкам Меркурий находился приблизительно
на 6V3 градусах Льва, а среднее положение Солнца было тогда на IOV12
градусах Рака, так что наибольшее вечернее расстояние Меркурия составляло
26V4 градусов.
   Во 2 же году Антонина, утром 24-го числа египетского месяца Месоре
мы наблюдали при помощи астролябии наибольшее отклонение Меркурия.
Сравнивая его положение с самой блестящей из Гиад, мы нашли, что он
находился на 20Vi2 градусах Близнецов, причем
среднее положение Солнца было опять в Раке
на IO1/3 градусах77, так что наибольшее утреннее
отклонение равнялось 2OV4 градусам.
   Установив это, возьмем опять диаметр AZBr
[рис. 9.6], проходящий через точки, соответст-
вующие 10 градусам Клешней и Овна. Предпо-
ложим, как и на предыдущем чертеже, что точка
А представляет место, в котором находится центр
эпицикла, когда он будет на 10 градусах
Клешней, а Г — место его, когда он будет на
10 градусах Овна; точка В представляет центр
зодиака, a Z — та, около которой центр
эксцентра совершает свое движение против пос-
РИС. 9.6	ледовательности знаков. И пусть сначала требу-
                          ется найти, насколько от точки В отстоит центр,
вокруг которого, как мы сказали, совершается равномерное движение
эпицикла в направлении последовательности знаков.
   Пусть этой точкой будет Н; проведем через Н прямую под прямым
углом к АГ, чтобы она отстояла на четверть окружности от апогея. В
соответствии с приведенными наблюдениями возьмем на ней центр ©
эпицикла, ибо в этих наблюдениях среднее положение Солнца на
10 градусах Рака отстояло от апогея на четверть окружности. Опишем
вокруг © эпицикл КА, проведем из В к нему касательные ВК и ВА и
соединительные прямые ©К, ©А и В®. Теперь, так как в рассматриваемом
среднем положении наибольшее утреннее отклонение от среднего согласно
предположению равнялось 2OV4 градусам, а наибольшее вечернее откло-
нение — 26V4 градусам, то угол КВА равняется 46;30 градусам, каких в
четырех прямых углах содержится 360 . Следовательно, его половина, т.е.
угол KB©, будет равняться 46;30 таким градусам, каких 360 содержится в
двух прямых углах. Таким образом, стоящая на прямой ©К дуга будет
равна 46;30 градусам, каких в описанной около прямоугольного треугольника

BGK окружности имеется 360; стягиваемая же ею прямая GK будет равна
47;22 частям, каких в гипотенузе BG содержится 120. Следовательно, если
радиус вК эпицикла равняется 39;9, a BZ, как показано, 10;25, то в
79
прямой В0 таких частей будет 99; 9 .
   Далее, так как разность упомянутых наибольших отклонений составляет
6  градусов  и  дважды  содержит  величину  разности,   соответствующей
зодиакальной аномалии , а последняя определяется углом B0H, как это
было нами показано, то угол B0H будет равняться 3 таким градусам, каких
в четырех прямых углах содержится 360, и 6 градусам, каких 360 содержится
в двух прямых углах. Таким образом, стягиваемая прямой ВН дуга будет
равняться 6 градусам, каких в круге, описанном около прямоугольного
треугольника BH0, содержится 360, а сама прямая ВН будет равна 6; 17
частям, каких в гипотенузе В0 содержится 120. И, следовательно, если в
прямой В0 будет 99;9 частей, а в BZ — 10;25, то в ВН таких частей
будет 5; 12. Следовательно, ВН будет приблизительно равна половине от
BZ, и каждая из ВН и HZ равна приблизительно 5; 12 частям, каких в
радиусе эпицикла будет 39;9.

   Затем на той же фигуре [рис. 9.7 ] проведем через Z в противоположную
Н0 сторону прямую ZMN, перпендикулярную к АГ. На этой прямой будет,
конечно, находиться центр [М] того эксцентра, на котором лежит центр
0 эпицикла, так как прямые Н0 и ZN
вследствие одновременности и направлен-
ности в противоположные стороны своих
движений вместе вернутся к общей началь-
ной точке. Положим ZN равной ZA, так что
ZN и AZ будут складываться из радиуса
эксцентра и расстояния между центрами У
этого [подвижного] эксцентра и точкой Z.
Возьмем на проведенной прямой [ZN] центр
эксцентра, пусть это будет М, затем со-
единим Z0.
   Теперь так как угол MZH прямой, а
0ZH почти не отличается от прямого, то и
линия NZ0 почти не будет отличаться от
прямой. Но было доказано, что если радиус эпицикла имеет 39;9 частей,
то прямая NZ, равная AZ, будет содержать 109;34, a Z0, равная
В©, — 99;9 таких же частей. И вся прямая NZ0 будет равна 208;43
частям, а ее половина NM, представляющая радиус эксцентра, будет
приблизительно равна 104;22, а остаток ZM — расстояние между цент-
рами — 5; 12 частям. Но было показано, что каждая из прямых ВН и
HZ равна 5; 12 таким же частям. Следовательно, у нас получается, что
если радиус эксцентра равняется 104;22, то каждая из прямых между
центрами будет равна 5; 12, а радиус эпицикла 39;9. Таким образом, если
положить радиус эксцентра равным 60, то каждая из прямых между
центрами будет равна 3;0, а радиус эпицикла 22;30. Это и требовалось
показать.
    При таких предположениях будут соответствовать наблюдениям и
наибольшие отклонения в наиболее близких к Земле местах, а именно
когда среднее положение Солнца будет приходиться на 10 градусов Водолея
    
или Близнецов и отстоять от апогея на угол, соответствующий стороне
правильного треугольника; угол, под которым мы видим эпицикл, составляет
приблизительно  471/2^4  градусов,  что  мы  можем  показать  следующим
образом81.

Пусть    АВГАЕ   представляет   диаметр,   проходящий   через   апогей
[рис. 9.8 ]; предположим, что точка А — место апогея, а В — та точка,
вокруг   которой   центр   подвижного   эксцентрического   круга   совершает
обращения против последовательности знаков. Пусть Г будет точкой, вокруг
? А       которой движется в направлении последовательности
знаков центр эпицикла, а точка А — центр зодиака.
Пусть в обоих движениях, совершающихся равномерно
вокруг своих  центров  в  противоположные  стороны,
будут пройдены от апогея А углы, соответствующие
сторонам правильного треугольника [т.е. 120 градусам].
Пусть TZ будет прямая, ведущая эпицикл, а ВН —
ведущая центр эксцентра.  Пусть Н будет центром
эксцентра, a Z — эпицикла; описав около него эпицикл,
проведем Д0 и АК — касательные к эпициклу. Затем
проведем соединительные прямые   ГН, AZ, Z0, ZK и
из А опустим на TZ перпендикуляр ДЛ. Требуется
показать, что угол ©ДК будет равен 47 Vj 1/4 таким
градусам, каких в четырех прямых углах содержится
*Е       360.
Рис 98	Так как каждый из углов АВН и АГА стягивает
                    сторону правильного треугольника и равен 120 граду-
сам, каких в двух прямых углах будет 180, то каждый из углов ГВН и
ДГЛ будет содержать по 60 таких же градусов. Но угол ВНГ равен ВГН,
ибо ВГ предполагается равной ВН, а оба остальные угла, дополняющие до
двух прямых углов, вместе взятые, составляют 120 градусов, так что каждый
из них будет равен 60 таким же градусам. Следовательно, треугольник
ВГН будет и равноугольным, и равносторонним. Но угол ДГЛ равен
ВГН; значит, точки Н, Г, Z будут лежать на одной прямой. Таким образом,
HZ, представляющая радиус эксцентра, будет равна 60 частям, каких прямая
ГН, равная ГД — расстоянию между центрами, содержит 3, a TZ —
остаток — 57 таких же частей.
   Далее, так как угол ДГЛ равен 60 градусам, каких в четырех прямых
углах будет 360, или 120 таким, 360 которых составляют два прямых угла,
то дуга, стоящая на прямой ДЛ, будет иметь 120 градусов, каких в
описанной около прямоугольного треугольника ГДЛ окружности содержится
360, а дуга на ГЛ будет равна дополняющим до полуокружности 60 градусам.
Следовательно, из стягивающих их прямых ДЛ будет равна 103;55 частям,
каких в гипотенузе ГД содержится 120, а ГЛ равна 60 таким же частям.
Таким образом, если прямая ДГ равна 3, a TZ — 57, то в ДЛ таких
единиц будет 2;36, в ГЛ — 1;30 и в AZ после вычитания [ГЛ из TZ] —
55;30. И так как квадраты на ней и на ДЛ дают после сложения квадрат
на AZ, то длина AZ будет равна 55;34 частям82, каких в радиусе эпицикла,
т.е. в каждой из прямых Z® и ZK, предполагалось 22;30. Следовательно,
если положить гипотенузу AZ равной 120, то каждая из 0Z и ZK будет
равна 48; 35 таким частям и каждый из углов ZA& и ZAK будет иметь

по 47;46 градусов, каких в двух прямых углах содержится 360. Таким
образом, весь угол GAK будет иметь 47;46 градусов, каких в четырех
прямых углах содержится 360. Это и требовалось доказать.


10. Об исправлении периодических движений Меркурия
   Вслед за этим нам нужно определить периодические движения Меркурия
и их начальные эпохи. Что касается долготы, т.е. равномерного движения
эпицикла вокруг точки Г, то мы сразу будем иметь их заданными по
солнечным. Эпоху же аномалии, т.е. движения светила по эпициклу вокруг
его центра, мы возьмем из двух бесспорных наблюдений, одно из которых
будет из записанных нами и одно — из древних.
   Мы наблюдали планету Меркурий во 2 году Антонина, или в 886 году
после Набонассара, в египетском месяце Эпифи, со 2-го на 3-е число.
Наблюдение было произведено при помощи астролябии, причем Меркурий
еще не дошел до своего наибольшего вечернего отклонения. По сравнению
со звездой на груди Льва Меркурий оказался находящимся на 171/2 градусах
Близнецов; он тогда на We градус шел позади центра Луны. Соответствую-
щее время в Александрии было — за 41/2 равноденственных часа до
полуночи, [со 2-го] на 3-е число, так как по астролябии в меридиане стоял
12 градус Девы, а Солнце находилось на 23
градусе Тельца . Но согласно доказанному в
этот час среднее место Солнца находилось на
22; 34 градусах Тельца, а [среднее место]
Луны — на 12; 14 градусах Близнецов; от-
считываемая от апогея эпицикла аномалия
[Луны] равнялась 281;20 градусу; таким обра-
зом, из этого истинное положение центра Луны
получается на  17; 10 градусах  Близнецов,  а
видимое — на 16;2084. Следовательно, посколь-
ку планета Меркурий отставала от центра Луны
на li/б градус, ее положение было на 171/2
градусах Близнецов.
Установив это, возьмем проходящий через
85
апогей и перигей диаметр АВГАЕ [рис. 9.9].
Пусть точка А будет местом апогея, а В —
точкой, вокруг которой обращается против
последовательности знаков центр эксцентричес-
кого круга, Г — точкой, вокруг которой обра-
щается центр эпицикла в направлении после-
довательности [знаков], и, наконец, А — цен-
тром зодиака. Пусть сначала центр эпицикла
Z в движении вокруг точки Г был передвинут прямой TZ на угол ATZ;
вокруг же точки В центр Н эксцентрического круга был передвинут прямой
ВН на угол АВН, который, конечно, вследствие одинаковости времен
обращения будет всегда равным углу ATZ. Вокруг Z опишем эпицикл
GKA, и предположим, что светило находится в А. Проведем соединительные
прямые ГН, HZ, AZ, ZA и АА; на продолженную прямую TZG опустим

из Н и А перпендикуляры НМ и AN, а из Z на АЛ перпендикуляр ZS.
Пусть требуется определить дугу эпицикла от апогея G до планеты Л .
Так как среднее положение Солнца было тогда на 22;34 градусах Тельца,
а перигей планеты находился приблизительно на 10 градусах Овна , так
что среднее ее положение по долготе отстояло от перигея на 42;34 градуса,
то угол ГВН должен равняться 42;34 градусам, каких в четырех прямых
углах содержится 360, или 85;8 таким, каких 360 будет в двух прямых
углах. Тогда вследствие того, что ВГ всегда равна ВН, каждый из углов
ВНГ и ВГН содержит по 137;26 таких же градусов. Таким образом, если
мы опишем около треугольника ВГН окружность, то стягиваемая прямой
НГ дуга будет равна 85; 8 градусам, каких во всей окружности будет 360,
а дуга на ВГ равна 137;26 таким же градусам. Следовательно, из
находящихся под ними прямых одна ГН будет равна 81; 10 части, каких в
диаметре круга будет 120, а другая ВГ — 111 ;49 таким же частям. Таким 286
образом, если прямая ВГ равна 3, то ГН будет равна 2; 11.
   Затем, поскольку угол ВГН равен 137;26 градусам, каких в двух прямых
углах будет 360, а угол ВГМ равен 85;8 таким же градусам, то угол
НГМ составит остающиеся 52; 18 градуса. Таким образом, дуга на прямой
НМ будет равна 52; 18 градусам, каких описанный около прямоугольного
треугольника ГНМ круг содержит 360, а дуга на ГМ равна недостающим
до полуокружности 127;42 градусам. Следовательно, из прямых, стягиваемых
ими, НМ будет равна 52;53 частям, каких в гипотенузе ГН содержится
120, а ГМ равна 107;43 таким же частям. Таким образом, если прямая
ГН равна 2; 11, а радиус эксцентра, несущего эпицикл, равен 60, то в
прямой НМ таких частей будет 0;58, а в ГМ — 1;58. Вследствие этого
прямая MZ, на незаметную величину отличающаяся от гипотенузы HZ,
будет равна 60 таким же частям, а остаток — прямая TZ — равна 58;2.
   Точно так же, если угол ArN равен 85;8 градусам, каких в двух прямых
углах будет 360, то стоящая на AN дуга будет содержать 85;8 градусов,
каких в описанном около прямоугольного треугольника TAN круге
содержится 360, а стоящая на TN будет равна недостающим до
полуокружности 94;52 градусам. Таким образом, из прямых под ними
AN будет равна 81; 10 части, каких в гипотенузе ГА содержится 120, а
TN равна 88;23 таким же частям. Следовательно, если ГА равна 3, a TZ
согласно доказанному 58;2, то в AN таких частей будет 2;2, в TN — 2;13, 287
а в NZ после вычитания |TN из TZ] 55;49. Вследствие этого гипотенуза
AZ будет равна приблизительно 55;51 частям88, каких и в радиусе эпицикла
будет 22;30. Отсюда, если гипотенуза AZ равна 120, то в AN таких частей
будет 4;22, а в стоящей на ней дуге 4; 11 градуса, каких описанный около
прямоугольного треугольника AZN круг содержит 360. Таким образом, угол
AZN будет равен 4; 11 градусам, каких в двух прямых углах содержится
360, а весь угол EAZ равен 89; 1989. Но также и весь угол ЕАЛ равен 135
таким градусам, ибо планета тогда усматривалась на 67;30 градусах от
перигея, а угол ZAA равен остающимся 45;41 градусам. Следовательно,
дуга на прямой ZS будет равна 45;41 градусам, каких в описанной около
прямоугольного треугольника AZS окружности будет 360; сама же прямая
ZS равна 46;35 частям, каких в гипотенузе AZ содержится 120. Таким
образом, если прямая AZ равна 55;51, а радиус ZA эпицикла — 22;30, то

в ZS таких частей будет 21 ;41; если же гипотенуза ZA равна 120, то в
Z3 таких частей будет 115;39. Значит, стоящая на ZS дуга будет равна
149;2 градусам, каких в описанном около прямоугольного треугольника
Z3A круге имеется 360, а угол ZAE равен 149;2 градусам, каких в двух
прямых углах содержится 360. Но доказано, что в угле ZAA таких градусов
будет 45;41, а в угле GZK — 4; 11. Таким образом, весь угол QZA будет
равен 198;54 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360, или
же 99;27 градусам, каких 360 будет в четырех прямых углах. И, следовательно,
дуга QKA эпицикла, на которую планета Меркурий отстояла по наблюдению
от апогея G, будет равна 99; 27 градусам. Что и требовалось доказать.
   Далее, в 21 году по Дионисию, бывшем 484 годом после Набонассара,
22-го Скорпиона, что по египетскому счету соответствовало ночи с 18-го
на 19-е число Тота, Стилбон утром отставал на 1 луну от прямой,
проведенной через звезды в северной части лба Скорпиона и звезду в
середине [лба], и находился на 2 луны к северу от звезды в северной
части лба . Но средняя звезда во лбу Скорпиона по отношению к нашим
начальным точкам находилась тогда на IV3 градусе Скорпиона и на столько
же южнее линии, проходящей через середины знаков зодиака. Самая же
северная звезда находилась на 21/3 градусах Скорпиона и была на 11/з

градус севернее средней линии зодиака91. Следовательно, планета Меркурий
находилась приблизительно на З1/3 градусах Скорпиона . При этом
выяснилось, что она еще не достигла наибольшего утреннего отклонения,
так как через 4 дня, а именно 26-го Скорпиона, записано, что от этой
прямой она отстояла на 11/2 луны в направлении последовательности знаков.
Отклонение увеличивалось, так как Солнце продвинулось приблизительно
на 4 градуса [к востоку], а планета — на 1/2
93
луны . И утром 19-го Тота среднее положение
Солнца, по нашим расчетам, находилось на
201/2'/з градусах Скорпиона, а апогей планеты —
на 6 градусах Клешней вследствие того, что за
400 лет между обоими наблюдениями апогей
передвинулся приблизительно на 4 градуса94.
   Установив это, возьмем снова чертеж
[рис. 9.10], подобный предыдущему, но только
вследствие различия положений углы [ATZ,
АВН] у апогея А следует начертить острыми,
а прямые [ZA, АА], соединяющие с планетой
точки [Z, А ], взять против последовательности
знаков относительно [центра] эпицикла и пер-
пендикуляр Z3 провести за радиусом эпицикла
ZA95.
Так как среднее положение планеты отстояло
на 44;50 градуса от апогея96, то угол АВН
равнялся 44;50 градусам, каких в четырех
прямых углах содержится 360, или же 89;40	рИс. 9.ю
таким, 360 которых содержится в двух прямых
углах. Таким образом, остающийся угол ГВН будет равняться 270;20
градусам, а каждый из углов ВГН и ВНГ — 44;50 таким же градусам. На

основании тех же рассуждений из стягивающих их прямых ГН будет равна 290
84;36 частям, каких в диаметре описанного около треугольника ВГН круга
содержится 120, а каждая из прямых ВГ и ВН равна 45;46 таким же
частям. Следовательно, если каждая из прямых ВГ и ВН равна 3, то
ГН будет равна 5;33 таким же частям. Затем, поскольку угол ATZ
предполагается равным 89;40 градусам, каких в двух прямых углах
содержится 360, а угол ВГН — 44;50 и весь угол ZrH получается равным
134;30, то стоящая на НМ дуга равняется 134;30 таким градусам, каких
в круге, описанном около прямоугольного треугольника ГНМ, будет 360,
а дуга на ГМ будет равна недостающим до полуокружности 45;30 градусам.
Значит, у соответствующих им прямых в МН будет ПО;40 частей, каких
в гипотенузе ГН имеется 120, а в ГМ — таких же 46;24. Таким образом, 291
если ГН равна 5;33, т.е. если радиус ZH эксцентра равен 60, то в НМ
таких частей будет 5;7, а в ГМ — 2; 10. Поэтому ZM получится по длине
07
равной 59;47, а вся ZMr — 61 ;57 такой же части .
   Точно так же, если угол ArN равен 89;40 градусам, каких в двух
прямых углах содержится 360, то дуга на AN равняется 89;40 градусам,
каких в круге, описанном около прямоугольного треугольника TAN, имеется
360, а дуга на TN равна недостающим до полуокружности 90;20 градусам.
Следовательно, из стягивающих их прямых AN равна 84;36 частям, каких
в гипотенузе ГД содержится 120, a TN будет равна 85; 6. Таким образом,
если прямая ГА равна 3, то AN будет равна 2;7, TN — 2;8 и вся
ZTN — 64;5. Вследствие этого гипотенуза ZA будет равна 64;7 таким же
QQ
частям . Отсюда, если прямую ZA принять за 120, то AN будет равна
3;58, и в стоящей на ней дуге будет 3;48 градуса, каких в круге, описанном
около прямоугольного треугольника ZAN, содержится 360. Таким образом,
угол AZN будет иметь 3;48 градуса, каких в двух прямых углах содержится
360, а так как ATZ равнялся 89;40, то остаток AAZ равен 85;5299. Но
угол АДА предполагается равным 54;40 таким же градусам вследствие того,
что светило при наблюдениях отстояло от апогея на 27;20 градусов, так 292
что и остающийся угол ZAA будет содержать 31; 12 такой градус100, каких
360 будет в двух прямых углах. Следовательно, стоящая на ZS дуга будет
равна 31; 12 градусу, каких в окружности, описанной около прямоугольного
треугольника ZAS, будет 360, сама же прямая ZS будет равна 32; 16 частям,
каких в гипотенузе AZ содержится 120. Поэтому, если в прямой AZ будет
64;7 части, иными словами, в радиусе ZA эпицикла — 22;30, то в прямой
3Z таких частей будет 17; 15, а каких частей в гипотенузе ZA имеется
120, таких в прямой Z3 будет приблизительно 92. Таким образом, стоящая
на ZS дуга будет равна 100;8 градусам101, каких в окружности около
прямоугольного треугольника ZAS содержится 360; угол же ZAS будет
равен 100;8 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360. Но
доказано, что угол ZAA содержит 31; 12 такой же градус, a GZK — 3;48.
Следовательно, остающийся угол KZA будет иметь 65;8 градусов102, каких
в двух прямых углах содержится 360, или 32;34, каких 360 будет в четырех
прямых углах.
    Итак, согласно этому наблюдению планета отстояла от перигея К
эпицикла на 32;34 градуса, а от апогея, конечно, на 212;34 градусов. Во
    
время же нашего наблюдения было показано, что планета находилась на
99;27 градусах от апогея эпицикла. Промежуток по времени между обоими
наблюдениями составляет 402 египетских года, 283 дня и приблизительно
131/2 часов. Это время содержит 1268 целых возвращений аномалии планеты,
так как 20 египетских годов содержат приблизительно 63 периода, а в 400
годах их будет заключаться 1260, остальные же 2 года вместе с добавочными
103
днями содержат еще целых 8 оборотов . Таким образом, мы выяснили,
что в течение 402 египетских годов, 283 дней и 131/г часов Меркурий,
кроме 1268 целых восстановлений аномалии, прошел дополнительно 246;53
градусов, на которые его положение в наше время превышало предшест-
вующее. Примерно такая же прибавка градусов получается и по приведен-
ным выше нашим таблицам. Действительно, на основании их мы
производили исправления периодических движений Меркурия, обращая
заданный промежуток времени в дни, а полные обороты аномалии вместе
с добавкой — в градусы. Разделив количество градусов на число дней, мы
получаем среднее дневное движение аномалии Меркурия,    приведенное
выше104.
11. Об эпохе периодических движений Меркурия
    Чтобы получить начальные положения пяти планет для первого года
Набонассара, в полдень 1-го числа египетского месяца Тот, как мы это
сделали для Солнца и Луны, мы взяли промежуток между этим моментом
и более древним из наблюдений, которое ближе к нему105. Он получается
равным 483 египетским годам, 17 дням и 18 часам106 приблизительно.
Этому времени соответствует прибавление среднего движения аномалии
190;39 градусов. Если мы вычтем [последнее] из получающихся по
наблюдению 212;34 градусов расстояния от апогея, то для первого года
Набонассара, в полдень 1-го числа египетского месяца Тот мы получим
начальное значение аномалии 21;55 градус от апогея эпицикла, [среднюю]
долготу, одинаковую с Солнцем, т.е. 0;45 градусов Рыб, апогей эксцентра
на li/б градусе Клешней, поскольку 1/юо доля для вышеприведенного числа
годов составит приблизительно 41/2I/3 градуса. Действительно, именно на
такую величину полученные в нашем наблюдении 6 градусов Клешней
превышают We градус.

Книга X

1. Определение положения апогея планеты Венера
   Выше мы изложили гипотезы о движении планеты Меркурий, определили
величины аномалий, дали количественную характеристику периодических
движений и начальные эпохи. Что касается планеты Венера, то мы опять
прежде всего исследуем, на каких градусах круга, проведенного через
середины зодиакальных созвездий, находятся апогей и перигей эксцентра
на основании одинаковости наибольших отклонений в одну и ту же сторону1.
Для этого мы не имеем древних наблюдений, которые можно было бы
точно соединить в пару одно с другим; все это исследование мы провели
на основании наблюдений, сделанных нами.
   Среди записей, оставленных нам математиком Теоном, мы нашли
наблюдение, записанное им в 16 году Адриана, в ночь с 21-го на 22-е
число египетского месяца Фармути; в нем он говорит, что в вечернем
наибольшем расстоянии от Солнца планета Венера была впереди середины
Плеяд на их длину; при этом она наблюдалась совершающей свой путь
немного южнее этих звезд . Поскольку тогда середина Плеяд по отношению
к нашим начальным точкам находилась на 3 градусах Тельца, а их длина
составляет приблизительно ll/г градус, Венера тогда, очевидно, находилась
на 11/2 градусе Тельца. Так как среднее Солнце находилось тогда на
141/} градусах Рыб, то наибольшее ее вечернее расстояние было равным
471/4 градусам3.
   В 4 году Антонина4, в ночь с 11-го на 12-е число египетского месяца
Тот мы наблюдали утреннюю Венеру в наибольшем расстоянии от Солнца;
от звезды на среднем колене Близнецов она отстояла к северу и востоку
на 1/2 диаметра Луны5. Упомянутая неподвижная звезда находилась тогда,
по-нашему, на I81/4 градусах Близнецов, так что положение Венеры
пришлось приблизительно на 181/2 градусов; среднее же положение Солнца
было  на   51/21/4   градусах  Льва.   Следовательно,   наибольшее   утреннее
расстояние оказалось тогда равным тем же самым 471/» градусам6. Так как,
по первому наблюдению среднее положение было на 141/4 градусах Рыб, а
по второму — на 5УгЩ градусах Льва, то середина расстояния между ними
по зодиаку попадает на 25 градусов Тельца и также Скорпиона; через эти
точки и должен проходить диаметр эксцентра между перигеем и апогеем.
   Точно так же в наблюдениях Теона мы находим, что в 12 году Адриана,
в ночь с 21-го на 22-е число египетского месяца Атир утренняя Венера
находилась в наибольшем расстоянии от Солнца, отставая от звезды на
конце южного крыла Девы на длину Плеяд, или на эту же длину,
уменьшенную   на   собственный  диаметр   планеты;   при   этом   планета
   
наблюдалась движущейся к северу на расстоянии 1 Луны . Так как
упомянутая звезда находилась тогда, по-нашему, на 2%У2Уъ^\г градусах
Льва, то Венера находилась тогда приблизительно на 1/3 первого градуса
Девы, а среднее положение Солнца было на ПУгУзУзо градусах Весов, так
что наибольшее утреннее расстояние от среднего положения оказалось тогда
равным 471/2 ^0 градусам .
   В 21 году Адриана, вечером с 9-го на 10-е число египетского месяца
Мехир мы наблюдали Венеру в наибольшем расстоянии от Солнца; она
была приблизительно на 2/3 диаметра Луны впереди самой северной звезды
из четырех в четырехугольнике, которая идет за следующей, находящейся
на прямой линии с [двумя] звездами в паху Водолея; при этом Венера
9
казалась заслоняющей указанную звезду .
Так как упомянутая неподвижная звезда, по-нашему, находилась на 20
градусах Водолея, то вследствие этого Венера была на 193/5 градусах10;
среднее же положение Солнца было на 21/15 градусах Козерога, и поэтому
наибольшее вечернее расстояние оказалось равным тем же самым 471/г1/зо
градусам11. И середины расстояний по зодиаку между ПУ^УзУзо градусами
Весов в первом наблюдении и 2V\s градусами Козерога второго наблюдения
приходятся опять приблизительно на 25 градусов Скорпиона и Тельца .

2. О величине эпицикла Венеры
   Итак, в наше время апогей и перигей эксцентра находятся на 25 градусах
Тельца и Скорпиона, как было установлено нами при помощи вышеука-
занного. В соответствии с этим мы опять отыскивали получающиеся
наибольшие расстояния от средних положений Солнца, которые имели место
1 з
на 25 градусах Тельца и Скорпиона .
    В переданных нам наблюдениях Теона мы находим, что в 13 году
Адриана, в ночь со 2-го на 3-е [число месяца] Эпифи, утром Венера
находилась в наибольшем расстоянии от Солнца на IV5 градусе, предшествуя
прямой, проведенной через переднюю из трех звезд в голове Овна и звезду
на его же заднем бедре, причем расстояние ее до передней звезды в голове
было в два раза больше расстояния до бедра. Тогда передняя из трех звезд
в голове Овна находилась, по-нашему, на 6З/5 градусах и была на 7 Уз
градусов севернее средней линии зодиака. Звезда же на заднем бедре Овна
находится на \4УгЩ градусах и была на 51/4 градусов южнее средней линии
зодиака14. Следовательно, Венера находилась на ЮЗ/5 градусах Овна и была
на I1/2 градус южнее средней линии зодиака. Таким образом, поскольку
среднее положение Солнца находилось тогда на 25Vs градусах Тельца,
наибольшее расстояние от среднего положения получается равным 444/5
градусам15.
   В 21 году Адриана, вечером со 2-го на 3-е число египетского месяца
Тиби мы наблюдали Венеру в наибольшем расстоянии от Солнца; сравнивая
ее положение относительно звезд на рогах Козерога, мы установили, что
она находилась на \2УгУз его градусах16, тогда как среднее положение
Солнца было на 25Уг градусах Скорпиона, так что наибольшее ее расстояние
от среднего положения оказалось равным 471/з градусам17; вследствие этого

стало ясно, что апогей будет на 25 градусах Тельца, а перигей на 25
градусах Скорпиона. И нам стало ясным, что эксцентрический круг, несущий
эпицикл Венеры, будет неподвижным, потому что во всех других местах

средней линии зодиака сумма обоих наибольших
отклонений в ту и другую сторону от среднего
положения оказывалась не меньше суммы, которая
получалась для положений в Тельце, и не больше
1 Я
суммы, которая была в Скорпионе  .
   Установив это, возьмем эксцентрический круг
АВГ, по которому всегда движется эпицикл Венеры
[рис. 10.1 ]. Пусть АГ будет его диаметром, на
котором в точке А предположим находящимся
центр эксцентра, а в Е — центр зодиака; пусть
точка А будет соответствовать 25 градусам Тельца.
Вокруг точек А и Г опишем равные эпициклы с
точками Z и Н; проведя касательные EZ и ЕН,
соединим прямыми AZ и ГН. Так как теперь
находящийся в центре зодиака угол AEZ стягивает
наибольшее расстояние планеты в апогее, предпо-
лагаемое равным 444/5 градусам, то он равняется
44;48 градусам, каких четыре прямых угла содержат 360, или 89;36, каких
360 будет в двух прямых углах. Таким образом, стоящая на прямой AZ
дуга будет равна 89;36 градусам, каких в круге около прямоугольного
треугольника AEZ содержится 360; находящаяся же под ней прямая AZ
будет равна приблизительно 84;33 частям, каких в гипотенузе АЕ
содержится 120. Точно так же, поскольку угол ГЕН стягивает наибольшее
расстояние в перигее, предполагаемое равным 471/з градусам, он будет равен
47;20 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360, или 94;40,
каких 360 будет в двух прямых углах. Таким образом, дуга на ГН будет
равна 94;40 градусам, каких в круге около прямоугольного треугольника
ГЕН содержится 360; находящаяся же под ней прямая ГН будет равна
приблизительно 88;13 частям, каких в гипотенузе ЕГ будет 120. И,
следовательно, если радиусы ГН или AZ эпицикла равны 84;33, а прямая
АЕ — 120, то ЕГ будет иметь 115; 1 таких частей19, а вся АГ, конечно, —
235; 1, половина ее, АА, — приблизительно 117;30; остаток же АЕ между
центрами будет равен 2;29. Если радиус АА эксцентра взять за 60 частей,
то в расстоянии АЕ между центрами таких частей будет приблизительно
I1/4, а радиус AZ эпицикла будет их иметь 43Уб .

3. Об отношениях эксцентриситетов планеты Венера
    
    Так как не вполне ясно, будет ли равномерное движение эпицикла
совершаться вокруг точки А, то мы и здесь выбрали два наибольших
расстояния в противоположные стороны, причем среднее положение Солнца
в обоих случаях отстояло на четверть круга от апогея21. Одно из них мы
наблюдали в 18 году Адриана, в ночь со 2-го на 3-е число египетского
месяца Фармути; Венера утром находилась в наибольшем расстоянии от
Солнца. Если сравнить ее положение со звездой, называемой Антарес, то
она была на IH/2I/3I/12 градусах Козерога; среднее положение Солнца было

тогда на 251/г градусах Водолея, так что утреннее наибольшее отклонение
22
от среднего положения составляло 431/2I/12 градуса .
   Второе положение мы наблюдали в 3 году Антонина, вечером с 4-го
на 5-е число египетского месяца Фармути, когда Венера была в наибольшем
расстоянии от Солнца. Согласно произведенному сравнению ее положения
с самой блестящей из Гиад она находилась А,
на 131/21/3 градусах Овна, а среднее поло-
жение Солнца было тоже на 251/2 градусах
Водолея. Таким образом, и здесь наибольшее
вечернее отклонение от среднего положения
оказалось равным 481/3 градусам .
   Установив это, возьмем диаметр АВГ
эксцентра [рис. 10.2], проходящий через
апогей и перигей; предположим, что точка
А находится под 25 градусом Тельца, а В
будет центром зодиака. Поставим себе зада-
чей определить центр, вокруг которого, как
мы сказали, совершается равномерное дви-
жение эпицикла. Пусть он будет в точке
А; проведем через него АЕ, перпендикуляр-
ную к АГ, чтобы среднее положение
эпицикла отстояло от апогея на четверть окружности, как в наблюдениях.
Возьмем согласно вышеупомянутым наблюдениям на этом перпендикуляре
центр Е эпицикла; описав около него эпицикл ZH, проведем из В к
последнему касательные BZ и ВН и соединительные прямые BE, EZ и
ЕН.
   Так как в рассматриваемом среднем положении наибольшее утреннее
расстояние предполагается равным 431/21/12 градусам, а вечернее — 481/3
градусам, то весь угол ZBH должен равняться 91 ;55 градусу, каких в
О А.
четырех прямых углах будет 360 . Следовательно, половина его — угол
ZBE — будет равен тоже 91;55 градусу, каких 360 будет в двух прямых
углах. Таким образом, дуга EZ будет равна 91 ;55 градусу, каких в
окружности около прямоугольного треугольника BEZ содержится 360; сама
же прямая EZ будет равна 86; 16 частям, каких в гипотенузе BE имеется
120. Следовательно, если радиус EZ эпицикла равен 43; 10 частям, то в
прямой BE таких частей будет 60;3.
   Далее, так как разность упомянутых наибольших расстояний, равная
4;45 градусам, дважды содержит разность, соответствующую в этой точке
зодиакальной аномалии и измеряющуюся углом ВЕД25, то угол ВЕД должен
равняться 2;22,30 градусам, 360 которых составляют четыре прямых угла,
или 4;45 таким, 360 которых будет в двух прямых углах. Таким образом,
стоящая на ВД дуга будет равна 4;45 градусам, каких в окружности около
прямоугольного треугольника ВДЕ имеется 360, сама же прямая ВД будет
равна приблизительно 4;59 частям, каких в гипотенузе имеется 120. Если
прямая BE равна 60;3, а радиус эпицикла — 43; 10, то в ВД таких частей
будет приблизительно 21/2. Но было доказано, что прямая между центром
В зодиака и центром эксцентрического круга, на которой будет всегда
находиться центр эпицикла, составляет I1/4 такую же часть, так что она
будет половиной ВД. Следовательно, если мы разделим ВД пополам в

точке G, то можно показать, что если радиус GA эксцентра, несущего
эпицикл, положить равным 60, то в каждой из прямых BQ и GA между зоб
43; 1026 такие
центрами будет I1/4 часть, а в радиусе EZ эпицикла
части.

4. Об исправлении периодических движений Венеры
    Вот таким образом мы приняли основные предположения и установили
соотношения между аномалиями. После этого для определения периоди-
ческих движений планеты и начальных эпох мы взяли два надежных
97
наблюдения — одно наше, а другое из древних '.
   Во 2 году Антонина, в египетском месяце Тиби, с 29-го на 30-е число
мы наблюдали при помощи астролябии Венеру после ее наибольшего
утреннего удаления, сравнивая ее с Колосом; видимое ее положение было
на 61/2 градусах Скорпиона. Тогда она находилась на прямой линии между
самой северной из звезд во лбу Скорпиона и видимым центром Луны; она
предшествовала центру Луны на половину того расстояния, на которое она
отставала от самой северной звезды во лбу Скорпиона28. Но вышеупомянутая
неподвижная звезда по отношению к нашим начальным точкам находилась
на 6;20 градусах Скорпиона и была на 1;20 градус севернее средней линии
зодиака;   время   же   наблюдения   соответствовало
41/21/4 равноденственным часам после полуночи, так 307
как при положении Солнца на 23 градусах Стрельца
90
по астролябии в меридиане стоял 2-й градус Девы ,
и в это время среднее положение Солнца было на
22;9 градусах Стрельца, а Луны — на 11 ;24 градусах
Скорпиона; отсчитываемая от апогея аномалия сос-
тавляла 87;30 градусов, а расстояние Луны по широте
от северного предела равнялось 12;22 градусам. На
основании этого точное положение центра Луны [по
долготе] было на 5;45 градусах Скорпиона и [по
широте] на 5 градусах севернее средней линии
зодиака. В Александрии же она была видна по долготе
на 6; 45 градусах Скорпиона и севернее средней линии
ал
зодиака на 4;40 градуса . Следовательно, положение
Венеры было на 6;30 градусах Скорпиона и на 2;40
градусах севернее средней линии зодиака31.
   Установив это, возьмем проходящий через апогей
диаметр АВГАЕ [рис. 10.3]. Предположим, что точка
А соответствует 25 градусам Тельца, точка В будет
той, около которой равномерно вращается эпицикл,
точка Г будет центром эксцентрического круга, по
которому перемещается центр эпицикла, а А — центром зодиака. Так как
среднее положение Солнца в рассматриваемом наблюдении было на 22; 9
градусах Стрельца, то среднее положение эпицикла было на расстоянии
27;9 градусов от перигея Е в направлении последовательности знаков32.
Предположим, что центр эпицикла находится в точке Z; описав около него
эпицикл HQK, проведем соединительные прямые AZH, TZ и BZG. Из 308
точек Г и А на прямую BZ опустим перпендикуляры ГА и ДМ; предположив,
   
что планета находится в точке К, проведем соединительные прямые ДК и
ZK и опустим перпендикуляр ZN. Поставим задачей определить дугу 0К,
на которую планета отстоит [в момент наблюдения ] от апогея 0 эпицикла .
   Так как угол EBZ равен 27;9 градусам, 360 которых составляют четыре
прямых угла, или 54; 18 градусам, 360 которых равны двум прямым углам,
то стоящая на ГЛ дуга будет равна 54; 18 градусам, каких в описанной
около прямоугольного треугольника ВГЛ окружности содержится 360, а дуга
на ВЛ равна остающимся до полуокружности 125;42 градусам. Следова-
тельно, из находящихся под ними прямых ГЛ будет равна 54;46 частям,
каких в гипотенузе ВГ содержится 120, а ВЛ будет иметь 106;47 таких
зо9 же частей. Таким образом, если прямая ВГ равна Г, 15, а радиус TZ
эксцентра — 60, то в ГЛ таких частей будет 0;34, а в ВЛ — 1;7. Поскольку
квадрат на Zr, уменьшенный квадратом на ГЛ, дает квадрат на ZA,
последняя прямая будет тоже равна приблизительно 60 таким же частям.
Но МЛ равна ЛВ, а ДМ вдвое больше ГЛ вследствие того, что ВГ равна
ГД. Таким образом, ZM будет равна остающимся 58;53 частям, а ДМ —
1;8 такой же части. Вследствие этого гипотенуза ZA будет тоже
приблизительно равна 58;54. Если прямую ZA положить равной 120, то
ДМ будет равна 2; 18, а стоящая на ней дуга равна 2;12 градусам, каких
в описанной около прямоугольного треугольника AZM окружности будет
360. Таким образом, угол BZA будет равен 2; 12 градусам, каких в двух
прямых содержится 360, а весь угол EAZ равен 56;30 таким же градусам.
Но угол ЕДК равен 18;30 градусам, каких в четырех прямых углах
содержится 360, ибо именно на такое число градусов планета во время
наблюдения предшествовала перигею Е, т.е. 25 градусам Скорпиона; если
же считать 360 градусов за два прямых угла, то в угле ЕДК таких градусов
будет 37. Следовательно, весь угол KAZ будет равен 93;30 градусам, каких
в двух прямых углах содержится 360, а дуга на ZN равна 93;30 градусам,
зю каких в описанной около прямоугольного треугольника AZN окружности
будет 360. Стоящая под ней прямая ZN будет равна 87;25 частям, каких
в ZA содержится 120; если положить ZA равной 58;54, т.е. если радиус
ZK эпицикла взять за 43; 10, то в ZN таких частей будет 42;54. Если
гипотенузу ZK взять за 120, то ZN будет равна 119; 18, а соответствующая
ей дуга — 167;38 градусам, каких в описанной около прямоугольного
треугольника ZKN окружности имеется 36034. И, значит, угол ZKA будет
равен 167;38 градусам, каких в ZAK предполагается 93;30, а во всем угле
KZH — 261;8. Доказано, что угол BZA или HZ0 равен 2;12 таким же
градусам; следовательно, остающийся угол 0ZK будет равен 258;56 градусам,
каких в двух прямых углах имеется 360, или 129;28, каких в четырех
прямых углах будет 360. Таким образом, в рассматриваемое время планета
Венера отстояла от апогея 0 эпицикла на полученные 129; 28 градусов в
направлении против последовательности знаков; в направлении же после-
довательности знаков в движении [по эпициклу], соответствующем гипоте-
зам, — на остающиеся от полной окружности 230;32 градусов, что и
требовалось определить.
    Из древних наблюдений мы взяли то, которое Тимохарис записывает
так: в 13 году Филадельфа, в египетском месяце Месоре, в ночь с 17-го
    
на 18-е число, в 12-м ночном часу планета Венера наблюдалась точно
покрывающей звезду, противоположную Жнецу. У нас эта звезда будет
35
той, которая стоит за звездой в конце южного крыла Девы . В первом зп
году Антонина она была на 81/4 градусах Девы. Поскольку год наблюдения
был 476 после Набонассара, а эпоха Набонассара соответствует 884 году
до начала царствования Антонина, так что в промежуточные 408 лет
движение неподвижных звезд и апогеев составляет приблизительно 41/12 гра-
дуса, то ясно, что планета Венера находилась на 41/б градусах Девы, а
перигей эксцентра — на 201/2 уз у! 2 градусах Скорпиона . И здесь также
Венера уже прошла свое наибольшее утреннее отклонение. Действительно,
через 4 дня после упомянутого наблюдения, в ночь с 21-го на 22-е число
Месоре она, как можно судить по словам Тимохариса, находилась по
37
отношению к нашим начальным точкам на 81/2Уз градусах Девы , а среднее
положение Солнца в первом наблюдении было на 17;3 градусах Клешней,
в следующем же — на 20;59 градусах Клешней, так что элонгация в первом
наблюдении была равной 42;53 градусам, а во втором — 42;9.
   В соответствии с этими данными возьмем снова аналогичную фигуру
[рис. 10.4 ], в которой, однако, направление от перигея к эпициклу будет
38
против последовательности знаков , так как среднее положение эпицикла
было на 17;3 градусах Клешней, а перигея — на 20;55 градусах Скорпиона. 312
Теперь на основании этого угол EBZ будет равен 33;52 градусам, каких в
четырех прямых углах содержится 360, или 67;44
градусам, каких 360 будет в двух прямых углах;
дуга, стоящая на ГЛ, равна 67;44 градусам, каких
в описанной около прямоугольного треугольника
ВГЛ окружности имеется 360, а дуга на ВЛ равна
остающимся до полуокружности 112; 16 градусам.
Следовательно, из стоящих под ними прямых ГЛ
будет равна 66;52 частям, каких в гипотенузе ВГ
содержится 120, а ВЛ — 99;38 таким же частям.
Если прямая ВГ равна 1;15 части, а радиус TZ
эксцентра — 60, то в ГЛ таких частей будет 0;42,
а в ВЛ — 1;2. И так как квадрат на TZ,
уменьшенный квадратом на ГЛ, дает квадрат на
ZA, то длина последней прямой будет равна
приблизительно 60 таким же частям. Но на основании
того же, что и выше, ВЛ равна ЛМ, а ДМ вдвое 313
больше ГЛ. Таким образом, остаток ZM будет равен
58;58, а ДМ — 1;24. На том же основании
гипотенуза ТА равняется приблизительно 58;59. И,
следовательно, если положить ZA равной 120, то в
ДМ таких частей будет 2;51, а стягиваемая ею дуга будет равна 2;44
градусам, каких в описанной около прямоугольного треугольника ZAM
окружности содержится 360. Угол BZA будет равен 2;44 градусам, каких
в двух прямых углах содержится 360, а весь угол EAZ — 70;28 таким же
градусам. Но угол ЕДК, на который планета отстоит от перигея в
направлении против последовательности знаков, равен 76;45 градусам, каких
в четырех прямых углах будет 360, или же 153;30, каких 360 содержится
в двух прямых углах. Таким образом, остающийся угол ZAK равен 83;2

градусам, каких в описанной около прямоугольного треугольника AZN
окружности имеется 360; и, следовательно, стоящая под ним прямая ZN
будет равна частям, каких в гипотенузе ZA имеется 120. Если же положить
гипотенузу равной 58;59, т.е. если радиус ZK эпицикла будет 43; 10, то в
ZN таких частей будет 39;7. Итак, если гипотенуза ZK равна 120, то в
прямой ZN таких частей будет 108;45, а стоящая над ней дуга будет иметь
приблизительно 130 градусов, каких описанная около прямоугольного
эй треугольника ZKN окружность содержит 360. Угол AKZ будет равен 130
градусам, каких в угле ZAK согласно предположению было 83;2, и весь
угол 0ZK будет содержать их 213;2. Но согласно доказанному угол BZA,
т.е. HZ0, имеет их 2;44; и, значит, весь угол HZK будет иметь 215;46
градусов, каких в двух прямых углах будет 360, или же 107;53 градусов,
каких 360 будет в четырех прямых углах39. Таким образом, в рассматрива-
емое время планета Венера отстояла от апогея Н эпицикла в направлении
последовательности знаков на 252;7 градуса, недостающих до полной
окружности; это и требовалось показать.
   Во время же нашего наблюдения планета тоже отстояла от апогея
эпицикла на 230;32 градусов; время между двумя наблюдениями содержит
409 египетских годов и приблизительно 167 дней и охватывает 255 полных
возвращений аномалии, так как 8 египетских годов равняются приблизитель-
но 5 периодам возвращения, а 408 годов дают 255 периодов; остающийся
1 год вместе с прибавляемыми днями будет меньше времени одного
возвращения. Таким образом, мы выяснили, что в течение 409 египетских
годов и 167 дней планета Венера, кроме 255 полных возвращений по
эй аномалии, прошла еще по эпициклу 338;25 градусов, на которые ее
положение в наше время превосходит имевшееся в первом наблюдении.
Примерно такую же добавку по числу градусов дают и приведенные выше
таблицы средних движений, если ввести поправку на упомянутое избыточное
движение, причем время нужно превратить в дни, а все возвращения вместе
с избытком — в градусы. Если число градусов разделить на число дней,
то получится данное выше для Венеры среднее дневное движение по
40
аномалии .

5. Об эпохе периодических движений Венеры
    Нам остается еще установить эпохи периодических движений, соответ-
ствующие полудню 1-го числа египетского месяца Тот в первый год
царствования Набонассара; для этого мы опять взяли время, прошедшее от
него до более древнего из рассмотренных наблюдений. Это время получается
равным 475 египетским годам и приблизительно 346Vi1/4 дням. В столбцах
для аномалии этому времени соответствует добавление среднего движения,
31* равное приблизительно 181 градусу41. Если мы отнимем их от 252;7 градусов
для этого наблюдения, то для первого года Набонассара и полудня 1-го
числа египетского месяца Тот мы получим следующие эпохи: по
аномалии — 71 ;7 градус от апогея эпицикла; для среднего движения по
долготе, которое опять предполагается одинаковым с солнечным, — 0;45
градусов Рыб. Ясно, что если во время взятого наблюдения апогей находился
на 20;55 градусах Тельца и за промежуточные 476 лет добавилось
приблизительно 41/2V4 градуса, то во время, соответствующее рассматрива-
емой эпохе, апогей должен был находиться на 16; 10 градусах Тельца.

6. Предварительные сведения, касающиеся остальных планет

   Для двух планет, о которых речь шла выше, а именно для Меркурия
и Венеры, при установлении гипотез и определении аномалий мы
пользовались описанными методами. Для остальных же трех планет, а
именно для Марса, Юпитера и Сатурна, мы взяли только одну гипотезу
об их движении, подобную примененной ранее для Венеры, а именно
гипотезу, согласно которой эксцентрический круг, по которому всегда
перемещается центр эпицикла, имеет своим центром точку, делящую
пополам расстояние между центром зодиака и точкой, из которой круговое
движение эпицикла представляется равномерным42. Для каждой из этих
планет при самом общем определении можно показать, что эксцентриситет,
получаемый по наибольшей разнице аномалии относительно зодиака,
оказывается в два раза больше выведенного по дугам попятного движения
в наибольшем и наименьшем расстояниях эпицикла43. Доказательства же,
при помощи которых мы устанавливаем величины каждой из аномалий и
положения апогеев, никоим образом не могут быть применены к этим
планетам тем же способом, каким мы пользовались для двух рассмотренных,
вследствие того, что эти планеты могут находиться на любых расстояниях
от Солнца и из наблюдений нельзя установить, как это имеет место при
наибольших элонгациях Меркурия и Венеры, когда планета находится в
точке, где линия нашего зрения касательна к эпициклу. Итак, поскольку
это   невозможно,   мы   пользовались   наблюдениями   их   диаметральных
положений по отношению к среднему положению Солнца44; при их помощи
мы прежде всего определяем значения эксцентриситетов и положения
апогеев; действительно, только при наблюдении таких положений мы можем
найти отдельно  зодиакальную аномалию,  исключив  влияние  аномалии
относительно Солнца45.
    Пусть АВГ [рис. 10.5] будет эксцентрическим кругом планеты, по
которому перемещается центр эпицикла; пусть Д будет его центром, а АГ —
диаметром, проходящим через апогей. На
этом диаметре в точке Е находится центр
зодиака, а в Z — точка эксцентра, вокруг
которой наблюдается среднее движение
эпицикла по долготе. Около точки В
опишем эпицикл НЭКА и проведем соеди-
няющие прямые ZAB0 и НВКЕМ.
   Я утверждаю прежде всего, что когда
планета наблюдается по прямой ЕН, про-
ходящей через центр эпицикла В, то
среднее положение Солнца будет также
всегда находиться на той же прямой, и
когда планета находится в Н, она будет в
соединении со средним положением Солн-
ца, которое тоже будет наблюдаться в Н;
если же планета будет в К, то она будет наблюдаться в точке, диаметрально
противоположной Солнцу, усматривающемуся в точке М.
   Действительно, так как для каждой из этих планет средние расстояния
по долготе от апогеев, будучи сложены с аномалиями, дают среднее
расстояние Солнца от той же начальной точки46, а разность угла при
   
центре Z, определяющего равномерное движение планеты по долготе, и
47	*
угла при Е, определяющего видимое движение , всегда будет равна углу
при В, определяющему равномерное движение планеты по эпициклу, то
ясно, что при нахождении планеты в точке Н до полного возвращения к
апогею в будет недоставать угла HB0, который в соединении с углом
AZB, а именно будучи от него отнят, дает угол АЕН, определяющий
среднее положение Солнца, которое будет тождественным с видимым
положением планеты. Когда же планета будет в точке К, то она опять
продвинется по эпициклу на угол 0BK, который, будучи сложен с углом
AZB, даст отсчитываемое от апогея среднее перемещение Солнца,
содержащее полуокружность и угол AZB без угла АВК, иными словами,
угол ГЕМ, диаметрально противоположный углу, определяющему видимое
положение планеты48.

   Вследствие этого для всех таких конфигураций светил прямая,
проведенная из центра В эпицикла к планете, и прямая, проведенная из
точки Е нашего зрения к среднему положению
Солнца, будут совпадать друг с другом в одной
и той же прямой. Для всех других отклонений
эти линии будут иметь другие направления,
оставаясь всегда между собой параллельными.
   Действительно, если мы в каком-нибудь
положении эпицикла проведем на прилагае-
мом чертеже [рис. 10.6] прямую BN из точки
В к планете, а из точки Е — прямую ES к
среднему положению Солнца, то на основании
вышеизложенного угол AES будет равен
вместе взятым углам AZ© и NB0, а угол
AZ0 — вместе взятым углам АЕН и HB0.
Отняв общий угол АЕН, получим, что оста-
ющиеся углы НЕЕ и HBN будут равны; следовательно, прямая ЕЕ будет
параллельна BN49. Поскольку в упомянутых конфигурациях (соединениях
и противостояниях), наблюдаемых по отношению к среднему положению
Солнца, планета усматривается [на линии, проходящей] через центр
эпицикла, как будто она совершенно не имела движения по эпициклу, но
располагалась на круге АВГ и, равномерно движимая прямой ZB, совершала
круговые обращения, как и центр эпицикла, то становится ясно, что при
помощи таких положений можно определить в отдельности зависящие от
эксцентриситета числовые отношения зодиакальной аномалии. Но так как
соединения недоступны наблюдениям, то остается производить определения
при помощи противостояний.

7. Определение эксцентриситета и положения апогея Марса
   
   Подобно тому как для Луны, определив места и времена трех полных
затмений, мы находим геометрически отношение для аномалии и положения
50
апогея , точно так же теперь, сделав для каждой из рассматриваемых
планет возможно более точные наблюдения при помощи астролябии трех
противостояний,  диаметрально противоположных  среднему  положению

Солнца, и вычислив по средним положениям Солнца в момент наблюдения
место   и   время   противостояния,   мы   определим   величину   отношения
эксцентриситета и положение апогея51.
   Для первой из этих планет, Марса, мы взяли три противостояния: [1 ]
первое из них мы наблюдали в 15 году Адриана, в ночь с 26-го на 27-е
число египетского месяца Тиби, через  1  равноденственный час после
полуночи; оно имело место на 21 градусе Близнецов ; [2] второе — в 19
году Адриана, в ночь с 6-го на 7-е число египетского месяца Фармути, за
3 часа до полуночи на 28;50 градусах Льва ; [3] третье же — во 2 год
Антонина, в ночь с 12-го на 13-е число египетского месяца Эпифи, за
2 часа до полуночи на 2;34 градусах Стрельца54. Промежутки времени
между этими противостояниями включают: от первой до второй оп-
позиции — 4 египетских года, 69 дней и 20 равноденственных часов; от
второй до третьей — также 4 года, 96 дней и 1 равноденственный час.
Время в первом промежутке содержит сверх полных оборотов 81 ;44 градус
[среднего] движения по долготе, а во втором — 95;28 градусов. Не будет
никакой существенной разницы, если средние движения за это время мы
вычислим по грубым периодическим возвращениям. Ясно, что за первый
промежуток времени планета продвинулась, не считая полных оборотов, на
67;50 градусов, а за второй — на 93;44 градуса55.
   В плоскости зодиака построим [рис. 10.7] три равные окружности. Пусть
несущей центр эпицикла Марса окружностью будет АВГ с центром Д,
эксцентром равномерного движения будет EZH с центром в, а гомо-
центрическим зодиаку кругом — КАМ с центром N, и пусть ЕОПР будет
проходящим через все эти центры диаметром. Предположим, что в первом
противостоянии центр эпицикла был в точке
А, во втором противостоянии — в В и в
третьем противостоянии — в Г. Проведем
соединительные прямые GAE, 0BZ и
вНГ, а также NKA, NAB и NHVI; таким
образом, дуга EZ эксцентра содержит 81 ;44
градус первого промежутка среднего дви-
жения, a ZH — 95;28 градусов второго; дуга
КА зодиака содержит 67;50 градусов видимо-
го движения в первом промежутке, a AM —
93;44 градуса во втором промежутке. Если
бы дуги EZ и ZH эксцентра стягивались
дугами КА и AM зодиака, то нам не
понадобилось бы ничего другого для опре-
деления эксцентриситета56. Поскольку они
[дуга КА и дуга AM ] стягивают неизвестные
дуги АВ и ВГ среднего эксцентра, после
                               проведения N2E, NTZ и NHY дуги EZ и
ZH эксцентра будут стягиваться дугами XT и TY зодиака, которые, конечно,
тоже не будут заданными. Сначала следовало бы задать дуговые разности
КЕ, AT и MY, чтобы по связанным дугам EZH и 2TY определить точно
отношение эксцентриситета. Поскольку их нельзя точно определить без
предварительного знания отношения эксцентриситета и места апогея, их
                               
все же можно задать приблизительно, даже если они не известны точно,
так как различия их невелики. Поэтому мы произведем сначала вычисление,
как будто не существует никакого заметного различия между дугами XT,
TY и дугами КЛ, ЛМ57.
    [I] Действительно, пусть АВГ [рис. 10.8] будет эксцентрическим кругом
равномерного движения Марса; предположим, что точка А соответствует

325 первому противостоянию, В — второму и Г — третьему. Возьмем внутри
него центр Д зодиака, где находится точка
нашего зрения, и из трех точек противос-
тояний проведем прямые к точке нашего
зрения, а именно АЛ, В А и ГД. Затем
продолжим одну из трех соединяющих пря-
мых до противолежащей дуги эксцентра (это
будет прямая ГДЕ), остальные же две точки
противостояний соединим прямой АВ. Из
полученной точки Е сечения эксцентра с
продолженной прямой проведем соединяю-
щие прямые к двум остальным точкам
противостояний — в нашем случае ЕА и
ЕВ. Опустим перпендикуляр на прямые,
соединяющие упомянутые две точки с цен-
тром  зодиака:  здесь перпендикуляром на
зге прямую АА будет EZ, а на ВД — ЕН. Из
одной из двух упомянутых точек опустим перпендикуляр на прямую,
соединяющую другую точку [В] с полученной дополнительной точкой на
эксцентре; на нашем чертеже из точки А на прямую BE опущен
перпендикуляр А0.
   Если мы будем сохранять эти правила построения на подобного рода
чертежах, мы обнаружим, что можно добиться тех же самых числовых
со
значений для отношений, как бы мы их ни начертили ; все же остальное
доказательство на построенных для Марса дугах может быть разъяснено
так.
    [А] Так как дуга ВГ эксцентра предполагается стягивающей 93;44 гра-
дуса зодиака, то центральный угол ВДГ должен был бы равняться
93;44 градусам, 360 которых равняются четырем прямым углам, или 187;28,
каких 360 содержится в двух прямых углах, а смежный угол ЕДН равнялся
бы 172;32 таким же градусам. Поэтому дуга на ЕН будет содержать 172;32
градуса, каких в описанной около прямоугольного треугольника ДЕН
окружности будет 360, а прямая ЕН равна 119;45 частям, каких в гипотенузе
ДЕ имеется 120. Точно так же, поскольку дуга ВГ равна 95;28 градусам,
стоящий на этой дуге угол ВЕГ равняется 95;28 градусам, каких в двух
прямых углах имеется 360. В угле ВДЕ таких градусов будет 172;32;
следовательно, угол ЕВН будет равен 92 таким же градусам. Дуга на
327 ЕН равна 92 градусам, каких в окружности, описанной около прямоуголь-
ного треугольника ВЕН, будет 360, а прямая ЕН равна 86; 19 частям, каких
в гипотенузе BE содержится 120. Следовательно, если доказано, что ЕН
равна 119;45, а ЕД — 120, то в BE таких частей будет 166;29.
   Поскольку вся дуга АВГ эксцентра по предположению стягивает на
зодиаке сумму для обоих промежутков, а именно 161 ;34 градус, угол
   
АДГ будет равен 161 ;34 градусу, каких в четырех прямых углах будет 360,
а остающийся угол АДЕ — 18;26 таким же градусам, или 36;52, каких
360 будет в двух прямых углах. Следовательно, дуга на EZ будет равна
36;52 градусам, каких в окружности, описанной около прямоугольного
треугольника AEZ, будет 360, а прямая EZ равна 37;57 частям, каких в
гипотенузе ДЕ будет 120. Поскольку после сложения дуга АВГ эксцентра
получается равной 177; 12 градусам, угол АЕГ будет равняться 177; 12
градусам, каких в двух прямых углах содержится 360. Но в угле АДЕ
таких градусов было 36;52; значит, остающийся [в треугольнике АДЕ] угол
ДАЕ будет иметь 145;56 таких же градусов. Поэтому дуга на EZ будет
равна 145;56 градусам, каких в описанной около прямоугольного треу-
гольника AEZ окружности будет 360; сама же прямая EZ будет равна
114;44 частям, каких в гипотенузе АЕ имеется 120. И, следовательно,
если прямая EZ по доказанному равнялась 37;57, а ЕД — 120 частям, то
в АЕ таких частей будет 39;42.
   Далее, так как дуга АВ эксцентра содержит 81 ;44 градус, то угол
АЕВ равняется 81 ;44 градусу, каких в двух прямых углах имеется 360.
Таким образом, дуга на А0 равна будет 81;44 градусу, каких в окружности,
описанной около прямоугольного треугольника AE0, содержится 360, а дуга
на Е0 — недостающим до полуокружности 98; 16 градусам. Из стягивающих
их прямых А0 будет равна 78;31 частям, каких в гипотенузе АЕ содержится
120, а в Е0 таких частей будет 90;45. Поэтому если в АЕ согласно
доказанному содержится 39;42 частей, а в ДЕ по предположению — 120,
то в 0А таких частей будет 25;58, а в Е0 — 30;2. Во всей же ЕВ таких
частей по доказанному будет 166;29; в остатке 0В будет 136;27 частей,
каких в 0А имелось 25;58. Квадрат на 0В равен 18 615; 1 б59, а квадрат
на 0А будет равен 674; 16, что после сложения дает квадрат на АВ, а
именно 19 289;32. Следовательно, длина АВ будет равна 138;53 таким
частям, каких в ЕД было 120, а в прямой АЕ — 39;42. Если диаметр

эксцентра принять за 120, то в прямой АВ таких
частей будет 78;31, ибо она стягивает дугу в
81 ;44 градус. Следовательно, если в прямой
АЕ будет 78;31 частей, а в диаметре эксцент-
ра — 120, то в ЕД таких частей будет 67;50,
а в АЕ — 22;44. Поэтому стоящая на ней дуга
эксцентра будет равна 21;41 градусу60, а вся
ЕАВГ — 198;53 градусам. И, значит, остаю-
щаяся дуга ГЕ будет равна 161 ;7 градусу, а
стягивающая ее прямая ГДЕ равна 118;22
частям, каких в диаметре эксцентра будет 120.
    [В] Если бы найденная прямая ГЕ была
равна диаметру эксцентра, то ясно, что на ней
оказался бы и центр последнего, а отсюда
выявилось бы и отношение эксцентриситета. Поскольку же она не равна
диаметру, но сегмент ЕАВГ получился большим полукруга, то ясно, что в
этот сегмент попадет и центр эксцентра. Предположим, что он будет в
К; через эту точку и Д проведем диаметр ЛКАМ [рис. 10.9], проходящий
через оба центра, а из К опустим на ГЕ перпендикуляр KNS. Так как
    
согласно доказанному прямая ЕГ равна 118;22 частям, каких в диаметре
ЛМ содержится 120, и в прямой ДЕ было 67;50, то, следовательно, в
остатке ГД их будет 50;32. Поскольку прямоугольник на ЕД, ДГ равен
прямоугольнику на ЛД, ДМ61, мы получим, что прямоугольник на ЛД,
ДМ будет равен 3427;51. Но прямоугольник на ЛД, ДМ вместе с квадратом
на ДК дает квадрат на половине всей этой прямой, т.е. квадрат на ЛК .
Следовательно, если от 3600, получающихся после возведения в квадрат
этой половины, мы отнимем произведение ЛД и ДМ, равное 3427;51, то у
нас останется квадрат на ДК, равный 172; 9. Тем самым мы получим длину
ДК расстояния между центрами, равную приблизительно 13;7 частям, каких
в радиусе КЛ эксцентра имеется 60 .
    [С] Далее, так как половина ГЕ, т.е. TN, равна по доказанному 59; 11
частям, каких в диаметре ЛМ содержится 120, а в прямой ГД таких частей
будет 50;32, то в остатке AN будет 8;39 частей, каких в ДК найдено 13;7.
Поэтому если гипотенузу ДК взять за 120, то в AN таких частей будет
79;8, и стягиваемая ею дуга будет иметь 82;30 градуса, каких в окружности,
описанной около прямоугольного треугольника AKN, будет 360. И,
следовательно, угол AKN будет иметь 82;30 градуса, каких в двух прямых
углах будет 360, или 41; 15 градус, 360 которых будет в четырех прямых
углах. Так как он будет при центре эксцентра, то мы получим дугу MS
равной 41; 15 градусу. Но вся дуга ГМЕ как половина Г2Е равна 80;34;
поэтому, получающаяся в остатке дуга ГМ от третьего противостояния до

перигея будет равна 39; 19 градусам64. Ясно, что если дугу ВГ положить
равной 95;28 градусам, то остающаяся дуга ЛВ от апогея до второго
противостояния будет равна 45; 13 градусам. Если же положить АВ равной
81;44 градусу, то остаток АЛ от первого противо-
стояния до апогея будет равен 36;31 градусам.
    [D.1] Считая полученные величины задан-
ными, рассмотрим получаемые на их основании
разности дуг зодиака, которые мы хотим найти
для каждого противостояния. Это мы будем делать
так65. Из чертежа для трех противостояний выделим
фигуру, соответствующую только первому противо-
стоянию [рис. 10.10]. Проведя соединительную
прямую АД, опустим из точек Д и N перпендику-
ляры ДФ и NX на продолжение прямой А0. Так
как дуга SE равна 36;31 градусам, то угол
EGS будет равняться 36;31 градусам, каких в
четырех прямых углах содержится 360, или же	N
73;2 градусам, 360 которых содержится в двух	Рис ю ло
прямых углах; столько же градусов будет содер-
жаться и в вертикальном угле А0Ф. Дуга на АФ будет равна 73;2 градусам,
каких в окружности, описанной около прямоугольного треугольника А0Ф,
содержится 360, а дуга на 0Ф — недостающим до полуокружности 106;58
градусам. Следовательно, из стягивающих эти дуги прямых АФ будет равна
71;25 части, каких в гипотенузе Д0 имеется 120, а в Ф0 таких частей
будет 96;27. Таким образом, если прямая Д0 равна 6;33,30, а радиус
АА эксцентра — 60, то в ДФ таких частей будет 3;54, а в Ф0 — 5; 16.

Так как, отняв от квадрата на ДА квадрат на ДФ, мы получим квадрат
на АФ, то длина АФ будет 59;52, а вся ХА — 65;8, ибо ХФ равна Ф0,
а в NX, вдвое большей ДФ, таких частей получается 7;48. Вследствие этого
гипотенуза NA [прямоугольного треугольника NAX] будет равна 65;36
таким же частям. И если прямую NA положить равной 120, то в NX таких
частей будет 14; 16, а стоящая на ней дуга будет равна 13;40 градусам,
каких в окружности, описанной около прямоугольного треугольника ANX,
имеется 360. Вследствие этого угол NAX будет равен 13;40 градусам, каких
в двух прямых углах содержится 360. Далее, если радиус 0Е эксцентра
положить равным 60, и согласно доказанному таких частей в XN будет
7;48, в Х0 — 10;32, а вся прямая X0E будет равна 70;32 таким же
частям, то гипотенуза NE будет равна приблизительно 71. И если прямая
NE равна 120, то в XN таких частей будет 13; 1066, а в стоящей на ней
дуге — 12;36 градусов, каких в окружности, описанной около прямоуголь-
ного треугольника ENX, содержится 360. Таким образом, угол NEX будет
равен 12;36 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360; в угле
NAX таких же градусов будет 13;40. Получающийся в остатке угол ANE
будет равен 1;4 градусу, каких в двух прямых углах имеется 360, или
0;32, каких 360 будет в четырех прямых углах. Стольким градусам будет,
значит, равна и дуга КЕ зодиака.
    [D.2] Возьмем теперь аналогичную фигуру [рис. 10.11], содержащую
часть чертежа для второго противостояния. Так как дуга SZ предполагается
равной 45; 13 градусам, то угол S0Z будет равен 45; 13 градусам, каких в
четырех прямых углах имеется 360, или 90;26, каких 360 содержится в
двух прямых углах; тому же будет равен и вертикальный угол Д0Ф. Таким

образом, дуга на ДФ будет равна 90;26 градусам;
каких в окружности, описанной около прямоуголь-
ного треугольника Д0Ф, содержится 360, а дуга
на Ф0 — недостающим до полуокружности 89;34
градусам. И, следовательно, из стягивающих их
прямых ДФ будет иметь 85; 10 таких частей, каких
гипотенуза Д0 содержит 120, а в Ф0 таких частей
будет 84;32. Поэтому если прямая Д0 равна
6;33,30, а радиус ДВ эксцентра — 60, то в ДФ
таких частей будет 4; 39, а в Ф0 — 4; 38. И если
квадрат на ДФ отнять от квадрата на ДВ, то
получится квадрат на ВФ, так что длина ФВ будет
равна 59;49, а вся прямая ХВ вследствие
равенства ФХ и Ф0 будет равна 64;27 частям,
каких в NX, вдвое большей ДФ, получается 9; 18.
Вследствие  этого  гипотенуза  NB  будет  равна
65;60/. Если NB равна 120, то XN будет равна 17;9, а дуга на ней —
16;26 градусам, каких в окружности, описанной около прямоугольного
треугольника BNX, будет 360. Таким образом, угол NBX будет равен 16;26
градусам, каких в двух прямых углах содержится 360.
   Далее, если радиус Z0 эксцентра положить равным 60, а в прямой
NX согласно доказанному таких частей содержится 9; 18 и в X© — 9; 16,
то вся прямая X0Z будет равна 69; 16 таким же частям; вследствие этого
гипотенуза NZ [прямоугольного треугольника NXZ] будет равна 69;52. И
   
если гипотенузу NZ взять за 120, то в NX таких частей будет
приблизительно 16, и стоящая на ней дуга содержит 15;20 градусов, каких
в окружности, описанной около прямоугольного треугольника ZNX, будет
360. Таким образом, угол NZX будет равен 15;20 градусам, каких в двух
прямых углах имеется 360; таких же градусов угол NBX имел 16;26; значит,
остающийся угол BNZ будет равен 1;6 такому же градусу, или 0;33 градуса,
каких в четырех прямых углах содержится 360.
Следовательно, столько градусов будет содержать и
дуга ЛТ зодиака.
    [Е] Так как для первого противостояния мы
получили KS, равной 0;32 градусов, то ясно, что
определяемая по эксцентру дуга для первого проме-
жутка будет больше видимой на сумму обоих отрезков,
а именно на 1;5 градус, и будет равняться 68;55
градусам .
    [D.3 ] Теперь возьмем чертеж для третьего противо-
стояния [рис. 10.12]. Поскольку дуга ПН предполага-
ется равной 39; 19 градусам, то угол П0Н должен
равняться 39; 19 градусам, 360 которых составляют
четыре прямых угла, или 78;38 градусам, каких 360
дают два прямых угла. Таким образом, дуга на ДФ
будет равна 78; 38 градусам, каких в окружности, описанной около
прямоугольного треугольника Д0Ф, будет 360, а дуга на 0Ф —
недостающему до полуокружности 101;22 градусу. Из прямых, стягивающих
эти дуги, ДФ будет равна 76;2 частям, каких в гипотенузе Д0 имеется
120, а ©Ф равна таким же 92;50 частям. Если прямая Д0 между центрами
равна 6;33,30, а радиус ДГ эксцентра — 60, то ДФ будет равна 4;9 частям,
а Ф© — 5; 4. Так как после вычитания квадрата на ДФ из квадрата на
ГД получается квадрат на ГФ, то прямая ГФ будет равна 59;51, а вследствие
равенства ©Ф и ФХ остаток ГХ будет равен 54;47 частям, каких в NX,
вдвое большей ДФ, содержится 8; 18. Вследствие этого гипотенуза Nr
[прямоугольного треугольника NrX] окажется равной 55;25 таким же
частям. И если принять ИГ за 120, то в NX таких частей будет 17;59, а
в стоящей на ней дуге [NX] — 17; 14 градусов, каких в окружности,
описанной около прямоугольного треугольника TNX, содержится 360. Таким
образом, угол ИГХ будет равен 17; 14 градусам, каких в двух прямых углах
содержится 360. Далее, если положить радиус ©Н эксцентра равным 60,
то в NX таких частей по доказанному будет 8; 18, а в ©X — 10;8; тогда
остаток ХН будет равен 49;52 таким же частям; вследствие этого гипотенуза
NH [прямоугольного треугольника NHX] будет равна 50;33. И, значит,
если NH положить равной 120, то NX будет равна 19;42, и стоящая на
ней дуга будет содержать 18;54 градусов, каких в окружности, описанной
около прямоугольного треугольника HNX, имеется 360. Таким образом,
угол NHX будет равен 18;54 градусам, каких в двух прямых углах
содержится 360; угол же NrX по доказанному равнялся 17; 14 таким же
градусам; остающийся угол TNH будет равен 1;40 такому же градусу, или
же 0;50 таких градусов, каких в четырех прямых углах содержится 360.
Такова будет дуга MY зодиака.
    [Е] Так как во втором противостоянии дуга ЛТ оказалась равной 0;33
градусов, то ясно, что теоретическая дуга эксцентра в этом промежутке
    
окажется меньше наблюдаемой на сумму обеих этих дуг, т.е. на 1;23 градус;
она будет содержать 92;21 градуса69.
    [II]	[F] Используя дуги, находящиеся на зодиаке и полученные
упомянутым выше образом для обоих наблюденных интервалов, а также
исходные дуги, находящиеся по предположению на эксцентре, мы, следуя
доказанной выше теореме, на основании которой определяются положение
апогея и отношение эксцентриситета, нашли, чтобы не усложнять
повторениями того же самого, что расстояние ДК между центрами равно зз°
11;50 частям, каких в радиусе эксцентра имеется 60, а дуга ГМ эксцентра
от третьего противостояния до перигея равна 45;33 градусам. Поэтому дуга
ЛВ равна 38;59 градусам, а АЛ — 42;45 таким же градусам70.
   Беря таким образом полученные при вычислениях величины для каждого
противостояния, мы, наконец, получим точные значения для каждой из
искомых  дуг,   а  именно  К2  будет  равна  0;28   градусов,   ЛТ  равна
71
приблизительно тем же 0;28 и MY равна 0;40 . Складывая величины для
первого и второго противостояний и прибавляя полученные 0;56 градусов
к 67;50 градусам первого интервала на зодиаке, мы будем иметь точно
наблюдаемое по эксцентру расстояние, равное 68;46 градусам. Складывая
затем величины для второго и третьего противостояний и вычитая
полученный 1;8 градус из наблюдаемых во втором промежутке 93;44 градусов
на зодиаке, опять найдем точно наблюдаемое по эксцентру расстояние 92;36
градуса72.
    [III]	[К]  Исходя  из этих величин и пользуясь теми же самыми
рассуждениями, мы, наконец, уточнили величину отношения эксцентрисите-
та и положение апогея. Мы нашли расстояние ДК между центрами равным 34°
приблизительно 12 частям, каких в радиусе КЛ эксцентра содержится 60,
73
а дугу ГМ эксцентра равной 44;21 градусам  . После этого ЛВ получается
равной 40; 11 градусам, а АЛ — 41 ;33.

   А то, что полученные таким способом величины
согласуются с наблюденными видимыми расстоя-
ниями   для   трех   противостояний,   мы   выясним
следующим образом74.
   [G.1] Возьмем чертеж первого противостояния
[рис. 10.13] с начерченным только эксцентром
EZ, по которому всегда перемещается центр эпи-
цикла. Так как угол А©Е равняется 41;33 градусу,
каких 360 составляют четыре прямых угла, или
83;6 градусам, 360 которых дают два прямых угла,
и тому же [значению] равен и вертикальный с ним
Z	угол Д©Ф, то стоящая на ДФ дуга должна равняться
Рис. 10.13	83;6 градусам, каких в окружности, описанной около
                        прямоугольного треугольника, содержится 360, а
дуга на Ф© будет равна недостающим до полуокружности 96;54 градусам.
Следовательно, из построенных на них прямых ДФ будет равняться
79;35 частям, каких в гипотенузе Д© содержится 120, а Ф© равна 89;50
таким же частям. Поэтому если прямая Д© равна 6, а гипотенуза ДА — 60, 34i
то таких частей в ДФ будет 3;58,30, а в Ф© — 4;30. Если из квадрата
на ДА вычесть квадрат на ДФ, то получится квадрат на ФА, и длина
                        
последней будет 59;50 таких же частей. Затем, так как Ф© равна ФХ, а
NX вдвое больше ДФ, то получим всю прямую АХ равной 64;20 частям,
каких в прямой NX имеется 7;57. На основании этого гипотенуза NA будет
равной 64;52 таким же частям. Если прямая NA равна 120, то в NX таких
же частей будет 14;44, а в построенной на ней дуге — 14;6 градусов,
каких в окружности, описанной около прямоугольного треугольника ANX,
содержится 360. Угол NAX будет равен 14;6 градусам, 360 которых
составляют два прямых, или 7;3 градусам, 360 которых дают четыре прямых
угла. Таких же градусов в угле А©Е было 41;33. Следовательно, остающийся
угол ANE видимого движения будет иметь 34;30 градуса; на столько градусов
планета предшествовала апогею в первом противостоянии.

    [G.2] Теперь построим подобный чертеж [рис. 10.14] для второго
противостояния. Так как угол B0E среднего движения эпицикла равнялся
40; 11 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360, или 80;22
градусам, 360 которых будет в двух прямых углах, и тому же будет
равняться вертикальный угол X©N, то дуга на ДФ должна равняться 80;22
градусам, каких 360 содержится в окружности,
описанной около прямоугольного треугольника Д0Ф,
а дуга на Ф0 — недостающим до полуокружности
99;38 градусам. Следовательно, из стягивающих эту
дугу прямых ДФ будет равна 77;26 частям, каких
в гипотенузе Д0 содержится 120, а Ф0 — 91;41
такой части. Поэтому если прямая Д0 равна 6, а
гипотенуза ДВ — 60, то в ДФ таких частей будет
3;52, а Ф0 — 4;35. Так как квадрат на ДФ, будучи
отнят от квадрата на ДВ, дает квадрат на ВФ, то
длина последней будет равна 59;53 таким же частям.
На основании тех же рассуждений, поскольку 0Ф
равна ФХ и NX вдвое больше ДФ, вся прямая
ВХ будет равна 64;28 частям, каких в NX будет
7;44. Вследствие этого же гипотенуза BN будет равна 64;56 таким же
частям. И если гипотенузу BN взять за 120, то в NX таких частей будет
14; 19, а в стоящей на ней дуге — 13;42 градусов, каких в окружности,
описанной около прямоугольного треугольника BNX, содержится 360. Таким
образом, угол NBX будет равен 13;42 градусам, каких в двух прямых углах
будет 360, или же 6;51 градусам, каких 360 будет в четырех прямых углах.
Но угол B0E равняется 40; 11 таким же градусам; значит, остающийся угол
ENB видимого движения будет равен 33;20 таким же градусам. Вот на
такое число градусов планета во втором противостоянии казалась отстающей
от апогея. Как было показано, в первом противостоянии планета на 34;30
градуса предшествовала апогею, вследствие этого все расстояние от первого
противостояния до второго получится равным 67;50 градусам, что вполне
согласуется с полученными в наблюдениях .
    [G.3] Возьмем такую же фигуру [рис. 10.15] для третьего противостоя-
ния. Поскольку в этом случае угол T0Z равномерного движения эпицикла
равняется 44;21 градусам, каких в четырех прямых углах будет 360, или
88;42 градусам, 360 которых дают два прямых угла, то стоящая на прямой
ДФ дуга будет равняться 88;42 градусам, каких в окружности, описанной
около прямоугольного треугольника Д0Ф, содержится 360, а дуга на Ф0 —
недостающему до полуокружности 91; 18 градусу. Следовательно, из стоящих
    

под ними прямых ДФ равна 83;53 частям, каких в гипотенузе Д® содержится
120, а Ф® — 85;49 таким же частям. Поэтому если прямая Д® равна 6,
а радиус ДГ эксцентра — 60, то ДФ будет равна 4; 11,30 частям, а Ф® —
4; 17. И так как квадрат на ДФ, отнятый от квадрата на ДГ, дает квадрат
на ГФ, то длину последней линии получим равной
59;51 таким же частям.
   Далее, поскольку Ф® равна ФХ, a NX вдвое
больше ДФ, остаток ХГ получится равным 55;34
частям, каких в прямой NX будет 8;23. Вследствие
этого гипотенузу TN получим равной 56; 12 таким
же частям. Значит, если гипотенузу TN положить
равной 120, то в NX таких частей будет 17;55, а
стоящая на ней дуга равна 17; 10 градусам, каких
в окружности, описанной около прямоугольного
треугольника TNX, содержится 360. Таким образом,
угол ®rN равен 17; 10 градусам, каких в двух
прямых углах содержится 360, или 8;35 градусам,
360 которых составляют четыре прямых угла. Но в
угле T©Z таких градусов было 44;21; следовательно, весь угол TNZ будет
равняться 52;56 таким же градусам. Именно на такое число градусов планета
предшествовала перигею в третьем противостоянии. Как было показано, во
втором противостоянии планета на 33;20 градуса отставала от апогея;
вследствие этого складываемые остатки от второго до третьего противосто-
яний дают 93;44 градуса, что вполне согласуется с величинами, наблюден-
ными во втором противостоянии  .

    [Н ] Поскольку планета, усматриваемая в третьем противостоянии по
прямой TN, находилась на полученных наблюдением 2;34 градусах Стрельца
и угол TNZ при центре зодиака оказался равным 52;56 градусам, 360
которых содержится в четырех прямых углах, то перигей эксцентра в точке
Z находился на 25;30 градусах Козерога, а
апогей — на диаметрально противоположных
25;30 градусах Рака.
   Опишем около центра Г [рис. 10.16] эпицикл
Марса КЛМ и продолжим прямую ©Г. Тогда для
времени третьего противостояния мы получим
среднее перемещение эпицикла от апогея эксцен-
тра равным 135;39 градусам, поскольку согласно
доказанному угол T0Z равняется недостающим
до полуокружности 44;21 градусам, а среднее
движение планеты [по аномалии] от апогея М
эпицикла, т.е. дуга МК, равно 171;25 градусу
вследствие того, что угол ®rN по доказанному
равняется 8;35 градусам, 360 которых составляют четыре прямых угла. Так
как это угол у центра эпицикла, то дуга КЛ от планеты К до перигея
Л равняется тем же самым 8;35 градусам, а дуга от апогея М до планеты
в точке К равна, как сказано выше, недостающему до полуокружности
171 ;25 градусу.
   Теперь, кроме прочего, нам стало ясно, что во время третьего
противостояния, т.е. во 2 год Антонина, в ночь с 12-го на 13-е число
   
египетского месяца Эпифи, за 2 равноденственных часа до полуночи
планета Марс по так называемой средней долготе отстояла от апогея
эксцентра на 135;39 градусов, по аномалии же она находилась на 171 ;25
градусе от апогея эпицикла. Это и требовалось доказать.

8. Определение величины эпицикла Марса
Поскольку вслед за этим требуется определить отношение величины
эпицикла, мы взяли для этого наблюдение, которое произвели приблизитель-
но
но через 3 дня после третьего противостояния , именно во 2 год Антонина,
в ночь с 15-го на 16-е число египетского месяца Эпифи, за 3
равноденственных часа до полуночи, так как по астролябии в меридиане
стоял 20-й градус Клешней, а среднее положение Солнца было тогда на
5;27 градусах Близнецов. При установлении собственного положения планеты
по отношению к Колосу Марс был виден на 13/5 градусе Стрельца; в то
же самое время он был виден отстоящим от центра Луны на тот же самый
70
13/5 градус в направлении последовательности знаков . Среднее положение
Луны было тогда на 4;20 градусах Стрельца, а истинное — на 29;20
градусах Скорпиона, так как по аномалии она на 92 градуса отстояла от
апогея эпицикла. Видимое же ее положение было около начала Стрельца ,
так что и отсюда получалось согласованное [с определенным по Колосу]
положение Марса, а именно 1;36 градус Стрельца; от перигея он,
естественно, отстоял на 53;54 градуса в направлении против последователь-
81
ности знаков . Время, прошедшее от третьего противостояния до этого
наблюдения, соответствует 1;32 градусу [средней] долготы и приблизительно
82

1;21 градусу аномалии . Если мы прибавим
их к уже определенным в качестве началь-
ных данных [средним] положениям для
третьего противостояния, то получим, что
во время этого наблюдения Марс находился
по [средней] долготе на 137;11 градусах
расстояния от апогея эксцентра, а по
аномалии — на 172;46 градусах от апогея
эпицикла.
   Установив это, возьмем эксцентрический
круг АВГ [рис. 10.17], несущий центр
эпицикла. Пусть центром этого круга будет
Д, а диаметром — АДГ; в точке Е
предположим центр зодиака, а в Z — точку
наибольшей эксцентричности. Описав около
В эпицикл H0K, проведем прямые ZKBH,
затем — E0B и ДВ, а из точек Д и Е
опустим на ZB перпендикуляры ЕА и ДМ. Предположим, что планета
находится в точке N эпицикла; проведя соединительные прямые EN и
BN, опустим из В перпендикуляр BE   на продолжение прямой EN83.
   Теперь, поскольку планета находится на 137; 11 градусах от апогея
эксцентра, угол BZr будет равен 42;49 градусам, каких в четырех прямых
углах содержится 360, или же 85;38 градусам, каких 360 будет в двух
   
прямых углах, то стоящая на ДМ дуга должна равняться 85;38 градусам,
каких в окружности, описанной около прямоугольного треугольника AZM,
содержится 360, а дуга на ZM — остающимся до полуокружности
94; 22 градусам. Следовательно, из находящихся под ними прямых ДМ равна
81 ;34 части, каких в гипотенузе AZ будет 120, a ZM — 88; 1 таким же
частям. Таким образом, если прямая AZ между центрами равна 6, а радиус
ДВ эксцентра — 60, то в ДМ таких частей будет 4;5, а в ZM — 4;24. 350
Так как квадрат на ДМ, вычтенный из квадрата на ДВ, дает квадрат на
ВМ, то прямая ВМ будет равна 59;52 таким же частям. Точно так же,
поскольку ZM равна МЛ, а ЕЛ вдвое больше ДМ, то получающаяся в
остатке ВЛ будет равна 55;28, а ЕЛ — 8; 10 таким же частям. Вследствие
этого гипотенуза ЕВ будет равна 56;4. И если прямая ЕВ равна 120, то
в ЕЛ таких же частей будет 17;28, а стоящая на ней дуга содержит 16;44
градусов, каких в окружности, описанной около прямоугольного треу-
гольника ВЕЛ, будет 360, так что угол ZBE равняется 16;44 градусам,
каких в двух прямых углах содержится 360.
   Далее, поскольку угол ГЕЕ, на который видимое положение Марса
предшествовало перигею Г, равен 53;54 градусам, каких в четырех прямых
углах содержится 360, или 107;48 градусам, каких 360 будет в двух прямых
углах, то в угле ГЕВ будет 102;22 таких же градуса, так как он равен
вместе взятым углу ZBE, равному согласно доказанному 16;44 таким
градусам, и углу TZB, который по предположению составляет 85;38 таких
же градусов. Тогда остающийся угол BEE будет равняться 5;26 таким же
градусам, а дуга на BE — 5;26 градусам, каких в окружности, описанной 3514
около прямоугольного треугольника BEE, имеется 360. Вследствие этого
прямая BE будет равна 5;41 частям, каких в гипотенузе ЕВ содержится
120. И если ЕВ согласно доказанному равна 56;4 частям, а радиус
эксцентра — 60, то в BE таких частей будет 2;39.
   Точно так же, поскольку точка N отстояла от апогея Н эпицикла на
172;46 градуса, а от перигея К — на 7; 14, угол KBN должен быть равен
7; 14 градусам, каких в четырех прямых углах будет 360, или же 14;28
градусам, каких 360 будет в двух прямых углах. В угле же KB® таких
градусов было 16;44, так что получающийся в остатке угол NB® равен
2; 16, а весь угол ENB — 7;42 таким же градусам. Следовательно, дуга на
ЕВ будет равна 7;42 градусам, каких в окружности, описанной около
прямоугольного треугольника BNE, имеется 360, а сама прямая BE равна
8;3 частям, каких в гипотенузе BN имеется 120.
    Если прямая BE равна 2;39, а радиус эксцентра — 60, то в радиусе
BN эпицикла таких частей будет приблизительно 39;30. Значит, отношение
радиуса эксцентра к радиусу эпицикла будет равно отношению 60 к 39;30.
Это и требовалось найти.

9. Об исправлении периодических движений Марса	352
   
   Для исправления средних периодических движений мы взяли одно из
древних наблюдений, в котором говорится, что в 13 году по Дионисию,
25-го Айгона, утром Марс был виден прикоснувшимся к звезде в северной
части лба Скорпиона. Время этого наблюдения соответствует 52 году после
   
смерти Александра, т.е. 476 году после Набонассара, и утру с 20-го на
21-е число египетского месяца Атир84, когда, как мы установили, Солнце
ос
в среднем движении находилось на 23;54 градусах Козерога . Звезда же
в северной части лба Скорпиона наблюдалась, по-нашему, на 6V3 градусах

Скорпиона86. Таким образом, от этого наблюдения до начала царствования
Антонина прошло 409 лет, которые произвели перемещение неподвижных
звезд приблизительно на 4;5 градуса, и во время упомянутого наблюдения
эта звезда Скорпиона должна была находиться на 21/4 градусах Скорпиона;
ясно, что на стольких же градусах была и планета Марс. Поскольку же в
наше время, т.е. в начале царствования Антонина, апогей Марса находился
на 25;30 градусах Рака, то во время
наблюдения он должен был находиться
на 21 ;25 градусе. И ясно, что видимое
положение планеты было тогда на
100;50 градусах от апогея, а среднее
положение Солнца на 182;29 градусах
от этого апогея, или, очевидно, на 2;29 н
87
градусах от перигея [Марса] .
   Установив это, возьмем эксцент-
рический круг АВГ, несущий центр
эпицикла [рис. 10.18]. Пусть Д будет
его центром, АДГ — диаметром, на
котором предположим в точке Е центр
зодиака, a Z — местом наибольшей
эксцентричности. Описав около центра
В   эпицикл   Н0,   проведем   прямые	рис. юл 8
ZBH и ДВ, а из Z опустим на прямую
ДВ перпендикуляр ZK. Предположим, что планета находится в точке 0
эпицикла. Соединив В0, проведем параллельно ей прямую ЕЛ из точки
Е; по этой прямой согласно доказанному выше будет наблюдаться среднее
положение Солнца. Соединив Е0, опустим на нее из точек Д и В
перпендикуляры ДМ и BN, а затем из Д перпендикулярно BN проведем
прямую ДЕ, так что фигура ДМЫЕ будет прямоугольным параллелограммом.
Теперь, так как угол AE0 видимого перемещения планеты от апогея будет
равен 100;50 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360, а
угол ГЕЛ среднего положения Солнца равняется 2;29 таким же градусам,
то угол ©ЕЛ или B0E должен будет равняться 81;39 градусу, каких в
четырех прямых углах содержится 360, или же 163; 18, каких 360 будет в
двух прямых углах. Таким образом, дуга на BN равна 163;18 градусам,
каких в окружности, описанной около прямоугольного треугольника B0N,
будет 360. Сама же прямая BN равна 118;43 частям, каких в гипотенузе
В0 содержится 120. Если радиус В0 эпицикла равен 39;30 частям, а
расстояние ЕД между центрами — 6, то в BN таких частей будет 39;3.
Поскольку угол AE0 равен 100;50 градусам, каких в четырех прямых углах
содержится 360, или же 201 ;40, каких 360 будет в двух прямых углах, и
вследствие этого смежный с ним угол ДЕМ равен 158;20 таким же градусам,
то стоящая на ДМ дуга должна быть равна 158;20 градусам, каких в

окружности, описанной около прямоугольного треугольника ДЕМ, со-
держится 360, а сама прямая ДМ — 117;52 частям, каких в гипотенузе
ДЕ имеется 120. Если прямая ДЕ будет равна 6, a BN по доказанному —
39;3 частям, то таких частей в ДМ или NE будет 5;54, а в остатке BS —
33;9 таких частей, каких в радиусе ВД эксцентра содержится 60.
Следовательно, если гипотенуза ВД равна 120, то в BS таких частей будет
66; 18, а стоящая на ней дуга равна приблизительно 67;4 градусам, каких
в окружности, описанной около прямоугольного треугольника ВДЕ, со-
держится 360. Таким образом, угол ВДЕ равен 67;4 градусам, каких в двух
оо
прямых углах содержится 360, а весь угол ВДМ будет 247;4 градусов . В
угле ЕДМ таких же градусов будет 21 ;40, поскольку угол ДЕМ равняется,
как было показано, 158;20; остающийся угол ВДЕ равен 225;24, а смежный
с ним ВДА — 134;36 таким же градусам. Поэтому дуга на ZK будет равна
134;36 градусам, каких в окружности, описанной около прямоугольного
треугольника AZK, содержится 360, а дуга на ДК — недостающим до
полуокружности 45;24 градусам. Из находящихся под ними прямых ZK
равна 110;42 частям, каких в гипотенузе АЪ имеется 120, а ДК — 46; 18 356
таким же частям. Если прямая AZ равна 6, а радиус ДВ эксцентра — 60,
то в ZK таких частей будет 5;32, а в ДК — 2; 19; остающаяся прямая
ВК равна 57;41. Вследствие этого гипотенуза BZ [прямоугольного треу-
гольника BZK] будет равна приблизительно 57;57 таким же частям. Если
прямая BZ равна 120, то в ZK таких частей будет 11;28, а стоящая на
ней дуга будет иметь 10;58 градусов, каких в окружности, описанной около
прямоугольного треугольника BKZ, содержится 360. Таким образом, угол
ZBA будет равен 10;58 градусам, каких в двух прямых углах содержится
360. Но угол ВДА равняется 134;36 таким же градусам; поэтому весь угол
BZA равен 145;34 таким же градусам, или же 72;47 градусам, каких в
четырех прямых углах содержится 360. Таким образом, во время
упомянутого наблюдения среднее положение планеты по долготе,  т.е.
расстояние центра В эпицикла от апогея, равнялось 72;47 градусам89;
вследствие этого центр В находился на 4; 12 градусах Клешней90. Поскольку
угол ГЕЛ предполагается равным 2;29 таким же градусам, а он вместе с
двумя прямыми углами полуокружности АВГ дает вместе взятые углы
BZA средней долготы и НВ® [средней] аномалии, т.е. [среднего]
перемещения планеты по эпициклу, то мы получим, что остающийся угол 357
НВ® будет равняться тем же 109; 42 градусам91. Значит, во время этого
наблюдения планета находилась на 109; 42 градусах по аномалии от апогея
эпицикла. Это и требовалось установить.
   Итак, нами доказано, что во время третьего противостояния планета
[Марс] по аномалии отстояла на 171 ;25 градус от апогея эпицикла.
Следовательно, в промежуток времени между наблюдениями, охватывающий
410 египетских годов и приблизительно 2312/з день, планета продвинулась
за вычетом 192 полных оборотов на 61 ;43 градус. Примерно такое же
прибавление мы получим при помощи составленных нами таблиц средних
движений, так как среднее дневное движение мы находили, разделив
количество  градусов,   полученных  в   полных  оборотах  с  добавлением
   
некоторого приращения, на число дней, протекших за промежуток времени
между двумя наблюдениями92.
10. Об эпохе периодических движений Марса
От первого года Набонассара и полудня 1-го числа египетского месяца
358 Тот  до   рассмотренного   наблюдения   прошло   475   египетских   года   
и
приблизительно 79V2l/4 дней; это время соответствует прибавлению 180;40
градусов долготы и 142;29 градусов аномалии . Если мы вычтем их
соответственно из установленных положений в упомянутом наблюдении, т.е.
по долготе из 4; 12 градусов Клешней и по аномалии из 109;42 градусов,
то получим для первого года Набонассара и полудня 1-го числа египетского
месяца Тот в качестве начальной эпохи для периодических движений Марса
по долготе 3;32 градуса Овна, а по аномалии 327; 13 градусов от апогея
эпицикла. На том же основании, поскольку перемещение апогеев за 475
лет составляет AV2V4 градуса и во время наблюдения апогей Марса находился
на 21 ;25 градусе Рака, то в установленное время начальной эпохи он
должен был находиться на 16;40 градусах Рака.

Книга XI


1. Определение эксцентриситета и положения апогея Юпитера
   После того как мы определили периодические движения, аномалии и
эпохи для планеты Марс, сделаем это таким же образом и для планеты
Юпитер, взяв опять для определения положения апогея и эксцентриситета
три  противостояния,  в  которых  Юпитер диаметрально  противоположен
среднему положению Солнца1. [1] Первое из них мы наблюдали при
помощи астролябии в 17 году Адриана, в ночь с 1-го на 2-е число египетского
месяца Эпифи, за 1 час до полуночи, оно имело место на 23; 11 градусах
Скорпиона ; [2] второе — в 21 году [Адриана], в ночь с 13-го на 14-е
число месяца Фаофи, за 2 часа до полуночи на 7;54 градусах Рыб ;
[3] третье — в первый год Антонина, в ночь с 20-го на 21-е число месяца
Атир, через 5 часов после полуночи, на 14;23 градусах Овна4. И из этих
двух промежутков времени тот, который прошел от первого противостояния
до второго, включает 3 египетских года, 106 дней и 23 часа, в течение
которых видимое движение планеты составило 104;43 градуса; промежуток
же от второго до третьего противостояния содержит 1 египетский год, 37
дней и 7 часов и соответственно 36;29 градусов [истинной долготы]. Таким
образом, среднее движение по долготе в первом промежутке времени
получается равным 99;55, а во втором — 33;26 градусам5. На основании

величин этих промежутков при помощи изложен-
ных нами для Марса методов мы определили
требуемые величины, предполагая сначала суще-
ствование одного лишь эксцентра. Это было
сделано следующим образом.
    [I ] Пусть АВГ [рис. 11.1] представляет экс-
центрический круг. Предположим, что точка А —
местонахождение центра эпицикла в первом про-
тивостоянии, В — во втором и Г — в третьем.
Взяв внутри эксцентра АВГ центр Д зодиака,
проведем соединительные прямые АД, ВД и ГД;
продолжим ГД до Е, проведем соединительные
Рис. ил	прямые АЕ, ЕВ и АВ. Опустим также из точки
                         Е перпендикуляры EZ и ЕН на АД и ВД, а из
А — перпендикуляр А® на прямую ЕВ.
    [А] Так как дуга ВГ эксцентра, по предположению, стягивает 36;29
градусов зодиака, то углы ВДГ и ЕДН, находящиеся при центре зодиака,
содержат 36;29 градусов, каких в четырех прямых углах имеется 360, или
72;58 градуса, 360 которых составят два прямых угла. Таким образом,
    
построенная на ЕН дуга содержит 72;58 градуса, каких в круге, описанном
около прямоугольного треугольника ЕАН, содержится 360, а прямая ЕН
равна 71 ;21 части, каких в гипотенузе ДЕ будет 120. Поскольку дуга ВГ
равна 33;26 градусам, находящийся на окружности угол ВЕГ будет равняться
33;26 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360, остающийся
же угол ЕВН будет равен 39;32 таким же градусам6. Итак, дуга на ЕН
содержит 39;32 градусов, каких в круге, описанном около прямоугольного
треугольника ВЕН, содержится 360, а прямая ЕН равна 40;35 частям, каких
в гипотенузе BE будет 120. Если ЕН, по доказанному, равна 71;21, а
прямая АД — 120, то в BE таких частей будет 210;58. Так как вся дуга
АВГ эксцентра, по предположению, стягивает получающийся от сложения
обоих промежутков 141; 12 градус , то находящийся при центре зодиака
363	угол ААГ равен 141; 12 градусу, 360 которых составляют четыре прямых
угла, или же 282;24, каких в двух прямых углах будет 360, а смежный с
ним угол АДЕ — 77;36 таким же градусам. Таким образом, дуга на EZ
содержит 77;36 градусов, каких в круге около прямоугольного треугольника
AEZ будет 360, а прямая EZ равна 75; 12 частям, каких в гипотенузе
ДЕ содержится 120. Подобно этому, так как дуга АВГ эксцентра после
сложения получается равной 133;21 градусам8, то стягиваемый ею на
окружности [центральный] угол АЕГ равен 133;21 градусам, каких в двух
прямых углах содержится 360. Таких же градусов угол АДЕ имеет 77;36;
остающийся угол EAZ будет содержать 149;3 таких же градусов9. Таким
образом, дуга на EZ равна 149;3 градусам, каких в круге, описанном около
прямоугольного треугольника AEZ, содержится 360, а прямая EZ — 115;39
частям, каких в гипотенузе ЕА будет 120; следовательно, если EZ, по
доказанному, равна 75; 12, а ЕД, по предположению, 120, то ЕА будет
равна 78;2 таким же частям.
   Далее, так как дуга АВ эксцентра равна 99;55 градусам, то угол
АЕВ при окружности составит 99;55 градусов, каких в двух прямых углах
будет 360. Дуга на А0 равна 99;55 градусам, каких в круге, описанном
около прямоугольного треугольника AE0, будет 360, а дуга на Е0 равна
недостающим до полуокружности 80;5 градусам. Из стягивающих их прямых
364	А0 будет равна 91;52 части, каких в гипотенузе ЕА имеется 120, а Е0 —
77; 12 таким же частям. Поэтому если АЕ, по доказанному, равна 78;2, а
прямая ДЕ — 120, то в А0 таких частей будет 59;44, а в Е0 — 50; 12.
Поскольку доказано, что вся ЕВ содержит 210;58 таких частей, то остаток
0В будет равен 160;46 частям, каких прямая А0 содержит 59;44. Но
квадрат на 0В равен 25 845;55, а квадрат на 0А — 3568;4; сложив их,
получим квадрат на АВ — 29 413;59. Следовательно, длина АВ будет равна
171 ;30 части, каких в ЕД было 120, а в ЕА — 78;2. И если диаметр
эксцентра принять за 120, то прямая АВ будет равна 91;52, ибо она
стягивает дугу в 99;55 градусов. Итак, если прямая АВ равна 91;52, а
диаметр эксцентра — 120, то таких частей в ЕД будет 64; 17, а в прямой
ЕА — 41 ;47. Таким образом, построенная на ЕА дуга эксцентра равна
з« 40;45 градусам, а вся дуга ЕАВГ — 174;6 градусам10. Вследствие этого
прямая ЕДГ будет равна приблизительно 119;50 частям, каких в диаметре
эксцентра содержится 120.

    [B]	Так как сегмент ЕАВГ [рис. 11.2] меньше полукруга и поэтому
центр эксцентрического круга окажется вне его, предположим, что этот
центром будет К. Проведем через него и Д проходящий через оба эти

центра диаметр ЛКДМ; из точки К опустим на
ГЕ перпендикуляр и продолжим его, пусть это
будет KNE. Теперь, если диаметр ЛМ принять за
120, вся прямая ЕГ, по доказанному, будет 119;50,
а прямая ЕД — 64; 17; остаток ГД мы получим
равным 55;33 таким же частям. Поскольку
прямоугольник между ЕД и ДГ равен прямоу-
гольнику между ЛД и ДМ то произведение
ЛД на ДМ мы получим равным 3570;56, если
диаметр ЛМ будет равен 120. Но произведение збб
ЛД на ДМ вместе с квадратом на ДК составляет
квадрат на половине диаметра, т.е. квадрат на
Рис. Н.2	ЛК12.   Поэтому,   если   от   квадрата   на   этой
                         половине, т.е. от 3600, мы отнимем произведение
ЛД на ДМ, т.е. 3570;56, то у нас останется квадрат на ДК, или 29;4 таких
же частей. И, следовательно, длина прямой ДК между центрами будет
равна приблизительно 5;23 частям , каких радиус КЛ эксцентра имеет 60.
    [C]	Далее, так как половина ГЕ, т.е. FN, равна 59;55 частям, каких
в диаметре ЛМ содержится 120, а прямая ГД, по доказанному, равна 55;33
таким же частям, то остаток AN будет равен 4;22 частям, каких в ДК
содержится 5;23. Таким образом, если гипотенуза ДК равна 120, то в
AN таких частей будет 97;20, и дуга на ней равна 108;24 градусам, каких
в круге около прямоугольного треугольника содержится 360. Угол AKN
будет равен 108;24 градусам, если принять два прямых угла за 360, или
же 54; 12, если 360 градусов равны четырем прямым углам. И так как он
находится при центре эксцентрического круга, то дуга MS получится равной 367
54; 12. Но вся дуга ГМЕ, будучи половиной ГЕЕ, равна 87;3; следовательно,
остающаяся дуга МГ от перигея до третьего противостояния будет 32;51
градуса14. Очевидно, что при ВГ, равной, по предположению, 33;26 градусам,
мы в  качестве остатка получим дугу ВМ —  расстояние  от второго
противостояния до перигея, равную 0;35 градусов15. Поскольку промежуток
АВ полагался равным 99;55 градусам, мы получим и остаток АА —
расстояние от апогея до первого противостояния, равный 79;30 градусам.
    Если бы центр эпицикла двигался по этому эксцентрическому кругу,
то можно было бы воспользоваться полученными величинами как неизмен-
ными. Но так как, по сделанному предположению, он движется по другому
кругу, а именно описанному радиусом КЛ из центра, делящего пополам
ДК, то нам опять, как и в случае планеты Марс, потребуется прежде всего
вычислить разности, получающиеся в наблюдаемых промежутках и опре-
делить, какие величины они имели бы, если бы центр эпицикла двигался
при таких же примерно отношениях для эксцентриситета не по второму
эксцентру, а по первому, производящему зодиакальную аномалию, а именно зв8
по описанному около центра К16.
    [D.1 ] Пусть эксцентрическим кругом, несущим центр эпицикла, будет
ЛМ с центром А [рис. 11.3], а эксцентрическим кругом его равномерного
движения — NE с центром Z, одинакомый с ЛМ. Проведя соединяющий
    

оба центра диаметр NAM, возьмем на нем также центр Е зодиака и прежде
всего положим, что в первом противостоянии центр эпицикла находился в
точке А. Проведем соединительные прямые ДА, ЕА, ZA3 и ES; из точек
А и Е опустим перпендикуляры ДН и Е0 на продолжение прямой AZ.
Теперь, так как угол NZS равномерного движения
по долготе, согласно доказанному, равнялся 79;30
градусам, каких в четырех прямых углах со-
держится 360, то вертикальный для него угол
AZH будет равен 79;30 градусам, 360 которых
составляют четыре прямых угла, или 159 градусам,
каких 360 будет в двух прямых углах. Дуга на
ДН будет равна 159 таким градусам, каких в круге
около прямоугольного треугольника AZN имеется
360, а дуга ZH содержит 21 градус, недостающий
до полукруга. Следовательно, из стягивающих их
прямых АН будет иметь 117;59 частей, каких в
гипотенузе AZ имеется 120, a ZH — 21;52 такую
же часть. Поэтому AZ как половина прямой EZ
содержит приблизительно 2;42 части, а радиус	рИс. н.з
ДА эксцентра — 60 таких же частей, каких в
ДН будет 2;39, а в ZH — соответственно 0;30. Так как квадрат на ДН,
отнятый от квадрата на ДА [в прямоугольном треугольнике ДАН], дает
квадрат на АН, то мы получим АН равной 59;56 таким же частям. Подобным
образом, так как ZH равна Н0, а Е0 вдвое больше ДН, вся А0 будет
равна 60;26 таким же частям, каких в прямой Е0 содержится 5; 18;
вследствие этого гипотенуза АЕ [в прямоугольном треугольнике 0EA] будет
иметь 60; 40 таких частей. Если прямая АЕ равна 120, то Е0 будет равна
10;29 таким же частям, а дуга на ней будет содержать примерно 10; 1
градусов, каких в круге около прямоугольного треугольника AE0 будет
360; таким образом, угол EA0 будет равен 10; 1 градусам, каких в двух
прямых углах содержится 360. Так как прямая Е0 равна 5; 18 частям,
каких в радиусе ZS эксцентра будет 60, а в прямой Z0 — 1, то ясно,
что вся S0 будет равна 61; и мы получим гипотенузу ES [прямоугольного
треугольника ES0] равной 61; 14 такой же части. Если прямая ЕЕ равна
120, то Е0 таких частей будет иметь 10;23, а дуга на ней — 9;55 градусов,
каких в круге около прямоугольного треугольника E0E имеется 360. И,
следовательно, угол EE0 будет равен — 9;55 градусам, каких в двух
прямых углах содержится 360. Но было доказано, что угол EA0 содержал
10; 1 таких градусов; значит, получающийся в остатке угол АЕЕ искомой
разности будет равен 0;6 градусов, каких в двух прямых углах будет 360,
или 0;3, каких 360 имеется в четырех прямых углах.
   В первом противостоянии светило усматривалось по прямой ЕА и
находилось на 23; 11 градусах Скорпиона; отсюда ясно, что если бы центр
эпицикла перемещался не по эксцентру AM, а по NE и находился в точке
Е последнего, то светило усматривалось бы по прямой ЕЕ, имея разность
в 0;3 градусов, так что оно было бы на 23;14 градусах Скорпиона.
    [D.2] Далее, если на таком же чертеже [рис. 11.4]17 мы нанесем
положение второго противостояния, то оно будет немного сдвинуто от
перигея в направлении к предшествующим знакам. Так как, по доказанному,
    
дуга EN эксцентра равнялась 0;35 градусов , то угол EZN содержит 0;35
градусов, каких 360 будет в четырех прямых углах, или 1; 10 градус, каких
360 будет в двух прямых углах. Таким образом, дуга на ДН равна 1; 10
градусу, каких в круге около прямоугольного треугольника ATM имеется
360, а дуга на ZH — недостающим до полукруга 178;50 градусам. И,

следовательно, из стягивающих их прямых ДН
будет равна 1; 13 части, каких в гипотенузе AT
имеется 120, a ZH будет приблизительно равна
120 таким же частям. Поэтому если прямая AT
равна 2;42 частям, а радиус ДВ эксцентра — 60,
то в ДН таких частей будет 0;2, а в ZH таких
же — 2;42. Равным образом и НВ будет иметь 60
таких же частей, ибо она не отличается от
гипотенузы ВД. Поскольку ЭН равна HZ, а Е0 372
вдвое больше ДН, остаток 0В мы получим равным
57; 18 таким же частям, каких в прямой Е© будет
0;4; вследствие этого гипотенуза ЕВ [прямоуголь-
ного треугольника ©BE] будет равна 57; 18 таким
же частям. Поэтому если прямая ЕВ равна 120,
то в Е© таких частей будет приблизительно 0;8,
а дуга на ней тоже будет иметь 0;8 градусов, каких в круге около
прямоугольного треугольника BE© содержится 360. И, значит, угол ЕВ©
будет равен 0;8 градусов, если два прямых угла принять за 360. Точно
так же, если весь радиус ZE эксцентра равен 60, a Z0, по доказанному,
равна 5;24, то остаток Е0 получим равным 54;36 градусам, каких в Е0
было 0;4; вследствие этого гипотенуза ЕЕ [прямоугольного треугольника
E0E] будет равна 54;36 таким же частям. Если прямая ЕЕ равна 120, то
Е© будет равна приблизительно 0; 10, а дуга на ней содержит 0;10 градусов,
каких в круге около прямоугольного треугольника E0E имеется 360. Таким
образом, угол ЕЕ© будет равен 0; 10 градусов, каких в двух прямых углах
будет 360, а получающийся в остатке угол BEE — 0;2 таких же градусов,
или 0;1 градусов, каких 360 будет в четырех прямых углах19. Отсюда ясно,
что так как во втором противостоянии светило, усматриваемое по прямой 373
ЕВ, находилось на 7;54 градусах Рыб, то, если бы оно усматривалось по
ЕЕ, оно находилось бы только на 7;53 градусах Рыб.
    [D.3] Теперь возьмем чертеж для третьего противостояния [рис. 11.5],
которое находилось от перигея в направлении последовательности знаков.
Так как дуга NE эксцентрического круга предполагалась равной 32;51
градусам, то угол NZE содержит 32;51 градуса, каких в четырех прямых
углах будет 360, или 65;42 градуса, каких 360 имеется в двух прямых
углах. Таким образом, дуга на ДН равна 65;42 градусам, каких в круге
около прямоугольного треугольника AZH содержится 360, а дуга на ZH —
недостающим до полукруга 114;18 градусам. И, следовательно, из стяги-
ваемых ими прямых ДН будет равна 65;6 частям, каких в гипотенузе
AT имеется 120, a ZH — 100;49. Поэтому если прямая AT равна 2;42, а
радиус ДГ эксцентра — 60, то в ДН таких частей будет 1;28, а в ZH —
2;16. Так как квадрат на ДН, отнятый от квадрата на ГД, дает квадрат 374
на ГН, то последняя прямая получится равной приблизительно 59;59 таким
же частям. Подобно этому, если   0Н равна HZ, а Е0 вдвое больше ДН,
    

то остаток Г0 получится равным 57;43 частям, каких в прямой Е0 будет
2;56; вследствие этого гипотенуза ЕГ [прямоугольного треугольника Е0Г]
будет равна 57;47 таким же частям. Если прямая
ЕГ равна 120, то Е0 будет иметь 6;5 таких частей,
а дуга на ней равна 5;48 градусам, каких в круге
около прямоугольного треугольника ГЕ0 будет
360. Таким образом, угол ЕГ0 будет иметь 5;48
градусов, каких в двух прямых углах содержится
360. Точно так же, если радиус ZE эксцентра
равен 60, а вся Z0 имеет 4;32 таких части, то
остаток S0 получится равным 55;28 частям, каких
в Е0 было 2;56; вследствие этого гипотенуза
ES [прямоугольного треугольника E0S] будет
равна 55;33 таким же частям. Поэтому если
прямая ЕЕ равна 120, то Е0 будет равна 6;20
таким же частям, а дуга на ней будет иметь 6;2
градусов, каких в круге около прямоугольного	рИс. и.5
треугольника E0E содержится 360. И, следова-
тельно, угол EE0 будет иметь 6;2 градусов, каких в двух прямых углах
20
содержится 360, а получающийся в остатке угол ГЕЕ — 0; 14 таких же
градусов, или 0;7 градусов, каких в четырех прямых углах содержится 360.
    [E]	Таким образом, если в третьем противостоянии светило, усматри-
ваемое по ЕГ, находилось на 14;23 градусах Овна, то опять ясно, что,
если бы оно оказалось на прямой ЕЕ, оно находилось бы на 14;30 градусах
Овна. Но показано, что в первом противостоянии оно находилось на 23; 14
градусах Скорпиона, а во втором — на 7;53 градусах Рыб; следовательно,
видимые расстояния светила, если наблюдать их не по отношению к
эксцентрическому кругу, несущему центр эпицикла, но по отношению к
21
кругу, по которому совершается его равномерное движение , получаются
такими: от первого противостояния до второго — 104;39 градуса, а от
второго до третьего — 36;37 градусов.
[F]	Воспользовавшись полученными величинами, на основании теоремы,
22        -
доказанной выше , найдем, что расстояние между центрами зодиака и
эксцентрического круга, по которому совершается равномерное движение
эпицикла, будет равно приблизительно 5;30 частям, каких в диаметре
эксцентра содержится 120; дуги же эксцентрического круга будут: от апогея
до первого противостояния — 77; 15 градусов, от второго противостояния до
перигея — 2;50 градуса, от перигея же до третьего противостояния — 30;36
градусов. А то, что эти величины верно определены указанным способом,
следует из того, что вычисленные на их основании разности расстояний
[измеренные по деференту и экванту] приблизительно равны первоначаль-
23
ным . Это же выясняется из того, что видимые расстояния светила [по
долготе], определенные при помощи упомянутых соотношений, оказались
теми же, что и наблюденные. Это мы покажем следующим образом.
    [G.1] Опять возьмем чертеж [рис. 11.6] для первого противостояния,
на котором имеется только эксцентр, по которому перемещается центр
эпицикла. Угол AZA, по доказанному, равняется 77; 15 градусам, 360
которых составляют четыре прямых угла; если же 360 взять за два прямых
угла, то AZA и вертикальный с ним угол AZH будут равны 154;30; поэтому
    
находящаяся на ДН дуга окажется равной 154;30 градусам, каких в круге
около прямоугольного треугольника AZH содержится 360, а дуга на ZH —
недостающим до полуокружности 25;30 градусам. Вследствие этого стягива-
ющие их прямые будут равны: ДН — 117;2 частям, каких в гипотенузе
AZ содержится 120, ZH — 26;29 таким же частям. Таким образом, если
прямая ZA равна 2;45, а радиус ДА эксцентра — 60, то в ДН таких
частей будет 2;41, а в ZH — 0;36. На основании тех же рассуждений, что
и выше, получим, что прямая АН будет равна 59;56 частям24, а вся А0 —

60;32 частям, каких в прямой Е0, вдвое большей,
чем ДН, имеется 5;22; поэтому гипотенуза АЕ
[прямоугольного треугольника AE0] получается
равной 60;46 таким же частям. И если прямая
АЕ равна 120, то в Е0 будет 10;36 таких же
частей, а находящаяся на ней дуга будет равна
10;8 градусам, каких в круге около прямоугольного
треугольника AE0 содержится 360. И, следователь-
но, угол EA0 будет равен 10;8 градусам, каких в
двух прямых имеется 360, а остающийся угол
АЕА будет иметь 144;22 таких же градуса, или
72; 11  градуса,  каких в четырех прямых углах
содержится 360 . Вот на сколько градусов в первом
противостоянии светило отстояло от апогея на
зодиаке.

    [G.2] Теперь возьмем чертеж [рис. 11.7] для
второго противостояния. Так как угол BZM пред-
полагается равным 2;50 градусам, каких в четырех
прямых углах содержится 360, или 5;40 градусам,
каких 360 содержится в двух прямых углах, то
построенная на ДН дуга будет иметь 5;40 градусов,
каких в круге около прямоугольного треугольника
AZH было бы 360, а дуга на ZH равняется
недостающим до полукруга 174;20 градусам. И,
следовательно, из стягивающих их прямых в ДН
будет 5;55 частей, каких в гипотенузе AZ имеется
120, а в ZH — 119;51 таких же частей. Таким
образом, если прямая AZ равна 2;45, а радиус
ДВ эксцентра — 60, то таких частей в ДН будет
0;8, а в ZH — приблизительно 2;45. На том же основании ВН будет равна
приблизительно 60 таким же частям, а остаток В0 — 57; 15 частям, каких
в прямой Е0 будет 0;16; вследствие этого гипотенуза ЕВ [прямоугольного
треугольника EB0] получится равной 57; 15 таким же частям. И если
прямая ЕВ равна 120, то в Е0 таких частей будет 0;33, а стягивающая
ее дуга будет иметь 0;32 градусов, каких в круге около прямоугольного
треугольника BE0 содержится 360. Поэтому угол EB0 будет равен 0;32
градусов, каких в двух прямых углах содержится 360, а весь угол ВЕМ —
6; 12 таким же градусам, или 3;6 градусам, каких 360 содержится в четырех
прямых углах. Следовательно, во втором противостоянии светило находилось
на 3;6 градусах от перигея в направлении против последовательности знаков.
Но было доказано26, что в первом противостоянии оно отстояло от перигея
    
на 72; 11 градуса в направлении последовательности знаков; поэтому видимое
расстояние от первого противостояния до второго получается равным
недостающим до полукруга 104;43 градусам, что согласуется с расстоянием,
полученным из наблюдений27.


    [G.3] Возьмем также чертеж [рис. 11.8] и для третьего противостояния.
Было доказано, что угол MZr равняется 30;36 градусам, каких в четырех
прямых углах имеется 360, или 61; 12 градусу, каких 360 будет в двух
прямых углах. Тогда дуга на ДН равна 61; 12 градусу, каких в круге около
прямоугольного треугольника AZH содержится 360, а дуга на ZH —
недостающим до полукруга 118;48 градусам; следовательно, из стягивающих
их прямых ДН будет равна 61 ;6 части, каких в гипотенузе AZ содержится
120, a ZH — 103;17 таким же частям. Поэтому если прямая AZ равна
2;45, а радиус ГД эксцентра — 60, то в ДН будет 1;24 такая часть, а в
ZH — 2;22. На том же основании ГН будет
равна 59;59 таким же частям, а остаток Г0 —
57;37 частям, каких в Е0 получится 2;48.
Поэтому гипотенуза ЕГ [прямоугольного тре-
угольника Е0Г] будет равна 57;41 таким же
частям. И, следовательно, каких частей в
прямой ЕГ имеется 120, таких частей в Е0
будет 5;50, а стоящая на ней дуга равняется
5;34 градусам, каких в круге около прямоу-
гольного треугольника ГЕ0 содержится 360.
Таким образом, угол ЕГ0 будет равен 5;34
градусам, каких в двух прямых углах со-
держится 360, а весь угол МЕГ равен 66;46
таким же градусам, или 33;23 градусам, каких
360 содержится в четырех прямых углах. Вот
на какое число градусов в третьем противос-
тоянии светило отстояло от перигея в направ-
лении последовательности знаков.
   Но было показано, что во втором противо-
стоянии оно от того же перигея отстояло на
3;6 градуса против последовательности знаков;
следовательно, получается, что кажущееся
расстояние от второго противостояния до третье-
го равняется 36;29 градусам, что опять согла-
суется с наблюденным28.
    Отсюда ясно, что если в третьем противо-
стоянии светило находилось на полученных из	Рис. U.9
наблюдения   14;23   градусах   Овна   и,   как
показано, отстояло от перигея на 33;23 градуса в направлении последова-
тельности знаков, то перигей его эксцентра находился на 11 градусах Рыб,
а апогей — в диаметрально противоположной точке, на 11 градусах Девы.
    [Н] Если около центра Г [рис. 11.9 ]29 мы опишем эпицикл H0K,
то среднее движение по долготе от находящегося в Л апогея эксцентра
получится равным 210;36 градусам, так как было доказано, что угол
MZr равнялся 30;36 градусам, каких в четырех прямых углах содержится
    
348

XI.2. Определение величины эпицикла Юпитера


360, а дуга ЭК эпицикла от перигея 0 до светила в К равна 2;47 градусам,
поскольку было доказано, что угол EFZ равняется 5;34 градусам, каких в
двух прямых углах содержится 360, или 2;47, каких 360 содержится в
четырех прямых углах. Следовательно, во время третьего противостояния,
а именно в первом году Антонина, в ночь с 20-го на 21-е число египетского
40
месяца Атир, через 5 часов после полуночи  , планета Юпитер в своем
среднем движении по долготе отстояла на 210;36 градусов от апогея зв2
эксцентра, т.е. находилась на 11;36 градусах Овна, имея аномалию 182;47
градуса от апогея Н эпицикла31.

2. Определение величины эпицикла Юпитера
   
   Для определения величины эпицикла мы взяли наблюдение, которое
было произведено нами во 2 году Антонина, в ночь с 26-го на 27-е число
египетского месяца Месоре, перед восходом Солнца, т.е. приблизительно
через 5 равноденственных часов после полуночи. Среднее положение Солнца
было на 16; 11 градусах Рака, и в меридиане по наблюдениям с астролябией
стоял 2-й градус Овна; Юпитер по своему положению относительно самой
яркой из Гиад наблюдался на \5V2V4 градусах Близнецов и казался в
42
одинаковом   положении   с  центром  Луны,   находящейся   южнее .   На
основании изложенных ранее вычислений мы нашли, что в этот час   Луна
в среднем движении находилась на 9;0 градусах Близнецов, имея от апогея
эпицикла [среднюю] аномалию 272;5 градуса; вследствие этого точное ее звз
положение было на 14;50 градусах Близнецов, а видимое в Александрии —
на  15;45. Значит, планета Юпитер и по этому счету находилась на
\SV2V4 градусах Близнецов . Далее, так как от третьего противостояния
до данного наблюдения прошло время, равное 1 египетскому году и 276
дням, то в течение этого времени (ощутимой разницы не получится, даже
если взять более округленные данные) планета прошла 53; 17 градуса
долготы и 218;31 аномалии; прибавив это к положениям, определенным
для третьего противостояния, мы получим, что во время рассматриваемого
4Л
наблюдения [средняя] долгота от того же самого апогея была при-
близительно 263;53 градуса, а [средняя] аномалия от апогея эпицикла —
41; 18 градус.
На  основании  этих  данных  возьмем  опять  чертеж   [рис.   11.10],
аналогичный используемому в подобной ситуации для Марса37, на котором,
однако, эпицикл расположен по направлению последовательности знаков за
перигеем эксцентра, а положение планеты — за апогеем эпицикла в
соответствии со взятыми средними положениями по долготе и аномалии.
Так как среднее положение по долготе от апогея эксцентра равняется 384
263;53 градусам, то угол BZr равен 83;53 градусам, каких 360 составляют
четыре прямых угла, или 167;46 градусам, каких 360 составляют два прямых
угла. Таким образом, дуга на ДМ будет равна 167;46 градусам, каких в
круге около прямоугольного треугольника AZM содержится 360, а дуга на
ZM — недостающим до полукруга 12; 14 градусам. И, следовательно, из
стягивающих их прямых линий ДМ будет равна 119; 19 частям, каких в
гипотенузе AZ содержится 120, a ZM — 12;47 таким же частям. Поэтому
если прямая AZ равна 2;45, а радиус ДВ эксцентра — 60, то в ДМ таких

частей будет приблизительно 2;44, а в ZM — 0; 18. Так как квадрат на
ДМ, отнятый от квадрата на ДВ, дает квадрат на MB, то MB будет равна
59;56 таким же частям. Точно так же, поскольку ZM равна МЛ, а ЕЛ
385 вдвое больше ДМ, то остаток ЛВ будет содержать 59;38 частей, каких в
ЕЛ получается 5; 28; поэтому гипотенуза ЕВ [прямоугольного треугольника
ЛВЕ] будет равна 59;52 таким же
частям. И, следовательно, если прямая
ЕВ равна 120, то в ЕЛ таких частей
будет приблизительно 10;58, а дуга на
ней равна 10;30 градусам, каких в
круге около прямоугольного треуголь-
ника ВЕЛ содержится 360; таким обра-
зом, угол EBZ будет равен 10;30
градусам, каких в двух прямых углах
будет 360. Но таких градусов в угле
BZr было 167;46; значит, весь угол
ВЕГ  будет  равен  178; 16  таким  же
38
градусам .
   Далее, так как перигей Г находится
приблизительно на 11 градусах Рыб, а
планета наблюдалась по прямой ЕК на
15;45   градусах   Близнецов,   то   угол
КЕГ равняется 94;45 градусам, каких в четырех прямых углах содержится
360, или же 189;30 градусам, каких 360 будет в двух прямых углах, а
остающийся угол ВЕК — 11; 14 таким же градусам . Поэтому дуга на
BN равна 11; 14 градусам, каких круг около прямоугольного треугольника
BEN содержит 360, а прямая BN — 11;44 частям, каких в гипотенузе
ЕВ будет 120. И, следовательно, если прямая ЕВ равна 59;52, радиус
эксцентра — 60, то BN будет равна 5;50 таким частям.
   Подобно этому, так как дуга НК равна 41; 18 градусу, то угол НВК
равняется 41; 18 градусу, каких в четырех прямых углах содержится 360,
зев или 82;36 градусам, каких 360 будет в двух прямых углах. Но в угле
EBZ, т.е. в HB0, таких градусов было 10;30; вследствие этого остающийся
угол 0BK будет равен 72;6. Но было показано, что угол KE0 равнялся
11;14 таким градусам; значит, остающийся угол BKN [в треугольнике
ЕВК] равен 60;52 таким же градусам; поэтому дуга на BN равна 60;52
градусам, каких круг около прямоугольного треугольника BKN содержит
360, а прямая BN — 60;47 частям, каких в гипотенузе ВК имеется 120.
И, следовательно, если прямая BN равна 5;50, а радиус эксцентра 60, то
таких частей в радиусе ВК эпицикла будет приблизительно П^О40. Это и
требовалось определить.

3. Об исправлении периодических движений Юпитера
   
   Вслед за этим для определения периодических движений мы взяли еще
одно из записанных надежных старых наблюдений; в нем устанавливается,
что в 45 году по Дионисию, 10 Парфенона планета Юпитер на рассвете
покрыла южного из [двух] Ослят. Это время соответствует 83 году после
   
кончины Александра, утру с 17-го на 18-е число египетского месяца Эпифи,
когда, по нашим расчетам, положение Солнца в среднем движении было
на 9;56 градусах Девы41. Но называемая южным Осленком звезда,
находящаяся около туманности в Раке, была, по нашим наблюдениям, на
11V3 градусах Рака, а во время данного наблюдения, очевидно, на 7;33
градусах, поскольку за 378 лет между обоими наблюдениями42 прибавляется
3;47 градуса. Следовательно, тогда планета Юпитер, покрывшая упомянутую

звезду, находилась также на 7;33
градусах Рака. Подобно этому, так как
в наше время апогей был на 11
градусах Девы, то во время расс-
матриваемого наблюдения он должен
был находиться на 7; 13 градусах Девы;
ясно, что видимое положение светила
находилось от тогдашнего апогея экс-
центра на расстоянии 300;20 градусов,
а среднее положение Солнца было на
2;43 градусах от того же апогея.
   На основании этих данных возьмем
опять чертеж, подобный используемому
в аналогичной ситуации для Марса43,
только сделаем в нем изменения со-
гласно данным положениям во время
наблюдения [рис. 11.11], а именно
поместим эпицикл в В перед апогеем А, а среднее положение Солнца —
в Л на небольшом расстоянии за его собственным апогеем; вследствие этого
положение планеты в 0 было за апогеем Н эпицикла. Подобно предыдущему
проведем, как всегда, соединительные прямые ZBH, ДВ, В0 и Е0, затем
перпендикуляры ZK на ДВ, ДМ и BN на Е0 и ДЕ на продолжение NB,
образующие прямоугольный параллелограмм AMNE. Так как угол AE0,
соответствующий недостающей до полного круга зодиака дуге в 300;20
градусов, равен 59;40 градусам, каких в четырех прямых углах содержится
360, а угол АЕЛ равен 2;43 таким же градусам, то весь угол ЛЕ0, или
B0E, равняется 62;23 градусам, каких в четырех прямых углах содержится
360, или 124;46 градусам, каких 360 будет в двух прямых углах. Таким
образом, дуга на BN равна 124;46 градусам, каких в круге около
прямоугольного треугольника B0N содержится 360, а прямая BN — 106;20
частям, каких гипотенуза В0 имеет 120. И, следовательно, если радиус
эпицикла равен 11;30, то в BN таких частей будет 10;12.
   Далее, так как угол ДЕМ, по предположению, равен 59;40 градусам,
каких в четырех прямых углах содержится 360, или 119;20 градусам, каких
360 будет в двух прямых углах, а остающийся угол МДЕ — 60;40 таким
же градусам, то дуга на ДМ равняется 119;20 градусам, каких круг около
прямоугольного треугольника ДЕМ содержит 360, а прямая ДМ — 103;34
частям, каких в гипотенузе ЕД будет 120. Поэтому если прямая ЕД равна
2;45, а радиус ДВ эксцентра — 60, то в ДМ таких частей будет 2;23, а
во всей BNE — 12;35. Таким образом, если гипотенузу ВД [прямоугольного
треугольника ВДЕ] принять за 120, то в BE таких частей будет 25; 10, а
дуга на ней будет иметь 24; 14 градуса, каких круг около прямоугольного
   
треугольника В AS содержит 360. И, следовательно, угол В AS равен 24; 14
градусам, каких в двух прямых углах содержится 360; остающийся [после
вычитания угла BAS из прямого угла MAS] угол ВАМ равен 155;46 таким
же градусам, весь угол ВДЕ — 216;26 и, наконец, остающийся [из суммы
двух прямых углов] угол BAZ — 143;34 таким же градусам. Поэтому дуга
на ZK равна 143;34 градусам, каких круг около прямоугольного треугольника
ZAK содержит 360, а дуга на АК — недостающим до полукруга 36; 26
градусам. Вследствие этого из стягивающих их прямых ZK будет равна
113;59 частям, каких в гипотенузе AZ имеется 120, а АК — таким же
37;31 частям. И если прямая AZ равна 2;45, а радиус АВ эксцентра — 60,
то KZ будет содержать 2;37 такие части, АК — 0;52, а остаток KB — 59;8;
поэтому гипотенуза ZB [прямоугольного треугольника BKZ] будет равна
59; 12 таким же частям. Если прямая ZB равна 120, то в ZK таких частей
будет 5; 18, а в дуге на ней — 5;4 градусов, каких круг около прямоугольного
треугольника BZK содержит 360. И, следовательно, угол ZBA равен 5;4
градусам,   каких  два   прямых   угла  имеют  360,   а   весь   угол  AZB,
соответствующий средней долготе, содержит 148; 38 таких же градусов44,
или же 74; 19 градуса, каких в четырех прямых углах будет 360. Но так
как угол НВ©, сложенный с BZr и полуокружностью, т.е. уменьшенный
на AZB, дает угол АЕА, равный 2;43 таким же градусам, то мы получим
угол НВ©, представляющий перемещение планеты от апогея эпицикла,
равным 77;2 таким же градусам45.
   Итак, мы показали, что во время упомянутого наблюдения планета
Юпитер в своем среднем движении по долготе находилась на 285;41 градусах
от апогея эксцентра, т.е. в среднем движении на 22;54 градусах Близнецов,
имея аномалию от апогея эпицикла 77;2 градусов.
Но нами было показано, что во время третьего противостояния планета
Юпитер отстояла от апогея эпицикла на 182;47 градуса46; следовательно,
за протекшие между двумя наблюдениями 377 египетских лет и 128 дней,
уменьшенных приблизительно на 1 час, планета, кроме 345 полных оборотов
по аномалии, прошла еще 105;45 градусов, и это прибавление аномалии
почти сходится с градусами, полученными нами при помощи [таблиц]
средних движений. На основании этого мы получили дневное движение,
разделив число градусов, получающееся от сложения полных оборотов и
прибавления аномалии, на число заключающихся в этом промежутке дней47.
4. Об эпохе периодических движений Юпитера
Так как от полудня 1-го числа египетского месяца Тот первого года
Набонассара до времени упомянутого древнего наблюдения48 прошло 506
египетских лет и приблизительно 316V^V4 дней и за это время получились
приращения 258; 13 градусов долготы и 290;58 градусов аномалии, то, отняв
эти величины от установленных в упомянутом наблюдении49 значений, мы
получим для указанной эпохи, как и для других планет, среднее положение
планеты Юпитер по долготе 4;41 градуса Клешней и величину аномалии
146;4  градусов  от апогея  эпицикла.  Таким  же  образом  получится  и
положение апогея его эксцентрического круга — на 2;9 градусах Девы50.

5. Определение эксцентриситета и положения апогея Сатурна
В заключение нам остается определить теоретические величины аномалии
и эпохи лишь для планеты Сатурн51. Сначала мы, как и для других планет,
при определении положения апогея и эксцентриситета возьмем три
противостояния планеты, когда она была диаметрально противоположной
среднему положению Солнца. [ 1 ] Первое из них мы наблюдали при помощи
астролябических инструментов в 11 году Адриана, в ночь с 7-го на 8-е
52
число египетского месяца Пахон, вечером на 1; 13 градусе Клешней ;
[2] второе — в 17 году того же Адриана, 18-го числа египетского месяца
Эпифи; время и место точного противостояния мы вычислили при помощи
сделанных для этого предшествующих и последующих наблюдений, а именно
в 4 часа после полудня 18-го числа на 9;40 градусах Стрельца ; [3] третье
противостояние мы наблюдали в 20 году Адриана, 24-го числа египетского
месяца Месоре; время точного диаметрального положения мы также
вычислили, оно пришлось на самый полдень 24-го числа, а место его было
на 14; 14 градусах Козерога54.

   Итак, из двух этих промежутков времени тот, который прошел от
первого противостояния до второго, составляет 6 египетских лет, 70 дней
и 22 часа, видимое же движение планеты составило 68;27 градусов;
промежуток времени от второго до третьего противостояния составил 3
египетских года, 35 дней и 20 часов и [по видимой долготе] 34;34 градуса.
Для среднего движения по долготе получается округленно в течение первого
промежутка времени 75;43 градусов, а в течение
второго промежутка — 37;5255.
    [I] Установив величины упомянутых расстоя-
ний, определим заданные величины опять при
помощи того же метода, а именно предположив
сначала, что существует один только эксцен-
трический круг. Это мы сделаем следующим
образом.
   [А] Чтобы не повторяться, возьмем чертеж
[рис. 11.12], подобный употреблявшимся нами в
                 таких   же   определениях56.   Так   как   дуга   ВГ
Рис' 11 12	эксцентра,  по предположению,  стягивает 34;34
градуса зодиака, то угол ВАГ или ЕАН, находящийся при центре зодиака,
равен 34;34 градусам, каких четыре прямых угла содержат 360, или 69;8
градусам, каких 360 будет в двух прямых углах. Таким образом, дуга на
ЕН равна 69;8 градусам, каких круг около прямоугольного треугольника
АЕН имеет 360, а прямая ЕН содержит 68;5 частей, каких в гипотенузе
АЕ будет 120. Подобно этому, так как [дуга] ВГ составляет 37;52 градусов,
то угол ВЕГ как находящийся при окружности будет равен 37;52 градусам,
каких в двух прямых углах содержится 360, а остающийся угол ЕВН —
31; 16 такому же градусу57. Поэтому дуга на ЕН составит 31; 16 градус,
каких в круге около прямоугольного треугольника ЕВН будет 360, а прямая
ЕН равна 32;20 частям, каких гипотенуза BE содержит 120. И если, как
показано, ЕН равна 68;5, а прямая ЕА — 120, то BE будет содержать
252;41 такие части.

Далее, так как вся дуга АВГ соответствует 103; 1 градусам, получаю-
СО
щимся от сложения обоих расстояний , то находящийся при центре зодиака
угол ААГ равняется 103; 1 градусам, каких в четырех прямых углах
содержится 360. Вследствие этого смежный с ним угол ААЕ будет иметь
76;59 таких же градусов, или 153;58 таких, каких в двух прямых углах
будет 360. Таким образом, дуга на EZ равна 153;58 градусам, каких круг
около прямоугольного треугольника AEZ имеет 360, а прямая EZ содержит
116;55 частей, каких в гипотенузе АЕ будет 120. Подобным же образом,
так как дуга АВГ эксцентра получается равной 113;35 градусам59, то
находящийся при окружности угол АЕГ равняется 113;35 градусам, каких
в двух прямых углах будет 360. Но таких же градусов в угле ААЕ было
153;58, вследствие этого остающийся угол ZAE будет их иметь 92;2760;
таким образом, дуга на EZ равна 92;27 градусам, каких в круге около
прямоугольного треугольника AEZ имеется 360, а прямая EZ содержит
86;39 частей, каких в гипотенузе АЕ будет 120. И если, по доказанному,
EZ равна 116;55, а прямая ЕА — 120, то ЕА будет равна 161 ;55 такой
части.
   Далее, так как дуга АВ эксцентра равна 75;43 градусам, то находящийся
при окружности угол АЕВ равняется 75;43 градусам, каких в двух прямых
углах имеется 360; дуга на А© имеет 75;43 градусов, каких в круге около
прямоугольного треугольника АЕ© содержится 360, а дуга на Е© —
недостающие до полуокружности 104; 17 градуса. И, следовательно, из
стягиваемых ими прямых А© будет содержать 73;39 части, каких в
гипотенузе ЕА имеется 120, а Е© — 94;45 такие же части; поэтому если
АЕ, по доказанному, равна 161 ;55, а прямая АЕ — 120, то А© будет

равна 99;23, таким же частям61, а Е© — 127;51. Но, как было показано,
вся ЕВ содержит 252;41 такие же части; поэтому остаток ©В имеет 124;50
части, каких в прямой А© будет 99;23; квадрат на ©В равен 15 583;22,
а квадрат на А© — 9877;3. Сложив их, мы получим квадрат на АВ равным
25 460;25; таким образом, длина АВ будет равна 159;34 частям, каких в
ЕА было 120, а в ЕА — 161 ;55. И если диаметр
эксцентра равен 120, то прямая АВ будет иметь
73;39 такие части, ибо она стягивает дугу в 75;43
градусов; по доказанному, если прямая АВ будет
равна 73;39, а диаметр эксцентра — 120, то в
ЕА таких частей будет 55; 23, а в прямой ЕА —
74;43. Таким образом, дуга ЕА эксцентра равна
77;1 градусам, вся ЕАВГ — 190;36 градусам, а
остающаяся часть ГЕ, очевидно, 169;24 градусам.
Вследствие этого прямая ГАЕ будет приблизительно
равна 119;28 частям, каких в диаметре эксцентра
содержится 120.
    [В] Итак, возьмем центр эксцентрического
круга: он будет лежать внутри сегмента ЕАГ
[рис. 11.13], так как последний больше полукруга.
Пусть этим центром будет К; через оба центра К и А проведем диаметр
ЛКАМ эксцентрического круга; опустив из К на ГЕ перпендикуляр,
продолжим его, и пусть это будет KNS. Теперь, так как было показано,

что вся ЕГ равняется 119;28 частям, каких в диаметре ЛМ было 120, а
прямая ЕА — 55;23, то остаток АГ мы получим равным 64;5 таким же
частям. Поскольку площадь содержащегося между ЕА и АГ прямоугольника
62
равна площади, содержащейся между АА и AM , мы получим произведение 398
АА на AM равным 3549; 9 единицам, каких в диаметре ЛМ содержится
120. Но произведение АА на AM вместе с квадратом на АК дает квадрат
на половине диаметра, т.е. на ЛК . И если от квадрата на этой половине,
т.е. от 3600, мы отнимем 3549;9, то в остатке у нас получится квадрат
на АК, равный 50;51 таким же частям. И, следовательно, длина АК
(расстояние между центрами) будет приблизительно равна 7;8 частям, каких
мы полагали в диаметре 12064.
    [С] Далее, так как половина ГЕ, т.е. EN, равна 59;44 частям, каких
в диаметре ЛМ содержится 120, и было доказано, что прямая ЕА равна
55;23 таким же частям, то остаток AN мы получим равным 4;21 частям,
каких в АК было 7;8. Таким образом, если гипотенузу АК [прямоугольного
треугольника AKN] принять за 120, то в AN таких частей будет 73; 11, и
дуга на ней содержит 75; 10 градусов, каких в описанном около
прямоугольного треугольника AKN круге содержится 360. Следовательно,
угол AKN будет равен 75; 10 градусам, каких в двух прямых углах
содержится 360, или 37;35 градусам, каких 360 будет в четырех прямых
углах. Поскольку этот угол находится у центра эксцентрического круга,
мы получим дугу SM равной 37;35 градусам65. Дуга ГН, будучи половиной
ГЕЕ, равна 84;42 градусам, поэтому остаток ГЛ (расстояние от апогея до 399
третьего противостояния) будет равен 57;43 градусам66. Но в ВГ таких
градусов предполагалось 37;52; вследствие этого остаток (дуга ЛВ от апогея
до второго противостояния) будет равен 19;51 градусам. Подобным же
образом, так как АВ, по предположению, равна 75;43 градусам, остаток
АЛ (расстояние от первого противостояния до апогея) получим равным
55;52 градусам.
   Теперь, так как центр эпицикла движется не по этому эксцентрическому
кругу, но по кругу, описанному вокруг середины ДК радиусом КЛ, то в
дальнейшем, как и для других планет, мы вычислим разности видимых
расстояний [истинной долготы] на зодиаке, как они получаются из
приведенных выше отношений, считая их приблизительно правильными,
как  если  бы  кто-нибудь  перенес  движение  эпицикла  на  упомянутый
эксцентр, производящий зодиакальную аномалию .
    [D.1 ] Как и для всех подобных определений, возьмем соответствующий
чертеж [рис. 11.14] для первого противостояния, которое было от апогея
в направлении против последовательности знаков. Так как угол NZE
среднего движения по долготе, или угол AZH, равнялся, по доказанному,
55;52 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360, или 111 ;44
градусам, каких 360 будет в двух прямых углах, то дуга на ДН будет 400
равна 111 ;44 градусам, каких 360 будет в круге около прямоугольного
треугольника AZH, а дуга на ZH равна недостающим до полуокружности
68; 16 градусам. Из стягивающих их прямых ДН будет равна 99;20 частям,
каких в гипотенузе AZ имеется 120, a ZH — 67;20 таким же частям.
Поэтому если расстояние AZ между центрами равно 3;34, а радиус АА
эксцентра — 60, то в ДН таких частей будет 2;57, а в ZH — 2;0. И так
как квадрат на ДН, будучи отнят от квадрата на АА, дает квадрат на
    
АН, то мы получим АН равной 59;56 таким же частям. Подобным же
образом, поскольку ZH равна Н©, а ©Е вдвое больше НА, вся А© будет
равна 61;56 части, каких в прямой Е© будет 5;54; вследствие этого
гипотенуза АЕ [прямоугольного треугольника ©АЕ] будет равна 62; 13 таким
же частям. И если гипотенуза АЕ равна 120, то Е© будет равна 11;21
таким же частям, а находящаяся на ней дуга — приблизительно 10;51
градусам, каких в круге около прямоугольного треугольника АЕ© будет
360; поэтому угол ЕА© будет равен 10;51 градусам, каких в двух прямых
401 углах содержится 360. Далее, так как прямая Е© равна 5;54 частям, каких
в радиусе ZH эксцентра содержится 60, а прямая Z© равна 4 и вся ©Н,
очевидно, 64, то гипотенузу ЕН [прямоугольного треугольника Е©Е] мы
получим равной 64; 16 таким же частям. И если гипотенуза ЕЕ равна 120,
то в ©Е таких частей будет 11;2, а находящаяся над ней дуга будет равна
10;33 градусам, каких в круге около прямоугольного треугольника Е©Е
имеется 360; таким образом, угол ЕЕ© равен 10;33 градусам, каких в двух

М	М
Рис. 11.14	Рис. 11.15
прямых углах будет 360. Как было доказано, угол ЕА© равнялся 10;51
таким же градусам; поэтому получающийся в остатке угол АЕЕ искомой
разности равен 0;18 градусов, каких в двух прямых углах содержится 360,
или 0;9 градусов, каких 360 будет в четырех прямых углах. Но в первом
противостоянии светило, наблюдаемое по прямой АЕ, находилось на 1; 13
градусе Клешней. Таким образом, ясно, что если центр эпицикла будет
двигаться не по [кругу] АЛ, но по NE и находиться на последнем в точке
Е, то светило будет наблюдаться по прямой ЕЕ в точке, отстоящей на 0;9
градусов против последовательности знаков от положения в А, и будет
находиться [по долготе] на 1;4 градусе Клешней.
    [D.2] Далее, возьмем чертеж для второго противостояния [рис. 11.15],
подобный используемому в аналогичной ситуации выше, но [с эпициклом]
402 в направлении последовательности знаков от апогея. Так как дуга NE
эксцентра, по доказанному, равнялась 19;51 градусам, то и сам угол
NZE, и вертикальный с ним угол AZH будут равны 19;51 градусам, каких
в двух прямых углах содержится 360, или 39;42 градусам, каких 360 будет
    

в двух прямых углах; поэтому дуга на АН будет равна 39;42 градусам,
каких в круге около прямоугольного треугольника AZH содержится 360, а
дуга на ZH — недостающим до полуокружности 140;18 градусам. И,
следовательно, из находящихся под ними прямых АН будет равна 40;45
частям, каких в гипотенузе AZ имеется 120, a ZH — 112;52 таким же
частям. Если прямая AZ равна 3;34, а радиус АВ эксцентра — 60, то в
АН таких частей будет 1;13, а в ZH — 3;21. И поскольку квадрат на
АН, отнятый от квадрата на АВ, дает квадрат на ВН, сама ВН будет равна
приблизительно 59;59 таким же частям. Подобным же образом, так как
ZH равна Н©, а Е© вдвое больше АН, то всю В© мы получим равной
63;20 частям, каких в прямой Е© будет 2;26, а вследствие этого гипотенуза
ЕВ [прямоугольного треугольника BE©] будет равна 63;23 таким же частям, «и
Если гипотенуза BE равна 120, то в прямой Е© таких частей будет 4;36,
а в находящейся на ней дуге [ЕВ] — 4;24 градуса, каких круг около
прямоугольного треугольника BE© содержит 360; таким образом, угол
ЕВ© равен 4;24 градусам, каких в двух прямых углах имеется 360. Точно
так же, если радиус ZS эксцентра равен 60 и Z© оказывается равной 6;42
таким же частям, то всю S© получим равной 66;42 частям, каких в Е©
предполагалось 2; 26; вследствие этого гипотенуза ЕЕ [прямоугольного
треугольника Е©Е] будет равна 66;45 таким же частям. Поэтому если
гипотенуза ЕЕ равна 120, то Е© будет равна 4;23 таким же частям, а
находящаяся на ней дуга будет иметь 4; 12 градуса, каких круг около
прямоугольного треугольника Е©Е содержит 360; угол ЕЕ© будет равен
4; 12 градусам, каких в двух прямых углах имеется 360. Согласно
доказанному угол ЕВ© равнялся 4;24 таким градусам;  следовательно,
остающийся угол BEE будет иметь 0; 12 таких же
градусов, или 0;6 градусов, каких в четырех прямых
углах содержится 360. Отсюда становится ясно, что
если во втором противостоянии наблюдаемая по
ЕВ планета находилась на 9;40 градусах Стрельца,
то при наблюдении ее по ЕЕ она должна находиться
на 9;46 градусах Стрельца.
    [Е] Но было доказано, что в первом противос-
тоянии планета также находилась на 1;4 градусе
Клешней; отсюда ясно, что видимое расстояние [по
долготе] от первого противостояния до второго,
отсчитываемое по эксцентру NE, окажется равным
68; 42 градусам зодиака69.
    [D.3] Подобным же образом возьмем чертеж и
для третьего противостояния [рис. 11.16], где кон-
фигурация будет такой же, как и для второго. Так
как было доказано, что дуга NE равна 57;43 градусам, то угол NZE или
AZH должен равняться 57;43 градусам, каких в четырех прямых углах
содержится 360, или 115;26 градусам, каких 360 будет в двух прямых
углах; вследствие этого дуга на АН будет равна 115;26 градусам, каких
круг, описанный около прямоугольного треугольника AZH, имеет 360, а
дуга на ZH — недостающим до полуокружности 64;34 градусам. Значит,
из находящихся под ними прямых АН будет равна 101;27 части, каких в
гипотенузе AZ содержится 120, a ZH — 64;6 таким же частям. Поэтому *os
если AZ равна 3;34, а радиус АГ эксцентра — 60 частям, то в АН таких
    
частей будет 3;1, а в ZH — 1;54. И далее, так как квадрат на АН, будучи
отнят от квадрата на АГ, дает квадрат на ГН, то ГН получим равной
59;56 таким же частям. Если ZH равна ©Н, а Е© вдвое больше АН, то
мы получим всю Г© равной 61;50 части, каких в Е© заключается 6;2;
вследствие этого гипотенуза ЕГ {прямоугольного треугольника ГЕ©] будет
равна 62;8 таким же частям. И если гипотенузу ГЕ принять за 120, то
Е© будет равна 11;39 таким же частям, а дуга на ней — приблизительно
11;9 градусам, каких круг, описанный около прямоугольного треугольника
ГЕ©, содержит 360; таким образом, угол ЕГ© будет равен 11;9 градусам,
каких в двух прямых углах имеется 360. Подобным же образом, если
радиус EZ эксцентра равен 60, то Z© составится из 3;48 таких же частей
и вся Н© получится равной 63;48 частям, каких в Е© было 6;2; вследствие
этого гипотенуза ES [прямоугольного треугольника Е©Е] будет равна 64;5
таким же частям. И, значит, если гипотенуза ЕЕ равна 120, то в Е©
таких частей будет 11; 18, а находящаяся на ней дуга равна 10;49 градусам,
каких круг, описанный около прямоугольного треугольника Е©Е, имеет
360; поэтому угол ЕЕ© будет равен 10;49 градусам, каких в двух прямых
углах содержится 360. Но было доказано, что угол ЕГ© равен 11;9 таким
же градусам; следовательно, остающийся угол ГЕЕ будет равен 0;20 таких
же градусов, или 0; 10 таких градусов, каких в четырех прямых углах
содержится 360. Поэтому если в третьем противостоянии наблюдаемая по
ЕГ планета находилась на 14; 14 градусах Козерога, то ясно, что если бы
наблюдение производилось по прямой ЕЕ, то она находилась бы на 14;24
градусах Козерога, и тогда видимое расстояние [по долготе] от второго
противостояния до третьего, усматриваемое по эксцентру NE, составляло
бы 34;38 градуса70.
    [II ] [F ] Итак, опираясь на эти расстояния, мы покажем при помощи
того же метода, что прямая между центрами зодиака и эксцентрического
круга, по которому совершается равномерное движение эпицикла, т.е.
прямая, равная EZ, будет иметь приблизительно 6;50 частей, каких диаметр

эксцентра содержит 120. Что же касается дуг того же эксцентра71, то дуга
от первого противостояния до апогея равна 57;5 градусам, от апогея до
второго противостояния — 18;38 градусам, а от апогея до третьего
противостояния — 56;30 градусам.
   А то, что полученные таким образом величины
будут точными, выясняется из того, что разности
дуг зодиака получаются приблизительно такими же,
как и первоначально найденные, и что видимые
перемещения  планеты  согласуются  с  наблюден-
72
ными  , как это нам будет ясно из следующих
рассуждений.
    [G.1 ] Действительно, возьмем конфигурацию
для первого противостояния с одним только эксцент-
рическим кругом [рис. 11.17], несущим центр
эпицикла. Так как угол AZA, стягивающий 57;5
73
градусов эксцентра , равен 57;5 градусам, каких	рис. п.17
360 содержится в четырех прямых углах, то он и
вертикальный с ним угол AZH будут равны 114;10 градусам, каких в двух
прямых углах будет 360, а находящаяся на АН дуга будет равна 114; 10
градусам, каких круг около прямоугольного треугольника AZH содержит

360; дуга же на ZH будет равна недостающим до полукруга 65;50 градусам.
И, следовательно, из находящихся под ними прямых ДН будет равна 100;44
частям, каких в гипотенузе AZ имеется 120, a ZH — 65; 13 таким же
частям; поэтому если расстояние AZ между центрами равно 3;25, а радиус
ДА эксцентра — 60, то в ДН таких частей будет 2;52, а в ZH — 1;51.
И далее, поскольку квадрат на ДН, отнятый от квадрата на АА, дает
квадрат на АН, АН получится равной 59;56 таким же частям. Точно так
же, если ZH равна Н©, а Е© в 2 раза больше ДН, то всю А© мы получим
равной 61 ;47 части, каких в Е© будет 5;44; вследствие этого гипотенуза
АЕ [прямоугольного треугольника АЕ©] будет равна 62;3 таким же частям.
Значит, если гипотенузу АЕ принять за 120, то в Е© таких частей будет
11;5, а дуга на ней равна 10;36 градусам, каких круг, описанный около
прямоугольного треугольника АЕ©, содержит 360; поэтому угол EAZ будет
равен 10; 36 градусам, каких в двух прямых углах имеется 360. Но, по

предположению, угол AZA равнялся 114; 10 таким
же градусам; значит, остающийся угол АЕА будет
равен 103;34 таким же градусам74, или же 51;47
градусу, каких в четырех прямых углах содержится
360. Именно на такое число градусов планета
предшествовала апогею во время первого противос-
тояния.
    [G.2 ] Возьмем опять такой же чертеж для второго
противостояния [рис. 11.18]. Так как было доказано,
что угол BZA равняется 18;38 градусам, каких в
четырех прямых углах содержится 360 (если же 360
взять за два прямых угла, то он и вертикальный с
ним угол AZH будут содержать по 37; 16 градусов),
то дуга на ДН — 37; 16 градусам, каких в круге
около прямоугольного треугольника AZH имеется 360, а дуга на ZH —
недостающим до полуокружности 142;44 градусам. И, следовательно, из
прямых под ними ДН равна 38;20 частям, каких в гипотенузе AZ имеется
120, a ZH — 113;43 таким же частям; поэтому если прямая AZ равна
3;25, а радиус ДВ эксцентра — 60,. то в ДН таких частей будет 1;5, а в
ZH — 3; 14. Поскольку квадрат на ДН, отнятый от квадрата на ДВ, дает
квадрат на ВН, то ВН получится равной 59;59 таким же частям. Подобно
этому, если ZH равна Н©, а Е© вдвое больше ДН, то вся В© получится
равной 63; 13 частям, каких в Е© содержится 2; 10, и поэтому гипотенуза
ЕВ [прямоугольного треугольника BE©] будет равна 63; 15 таким же частям.
Если гипотенуза ЕВ равна 120, то в ©Е будет 4;7 таких же части, а дуга
над ней содержит 3;56 градуса, каких в круге около прямоугольного
треугольника BE© имеется 360; поэтому угол EBZ равен 3;56 градусам,
каких в двух прямых углах содержится 360. По предположению угол
BZA равнялся 37; 16 таким же градусам; значит, остающийся угол ВЕЛ
будет равен 33;20 таким же градусам, или же 16;40 градусам, каких 360
содержится в четырех прямых углах. Следовательно, во втором противос-
тоянии планета наблюдалась отстающей от апогея [при суточном вращении
небесной сферы] на 16;40 градусов. Но было показано, что в первом
противостоянии планета предшествовала апогею на 51 ;47 градус; поэтому
видимое расстояние от первого противостояния до второго получается равным
    
установленным 68;27 градусам, что согласуется с наблюденным [расстоя-
нием ]75.
   [G.3 ] Далее возьмем чертеж для третьего противостояния [рис. 11.19].
Так как угол TZA равен, как показано, 56;30 градусам, каких в четырех
прямых углах содержится 360, то, если принять 360 за два прямых угла,
этот угол и вертикальный с ним угол AZH будут равны каждый 113;0
градусам, дуга на АН будет равна 113 градусам, каких круг около
прямоугольного треугольника AZH содержит 360, а дуга на ZH —
недостающим до полуокружности 67 градусам. И, следовательно, из
стягивающих их прямых АН равна 100;4 градусам, каких в гипотенузе
AZ содержится 120, a ZH — 66; 14 таким же частям; поэтому если прямая
AZ равна 3;25, а радиус АГ эксцентра — 60, то в АН таких частей будет
2;51, а в ZH — 1;53. Далее, так как квадрат на АН, отнятый от квадрата
на АГ, дает квадрат на ГН, то мы получим ГН равной 59;56 таким же
частям. Подобно этому, если ZH равна Н©, а
Е© вдвое больше АН, то вся Г© получится
равной 61 ;49 части, каких в Е© содержится
5;42; вследствие этого гипотенуза ЕГ [прямо-
угольного треугольника ГЕ©] будет равна 62;5
таким же частям. Значит, если гипотенуза
ГЕ равна 120, то в Е© таких частей будет

11; 1 , а дуга на ней равна 10;32 градусам,
каких круг около прямоугольного треугольника
ГЕ© содержит 360; поэтому и угол ЕГ© равен
10;32 градусам, каких 360 составляют два
прямых угла. По предположению таких граду-
сов в угле TZA имеется 113; следовательно,
остающийся угол ГЕЛ будет равен 102; 28 таким
же градусам, или 51; 14 градусу, каких 360
будет в четырех прямых углах. Именно на щ
такое число градусов планета казалась в
третьем противостоянии [при суточном вра-
щении] отстающей от апогея. Но было пока-
зано, что во втором противостоянии она
отставала от того же апогея на 16;40 градусов.
Таким образом, получается, что видимое рас-
стояние от второго противостояния до третьего
равняется 34;34 градусам, что также согласу-
ется с полученным из наблюдения77.
    Отсюда ясно, что если в третьем противо-
стоянии планета находилась на 14; 14 градусах
Козерога и, как было показано, отставала от апогея на 51; 14 градус, то
апогей ее эксцентрического круга находился на 23 градусах Скорпиона, а
перигей — в диаметрально противоположной точке, на 23 градусах Тельца.
    [Н ] Если около центра Г [рис. 11.20 ] опишем эпицикл Н©, то среднее
перемещение эпицикла по долготе от апогея эксцентра получим равным
56;30 градусам, а дугу ©К эпицикла — 5; 16 градусам, так как было
доказано, что угол ErZ равняется 10;32 таким градусам78, каких в двух
прямых углах содержится 360. Таким образом, остающаяся часть (дуга Н©

эпицикла от апогея планеты) будет содержать 174;44 градуса. Значит, во
время третьего противостояния, т.е. в 20 году Адриана, в полдень 24-го
70
числа египетского месяца Месоре , планета Сатурн в своих средних
движениях отстояла по долготе на 56;30 градусов от апогея эксцентра, т.е.
находилась на 19;30 градусах Козерога, имея аномалию от апогея эпицикла
равной 174;44 градусам. Это и предполагалось установить.

6. Определение величины эпицикла Сатурна

80

414

   Для определения величины эпицикла мы взяли наблюдение, которое мы
произвели во 2 году Антонина, в ночь с 6-го на 7-е число египетского
месяца Мехир, за 4 равноденственных часа до полуночи, ибо, по
наблюдениям с астролябией, в меридиане стоял последний градус Овна, а
среднее положение Солнца было на 28;41 градусах Стрельца. Тогда планета
Сатурн при сравнении ее положения с самой блестящей из Гиад наблюдалась
находящейся на 9Vis градусах Водолея и отставала [при суточном вращении]
от центра Луны приблизительно на Уг градуса, так как на столько она
81
отстояла от северного рога . Но в тот час Луна в среднем движении
находилась на 8;55 градусах Водолея, имея аномалию в 174; 15 градуса от
апогея эпицикла; вследствие этого истинное ее положение должно было
быть на 9;40 градусах Водолея, наблюдаемое же в Александрии — на 8;34
R9
стояния
градусах . Поэтому планета Сатурн, отстававшая [при суточном вращении] *>5
от ее центра приблизительно на Уг градуса, должна была находиться на
9i/i5 градусах Водолея; она отстояла на 76;4 градусов от апогея эксцентра,
который имел то же положение [что и в третьем противостоянии], поскольку
за такой короткий промежуток времени апогей не передвинулся на
сколько-нибудь   заметную   величину.   Так   как   от   третьего   противо-
о з
до этого наблюдения прошло 2 египетских года, 167 дней и 8
часов, а за это время Сатурн перемеща-
ется по [средней] долготе на 30; 3
градусов и по аномалии на 134; 24
градуса, то если мы прибавим все это к
начальным величинам, установленным
для третьего противостояния, в момент
упомянутого наблюдения мы получим
для [средней] долготы 86;33 градусов от
апогея эксцентра, а по аномалии —
309;8 градусов от апогея эпицикла .
Установив это, возьмем снова чертеж
85
[рис. 11.21] для такого определения ,
на котором положение эпицикла было
бы в направлении последовательности
знаков от апогея эксцентра, а положение
планеты — в части, предшествующей
апогею эпицикла, в соответствии с вы-
шеприведенными их перемещениями. Теперь, так как угол AZB или
AZM, по предположению, равен 86;33 градусам, 360 которых составляют 4ie
четыре прямых угла, или 173;6 градусам, 360 которых составляют два
прямых угла, то дуга на AM равняется 173;6 градусам, каких в круге
около прямоугольного треугольника AZM содержится 360, а дуга ZM —

недостающим до полуокружности 6;54 градусам. И, следовательно, из
находящихся под ними прямых AM будет равна 119;47 частям, каких в
гипотенузе AZ имеется 120, a MZ — 7; 13 таким же частям; поэтому если
расстояние AZ между центрами равняется 3;25, а радиус ДВ эксцентра —
60, то таких частей в ДМ будет приблизительно 3;25, а в ZM — 0;12.
417	Так как квадрат на ДМ, отнятый от квадрата на ДВ, дает квадрат на
ВМ, то мы получим ВМ равной 59;54 таким же частям. Точно так же,
поскольку ZM равна МЛ, а ЕЛ в 2 раза больше ДМ, мы получим всю
ВЛ равной 60;6 частям, каких в ЕЛ содержится 6;50; вследствие этого
гипотенуза [прямоугольного треугольника ВЕЛ] получится равной 60;29
таким же частям. Если гипотенуза ЕВ равна 120, то в ЕЛ таких частей
будет 13;33, и дуга на ней равна 12;58 градусам, каких в круге около
прямоугольного треугольника ВЕЛ содержится 360; таким образом, угол
EBZ равен 12;58 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360.
По предположению угол AZB равняется 173;6 таким градусам, и,
следовательно, остающийся угол ЛЕВ86 будет равен 160;8 таким же градусам.
Но угол АЕК, дающий видимое расстояние планеты от апогея, предполагался
равным 76;4 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360, или
152;8 градусам, каких 360 будет в двух прямых углах; следовательно,
остающийся угол КЕВ мы получим равным 8;0 таким же градусам ;
поэтому дуга на BN равна 8 градусам, каких круг около прямоугольного
треугольника BEN содержит 360, а прямая BN — 8;22 частям, каких в
418	гипотенузе ЕВ [прямоугольного треугольника BEN] будет 120. И если прямая
ЕВ равна 60;29, а радиус эксцентра — 60, то в BN таких частей будет 4;13.
Далее, так как планета отстояла на 309;8 градусов от апогея Н эпицикла,
оо
то остающаяся дуга НК эпицикла равна 50;52 градусам ; значит, угол
НВК равен 50;52 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360,
или 101 ;44 градусу, каких 360 имеется в двух прямых углах. Но угол
EBZ или HB0 таких градусов содержит 12;58; следовательно, остающийся
угол 0BK будет равен 88;46 таким же градусам, каких в угле КЕВ, согласно
показанному, было 8; остающийся угол BKN получится равным 80;46 таким
же градусам ; поэтому дуга на BN равна 80;46 градусам, каких круг около
прямоугольного треугольника BKN содержит 360; прямая же BN — 77;45
частям, каких в гипотенузе ВК имеется 120. И, следовательно, если BN
равна, как доказано, 4; 13 частям, а радиус эксцентра — 60, то в радиусе
ВК эпицикла мы будем иметь приблизительно 61/г таких частей. У нас
получилось, что апогей Сатурна приблизительно в начале царствования
Антонина находился на 23 градусах Скорпиона, и если радиус эксцентра,
«•» несущего эпицикл, принять за 60, то расстояние между центрами зодиака
и эксцентра, производящего равномерное движение, получилось равным
6;50, а радиус эпицикла — содержащим 6;30 таких же частей. Это и
предполагалось найти.

7. Об исправлении периодических движений Сатурна
    Так как нам остается определить поправку периодических движений,
то для этой цели мы взяли еще одно из достоверно записанных древних
наблюдений, в котором устанавливается, что в 82 году, по календарю
халдеев, вечером 5-го числа месяца Ксантика планета Сатурн находилась
    
на 2 пальца ниже южного плеча Девы. Соответствующее время было в 519
году после Набонассара, вечером 14-го числа египетского месяца Тиби,
когда, как мы нашли, среднее положение Солнца было на 6; 10 градусах
Рыб90. Неподвижная же звезда на южном плече Девы во время нашего
наблюдения находилась на 131/6 градусах Девы. Поскольку 366 промежу-
точных лет прибавили примерно ЗУз градуса к движению неподвижных
звезд, то во время упомянутого наблюдения ее долгота, очевидно, равнялась
9V2 градусам Девы , на которых находилась также планета Сатурн, так
как она была на 2 пальца южнее этой звезды. Точно так же, поскольку
мы показали, что при нас апогей Сатурна
был на 23 градусах Скорпиона , во время
упомянутого наблюдения он должен был
находиться на 191/з градусах Скорпиона;
вследствие этого получается, что в упо-
мянутое время видимое положение пла-
неты отстояло от апогея на 290; 10
градусов по зодиаку, среднее же поло-
жение Солнца отстояло от того же апогея
93
на 106;50 градусов .
Установив это, возьмем опять чертеж
[рис. 11.22] для соответствующего дока-
94
зательства , на котором положение эпи-
цикла предшествовало апогею эксцентра,
а положение Солнца [в Л] предшество-
вало его перигею, и от центра эпицикла
до планеты проведем прямую [В0],
параллельную линии [ЕЛ, направленной к Солнцу ]. Теперь, так как Сатурн
во время наблюдения предшествовал апогею на недостающие до полной
окружности 69;50 градусов, то находящийся при центре зодиака угол
[AE0] равнялся 69;50 градусам, каких четыре прямых угла содержат 360,
или 139;40 градусам, каких 360 содержится в двух прямых углах. Также
предполагается, что угол АЕЛ — расстояние Солнца [от апогея] — равен
106;50 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360, или 213;40,
каких 360 будет в двух прямых углах. Значит, весь угол 0ЕЛ, т.е. B0E,
вследствие параллельности В0 и ЕЛ равен 353;20 градусам, каких два
прямых угла содержат 360; остающийся же угол B0N равен 6;40 таким
же градусам; таким образом, дуга на BN равна 6;40 градусам, каких круг
около прямоугольного треугольника B0N содержит 360, прямая же BN —
6;58 частям, каких в гипотенузе В0 имеется 120. Следовательно, если
радиус В0 эпицикла равен 6; 30, то BN будет равна 0;23 таких же частей.
Подобно этому, если угол AE0 имеет 139;40 градусов, каких в двух прямых
углах содержится 360, а угол БАМ — 40;20 таких же градусов, то дуга
на AM равняется 139;40 градусам, каких круг около прямоугольного
треугольника АЕМ содержит 360, сама же прямая AM равна 112;39 частям,
каких в гипотенузе АЕ имеется 120. И если прямая ЕА между центрами
равна 3;25, а радиус АВ эксцентра — 60, то таких частей в прямой AM,
т.е. в SN, будет 3; 12, и во всей BNS — 3;35 части, каких в гипотенузе
АВ [прямоугольного треугольника BAS] содержится 60. Если прямая АВ

равна 120, то ВН будет иметь 7; 10 таких частей, а дуга на ней — 6;52
градусов, каких круг около прямоугольного треугольника ВАЕ содержит
360; поэтому угол ВАЕ равен 6;52 градусам, каких в двух прямых углах
содержится 360; остающийся угол ВАМ равен 173;8 градусам. Весь угол
ВАЕ равен 213;28, а остающийся угол ВДА — 146;32 таким же градусам;
вследствие этого дуга на ZK равна 146;32 градусам, каких в круге около
прямоугольного треугольника AZK будет 360, а дуга на АК — недостающим
до полуокружности 33;28 градусам. Таким образом, из находящихся под
423	ними прямых ZK будет равна 114;55 частям, каких в гипотенузе AZ
содержится 120, а АК — 34;33 таким же частям. Значит, если прямая
AZ между центрами равна 3;25, а радиус АВ эксцентра — 60, то в ZK
таких частей будет 3;17, в АК — 0;59, а остаток KB равен 59; 1 частям,
каких в ZK имеется 3; 17; вследствие этого гипотенуза ZB [прямоугольного
треугольника BZK] будет равна 59;6 таким же частям; поэтому если
гипотенуза ZB равна 120, то в ZK таких частей будет 6;40, а дуга на ней
содержит 6;22 градусов, каких круг около прямоугольного треугольника
BZK имеет 360; следовательно, угол ZBK равен 6;22 частям, каких в двух
прямых углах 360. Но угол ААВ таких частей имеет 146;32; поэтому весь
угол AZB, соответствующий среднему перемещению по долготе, получится
равным 152;54 таким же градусам, или 76;27 градусам, каких в четырех
прямых углах содержится 36095.
    Итак, во время рассматриваемого наблюдения планета Сатурн в среднем
движении по долготе отстояла на 283;33 градуса от апогея, т.е. находилась
на 2;53 градусах Девы96. Так как среднее движение Солнца предполагается
424	равным 106;50 градусам, то если мы прибавим к ним 360 градусов одного
оборота и из полученных 466;50 отнимем 283;33 градуса долготы, для того
07
же времени будем иметь 183; 17 градуса аномалии от апогея эпицикла .
    Поскольку во время указанного наблюдения, которое было в 519 году
после Набонассара, 14-го Тиби, вечером, Сатурн, как показано, отстоял на
183; 17 градуса [по аномалии] от апогея эпицикла, а во время третьего
противостояния, которое было в 883 году после Набонассара, 24-го Месоре,
в полдень, он отстоял на 174;44 градуса, становится ясно, что за время,
прошедшее между этими наблюдениями, содержащее 364 египетских года
и 2191/21/4 дней, планета Сатурн передвинулась, за вычетом 351 полного
оборота, на 351 ;27 градус аномалии; приблизительно такое же приращение
градусов получается и при помощи вычисленных нами [таблиц] средних
движений. На основании всего этого определяется среднее дневное движение
425	[по аномалии], если число градусов, получающееся после сложения числа
полных   оборотов   и   приращения,   разделить   на   число  дней   в   этом
98
промежутке .

8. Об эпохе периодических движений Сатурна
    Так как от полудня 1-го числа месяца Тот первого года Набонассара
до указанного древнего наблюдения прошло 518 египетских лет и 1331/4
дня, и за это время произошло приращение долготы на 216; 10 градусов99
и аномалии на 149; 15 градусов, то, отняв их от [соответствующих]
положений, установленных в этом наблюдении, получим опять, что для
указанной эпохи планета Сатурн в среднем движении по долготе находилась
на 26;43 градусах Козерога, а отсчитываемая от апогея эпицикла аномалия

равнялась 34;2 градусам; с помощью таких же вычислений находим, что
апогей   его   эксцентрического   круга   находился   на   14; 10   градусах
Скорпиона   . Это и предлагалось найти.
9. О том, каким образом по периодическим движениям
геометрически определяются истинные положения
   Обратно101, если будут даны дуги периодических [движений] на
эксцентре, по которому определяется среднее движение, и на эпицикле, то
при помощи геометрических построений легко найти видимые положения
светил; это выясняется при помощи такого же
[чертежа ].
   Действительно, если на простом чертеже,
содержащем [только] эксцентр и эпицикл
[рис. 11.23], проведем соединительные прямые
ZB0 и ЕВН, то, имея заданным среднее
движение по долготе, т.е. угол AZB, на
основании доказанного выше мы определим по
обеим гипотезам102 углы АЕВ и EBZ (равный
HB0), а также отношение прямой ЕВ к
радиусу эпицикла. Предположим, например,
что планета находится в точке К эпицикла.
Проведя соединительные прямые ЕК и ВК и
имея данной дугу 0К, мы не будем, как при
обратном ходе доказательства, опускать пер-
пендикуляр из центра В эпицикла на ЕК, но опустим его из точки К
планеты на прямую ЕВ; пусть это будет перпендиккуляр КА. Тогда будет
заданным весь угол НВК, а вследствие этого и отношения прямых КА и
АВ к ВК, а также, очевидно, к ЕВ. В соответствии с этим будет известным
и отношение всей прямой ЕВА к АК; поэтому по заданному углу ЛЕК у
нас определится угол АЕК, дающий видимое расстояние планеты от апогея.


















427


10. Построение таблиц аномалий
   Чтобы не вычислять постоянно видимые положения планет гео-
метрически, хотя этот способ является единственным для точного решения
поставленной задачи103, но более трудным с точки зрения [астрономических] 428
исследований, мы для каждой из пяти планет составили по таблице, которые
должны быть простыми в использовании и одновременно возможно более
точными. Каждая такая таблица содержит совокупность отдельных значений
аномалий, при помощи которых по заданным средним расстояниям от
соответствующих апогеев можно каждый раз легко вычислять видимые
положения планет.
    Каждая из этих таблиц построена ради симметрии в 45 строк и 8
столбцов.   Два   первых   столбца   содержат   числовые  значения  средних
движений, как для Солнца и Луны104; в первом столбце сверху вниз
помещены 180 градусов, отсчитываемые от апогея, а во втором снизу
вверх — остальные дополняющие до полуокружности 180 градусов. Таким
образом, значения, соответствующие 180 градусам, стоят в последней строке
каждого столбца; приращения этих чисел в первых 15 строках сверху идут

через 6 градусов, в остальных 30 строках — через 3 градуса, так как
разности значений дуг аномалий у апогеев менее отличаются друг от друга,
429	а вблизи перигеев изменяются более быстро. Из двух следующих столбцов
третий содержит для стоящих в соответствующих строках значений средних
движений по долготе простаферезы, вычисленные для большего экс-
центриситета105 при упрощающем предположении, что центр эпицикла
движется по эксцентрическому кругу, производящему равномерное дви-
жение106. В четвертом столбце стоят прибавляемые разности простаферезов,
получающиеся  вследствие  того,  что  центр  эпицикла  движется  не  по
107
упомянутому кругу, а по другому . Метод, которым получаются из чертежа
эти значения [простаферезов и их поправки], каждое в отдельности или
все   вместе,   легко   понятен   из   большого   числа   приведенных   выше
доказательств108. Здесь, поскольку систематичность изложения требовала
сделать наглядными характерные особенности зодиакальной аномалии, мы
дали ее в двух столбцах, хотя при использовании был бы вполне достаточным
один столбец для простафереза, получающегося от сложения их обоих109.
    Каждый из трех следующих столбцов содержит простаферезы эпицикла,
которые опять берутся при упрощающем допущении, что апогей или перигей
эпицикла усматриваются по линии от наблюдателя [до центра эпицикла]110;
430	способ их определения хорошо понятен из вышеизложенных доказательств.
Средний из этих трех столбцов (шестой, если считать от начала) содержит
простаферезы, вычисляемые по отношениям [радиуса эпицикла к расстоянию
до центра эпицикла] в средних расстояниях; пятый содержит избытки
простаферезов, получающиеся в наибольшем расстоянии [эпицикла] срав-
нительно с величинами для тех же самых аргументов на среднем, а седьмой
столбец — избытки простаферезов в наименьшем расстоянии сравнительно
со средним. Действительно, мы показали, что радиус эпицикла будет (в
дальнейшем будем начинать с самых высших планет): у Сатурна — 6;30,
у Юпитера — 11;30, у Марса — 39;30, у Венеры — 43; 10, у Меркурия —
22;30 такие части, которых для всех планет имеется 60 в среднем расстоянии,
под которым мы понимаем расстояние, измеряемое по радиусу эксцентра,
несущего эпицикл111. Наибольшее расстояние [центра эпицикла], взятое
относительно   центра   зодиака,   будет112:   для   Сатурна   —   63;25,   для
431	Юпитера — 62;45, для Марса — 66, для Венеры — 61; 15, для Меркурия —
69. Аналогичным образом, наименьшее расстояние будет113: для Сатурна —
56;35, для Юпитера — 57; 15, для Марса — 54; для Венеры — 58;45, для
Меркурия — 55;34. Последний, восьмой столбец поставлен нами для того,
чтобы определять пропорциональные части от приведенных избытков [в
пятом и седьмом столбцах ], получающиеся, если эпицикл планеты находится
не в среднем, наибольшем или наименьшем расстояниях, но в промежу-
точных между ними положениях. Вычисление такой поправки произведено
нами только для наибольших простаферезов, в которых луч нашего зрения
касается эпицикла, для каждого промежуточного расстояния, так как дроби
избытков, получающихся для остальных дуг эпициклов, ничем существенным
не отличаются от тех, которые соответствуют наибольшим простафере-
зам114.
   Для пояснения сказанного, а также чтобы сделать понятным метод
получения этих составляющих суммы, возьмем прямую [рис. 11.24],
проходящую через центры зодиака и эксцентра, производящего равномерное
   
движение эпицикла; пусть это будет АВГД. Положим, что центром зодиака
будет Г, а центром равномерного движения эпицикла — В; продолжив 432
прямую BE, опишем около центра Е эпицикл ZH. Затем из Г проведем
касающуюся его прямую ГН, соединим ГЕ и проведем перпендикуляр
ЕН. Для доказательства положим, что центр эпицикла у каждой из пяти
планет   находится   на   одинаковом   расстоянии   30   градусов   от   апогея
эксцентра115. Чтобы не слишком усложнять расчеты, доказывая одно и то
же, учтем то, о чем выше уже много раз говорилось относительно Меркурия
и остальных планет. При задании угла ABE будет известным и отношение
прямой ГЕ к радиусу НЕ эпицикла; это отношение (вычисленное для
каждой планеты в предположении, что угол ABE равняется
30 градусам, каких в четырех прямых углах содержится
\оА 360) будет следующим:
433
для Сатурна — 63; 2 к 6; 30,
для Юпитера — 62;26 к 11;30,
для Марса — 65;24 к 39;30,
для Венеры — 61; б116 к 43;10,
для Меркурия — 66;35 к 22;30.
Угол ЕГН, соответствующий в каждом случае наиболь-
шему простаферезу эпицикла, мы получим равным (если
четыре прямых считать за 360): для Сатурна — 5;551/г,
для Юпитера — 10;3б1/г, для Марса — 37;9117, для
Венеры — 44;5б1/г, для Меркурия — 19;45. Наибольшие
простаферезы в средних расстояниях в соответствии с данными немного
раньше отношениями и установленным порядком планет (чтобы не
повторяться), получим равными 6;13, 11;3, 41; 10, 46;0 и 22;2 градусам; в
наибольших расстояниях они равны 5;53, 10;34, 36;45, 44;48 и 19;2 градусам,
в наименьших — 6;36, 11;35, 47; 1, 47; 17 и 23;53. Таким образом, разницы 434
для наибольших и средних расстояний будут 0;20, 0;29, 4;25, 1;12 и 3;0
градуса, а для наименьших — 0;23, 0;32, 5;51, 1;17 и 1;51 градус118.
   Так как в рассматриваемых расстояниях [когда угол ABE равен 30]
простаферезы  будут  меньше  получающихся  в  средних   расстояниях   и
отличаются от них на 0; 171/2, 0;2б1/г, 4;1, l;3l/2 и 2; 17 градуса119, то
шестидесятые доли приведенных выше полных разностей простаферезов для
средних и наибольших расстояний будут: для Сатурна — 52;30, для
Юпитера  — 54;50, для  Марса — 54;34,  для Венеры  — 52;55, для
Меркурия — 45;40 . Эти шестидесятые доли мы поместили в восьмых
столбцах каждой таблицы в строке, соответствующей 30 градусам пе-
риодически изменяющейся долготы. Для расстояний, имеющих большие «5
простаферезы по сравнению со средними расстояниями, мы также перевели
получающиеся их разности в шестидесятые доли, но на этот раз по
отношению к полным разностям в наименьших расстояниях, а не в
наибольших. Произведя вычисления таким образом и для других положений
1 91
[эпицикла] через 6 градусов средней долготы , мы поместили полученные
шестидесятые доли полных разностей в строках соответствующих чисел
[аргумента], ибо, как мы сказали, доли применяемых разностей будут
такими же и в том случае, если положение планеты не соответствует
наибольшему простаферезу эпицикла, но планета находится в других его
частях122. Полученные таблицы для пяти планет приведены ниже123.

11. Таблицы для определения долгот пяти планет
Сатурн
Апогей на 14; 10° Скорпиона

Общие
числа
[к, 5]Проста-
ферез
по долготе
1с3(к)]Разность
проста-
фереза
[с4(*)1Разность
вычи-
таемая
1с5(а)]Проста-
ферез
аномалии
[с6(«)1Разность
прибав-
ляемая
[с7(«)1Шестиде-
сятые доли
1с8<*)]1            2345678 6°
12
18354°
348
3420°37'
1 13
1 49+0° 2'
+0   4
+0   60° 2'
0   4
0   50°3б'
1 11
1 450° 2'
0   4
0   7-60' 0"
-58 30
-57   024
30
36336
330
3242 23
2	57
3	29+0   8
+0   9
+0 100   7
0   8
0 102 18
2	50
3	200   9
0 11
0 13-55 30
-52 30
-49 3042
48
54318
312
3063	59
4	28
4 55+0 11
+0 11
+0 100 11
0 12
0 143	49
4	17
4 420 15
0 17
0 19-46 30
-43 30
-39   060
66
72300
294
2885 20
5	42
6	0+0   9
+0   8
+0   70 15
0 17
0 185   4
5 25
5 420 20
0 20
0 21-34 30
-30   0
-24   078
84
90282
276
2706 14
6 24
6 30+0   5
+0   3
+0   10 18
0 19
0 195	55
6	5
6 120 21
0 22
0 22-18   0
-12   0
- 4 3093
96
99267
264
2616 31
6 32
6 31  0   0
-0   2
-0   30 20
0 20
0 206 12
6 13
6 120 23
0 23
0 24- 0 45
+ 2 32
+ 5 51102
105
108258
255
2526 30
6 27
6 23-0   4
-0   5
-0   60 21
0 21
0 206 12
6   9
6   50 24
0 24
0 25+ 98
+ 11 45
+ 14 21111
114
117249
246
2436 19
6 14
6   7-0   7
-0   8
-0   90 20
0 20
0 196   0
5 55
5 480 25
0 24
0 24+ 16 58
+ 19 31
+ 22 11120
123
126240
237
2345 59
5 50
5 39-0 10
-0 10
-0 110 19
0 19
0 185 40
5 31
5 210 23
0 23
0 22+ 24 47
+27 24
+30   0129
132
135231
228
2255 27
5 14
5   0-0 11
-0 12
-0 120 18
0 17
0 175 10
4 58
4 450 22
0 21
0 20+32 37
+ 35 13
+ 37 50138
141
144222
219
2164 45
4 29
4 12-0 12
-0 12
-0 120 16
0 15
0 144 31
4 16
4   00 19
0 18
0 17+40 26
+43   3
+45 39147
150
153213
210
2073 54
3 35
3 16-0 12
-0 11
-0 110 14
0 12
0 113 43
3 25
3   70 15
0 14
0 13+47 37
+49 34
+51 32156
159
162204
201
1982 56
2 36
2 15-0 10
-0   9
-0   80 10
0   9
0   72 48
2 29
2   90 12
0 11
0 10+53 29
+54 49
+56   6165
168
171195
192
1891 53
1 31
1   9-0   7
-0   6
-0   50   6
0   5
0   51 48
1 27
1   60   8
0   7
0   5+57 24
+58 42
+59 21174
177
180186
183
1800 47
0 24
0   0-0   3
-0   2
0   00   4
0   2
0   00 45
0 23
0   00   4
0   2
0   0+60   0
+60   0
+60   0




Венера	442-443
Апогей на 16; 10° Тельца

Общие
числа
[к, а]Проста-
ферез
по долготе
[с3(*)1Разность
проста фе-
реза
[с4(*)1Разность
вычитае-
мая
[<#«)]Проста-
ферез
аномалии
[с6(«)1Разность
прибавля-
емая
[с7(«)1Шестиде-
сятые доли
[с8(*)]1           2345678 6°
12
18354°
348
3420° 14'
0 28
0 42+0° Г
+0 1
+0 10°  Г
0   3
0   52° ЗГ
5   1
7 310° 2'
0   4
0   6-59' 10"
-57 55
-56 4024
30
36336
330
3240	56
1	9
1 21+0 2
+0 2
+0 20   7
0   9
0 1110   1
12 30
14 580   8
0 10
0 12-55   0
-52 55
-49 3542
48
54318
312
3061 32
1 43
1 53+0 3
+0 3
+0 30 13
0 15
0 1817 25
19 51
22 150 14
0 16
0 18-45 50
-42   5
-37   560
66
72300
294
2882   1
2   8
2 14+0 2
+0 2
+0 20 20
0 22
0 2424 38
26 57
29 140 20
0 23
0 25-31 40
-26 15
-20 2578
84
90282
276
2702 18
2 21
2 23+0 1
+0 1
+0 10 27
0 29
0 3131 27
33 38
35 440 28
0 30
0 33-14 35
-	8 20
-	1 4093
96
99267
264
2612 23
2 23
2 220 0
-0 1
-0 10 33
0 35
0 3836	40
37	43
38	400 36
0 38
0 40+ 1 31
+ 4 42
+ 7 39102
105
108258
255
2522 21
2 20
2 18-0 1
-0 1
-0 10 40
0 42
0 4539	35
40	29
41	200 43
0 45
0 47+ 10 35
+ 13 32
+ 16 28111
114
117249
246
2432 16
2 13
2 10-0 1
-0 2
-0 20 47
0 49
0 5242   9
42	54
43	350 50
0 52
0 55+ 19 25
+ 22 21
+ 25 18120
123
126240
237
2342   6
2   2
1 58-0 2
-0 2
-0 20 54
0	57
1	044 12
44	45
45	140	58
1	1
1   4+ 28 14
+ 31   0
+ 33 44129
132
135231
228
2251 54
1 49
1 44-0 2
-0 3
-0 31   3
1   6
1 1045 36
45 51
45 591   8
1 11
1 14+36 18
+ 38 50
+41 11138
141
144222
219
2161 39
1 33
1 27-0 3
-0 3
-0 21 14
1 19
1 2445 57
45 45
45 201 18
1 22
1 27+43 32
+45 42
+ 47 51147
150
153213
210
2071 21
1 14
1   7-0 2
-0 2
-0 21 29
1 33
1 3744 40
43 39
42 181 32
1 38
1 43+49 37
+51 23
+52 46156
159
162204
201
1981   0
0 53
0 46-0 2
-0 2
-0 11 39
1 41
1 4240 28
38   7
35   71 48
1 51
1 52+54   8
+55 18
+56 26165
168
171195
192
1890 39
0 32
0 24-0 1
-0 1
-0 11 38
1 31
1 1931 24
26 46
21 151 50
1 43
1 27+57 28
+58 26
+59   1174
177
180186
183
1800 16
0   8
0   0-0 1
-0 1
-0 00 58
0 31
0   014 47
7 38
0   01   5
0 35
0   0+59 36
+59 58
+ 60   0
444-445	Меркурий
Апогей на 1; 10° Клешней

Общие
числа
к, аПроста-
ферез
подолготе
?[с3(*)]Разность
проста-
фереза
[с4(*)1Разность
вычи-
таемая
1с5(а)}Проста-
ферез
аномалии
[сб(в)1Разность
прибав-
ляемая
[с7(в)1Шестиде-
сятые доли
[с8(*)]1       2345678 6°
12
18354°
348
3420° 18'
0 34
0 51-0°  Г
-0   2
-0   40° 10'
0 20
0 29Г 38'
3	16
4	530° 5'
0 11
0 17-59' 20"
-57 20
-54 4024
30
36336
330
3241   7
1 22
1 37-0   5
-0   5
-0   40 39
0 49
0 596 29
8	4
9	360 23
0 28
0 34-50 40
-45 40
-39 4042
48
54318
312
3061	51
2	4
2 15-0   4
-0   3
-0   11   8
1 18
1 2811	6
12	33
13	580 40
0 45
0 50-33   0
-25 40
-18   060
66
72300
294
2882 25
2 34
2 41-0   0
+0   2
+0   41 39
1 49
1 5915	18
16	33
17	430	56
1	4
1 11-10 20
- 2 20
+ 9 1478
84
90282
276
2702 46
2 50
2 52+0   6
+0   7
+0   92   9
2 19
2 2918	47
19	44
20	331 17
1 23
1 29+ 20   0
+29 44
+39 2893
96
99267
264
2612 52
2 52
2 51+0 10
+0 10
+0 112 34
2 39
2 4420	54
21	14
21 291 32
1 35
1 38+43 31
+47 34
+50   0102
105
108258
255
2522 50
2 48
2 46+0 10
+0 10
+0 102 48
2 53
2 5821 42
21 52
21 591 41
1 44
1 46+52 26
+54 52
+57 18111
114
117249
246
2432 44
2 41
2 37+0   9
+0   9
+0   93   2
3   4
3   622   2
22   1
21 561 49
1 52
1 55+58 23
+59 28
+59 44120
123
126240
237
2342 33
2 28
2 23+0   8
+0   7
+0   73   8
3   9
3 1021 47
21 33
21 151 57
1	59
2	0+60 0
+59 44
+59 23129
132
135231
228
2252 18
2 12
2   6+0   6
+0   6
+0   53 12
3 12
3   920 53
20 25
19 502   0
2   1
2   1+58 39
+57 50
+56 46138
141
144222
219
2162   0
1 53
1 46+0   4
+0   4
+0   33   6
3   2
2 5719 10
18 24
17 322   0
2   0
1 58+55 41
+54 3
+52 26147
150
153213
210
2071 38
1 30
1 22+0   3
+0   2
+0   22 51
2 42
2 3216 35
15 31
14 201 53
1 47
1 41+50 48
+49 11
+47 34156
159
162204
201
1981 13
1   5
0 56+0   2
+0   1
+0   12 21
2   9
1 5513   3
11 41
10 131 34
1 26
1 17+45 57
+44 36
+43 15165
168
171195
192
1890 46
0 38
0 28+0   1
+0   0
+0   01 38
1 19
1   18 40
7   1
5 191   7
0 56
0 43+42 26
+41 37
+40 48174
177
180186
183
1800 19
0   9
0   0+0   0
+0   0
+0   00 42
0 21
0   03 35
1 48
0   00 28
0 14
0   0+40   0
+39 44
+39 28
12. О вычислении долгот пяти планет	446
   Итак, если при помощи приведенных таблиц мы хотим определить по
периодическим движениям по долготе и аномалии видимые положения
каждой из этих планет, то способ вычисления, являющийся одним и тем
же для всех пяти светил, будет таков.
   Получив из таблиц средних движений соответствующие рассматривае-
мому времени средние значения долготы и аномалии после отбрасывания
полных оборотов, мы сначала, беря в качестве аргумента число градусов
от апогея эксцентрического круга для соответствующего момента до среднего
положения по долготе, обратимся к таблице аномалий для этой планеты;
соответствующее этому числу в третьем столбце значение поправки к долготе
вместе с имеющимися в четвертом столбце шестидесятыми долями
простафереза, которые должны прибавляться или вычитаться, мы вычтем
из числа градусов [средней] долготы и прибавим к числу градусов аномалии,
если взятая величина [средней] долготы будет стоять в первом столбце; 447
если же она стоит во втором столбце, то мы прибавим их к градусам
долготы и вычтем из градусов аномалии, и так получим уточненные
значения обеих величин124.
   После этого входим с уточненным значением аномалии, отсчитываемым
от [истинного] апогея [эпицикла], в один из двух первых столбцов и
записываем соответствующий ему простаферез для среднего расстояния,
находящийся в шестом столбце. Точно так же отыщем среди тех же самых
чисел [первого и второго столбцов] первоначальное значение средней
долготы, которое мы использовали как аргумент вначале, и если оно
окажется в первых строках [таблицы] в большей близости к апогею, чем
строка среднего расстояния (а это станет ясным из содержащегося в восьмом
столбце числа шестидесятых) , то соответствующее ему в восьмом столбце
число шестидесятых умножим на стоящее в той же строке в пятом столбце
число избытка простафереза в наибольшем расстоянии, и полученный
результат вычтем из того числа, которое было записано. Если же число
упомянутой долготы стоит в нижних строках [таблицы] в большей близости
к перигею, т.е. ниже строки для среднего расстояния, то, взяв в восьмом
столбце соответствующее ему число шестидесятых, как и ранее, мы умножим
его на стоящее в седьмом столбце для наименьшего расстояния число
разности с простаферезом для среднего расстояния и полученный результат 448
прибавим к записанному ранее значению. Полученные от сложения градусы
уточненного простафереза мы прибавим к градусам уточненной долготы,
если уточненное число аномалии будет в первом столбце; если же оно
будет во втором, то вычтем из них; затем, отсчитав это число градусов от
соответствующего рассматриваемому времени апогея планеты, мы получим
видимое положение126.

Книга XII

450	1. О предварительных положениях, касающихся попятных движений
   После всего изложенного для каждой из пяти планет следовало бы
рассмотреть получающиеся наименьшие и наибольшие попятные дви-
жения1 и определить их величины на основании установленных гипотез,
которые должны быть возможно более согласованными с данными наблю-
дений.
   При исследовании этого предмета различные математики, а также
Аполлоний Пергский доказывают сначала для одной только аномалии, а
именно связанной с Солнцем, следующую лемму. Предположим, что она
[т.е. синодическая аномалия] получается по гипотезе эпицикла, причем
центр эпицикла совершает [среднее] движение по долготе в направлении
последовательности знаков по гомоцентрическому с зодиаком кругу, планета
же совершает [равномерное] движение по аномалии на эпицикле вокруг
его центра, идя по дуге от апогея в направлении последовательности знаков.
Проведем от точки нашего зрения некоторую прямую, пересекающую
эпицикл так, чтобы половина ее отрезка внутри эпицикла относилась к
451	отрезку секущей от точки местонахождения наблюдателя до сечения с
перигейной дугой эпицикла, как скорость эпицикла к скорости планеты.
Полученная таким образом точка на проведенной прямой, лежащая на
перигейной дуге эпицикла, разделит места с прямыми и попятными
движениями так, что планета, находясь в этой точке, будет казаться нам
стоящей на месте.
   Если же относящаяся к Солнцу аномалия объясняется по гипотезе
эксцентрического круга, что возможно лишь для трех планет, которые могут
отходить от Солнца на любое расстояние2, и центр эксцентрического круга
движется [равномерно] вокруг центра зодиака в направлении последова-
тельности знаков со скоростью, равной [средней ] скорости Солнца, а планета
идет по эксцентру вокруг его центра против последовательности знаков,
имея скорость, равную [средней] скорости движения аномалии, и если через
центр зодиака, т.е. точку местонахождения наблюдателя, провести прямую,
пересекающую эксцентр так, чтобы половина этой прямой относилась к
меньшему из отрезков от положения наблюдателя, как скорость эксцентра
относится к скорости планеты, то планета, будучи в точке, где эта прямая
пересекает перигейную дугу эксцентра, будет казаться нам находящейся в
452	стоянии. И мы, приступая к изложению, чтобы достичь желаемого
результата, и ничем не поступясь в удобстве, будем пользоваться общим
методом доказательства, составленным для обеих этих гипотез, чтобы можно
было обнаружить их согласие и тождество получающихся из них отношений3.
    Пусть АВГА [рис. 12.1] будет эпициклом, имеющим центр Е, а АЕГ —
диаметром этого эпицикла, проведенным через центр Z круга, проходящего
    

через середины зодиакальных созвездий, т.е. через точку местонахождения
наблюдателя. По обе стороны перигея Г отложим равные дуги ГН и Г©,
из центра Z через точки Ни© проведем прямые ZHB и Z@A, затем
соединительные прямые АН и В©, пересекающиеся в
А	точке К, которая, очевидно, попадает на диаметр
АГ. Мы утверждаем сначала, что прямая AZ
относится к Zr, как АК относится к КГ.
    Проведем соединительные прямые АА и АГ и
через точку Г параллельно АА прямую ATM, которая,
очевидно, будет перпендикулярной к АГ, так как угол 453
АДГ прямой. Так как угол ГДН равен углу ГД©, то
прямая ГЛ будет равна ГМ и, значит, АД к каждой
из них имеет одно и то же отношение. Но как АД
относится к ГМ, так будет и AZ относиться к ZT,
а как АД относится к АГ, так будет относиться и

АК к КГ4; следовательно, как AZ относится к Zr,
так будет и АК относиться к КГ. Поэтому если
эпицикл АВГД в гипотезе эксцентра мы будем
рассматривать как эксцентрический круг, то точка
К будет центром зодиака и диаметр АГ разделится
ею в том же самом отношении, как и в гипотезе
эпицикла, так как мы показали, что для эпицикла
отношение наибольшего расстояния AZ к наименьше-
му Zr будет тем же самым, что для эксцентра
отношение наибольшего расстояния АК к наименьше-
му КГ.
   Теперь мы говорим, что отношение прямой AZ к
Z© [рис. 12.2] будет равно отношению прямой ВК
к К©. Действительно, проведем на таком же чертеже
соединительную прямую BNA, которая, очевидно,
будет перпендикулярной к диаметру АГ, а через © 454
проведем параллельную ей прямую ©3. Поскольку
BN равна NA, каждая из этих прямых будет иметь
к S© одно и то же отношение. Но как NA относится
к Е©, так будет относиться и AZ к Z©; как BN
относится к Е@, так и ВК будет относиться к К©5;
следовательно, как AZ относится к Z©, так и ВК
будет относиться к К©. В «композиции» как AZ плюс
Z© относится к Z0, так и В© будет относиться к
©К6. Если мы проведем перпендикуляры ЕО и ЕП,
то   после   «выделения»   получаем,   что   как   OZ
                     относится к Z0, так и П0 будет относиться к К©7.
И еще раз после «выделения», как О© [OZ - Z© ] относится к Z©, так и
ПК [П© — К© ] будет относиться к К©. Поэтому если в гипотезе эпицикла
прямую AZ провести так, чтобы О© имела к Z0 такое же отношение,
как скорость эпицикла к скорости планеты, то в гипотезе эксцентра то же «м
самое отношение будет иметь и прямая ПК к К©.
   Причина же того, что мы здесь, используя эксцентрическую гипотезу
при определении стояния, пользуемся не «выделенным» отношением, т.е.
   
ПК к К©, но «композицией», т.е. отношением П© к К©, заключается в
том, что скорость эпицикла относится к скорости планеты, как [среднее]
движение по долготе к [среднему] движению по аномалии, тогда как
скорость эксцентра к скорости планеты имеет отношение, которое среднее
движение Солнца, т.е. [среднее движение], по долготе планеты, сложенное
с аномалией, имеет к этой аномалии. Таким образом, например, для планеты
Марс скорость эпицикла к скорости планеты имеет отношение, как
приблизительно 42 к 37, ибо мы показали, что отношение [среднего]
движения   по   долготе   к   [среднему]   движению   по   аномалии   имеет

приблизительно такую величину8; а вследствие этого такое же отношение
будет иметь и О© к ©Z; скорость же эксцентра
будет относиться к скорости планеты как сумма
обоих этих чисел 79 к 37, т.е. оно будет равно
отношению, полученному в «композиции»,
П© [ПК + К© ] к ©К, так как мы нашли, что
при «выделении» отношение ПК [П© — К©] к
К© [П© - К© ] было равно отношению О© к
©Z, т.е. 42 к 37.
   И всего этого пока нам будет достаточно.
Остается показать, почему в каждой из рас-
смотренных гипотез нужно брать прямые, раз-
деленные именно в этом отношении, чтобы
точки Ни© соответствовали кажущимся
стояниям, и почему на дуге НГ© необходимо
должно иметь место попятное движение, а на
остальной части круга — движение вперед. Этому
Аполлоний предпосылает следующую лемму.
   Если в треугольнике АВГ, где сторона ВГ
больше АГ, отложить ГА, не меньшую АГ, то
ГА будет иметь к ВА отношение большее, чем
угол АВГ имеет к ВГА9.
   Доказывает он это так. Дополним, говорит
он, параллелограмм ААГЕ [рис. 12.3], и пусть
продолжения ВА и ГЕ пересекутся в точке Z.
Поскольку АЕ не менее АГ, круг, описанный
из центра А радиусом АЕ, пройдет или через
Г, или дальше ее. Пусть он пройдет через Г,
как [круг] НЕГ. И так как треугольник AEZ
больше   сектора   АЕН,   а   треугольник   АЕГ	°z
меньше сектора АЕГ, то треугольник AEZ к	Рис- 124
треугольнику АЕГ будет иметь большее отношение, чем сектор АЕН к
сектору АЕГ. Как сектор АЕН относится к сектору АЕГ, так будет и угол
EAZ  относиться  к  углу  ЕАГ,  и  как  треугольник  AEZ  относится  к
треугольнику АЕГ, так будет относиться и основание ZE к ЕГ10.
Следовательно, ZE к ЕГ будет иметь отношение, большее, чем угол
ZAE к углу ЕАГ. Но как ZE относится к ЕГ, так будет относиться и
ГА к АВ11. Угол ZAE равен углу АВГ, угол ЕАГ равен ВГА; поэтому
ГА имеет к АВ большее отношение, чем угол АВГ к углу АГВ. Ясно
также, что это отношение будет еще больше, если мы предположим, что
ГА, т.е. АЕ, не равна, а больше АГ.

   Доказав предварительно это, возьмем эпицикл АВГА с центром Е
[рис. 12.4] и диаметром АЕГ; последний мы продолжим до точки Z —
положения наблюдателя, чтобы ЕГ имела к TZ большее отношение, чем
скорость эпицикла к скорости планеты. Тогда возможно будет провести
прямую ZHB, чтобы половина ВН имела к HZ отношение, как скорость
эпицикла к скорости планеты12. Если мы по доказанному выше отложим
равную АВ дугу АА и проведем соединительную прямую ДвН, то в гипотезе
эксцентра точка G будет представлять собой положение наблюдателя, и
половина АН будет иметь к ЭН такое же отношение, как скорость эксцентра
к скорости планеты. Мы утверждаем, что при нахождении планеты в точке 459
Н она в обеих гипотезах будет казаться стоящей. И если мы по обе стороны
от Н возьмем какую-нибудь дугу, то обращенная к апогею [дуга] окажется
с прямым движением, а к перигею — с обратным.
   Действительно, возьмем сначала какую-нибудь дугу КН по направлению
к апогею и проведем ZKA и КЭМ, затем — соединительные прямые ВК
и АК, а также ЕК и ЕН. Так как в треугольнике BKZ сторона ВН больше
ВК13, то ВН будет иметь к HZ большее отношение, чем угол HZK к углу
НВК, так что половина ВН имеет к HZ отношение большее, чем угол
HZK к удвоенному углу КВН, т.е. [как угол HZK] к углу КЕН. Отношение
же половины ВН к HZ равно отношению скорости эпицикла к скорости
планеты, поэтому угол HZK имеет к КЕН меньшее отношение, чем скорость
эпицикла к скорости планеты. Следовательно, угол, имеющий к КЕН такое
же отношение, как скорость эпицикла к скорости планеты, будет больше 4бо
угла HZK. Пусть этим углом будет HZN. Так как планета проходит дугу
КН эпицикла в то же самое время, в какое центр эпицикла прошел в
противоположном направлении расстояние, равное [угловому] расстоянию
от ZH до ZN, то ясно, что для нашего зрения в одинаковое время дуга
КН эпицикла перенесет планету против последовательности знаков на угол
HZK, меньший того, на котором сам эпицикл передвинул ее в направлении
последовательности, т.е. на угол HZN. Таким образом, планета продвинется
вперед на угол KZN.
    Подобное рассуждение мы применим и для эксцентрического круга14,
так как ВН имеет к HZ большее отношение, чем угол HZK к углу
НВК. Следовательно, по «композиции» BZ [ВН + HZ] будет иметь к ZH
отношение, большее того, какое угол ВКЛ [угол HZK + угол НВК] имеет
к НВК. Но как BZ относится к ZH, так будет относиться и Д© к ©Н15. 461
Угол ВКА равен углу ДКМ16, и угол НВК равен НДК, поэтому Д© будет
иметь к ©Н отношение, большее того, какое угол ДКМ имеет к углу
НДК. Таким образом, при «композиции» ДН [Д© + ©Н] будет иметь к
Н© большее отношение, чем угол Н@К [угол ДКМ + угол НДК ] к углу
НДК. Тогда после «выделения» половина ДН будет иметь к Н© большее
отношение, чем угол НЭК к удвоенному углу НДК, или чем угол НЭК
к углу НЕК. Поскольку отношение половины ДН к ©Н есть отношение
скорости эксцентра к скорости планеты, угол НЭК имеет к НЕК меньшее
отношение, чем скорость эксцентра к скорости планеты. Значит, угол,
имеющий с НЕК такое же отношение, как скорость эксцентра к скорости
планеты, будет больше угла НЭК. Пусть опять это будет H©N. Так как
в одно и то же время сама планета, пройдя дугу КН, передвинулась против
    
последовательности знаков на угол КЕН, а движением эксцентра в
направлении последовательности знаков она была передвинута на угол
HeN, больший угла КвН, то ясно, что планета покажется нам
продвинувшейся вперед на угол KGN.
Легко видеть, что при помощи тех же самых рассуждений мы докажем

и обратное17, если на том же чертеже [рис. 12.5] предположим, что
половина ЛК имеет к KZ такое же отношение, как скорость эпицикла к
скорости планеты, так что половина МК будет
иметь к GK такое же отношение, как скорость
эксцентра к скорости планеты, а дугу КН
представим отложенной от прямой KL к перигею.
Тогда, проведя соединительную прямую ЛН,
образующую треугольник AZH, в котором отло-
жена прямая ZK, бблыпая ZH, мы увидим, что
ЛК будет иметь к KZ меньшее отношение, чем
угол HZK к углу НЛК. Следовательно, половина
ЛК имеет к KZ меньшее отношение, чем угол
HZK к удвоенному углу НЛК, т.е. [чем угол
HZK] к углу КЕН, противоположно тому, что
1 о
было доказано ранее . При помощи тех же
самых рассуждений получится, что и угол
КЕН будет иметь к углу HZK отношение,
меньшее, чем скорость планеты к скорости
эпицикла, а к углу H0K отношение, меньшее,
чем скорость планеты к скорости эксцентра. Таким образом, если угол
КЕН будет увеличиваться, сохраняя то же отношение, то передвижение в
сторону предшествующих знаков зодиака будет больше, чем в сторону их
19
последовательности .
Также ясно, что для всех расстояний, где ЕГ имеет к TZ отношение,
не большее того, в котором находится скорость эпицикла к скорости планеты,
нельзя будет провести в таком же отношении какую-нибудь другую прямую
[секущую эпицикл], и планета не будет нам казаться ни стоящей, ни
движущейся против последовательности знаков. Действительно, так как в
треугольнике EKZ отложена прямая ЕГ, не меньшая ЕК, то угол TZK
будет иметь к углу ГЕК отношение, меньшее, чем прямая ЕГ к TZ. Но
отношение ЕГ к TZ не больше отношения скорости эпицикла к скорости
планеты; следовательно, угол TZK будет иметь к ГЕК отношение, меньшее,
чем   скорость  эпицикла   к   скорости  планеты.   Итак,   поскольку   нами
20	*
доказано , что планета везде, где это имеет место, будет двигаться вперед,
то мы не найдем [в этом случае] никакой дуги эпицикла или эксцентра,
где она казалась бы движущейся против последовательности знаков зодиака.

2. Определение попятных движений Сатурна
    
    Если все обстоит так [как описано выше], то остается показать для
каждой планеты, как производится расчет попятных движений на основании
доказанных положений. Начнем с Сатурна и сделаем это следующим
образом.
    
21
    Пусть АВ [рис. 12.6] будет кругом, несущим центр эпицикла , а
АГВ будет его диаметром, на котором мы предположим находящимся в
Г центр зодиака, т.е. положение наблюдателя. Описав около центра А
эпицикл AEZH, проведем прямую TZE так, чтобы, опустив на нее
перпендикуляр А©, мы получили, что половина EZ, т.е. ©Z, имела к
Zr такое же отношение, как скорость эпицикла к скорости планеты.
   Предположим сначала, что эпицикл занимает положение, соответствую-
щее среднему расстоянию, так что периодические движения по долготе и
аномалии будут приблизительно такими же, как если бы они наблюдались
22

из центра зодиака . Для планеты Сатурн дока-
зано, что, приняв среднее расстояние ГА равным
60, мы получим радиус АД эпицикла равным
61/2 , так что вся ДГ будет равна 66;30, а остаток
ГН — 53;30 таким же частям; содержащийся
между ними прямоугольник будет равен 3557;45.
Но прямоугольник между ДГ, ГН равен прямоу-
гольнику между ЕГ, TZ24, и мы получим, что
произведение ЕГ на TZ равно 3557;45 таким же
частям. Далее, для средних движений, приняв за
1 скорость эпицикла, т.е. прямую ©Z, мы
получим, что скорость планеты, или прямая Zr,
будет равна приблизительно 28; 25,46 , так что
вся ЕГ [Zr + 2©Z] получается равной 30;25,46, а
прямоугольник на ЕГ и TZ равен 865;5,32 таким
же частям. Если разделить 3557;45 на это число 865;5,32 и из полученного
частного 4;6,45 извлечь квадратный корень 2; 1,40, то, умножив его отдельно
на соответствующее ©Z число (равное 1), а также на 28;25,46 для Zr,
получим, что ©Z будет равна 2; 1,40 частям, каких в прямоугольнике на
ЕГ, TZ содержится 3557;45, a Zr равна 57;38,55 таким же частям. Если
провести соединительную прямую AZ, равную 6;30 частям, каких в прямой
Z© содержится 2; 1,40 (если же взять AZ за 120, таких частей в Z© будет
37;26,9), то дуга на ©Z будет равняться 36;21,15 градусам26, каких в круге
около прямоугольного треугольника AZ© содержится 360, а угол ZA© —
36;21,15 градусам, каких в двух прямых углах будет 360, или приблизитель-
но 18; 10,38 градусам, каких 360 составят четыре прямых угла. Если
гипотенуза ГНА равна 60, то вся TZ© [rz + Z© ] получается равной
59;40,35 таким частям; если же принять гипотенузу за 120, то TZ© будет
равна 119;21,10, и дуга на Г© будет равняться 168;5,39 градусам, каких
в круге около прямоугольного треугольника АГ© будет 360, а угол ГА©
равен 168;5,39 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360, или
же приблизительно 84;2,50 градусам, каких 360 содержится в четырех
прямых углах. Вследствие этого мы получим, что угол АГ© будет равен
недостающим до прямого 5;57,10 градусам, а угол ZAH — 65;52,12 градусам,
получающимся после вычитания угла ZA© из ГА©. Так как в своем первом
стоянии планета видна по прямой TZ, а в [среднем] противостоянии — по
ГН, то ясно, что если бы центр эпицикла [в течение этого интервала]
совсем не двигался в направлении последовательности знаков, то 65;52,15
градусов его дуги ZH соответствовали бы 5;57,10 градусам угла ATZ —

перемещению против последовательности знаков. Поскольку по указанному
отношению скорости эпицикла к скорости планеты упомянутым 65;52,12
27
градусам аномалии соответствуют приблизительно 2; 19 градуса долготы ,
от одного из стояний до противостояния мы будем иметь [отрезок] попятного
движения  3;38,Ш  градуса  и  69 дней,  в  течение  которых  планета  в
периодическом движении по долготе пройдет приблизительно 2; 19 градуса28.
Вес же попятное движение займет 7; 16,20 градусов и 138 дней.

   Займемся теперь определением этих величин для наибольшего рас-
стояния, идя тем же самым путем, т.е. полагая, что противостояние,
имеющее место посередине между обеими остановками, переводит центр
эпицикла в наиболее удаленную точку эксцентра и переносит, очевидно,
каждое из двух стояний от противостояния (т.е. от апогея) на расстояние
по истинной долготе, близкое к полученным из отношения средних
[движений] 2; 19 градусам. В этом положении прямая АГ расстояния в
рассматриваемый момент не будет отличаться от наибольшего расстояния,
полученного на основании рассмотренных выше
предварительных теорем, а соответствующий 1 гра-
дусу долготы простаферез будет равен при-
близительно 6;30 шестидесятым. Таким образом,
отношение уточненного [движения] по долготе к
уточненному [движению] по аномалии, т.е. на-
блюдаемой в тот момент скорости эпицикла к
наблюдаемой скорости планеты, равно отношению
0;53,30 к 28;32,1629.
   Далее, если на том же чертеже [рис. 12.7]
принять радиус эпицикла А А за 6; 30, то ГА, не
отличающаяся от наибольшего расстояния, будет
равна 63;25. Вследствие этого вся АГ получится
равной 69;55, а остаток ГН — 56;55; содержащийся
между ними прямоугольник, т.е. прямоугольник
на ЕГ, EZ, будет равен 3979;25,25. Если прямую	Рис. 12.7
Z0 положить равной скорости эпицикла 0;53,30,
a TZ — скорости планеты 28;32,16 и всю ЕГ [rZ+2Z0] — 30;19,16
таким же частям, то произведение ЕГ на TZ равняется 865; 17,50. Разделим
опять 3979;25,25 на 865; 17,50 и возьмем из полученного частного 4;35,56
квадратный корень. Найденную его величину 2;8,40 умножим раздельно на
0;53,30 для прямой 0Z, а также на 28;32,16 для Zr. Тогда получим ©Z
равной 1;54,44 части, каких в AZ имеется 6;30, в АГ — 63;25, в TZ —
61; 11,52, а во всей Г© — 63;6,36 таких же части. Если гипотенузу AZ
[прямоугольного треугольника AZ0] принять за 120, то в ©Z будет 35;18,9
таких частей; если же за 120 принять гипотенузу ГА [прямоугольного
треугольника АГ©], то в прямой Г© таких частей будет 119;25,11.
Вследствие этого дуга на ©Z будет равна 34; 13,4 градусам, каких в круге
около прямоугольного треугольника AZ© будет 360, а дуга на Г© —
168;43,38 градусам, каких в круге около прямоугольного треугольника
АГ© будет 360. И, следовательно, если два прямых угла принять за 360,
то в угле ZA© будет 34;13,4 таких градусов, а в угле ГА© — 168;43,38.
Если же за 360 принять четыре прямых угла, то угол ZA© будет равен
47;6,32 градусам, а угол ГА© — 84;21,49. Поэтому остающийся угол
АГ© от одного из стояний до оппозиции мы получили бы равным 5;38,11

градусам, если бы эпицикл не имел прямого движения , а остающийся
угол ZAH [угол ГА© - угол ZA©] видимого движения по эпициклу31 на
том же расстоянии равнялся бы 67; 15,17 градусам. Но так как этому числу
градусов по отношению скоростей для апогея соответствует 2;6,6 градуса
42
уточненной долготы , то для половины всего попятного движения мы
получим остающиеся 3;32,5 [5;38,11 - 2;6,6] градуса и 701/з дней, в течение
44
которых планета продвигается примерно на 2;21,25 градуса долготы в
периодическом движении, соответствующих указанным 2;6,6 градусам
истинной долготы, а все попятное движение составит 7;4,10 градусов и
НОУз дней.
   Теперь подобным же образом на том же чертеже [рис. 12.8 ] определим
соответствующие числовые величины для наименьшего расстояния, когда
находящаяся посередине между стояниями оппозиция получается в наиболее

близкой к Земле точке эксцентра, а каждое
стояние — на указанном расстоянии [2; 19 градуса]
по долготе от места оппозиции, т.е. от перигея.
В этом положении мы также считаем, что прямая
АГ не отличается от наименьшего расстояния, а
соответствующий 1 градусу долготы простаферез
составляет приблизительно 7;20 шестидесятых.
Таким образом, и здесь видимая скорость эпи-
цикла имеет к видимой скорости планеты такое
44
же отношение, как 1;7,20 к 28; 18,26 . Вследствие
этого, если прямая ©Z равна 1;7,20 части, то в
TZ таких частей будет 28; 18,26, во всей ЕГ —
30;33,6, а содержащийся между ЕГ, TZ прямоу-
гольник равен 864;49,58 . Если радиус АА
эпицикла равен 6;30, то АГ, не отличающаяся от
наименьшего расстояния, будет равна 56;35, вся
АГ — 63;5 таким частям, а остаток ГН — 50;5 частям. Заключенный же
между ними прямоугольник, равный прямоугольнику на ЕГ и TZ, равняется
3159;25,25. Если подобным же образом разделим 3159;25,25 на 864;49,58,
из полученного частного 3;39,12 возьмем квадратный корень и его величину
4г\
1;54,42 умножим раздельно на 1;7,20 для прямой ©Z и на 28;18,26 для
прямой Zr, то получим ©Z равной 2;8,43 частям, каких радиус AZ эпицикла
содержит 6;30, а расстояние АГ в рассматриваемый момент — 56;35; прямая
TZ равна 54;6,22 частям и вся Г© — 56;15,5. Следовательно, если
гипотенузу AZ принять равной 120, то прямая ©Z будет содержать 39;36,18
таких частей; если гипотенуза ГА равна 120, то Г© будет равна 119;17,46
таким же частям. Вследствие этого дуга на Z© будет иметь 38;32,34
градусов, каких в круге около прямоугольного треугольника AZ© содержится
360, а дуга на Г© — 167;34,54 градусов, каких в круге около прямоугольного
треугольника АГ© содержится 360. Таким образом, если принять два прямых
угла за 360, то угол ZA© будет равен 38;32,34 градусам, а угол ГА© —
167;34,54. Если же за 360 взять четыре прямых угла, то угол ZA© будет
равен 19; 16,17, а угол ГА© — 83;47,27. Следовательно, остающийся угол
АГ©, который дает попятное движение, обусловленное скоростью планеты,
от одного стояния до оппозиции мы будем иметь равным 6; 12,33 частям,

а другой угол ZAH, представляющий видимое перемещение по эпициклу,
для этого расстояния будет равен 64; 31,10. Так как этому числу градусов
по отношению скоростей в перигее соответствуют 2;33,28 градуса истинной
долготы37, то половину всего попятного движения мы получим равной 3;39,5
градусам [6; 12,33 — 2;33,28 ] и 68 дням , в течение которых планета в
среднем движении продвинется на 2; 16,45 градуса периодического движения,
соответствующих указанным 2;33,28 градусам истинной долготы, а все
попятное движение займет 7;18,10 градусов и 136 дней.
39
3. Определение попятных движении Юпитера
У Юпитера при вычислениях для среднего расстояния отношение 0Z к
TZ [рис. 12.9] получается равным 1 к 10;51,2940, а ЕГ относится к zr,
как 12;51,29 к 10;51,29; содержащийся между ними прямоугольник равен

474	139;37,3941. Прямая ГА будет относиться к АА, как 60 к 11;30, а ГА к
ГН — как 71;30 к 48;30; содержащийся между ними
прямоугольник будет равен 3467;45. От деления
[3467;45 на 139;37,39] получается частное 24;50,9,
квадратный корень из которого 4;59,1, будучи
умножен на заданные отношения для 0Z и Zr при
заданных величинах ГА и AZ, для 0Z дает 4;59,1
части, для TZ — 54;6,44, а для всей Г0 — 59;5,45
таких же частей. Поэтому, полагая в отношениях
гипотенузы AZ и АГ равными 120 частям, мы
получим прямую 0Z равной 52;0,10, а Г0 —
118; 11,30 таким же частям; из дуг над ними дуга
на Z0 будет равна 51;21,41 градусу, а на Г0 —
160;4,55. Вследствие этого угол ZA0 получается
равным приблизительно 25;40,50 градусам, каких в
четырех  прямых  углах  содержится  360,   а  угол
475	ГА0 — 80;2,28. Оставшийся [после вычитания угла
ГА0 из 90 градусов] угол ZrA, определяющий движение против
последовательности знаков, обусловленное скоростью самой планеты, будет
9;57,32 градусов, а угол ZAH видимой аномалии — 54;21,38 градуса. Этим
величинам по установленным отношениям соответствуют 5; 1,24 градусов
движения по долготе42. Половина попятного движения будет составлять
4;56,8 градуса [9;57,32 - 5;1,24 ] и приблизительно 601/2 дней43, а все
попятное движение — 9;52,16 градусов и 121 день. При удалении на 5
градусов от апогея или перигея [эксцентра] расстояние [ГА до центра
эпицикла]   будет   [соответственно]   на   неощутимую   величину   меньше
наибольшего или больше наименьшего расстояния44.
   Согласно вычислениям для наибольшего расстояния простаферез [соот-
ветствующий 1 градусу] при уточненном определении [скорости] оказыва-
ется равным 51/б шестидесятым. Вследствие этого отношение 0Z к TZ будет
таким же, как у 0;54,50 к 10;56,3945, а отношение ЕГ к TZ — как у
12;46,19 к 10;56,39; заключающийся же между ними прямоугольник равен
139;46,42. Далее, отношение ГА к АА будет таким же, как 62;45 к 11;30,
а отношение АГ к ГН — как 74; 15 к 51; 15; прямоугольник же между
ними равен 3805;18,45. Из полученного частного [при делении 3805;18,45
476	на 139;46,42] 27;13,26 квадратный корень будет 5;13,4. Умножив его на

указанное отношение прямых 0Z к Zr, при заданных величинах ГА и
AZ для Z0 получим 4;46,6 части, для TZ — 57;6,1946, а для всей прямой
Г0 — 61;52,25 такую же часть. Вследствие этого по заданным отношениям
[катетов] к каждой из гипотенуз AZ и АГ, принятым за 120, Z0 получается
равной 49;45,23, а Г0 — 118; 19,27 таким же частям. Из дуг над ними
дуга на Z0 будет 48;59,34 градусов, а на Г0 — 160;49,36. В соответствии
с этим угол ZA0 будет равен 24;29,47 градусам, каких в четырех прямых
углах содержится 360, а угол ГА0 — 80;24,48 таким же градусам. После
вычитания [угла ГА0 из 90 градусов] угол ZrA попятного движения,
обусловленного скоростью планеты, будет равен 9;35,12 градусам, а угол
ZAH видимой аномалии [угол ГА0 — угол ZA0] — 55\55,\ градусам. По
отношению [скоростей] в апогее им соответствуют 4;40,35 градуса
уточненного движения   [по долготе]  и  5;6,35  среднего  периодического
движения   [по долготе]47.  Половина попятного движения будет равной
4;54,37 градусам [9;35,12 - 4;40,35] и приблизительно 611/г дню48, а все
попятное движение займет 9;49,14 градусов и 123 дня.
   Согласно вычислениям для наименьшего расстояния простаферез [соот- 4??
ветствуюший 1 градусу] при точном определении [отношения скоростей]
оказывается равным 5У$ шестидесятым. Вследствие этого отношение 0Z к
Zr будет таким же, как у 1;5,40 к 10;45,4949, а отношение ЕГ к Zr —
как у 12;57,9 к 10;45,49; содержащийся между ними прямоугольник равен
139;24,56. Далее, отношение ГА к АА будет таким же, как у 57; 15 к
11;30, а отношение АГ к ГН — как у 68;45 к 45;45; содержащийся между
ними прямоугольник равен 3145; 18,45. Из полученного частного [при
делении 3145; 18,45 на 139;24,56] 22;33,39 квадратный корень 4;45,0, будучи
умножен на отношение прямых 0Z и Zr при указанных величинах ГА и
AZ, для ©Z дает 5; 11,55, для Zr — 51;7,38, а для всей Г0 — 56; 19,33
таких же частей. Вследствие этого при заданных отношениях [катетов] к
гипотенузам ZA и АГ, принятым за 120, прямая Z0 становится равной
54; 14,47, а Г0 — 118;3,46 таким же частям. Из дуг над ними дуга на
Z0 будет равна 53;45,4 градусам, а на Г0 — 159;22,40 градусам. В
соответствии с этим угол ZA0 будет иметь 26;52,32 градусов, каких в 478
четырех прямых углах содержится 360, а угол ГА© — 79;41,20 таких же
градусов. После вычитания [угла ГА© из 90 градусов] угол ZrA попятного
движения вследствие собственной скорости светила будет равен 10; 18,40, а
угол ZAH 1угол ГА© - угол ZA0] видимой аномалии 52;48,48 градусам.
Согласно отношению [скоростей] для перигея им соответствуют 5;21,20
градусов уточненного движения по долготе и 4;54,20 периодического
движения [по долготе]50. Половина попятного движения получается равной
4;57,20 градусам [10;18,40 - 5;21,20] и приблизительно 59 дням51, а все
попятное движение будет 9;54,40 градусов и 118 дней.
4. Определение попятных движений Марса
У Марса при вычислениях для среднего расстояния отношение 0Z к
Zr [рис. 12.10] получается таким же, как у 1 к 0;52,5152, а отношение
ЕГ к TZ — как у 2;52,51 к 0;52,51; содержащийся между ними
прямоугольник будет равен 2;32,15. Отношение ГА к АН будет таким же,
как у 60 к 3953053, отношение АГ к ГН — как у 99;30 к 20;30; содержащийся

между ними прямоугольник равен 2039; 45. Из получающегося [при делении

2039;45 на 2;32,15] частного 803;50,5054 квадратный корень будет 28;21,8.
Умножив его на вышеуказанное отношение прямых 0Z к ZI\ при заданных
значениях ГА и AZ для 0Z мы получим 28;21,8, для TZ — 24;58,25, а
для всей Г0 — 53;19,33 таких же частей. Поэтому при установленных
отношениях [катетов] к гипотенузам AZ и АГ, принятым за 120, прямая
Z0 будет равна 86;8,0, а Г0 — 106;39,6 таким же частям. Из дуг над
ними стоящая на Z0 будет равна 91;44,34 градусу, а на Г0 — 125;26,10
градусам. В соответствии с этим угол ZA0 будет
равен 45,52,17 градусам, каких в четырех прямых
углах содержится 360, а угол ГА0 — 62;43,5 таким
же градусам. Из остальных угол ZTA попятного
движения, вызванного собственной скоростью пла-
неты, будет 27;16,55 градусов [90 - угол ГА0], а
угол ZAH аномалии — 16;50,48 градусов [угол
ГА0 — угол ZA0]; по установленному отношению
им соответствуют 19;7,33 градусов перемещения по
долготе55. Половина попятного движения стано-
вится равной 8;9,22 градусам [27;16,55 - 19;7,33]
и приблизительно 361/г дням56, а все попятное
движение составит 16; 18,44 градусов и 73 дня.
    При удалении [центра эпицикла ] от апогея или
от перигея [эксцентра] на расстояние, соответст-	Рис. 12.10
вующее точкам стояний, расстояние [ГА] умень-
шается примерно на 0;20 частей в среднем по сравнению с наибольшим и
57
на столько же увеличивается по сравнению с наименьшим  .
   Согласно вычислениям для наибольшего расстояния простаферез, соответ-
ствующий приращению в 1 градус, при уточненном определении [скоростей]
оказывается равным 101/3 шестидесятым. Вследствие этого отношение ©Z
к Zr будет таким же, как у 0;49,40 к 1;3,1158, отношение же ЕГ к TZ —
как у 2;42,31 к 1;3,11; содержащийся между ними прямоугольник будет
равен 2;51,8. Отношение ГА к АН будет, как у 65;40 к 39;30, а отношение
ДГ и ГН — как у 105; 10 к 26; 10; содержащийся между ними прямоугольник
будет равен 2751;51,40. Из полученного [при делении 2751;51,40 на 2;51,8]
частного 964;48,47 квадратный корень 31;3,41, будучи умножен на
приведенные выше отношения прямых 0Z и Zr, при заданных числовых
значениях ГА и AZ дает для 0Z величину 25;42,43, для TZ — 32;42,34,
а для всей Г0 — 58;25,17 таких же частей. Вследствие этого при
установленных отношениях [катетов] к каждой из гипотенуз AZ и ГА,
принятым за 120, прямая Z0 становится равной 78,6,44, а Г0 — 106;45,36
таким же частям. Из дуг над ними стоящая на Z0 равна 81; 13,8 градусу59,
а на Г0 — 125;39,46 градусам. В соответствии с этим угол ZA0 будет
равен 40;36,34 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360,
а угол ГА0 — 62;49,53 таким же градусам. После вычитания угол ZrA
попятного движения, обусловленного собственной скоростью планеты [при
движении по эпициклу], будет равен 27; 10,7 градусам [90 - угол ГА0], а
угол ZAH видимой аномалии — 22; 13,19 градусам [угол ГА0 - угол
ZA0]. По отношениям  [скоростей] в апогее им соответствуют 17; 13,21

градусов уточненной долготы и 20;58,21 градусов периодического движения .
Половина   попятного   движения   оказывается   равной   9;56,46   градусам
[27; 10,7 - 17; 13,21 ] и приблизительно 40 дням61, а все попятное движение
составит 19;53,32 градусов и 80 дней.
    Согласно вычислениям для наименьшего расстояния простаферез [соот-
ветствующий приращению аргумента в 1 градус] при уточненном опреде-
лении [скоростей] оказывается равным 12Уз шестидесятым. Вследствие этого
отношение 0Z к zr будет таким же, как у 1; 12,40 к 0;40,11 , а отношение
ЕГ к TZ — как у 3;5,31 к 0;40,11; содержащийся между ними
прямоугольник равен 2;4,14. И далее, отношение ГА к АН будет таким
же, как у 54;20 к 39;30, а отношение АГ к ГН — как у 93;50 к 14;50; 482
содержащийся между ними прямоугольник будет равен 1391;51,40. Из
полученного [при делении 1391;51,40 на 2;4,14] частного 672;13 квадратный
корень 25;55,38, будучи умножен на указанные выше отношения прямых
0Z и Zr, при заданных числовых значениях ГА и AZ дает для 0Z
величину 31;24,3, для TZ — 17;21,51, а для всей Г0 — 48;45,54 таких
же частей. Вследствие этого при установленных отношениях [катетов] к
каждой из гипотенуз AZ и АГ, принятым за 120, прямая Z0 становится
равной 95;23,42, а Г0 — 107;42,7 таким же частям. Из дуг над ними
С.'Х
стоящая на Z0 равна 105; 18,10 градусам, а на Г0 — 127;40,22 градусам .
В соответствии с этим угол ZA0 равен 52;39,5 градусам, каких в четырех
прямых углах содержится 360, а угол ГА© — 63;50,11 таким же градусам.
Остающийся [после вычитания угла ZA0 из 90 градусов] угол ZrA
попятного движения, обусловленного собственной скоростью планеты [на
эпицикле], будет равен 26;9,49 градусам, а угол ZAH видимой аномалии —
11;11,6 градусов. По отношениям [скоростей] в перигее им соответствуют
20;33,42 градусов уточненной долготы и 16;52,52 градусов периодического 4вз
движения64.   Половина   попятного  движения  получается   равной   5;36,7
градусам [26;9,49 - 20;33,42] и приблизительно 32V4 дням65, а все попятное
движение составит 11; 12,14 градусов и 641/г дня.

5. Определение попятных движений Венеры
    У планеты Венера при вычислениях для среднего расстояния отношение
0Z к Zr [рис. 12.11 ] получается таким же, как у 1 к 0;37,3166, а отношение
ЕГ к TZ — как у 2;37,31 к 0;37,31; содержащийся между ними
прямоугольник равняется 1;38,30. Отношение ГА к АН будет таким же,
как у 60 к 43; 10, а АГ к ГН — как у 103; 10 к 16;50; содержащийся
между ними прямоугольник будет равен 1736;38,20. Из получающегося [при
делении 1736;38,20 на 1;38,30] частного 1057;50,667 квадратный корень
будет равен 32;31,29. Умножив его на приведенное отношение прямых
0Z и Zr, получим, что для заданных величин ГА и AZ линия 0Z равна 484
32;31,29, TZ — 20;20,11, а вся Г0 — 52;51,40 таким же частям. Вследствие
этого, если каждую из гипотенуз AZ и АГ принять за 120, то Z0 станет
равной 90;24,58, а Г© — 105;43,20 таким же частям. Из дуг над ними
стоящая на Z0 будет 97;47,0 градусов, а на Г© — 123;31,49 градуса. В
соответствии с этим угол ZA0 будет равен 48;53,30 градусам, каких в
четырех прямых углах имеется 360, а угол ГА© — приблизительно 61;45,54
    
такому же градусу. Остающийся [после вычитания угла ГА0 из 90 градусов]
угол ZrA попятного движения, обусловленного собственной скоростью
планеты, будет равен 28; 14,6 градусам, а угол ZAH [средней] аномалии —
12,52,24 градусам [угол ГАЭ — угол ZA0]. По упомянутому отношению
|скоростей] на среднем  [расстоянии] им соответствует перемещение по

|средней | долготе 20;35,19 градусов . Половина попятного движения
получается равной 7;38,47 градусам  [28; 14,6 - 20;35,19 ] и приблизительно
201/2'/} дням69, а все попятное движение составит
15; 17,34 градусов и 41Уз день.
Для точек стояний вблизи апогея расстояние
планеты будет приблизительно на 0;5 частей от
среднего расстояния меньше наибольшего и больше
70
наименьшего  .
   Согласно расчетам для наибольшего расстояния
простаферез [соответствующий 1 градусу ] при
уточненном значении [скоростей] оказывается рав-
ным 21/3 шестидесятым. Вследствие этого отно-
шение 0Z к Zr будет таким же, как у 0;57,40
71
к 0;39,51 , а отношение ЕГ к TZ — как у 2;35,11
к 0;39,51; содержащийся между ними прямоу-
гольник будет равен 1;43,4. Отношение ГА к
АН будет таким же, как у 61; 10 к 43; 10, а
отношение ДГ к НГ — как у 104;20 к 18;0;
содержащийся между ними прямоугольник будет равен 1878;0. Из
полученного [при делении 1878 на 1;43,4] частного 1093; 16,23 квадратный
корень будет равен 33;3,53. Умножив его на вышеприведенное отношение
прямых 0Z и Zr, получим, что при заданных числовых значениях ГА и
AZ величина 0Z будет 31;46,44, TZ — 21;57,38, а вся Г0 — 53;44,22
таких же части. Вследствие этого, если каждую из гипотенуз AZ и АГ
принять за 120, то Z0 получится равной 88;20,34, а Г0 — 105;25,44 таким
же частям. Из дуг над ними стоящая на Z0 равна 94;48,54 градусам, а
на Г0 — 122;56,27 градусам. В соответствии с этим угол ZA0 будет равен
47;24,27 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360, а угол
ГА0 — 61 ;28,14 такому же градусу. Остающийся [после вычитания угла
ГА0 из 90 градусов] угол ZrA попятного движения, обусловленного
собственной скоростью планеты, будет равен 28;31,46 градусам, а угол
ZAH видимой аномалии — 14;3,47 градусам [угол ГА0 — угол ZA0].
Согласно отношениям [скоростей] для апогея им соответствуют 20; 19,3 градусов
уточненной долготы и 21;9,3 градус периодического движения . Половина
попятного   движения   получается   равной   8; 12,43   градусам   [28;31,46 —
— 20; 19,3] и приблизительно 211/г дню73, а все попятное движение будет
равно 16;25,26 градусам и 43 дням.
    Согласно вычислениям для наименьшего расстояния простаферез [соот-
ветствующий приращению аргумента в 1 градус] при уточнении [значений
скоростей]  будет  равен  тем  же  21/3  шестидесятым.   Вследствие  этого
отношение Z0 к Zr будет таким же, как у 1;2,20 к 0;35,1174, а отношение
ЕГ к TZ — как у 2;39,51 к 0;35,11; их произведение будет 1;33,44.
Отношение ГА к АА такое же, как у 58;50 к 43; 10, а отношение ДГ к
ГН такое же, как у 102;0 к 15;40; их произведение будет равно 1598;0.

Из полученного [при делении 1598 на 1;33,44] частного 1022;54,7
квадратный корень будет равен 31;58,58. Умножив его на приведенное выше
отношение 0Z к 7Т, получим, что при заданных числовых значениях
ГА и AZ величина 0Z будет равна 33; 13,36, TZ — 18;45,16, а вся Г0 —
51;58,52 такой же части. Вследствие этого, если принять за 120 каждую
из гипотенуз AZ и АГ, то Z0 получится равной 92;22,3, а Г0 — 106; 1,23
таким же частям. Из дуг над ними стоящая на Z0 равна 100;39,34 градусам,
а на Г© — 124;8,22 градусам. В соответствии с этим угол ZA0 будет
равен 50; 19,47 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360,
а угол ГА© — 62;4,11 таким же градусам. Остающийся [после вычитания
угла ГА© из 90 градусов] угол ZrA попятного движения, обусловленного
собственной скоростью планеты, будет равен 27;55,49 градусам, а угол
ZAH видимой аномалии — 11;44,24 градусам [угол ГА© — угол ZA0].
Согласно отношению [скоростей] в перигее им соответствуют 20;53,30
градусов уточненного движения по долготе, а по средней долготе — 20;4,30
градусов75. Половина попятного движения получается вследствие этого
равной 7;2,19 градусам  [27;55,49 -  - 20;53,30] и приблизительно 20Уз
дням76, а все попятное движение — 14;4,38 градусам и 402/з дням.
6. Определение попятных движений Меркурия
У Меркурия при вычислениях для среднего расстояния отношение 0Z
77
к Zr [рис. 12.12] получается таким же как отношение 1 к 3;9,8 , а
отношение ЕГ к TZ — как 5;9,8 к 3;9,8; их произведение равно 16; 14,27.
Отношение ГА к АН будет таким же, как у 60 к 221/г, отношение АГ к

ГН — как у 82;30 к 37;30; их произведение будет
равно 3093;45. Квадратный корень из полученного
[при делении 3093;45 на 16; 14,27 ] частного
190;29,31 будет равно 13;48,7. Умножив его на
приведенное отношение прямых 0Z и Zr, по-
лучим, что при заданных числовых значениях
ГА и AZ прямая 0Z будет равна 13;48,7, Zr —
43;30,24, а вся Г0 — 57; 18,31 таким же частям.
Вследствие этого, если принять каждую из гипоте-
нуз AZ и АГ за 120, то Z0 получается равной
73;36,37, а Г0 — 114;37,2 таким же частям. Из
дуг стоящая на Z0 равна 75;40,28 градусам, а на
Г© — 145;32,52 градусам. Вследствие этого угол
В	ZA0  будет  равен  37;50,14  градусам,  каких в
                  четырех прямых углах содержится 360, а угол
Рис' 121	©АГ — 72;46,26 таким же градусам. Остающийся
[после вычитания угла ©АГ из 90 градусов] угол ZrA попятного движения
от собственной скорости планеты будет равен 17;13,34 градусам, а угол
аномалии ZAH [угол ©АГ - угол ZA0] — 34;56,12 градусам. Согласно
указанному отношению   [скоростей] ему соответствуют  11;4,59 градусов
78
движения по [средней] долготе . Для половины попятного движения [после
вычитания 11;4,59 из 17; 13,34] остается 6;8,35 градусов и приблизительно
70
Ц1/4 дней  , а все попятное движение составит 12;17,10 градусов и 221/г дня.

    При вычислениях для наибольшего расстояния, т.е. когда уточненная
долгота отстоит на 11 градусов от апогея, которым соответствуют
приблизительно 111/2 градусов среднего движения, простаферез для уточ-
нения   [отношения скоростей]  оказывается равным  приблизительно 21/3
ОЛ
шестидесятым на 1 градус [аномалии]  . Вследствие этого отношение 0Z
81
490	к Zr будет таким же, как у 0;57,40 к 3;11,28 , отношение ЕГ к TZ —
как у 5;6,48 к 3; 11,28; их произведение будет равно 16; 19,2. Отношение
ГА к АН будет таким же, как у 68;36 к 22;30, а отношение АГ к ГН —
как у 91 ;6 к 46;6; их произведение будет равно 4199;42,36. Из полученного
[при делении 4199;42,36 на 16;19,2] частного 257;22,44 квадратный корень
будет равен 16;2,35. Умножив его на приведенное отношение прямых 0Z
и Zr, получим при заданных числовых значениях ГА и AZ, что величина
0Z равняется 15;25,9, Zr — 51;13,43, а вся Г0 — 66;36,52 таким же
частям. Вследствие этого, если каждую из гипотенуз ZA и АГ принять за
120, то Z0 получится равной 82;14,8, а Г0 — 116;31,36 таким же частям.
Из дуг над ними стоящая на Z0 равна 86;31,4 градусам, а на 0Г —
152;27,56 таким же градусам . В соответствии с этим угол ZA0 будет
равен 43; 15,32 градусам, каких в четырех прямых углах содержится 360,
491	а угол 0АГ — 76; 13,58 таким же градусам. Остающиеся [после вычитания
угла 0АГ из 90 градусов] угол ZFA попятного движения от собственной
скорости планеты будет равен 13;46,2 градусам, а угол ZAH видимой
аномалии [угол 0АГ — угол ZA0 ] — 32;52,26 градусам84. По отношениям
[скоростей] в апогее им соответствуют 9;48,51 градусов уточненной долготы
ОС
и 10; 16,51 периодической  . Для половины попятного движения остается
3;57,11 градуса [13;46,2 — 9;48,51 ] и приблизительно IO1/2 дней , а все
попятное движение будет 7;54,22 градусов и 21 день.
   Согласно вычислениям для наименьших расстояний, которые получаются
при удалениях на 120 градусов среднего движения от апогея, простаферез
[на 1 градус аргумента ] при уточнении [значений скоростей ], получающийся
от прибавки 11 градусов с каждой стороны от перигея, будет равняться
приблизительно I1/2 шестидесятой . Вследствие этого отношение 0Z к ZF
будет таким же, как у 1; 1,30 к 3;7,38 , а отношение ЕГ к TZ — как у
5; 10,38 к 3;7,38; и их произведение будет 16; 11,25. Отношение ГА к АН
QQ
492 такое же приблизительно, как у 55;42 к 22; 30, а отношение АГ к ГН —
как у 78; 12 к 33; 12; их произведение будет 2596; 14,24. Из полученного [при
делении 2596;14 на 16;11,25] частного 160;31,29 квадратный корень 12;39,48,
будучи умножен на приведенное отношение 0Z к Zr, при указанных
числовых значениях ГА и AZ для 0Z дает 12;58,47, для Zr — 39;36,4,
а для всей Г0 — 52;34,51 такие же части. Вследствие этого, если каждую
из гипотенуз AZ и АГ принять за 120, то 0Z будет равна 69; 13,31, а
0Г — 113; 16,48 таким же частям. Из дуг стоящая на 0Z равна 70;27,44
градусам, а на 0Г — 141;28,14 градусу. В соответствии с этим угол 0AZ
будет равен 35; 13,52 градусам, каких в четырех прямых углах содержится
360, а угол — 70;44,7 таким же градусам. Из остающихся [после вычитания]
угол ZFA [90 — угол 0АГ] попятного движения от собственной скорости
планеты будет равен 19; 15,53 градусам, а угол ZAH видимой аномалии
[угол 0АГ - угол 0AZ] — 35;30,15 градусам. При заданном отношении
493 [скоростей] им соответствуют 11;39,30 градусов уточненной долготы и 11;21,
30
градусов периодической . Для половины попятного движения остается 7;36,23
492 
градусов [19; 15,53 - 11;39,30 ] и приблизительно Ш/г дней , а все попятное
движение будет 15; 12,46 градусов и 23 дня.
    Вычисленные величины [попятных движений] приблизительно соответ-
ствуют полученным из наблюдений для каждой из планет.
Данные относительно величин движений по долготе для наибольших и
92
наименьших расстояний мы нашли следующим образом  . Для наибольшего
93
расстояния, например, Марса, мы показали , что видимая дуга эпицикла
от каждого из стояний до оппозиции, т.е. наблюденная из центра зодиака
[относительно истинного апогея эпицикла], равна 22; 13,19 градусам.
Соответствующая ей величина среднего движения по долготе согласно
отношению [скоростей] 1 к 1;3,11 составляет приблизительно 21; 10 градус.
Однако последняя величина не представляется точной вследствие того, что
указанные соотношения скоростей, которые мы установили для стояний, не
остаются неизменными в течение всего попятного движения. Они, однако,
не отличаются от истинных на столько, чтобы соответствующий им
простаферез, равный приблизительно 3;45 градусам, отличался на какую-
нибудь существенную величину [от истинного значения]. Если мы отнимем 494
его от 22; 13,19 градусов на эпицикле (так как на наибольших расстояниях
видимые движения по эпициклу будут больше периодических), то
соответствующее периодическое движение по аномалии от одного из стояний
до оппозиции окажется равным 18;28,19 градусам. По отношениям средних
движений ему соответствуют 20;58,21 градусов периодической долготы. Мы
воспользуемся им как точным вместо 21; 10. Отняв от него 3;45 градуса
простафереза, который приблизительно остается таким же и здесь, поскольку
в наибольших удалениях видимые движения по долготе будут меньше
периодических, мы найдем видимое движение по долготе для приведенного
выше удаления, а именно 17;13,21 градусов94.

7. Построение таблицы стояний
   Для более удобного исследования вопроса о том, в какой точке на
эпицикле находится каждая планета, когда она кажется остановившейся,
для положений в интервале между средним расстоянием и наибольшим или
наименьшим расстоянием, мы построили таблицу, содержащую 31 строку 495
и 12 столбцов. Из них два первых столбца содержат значения средней
долготы через 6 градусов сообразно расположению в других таблицах, а
десять следующих столбцов дают для каждой из пяти планет величины
уточненной аномалии, отсчитываемые от видимых апогеев эпициклов,
причем в каждом случае первые столбцы дают аномалии для первых стояний,
а вторые — для вторых. Их величины мы определили на основании
полученных выше значений для средних, наименьших и наибольших
расстояний, а также разностей этих значений на промежуточных рас-
стояниях. Об этих разностях мы уже говорили при определении шестиде-
сятых долей восьмого столбца в таблицах аномалий, так как для каждого
из значений периодической долготы вместе с наибольшей разностью видимой
аномалии мы определили расстояния эпициклов, на которых больше всего
усматриваются различия стояний95. Прежде всего, поскольку определенные
для апогеев и перигеев попятные движения не содержат стояний, полу-
чающихся, когда центры эпициклов находятся в самих апогеях и перигеях, 496
но они отстоят от них на некоторое определенное для каждой планеты
расстояние, то мы получили значения [видимой аномалии ZAH], соответст-
вующие самим перигеям и апогеям, следующим образом96.

   Так как для Сатурна и Юпитера расстояния [ГА] эпициклов
непосредственно в апогеях и перигеях ничем существенным не отличаются
от тех, которые получаются на установленных выше расстояниях от апогея
и перигея, то полученные для них значения аномалии, отсчитываемые от
видимых апогеев эпициклов, мы поместили в соответствующих строках, т.е.
для апогеев — в строках с числом 360, а для перигеев — в строках с
числом 180. Как было показано, для Сатурна расстояние в апогее
эксцентрического круга от перигея эпицикла составляет приблизительно
97
67; 15 градусов, а в перигее — 64;31 градуса  ; для Юпитера это расстояние
в апогее равняется 55;55 градусам, а в перигее — 52;49 градусам .
Соответствующие им значения расстояний от апогеев эпициклов мы для
4»7 удобства поместили в следующих четырех столбцах долготы в соответст-
вующих строках, а именно в строке с числом 360 апогея в третьем столбце
мы поставили 112;45 градусов для первого стояния Сатурна, а в
четвертом — 247; 15 градусов для второго стояния. Точно так же в пятом
столбце мы поставили 124;5 градуса для первого стояния Юпитера, в
шестом — 235;55 градусов для второго стояния. В строках, имеющих число
180 для перигея, следуя тому же порядку, мы поместили 115;29 и 244;31
градусов и точно так же 127; 11 и 232;49.
   В случае Марса мы показали", что когда центр эпицикла находится
на расстоянии 20;58 градусов средней долготы от апогея эксцентра, планета
совершает стояния, находясь на 22; 13 градусах [по аномалии] от видимого
перигея эпицикла. В среднем расстоянии соответствующее значение
равняется 16;51 градусам, поэтому разность составит 5;22 градусов. Если
же среднее расстояние принять за 60, то наибольшее будет равняться 66,
и разность по сравнению со средним равна 6. В указанном же положении
апогея100 это расстояние [ГА] будет 65;40, так что разность по сравнению
498	со средним расстоянием будет 5;40. Умножив 6 на 5;22 и разделив
полученное на 5;40, мы найдем приблизительно 5;41 градусов разности в
самом апогее по сравнению со средним расстоянием. Таким образом, от
видимого перигея эпицикла получается расстояние 22;32 градуса [16;51 +
+ 5;41 ], от апогея в первом стоянии — 157;28 градусов, которые мы ставим
в седьмом столбце в строке, соответствующей 360, а во втором стоянии —
202;32 градуса, которые мы ставим в восьмом столбце в той же самой строке101.
Точно так же, когда центр эпицикла отстоит от перигея [эксцентра]
на 16;53 градусов средней долготы , планета Марс совершает стояния,
находясь на 11;11 градусах [по аномалии] от видимого перигея эпицикла,
так что по сравнению со средним расстоянием получается разность 5;40
градусов [16;51 - 11;11]. Из расстояний же наименьшее составляет 54 такие
части, имея разницу 6 частей по сравнению со средним. В указанном же
положении от перигея эксцентра оно равно 54;20, так что по сравнению
со средним расстоянием получается разность 5;40. В самом перигее мы
имеем разность 6 частей, вследствие чего мы получаем от видимого перигея
1 П4
эпицикла расстояние 10;51 градусов   , от апогея в первом стоянии — 169;9
499	градусов, а во втором — 190;51. Эти значения мы помещаем в строке для
180 градусов в соответствующих столбцах.
   Для Венеры мы показали104, что на расстоянии [центра эпицикла] в
21;9 градус средней долготы от апогея [эксцентра] планета совершает
стояния, находясь на 14;4 градусах [по аномалии] от видимого перигея
   
эпицикла. Поскольку в среднем расстоянии ее положение соответствует
перемещению в 12;52 градусов, получается разность Г, 12 градус. Если же
среднее расстояние принять за 60, то наибольшее будет равняться 61; 15,
и разница по сравнению со средним будет 1;15. В указанном же удалении
от апогея это расстояние равно 61; 10, и разница по сравнению со средним
будет 1;10. Умножив 1;15 на 1;12 и разделив полученное на 1;10, мы
найдем, что на самом апогее разница [по аномалии] равна 1;17 по сравнению
со средним расстоянием. Таким образом, от видимого перигея эпицикла
получается 14;9 градусов, а от апогея — 165;51 градусов для первого
стояния, что мы и помещаем в девятом столбце в строке для 360 градусов.
Для второго стояния мы будем иметь 194;9 градуса, которые мы помещаем
в десятом столбце в той же самой строке.
Подобно этому,  когда  эпицикл отстоит от перигея эксцентра при- soo
близительно на 20 градусов в среднем движении по долготе105, планета
[Венера] совершает стояния, находясь на 11 ;44 градусах от видимого перигея
эпицикла, так что по сравнению со средним расстоянием получается разность
1;8 градус. Наименьшее же расстояние составляет 58;45 частей, каких в
среднем [расстоянии] имеется 60, и их разность будет равна 1;15. В
указанном же удалении от перигея это расстояние составляет 58;50 таких
частей и разность по сравнению со средним будет 1; 10. Умножив 1;15 на
1;8 и разделив полученное на 1; 10, найдем в самом перигее разница [по
аномалии ] 1; 13 по сравнению со средним расстоянием. Таким образом
удаление от видимого перигея эпицикла будет 11;39 градусов, а от апогея —
168;21 градусов в первом стоянии и 191;39 во втором, что мы и поместим
в тех же самых столбцах в строке, соответствующей 180 градусам.
   Для планеты Меркурий мы показали106, что когда эпицикл удален на
10; 17 градусов средней долготы от апогея эксцентра, планета совершает
стояния, находясь на 32;52 градусах [по аномалии ] от видимого перигея
эпицикла. В среднем расстоянии это удаление равняется 34;56 градусам, 501
так что разность получится равной 2;4 градусам. Если среднее расстояние
принять за 60, то наибольшее будет равняться 69 таким же частям и
разность их равна 9. В указанном же удалении от апогея расстояние будет
68;36 и разница по сравнению со средним равна 8;36. Умножив 9 на 2;4
и разделив полученное на 8;36, найдем для самого апогея в среднем
расстоянии разность приблизительно 2; 10 градуса. Таким образом, расстоя-
ние [по аномалии] от видимого перигея эпицикла получается 32;46 градуса,
а от апогея — 147; 14 градусов для первого стояния; мы их поместим в
одиннадцатом столбце в строке, соответствующей 360 градусам. Для второго
стояния будет 212;46 градусов, что мы поместим в двенадцатом столбце в
той же самой строке.
   Точно так же, когда эпицикл отстоит от перигея [эксцентра] на 11;22
градусов средней долготы, планета [Меркурий] совершает стояния, находясь
на 35;30 градусах от видимого перигея эпицикла107. Таким образом, по
сравнению со средним расстоянием получается разница 34 шестидесятых; 502
из расстояний наименьшее содержит 55;34 частей, каких в среднем имеется
60, и их разность будет 4;26. На указанном же удалении от перигея
расстояние равно приблизительно 55;42 таким же частям и разница по
сравнению со средним будет 4; 18. Умножив 4;26 на 0;34 и разделив
полученное на 4; 18, найдем для самого перигея разницу 0;35 по сравнению
со средним расстоянием. Вследствие этого удаление от видимого перигея
эпицикла будет 35;31 градусов, а от апогея в первом стоянии — 144;29

градуса, во втором — 215;31, которые мы и поместим в тех же самых
столбцах, но только не в строке для 180 градусов долготы, а в строках
для 120 и 240 градусов, так как, по доказанному, именно таким значениям
соответствуют перигейные места на эксцентре планеты Меркурий.
Следуя   изложенному   выше,   теми  же  самыми  методами  получаем
разности и для промежуточных положений [между апогеем и перигеем]
Предположим,  например,  что для первых стояний требуется  найти
значения видимой аномалии, когда среднее положение по долготе отстоит
от апогея на 30 градусов. В этом положении, если для всех планет считать
50среднее расстояние равным 60 [частям ], расстояние эпицикла получится,
как мы показали выше, равным для Сатурна 63;2, для Юпитера — 62;26,
для Марса — 65;24, для Венеры — 61 ;6, для Меркурия — 66;35109. Таким
образом, для каждой планеты разница по сравнению со средним расстоянием
будет, чтобы не повторяться, в той же самой последовательности: 3;2, 2;26,
5;24, 1;6 и 6;35. Но в самих апогеях разности расстояний [центра эпицикла
от наблюдателя] по сравнению со средними расстояниями будут больше,
поскольку для всех планет написанные выше числовые значения расстояний
будут больше среднего. В тех же единицах они будут равны 3;25, 2;45,
6;0, 1;15 и 9;0. Так как полные разности градусов видимой аномалии в
апогеях и для средних расстояний получаются в той же самой последова-
тельности равными 1;23, 1;33, 5;41, 1;17 и 2; 10 градусам, то, умножив
каждую из этих величин для каждой планеты соответственно на разницу
расстояния по сравнению со средним (например, 1;23 на 3;2 [для Сатурна])
и   разделив   полученные   произведения   на   разность   для   наибольшего
so4 расстояния (в нашем примере на 3;25 [для Сатурна]), мы найдем для
каждой планеты в указанном положении по долготе разности чисел градусов
аномалии по сравнению со средним расстоянием, а именно 1;14, 1;22, 5;7,
1;8 и 1;35. Но для средних расстояний числа градусов [по аномалии] от
видимого апогея эпицикла будут 114;8, 125;38, 163;9, 167;8 и 145;4. На
наибольших расстояниях эти числа для всех планет, кроме Меркурия, будут
меньше указанных, для Меркурия же больше. Таким образом, найденные
при заданном расстоянии разности для всех планет, кроме Меркурия, мы
отнимем от числа градусов для среднего расстояния, а для Меркурия
прибавим к нему. В результате мы получим для 30 градусов средней долготы
значения видимой аномалии, отсчитываемые от апогея эпицикла, которые
должны быть помещены в столбцах для первых стояний: для Сатурна —
112;54, для Юпитера — 124; 16, для Марса — 158;2, для Венеры — 166;0,
для Меркурия — 146;39. Вслед за этим мы можем заполнить столбцы для
вторых стояний для каждой [планеты], поместив в них (в тех же самых
505 строках в столбцах вторых стояний) разности после вычитания из 360
градусов чисел для первых стояний. Для указанной долготы [соответственно
находим]: 247;6, 235;44, 201 ;58, 194;0 и 213;21 градусов.
   Легко понять, что хотя мы привели [в таблице] наблюдаемые градусы
аномалии, отсчитываемые от видимого апогея эпицикла, но для удобства
можно взять отнесенные к среднему апогею [эпицикла] неуточненные
[значения аномалии] и по ним получить то же самое. При этом
соответствующий каждому значению средней долготы простаферез, поме-
щенный в таблицах аномалии, мы вычитаем из найденного числа градусов
видимой аномалии вплоть до 180 градусов расстояния от апогея эксцентра
и прибавляем к нему, если это расстояние [по средней долготе от апогея]
превышает 180 градусов. Построенная таблица будет такова.
   
8. Таблица стояний. Значения уточненной аномалии

Общие
числаСатурнЮпитерМарсВенераМеркурий
1-е
стояние2-е
стояние1-е
стояние2-е
стояние1-е
стояние  2-е
стояние1-е
стояние2-е
стояние1-е
стояние2-е
стояние0°
6
12360°
354
348112°45'
112 45
112 46247°15'
247 15
247 14124° 5'
124   6
124   7235°55'
235 54
235 53157°28'
157 29
157 34202°32'
202 31
202 26165°5 Г
165 52
165 53194° 9'
194   8
194   7147°14'
147 13
147   8212-46'
212 47
212 5218
24
30342
336
330112 48
112 51
112 54247 12
247   9
247   6124   9
124 12
124 16235 51
235 48
235 44157 41
157	50
158	2202 19
202 10
201 58165 55
165	57
166	0194   5
194   3
194   0147   1
146 51
146 39212	59
213	9
213 2136
42
48324
318
312112	58
113	3
113   8247   2
246 57
246 52124 21
124 26
124 32235 39
235 34
235 28158 18
158 34
158 55201 42
201 26
201   5166 4
166 9
166 15193 56
193 51
193 45146 25
146 11
145 55213 35
213	49
214	554
60
66306
300
294113 15
113 22
113 29246 45
246 38
246 31124 39
124 47
124 55235 21
235 13
235   5159 17
159	42
160	10200 43
200 18
199 50166 22
166 29
166 35193 38
193 31
193 25145 39
145 23
145   8214 21
214 37
214 5272
78
84288
282
276113 36
113 44
113 53246 24
246 16
246   7125   3
125 12
125 22234 57
234 48
234 38160	39
161	10
161 44199 21
198 50
198 16166 42
166 50
166 58193 18
193 10
193   2144 58
144 52
144 46215   2
215   8
215 1490
96
102270
264
258114   1
114 10
114 18245 59
245 50
245 42125 32
125 41
125 51234 28
234 19
234   9162 18
162	54
163	31197 42
197   6
196 29167   7
167 14
167 21192 53
192 46
192 39144 40
144 36
144 33215 20
215 24
215 27108
114
120252
246
240114 27
114 35
114 43245 33
245 25
245 17126   0
126 10
126 19234   0
233 50
233 41164   9
164	47
165	25195 51
195 13
194 35167 28
167 35
167 43192 32
192 25
192 17144 30
144 30
144 29215 30
215 30
215 31126
132
138234
228
222114 51
114	58
115	5245   9
245   2
244 55126 28
126 36
126 44233 32
233 24
233 16166   3
166	37
167	8193 57
193 23
192 52167 50
167	56
168	1192 10
192   4
191 59144 29
144 30
144 31215 31
215 30
215 29144
150
156216
210
204115 11
115 16
115 21244 49
244 44
244 39126 51
126	57
127	2233   9
233   3
232 58167	39
168	4
168 28192 21
191 56
191 32168   6
168 10
168 14191 54
191 50
191 46144 33
144 35
144 37215 27
215 25
215 23162
168198
192115 25
115 27244 35
244 33127   6
127   8232 54
232 52168 46
168 59191 14
191    1168 17
168 19191 43
191 41144 38
144 39215 22
215 21174
180186
180115 29
115 29244 31
244 31127 10
127 11232 50
232 49169   8
169   9190 52
190 51168 20
168 21191 40
191 39144 40
144 40215 20
215 20
9. Определение наибольших удалений Венеры и Меркурия от Солнца
   
   После изложения теории попятных движений следует определить
получающиеся при установленных предположениях наибольшие отклонения
от Солнца планет Венера и Меркурий для каждой из двенадцати частей
зодиака. В установленных для этого [таблицах] мы поместили [наибольшие
удаления ] применительно к видимым положениям Солнца, предполагая, что
упомянутые планеты находятся как бы в началах этих двенадцати частей
и что положения их апогеев отнесены к соответствующим нашему времени
точкам равноденствий и солнцеворотов, иными словами, что апогей Венеры
находится на 25 градусах Тельца, а Меркурия — на 10 градусах Клешней111.
Получающееся вследствие передвижения апогеев изменение наибольших
отклонений легко может быть исправлено позд-
нейшими исследователями при помощи тех же
самых методов; кроме того, в течение очень
большого времени оно остается незначительным.
Чтобы сделать понятным характер этих методов,
покажем, например, для Венеры, каковы будут
упомянутые наибольшие отклонения, утренние и
вечерние,   когда   планета   находится   в   точке
весеннего равноденствия, т.е. в начале Овна
Итак, пусть АВГДЕ [рис. 12.13] будет пря-
11 з
мой, проходящей через апогей А эксцентра
Предположим, что на ней в точке В находится
центр равномерного движения, в Г — центр
несущего эпицикл эксцентрического круга и,
наконец, в А — центр зодиака. Проведя радиус
TZ эксцентра, опишем вокруг Z эпицикл Н©.
Из А проведем касательную А© к стороне эпицикла, которая представляет
утреннюю видимость и предшествует ему [в суточном движении],
соединительные прямые BZH, Z© и перпендикуляры ГК, ГЛ, ВМ. Так как
ДА направлена к 25 градусам Тельца, а Д© — к началу Овна, то угол
АА© будет равен 55 градусам, каких в четырех прямых углах содержится
360, или ПО градусам, каких в двух прямых углах содержится 360, а угол
ДГК — недостающим до одного прямого 70 градусам. Таким образом, дуга
на ГК равна ПО градусам, каких в круге около прямоугольного треугольника
ГДК содержится 360, а прямая ГК — 98; 18 частям, каких в гипотенузе
ГД будет 120. Если прямая ГД равна 1;15, а радиус Z© эпицикла — 43; 10,
то в ГК или в Л© будет 1;1, а в остатке ZA [после вычитания Л© из
Z©] — 42;9 таких части, каких в радиусе TZ эпицикла предполагается
60. Значит, если гипотенуза TZ равна 120, то в ZA таких частей будет
84; 18, а дуга на ней имеет 89; 16 градусов, каких в круге около
прямоугольного треугольника TZA содержится 360; таким образом, угол
ZrA равен 89; 16 градусам, каких в двух прямых углах будет 360.
Поскольку угол ДГК имеет 70 таких градусов, угол ЛГК прямой, весь
угол ZrA получится равным 339; 16 градусам [89; 16 + 70 + 180], а
остающийся [после вычитания из двух прямых углов угла ZrA] угол
ATZ — 20;44 таким же градусам. Поэтому дуга на ВМ равна 20;44 градусам,
каких в круге около прямоугольного треугольника ВГМ будет 360, а дуга

на ГМ — недостающим до полукруга 159; 16 градусам. Из стягивающих их
прямых ВМ будет равна 21;35 части, каких в гипотенузе ВГ имеется 120,
а ГМ — 118;2 таким же частям. Если прямая ВГ равна 1;15, а радиус
TZ эксцентра — 60, то таких частей в ВМ будет 0; 13, в ГМ — 1;14, а
в остатке [после вычитания ГМ из TZ] MZ — 58;4б. Вследствие этого
гипотенуза BZ будет иметь 58;4б таких же частей; значит, если прямая
BZ равна 120, то в ВМ таких частей будет 0;27, а дуга на ней имеет
0;26 градусов, каких в круге около прямоугольного треугольника BZM
содержится 360. Таким образом, угол BZr равен 0;26 градусов, каких в
двух прямых углах будет 360. Поскольку было доказано, что угол ATZ
равен 20;44 таким же градусам, весь угол ABZ равномерного движения по
долготе будет равен 21; 10 градусу, каких в двух прямых углах имеется
360,  или   10;35  градусам,  каких  360 будет  в  четырех  прямых углах.
Следовательно, среднее положение Солнца будет
отстоять от апогея А на 10;35 градусов против
последовательности знаков и, очевидно, окажется
на 14;25 градусах Тельца, истинное же его
положение будет на 15; 14 градусах. Таким
образом, планета, находящаяся в начале Овна,
будет иметь наибольшее утреннее отклонение от
истинного положения Солнца, равное 45; 14 гра-
114
дусам
Теперь   возьмем   соответствующий   чертеж
|рис. 12.14], когда касательная будет проведена
к стороне эпицикла, которая представляет вечер-
нюю   видимость   и   идет   позади   эпицикла   [в
I»    |2 14	суточном движении], а планета предполагается
                          точно так же находящейся в начале Овна. На
основании доказанного выше, если угол АД© сохраняет ту же величину,
угол ДГК получается равным 70 градусам, каких в двух прямых углах
будет 360, а прямая ГК или Л© равна f;l части, каких в радиусе TZ
эксцентра содержится 60, а в радиусе Z© эпицикла — 43; 10. Следовательно,
в ZA |Z© + Л© | таких частей будет 44; 11. Ясно, что если взять гипотенузу
TZ [треугольника TZA ] за 120, то в ZA таких частей будет 88;22, а дуга
на ней будет иметь 94;51 градуса, каких в круге около прямоугольного
треугольника TZA содержится 360. Таким образом, угол ZrA равен 94;51
градусам, каких в двух прямых углах будет 360, угол ZTK — недостающим
до одного прямого угла 85;9 градусам, а весь угол гГД, т.е. ВГМ, — 155;9
таким же градусам. Вследствие этого находящаяся на ВМ дуга будет равна
155;9 градусам, каких в круге около прямоугольного треугольника ВГМ
имеется 360, а дуга на ГМ — недостающим до полуокружности 24;51
градусам. Из стягивающих их прямых ВМ равна 117; 11 частям, каких в
гипотенузе ВГ будет 120, а ГМ — 25;49 таким же частям. Поэтому если
прямая ВГ равна 1;15, то таких частей в ВМ будет 1;13, в МГ — 0; 16,
а во всей MZ — 60; 16, поэтому гипотенуза BZ будет равна 60; 17 таким
же частям. Значит, если прямая BZ равна 120, то в ВМ таких частей
будет 2;25, а дуга на ней содержит 2; 19 градуса, каких в круге около
прямоугольного треугольника BZM имеется 360. Таким образом, угол
BZM равен 2; 19 градусам, каких в двух прямых углах будет 360. Но угол
BrZ равен 204;51 таким же градусам, поскольку угол ДГг, по доказанному,
равняется таким же 155;9 градусам; значит, весь угол ABZ равномерного
                          
движения по долготе будет равен 207; 10 градусам, каких 360 содержится
в двух прямых углах, или 103;35 градусам, каких 360 будет в четырех
прямых углах. Следовательно, среднее положение Солнца окажется на 11;25
градусах Водолея [25 градусов Тельца - 103;35 градусов], а истинное —
на 13;38. Таким образом, вечернее наибольшее расстояние от истинного
положения Солнца, когда планета находится в начале Овна, будет равно
46;22 градусам115.
Что касается планеты Меркурий, то для более удобного определения в
П6
дальнейшем пропущенных гелиакических восходов поставим задачу: найти
наибольшее его отклонение от истинного положения Солнца, полагая, что
в вечерних отклонениях планета находится в начале Скорпиона, а в
утренних — в начале Тельца. Сделанные относительно Меркурия предпо-
ложения не позволяют по заданному видимому положению планеты
определить ее среднее положение по долготе, так как прямая TZ не будет
всегда одной и той же и равной радиусу эксцентра, как это имеет место
в предположениях для других планет, но при задании его среднего
положения по долготе определяется и видимое. Введем поэтому для каждой
из двенадцати частей зодиака два [средних] положения по долготе, между
которыми планета [в наибольшей элонгации ] может попасть в начало
исследуемого нами [знака]: одно в направлении против
последовательности знаков [от начала исследуемого знака],	Z
а другое — в направлении последовательности. Вычислив     /^*~^\
получающиеся в этих положениях наибольшие отклонения,    /	\
мы найдем то наибольшее отклонение, которое получается | ^ д ]
в самом начале рассматриваемой двенадцатой части, как уЬ^"^       )
117	V	У
легко   будет   сообразить   на   основании   предыдущего   .     vv^l^/
Сделаем это сначала для наибольшего вечернего отклонения,      \     ®
соответствующего началу Скорпиона.	\
    Пусть АВГД [рис. 12.15] будет проходящим через апогей        \
А диаметром. Предположим, что на нем в точке Г находится	\ В
центр зодиака, а в В — центр равномерного движения	уг
эпицикла. Пусть, по предположению, центр эпицикла
находится в самом апогее, так что среднее положение
Солнца по долготе попадает на 10 градусов Клешней, а
истинное — на 8. Описав около точки А эпицикл ZH,
проведем из Г касательную ГН к его вечерним частям и	Ад
перпендикулярную к ней соединительную прямую АН. На      Рис. 12.15
118
основании доказанного выше известно, что если наиболь-
шее расстояние ГА равняется 69, то радиус АН эпицикла равен 221/2 таким
частям. Положив гипотенузу АГ [треугольника АГН] равной 120, получим,
что прямая АН будет равна 39;8 таким частям. Поэтому дуга на АН равна
38;4 градусам, каких в круге около прямоугольного треугольника АГН
содержится 360, и угол АГН — 38;4 градусам, каких в двух прямых углах
будет 360, или 19;2 градусам, каких 360 будет в четырех прямых углах,
и ГА направлена к 10 градусам Клешней. Следовательно, планета окажется
на 29;2 градусах Клешней, имея наибольшее расстояние от истинного
положения Солнца равным 21 ;2 градусу.
   Далее предположим, что средняя долгота [центра эпицикла] от апогея
будет 3 градуса, так что среднее положение Солнца будет на 13 градусах
Клешней, а истинное — на 11;4. Проведя прямую BE [рис. 12.16], опишем
около центра Е эпицикл ZH; проведя также касательную ГН,   начертим
   
соединительные прямые ЕГ и ЕН. В рассматриваемой ситуации, т.е. когда
угол ABE предполагается равным 3 градусам, каких в четырех прямых
углах содержится 360, на основании изложенного выше можно показать,
что угол АГЕ, соответствующий разности от эксцентриситета, будет равен
2;52 таким же градусам, а расстояние эпицикла в этот момент ЕГ равно
приблизительно 68;58 частям, каких в радиусе ЕН
эпицикла будет 22;30. Если гипотенузу ЕГ принять за
120, то прямая ЕН будет равна 39;9 таким же частям;
поэтому дуга на ней равна 38;5 градусам, каких в круге
около прямоугольного треугольника ГЕН содержится
360, а угол ЕГН — 38;5 градусам, каких в двух прямых
углах имеется 360, или приблизительно 19;3 градусам,
каких 360 имеется в четырех прямых углах. Вследствие
этого весь угол АГН будет равен 21 ;55 такому же
градусу. Значит, когда планета находится на 1;55 градусе
Скорпиона, то наибольшее ее расстояние от истинного
положения Солнца будет равно 20;51 градусам [1;55
Скорпиона — 11 ;4 Весов]. Но было доказано, что при
нахождении планеты на 29;2 градусах Клешней ее
наибольшее отклонение от истинного положения Солнца
составляло 21 ;2 градус. Так как разность начальных
положений равна 2;53, а разность наибольших откло-
нений — 11 шестидесятых, то 58 шестидесятым от
первого начального положения до начала Скорпиона
соответствуют приблизительно 4 шестидесятых; отняв
их от 21 ;2, мы получим соответствующее самому началу
Скорпиона наибольшее вечернее отклонение от истинно-
го положения Солнца, равное 20;58 градусам119.
   Для определения наибольшего утреннего отклонения
в начале Тельца предположим сначала среднее поло-
жение по долготе отстоящим от перигея на 39 градусов
в направлении последовательности знаков . Таким
образом, среднее положение Солнца будет на 19
градусах Тельца, а истинное — на 19;38. Возьмем
подобный чертеж, на котором эпицикл отступает от
перигея в направлении последовательности знаков, и
проведем касательную к утренней части эпицикла. В
указанном положении, т.е. когда угол ABZ [рис. 12.17]
предполагается равным 39 градусам, каких в четырех прямых углах
содержится 360, на основании изложенного выше можно доказать, что угол
ДГЕ будет равен 40;57 таким же градусам, а прямая ГЕ расстояния в
указанный момент содержит 55;59 частей, каких в радиусе ЕН эпицикла
имеется 22;30. Если гипотенузу ГЕ принять за 120, то в прямой ЕН таких
частей будет 48; 14, а дуга на ней будет содержать 47;24 градусов, каких
в круге около прямоугольного треугольника ГЕН содержится 360. Поэтому
угол ЕГН будет равен 47;24 градусам, каких в двух прямых углах будет
360, или 23;42 градусам, каких 360 содержится в четырех прямых углах,
а остающийся угол НГД — 17; 15 таким же градусам. Следовательно, планета
Меркурий,  находясь на 27; 15 градусах Овна,  будет иметь наибольшее

утреннее отклонение от истинного положения Солнца, равное 22;23 градусам
|19;38 Тельца - 27;15 Овна].
   Теперь предположим, что планета по своей средней долготе отстоит от
перигея в ту же сторону на 42 градуса, так что среднее положение Солнца
будет на 22 градусах Тельца, а истинное — на 22;31. Так как в этом
положении угол ABZ [рис. 12.171 предполагается равным 42 градусам,
каких четыре прямых угла содержат 360, можно показать, что угол ДГЕ
равен 44;4 таким же градусам, а расстояние ГЕ в указанный момент —
55;50 частям121, каких радиус ЕН эпицикла содержит 22;30. Если гипотенузу
520 ЕГ принять за 120, то прямая ЕН составит 48; 19 таких частей, а дуга на
ней будет равна 47;30 градусам, каких в круге около прямоугольного
треугольника ЕГН содержится 360. Таким образом, угол ЕГН равен 47;30
градусам, каких в двух прямых углах будет 360, или 23;45 градусам, каких
360 будет в четырех прямых углах; остающийся же угол НГД равен 20; 19
таким же градусам. Следовательно, при нахождении планеты Меркурий на
0;19 градусов Тельца ее наибольшее утреннее удаление от истинного
положения Солнца будет равно 22;12 градусам [22;31 Тельца — 0; 19
Тельца]. Но было показано, что при нахождении на 27; 15 градусах Тельца
ее наибольшее удаление равнялось 22;23 градусам. Значит, разность
начальных положений будет 3;4 градуса, а разность наибольших удалений
— 11 шестидесятых, так что 2;45 градусам от первого начального положения
до начала Тельца соответствует приблизительно 10 шестидесятых. Отняв
их от 22;23, получим наибольшее утреннее расстояние от истинного
положения Солнца для начала Тельца, равное 22; 13 градусам, что и
требовалось определить.
   Вычислив таким же образом наибольшие утренние и вечерние отклонения
5л обеих планет, получающиеся для остальных знаков [зодиака], мы составили
для них таблицу из 12 строк, равных числу знаков, и 5 столбцов. В первом
столбце мы поместили начала знаков [зодиака], отправляясь от Овна, в 4
следующих столбцах — вычисленные наибольшие расстояния планет от
истинного положения Солнца, причем второй и третий столбцы содержат
утренние и вечерние отклонения Венеры, а четвертый и пятый утренние
и вечерние отклонения Меркурия. И таблица эта такова.

10. Таблица наибольших удалений планет
от истинного положения Солнца

Начало знака
ЗодиакаВенераМеркурий
утренниевечерниеутренниевечерниеОвен
Телец
Близнецы45" 14'
45 17
45 3446° 22'
45 31
44 4924° 14'
22 13
20 1819° 36'
21   7
23 41Рак
Лев
Дева45	56
46	20
46 3844 25
44 31
44 5518 17
16 35
16   826	16
27	37
26 17Весы
Скорпион
Стрелец46 45
46 47
46 3045	41
46	30
47	1317 46
21 32
26   923 31
20 58
19 28Козерог
Водолей
Рыбы46   7
45 41
45 2047 35
47 34
47   728 37
28 17
26 2419 14ш
18	51
19	0
Книга XIII

1. О гипотезах, касающихся движения пяти планет по широте
   
   Из теории пяти планет остаются еще два вопроса: об их движении по
широте относительно средней линии зодиака и об определении расстояний
планет от Солнца в их гелиакических восходах и заходах. В последнем
случае необходимо сначала рассмотреть расстояния каждой из планет по
широте, поскольку они служат причиной некоторых заметных различий в
их гелиакических восходах и заходах. Поэтому мы сначала изложим общие
для всех [планет] соображения относительно наклонений их кругов.
    Во-первых, у каждой из планет наблюдается двоякое неравенство по
широте, так же как и у аномалий по долготе, а именно одно зависит от
нахождения в различных частях зодиака и определяется эксцентрическим
кругом, а другое связано с Солнцем и определяется эпициклом . Поэтому s2s
мы предполагаем, что у всех планет эксцентр наклонен к плоскости
зодиакального круга, а эпицикл имеет наклон к плоскости эксцентра. При
этом, как мы сказали, не получится никаких существенных отклонений в
движении по долготе или в определении аномалий, если наклоны [эксцентра
и эпицикла ]  будут  иметь  такие  величины,  которые  мы  установим  в
дальнейшем . Во-вторых, из отдельных наблюдений для каждой планеты
мы установили, что когда уточненные значения долготы и аномалии отстоят
приблизительно на четверть круга — первое от северной или южной
предельной точки эксцентра, второе от соответствующего [истинного] апогея
[эпицикла], — планеты наблюдаются в самой плоскости зодиака. Вследствие
этого мы предположили, что линии наклона эксцентров проходят через
центр зодиака, как у Луны, и определяются диаметрами, проходящими
через северную и южную предельные точки, а наклоны эпициклов
определяются углом линии, проходящей через центр зодиака, с диаметром
эпицикла, на котором находятся видимые апогеи и перигеи.
   Далее, для трех планет — Сатурна, Юпитера и Марса — из наблюдений
мы установили, что когда положения планет по долготе приходятся на
часть эксцентра, прилегающую к апогею, они всегда кажутся имеющими «6
отклонения к северу от плоскости зодиака   и являются более северными
для позиций в перигеях эпициклов, чем в апогеях4. Если же их положения
по долготе приходятся на перигейную часть эксцентра, то они наблюдаются
в противоположном положении — к югу от [плоскости] зодиака. Затем
[как мы установили],  самые северные точки эксцентров у Сатурна и

XIII. 1. О гипотезах, касающихся движения пяти планет по широте

399


Юпитера находятся в начале знака Клешней, а у Марса — в конечных
частях Рака, почти в точке его апогея5. Отсюда можно заключить, что в
упомянутых частях зодиака эксцентры отклоняются к северу, а в
диаметрально противоположных частях — на столько же к югу; у эпициклов
6
перигеиные части всегда отклонены в ту же сторону, что и эксцентры ,
причем диаметры, проведенные под прямым углом к линиям апогеев
[эпициклов ], всегда остаются параллельными плоскости зодиака.
   У Венеры и Меркурия мы наблюдали, что когда положения [центров
их эпициклов] по долготе приходятся на апогеи и перигеи эксцентров, то
положения в перигейной части эпицикла по широте ничем не отличаются
527	от положений в апогейной части [эпицикла], но в обоих случаях будут
или севернее, или южнее зодиака на одинаковую величину: у Венеры всегда
севернее, а у Меркурия, наоборот, всегда южнее7. В наибольших
отклонениях [от Солнца] их положения [по широте в апогее эксцентра]
различаются между собой больше всего, а именно утренние от вечерних.
От положений же в апогеях и перигеях эпициклов, т.е. от разности [по
широте], производимой эксцентром, они отличаются на одинаковую
величину, но в противоположные стороны. Наибольшее вечернее отклонение
планеты, отстающей [от центра эпицикла] при суточном движении, у
Венеры будет в апогее эксцентра более северным [чем утреннее отклонение],
а в перигее — более южным; у Меркурия, наоборот: в апогее — более
южным, а в перигее — более северным. [Кроме того, мы наблюдали, что]
о
когда их уточненные положения по долготе приходятся на узлы [эксцентра ],
то в точках, отстоящих на четверть окружности от перигеев или апогеев
эпициклов,   положения  обеих  планет  оказываются  в   самой   плоскости
зодиака9. Положения же в перигеях [эпициклов ] будут в наибольшей
степени отличаться [по широте] от положений в апогеях. При этом у
Венеры в узле, находящемся на полуокружности, где уравнение отрица-
528	тельно, инклинация получается к югу, а в узле, лежащем в противопо-
ложной полуокружности, — к северу. У Меркурия же наоборот: при
нахождении узла в отрицательной полуокружности инклинация будет к
северу, а в противоположной части — к югу. Таким образом, получается,
что инклинации эксцентров будут также переменными, и период их
изменения совпадает с периодом движения эпицикла [по эксцентру]. Если
эпицикл будет в узле, то эксцентр попадет в зодиакальную плоскость, в
апогеях и перигеях [эксцентров ] отклонения эпициклов [по широте от
эксцентров ] будут наибольшими, причем у Венеры они делают эпицикл
более северным, а у Меркурия более южным. [Мы также установили, что]
эпициклы производят два неравенства [по широте]: в узлах эксцентров они
сообщают наибольшую инклинацию диаметрам, проходящим через видимые
апогеи, а в апогеях и перигеях эксцентров — наибольшую обликвацию
(такое название мы дадим этому отклонению) диаметрам10, перпендику-
лярным упомянутым; наоборот, первый [диаметр] они приводят в плоскость
эксцентра в апогеях и перигеях [эксцентра], а последний — в плоскость
зодиака в указанных узлах.

2. О характере движения в предполагаемых инклинациях	529
и обликвациях согласно гипотезам
   Из вышеизложенных предположений получается, что эксцентрические
круги пяти планет наклонены к плоскости средней линии зодиака и проходят
через центр последнего, но у трех планет — Сатурна, Юпитера и Марса —
этот наклон будет постоянным, так что при диаметрально противоположных
положениях планеты смещаются по широте в противоположные стороны, а
у Венеры и Меркурия эксцентр движется по широте вместе с эпициклом
в одном и том же направлении11: для Венеры всегда на север, а для
Меркурия на юг.
    [У всех планет] проходящие через видимые апогеи диаметры эпицик-
лов, выходя из некоторого начального положения в плоскости эксцентра,
перемещаются в соответствии [с движением] по малым кругам, которые,
так сказать, приложены к их перигейным концам. Размеры этих малых
кругов определяются [максимальными] отклонениями по широте [диаметров
эпициклов], они перпендикулярны плоскостям эксцентров и имеют свои
центры в этих плоскостях; они вращаются равномерно с периодом, равным
движению по долготе, выходя из начального положения одного из концов «о
в пересечении своей собственной плоскости и плоскости эпицикла [при ее
совпадении с плоскостью эксцентра] и двигаясь, предположим, к северу;
они увлекают вместе с собой плоскости эпициклов, которые по истечении
четверти оборота переходят, очевидно, к самому северному пределу, за
следующую четверть оборота они возвращаются в плоскость эксцентра, за
третью четверть — к самому южному пределу и, наконец, за последнюю
возвращаются к начальному положению в плоскости. Начальная и конечная
точки этого движения у Сатурна, Юпитера и Марса находятся в сечении,
соответствующем восходящему узлу, у Венеры — в перигее эксцентра, у
12
Меркурия — в апогее эксцентра  . Диаметры  [эпициклов], проведенные
под прямыми углами к вышеупомянутым, у первых трех планет, остаются,
13
как мы сказали , всегда параллельными плоскости зодиака или во всяком
случае не отклоняются от нее на заметную величину; у Меркурия же и
Венеры эти диаметры тоже выходят из некоторого начального положения
в плоскости зодиака и вращаются в соответствии [с движением воображаемой
точки] по малому кругу, приложенному к их концам, имеющим, скажем,
большую долготу. Эти малые круги тоже должны быть соразмерны
величинам [максимального] отклонения по широте [диаметра эпицикла],
перпендикулярны к плоскости зодиака и иметь центры на диаметрах,
параллельных плоскости зодиака. Вращения происходят с такой же su
скоростью, что и у первых малых кругов, выходя из какого-нибудь
начального положения в сечениях их собственных плоскостей и [плоскостей]
эпициклов [когда они совпадают с плоскостью зодиака]; двигаясь, скажем,
опять к северу, они увлекают за собой западные14 концы упомянутых
диаметров совершенно так же, как было сказано выше. Начальной и
конечной точками подобного движения будут: у Венеры — узел, соответ-
ствующий положительной полуокружности, а у Меркурия — узел, соответ-
ствующий отрицательной полуокружности15.
   Однако относительно упомянутых малых кругов, по которым происходит
вращение [по широте] эпициклов, мы должны предположить . следующее:
они тоже делятся пополам теми плоскостями, у которых, как мы сказали,
   
происходят периодические изменения наклона ; действительно, только
таким образом могут получиться одинаковые перемещения по широте в обе
стороны. Кроме того, равномерные вращения они совершают не вокруг
своего центра, но вокруг некоторого другого, сообщающего этим малым
кругам тот же эксцентриситет, который получается по долготе у планеты
по отношению к кругу, проходящему через середины зодиакальных
созвездий. Действительно, мы предполагаем, что времена возвращений в
движениях как по зодиаку, так и по малому кругу являются одинаковыми
«2 и что перемещения за каждую четверть оборота должны у обоих совпадать
с наблюдаемыми. Если бы вращение малого круга совершалось вокруг его
собственного центра, то упомянутое никоим образом не могло бы произойти,
так как в движении малых кругов каждая четверть круга проходилась бы
за одинаковое время, а в наблюдаемом движении эпицикла по отношению
к зодиаку этого никак не могло быть вследствие эксцентриситета,
предполагаемого для каждой планеты. Если же равномерное вращение
(малых кругов) будет происходить вокруг точки, расположенной подобно
центру (равномерного вращения | эксцентрического круга, то для соответ-
ствующих на зодиаке и на малом круге четвертях окружности восстанов-
ления наклонов будут совершаться в одинаковые времена.
    И пусть никто, рассматривая общую схему наших ухищрений, не считает
эти гипотезы слишком искусственными. Не следует применять человеческие
понятия к божественному и добиваться в таком великом деле уверенности
при помощи совсем неподходящих аналогий, ибо что может быть общего
между тем, что вечно остается тем же самым, и тем, что никогда не
сохраняется? Или между тем, что во всем встречает препятствие, и тем,
что не имеет препятствий даже в самом себе?17 Но к небесным движениям
нужно пытаться приспособить сколь возможно простые предположения, а
   если этого недостаточно, то во всяком случае допустимые . Действительно,
«! если каждое из наблюдающихся явлений удастся один раз объяснить такими
гипотезами19, то что же будет удивительного, если небесные движения
могут получаться таким сложным образом? Ведь для этого не существует
никакой препятствующей природы, но все соразмеряется с естественными
движениями каждой части и предоставляет им место и возможность, даже
если |движсния | совершаются в противоположные стороны. И все эти
движения могут легко происходить и быть видны в распространенной везде
тонкой материи, в которой не будет препятствий не только для круговых
орбит, но даже и для сфер и осей вращения. Их связь и взаимное влияние
в различных движениях кажутся нам очень искусственными в устраиваемых
нами моделях, и трудно сделать так, чтобы движения не мешали друг
другу, но в небе никакое из этих движений не встретит препятствий от
подобного соединения. Лучше будет и о самой простоте небесного судить
не на основании того, что нам кажется таким, ибо ведь и у нас не для
всех будет простым одно и то же. При таком рассмотрении ничто не
покажется нам простым из совершающегося на небе, даже неизменность
первого движения, ибо даже это движение, являющееся одним и тем же
•«4 все время, для нас объяснить не только трудно, но и вообще невозможно.
Это можно сделать только из (рассмотрения ] природы тел в самом небе и
неизменности их движений. Тогда действительно все [движения] нам
покажутся простыми и даже более простыми, чем те, что у нас такими
кажутся, и мы без всякого труда и замешательства сможем представить
способы их вращения.

3. О величинах инклинаций и обликваций для каждой планеты
   
   На основании сказанного можно представить себе общее положение и
порядок наклона [различных] кругов. Для каждой же планеты частные
значения дуг, измеряющих наклоны, определяются по большому кругу,
20
проведенному через полюсы круга наклона перпендикулярно к плоскости,
проходящей через середины зодиакальных созвездий, по этому кругу
определяются и отклонения по широте; у Венеры и Меркурия для
вычислений удобнее [использовать] отклонения, наблюдаемые в вышеука-
занных положениях21. Когда их движения по долготе происходят в апогеях
и перигеях эксцентров, а сами планеты находятся в перигеях и апогеях 535
эпициклов, то, как мы сказали, на основании сделанных вблизи этих точек
наблюдений22 планеты находятся на одинаковом расстоянии севернее или
южнее зодиака: Венера всегда будет самое большее на У(, градуса севернее,
а  Меркурий  всегда  южнее  на   1/21/4  градуса.  Следовательно,   наклоны
23
эксцентрических кругов для каждой из них имеют как раз такие величины .
В наибольших же удалениях от Солнца обе планеты в среднем кажутся
на 5 градусов севернее или южнее по сравнению с наибольшим удалением
в противоположную сторону; действительно, Венера дает упомянутую
разность в противоположных положениях, лишь на незначительную часть
градуса меньшую 5 градусов в апогее эксцентра и [на незначительную
часть градуса ] больше в перигее, а Меркурий самое большее на 1/2 градуса
[меньше и больше полученной для Венеры величины]24. Таким образом,
наклоны эпициклов с той и с другой стороны плоскостей эксцентров в
среднем стягивают на перпендикулярном к зодиаку  круге дуги в 21/2
25
градуса  . Отсюда определяются величины углов, составляемых эпициклами
с плоскостями эксцентров, как это выяснится в дальнейшем   на основании
того, что мы относительно них докажем; пока же не будем разрывать «6
общий анализ наклонов пяти планет.
Когда  их уточненные движения по долготе происходят в  узлах и
27
[поэтому] в средних расстояниях , Венера, находясь около апогея эпицикла,
наблюдается на 1 градус севернее или южнее средней линии зодиака, а
около перигея приблизительно на 61/3 градусов28; отсюда получается, что
наклон эпицикла отсекает 21/2 градуса на круге, проведенном описанным
образом через его полюсы. Действительно, именно такие величины мы
найдем на основании [таблиц] эпициклической аномалии для средних
расстояний, а именно в апогее эпицикла угол зрения  [в 21/г градуса]
стягивает 1;2 градус, а в перигее — 6;22 градусов29. Планета же Меркурий,
находясь вблизи апогея эпицикла, как можно вычислить приблизительно
на основании его ближайших фаз, кажется южнее и севернее средней линии
зодиака на 11/2^4 градус, а в перигее — приблизительно на 4 градуса30;
отсюда наклон эпицикла получается равным 61/4 градусам. Именно такие 537
величины мы найдем на основании аномалии эпицикла для расстояний,
соответствующих наибольшим инклинациям, т.е. когда уточненная долгота
отстоит на четверть круга от апогея [эксцентра], при этом в апогее эпицикла
угол зрения [величиной 6I/4 градусов] стягивает 1;46 градус, а в перигее —
4;5 градуса31.


    Что касается остальных планет — Сатурна, Юпитера и Марса, — то
не существует метода, позволяющего получить сразу же величины
наклонений, так как оба вида наклонений и то, что производится
эксцентром, и то, что зависит от эпицикла,
всегда будут смешаны друг с другом, но,
наблюдая величины отклонения по широте в
перигеях и апогеях эксцентров и эпициклов,
мы сможем выделить каждое из наклонений
следующим образом.
   Пусть в плоскости, перпендикулярной к
средней линии зодиака, АВ [рис. 13.1] будет
общей линией ее сечения с плоскостью
зодиака, ГА — с плоскостью эксцентра, а
точка Е — центр зодиака — [находится] в
общем сечении этих [трех] плоскостей.
Опишем вокруг апогея Г эксцентра и его
перигея А в упомянутой плоскости [пер-
пендикулярной зодиаку] равные круги
ZH0K и AMNE, как бы проходящие через
полюсы эпициклов, и на них будем опреде-
лять наклоны плоскостей эпициклов, а имен-
но по отношению к прямым НГК и МАЕ,
образующих, конечно, при Г и А равные углы. Из центра Е зодиака, где
помещается наш глаз, проведем соединительные прямые к апогеям и
перигеям эпицикла, а именно к апогеям прямые ЕН и ЕМ, а к перигеям —
ЕК и ЕЕ, причем в точках К и Е мы будем, очевидно, иметь противостояния,
42
а в точках Н и М   — соединения .
    Для - Марса мы взяли отклонения по широте, которые получаются в
противостояниях в апогее эксцентра, т.е. в точке К эпицикла, а также в
перигее эксцентра, т.е. в точке Е эпицикла, так как соответствующая
разница будет вполне ощутимой. Марс в противостояниях в апогее
отклоняется к северу от средней линии зодиака на 41/3 градуса, а в
перигее — к югу приблизительно на 7 градусов, так что угол АЕК
получается равным 41/3 градусам, каких в четырех прямых углах содержится
360, а угол BEE равным таким же 7 градусам.
   Установив это, угол АЕГ наклона эксцентра и угол HrZ наклона
эпицикла мы определяем следующим образом. На основании доказанного
нами относительно аномалий Марса легко понять, что из углов, образую-
щихся при точке, где находится наблюдатель, и стягиваемых равными
дугами при перигеях эпицикла, те, которые получаются в апогее эксцентра,
имеют к получающимся в перигее эксцентра отношение, равное при-
близительно отношению 5 к 933; следовательно, при равенстве дуг 0К и
NE отношение угла ГЕК к углу ЛЕЕ будет, как у 5 к 9. Таким образом,
поскольку углы АЕК и BEE даны и дано отношение угла ГЕК к углу
АЕЕ, а угол АЕГ равен углу ВЕА, то, если мы найдем часть, которую
разность величин [углов АЕК и BEE] составляет от разности [членов]
отношения [5 и 9], и возьмем такую же часть от каждого из [членов]
отношения, мы получим величину, соответствующую каждой части отно-
шения. Это доказывается при помощи соответствующей арифметической
   
леммы . Теперь, так как величины [углов] будут 41/з и 7, а их разность
2Уз, отношение же равно 5 к 9, а разность его членов будет 4, и 2Уз
составляют Уз от 4, то, взяв соответствующую часть от 5 и 9, мы получим,
что угол ГЕК равен ЪУз градусам, a ДЕЕ равен 6 таким же градусам .
Соответственно этому каждый из остающихся углов АЕГ и ВЕА наклонения
эксцентра будет равен 1 градусу. Вследствие этого дуга ЭК наклона
эпицикла будет равна 21/4 градусам, так как на основании таблицы аномалии
приблизительно такую величину имеют упомянутые углы ГЕК и ЛЕЕ  .
    Что касается Сатурна и Юпитера, то их положения [по широте] в
апогеях эксцентра на нечувствительную величину отличаются от полу-
чающихся в перигеях в диаметрально противоположных положениях. Мы
вычислили предложенное другим способом из сравнения положений [по
широте] в апогеях и перигеях эпициклов. Из отдельных наблюдений нам
стало ясно, что в положениях при гелиакических восходах и заходах
максимальное отклонение к северу и к югу составляет около 2 градусов
для Сатурна и  1  градус для Юпитера, в противостояниях же Сатурн
37
отклоняется на 3 градуса, а Юпитер на 2 градуса . Из величин их аномалий
становится ясно также, что из образующихся при нашем глазе углов,
стягиваемых равными дугами при апогеях и перигеях эпициклов, те, которые
получаются в апогеях, относятся к получающимся в перигеях, как 18 к 23
для Сатурна, или же как 29 к 43 для Юпитера , так как дуги ZH и
ЭК эпицикла равны. Таким образом, отношение угла ZEH и ZEK будет
для Сатурна равно 18 к 23, а для Юпитера — 29 к 43. Но угол НЕК,
представляющий разность по широте двух этих положений [в апогее и
перигее эпицикла ], равен для обеих этих планет 1 градусу. Следовательно,
если мы разделим 1 градус в указанных отношениях, то получим, что угол
ZEH для Сатурна равен 26 шестидесятым, а для Юпитера 24, а угол
ZEK для Сатурна будет 34 шестидесятых, а для Юпитера 36. Таким
образом, остающийся угол АЕГ наклона эксцентра получается у Сатурна
равным 2;26 градусам, а у Юпитера 1;24 градусу; вместо этих величин мы
будем пользоваться более удобными 21/2 и ll/г. Отсюда получается и дуга
ЭК наклона эпициклов у Сатурна 41/2 градуса, а у Юпитера — 21/2. Именно
такие величины получаются в таблицах аномалий каждой планеты для
упомянутых числовых значений углов ZEH и ZEK . Это нам и требовалось
определить.

4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте
    
    Из вышеприведенного мы получили в общем виде величины наибольших
наклонов эксцентров и эпициклов. Чтобы можно было удобно находить в
каждом случае отклонения по широте для различных расстояний [от апогея ],
мы составили пять таблиц для пяти планет, имеющих каждая такое же
число строк, как и в таблицах аномалии, и по пять столбцов. Из этих
столбцов два первых, как и выше, содержат числа [аргумента ], третьи
же — расстояния по широте от средней линии зодиака, соответствующие
отдельным дугам [движения] по эпициклу для наибольших наклонов: у
Венеры и Меркурия — в узловых точках эксцентров, а у остальных трех
планет — в северных предельных точках эксцентров. Четвертые столбцы
содержат аналогичные приращения для южных пределов эксцентров, у трех
    

из этих планет наибольшие отклонения самих эксцентров к северу или к
югу   были   также  учтены   в   расчетах40.   Вычисление  упомянутых  дуг
[эпициклов] для Венеры и Меркурия было получено
следующим образом при помощи одной теоремы.
    Пусть в плоскости, стоящей под прямым углом к
средней линии зодиака, АВГ [рис. 13.2] будет общим
544	сечением ее с плоскостью зодиака, a ABE — ее
сечением с плоскостью эпицикла. Пусть А будет
центром зодиака, а В — эпицикла, прямая же АВ —
расстоянием эпицикла при наибольших наклонах.
Описав вокруг В эпицикл AZEH, проведем пер-
пендикулярный к АЕ диаметр ZBH и предположим,
что плоскость эпицикла будет перпендикулярна к
плоскости чертежа, так что из проведенных в
эпицикле прямых, перпендикулярных к АЕ, все будут
параллельны плоскости зодиака и только одна ZH
лежит в самой этой плоскости  . Пусть по заданным
отношению АВ к BE и величине наклона, т.е. углу
ABE,  требуется  определить  положение  планет  по
широте, когда они, например, отстоят от перигея Е эпицикла на 45 градусов,
каких в эпицикле содержится 360. [Мы выбираем величину 45 градусов],
545	поскольку мы хотим одновременно определить получающиеся при этих
[максимальных] наклонах разницы в положениях по долготе; они должны
достигать наибольшего значения для положений планеты между перигеем
Е и точками Z, Н, так как в упомянутых точках [долготы] будут такими
же, как и при отсутствии наклонов.
    Итак, отложим дугу Ев, равную указанным 45 градусам, и опустим
перпендикуляры ЭК на прямую BE, а также КЛ и 0М — на плоскость средней
линии зодиака; проведем соединительные прямые ЭВ, ЛМ, AM и А0.
   Сразу же видно, что четырехугольник ЛК0М имеет параллельные
стороны и прямые углы, так как К0 параллельна плоскости средней линии
зодиака, и что угол ЛАМ представляет простаферез по долготе, а угол
0AM — положение по широте, так как углы АЛМ и AM0 получились
прямыми вследствие того, что прямая AM лежит в плоскости средней линии
зодиака. Следует показать, какими получатся искомые отклонения для
каждого из упомянутых светил.
   Сделаем это прежде всего для Венеры. Так как дуга Е0 равняется 45
градусам, каких в эпицикле содержится 360, то находящийся при центре
546	эпицикла угол EB0 будет равен 45 градусам, каких в четырех прямых
углах содержится 360, или 90, каких 360 будет в двух прямых углах.
Поэтому каждая из дуг на ВК и К0 будет равна 90 градусам, каких в
круге около прямоугольного треугольника B0K будет 360. Следовательно,
из стоящих под ними прямых каждая будет равна 84;52 частям, каких в
гипотенузе В0 содержится 120; и если радиус В0 эпицикла равен 43; 10,
а среднее расстояние АВ равно 60 (ибо около этого расстояния главным
образом и получается наибольший наклон эпицикла)42, то в каждой из
прямых ВК и К0 таких частей будет 30;32. Далее, так как угол ABE
наклона предполагается равным 2;30 градусам, каких в четырех прямых
углах будет 360, или 5, каких 360 содержится в двух прямых углах, то

дуга на прямой ЛК равняется 5 градусам, каких в круге около
прямоугольного треугольника ВЛК содержится 360, а дуга ВЛ равна
недостающим до полуокружности 175 градусам. Следовательно, из стягива-
емых ими прямых КЛ равна 5; 14 частям, каких в гипотенузе ВК будет
120, а ВЛ равна 119;53 таким же частям. Поэтому если гипотенуза ВК
равна 30;32, а прямая АВ равна 60, то в КЛ будет 1;20, в ВЛ — 30;30,
а в АЛ после вычитания — 29;30 таких частей. Но в ЛМ, равной прямой ю
Кв, таких частей будет 30;32, так что гипотенуза AM [прямоугольного
треугольника АЛМ j получается равной 42;27 таким же частям. Таким
образом, если положить гипотенузу AM равной 120, то в ЛМ таких частей
будет 86; 19, а угол ЛАМ, соответствующий простаферезу по долготе, в
этом положении будет равняться 92;0 градусам, каких в двух прямых углах
будет 360, или же 46;0, каких 360 будет в четырех прямых углах.

Подобным же образом, так как прямая AM равна 42;27 частям, которых
ЭМ, равная прямой КА, имеет 1;20, и сумма квадратов на них дает квадрат
на А0, то длина А0 будет равняться 42;29. Следовательно, если гипотенуза
л	А0 равна 120, то в 0М будет 3;46 таких части, а
угол 0AM отклонения по широте будет равен 3;36
градусам, каких в двух прямых углах будет 360, или
же 1;48, каких 360 содержится в четырех прямых
и углах. Это число мы и поместим в третьем столбце
таблицы для Венеры в строке для 135 градусов.
    Чтобы определить разницу у простафереза по
долготе [с величиной, полученной раньше], возьмем
подобный   же   чертеж   [рис.   13.3],   но   только   с
43    rv
нснаклонным эпициклом . Так как мы показали,
что каждая из прямых ВК и К0 равна 30;32 частям,
каких в прямой АВ содержится 60, так что АК равна
недостающим 29;28, и квадрат на этой прямой, а
также на К0, будучи сложены, дают квадрат на
А0, то длина А0 будет равна 42;26 таким же частям.
Следовательно, если гипотенуза А0 равна 120, то в
К0 таких частей будет 86;21, а угол 0AK проста-
фереза по долготе будет равен приблизительно 92;3
градусам, каких в двух прямых углах содержится
360, или 46;2, каких 360 будет в четырех прямых углах. Но мы показали, 548
что при наличии наклона таких градусов будет 46. Следовательно, вследствие
наклона эпицикла  в простаферезе по долготе получилась разница в 2
шестидесятых одного градуса. Это мы и хотели показать44.
   Затем для определения отклонений Меркурия [по широте] возьмем
чертеж, подобный стоящему перед предшествующим [рис. 13.4], предпола-
гая, что дуга 0Е равна тем же самым 45 градусам, так что каждая из
прямых ВК и К0 опять получается равной 84;52 частям, каких в гипотенузе
В0 [прямоугольного треугольника BK0] содержится 120. Следовательно,
если радиус В0 эпицикла равен 22;30 частям, а прямая АВ расстояния 549
при наибольших наклонах равна 56;40 (все это уже было нами показано
раньше)45, то в ВК и К0 таких частей будет по 15;55. Далее, так как
угол ABE наклона эпицикла полагается равным 6; 15 градусам, каких в
четырех прямых углах будет 360, или 12;30, каких 360 содержится в
   

четырех прямых углах, то дуга ЛК равняется 12;30 градусам, каких в
круге около прямоугольного треугольника ВЛК имеется 360, а дуга на
ВЛ равняется недостающим до полуокружности 167;30 градусам. Следова-
тельно, из стягивающих их прямых КЛ равна 13;4 частям, каких в
гипотенузе ВК имеется 120, а ВЛ равна 119; 17
таким же частям. Поэтому если ВК, как показано,
равна 15;55, а АВ, по предположению, 56;40, то в
КЛ будет 1;44 такая часть, в ВЛ таких же 15;49
и в остатке АЛ [56;40 — 15;49] таких же частей
40;51. Но ЛМ, равная К0, будет иметь 15;55 таких
же частей. Так как квадрат на АЛ вместе с
квадратом на ЛМ дает квадрат на AM, то мы
получим длину последней равной 43;50 частям,
каких в прямой ЛМ будет 15;55; следовательно, если
положить гипотенузу AM равной 120, то в ЛМ таких
частей будет 43; 34, а угол ЛАМ простафереза по
долготе получится равным 42;34 градусам, каких в
двух прямых углах будет 360, или 21; 17 градусу,
каких 360 содержится в четырех прямых углах.
    Подобным же образом, если прямая AM равна
43;50 частям, то 0М, равная КЛ, станет равной
1;44, и квадраты на них после сложения дадут
квадрат на А0; и мы получим, что длина последней
будет равна 43;52 таким же частям. Следовательно,
если гипотенуза А0 равна 120, то в 0М имеется
4;44 таких части, а угол 0AM отклонения по широте
будет равен 4;32 градусам, каких в двух прямых
углах содержится 360, или 2; 16, каких 360 будет в
четырех прямых углах. Это число мы и поместим
в третьем столбце таблицы для Меркурия в той же
самой строке, именно содержащей число 135 градусов.
   И опять для сравнения величины простафереза
[по долготе] возьмем чертеж с отсутствием накло-
нения [эпицикла] [рис. 13.5]. Доказано, что если
прямая АВ равна 56;40, то в каждой из прямых
0К и KB таких частей будет 15;55, а в остатке
АК, очевидно, 40;45 таких же частей, и квадрат на
АК вместе с квадратом на К0 дает квадрат на
А0; отсюда длину последней мы получим равной
43;45 частям, каких в прямой 0К имелось 15;55.
Поэтому если прямую А0 — гипотенузу — принять за 120, то в 0К таких
частей будет 43; 39 и угол KA0 простафереза по долготе будет равняться
42;40 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360, или 21;20,
каких 360 будет в четырех прямых углах. При наличии же наклона было
показано, что таких градусов в нем было 21;17. Следовательно, и в этом
случае вследствие наклона эпицикла простаферез по долготе оказался
разнящимся на 3 шестидесятых одного градуса. Это нам и было нужно
найти.
    Итак, для двух упомянутых планет отклонения по широте при
наибольших наклонах мы вычислили изложенным образом, так как они
    
получаются, когда эксцентр оказывается в одной плоскости со средней
линией зодиака. Для остальных трех планет мы воспользовались на чертеже
другой теорией, так как [в этом случае] наибольшие наклоны эпициклов

получаются при наибольших наклонах эксцентров,
и поэтому нам необходимо иметь вычисленными
отклонения по широте, получающиеся одновремен-
но от обоих наклонов46.
    Пусть опять в плоскости, перпендикулярной к
средней линии зодиака, АВ будет общим се-
чением   этой   плоскости   с   плоскостью   зодиака
[рис. 13.6 ]47, линия АГ — сечением с плоскостью
эксцентра, а АГЕ — с плоскостью эпицикла.
Предположим, что центром зодиака будет А,
центром эпицикла — Г, и опишем около Г эпицикл
AZEH, чтобы из прямых, проведенных под прямым
углом к АЕ, диаметр ZrH был в плоскости
эксцентра и параллелен плоскости средней линии
зодиака, а остальные были параллельны обеим
упомянутым плоскостям. Подобно предыдущему
отложим дугу Ев, равную тем же самым 45
градусам, и из точки в — положения планеты —
Рис. 13.6	проведем перпендикуляр 0К, а затем из точек 0
                        и К перпендикуляры KB и 0Л на плоскость
зодиака. Проведем соединительные прямые ВЛ и АЛ и поставим задачей
найти простаферез долготы, определяемый углом ВАЛ, и положение по
широте, определяемое углом AA0. Из К на АГ опустим перпендикуляр
КМ и проведем соединительные прямые Г0, АК и А0; на основании
доказанного выше предположим опять, что каждая из прямых ГК и К0
равняется 84; 52 частям, каких в гипотенузе Г0 [прямоугольного треу-
гольника Г0К] содержится 120.
   Сначала для Сатурна: так как радиус эпицикла равняется, как показано,
6;30 частям, каких в среднем расстоянии содержится 60, то каждая из
прямых ГК и К0 будет равна 4;36 частям, каких в гипотенузе Г0
содержится 6;30. Так как угол АГЕ наклонения эпицикла предполагается
равным 4;30 градусам, каких в четырех прямых углах будет 360, или 9,
каких 360 будет в двух прямых углах, то дуга на КМ равна 9 градусам,
каких в круге около прямоугольного треугольника ГКМ содержится 360, а
дуга на ГМ равняется недостающим до полукруга 171 градусу; из
находящихся под ними прямых КМ будет равна 9;25 частям, каких в
гипотенузе ГК имеется 120, а ГМ — 119;38 таким же частям. Следовательно,
если прямая ГК равна 4;36, то в КМ будет 0;22 таких частей, а в ГМ
таких же 4;35. Но при наибольшем наклоне апогейной полуокружности
прямая АГ, соответствующая расстоянию до начала Клешней48, на основании
доказанных ранее теорем относительно аномалии получается равной 62; 10
таким же частям49. Поэтому на остаток AM [после вычитания ГМ из
АГ] придется 57;35 частей, каких в прямой МК будет 0;22, а вследствие
этого гипотенуза АК [прямоугольного треугольника АКМ] будет равняться
57; 35 таким же частям. Следовательно, если гипотенуза АК равна 120, то

в КМ будет 0;46 таких частей, а угол КАМ равняется 0;44 градусов, каких
в двух прямых углах содержится 360; угол же ВАГ наклона эксцентра
предполагается равным 2;30 градусам, каких четыре прямых угла содержат
360, или 5, каких 360 будет в двух прямых углах. Значит, весь угол
ВАК |равный сумме углов ВАГ и КАМ] будет равен 5;44 градусам, каких
в двух прямых углах имеется 360. Поэтому дуга на ВК равняется 5;44
градусам, каких в круге около прямоугольного треугольника ВАК содержится
360, а дуга на АВ равняется недостающим до полукруга 174; 16 градусам.
Следовательно, из находящихся под ними прямых ВК будет равна 6;0
частям, каких в гипотенузе АК содержится 120, а АВ — 119;51 таким же
555 частям. Поэтому если прямая АК равна 57;35, то в ВК таких части будет
2;53, а в АВ таких же 57;31, и ВЛ, равная К0, получит 4;36 таких же
части. И так как квадрат на АВ вместе с квадратом на ВЛ дает квадрат
на АЛ, то мы получим длину последней, равную 57;42 таким же частям.
Подобно этому, так как Л0, равная ВК, становится равной 2;53 таким же
частям, а квадрат на АЛ вместе с квадратом на Л0 дает квадрат на
А0, то длина последней получится равной 57;46 таким же частям. Поэтому
если гипотенузу А0 взять за 120, то в 0Л таких частей будет 5; 59, а
угол 0АЛ отклонения по широте будет равняться 5;44 градусам, каких в
двух прямых углах имеется 360, или 2;52, каких 360 будет в четырех
прямых углах. Это число мы поместим в третьем столбце таблицы для
Сатурна против 135 градусов.
   При наибольшем наклоне  [эпицикла] в перигейной полуокружности
[деферента ]  расстояние АГ,  соответствующее началу Овна,  получается
равным 57;40 частям50, каких в КМ согласно доказанному51 было 0;22, а
в ГМ — 4;35. Вследствие этого остаток AM становится равным 53;5; тем
же самым 53;5 частям будет равна гипотенуза АК, так как она лишь на
нечувствительную  величину  больше  прямой  AM.   Следовательно,   если
«б гипотенуза АК равна 120, то в КМ будет 0;50 таких частей, а угол
КАМ будет равен 0;48 градусов, каких в двух прямых углах содержится
360. Но угол ВАГ предполагался равным 5 таким же градусам; отсюда,
весь угол ВАК будет равен 5;48 градусам, каких в двух прямых углах
содержится 360. Поэтому дуга на ВК равна 5;48 градусам, каких в круге
около прямоугольного треугольника ВАК будет 360, а дуга на АВ равна
недостающим до полукруга 174; 12 градусам. Следовательно, из находящихся
под ними прямых ВК становится равной 6;4 частям, каких в гипотенузе
АК содержится 120, а АВ равна 119;51 таким же частям; поэтому если
прямая АК равна 53;5, то ВК будет равняться 2;41 таким же частям, а
АВ таким же 53; 1. И так как квадрат на АВ вместе с квадратом на ВЛ
дает квадрат на АЛ, а ВЛ, как доказано, равна 4;36 таким же частям, то
мы получим длину АЛ равной 53; 13 таким частям. Таким образом, если
гипотенузу АЛ взять за 120, то ВЛ будет равна 10;23 таким же частям,
а угол ВАЛ простафереза по долготе будет равен 9;56 градусам, каких в
двух прямых углах содержится 360, или 4;58 градусам, каких 360 будет в
четырех прямых углах. Далее, если прямая АЛ равна 53; 13, то 0Л, равная
KB, получит 2;41 таких же части; квадраты на них, будучи сложены, дадут
квадрат на А0, и длину последней мы получим равной 53; 17 таким же
557 частям. Следовательно, если гипотенуза А0 равна 120, то в 0Л таких
частей будет 6;3, а угол 0АЛ отклонения по широте будет равен 5;46

градусам, каких в двух прямых углах содержится 360, или 2;53, каких 360
будет в четырех прямых углах. Это число мы поместим в четвертом столбце
таблицы против 135 гаду сов.
   Чтобы произвести сравнение простаферезов по долготе при наклоне
[эпицикла] в перигее, начертим опять фигуру без какого бы то ни было
наклона [рис. 13.7]. Так как прямая АГ соответствующего расстояния равна
57;40 и в каждой из КГ и К0 таких частей
предполагается 4;36, а остаток АК равен 53;4 таким
же частям, то, поскольку квадрат на этой прямой
[К0] вместе с квадратом на АК дает квадрат на
А0, мы получим длину А0 равной 53; 16. Поэтому
если гипотенуза А0 равна 120, то в К0 будет 10;22
таких частей, и угол 0AK простафереза по долготе
будет равен 9;54 градусам, каких в двух прямых
углах 360, или 4;57 градусам, каких 360 будет в
четырех прямых углах. Но было доказано, что при
наличии наклонов [эксцентра и эпицикла] он
равнялся 4;58 таким же градусам. Следовательно,
наличие обоих наклонов увеличило простаферез по
долготе на 1 шестидесятую градуса. Это и требова-
         -    52
лось найти  .
   Теперь возьмем сначала чертеж с наклоном
[рис. 13.8], который удовлетворял бы соотноше-
ниям, определенным для Юпитера. Таким образом,
если радиус Г© эпицикла равен 11;30, то каждая
со
из ГК и К© будет содержать 8;8 таких же частей .
Так как теперь угол АГЕ наклона эпицикла
предполагается равным 2;30 градусам, каких в
четырех прямых углах имеется 360, или 5 градусам,
f® каких 360 будет в двух прямых углах, то дуга на
КМ будет содержать 5 градусов, каких в круге
около прямоугольного треугольника ГКМ имеется
360, а дуга на ГМ равняется недостающим до
полукруга 175 градусам. И из находящихся под
ними прямых КМ равна 5; 14 частям, каких в
гипотенузе ГК будет 120, а ГМ равна 119;53 таким
же частям. Поэтому если прямая ГК равна 8;8, а
расстояние АГ до [центра эпицикла, когда он в]
начале Клешней 62;3054, то КМ будет равняться
0;21 таких частей, а ГМ таким же 8;8, и остаток —
прямая МА — получится равной 54;22. Вследствие
этого и гипотенуза АК, лишь на неощутительную
величину бблыпая МА, будет равна тем же самым
54;22 частям. Следовательно, если гипотенузу АК принять за 120, то
КМ будет равна 0;46 таких же частей, и угол КАМ окажется равным 0;44
градусов, каких в двух прямых углах 360. Но предполагается, что угол
ВАГ наклона эксцентра равен 1;30 градусу, каких 360 имеется в четырех
прямых углах, или 3 градусам, каких 360 содержится в двух прямых углах.

Следовательно, весь угол ВАК будет равен 3;44 градусам, каких в двух
прямых углах содержится 360. Поэтому дуга на KB равна 3;44 градусам,
каких в круге около прямоугольного треугольника ВАК содержится 360, а
дуга на АВ равна недостающим до полуокружности 176; 16 градусам. И
следовательно, из находящихся под ними прямых KB будет равна 3;54
частям, каких в гипотенузе АК содержится 120, а АВ равна 119;56 таким
же частям, и если прямая АК равна 54;22, то в KB таких частей будет
560	1;46, а в АВ таких же 54;20. Но, согласно доказанному выше, в прямой
ВЛ будет 8;8 таких частей; и так как квадраты на этих прямых после
сложения дадут квадрат на АЛ, то мы получим и длину последней, равной
54;56 таким же частям. Аналогично, так как ЛЭ, равная KB, равна 1;46
такой же части и квадраты на этих прямых, будучи сложены, дадут квадрат
на АЭ, то мы получим, что последняя будет равна 54;58 таким же частям.
Поэтому если гипотенуза АЭ равна 120, то в ЛЭ таких частей будет 3;52,
и угол ЭАЛ отклонения по широте окажется равным 3;42 градусам, каких
в двух прямых углах 360, или же 1;51 градусу, каких 360 будет в четырех
прямых углах. Это число мы поставим в третьем столбце для Юпитера
против 135 градусов.
Подобно этому, АГ — расстояние, соответствующее началу Овна, —
составляет 57;30 частей55, каких, согласно доказанному выше, в прямой
КМ было 0;21, а в ГМ таких же 8;8; следовательно, после вычитания
AM (равная АК, которая превышает ее на незначительную величину)
составит 49;22 таких же частей. Вследствие этого, если гипотенузу АК
принять за 120, то в КМ окажется 0;51 таких частей, и угол КАМ будет
равняться 0;49 градусов, каких в двух прямых углах имеется 360. Тогда
весь угол ВАК [после сложения углов ВАМ и МАК] окажется равным
таким же 3;49 градусам и дуга на ВК будет равна 3;49 градусам, каких
в круге около прямоугольного треугольника АКБ содержится 360, а дуга
561	на АВ будет равна недостающим до полукруга 176; 11 градусам. И,
следовательно, из прямых под ними ВК будет равна 3;59 частям, каких в
гипотенузе АК содержится 120, а АВ равна 119;56 таким же частям.
Поэтому если прямая АК равна 49;22 частям, то KB будет иметь 1;39
такую часть, а АВ таких же 49;20. Вследствие этого, так как ВЛ равна
8;8 таким же частям, квадраты на этих прямых после сложения дадут
квадрат на АЛ, и длину последней мы получим равной 50;0. Таким образом,
если гипотенуза АЛ равна 120, то в ВЛ таких частей будет 19;31, а угол
ВАЛ простафереза по долготе будет равен 18;44 градусам, каких в двух
прямых углах 360, или 9;22, каких 360 будет в четырех прямых углах.
Далее, так как прямая АЛ равна 50;0, то ЭЛ, равная KB, окажется равной
1;39 такой части; квадраты на них после сложения дадут квадрат на АЭ,
и длину последней мы получим равной 50;2 таким же частям. Следовательно,
если гипотенузу АЭ взять за 120, то в ЛЭ таких части будет 3;57, а угол
ЭАЛ — расстояние по широте — будет равен 3;46 градусам, каких в двух
прямых углах 360, или 1;53, каких 360 имеется в четырех прямых углах.
Это число мы и поместим в четвертом столбце таблицы против тех же
самых 135 градусов.
    Чтобы сравнить величины простаферезов по долготе, возьмем чертеж
без наклонений  [рис. 13.9]. На указанном расстоянии, если каждая из
562	прямых ЭК и ГК равна 8;8 частям, то во всей АГ будет 57;30 таких

частей, а в остатке АК таких же 49;22; квадрат на этой прямой вместе с
квадратом на KG даст квадрат на AG, и длину последней мы получим
равной в тех же самых частях 50;2. Таким образом, если гипотенуза
AG равна 120, то в 0К таких частей будет 19;30,
и угол QAK простафереза по долготе будет равен
18;42 градусам, каких в двух прямых углах имеется
360, или 9;21, каких 360 будет в четырех прямых
углах. Но с учетом наклонений было показано, что
этот угол равнялся 9;22 таким же частям. Следо-
вательно, при обоих наклонениях простаферез по
долготе увеличился на однуединственную шестиде-
сятую. Это и предполагалось доказать.
   После этого, чтобы определить величину для
Марса [в наибольшем расстоянии], возьмем сначала
чертеж с наклонениями [рис. 13.10]. Пусть каждая
из прямых ГК и KG получится равной 27;56 частям,
каких в радиусе TQ эпицикла будет 39;3056. Теперь,
так как угол АГЕ наклона эпицикла предполагается
равным 2; 15 градусам, каких в четырех прямых
углах имеется 360, или 4;30, каких 360 будет в
двух прямых углах, то дуга на КМ будет равняться
4;30 градусам, каких в круге около прямоугольного
треугольника ГМК имеется 360, а дуга на ГМ
равняется недостающим до полуокружности 175;30
градусам. Следовательно, из прямых под ними
КМ будет равна 4;43 частям, каких в гипотенузе
(>« ГК будет 120, а ГМ равна 119;54 таким же частям.
Поэтому если прямая ГК будет равна 27;56, а
АГ, соответствующая наибольшему расстоянию, рав-
на 6657, то в КМ будет 1;6 такая часть, а в ГМ
таких же 27;54 и в AM после вычитания 38;6
частей. Вследствие этого гипотенуза АК [прямоу-
гольного треугольника КАМ] будет равна 38;7 таким
же частям. Следовательно, если гипотенузу АК
принять за 120, то КМ будет иметь 3;28 таких
части, а угол КАМ будет равен 3;19 градусам, каких
в двух прямых углах содержится 360. И предпола-
гается, что угол ВАГ нахлона эксцентра равняется
1 градусу, каких в четырех прямых углах 360, или
2, каких 360 будет в четырех прямых углах; значит,
весь угол ВАК получается равным 5; 19 градусам, каких в двух прямых
углах содержится 360, и дуга на KB равна 5; 19 градусам, каких круг около
прямоугольного треугольника ВАК имеет 360, а дуга на АВ равна
недостающим до полуокружности 174;41 градусам. Таким образом, из
прямых под ними ВК будет равна 5;34 частям, каких в гипотенузе АК
имеется 120, а АВ таким же 119;52 частям. Поэтому если прямая АК
равна 38;7, то в KB такая часть будет 1;46, а в АВ таких же 38;5. Но
прямая ВА |равная KQ и ГК] равна 27;56 таким же частям; и так как
квадрат на АВ вместе с квадратом на ВА дает квадрат на АА, то длину

последней мы получим равной 47; 14. Подобным же образом, так как 0Л
равна 1;46 такой же части и квадрат на АЛ вместе с квадратом на Л0
дает квадрат на А0, то мы получим длину последней равной 47; 16 частям.
Поэтому если гипотенуза А0 равна 120, то 0Л будет иметь 4;29 такие
части, а угол 0АЛ расстояния по широте будет равен 4; 18 градусам, каких
в двух прямых углах 360, или 2;9, каких 360 будет в четырех прямых
углах. Это число мы поместим в третьем столбце таблицы для Марса против
135 градусов.
Таким   же   образом   производим   вычисления  для   наклонений   при
со

5« наименьшем расстоянии. Так как прямая АГ содержит 54 части , каких
в КМ, по доказанному, будет 1;6, а в ГМ таких же 27;54, так что для
AM остается 26;6 таких же частей, то гипотенуза АК [прямоугольного
треугольника КАМ ] получается равной 26;7 таким же частям; если взять
гипотенузу АК за 120, то в КМ таких частей будет 5;3 и угол КАМ будет
равен 4;49 градусам, каких в двух прямых углах имеется 360. Вследствие
этого весь угол ВАК будет равен 6; 49 таким же градусам и дуга на ВК
равна 6;49 градусам, каких в круге около прямоугольного треугольника
АВК имеется 360, а дуга на АВ равна недостающим до полуокружности
173; 11 градусам. И, следовательно, из прямых под ними ВК будет равна
7;8 частям, каких гипотенуза АК имеет 120, а АВ равна 119;47 таким же
частям. Поэтому если прямая АК равна 26;7, то в ВК таких частей будет
1;33, а в АВ таких же 26;4. Но прямая ВЛ равна 27;56 таким частям; и
так как квадрат на АВ вместе с квадратом на ВЛ дает квадрат на АЛ,
то мы получим длину последней равной 38; 12. Поэтому если гипотенузу
АЛ взять за 120, то в ВЛ таких частей будет 87;45,
и угол ВАЛ простафереза по долготе равняется 94
градусам, каких в двух прямых углах имеется 360,
или 47 градусам, 360 каких будет в четырех прямых
углах. Подобно этому если прямая АЛ равна 38; 12,
то Л0 [равная ВК] получится равной 1;33 части; Z
квадраты на них после сложения дадут квадрат на
А0, и длину последней мы получим равной 38; 14
таким же частям. Поэтому если гипотенуза А0 равна
566	1 20, то Л0 будет иметь 4;52 таких части, а угол
0АЛ расстояния по широте будет равен 4;40
градусам, каких в двух прямых углах имеется 360,
или 2;20, каких 360 будет в четырех прямых углах.
Это число мы поместим в четвертом столбце таблицы
против тех же самых 135 градусов.
   Для сравнения величин простаферезов по долготе
мы опять берем чертеж без наклонений [рис. 13.111,
при наименьшем расстоянии (где разница необ-
ходимо должна составить наибольшую величину),
получим отношение АГ к каждой из ГК или К0 равным 54 к 27;56;
поэтому для АК останется 26;4 частей, а гипотенуза А0 [прямоугольного
треугольника KA0] получится равной 38; 12 таким же частям. Вследствие
этого, положив гипотенузу А0 равной 120, получим, что прямая 0К будет
равна 87;45 таким же частям, а угол 0AK простафереза по долготе
получится равным 94 градусам, каких в двух прямых углах имеется 360,
567	или 47, каких 360 будет в четырех прямых углах. Такую же величину мы

получили и при вычислениях с наклонами. Следовательно, для Марса
простаферез по долготе не получит никакого изменения от наклонов кругов
[эпицикла и эксцентра]. Это и следовало найти.
    Четвертые столбцы двух таблиц для Венеры и Меркурия содержат
величины положений по широте, получающиеся при наибольших облик-
вациях их эпициклов, которые имеют место вблизи апогеев и перигеев их
эксцентров. Они были вычислены нами отдельно. При этом мы не обращали
внимания на разницу, которая получилась бы вследствие наклонов
эксцентров, иначе нам пришлось бы привести еще большее количество

таблиц с более трудным методом вычислений, так
как отклонения по широте не будут одинаковыми
и не всегда в тех же местах зодиака для вечерних
и утренних явлений планет. Кроме того, так как
наклон эксцентра не остается постоянным, то
разности уменьшений для наибольших инклинаций
[эпицикла] должны отличаться от разностей умень-
шений в наибольших обликвациях59. Если же вы-
делить эту разницу, то все у нас определится более 568
удобным образом, как будет ясно из нижеследующего.
    Пусть АВ [на рис. 13.12 ]60 будет общим се-
чением плоскости средней линии зодиака с плоско-
стью эпицикла. Предположим, что точка А будет
центром зодиака, а В — центром эпицикла; около
него опишем эпицикл TAEZH, наклоненный к
плоскости средней линии зодиака, так что прове-
денные в этих плоскостях прямые, перпендикуляр-
ные к общему сечению ГН, будут всегда составлять
между собой одинаковые углы, вершины которых
находятся на ГН. Проведем касательную АЕ к
эпициклу и какую-нибудь секущую AZA и из точек
A, Е, Z опустим перпендикуляры Д0, ЕК, ZA на ГН и ДМ, EN и ZE
на плоскость средней линии зодиака. Проведем соединительные прямые 569
0М, KN, АЕ, а также AN и АЕМ; и ASM будет прямой, так как три
эти точки [А, Е, М ] находятся в [пересечении ] двух плоскостей, а именно
плоскости средней линии зодиака и плоскости, проведенной через AZA
перпендикулярно плоскости зодиака.
   Очевидно, что при заданной обликвации простаферезы планет по долготе
представляются углами 0AM и KAN, а простаферезы по широте — углами
ДАМ и EAN. Сначала нужно показать, что получающееся в точке касания
положение EAN по широте будет наибольшим из всех, равно как и
простаферез по долготе.
   Действительно, так как угол ЕАК будет самым большим из всех, то
КЕ будет иметь к ЕА большее отношение, чем каждая из прямых 0Д и
AZ к соответствующим прямым ДА и ZA. Но как относится ЕК к EN,
так будут относиться и 0Д к ДМ, и AZ к ZE, ибо все получающиеся
таким образом треугольники [EKN, Д0М, ZAE] будут, как мы сказали,
равноугольными [на ГН ] и углы при М, N, Е прямые. Следовательно,
NE имеет к ЕА отношение большее, чем то, какое каждая из прямых
МД и EZ имеет к соответствующим прямым ДА и ZA. Далее, углы
ДМА, ENA и ZEA тоже будут прямыми; поэтому угол EAN будет больше «о
      
угла ДАМ и, конечно, больше всех других углов, получающихся таким же
образом.
   Отсюда ясно, что из получающихся вследствие обликвации разностей в
простаферезах по долготе наибольшей будет та, которая имеет место в
наибольших отклонениях по широте при Е, так как они [т.е. разности
уравнений по долготе, обусловленные наклоном эпицикла] определяются
углами, стягиваемыми избытками прямых 0Д, КЕ и AZ над 0М, KN и
АН и у каждой из них отношение друг к другу [0Д: 0М и т.д. ] и к
разностям |(0Д — 0М) и т.д.] остается тем же самым. Отсюда следует,
что разность ЕК и KN будет иметь к ЕА большее отношение, чем у
остальных прямых к той же самой АД61. Таким образом, ясно, что отношение
наибольшего простафереза по долготе к наибольшему отклонению по широте
будет тем же, что и во всех точках эпицикла у соответствующих простаферезов
по долготе к отклонениям по широте, поскольку как КЕ будет [относиться ]
к  EN,  так  и  все  подобные AZ и 0Д прямые   [будут относиться] к
соответствующим прямым вроде ZE и ДМ62. Это и требовалось показать.
   После этих предварительных замечаний рассмотрим сначала, какой угол
у каждой из двух планет соответствует обликвации между упомянутыми
плоскостями. На основании того, что было установлено вначале , мы
полагаем, что в промежутке между наибольшим и
наименьшим расстояниями каждая из этих планет
становится более северной или более южной для
противоположных положений на эпицикле самое боль-
шее на 5 градусов: у планеты Венера в перигее и апогее
эксцентра действительно наблюдаются отклонения по
широте на неощутимую величину, большие или мень-
шие 5 градусов, а у Меркурия приблизительно на 1/2 ^
градуса [больше или меньше].
   Пусть АВГ [рис. 13.13] будет опять общим сечением
плоскостей зодиака и эпицикла. Начертим вокруг точки
В эпицикл ГД, наклонный к плоскости зодиака, как
мы сказали выше. Проведем из центра А зодиака
касательную АД к эпициклу и из Д опустим пер-
пендикуляры AZ на прямую ГВЕ и ДН на плоскость
средней линии зодиака; проведем соединительные пря-
мые ВД, ZH и АН и предположим, что угол ДАН
включает половину установленного отклонения по ши-
роте для каждой из этих планет, а именно 21/2 градуса,
каких в четырех прямых углах содержится 360, и постараемся определить
величину обликвации между плоскостями для каждой из планет, т.е. величину
угла AZH.
   Если для Венеры радиус эпицикла равен 43; 10, то наибольшее расстояние
будет иметь 61;15 такую часть, наименьшее — 58;45 и среднее между
ними 6064. Следовательно, АВ будет иметь к ВД отношение такое же, как
60 к 43; 10. И так как квадрат на ВД, будучи отнят от квадрата на АВ,
дает квадрат на АД также, то длину последней получим равной 41 ;40 такой
же части. Аналогично, так как ВА относится к АД так же, как ВД к
AZ, мы получим, что AZ равна 29;58 таким же частям. Далее, так как
угол ДАН предполагается равным 2;30 градусам, каких в четырех прямых

углах имеется 360, или 5 градусам, каких 360 будет в двух прямых углах,
то дуга на ДН будет равняться 5 градусам, каких круг около прямоугольного
треугольника АДН имеет 360, и находящаяся под ней прямая ДН равна
5; 14 частям, каких в гипотенузе АД будет 120; поэтому если прямая АД
равна 41;40, то в ДН будет 1;50 такая часть. Но было показано, что
AZ содержит 29;58 таких частей; значит, если гипотенузу AZ принять за
120, то ДН равна 7;20, а угол AZH обликвации равен 7 градусам, каких
в двух прямых углах будет 360, или 3;30, каких 360 составят четыре
прямых угла65.

Но так как избыток угла AAZ над HAZ определяет получающуюся
разность для простафереза по долготе, то отсюда можно вычислить и ее
из установленных величин этих прямых. Так как мы показали, что, если
прямая ДН равна 1;50, гипотенуза АД — 41 ;40, a AZ — 29;58 таким
частям и квадрат на ДН, отнятый от квадратов на
АД и ZA, дает соответственно квадраты на АН и HZ,
то мы получим длину АН равной 41 ;37 такой же части,
a HZ таким же 29; 55. Поэтому если принять гипотенузу
АН за 120, то ZH будет содержать 86; 16 таких же
частей, а угол ZAH равен 91;56 градусу, каких в двух
прямых углах будет 360, или 45;58, каких 360
содержится в четырех прямых углах. Подобно этому
если гипотенузу АД взять за 120, то AZ будет равна
86; 18 таким частям, и угол AAZ мы получим равным
91;58 градусу, каких 360 будет в двух прямых углах,
или 45;59, каких 360 содержится в четырех прямых
углах. Следовательно, вследствие обликвации простафе-
рез по долготе уменьшился на 1 шестидесятую.
   Что касается Меркурия [рис. 13.14], то  [у него]
радиус  эпицикла  равняется  22;30  частям,   каких  в
наибольшем расстоянии, согласно доказанному, имеется
Рис. 13.14	69; а диаметрально противоположное расстояние равно
57, так что среднее получается равным 63 таким же
частям66. Поэтому АВ имеет к ВД отношение такое же, как 63 к 22; 30.
И так как квадрат на ДВ после вычитания из квадрата на АВ дает квадрат
на АД, то длину последней получим равной 58;51. Точно так же, поскольку
АВ относится к АД так же, как ВД к AZ, то AZ будет равна 21 ;1 такой
же части. Далее, так как угол ДАН предполагается равным 5 градусам,
каких в двух прямых углах имеется 360, то дуга на ДН содержит 5
градусов, каких в круге около прямоугольного треугольника АДН имеется
360, а находящаяся под ней прямая ДН равняется 5; 14 частям, каких в
гипотенузе АД — 120. Следовательно, если прямая АА равна 58;51, то в
ДН таких частей будет 2;34. Но доказано, что AZ содержит 21 ;1 такую
часть; поэтому если положить гипотенузу AZ равной 120, то в ДН таких
частей будет 14;40; угол обликвации AZH будет равняться 14 градусам,
каких в двух прямых углах содержится 360, или 7, каких 360 будет в
четырех прямых углах .
   Подобно [тому, как это делалось для Венеры] при сравнении углов
простаферезов [по долготе] будем иметь: если прямая ДН равна 2;34, то
в гипотенузе АД, по доказанному, таких частей будет 58;51, а в AZ таких
же 2.1; 1; квадрат на ДН, отнятый соответственно от квадратов на ДА и
   
АХ, даст квадраты на АН и HZ; длину АН мы получим равной 58;47, а
ZH равной 20;53 таким же частям. Поэтому если гипотенуза АН равна
120, то HZ будет содержать 42;38 такие части, а угол ZAH равен 41;38

Г
радусу, каких в двух прямых углах имеется 360, или 20;49, каких 360
удет в четырех прямых углах. Сообразно с этим если принять гипотенузу
АД за 120, то AZ получится равной 42;50 таким же
576	частям, и угол AAZ мы получим равным 41;50 градусу,
каких в двух прямых углах содержится 360, или 20;55
таким, каких 360 будет в четырех прямых углах.
Следовательно, и здесь вследствие обликваций проста-
ферез по долготе уменьшился на 6 шестидесятых. Это
и нужно было установить  .
    Вслед за этим посмотрим, будут ли при таких
обликвациях наибольшие отклонения по широте в
наибольших и наименьших расстояниях согласованы с
полученными из наблюдений. Предположим опять на
том же самом чертеже [рис. 13.15], что в наибольшем
расстоянии планеты Венеры отношение АВ к ВД будет
таким же, как у 61; 15 к 43; 10. Тогда, поскольку квадрат
на ВД, будучи отнят от квадрата на АВ, даст квадрат
на АА, эта прямая получится равной 43;27 таким же
частям. Но как АВ относится к АА, так и В А будет
относиться к AZ; следовательно, прямая АХ будет равна	Рис. 13.15
577	30 ;37 таким же частям. Далее, так как угол обликваций
AZH предполагается равным 7 градусам, каких в двух прямых углах будет
360, и, следовательно, прямая АН будет равной 7;20 частям, каких в
гипотенузе AZ содержится 120, то, значит, если прямая АХ равна 30;37,
а АА таким же 43;27, то ДН будет содержать 1;52 такую же часть. Поэтому
если гипотенуза АА равна 120, то в АН таких частей будет 5;9, и угол
ДАН наибольшего отклонения по широте будет равен 4;54 градусам, каких
в двух прямых углах будет 360, или 2;27, каких 360 будет в четырех
прямых углах. В наименьшем расстоянии, когда радиус ВД эпицикла равен
43; 10 частям, каких в АВ, по предположению, было 58;45, квадрат на
ДВ, отнятый от квадрата на АВ, даст квадрат на АА, и мы получим длину
последней равной 39;51 таким же частям. Равным образом как АВ относится
к АА, так и ВД будет относиться к АХ, и AZ будет равна 29; 17 таким
же частям. Но отношение AZ к ДН будет, по предположению, как у 120
к 7;20. Следовательно, если прямая АХ равна 29; 17, а АА — 39;51, то
ДН получится равной 1;47; поэтому если гипотенуза АА равна 120, то в
ДН таких частей будет 5;22, и угол ДАН наибольшего отклонения по
широте будет равен 5;8 градусам, каких в двух прямых углах имеется 360,
578	или 2;34 таким, каких 360 будет в четырех прямых углах. Таким образом,
если мы предполагаем отклонение по широте при среднем значении
отношения равным 21/г градусам, то в апогее оно уменьшится на
неощутимую величину, а в перигее увеличится на такую же. В наибольшем
расстоянии произошло уменьшение только на 3 шестидесятых, а в
наименьшем — увеличение на 4 шестидесятых. Такие величины никак не
могут быть замечены в наблюдениях.
   Теперь предположим, что Меркурий [находится] в наибольшем расстоянии
[рис. 13.16], когда отношение АВ к ВД будет таким же, как у 69 к 22;30.
Тогда так же, как и выше, получится, что АА будет равна 65; 14, а АХ —
21; 16 такой же части69. Предположим, что и здесь угол AZH обликваций
   
равен 14 градусам, каких в двух прямых углах содержится 360, а прямая

ДН поэтому равна 14;40 частям70, каких в гипотенузе AZ имеется 120.
Следовательно, если прямая AZ равна 21; 16, а АД таким же 65; 14, то в
ДН таких частей будет 2;36. Поэтому если гипотенуза АД равна 120, то
ДН будет иметь 4;47 такие части, и угол ДАН
наибольшего отклонения по широте равен 4;34 градусам,
каких в двух прямых углах имеется 360, или 2; 17,
каких   360   будет   в   четырех   прямых   углах.   Для
71
наименьшего же расстояния отношение АВ к ВД
предполагается равным отношению 57 к 22;30. Вслед-
' ствие этого АД будет тогда равна 52;22 таким же частям,
a AZ таким же 20;40. Но так как вследствие той же
обликвации отношение ZA к ДН предполагается таким
же, как у 120 к 14;40, и если прямая AZ равна 20;40,
а АА таким же 52;22, то ДН будет равна 2;32. Поэтому
если гипотенуза АД равна 120, то в ДН таких частей
будет 5;48, и угол ДАН будет равен 5;32 градусам,
каких в двух прямых углах содержится 360, или 2;46,
каких 360 будет в четырех прямых углах. Следователь-
но, средняя величина наибольшего отклонения по
широте, равная 21/г для средних значений отношения,
в апогее уменьшится самое большее на 13 шестидесятых,
а в перигее увеличится самое большее на 16 шестиде-
сятых. Вместо этого в качестве поправки при вычислениях относительно
средних расстояний мы будем пользоваться 1/4 градуса как приемлемой для
наблюдения величиной.
   После того как все сказанное установлено, и учитывая, что отношение
наибольших простаферезов по долготе к наибольшим отклонениям по широте
останется таким же и в других точках эпицикла, как и отношение отдельных
значений простаферезов по долготе к соответствующим отклонениям по
широте72, мы легко можем при вычислении четвертого столбца таблиц для
Венеры и Меркурия определить получающиеся от обликвации положения
по широте. Однако, как мы сказали, эти положения основаны только на
одной обликвации эпициклов на среднем расстоянии. Поправки же на
инклинацию эксцентров, а также получающиеся для Меркурия разницы в
апогее и перигее мы проще всего найдем при помощи следующего
вычисления.
   Так как при упомянутых средних значениях отношений наибольшие
отклонения обеих этих планет по широте в обе стороны от средней линии
зодиака, получающиеся вследствие обликвации, оказались равными 2;30
градусам, а наибольший простаферез по долготе равен для Венеры 46
градусам, а для Меркурия приблизительно 22 , и в таблицах аномалий
для этих планет мы уже имеем простаферезы, соответствующие различным
дугам эпициклов, то, найдя часть, которую они составляют от наибольшего
простафереза по долготе, мы берем для каждой из этих планет такую же
часть от 2;30 градусов и помещаем полученные значения в четвертых
столбцах таблиц широты против соответствующих чисел74.
   Пятые столбцы [в каждой таблице] введены для уточнения положений
по широте, соответствующих другим положениям [эпицикла] на эксцентре
при помощи дополнительных шестидесятых долей. Действительно, как мы
сказали, инклинации и обликвации эпициклов периодически увеличиваются
и уменьшаются соответственно периодам движения по эксцентру при помощи
   
присоединенных упомянутых выше малых кругов , и так как величины
инклинаций и обликвации не слишком отличаются от получающихся на
наклонной орбите Луны, так что отдельные отклонения по широте
приблизительно пропорциональны величинам этих наклонов, и поскольку
мы уже получили при помощи геометрических построений соответствующие
значения для Луны, то мы умножили каждое из них на 12, так как
наибольшее увеличение [широты] для Луны равно 5 градусам, а мы теперь
полагаем его равным 60. Полученные числа мы поместили в пятых столбцах,
отнеся их к соответствующим числам градусов . Полученные таблицы будут
такими.
86	5. Таблицы для вычисления широты
См. с. 420-421

587	6. Вычисление отклонений пяти планет по широте
   Построив   [таблицы]  в   вышеприведенном   виде,   будем  производить
вычисления широт пяти планет следующим образом.
Для трех планет — Сатурна, Юпитера и Марса, — получив уравненную
долготу77, вносим ее в числа соответствующей таблицы: для Марса в том
виде, как она имеется, для Юпитера — вычтя 20 градусов, а для Сатурна —
прибавив 50 градусов, и записываем соответствующие ей шестидесятые доли
в пятом столбце для широты78. Точно так же, внеся в те же самые числа
величину уравненной аномалии79, берем соответствующую ей разность
широты в третьем столбце, если уравненная долгота будет в первых 15
строках, и в четвертом, если она стоит в следующих. Умножив ее на
записанные шестидесятые доли, получим расстояние планеты по широте от
средней линии зодиака, причем если мы взяли разность широты из третьего
столбца, то это расстояние будет северным, если же мы взяли ее из
четвертого столбца, то южным  .
Для Венеры  и Меркурия мы сначала ищем в  числах   [аргумента]
588	соответствующей таблицы величину уравненной аномалии и записываем
раздельно соответствующие ей значения широты из третьего и четвертого
столбцов; числа из третьего столбца пишем как они есть, числа же из
четвертого столбца для Меркурия мы пишем, уменьшив на V\o часть, если
уравненная долгота будет в первых 15 строках, или на столько же увеличив,
если уравненная долгота будет в следующих строках81. После этого к
уравненной долготе мы прибавляем во всех случаях для Венеры 90 градусов,
для Меркурия 270, отбрасывая полную окружность, если такая имеется.
Полученную величину мы опять вносим в те же самые числа и
соответствующие ей в пятом столбце шестидесятые доли берем от чисел,
стоящих в третьем столбце, и полученное записываем. Если значение
долготы вместе с указанной прибавкой [90° или 270°] будет в первых 15
строках и при этом уравненная аномалия также в первых 15 строках, то
полученная широта будет южной, если же [уравненная аномалия] в
следующих [строках ], то северной. Если же упомянутая величина долготы
попадет в строки, стоящие ниже 15 первых, то широта будет северной,
если значение упомянутой аномалии будет в 15 первых строках, и южной,
если последнее будет стоять в следующих строках82.

Общие
числа
[расстояния]
от апогеяСатурнЮпитерМарсШести-
десятые
доли
ИнклинацияИнклинацияИнклинация

северный
пределюжный
пределсеверный
пределюжный
пределсеверный
пределюжный
предел
123434345 6°
12
18354°
348
3422° 4'
2   5
2   62° 2'
2   3
2   31° 7'
1   8
1   81° 5'
1   6
1   60° 8'
0   9
0 110° 4'
0   4
0   559'36"
58 36
57   024
30
36336
330
3242   7
2   8
2 102   4
2   5
2   71   9
1 10
1 111   7
1   8
1   90 13
0 14
0 150   6
0   7
0   954 36
52   0
48 2442
48
54318
312
3062 11
2 12
2 142   8
2 10
2 121 12
1 13
1 141 10
1 11
1 130 18
0 21
0 240 12
0 15
0 1844 24
40   0
35 1260
66
72300
294
2882 16
2 18
2 212 15
2 18
2 211 16
1 18
1 211 16
1 18
1 210 28
0 32
0 360 22
0 26
0 3030   0
24 24
18 2478
84
90282
276
2702 24
2 27
2 302 24
2 27
2 301 24
1 27
1 301 24
1 27
1 300 41
0 46
0 520 36
0 42
0 4912 24
6 24
0   093
96
99267
264
2612 31
2 33
2 342 31
2 33
2 341 31
1 33
1 341 31
1 33
1 340 55
0	59
1	30 52
0	56
1	03 12
6 24
9 24102
105
108258
255
2522 36
2 37
2 392 36
2 37
2 391 36
1 37
1 391 36
1 37
1 391   6
1 10
1 141   4
1   8
1 1312 24
15 24
18 24111
114
117249
246
2432 40
2 42
2 432 40
2 42
2 431 40
1 42
1 431 40
1 42
1 431 18
1 23
1 281 18
1 24
1 3021 24
24 24
27 12120
123
126240
237
2342 45
2 46
2 472 45
2 46
2 481 45
1 46
1 471 45
1 46
1 481 34
1 41
1 481 37
1 44
1 5130   0
32 36
35 12129
132
135231
228
2252 49
2 50
2 522 49
2 51
2 531 49
1 50
1 511 49
1 51
1 531	54
2	1
2   92   0
2 10
2 2037 36
40   0
42 12138
141
144222
219
2162 53
2 54
2 552 54
2 55
2 561 52
1 53
1 551 54
1 55
1 572 16
2 25
2 342 32
2 44
2 5644 24
46 36
48 24147
150
153213
210
2072 56
2 57
2 582 57
2 58
2 591 56
1 58
1 591	59
2	0
2   12 44
2	54
3	53 12
3 29
3 4650 12
52	0
53	12156
159
162204
201
1982 59
2	59
3	03   0
3   1
3   22   0
2   1
2   22   3
2   4
2   53 16
3 27
3 384   9
4 32
4 5554 36
56	0
57	0165
168
171195
192
1893   0
3   1
3   13   2
3   3
3   32   2
2   3
2   32   6
2   6
2   73	49
4	0
4 105 24
5	53
6	2157	48
58	36
59	12174
177
180186
183
1803   2
3   2
3   23   4
3   4
3   52   4
2   4
2   42   7
2   8
2   84 14
4 18
4 216 36
6	51
7	759 36
59	48
60	0
Общие числа
[расстоянии]
от апогеяВенераМеркурийШести-
десятые
доли
инклинацияобликвацияинклинацияобликвация
1234345 6°
12
18354"
348
3421° 2'
1    1
1   00° 8'
0 16
0 25Р45'
1 44
1 430° 1 Г
0 22
0 3359'36"
58 36
57   024
30
36336
330
3240 59
0 57
0 550 33
0 41
0 491 40
1 36
1 300 44
0	55
1	654 36
52   0
48 2442
48
54318
312
3060 51
0 46
0 410	57
1	5
1 131 23
1 16
1   81 16
1 26
1 3544 24
40   0
35 1260
66
72300
294
2880 35
0 29
0 231 20
1 28
1 350 59
0 49
0 381 44
1	52
2	030   0
24 24
18 2478
84
90282
276
2700 16
0   8
0   01 42
1 50
1 570 26
0 16
0   02   7
2 14
2 2012 24
6 24
0   093
96
99267
264
2610   5
0 10
0 152   0
2   3
2   60   8
0 15
0 232 23
2 25
2 273 12
6 24
9 24102
105
108258
255
2520 20
0 26
0 322   9
2 12
2 150 31
0 40
0 482 28
2 29
2 2912 24
15 24
18 24111
114
117249
246
2430 38
0 44
0 502 17
2 20
2 220	57
1	6
1 162 30
2 30
2 3021 24
24 24
27 12120
123
126240
237
2340	59
1	8
1 182 24
2 26
2 271 25
1 35
1 452 29
2 28
2 2630   0
32 36
35 12129
132
135231
228
2251 28
1 38
1 482 29
2 30
2 301	55
2	6
2 162 23
2 20
2 1637 36
40   0
42 12138
141
144222
219
2161	59
2	11
2 232 30
2 29
2 282 27
2 37
2 472 11
2   6
2   044 24
46 36
48 24147
150
153213
210
2072	43
3	3
3 232 26
2 22
2 182	57
3	7
3 171 53
1 46
1 3850 12
52	0
53	12156
159
162204
201
1983	44
4	5
4 262 12
2   4
1 553 26
3 34
3 421 29
1 20
1 1054 36
56	0
57	0165
168
171195
192
1894	49
5	13
5 361 42
1 27
1    93 48
3 54
3 580 59
0 48
0 3657	48
58	36
59	12174
177
180186
183
1805	52
6	7
6 220 48
0 25
0   04   2
4   4
4   50 24
0 12
0   059 36
59	48
60	0
   После этого, взяв уравненную долготу для Венеры как она есть, а для
Меркурия после прибавления 180 градусов, вносим ее в те же самые числа;
соответствующие им в пятом столбце шестидесятые доли берем от чисел,
стоящих в четвертом столбце, и полученное записываем. Если упомянутое
нами вносимое значение уравненной долготы попадает в первые 15 строк
и величина уравненной аномалии меньше 180 градусов, то широта будет
северной, если же больше 180, то южной. Если же упомянутое значение
долготы попадет ниже этих 15 строк, то широта будет южной, если величина
о о
аномалии меньше 180 градусов, и северной, если она будет больше 180 .
   Наконец, взяв число шестидесятых долей, [полученных] при втором
вхождении с долготой, берем такую же часть от 60; 1/б полученного мы для
Венеры всегда прибавляем к северу, а для Меркурия всегда 1/2 и 1/4 прибавляем
к югу84. Таким образом, соединяя вместе эти три величины, мы определим
85
видимую широту этих планет по отношению к средней линии зодиака  .
7. О гелиакических восходах и заходах пяти планет

    После подробного разбора отклонения пяти планет по широте нам
остается дополнить [анализ их движений] необходимыми сведениями
относительно восходов и заходов этих планет по отношению к Солнцу.
Действительно, в соответствии с тем, что мы рассказывали относительно
неподвижных звезд , расстояния от Солнца в гелиакических восходах и
заходах, измеряемые по кругу, проходящему через середины зодиакальных
созвездий, бывают неодинаковыми вследствие многих причин: первая из
87
них заключается в неравенстве их величин ,
вторая в неодинаковости наклонений зодиака к
горизонту, третья же зависит от положений
планет по широте.
   Действительно, вообразим [рис. 13.17] снова
сечения больших кругов, а именно горизонта
АВ и среднего круга зодиака ГД; предположим,
что точка Е представляет их общее сечение,
восточное или западное; направление от Г к
А будет к югу, а точка Д представляет центр
Солнца. Через нее и полюс горизонта проведем дугу ABZ большого круга
и предположим, что планета восходит или заходит на горизонте АЕВ; если
она будет на самой средней линии зодиака, то это, конечно, будет
происходить в точке Е, если же она будет севернее средней линии, то в
Н, а если южнее, то в G. Из точек Н и G к средней линии зодиака
проведем перпендикуляры НК и ЭА, и пусть ВД представляет всегда
одинаковую [для данной планеты] дугу, равную расстоянию Солнца под
землей, когда рассматриваемая планета впервые становится видимой или
оо
исчезает . Действительно, по описанному таким образом [перпендикулярно
к горизонту] большому кругу [AZ] при одинаковых расстояниях Солнца
под землей будут одинаковыми и степени освещения Солнцем. Но это
расстояние [ВД] необходимо должно получиться неравным для различных
неодинаковых по величине светил, хотя бы все остальное было тем же
самым, а значит, и дуги зодиака, стягивающие прямой угол, т.е. расстояния
ЕД, должны быть тоже различными; ясно, что для больших светил они
будут меньшими, а для меньших бблыпими89.

   Точно так же, даже если дуга ВД будет одной и той же для данной
планеты, то угол ВЕД наклона средней линии зодиака все же будет
неодинаковым для различных знаков зодиака, [пересекающих горизонт] в
различных климатах; следовательно, будет изменяться и величина дуги
ЕД; именно она будет больше при уменьшении упомянутого угла [ВЕД]
и меньше при его увеличении.
   Точно так же, если первое условие сохранялось неизменным и наклон
зодиака [к горизонту] оставался тем же самым, но планета была не на
самой средней линии, а севернее ее, в Н, или южнее, в G, то она появлялась
бы или исчезала не на определенной выше дуге ДЕ расстояния [от Солнца ],
но если она севернее средней линии зодиака, то на меньшем расстоянии
ДК, если же южнее, то на большем ДЕЛ.
Таким образом, при исследовании частных случаев необходимо прежде
593	всего для каждой из пяти планет дать общую величину дуги ВД на основании
более точных наблюдений над их гелиакическими восходами. Такими могли
бы быть наблюдения летом и в окрестностях Рака, ибо в эту пору воздух
является чистым и прозрачным и наклон зодиака к горизонту симметричен
[на востоке и западе]90. Так вот, при помощи исследования таких
наблюдений [первого] восхода мы нашли, что, восходя в начале Рака,
Сатурн вообще становится видимым на расстоянии 14 градусов от истинного
положения Солнца, Юпитер на расстоянии
I2V2I/4 градусов, Марс на 141/2, Венера вечерняя
на расстоянии 5Уз градусов, а Меркурий ве-
черний на расстоянии 111/2 градусов91.
   Установив это, вычертим предыдущую фигу-
ру [еще раз] [рис. 13.18]. Для таких малых дуг
не будет существенной разницы, если ради
простоты мы подставим в наши вычисления
соответствующие хорды, которые нечувствитель-	Рис- 1318
но от них отличаются. Пусть точка Е будет
общим сечением горизонта и средней линии зодиака, совпадающим в
рассматриваемых восходах с началом Рака; эта точка будет восходить в
утренних наблюдениях трех планет — Сатурна, Юпитера и Марса — и,
594	конечно, заходить в вечерних наблюдениях Венеры и Меркурия. Пусть
взятый климат будет соответствовать Финикии, где наибольший день
составляет 141/4 равноденственных часов, так как на этой параллели или
вблизи нее было произведено больше всего наблюдений, и притом наиболее
точных, а именно почти на самой параллели халдейские, а в ее близости
производились наблюдения в Греции и в Египте92.
Теперь  на  основании  изложенной  ранее  теории  углов  зодиака  с
93
горизонтом находим, что при восходе начала Рака в упомянутом климате
угол ВЕД равен 103 градусам, каких в двух прямых углах содержится
36094, и что вследствие этого отношение двух содержащих прямой угол
линий [ВД и BE] будет приблизительно таким, как у 94 к 75, если считать,
что гипотенуза [ДЕ] равна 120 таким частям. На основании теории
[планетной] широты получается, что когда они восходят в начале Рака
(если говорить лишь о трех [внешних] планетах), то это имеет место
вблизи апогеев эпицикла, а именно на расстоянии от апогея, не
превышающем 1/12 части [окружности эпицикла]; с неощутимой разностью
Сатурн и Юпитер тогда будут находиться почти на самой средней линии
595	зодиака, а Марс севернее ее самое большее на 1/5 градуса95. Поэтому

расстоянием Сатурна и Юпитера от Солнца по средней линии зодиака
будет как раз дуга ДЕ, а расстоянием Марса от Солнца — ДК, так как
он стоит севернее средней линии [зодиака] на длину КН, равную 12
шестидесятым градуса. Но так как отношение КН к КЕ будет таким же,
как у 94 к 75, то КЕ будет приблизительно равняться 10 таким же частям;
но ДК предполагается для Марса равной 141/2 градусам, так что вся ДЕ
получается равной 14;40 градусам. Для Сатурна она будет равна 14 градусам,
для Юпитера же I21/2I/4. Таким образом, поскольку отношение ЕД к ДВ
будет таким же, как у 120 к 94, мы получим, что дуга ДВ большого круга,
проведенного через полюсы горизонта, будет равна для Сатурна 11 градусам,
для Юпитера 10 и для Марса приблизительно 11'/2 градусам.
Точно так же получится для Венеры и Меркурия: когда заходит начало
Рака, то у горизонта [с эклиптикой | будут тот же самый угол и наклон96.
Предполагается, что если в этом месте зодиака будет восходить вечером
Венера, то сс расстояние от истинного Солнца должно быть 5Уз градусов,
для Меркурия же это расстояние равняется 111/2 градусам. Следовательно,
при их |псрвых| восходах истинное положение Солнца будет для Венеры
на 241/з градусах Близнецов, а для Меркурия на I81/2; среднее же положение
Солнца будет для Венеры на 25 градусах, а для Меркурия приблизительно
07
на 19 . Значит, именно на таких градусах будут находиться эти планеты
в среднем движении по долготе. Когда на такой долготе они будут
наблюдаться в начале Рака, то Венера окажется отстоящей от апогея
эпицикла на 14 градусов, а Меркурий на 32. Это можно показать на
основании   изложенных   выше   теорем   относительно   их   аномалий.   В

соответствии с этим в указанных положениях
Венера окажется севернее средней линии зодиака
на  1  градус, а Меркурий приблизительно на
1У398; этому, очевидно, и будет равна КН
В [рис. 13.19|. Поскольку отношение этой прямой
к ЕК будет таким же, как у 94 к 75, и то же
Л самое отношение имеют 1 градус к V2V4 и
приблизительно 1У3 к 11/3, то мы получим, что
для Венеры ЕК будет равняться 1/2I/4 градуса,
а для Меркурия 11/3 градусу. Но расстояние
ДК от Солнца, которому соответствовало начало видимости каждой планеты,
равнялось для Венеры 5Уъ градусам, для Меркурия 111/2 градусам;
следовательно, все расстояние ДКЕ мы получим равным для Венеры 6У5
градусам, а для Меркурия приблизительно I21/2I/3 градусам. Таким образом,
поскольку отношение ЕД к ВД будет опять таким же, как у 120 к 94, и
такое же примерно отношение имеют ЬУ$ к 5 и 121/21/3 к 10, мы получим,
что вообще величина расстояния ДВ равна для Венеры 5 градусам, а для
Меркурия 10 градусам. Это мы и предполагали установить99.

8. О том, что особенности восходов и заходов Венеры и Меркурия
согласуются с принятыми гипотезами
    То обстоятельство, что, следуя изложенным гипотезам, мы получаем
для восходов и заходов Венеры и Меркурия нечто странное, а именно что
для Венеры время, прошедшее от вечернего захода до утреннего восхода,
    
вблизи начала Рыб, получается равным самое большее 2 дням, а вблизи
начала Девы 16 дням, а для планеты Меркурий вечерние восходы выпадают,
когда им следовало бы наблюдаться в начале Скорпиона, а с утренними
это бывает в начале Тельца. Все это мы могли бы объяснить следующим
образом100; и сначала для Венеры.
   Возьмем чертеж для восходов и заходов, подобный предыдущему
[рис. 13.20], и предположим сначала, что точка Е средней линии зодиака
будет находиться в начале Рыб; в этой точке планета Венера, когда она
в перигее эпицикла, находится приблизительно на 61/3 градусах севернее
средней линии  зодиака101.  Этот  чертеж  может  представлять  вечерний
заход102, когда угол ВЕД для взятого нами климата будет равным 154
104
градусам, каких в двух прямых углах имеется 360 . Если принять [в
прямоугольных треугольниках ВЕД и КЕН] гипотенузу за 120, то большая
из сторон [ВД или КН] около прямого угла будет содержать 117 таких
частей, а меньшая [BE или КЕ] приблизительно
27. Вследствие этого, если линия ДВ расстояния
в общем случае равна 5, то ДЕ получится равной
5;8 таким частям. Но так как планета будет
севернее средней линии зодиака на 61/3 градусов,
которым равняется дуга КН, и отношение у 117
к 27 будет примерно таким же, как у 61/3 к
I1/2, то КЕ будет равна I1/2 градусу, а остаток
КА [ЕД — КЕ ] — расстояние планеты при
вечернем заходе от Солнца в направлении после-
довательности знаков — равен 3;38 градусам.
   Далее на подобном же чертеже [рис. 13.21]
для утреннего восхода угол ВЕД будет равным
69 градусам, каких в двух прямых углах имеется
360104.   Вследствие   этого,   если   принять   [в ©
прямоугольных   треугольниках   ЕВА  и   НКЕ]
гипотенузу за 120, меньшая из прилегающих к
прямому углу сторон [ВД или КН] будет равна
68 градусам, а большая [BE или КЕ] —
приблизительно 99; и мы нашли, что такое же
отношение, как у 68 к 120, получится у 5 к
8;49, и как 68 относится к 99, так будет
относиться и 61/3 к 9; 13. Поэтому ДЕ получится
равной 8;49 таким же частям, КЕ — разность [по долготе], обусловленная
широтой, — будет равна 9; 13 и остаток — линия ДК, очевидно,
представляющая расстояние [планеты] от Солнца в направлении последо-
вательности знаков, — будет равна 0;24 градусов. Но при вечернем заходе
расстояние планеты также в направлении последовательности знаков было
3;38 градуса. Следовательно, за время от вечернего захода до утреннего
восхода движение планеты было на 3; 14 градуса меньше, чем движение
Солнца (которое примерно равно ее собственному [среднему] движению по
долготе)105 вследствие [ее] попятного движения по эпициклу. Но, как легко
установить по таблице аномалий, на это число [3; 14 ] градусов планета
перемещается против последовательности знаков, когда она вблизи перигея
эпицикла проходит [по аномалии] 11/4 градус106, а такое перемещение она
совершает в среднем движении [по аномалии] примерно за 2 дня. Отсюда

ясно,  что именно таким и должно было быть время для достижения
упомянутого расстояния, что согласуется с явлениями.
   Теперь предположим, что на таком же чертеже [рис. 13.22] точка Е
совпадает с началом Девы, где планета Венера, находясь в перигее эпицикла,
будет южнее средней линии зодиака приблизи-

107
тельно на те же самые 61/3 градусов . Положим
сначала, что имеет место вечерний заход, когда
угол ВЕД равняется 69 градусам, каких в двух
В прямых углах будет 360108, и если принять
гипотенузу [прямоугольного треугольника ВЕД]
Д за 120, то меньшая из сторон [ВД], прилега-
ющих к прямому углу, будет содержать 68 таких
частей, а бблылая [BE] приблизительно 99. Так 601
как величины отношений будут теми же, как
при утреннем восходе Рыб, и отклонение по широте имеет одинаковую
величину, то мы получим, что дуга ЕД равна тем же самым 8;49 градусам;
представляющая разность [по долготе ], обусловленную широтой, дуга ЛЕ будет
9; 13 градусов, а вся дуга ДЛ, представляющая расстояние планеты от Солнца
в направлении знаков, равна 18;2 градусам. Как мы сказали, по таблице
аномалий такому числу градусов попятного движения против перемещения
среднего Солнца и планеты по долготе соответствуют приблизительно 7V2
109
градусов расстояния от перигея эпицикла
Аналогичным образом при утреннем восходе в начале Девы, когда угол
ВЕД составляет 154 градуса, каких в двух прямых углах имеется 360110,
и если гипотенуза [прямоугольного треугольника ВЕД] равняется 120
частям, то в большей стороне [ВД] из прилегающих к прямому углу таких
частей будет 117, а в меньшей [BE] — 27; опять получаются те же самые
величины отношений, как при вечернем заходе Рыб. Мы получим, что дуга
ДЕ будет содержать 5;8 градусов, разность [по долготе] ЕЛ, обусловленная
широтой, равна 1;30, и вся ДЛ, представляющая расстояние планеты от
Солнца в направлении к предшествующим знакам, будет равна 6;38
градусам, которым точно так же соответствуют примерно 21/2 градуса [по 602
аномалии] от перигея эпицикла п. Следовательно, планета Венера от
вечернего захода до утреннего захода продвинется по эпициклу всего на
10 градусов, которые она пройдет за указанные выше 16 дней, что вполне
соответствует наблюдениям.
Изложив все это, мы должны рассмотреть, что происходит при выпадении
112
восходов и заходов Меркурия , и прежде всего, почему он, находясь в
начале Скорпиона, даже при наибольшем расстоянии от Солнца в
направлении последовательности знаков не может вечером появиться.
     Возьмем чертеж для восходов и заходов [рис. 13.23] и предположим,
что точка Е на средней линии зодиака соответствует началу Скорпиона,
где при заходе угол ВЕД равен 69 градусам, каких в двух прямых углах
113
содержится 360    , и если положить гипотенузу равной 120, то меньшая
из сторон [ВД], прилегающих к прямому углу [в треугольнике ВЕД], будет
иметь 68 таких частей, а большая [BE] — 99. Следовательно, если вообще ьоз
расстояние ВД равно 10 градусам, то в ДЕ таких градусов будет 17;39. Но
когда планета находится в указанном положении [в], то она будет стоять
приблизительно на 3 градуса южнее средней линии зодиака114. Поэтому

при указанных величинах отношений, если широта ЛЭ равна 3 градусам,
то ЛЕ будет иметь их 4;22, а вся ДЕЛ окажется равной приблизительно
22 таким же градусам. На такое число градусов планета должна отстоять
от истинного Солнца, чтобы она могла быть
впервые замеченной. Но так как в начале
Скорпиона она может удалиться от истинного
Солнца самое большое на 20;58 градусов (это уже
было показано выше относительно наибольших
отклонений)"5, то ясно, что подобные восходы
необходимо должны выпасть.
   Если далее на том же чертеже для восходов
и заходов |рис. 13.24| положим, что точка Е
представляет начало Тельца в утреннем восходе,
когда планета в указанных положениях будет
приблизительно на 31/б градуса южнее средней
линии зодиака116 и отношения сторон, прилега-
ющих к прямому углу [треугольников ВЕД и
ЛЕЭ ], будут те же самые, то мы получим, что
ДЕ будет равна 17;39 градусам, а ЛЕ содержит
4;37 градуса, каких в широте ЭЛ имеется 3; 10,
а вся ДЕЛ равна 22; 16 таким же градусам.
Поэтому и здесь именно на такое число градусов
должна отстоять планета от истинного поло-
жения Солнца, чтобы ее можно было впервые
увидеть. Но так как она не удаляется больше, чем на указанное число
117
22; 13 градусов , то естественно, что такие появления должны тоже выпасть.
Итак, мы доказали, что все изложенное выше согласуется и с явлениями,
и с принятыми гипотезами.


9. Метод определения расстояний от Солнца для частных случаев
гелиакических восходов и заходов
   Отсюда ясно, что если дана длина дуги ВД [рис. 13.25] для каждой
планеты и указан знак зодиака, начало которого находится в точке Е, а
следовательно, и величина угла ВЕД, то будут известными и дуга ДЕ, и
118
отклонение по широте планеты в указанном положении , т.е. КН или
ЭЛ, а вследствие этого также КЕ и ЕЛ и, кроме того, видимое расстояние
ДК или ДЛ. Чтобы не удлинять сочинения, мы для всех знаков зодиака,
а также для каждой из пяти планет, но только для одного упомянутого
среднего климата, что вполне достаточно119, вычислили указанным образом
видимые расстояния в гелиакических восходах и заходах от истинного
положения Солнца, предполагая, что эти пла-
неты находятся в начальных точках знаков. Эти
величины для удобства пользования мы по-
местили в 5 таблицах [по одной для каждой
из] пяти планет, из которых каждая содержит
12 строк. Из них первые три, а именно для
Сатурна, Юпитера и Марса, мы расположили в
3 столбцах, из которых первые содержат начала
знаков, вторые — расстояния для утренних
восходов, а третьи — для вечерних заходов.
Следующие  две  таблицы  —  для   Венеры   и

Юпитера — мы расположили в 5 столбцах, из которых первые точно так
же дают начала знаков, вторые — расстояния для вечерних восходов,
третьи — для вечерних заходов и, наконец, четвертые — для утренних
120	121
восходов и пятые — для утренних заходов    . И таблицы эти таковы
10. Таблицы гелиакических восходов и заходов пяти планет

Начало
знака
ЗодиакаСатурнЮпитерМарс
утренний
восходвечерний
заходутренний
восходвечерний
заходутренний
восходвечерний
заходОвен
Телец
Близнецы23° 30'
21 57
17 5211° 28'
11	41
12	2620° 10'
19   6
15 5110° 19'
10	29
11	1021° 12'
20 16
17 2111° 40'
11	48
12	30Рак
Лев
Дева14   2
11 34
10 5314	2
15	34
16	5312 46
10 40
10   112 46
14 31
16 1214 33
12 28
11 4614 33
17 19
20   5Весы
Скорпион
Стрелец10 48
10	53
11	3417   6
16 53
15 349 57
10   1
10 4016 34
16 12
14 3111 38
11	48
12	3421    1
20 19
17 32Козерог
Водолей
Рыбы14   2
17 52
21 5714   2
12 26
11 4112 46
15 51
19   612 46
11 10
10 2914 45
17 35
20 2614 45
12 36
11 49
Начало
знака
ЗодиакаВенераМеркурий
вечер-
ний
восходвечер-
ний
заходутрен-
ний
восходутрен-
ний
заходвечер-
ний
восходвечер-
ний
заходутрен-
ний
восходутрен-
ний
заходОвен
Телец
Близнецы5° 10'
5   8
5 124" 9'
4	16
5	73° 0'
6 16
9 1510" 28'
9 40
7 369° 58'
10   4
10 189° 43'
10	15
11	4723° 58'
22 15
18   023° 38'
22 15
16 44Рак
Лев
Дева5	36
6	16
7	228 23
13   3
18   29 50
8   2
6 385 59
5   5
4 5412	22
13	43
18   115 34
19 59
23 1314   4
11 25
10 2112 30
10 21
9 59Весы
Скорпион
Стрелец7	53
8	20
7 4917 43
13 47
8   15 41
5 28
4 394 54
4	55
5	1622 49
20   1
18 1123 16
22    1
17 259 51
9 44
9 2510   0
10	19
11	19Козерог
Водолей
Рыбы6 52
5 51
5 224   8
3 16
3 382 43
0 30
0 246 35
8 33
10 1613 54
11 10
10 1112 10
9 50
9 439 36
12 27
19 1514   5
17 50
21 4611. Эпилог сочинения
    После того как мы исполнили все это, о Сир, и разобрали, как я
думаю, почти все, что должно быть рассмотрено в подобном сочинении,
насколько прошедшее до сих пор время способствовало повышению точности
наших открытий или уточнению [более древних], производимому не ради
хвастовства, а только ради научной пользы, пусть настоящая наша работа
получит здесь подходящий и соразмерный конец.
    
Приложения




Птолемей и его астрономический труд
Г.Е.Куртик, Г.П.Матвиевская

1. О месте Птолемея в истории науки
   Клавдий Птолемей занимает одно из самых почетных мест в истории
мировой науки. Его сочинения сыграли огромную роль в становлении
астрономии, математики, оптики, географии, хронологии, музыки. Посвя-
щенная ему литература поистине огромна. И при этом его образ до наших
дней остается неясным и противоречивым. Едва ли среди деятелей науки
и культуры давно ушедших эпох можно назвать многих, о ком бы
высказывались такие противоречивые суждения и велись столь яростные
споры среди специалистов, как о Птолемее.
   Объясняется это, с одной стороны, той важнейшей ролью, какую сыграли
его труды в истории науки, а с другой — предельной скудостью
биографических сведений о нем.
    Птолемею принадлежит ряд выдающихся произведений по основным
направлениям античного естествознания. Самое большое из них, и
оставившее к тому же наибольший след в истории науки, — это
публикуемый в настоящем издании астрономический труд, обычно называ-
емый «Альмагестом».
   «Альмагест» — это компендиум античной математической астрономии,
в котором отражены почти все ее важнейшие направления. Со временем
этот труд вытеснил более ранние работы античных авторов по астрономии
и стал, таким образом, уникальным источником по многим важным вопросам
ее истории. На протяжении столетий, вплоть до эпохи Коперника,
«Альмагест» считался образцом строго научного подхода к решению
астрономических задач. Без этого произведения невозможно представить
себе историю средневековой индийской, персидской, арабской и европейской
астрономии. Знаменитый труд Коперника «О вращениях», положивший
начало современной астрономии, во многих отношениях был продолжением
«Альмагеста».
   Другие сочинения Птолемея, такие как «География», «Оптика», «Гар-
моники» и т.д., также оказали большое влияние на развитие соответству-
ющих областей знания, иногда не меньшее, чем «Альмагест» на астрономию.
Во всяком случае, каждое из них положило начало традиции изложения
научной дисциплины, которая сохранялась на протяжении столетий. По
широте научных интересов, сочетавшейся с глубиной анализа и строгостью
изложения материала, мало кого можно поставить рядом с Птолемеем в
истории мировой науки.
    Однако наибольшее внимание Птолемей уделял астрономии, крторой,
кроме «Альмагеста», посвятил и другие сочинения. В «Планетных гипотезах»
он разработал теорию движения планет как целостного механизма в рамках
принятой им геоцентрической системы мира, в «Подручных таблицах» дал
© Г.Е.Куртик, Г.П.Матвннхжм. 1998

сборник астрономических и астрологических таблиц с пояснениями,
необходимый астроному-практику в его повседневной работе. Специальный
трактат «Четверокнижие», в котором также большое значение придавалось
астрономии, он посвятил астрологии. Несколько сочинений Птолемея
утеряны и известны только по их названиям.
   Такое многообразие научных интересов дает полное основание отнести
Птолемея к числу наиболее выдающихся ученых, известных истории науки.
Мировая слава, а главное — тот редчайший факт, что его труды на
протяжении столетий воспринимались как нестареющие источники научного
знания, свидетельствуют не только о широте кругозора автора, редкой
обобщающей и систематизирующей силе его ума, но и о высоком мастерстве
изложения материала. В этом отношении сочинения Птолемея и прежде
всего «Альмагест» стали образцом для многих поколений ученых.

2. Биографические сведения
   Достоверно о жизни Птолемея известно очень мало. То немногое, что
сохранилось в античной и средневековой литературе по данному вопросу,
представлено в работе Ф.Болля [Boll, 1894, S.53-66]1. Наиболее надежные
сведения, касающиеся жизни Птолемея, содержатся в его собственных
трудах. В «Альмагесте» он приводит ряд своих наблюдений, которые
датируются эпохой правления римских императоров Адриана (117-138) и
Антонина Пия (138-161): самое раннее — 26 марта 127 г. н.э., а самое
позднее — 2 февраля 141 г. н.э. В восходящей к Птолемею «Канопской
надписи»,  кроме того,  упоминается  10-й год правления Антонина, т.е.
147/148 г. н.э. Пытаясь оценить пределы жизни Птолемея, необходимо
также иметь в виду, что после «Альмагеста» им было написано еще
несколько больших произведений, различных по тематике, из которых по
меньшей мере два («География» и «Оптика») носят энциклопедический
характер, что по самым скромным оценкам должно было занять не меньше
двадцати лет. Следовательно, можно полагать, что Птолемей был еще жив
при  Марке Аврелии  (161-180),  как об этом сообщают более поздние
    1 В этой связи см. также [Fischer, 1932; НАМА, р.834-836; SA, р.11-13; 
Тоотег, 1975;
Waerden, 1957]. Подробный анализ на русском языке биографических данных о жизии 
Птолемея
представлен в [Бронштэн, 1988, С. 11-16].
2
См. кн.XI, гл.5, с.352 и кн.IX, гл.7, с.ЗОЗ соответственно.
     В ряде рукописей указывается 15-й год правления Антонина, что 
соответствует 152/153
г. н.э. [Hetberg, 1907, S.155J.
4 См. [Boll, 1894, S.53J.
источники4. Согласно Олимпиодору, александрийскому философу VI в. н.э.,
Птолемей работал как астроном в городе Канопе (ныне Абукир),
расположенном в западной части дельты Нила, на протяжении 40 лет.
Этому сообщению, однако, противоречит тот факт, что все наблюдения
Птолемея, приведенные в «Альмагесте», выполнены в Александрии. Само
по себе имя Птолемей свидетельствует о египетском происхождении его
обладателя, который, вероятно, принадлежал, к числу греков, приверженцев
эллинистической культуры в Египте, или же происходил из эллинизирован-
ных местных жителей. Латинское имя «Клавдий» заставляет предположить,
что у него имелось римское гражданство. В античных и средневековых

источниках содержится также немало менее достоверных свидетельств о
жизни Птолемея, которые нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть5.
    О научном окружении Птолемея почти ничего неизвестно. «Альмагест»
и ряд других его произведений (кроме «Географии» и «Гармоник») посвящен
некоему Сиру (Еирос,). Это имя было достаточно распространено в элли-
нистическом   Египте   в   рассматриваемый   период.   Никакими   другими

Птолемей с жезлом Якоба
(ист.: Thevet. Les vrais protr. et vies d. hommes illustres...Paris, 1584)
     Сообщают, например, что Птолемей родился в Гермиевой Птолемаиде, 
расположенной в
Верхнем Египте, и что этим объясняется его имя «Птолемей» (Феодор Милетинский, 
XIV в.
н.э.); согласно другой версии, он был родом из Пелузия, пограничного города к 
востоку от
дельты Нила, но это утверждение, скорее всего, есть результат ошибочного 
прочтения имени
«Клавдий» в арабских источниках [НАМА, р.834]. В поздней античности и в средние 
века
Птолемею приписывали также царское происхождение [НАМА, р.834, п.8; Тоотег, 
1985].

сведениями об этом человеке мы не располагаем. Неизвестно даже,
занимался ли он астрономией. Птолемей использует также планетные
наблюдения некоего Теона (кн.IX, гл.9; кн.Х, гл.1), выполненные в период
127-132 гг. н.э. Он сообщает, что эти наблюдения были «оставлены» ему
«математиком Теоном» (кн.Х, гл.1, с.316), что, по-видимому, предполагает
личный контакт. Возможно, Теон был учителем Птолемея. Некоторые
ученые отождествляют его с Теоном Смирнским (первая половина II в. н.э.),
философом-платоником, уделявшим внимание астрономии [НАМА, р.949-950].

У Птолемея, несомненно, были сотрудники, помогавшие ему при проведении
наблюдений и расчете таблиц. Объем вычислений, которые требовалось
произвести для построения астрономических таблиц в «Альмагесте», поистине
огромен. Во времена Птолемея Александрия еще оставалась крупным
научным центром. В ней действовало несколько библиотек, из которых
самая крупная располагалась в александрийском Мусейоне. Между сот-
рудниками библиотеки и Птолемеем существовали, по-видимому, личные
контакты, как это нередко бывает и теперь при научной работе. Кто-то
помогал Птолемею в подборе литературы по интересующим его вопросам,
приносил рукописи или подводил к стеллажам и нишам, где хранились
свитки.
   До недавнего времени предполагалось, что «Альмагест» — самая ранняя
из дошедших до нас астрономических работ Птолемея. Однако недавние
исследования [Hamilton etc., 1989] показали, что «Канопская надпись»
предшествовала «Альмагесту». Упоминания об «Альмагесте» содержатся в
«Планетных гипотезах», «Подручных таблицах», «Четверокнижии» и «Гео-
графии», что делает несомненным более позднее их написание. Об этом
же свидетельствует анализ содержания этих произведений. В «Подручных
таблицах» многие таблицы упрощены и улучшены по сравнению с
аналогичными таблицами в «Альмагесте». В «Планетных гипотезах»
используется другая система параметров для описания движений планет и
по-новому решен ряд вопросов, например, проблема планетных расстояний.
В «Географии» нулевой меридиан перенесен на Канарские острова вместо
Александрии, как это принято в «Альмагесте». «Оптика» создана также,
по-видимому, позднее «Альмагеста»; в ней рассмотрена астрономическая
рефракция, которая не играет заметной роли в «Альмагесте». Поскольку
«География» и «Гармоники» не содержат посвящения Сиру, то с известной
долей риска можно утверждать, что эти произведения написаны позднее
других работ Птолемея [Тоотег, 1975, р. 187]. У нас нет других более
точных ориентиров, которые позволили бы хронологически фиксировать
дошедшие до нас работы Птолемея.

3. Античная астрономия до Птолемея
   Чтобы оценить вклад Птолемея в развитие античной астрономии,
необходимо ясно представлять основные этапы ее предшествующего развития.
К сожалению, большинство работ греческих астрономов, относящихся к
раннему периоду (V—III вв. до н.э.), не дошло до нас. Об их содержании
мы можем судить только по цитатам в трудах более поздних авторов и
прежде всего у самого Птолемея.
   У истоков развития античной математической астрономии лежат четыре
особенности греческой культурной традиции, ясно выраженные уже в ранний
период: склонность к философскому осмыслению действительности, прост-
ранственное (геометрическое) мышление, приверженность наблюдениям и
стремление согласовать умозрительный образ мира и наблюдаемые явления.
    На ранних этапах античная астрономия была тесно связана с
философской традицией, откуда она заимствовала принцип кругового и
равномерного движения как основу для описания видимых неравномерных
движений светил. Самым ранним примером применения этого принципа в
астрономии стала теория гомоцентрических сфер Евдокса Книдского
(ок. 408-355 гг. до н.э.), усовершенствованная Каллиппом (IV в. до н.э.)
и принятая с определенными изменениями Аристотелем (Метафиз. XII, 8).
    
Эта теория качественно воспроизводила особенности движения Солнца, Луны
и пяти планет: суточное вращение небесной сферы, движения светил вдоль
эклиптики с запада на восток с различными скоростями, изменения широты
и попятные движения планет. Движения светил в ней управлялись
вращением небесных сфер, к которым они были прикреплены; сферы
обращались вокруг единого центра (Центра Мира), совпадающего с центром
неподвижной Земли, имели один и тот же радиус, нулевую толщину и
считались состоящими из эфира. Видимые изменения блеска светил и
связанные с этим изменения их расстояний относительно наблюдателя в
рамках этой теории не могли получить удовлетворительного объяснения.
   Принцип кругового и равномерного движения успешно применялся также
в сферике — разделе античной математической астрономии, в котором
решались задачи, связанные с суточным вращением небесной сферы и ее
важнейших кругов, прежде всего экватора и эклиптики, восходами и
заходами светил, знаков зодиака относительно горизонта на различных
широтах. Эти задачи решались с использованием методов сферической
геометрии. В предшествующее Птолемею время появился целый ряд
трактатов по сферике, в том числе Автолика (ок. 310 г. до н.э.), Евклида
(вторая половина IV в. до н.э.), Теодосия (вторая половина II в. до н.э.),
Гипсикла (II в. до н.э.), Менелая (I в. н.э.) и др. [Матвиевская, 1990,
с.27-33].
    Выдающимся достижением античной астрономии стала теория ге-
лиоцентрического движения планет, предложенная Аристархом Самосским
(ок. 320-250 гг. до н.э.). Однако эта теория, насколько позволяют судить
наши источники, не оказала какого-либо заметного влияния на развитие
собственно математической астрономии, т.е. не привела к созданию
астрономической системы, имеющей не только философское, но и практиче-
ское значение и позволяющей определять положения светил на небе с
необходимой степенью точности6.
   Важным шагом вперед стало изобретение эксцентров и эпициклов,
позволивших качественно объяснить в одно и то же время на основе
равномерных и круговых движений наблюдаемые неравномерности движения
светил и изменения их расстояний относительно наблюдателя. Эквивален-
тность эпициклической и эксцентрической моделей для случая Солнца
доказал Аполлоний Пергский (Ш-Н вв. до н.э.). Он применил также
эпициклическую модель для объяснения попятных движений планет. Новые
математические средства позволили перейти от качественного к количест-
венному описанию движений светил. Впервые, по-видимому, эту задачу
успешно решил Гиппарх (И в. до н.э.). Он создал на основе эксцентрической
и эпициклической моделей теории движения Солнца и Луны, которые
позволяли определять их текущие координаты для любого момента времени.
Однако ему не удалось разработать аналогичную теорию для планет из-за
отсутствия наблюдений.
    6 В литературе высказывается также противоположная точка зрения, а именно, 
что в
предшествующее Птолемею время уже существовала разработанная гелиоцентрическая 
система,
основанная на эпициклах, и что система Птолемея является только переработкой 
этой более
ранней системы [Идельсон, 1975, с. 175; Rawlins, 1987]. Однако, на наш взгляд, 
такого рода
предположения не имеют под собой достаточного основания.
    Гиппарху принадлежит также целый ряд других выдающихся достижений
в астрономии: открытие прецессии, создание звездного каталога, измерение
лунного параллакса, определение расстояний до Солнца и Луны, разработка
    
теории лунных затмений, конструирование астрономических инструментов,
в частности армиллярной сферы, проведение большого числа наблюдений,
не потерявших частично своего значения до настоящего времени, и многое
другое. Роль Гиппарха в истории античной астрономии поистине огромна.
   Проведение наблюдений составляло особое направление в античной
астрономии задолго до Гиппарха [Goldstein, Bower, 1991]. В ранний период
наблюдения носили в основном качественный характер. С развитием
кинематико-геометрического моделирования наблюдения математизируются.
Основная цель наблюдений — определение геометрических и скоростных
параметров принятых кинематических моделей. Параллельно разрабатыва-
ются астрономические календари, позволяющие фиксировать даты наблю-
дений и определять интервалы между наблюдениями на основе линейной
равномерной шкалы времени. При наблюдении фиксировали положения
светил относительно выделенных точек кинематической модели в текущий
момент или же определяли время прохождения светила через выделенную
точку схемы. В числе подобных наблюдений: определение моментов
равноденствий и солнцестояний, высоты Солнца и Луны при прохождении
через меридиан, временных и геометрических параметров затмений, дат
покрытия Луною звезд и планет, положений планет относительно Солнца,
Луны и звезд, координат звезд и т.д. Наиболее ранние наблюдения такого
рода относятся к V в. до н.э. (Метон и Евктемон в Афинах); Птолемею
были известны также наблюдения Аристилла и Тимохариса, выполненные
в Александрии в начале III в. до н.э., Гиппарха на Родосе во второй
половине II в. до н.э., Менелая и Агриппы соответственно в Риме и Вифинии
в конце I в. до н.э., Теона в Александрии в начале II в. н.э. В распоряжении
греческих астрономов имелись также (уже, по-видимому, во II в. до н.э.)
результаты наблюдений месопотамских астрономов, в том числе списки
лунных затмений, планетных конфигураций и др. Греки были знакомы
также с лунными и планетными периодами, принятыми в месопотамской
астрономии Селевкидского периода (IV-I вв. до н.э.). Эти данные они
использовали для проверки точности параметров собственных теорий.
Проведение наблюдений сопровождалось развитием теории и конст-
руированием астрономических инструментов.
   Особое направление в античной астрономии составляли наблюдения
звезд. Греческие астрономы выделили на небе около 50 созвездий. В точности
неизвестно, когда именно была проделана эта работа, но к началу IV в.
до н.э. она была, по-видимому, уже завершена; не вызывает сомнения, что
месопотамская традиция сыграла при этом важную роль.
    Описания созвездий составляли особый жанр в античной литературе.
Звездное небо изображали наглядно на небесных глобусах. Самые ранние
образцы такого рода глобусов традиция связывает с именами Евдокса и
Гиппарха. Однако античная астрономия пошла значительно дальше простого
описания формы созвездий и расположения звезд в них. Выдающимся
достижением стало создание Гиппархом первого звездного каталога,
содержащего эклиптические координаты и оценки блеска каждой звезды,
включенной в него. Число звезд в каталоге по некоторым данным не
превышало 850; по другой версии, он включал около 1022 звезд и структурно
    7 По данному вопросу см. [Нейгебауэр, 1968, с. 181; Шевченко, 1988; Vogt, 
1925], а также
[Ньютон, 1985, гл.ГХ].
был подобен каталогу Птолемея, отличаясь от него только долготами звезд7.

    Развитие античной астрономии происходило в тесной связи с развитием
математики. Решение астрономических задач во многом определялось теми
математическими средствами, которыми располагали астрономы. Особую
роль при этом сыграли труды Евдокса, Евклида, Аполлония, Менелая.
Появление «Альмагеста» было бы невозможно без предшествующего развития
методов логистики — стандартной системы правил для проведения
вычислений, без планиметрии и основ сферической геометрии (Евклид,
Менелай), без плоской и сферической тригонометрии (Гиппарх, Менелай),
без разработки методов кинематико-геометрического моделирования дви-
жений светил при помощи теории эксцентров и эпициклов (Аполлоний,
Гиппарх), без развития методов задания функций одной, двух и трех
переменных в табличном виде (месопотамская астрономия, Гиппарх?). Со
своей стороны астрономия непосредственно влияла на развитие математики.
Такие, например, разделы античной математики как тригонометрия хорд,
сферическая геометрия, стереографическая проекция и т.д. получили
развитие только потому, что им придавалось особое значение в астрономии.
    Помимо геометрических методов моделирования движений светил в
античной астрономии употреблялись также арифметические методы, име-
ющие месопотамское происхождение. До нас дошли греческие планетные
таблицы, вычисленные на основе месопотамской арифметической теории.
Данные этих таблиц античные астрономы использовали, по-видимому, для
обоснования эпициклической и эксцентрической моделей. В предшествующее
Птолемею время, приблизительно со II в. до н.э., получил распространение
целый класс специальной астрологической литературы, в том числе лунные
и  планетные  таблицы,  которые  вычислялись  на  основе  методов  как
Q
месопотамской, так и греческой астрономии .

4. «Альмагест» Птолемея
   Труд Птолемея был первоначально озаглавлен «Математическое со-
чинение в 13 книгах» (MaGnnanicfji; Ewr&Seax; pvpXiavy)9. В поздней
античности на него ссылались как на «великое» (цеу^ч) или «величайшее
(цеуштп.) сочинение», в противоположность «Малому астрономическому
собранию» (6 цчкрбс, aaxpovonoutuevoi;) — сборнику небольших трактатов по
сферике и другим разделам античной астрономии10. В IX в. при переводе
«Математического сочинения» на арабский язык греческое слово f) цеуготп.
было воспроизведено по-арабски как «ал-маджисти», откуда и происходит
общепринятая в настоящее время латинизированная форма названия этого
произведения «Альмагест».
     Более подробный обзор методов доптолемеевской астрономии см. в [Dicks, 
1970; НАМА;
Waerden, 1988(2); Ван-дер-Варден, 1991].
g
Или иначе: «Математическое собрание (построение) в 13 книгах».
     10 Существование «Малой астрономии» как особого направления в античной 
астрономии
признается всеми историками астрономии за исключением О.Нейгенбауэра. См. по 
данному
вопросу [НАМА, р.768-769].
   «Альмагест» состоит из тринадцати книг. Подразделение на книги
принадлежит несомненно самому Птолемею, деление же на главы и их
названия были введены позднее. С определенностью можно утверждать, что
во времена Паппа Александрийского в конце IV в. н.э. такого рода деление
уже существовало, хотя и значительно отличалось от ныне принятого.
   
Дошедший до нас греческий текст содержит также некоторое число
позднейших интерполяций, не принадлежащих Птолемею, а внесенных
переписчиками по различным соображениям [РА, р.5-6].
   «Альмагест» — это учебник главным образом теоретической астрономии.
Он предназначен для уже подготовленного читателя, знакомого с геометрией
Евклида, сферикой и логистикой. Основная теоретическая задача, решаемая
в «Альмагесте», — это предвычисление видимых положений светил (Солнца,
Луны, планет и звезд) на небесной сфере в произвольный момент времени
с точностью, соответствующей возможностям визуальных наблюдений.
Другой важный класс задач, решаемых в «Альмагесте», — это пред-
вычисление дат и других параметров особых астрономических явлений,
связанных с движением светил, — лунных и солнечных затмений,
гелиакических восходов и заходов планет и звезд, определение параллакса
и расстояний до Солнца и Луны и т.д. При решении этих задач Птолемей
следует стандартной методике, которая включает несколько этапов.
    1. На основе предварительных грубых наблюдений выясняются харак-
терные особенности в движении светила и производится выбор кинематиче-
ской модели, наилучшим образом соответствующей наблюдаемым явлениям.
Процедура выбора одной модели из нескольких равновозможных должна
удовлетворять «принципу простоты»; Птолемей пишет об этом: «Мы считаем
уместным объяснять явления при помощи наиболее простых предположений,
если только наблюдения не противоречат выдвинутой гипотезе» (кн.Ш, гл.1,
с.79). Первоначально выбор производится между простой эксцентрической
и простой эпициклической моделями. На данном этапе решаются вопросы
о соответствии кругов модели определенным периодам движения светила,
о направлении движения эпицикла, о местах ускорения и замедления
движения, о положении апогея и перигея и т.д.
    2. Опираясь на принятую модель и используя наблюдения, как свои
собственные, так и своих предшественников, Птолемей определяет периоды
движения светила с максимально возможной точностью, геометрические
параметры модели (радиус эпицикла, эксцентриситет, долготу апогея и др.),
моменты прохождения светила через выделенные точки кинематической
схемы, чтобы привязать движение светила к хронологической шкале.
   Проще всего указанная методика работает при описании движения
Солнца, где достаточно простой эксцентрической модели. При исследовании
движения Луны, однако, Птолемею пришлось трижды видоизменять
кинематическую модель, чтобы найти такое сочетание кругов и линий,
которое наилучшим образом соответствовало бы наблюдениям. Существенные
усложнения пришлось внести также в кинематические модели для описания
движений планет по долготе и широте.
   Кинематическая модель, воспроизводящая движения светила, должна
удовлетворять «принципу равномерности» круговых движений. «Мы полага-
ем, — пишет Птолемей, — что для математика основной задачей является
в конечном счете показать, что небесные явления получаются при помощи
равномерных круговых движений» (кн.Ш, гл.1, с.82). Этот принцип, однако,
выполняется им не строго. Он отказывается от него всякий раз (не
оговаривая, впрочем, этого явным образом), когда этого требуют наблю-
дения, например, в лунной и планетной теориях. Нарушение принципа
равномерности круговых движений в ряде моделей стало позднее в
астрономии стран ислама и средневековой Европы основанием для критики
системы Птолемея.
   
   3. После определения геометрических, скоростных и временных пара-
метров кинематической модели Птолемей переходит к построению таблиц,
при помощи которых должны вычисляться координаты светила в произволь-
ный момент времени. В основе таких таблиц лежит представление о
линейной однородной шкале времени, за начало которой принято начало
эры Набонассара (-746 г., февраль 26, истинный полдень). Любая величина,
зафиксированная в таблице, получается в результате непростых вычислений.
Птолемей при этом показывает виртуозное владение геометрией Евклида и
правилами логистики. В заключение приводятся правила пользования
таблицами, а иногда также примеры вычислений.
   Изложение в «Альмагесте» носит строго логический характер. В начале
книги I рассмотрены общие вопросы, касающиеся структуры мира в целом,
его самая общая математическая модель. Здесь доказывается сферичность
неба и Земли, центральное положение и неподвижность Земли, незначитель-
ность размеров Земли по сравнению с размерами неба, выделяются два
основных направления на небесной сфере — экватор и эклиптика,
параллельно которым происходят соответственно суточное вращение небесной
сферы и периодические движения светил. Во второй половине книги I
излагаются тригонометрия хорд и сферическая геометрия — способы решения
треугольников на сфере с использованием теоремы Менелая.
    Книга II целиком посвящена вопросам сферической астрономии, не
требующим для своего решения знания координат светил как функции
времени; в ней рассмотрены задачи по определению времен восхода, захода
и прохождения через меридиан произвольных дуг эклиптики на различных
широтах, продолжительности дня, длины тени гномона, углов между
эклиптикой и основными кругами небесной сферы и т.д.
    В книге III разработана теория движения Солнца, которая содержит
определение продолжительности солнечного года, выбор и обоснование
кинематической модели, определение ее параметров, построение таблиц для
вычисления долготы Солнца. В заключительном разделе исследуется понятие
уравнения времени. Теория Солнца является основой для изучения движения
Луны и звезд. Долготы Луны в моменты лунных затмений определяются
по известной долготе Солнца. То же самое касается определения координат
звезд.
    Книги IV-V посвящены теории движения Луны по долготе и широте.
Движение Луны исследуется приблизительно по той же схеме, что и
движение Солнца, с той лишь разницей, что Птолемей, как мы уже
отмечали, последовательно вводит здесь три кинематические модели.
Выдающимся достижением стало открытие Птолемеем второго неравенства
в движении Луны, так называемой эвекции, связанной с нахождением Луны
в квадратурах. Во второй части книги V определяются расстояния до Солнца
и Луны и строится теория солнечного и лунного параллакса, необходимая
для предвычисления солнечных затмений. Параллактические таблицы (kh.V,
гл.18) являются, пожалуй, наиболее сложными из всех, что содержатся в
«Альмагесте».
Книга VI посвящена целиком теории лунных и солнечных затмений.
   В книгах VII и VIII содержится звездный каталог и рассматривается
целый ряд других вопросов, касающихся неподвижных звезд, в том числе
теория прецессии, конструкция небесного глобуса, гелиакические восходы
и заходы звезд и т.д.
   В книгах IX-XIII излагается теория движения планет по долготе и
широте. При этом движения планет анализируются независимо друг от
   
друга; также независимо рассматриваются перемещения по долготе и широте.
При описании движений планет по долготе Птолемей использует три
кинематические модели, различающиеся в деталях, соответственно для
Меркурия, Венеры и верхних планет. В них реализовано важное
усовершенствование, известное под названием экванта, или биссекции
эксцентриситета, позволившее повысить точность определения долгот планет
приблизительно в три раза по сравнению с простой эксцентрической
моделью11. В этих моделях, однако, формально нарушается принцип
равномерности круговых вращений. Особой сложностью отличаются кине-
матические модели для описания движения планет по широте. Эти модели
формально не совместимы с принятыми для тех же планет кинематическими
моделями движения по долготе. Обсуждая эту проблему, Птолемей
высказывает несколько важных методологических положений, характеризу-
ющих его подход к моделированию движений светил. В частности, он пишет:
«И пусть никто... не считает эти гипотезы слишком искусственными; не
следует применять человеческие понятия к божественному... Но к небесным
явлениям нужно пытаться приспособить сколь возможно простые предполо-
жения... Их связь и взаимное влияние в различных движениях кажутся
нам очень искусственными в устраиваемых нами моделях, и трудно сделать
так, чтобы движения не мешали друг другу, но в небе никакое из этих
движений не встретит препятствий от подобного соединения. Лучше будет
и о самой простоте небесного судить не на основе того, что нам кажется
таким...» (кн.ХШ, гл.2, с.401). В книге XII анализируются попятные
движения и величины максимальных элонгации планет; в конце книги XIII
рассмотрены гелиакические восходы и заходы планет, которые требуют для
своего определения знания одновременно долготы и широты планет.
   Теория движения планет, изложенная в «Альмагесте», принадлежит
самому Птолемею. Во всяком случае, не существует каких-либо серьезных
оснований, указывающих на то, что что-либо подобное существовало в
предшествующее Птолемею время.

5. Другие работы Птолемея
   Кроме «Альмагеста» Птолемею принадлежит также ряд других сочинений
по астрономии, астрологии, географии, оптике, музыке и т.д., пользо-
вавшихся большой известностью в античности и средневековье, в том числе:
«Канопская надпись»,
«Подручные таблицы»,
«Планетные гипотезы»,
«Фазы»,
«Аналемма»,
«Планисферий»,
«Четверокнижие»,
«География»,
«Оптика»,
«Гармоники» и др.
11 См. по данному вопросу [Идельсон, 1975, с.141-149].
О времени и порядке написания этих работ см. раздел 2 настоящей статьи.
Кратко рассмотрим их содержание.

   «Канопская надпись» представляет собой список параметров астрономиче-
ской системы Птолемея, который был высечен на стелле, посвященной
Спасителю  Богу   (возможно,  Серапису),  в  городе  Канопе  в  10-й год
правления Антонина (147/148 г. н.э.) . Сама стелла не сохранилась, но
ее содержание известно из трех греческих рукописей. Большинство
параметров, принятых в этом списке, совпадает с используемыми в
«Альмагесте». Однако имеются расхождения, не связанные с ошибками
переписчиков. Исследование текста «Канопской надписи» показало, что она
восходит ко времени более раннему, чем время создания «Альмагеста».
   «Подручные таблицы» (npoxeipoi Kavovec,), вторая по величине после
«Альмагеста» астрономическая работа Птолемея, представляет собой сборник
таблиц для расчета положений светил на сфере в произвольный момент и
для предвычисления некоторых астрономических явлений, прежде всего
затмений. Таблицам предшествует «Введение» Птолемея, в котором
поясняются основные принципы их использования13. «Подручные таблицы»
дошли до нас в переложении Теона Александрийского, однако известно,
что Теон немногое изменил в них. Он написал к ним также два
комментария   —   «Большой   комментарий»   в   пяти   книгах   и   «Малый
комментарий», которые должны были заменить «Введение» Птолемея14.
«Подручные таблицы» тесно связаны с «Альмагестом», но содержат также
целый ряд нововведений, имеющих как теоретический, так и практический
характер. Например, в них приняты другие методы для вычисления широт
планет, изменен ряд параметров кинематических моделей. За начальную
эпоху таблиц принята эра Филиппа (-323 г.). Таблицы содержат звездный
каталог, включающий около 180 звезд в окрестности эклиптики, в котором
долготы измеряются сидерически, причем Регул (a Leo) принят за начало
отсчета сидерической долготы. Имеется также список около 400 «Важнейших
городов» с указанием географических координат. В «Подручных таблицах»
содержится также «Царский канон» — основа хронологических вычислений
Птолемея (см. Приложение «Календарь и хронология в "Альмагесте"»). В
большинстве таблиц значения функций приводятся с точностью до минут,
правила их использования упрощены. Эти таблицы имели несомненно
астрологическое предназначение. В дальнейшем «Подручные таблицы»
пользовались большой популярностью в Византии, Персии и на средневе-
ковом мусульманском Востоке.
12
      Греческий текст см. [Heiberg, 1907, S. 149-155]; перевод на французский 
см. [Halma,
1820, р.57-62]; описания и исследования см. [НАМА, р.901,913-917; Hamilton etc.,
 1987;
Waerden, 1959, Col. 1818-1823; 1988(2), S.298-299].
13
     Единственное более или менее полное издание «Подручных таблиц» принадлежит 
Н.Альма
[Halma, 1822-1825]; греческий текст «Введения» Птолемея см. [Heiberg, 1907, S.
157-186];
исследования и описания см. [АаЬое, 1960; НАМА, р.969-1028; SA, р.397-400; 
Tinon, 1985(2);
Waerden, 1953; 1958; 1959, Col. 1823-1827; 1988(2), S.299-300].
14 Греческий текст, перевод и комментарии см. [Tihon, 1978; 1985(1); 1991].
   «Планетные гипотезы» ('Yjiotgoeic, tcov 7iXavcouevcov) _ небольшая, но
имеющая важное значение в истории астрономии работа Птолемея,
состоящая из двух книг. Только часть первой книги сохранилась на
греческом языке; однако до нас дошел полный арабский перевод этого
произведения, принадлежащий Сабиту ибн Корре (836-901), а также перевод
   
на еврейский язык XIV в. Книга посвящена описанию астрономической
системы как целого. «Планетные гипотезы» отличаются от «Альмагеста» в
трех отношениях: а) в них используется другая система параметров для
описания движений светил; б) упрощены кинематические модели, в
частности модель для описания движения планет по широте; в) изменен
подход к самим моделям, которые считаются не геометрическими абст-
ракциями, призванными «спасти явления», а частями единого механизма,
реализуемого физически. Детали этого механизма построены из эфира,
пятого элемента аристотелевской физики. Механизм, управляющий дви-
жениями светил, представляет собой соединение гомоцентрической модели
мира с моделями, построенными на основе эксцентров и эпициклов.
Движение каждого светила (Солнца, Луны, планет и звезд) происходит
внутри особого сферического кольца определенной толщины. Эти кольца
последовательно вложены друг в друга таким образом, чтобы не осталось
места для пустоты. Центры всех колец совпадают с центром неподвижной
Земли. Внутри сферического кольца светило движется согласно той
кинематической модели, которая принята в «Альмагесте» (с небольшими
изменениями).
   В «Альмагесте» Птолемей определяет абсолютные расстояния (в единицах
радиуса Земли) только до Солнца и Луны. Для планет этого нельзя сделать
вследствие отсутствия у них заметного параллакса. В «Планетных
гипотезах», однако, он находит абсолютные расстояния также, и для планет,
исходя из предположения, что максимальное расстояние одной планеты
равняется минимальному расстоянию планеты, следующей за ней. Принятая
последовательность расположения светил: Луна, Меркурий, Венера, Солнце,
Марс, Юпитер, Сатурн, неподвижные звезды. В «Альмагесте» определяются
максимальное расстояние до Луны и минимальное расстояние до Солнца
от центра сфер. Их разность близко соответствует суммарной толщине сфер
Меркурия и Венеры, полученной независимо. Это совпадение в глазах
Птолемея и его последователей подтверждало правильность расположения
Меркурия и Венеры в промежутке между Луной и Солнцем и свидетель-
ствовало о достоверности системы в целом. В заключение трактата
приводятся результаты определения Гиппархом видимых диаметров планет,
на основании которых вычисляются их объемы. «Планетные гипотезы»
пользовались большой известностью в поздней античности и в средние века.
Разработанный в них планетный механизм нередко изображали графически.
Эти изображения (арабские и латинские) служили наглядным выражением
астрономической системы, которую обычно определяли как «система
Птолемея».
     15 Греческий текст см. [Heiberg, 1907, S.70-106]; параллельный немецкий 
перевод,
включающий и те части, которые сохранились на арабском, см. [там же, S.71-145]; 
греческий
текст и параллельный перевод на французски см. [Halma, 1820, р.41-56]; арабский 
текст с
переводом на английский части, недостающей в немецком переводе, см. [Goldstein, 
1967];
исследования и комментарии см. [НАМА, р.900-926; Hartner, 1964; Murschel, 1995; 
SA,
р.391-397; Waerden, 1988(2), р.297-298]; описание и анализ механической модели 
мира
Птолемея на русском языке см. [Рожанская, Куртик, с. 132-134].
   «Фазы неподвижных звезд» (Фаоек; ankav&v аатероэу) — небольшая
работа Птолемея в двух книгах, посвященная погодным предсказаниям на
основе наблюдений дат синодических явлений звезд. До нас дошла только
книга И, содержащая календарь, в котором на каждый день года приводится
   
погодное предсказание в предположении, что именно в этот день произошло
одно из четырех возможных синодических явлений (гелиакический восход
или заход, акронический восход, космический заход). Например:
Тот 1 141/2 часов: [звезда] в хвосте Льва ф Leo) восходит;
согласно Гиппарху, северные ветры заканчиваются;
согласно Евдоксу,   дождь,   гроза, северные ветры за
канчиваются.
Птолемей использует всего 30 звезд первой и второй величины и приводит
предсказания для пяти географических климатов, для которых максимальная
продолжительность дня изменяется от l3Vzh до l5V2h через V2h. Даты
приводятся в александрийском календаре. Указаны также даты равно-
денствий и солнцестояний (I, 28; IV, 26; VII, 26; XI, 1), что позволяет
приближенно датировать время написания работы как 137-138 гг. н.э.
Предсказания погоды на основе наблюдений восходов звезд отражают,
очевидно, донаучную стадию в развитии античной астрономии. Однако
Птолемей вносит и в эту не вполне астрономическую область элемент
научности16.
    «Аналемма» (Пер! avaMjunaToq) — трактат, в котором описан метод
нахождения геометрическим построением в плоскости дуг и углов,
фиксирующих положение точки на сфере относительно избранных больших
кругов. Сохранились фрагменты греческого текста и полный латинский
перевод   этого   произведения,   выполненный   Виллемом   из   Мербеке
(XIII в. н.э.) . В нем Птолемей решает следующую задачу: определить
сферические координаты Солнца (его высоту и азимут), если известны
географическая широта места <р, долгота Солнца X и время дня h. Чтобы
фиксировать положение Солнца на сфере, он использует систему из трех
ортогональных осей, образующих октант. Относительно этих осей отсчиты-
ваются углы на сфере, которые затем определяются в плоскости построением.
Применяемый метод близок используемым в настоящее время в начерта-
тельной геометрии. Основная область его применения в античной астро-
номии — конструирование солнечных часов. Изложение содержания
«Аналеммы» содержится в трудах Витрувия (Об архитектуре IX,8) и Герона
Александрийского (Диоптра 35), живших на полстолетия раньше Птолемея.
Но хотя основная идея метода была известна задолго до Птолемея, однако
его решение отличает законченность и красота, которых мы не находим
ни у кого из его предшественников.
      Греческий текст сохранившейся части см. [Heiberg, 1907, S.3-67]; 
греческий текст и
перевод на французский см. [Halma, 1819]; исследования и комментарии см. 
[Grasshoff, 1993,
р. 121-132; НАМА, р.926-931; Vogt, 1920].
     17 Фрагменты греческого текста и латинский перевод см. [Heiberg, S.
189-223]; исследования
см. [Luckey, 1927; НАМА, р.839-840; Нейгебауэр, 1968, с.205-208; Матвиевская, 
1990, с.22-25].
   «Планисферий» (вероятное греческое название: ''Ая^сооц RATKPAVEVAQ
aqxxipaq) — небольшая работа Птолемея, посвященная использованию теории
стереографической проекции при решении астрономических задач. Со-
хранилась только на арабском; испано-арабская версия этого произведения,
принадлежавшая Масламе ал-Маджрити (X-XI вв. н.э.), была переведена
   
на латинский язык Германом из Каринтии в 1143 г. Идея стереографиче-
ской проекции заключается в следующем: точки шара проецируются из
какой-либо точки его поверхности на касательную к нему плоскость, при
этом окружности, проведенные на поверхности шара, переходят в окруж-
ности на плоскости и углы сохраняют свою величину. Основные свойства
стереографической проекции были известны уже, по-видимому, за два
столетия до Птолемея. В «Планисферии» Птолемей решает две задачи: (1)
построить в плоскости методом стереографической проекции отображения
основных кругов небесной сферы и (2) определить времена восхода дуг
эклиптики в прямой и наклонной сферах (т.е. при <р = О и <р ^ О
соответственно) чисто геометрически. Это сочинение также примыкает по
своему содержанию к задачам, решаемым в настоящее время в начерта-
тельной геометрии. Развитые в нем методы послужили основой при создании
астролябии — инструмента, сыгравшего немаловажную роль в истории
античной и средневековой астрономии.
   «Четверокнижие» (ТетрарЧрА.ос; или 'АяотЛеацатлка, т.е. «Астроло-
гические влияния») — основное астрологическое произведение Птолемея,
известное также под латинизированным названием «Квадрипартитум». Оно
19
состоит из четырех книг .
   Во времена Птолемея вера в астрологию была повсеместно распростра-
нена. Птолемей не был исключением в этом отношении. Он рассматривает
астрологию как необходимое дополнение к астрономии. Астрология пред-
сказывает земные события, учитывая влияния небесных светил; астрономия
же предоставляет информацию о положениях светил, необходимую для
составления предсказаний. Птолемей, однако, не был фаталистом; влияния
небесных светил он считает лишь одним из факторов, определяющих события
на Земле. В работах по истории астрологии выделяют обычно четыре вида
астрологии, распространенных в эллинистический период, — мировая (или
общая), генетлиалогия, катархен и интеррогативная. В сочинении Птолемея
рассмотрены только первые два вида. В книге I даны общие определения
основных астрологических понятий. Книга II целиком посвящена мировой
астрологии, т.е. методам предсказания событий, касающихся больших земных
регионов, стран, народов, городов, больших социальных групп и т.д. Здесь
рассмотрены вопросы так называемой «астрологической географии» и
погодные предсказания. Книги III и IV посвящены методам предсказания
индивидуальных человеческих судеб. Работу Птолемея характеризует
высокий математический уровень, что выгодно отличает ее от других
астрологических произведений того же периода. Вероятно, поэтому «Четве-
рокнижие» пользовалось огромным авторитетом среди астрологов, несмотря
на то что в нем отсутствовала катархен-астрология, т.е. методы определения
благоприятности или неблагоприятности избранного момента для какого-
   '* Арабский текст до сих пор не опубликован, хотя известно несколько 
рукописей этого
произведения, более ранних, чем эпоха ал-Маджрити.; латинский перевод см. 
[Heiberg, 1907,
S.227-259]; перевод на немецкий см. [Drecker, 1927]; исследования и комментарии 
см. [НАМА,
р.857-879; Waerden, 1988(2), S.301-302; Матвиевская, 1990, с.26-27; Нейгебауэр, 
1968,
с.208-209].
[9
      Греческий текст см. [Boll, Boer, 1957]; греческий текст и параллельный 
перевод на
английский см. [Robbins, 19481; полный перевод на русский язык с английского см.
 [Птолемей,
1992]; перевод на русский язык с древнегреческого первых двух книг см. 
[Птолемей, 1994,
1996]; очерк истории античной астрологии см. [Куртик, 1994]; исследования и 
комментарии
см. [Boll, 1894, S.111-218; Bouche-Leclercq, 1899].
      
либо дела. В средние века и эпоху Возрождения известность Птолемея
иногда определялась именно этим произведением, а не его астрономическими
работами.
   Огромной популярностью пользовалась «География», или «Географичес-
кое руководство» (Гесоурафис?) йщусащ) Птолемея в восьми книгах. По
своему объему это произведение ненамного уступает «Альмагесту». Оно
содержит описание известной во времена Птолемея части мира. Однако
работа Птолемея существенно отличается от аналогичных сочинений его
предшественников. Собственно описания занимают в нем немного места,
основное внимание уделяется проблемам математической географии и
картографированию. Птолемей сообщает, что весь фактический материал
он заимствовал из географического сочинения Марина Тирского (датируемого
приблизительно ПО г. н.э.), представлявшего собой, по-видимому, топог-
рафическое описание регионов с указанием направлений и расстояний между
пунктами. Основная задача картографирования — это отображение сфериче-
ской поверхности Земли на плоскую поверхность карты с минимальными
искажениями.
    В книге I Птолемей критически анализирует метод проецирования,
используемый Марином Тирским, так называемую цилиндрическую про-
екцию, и отвергает его. Он предлагает два других метода — равнопроме-
20
жуточную коническую и псевдоконическую проекции . Размеры мира по
долготе он принимает равными 180°, отсчитывая долготу от нулевого
меридиана, проходящего через Острова Блаженных (Канарские острова), с
запада на восток, по широте — от 63° к северу до 16;25° к югу от экватора
(что соответствует параллелям через Фуле и через точку, расположенную
симметрично Мероэ относительно экватора).
    В книгах II—VII приводится список городов с указанием географических
долготы и широты и краткие описания. При его составлении, по-видимому,
использовались списки мест, имеющих одну и ту же продолжительность
дня, или мест, находящихся на определенном расстоянии от нулевого
меридиана, входившие, возможно, в состав работы Марина Тирского.
Аналогичного вида списки содержатся в книге VIII, где дано также разбиение
карты мира на 26 региональных карт. В состав работы Птолемея входили
также сами карты, которые, однако, не дошли до нас. Картографический
материал, который обычно связывают с «Географией» Птолемея, имеет на
самом деле более позднее происхождение. «География» Птолемея сыграла
выдающуюся роль в истории математической географии, ничуть не меньшую,
чем «Альмагест» в истории астрономии21.
    «Оптика» Птолемея в пяти книгах дошла до нас только в латинском
переводе  XII  в.  с арабского,  причем  утеряны  начало  и  конец этого
     Описание и анализ методов картографического проецирования Птолемея см. 
[Нейгебауэр,
1968, с.208-212; НАМА, р.880-885; Тоотег, 1975, р. 198-200].
    21 Греческий текст см. [Nobbe, 1843-1845]; собрание древних карт см. 
[Fischer, 1932];
перевод на английский см. [Stevenson, 1932]; перевод отдельных глав на русский 
язык см.
[Боднарский, 1953; Латышев, 1948]; более подробную библиографию, касающуюся 
«Географии»
Птолемея, см. [НАМА; Тоотег, 1975, р.205], см. также [Брошитэн, 1988, с. 
136-153];
о географической традиции в странах ислама, восходящей к Птолемею, см. 
[Крачковский, 1957].
22
     Критическое издание текста см. [Lejeune, 1956]; описания и анализ см. 
[НАМА, р.892-896;
Бронштэн, 1988, с. 153-161]. Более полную библиографию см. [Тоотег, 1975, р.
205].
произведения . Она написана в русле древней традиции, представленной
трудами Евклида, Архимеда, Герона и др., но, как и всегда, подход Птолемея

отличается оригинальностью. В книгах I (которая не сохранилась) и II
рассматривается общая теория зрения. В ее основе три постулата: а) процесс
зрения определяется лучами, которые исходят из глаза человека и как бы
ощупывают предмет; б) цвет есть качество, присущее самим предметам;
в) цвет и свет в равной степени необходимы, чтобы сделать предмет
видимым. Птолемей утверждает также, что процесс зрения происходит по
прямой линии. В книгах III и IV рассматривается теория отражения от
зеркал — геометрическая оптика, или катоптрика, если использовать
греческий термин. Изложение ведется с математической строгостью.
Теоретические положения доказываются экспериментально. Здесь же обсуж-
дается проблема бинокулярного зрения, рассматриваются зеркала различной
формы, в том числе сферическое и цилиндрическое. Книга V посвящена
рефракции; в ней исследуется преломление при прохождении света через
среды воздух-вода,  вода-стекло,  воздух-стекло при помощи специально
сконструированного   для   этой   цели   прибора.   Результаты,   полученные
Птолемеем, достаточно хорошо соответствуют закону преломления Снел-
sin а    п\	а
лиуса	= —, где сс — угол падения, р — угол преломления, п^, «2 —
коэффициенты преломления соответственно в первой и второй средах. В
конце сохранившейся части книги V обсуждается астрономическая реф-
ракция.
   «Гармоники» ('Apuovucd)— небольшая работа Птолемея в трех книгах,
посвященная музыкальной теории. В ней рассматриваются математические
интервалы между нотами, согласно различным греческим школам. Птолемей
сравнивает учение пифагорейцев, которые, по его мнению, придавали особое
значение математическим аспектам теории в ущерб опыту, и учение
Аристоксена (IV в. н.э.), который действовал противоположным образом.
Сам Птолемей стремится создать теорию, совмещающую достоинства обоих
направлений, т.е. строго математическую и одновременно учитывающую
данные опыта. В книге III, дошедшей до нас не полностью, рассматриваются
приложения музыкальной теории в астрономии и астрологии, в том числе,
по-видимому, музыкальная гармония планетных сфер. Согласно Порфирию
(III в. н.э.), содержание «Гармоник» Птолемей заимствовал большей частью
из работ александрийского грамматика второй половины I в. н.э. Дидима  .
   С именем Птолемея связывают также целый ряд менее известных
произведений. В их числе трактат по философии «О способностях суждения
и принятия решения» (Пер1 Kpvrnpiov код чуецоу1кои)24, в котором излагаются
идеи в основном перипатетической и стоической философии, небольшое
астрологическое сочинение «Плод» (Картшс,), известное в латинском переводе
под   названием   «Centiloquium»   или   «Fructus»,   которое   включало   сто
-25
23	• >
      Греческий текст см. [During, 1930]; немецкий перевод с комментариями см. 
[During,
1934]; астрономические аспекты музыкальной теории Птолемея см. [НАМА, р.
931-934]. Краткий
очерк музыкальной теории греков см. [Жмудь, 1994, с.213-238].
24
      Греческий текст см. [Lammert, 1952]; более подробное описание см. 
[Waerden, 1959,
Col. 1954-1858]. Подробный анализ философских воззрений Птолемея см. [Boll, 
1894, S.66—111].
25
      Греческий текст см. [Boer, 1952]; однако, по мнению О.Нейгебауэра и 
других
исследователей, не существует серьезных оснований для приписывания этого 
произведения
Птолемею [НАМА, р.897; Haskins, 1924, р.68 и сл.].
астрологических положении , трактат по механике в трех книгах, из
которого сохранилось два фрагмента — «Тяжести» и «Элементы», а также

два чисто математических произведения, в одном из которых доказывается
постулат о параллельных, а в другом, что не существует более трех
измерений в пространстве. Папп Александрийский в комментариях к книге
V	«Альмагеста» приписывает Птолемею создание особого инструмента,
называемого «метеороскоп», подобного армиллярной сфере [Rome, 1927].
   Таким образом, мы видим, что не существует, пожалуй, ни одной
области в античном математическом естествознании, где бы Птолемей не
внес весьма существенный вклад.
6. Судьба «Альмагеста» в эпоху после Птолемея
   Труд Птолемея оказал огромное влияние на развитие астрономии. О
том, что его значение было сразу оценено по достоинству, свидетельствует
появление уже в IV в. н.э. комментариев — сочинений, посвященных
разъяснению содержания «Альмагеста», но часто имевших самостоятельное
значение.
   Первый известный комментарий был написан около 320 г. одним из
виднейших представителей Александрийской научной школы — Паппом.
Большая часть этого сочинения не дошла до нас — сохранились только
комментарии к книгам V и VI «Альмагеста» [Rome, 1931].
    Второй комментарий, составленный во 2-й половине IV в. н.э. Теоном
Александрийским, дошел до нас в более полном виде (книги I—IV) [Rome,
1936; 1943(1)]. Комментировала «Альмагест» и дочь Теона прославленная
Гипатия (ок. 370-415 гг. н.э.).
   В V в. неоплатоник Прокл Диадох (412-485), возглавивший Академию
в Афинах, написал сочинение об астрономических гипотезах, представлявшее
собой введение в астрономию Гиппарха и Птолемея26.
   Закрытие в 529 г. Афинской академии и переселение греческих ученых
в страны Востока послужили быстрому распространению здесь античной
науки. Учение Птолемея было освоено и существенно сказалось на
астрономических теориях, формировавшихся в Сирии, Иране и Индии.
    В Персии при дворе Шапура I (241-171) «Альмагест» стал известен,
по-видимому, уже около 250 г. н.э. и тогда же был переведен на пехлеви
[Pingree, 1963, р.242; 1973, р.35]. Существовал также персидский вариант
«Подручных таблиц» Птолемея. Оба эти произведения оказали большое
влияние на содержание основного персидского астрономического произве-
дения доисламского периода, так называемый «Шах-и-зидж» [Kennedy,
1956].
На сирийский язык «Альмагест» был переведен, по-видимому, в начале
VI	в. н.э. Сергием из Решайна (ум. в 536 г.), известным физиком и
философом, учеником Филопона. В VII в. в употреблении находилась также
сирийская версия «Подручных таблиц» Птолемея [Pingree, 1973, р.34].
     26 Греческий текст и перевод на немецкий см. [Manitius, 1909]; перевод на 
французский
см. [Halma, 1820, р.65-152].
   С начала IX в. «Альмагест» получил также распространение в странах
ислама — в арабских переводах и комментариях. Он значится среди первых
произведений греческих ученых, переведенных на арабский язык
[Steinschneider, 1960]. Переводчики использовали не только греческий
оригинал, но также сирийскую и пехлевийскую версии.
   
   Наиболее популярным среди астрономов стран ислама стало название
«Великая книга», звучавшее по-арабски как «Китаб ал-маджисти». Иногда,
впрочем, это сочинение называлось «Книгой математических наук» («Китаб
ат-та'алим»), что точнее соответствовало его первоначальному греческому
названию «Математическое сочинение».
   Существовало несколько арабских переводов и множество обработок
«Альмагеста», выполненных в разное время. Их примерный перечень, в
1892 г. насчитывавший 23 названия [Steinschneider, 1892], постепенно
уточняется. В настоящее время основные вопросы, связанные с историей
арабских переводов «Альмагеста», в общих чертах выяснены. Согласно
П.Куницшу, «Альмагест» в странах ислама в IX-XII вв. был известен по
крайней мере в пяти различных версиях:
1)	сирийский перевод, один из наиболее ранних (не сохранился);
   2)	перевод для ал-Ма'муна начала IX в., по-видимому, с сирийского;
его автором был ал-Хасан ибн Курайш (не сохранился);
   3)	еще один перевод для ал-Ма'муна, сделанный в 827/828 г.
ал-Хаджаджем ибн Юсуфом ибн Матаром и Сарджуном ибн Хилия ар-Руми,
по-видимому, также с сирийского;
   4)	и 5) перевод Исхака ибн Хунайна ал-Ибади (830-910), знаменитого
переводчика греческой научной литературы, сделанный в 879-890 гг.
непосредственно с греческого; дошел до нас в обработке крупнейшего
математика и астронома Сабита ибн Корры ал-Харрани (836-901), но в
XII в. был еще известен как самостоятельное произведение. Согласно
П.Куницшу, более поздние арабские переводы точнее передавали содержание
27
греческого текста  .
    В настоящее время основательно изучены многие арабские сочинения,
которые по существу представляют собой комментарии к «Альмагесту» или
его обработки, выполненные астрономами стран ислама с учетом результатов
их собственных наблюдений и теоретических изысканий [Матвиевская,
Розенфельд, 1983]. Среди авторов — выдающиеся ученые философы и
астрономы средневекового Востока. Астрономы стран ислама внесли
изменения большей или меньшей степени важности практически во все
разделы астрономической системы Птолемея. Прежде всего они уточнили
ее основные параметры: угол наклона эклиптики к экватору, эксцентриситет
и долготу апогея орбиты Солнца, средние скорости движения Солнца, Луны
и планет. Таблицы хорд они заменили синусами и ввели также целый
набор новых тригонометрических функций. Они разработали более точные
методы для определения важнейших астрономических величин, например
параллакса, уравнения времени и т.д. Были усовершенствованы старые и
разработаны новые астрономические инструменты, на которых регулярно
27
     Версия Хаджаджа ибн Матара известна в двух арабских рукописях, из которых 
первая
(Leiden, cod. or. 680, полная), датируется XI в. н.э., вторая (London, British 
Library, Add.7474),
сохранившаяся частично, восходит к XIII в. [Kunitzsch, 1974, S.38; 1986, S.3]. 
Версия
Исхака-Сабита дошла до нас в большем числе экземпляров различной полноты и 
сохранности,
из которых отметим следующие: 1) Tunis, Bibl. Nat. 07116 (XI в., полная); 2) 
Teheran,
Sipahsalar 594 (XI в., отсутствуют начало кн.1, таблицы и каталог звезд); 3) 
London, British
Library, Add.7475 (начало XIII в., KH.VII-XIII); 4) Paris, Bibl. Nat.2482 
(начало XIII в., KH.I-VI).
Полный список известных в настоящее время арабских рукописей «Альмагеста» см. 
[Kunitzsch,
1974, S.38-45; 1986, S.4]. Сравнительный анализ содержания различных версий 
переводов
«Альмагеста» на арабский язык см. [Kunitzsch, 1974, S.59-82].
     
проводились наблюдения, значительно превосходящие по точности наблю-
дения Птолемея и его предшественников.
    Значительную часть арабоязычной астрономической литературы состав-
ляли зиджи. Это были сборники таблиц — календарных, математических,
астрономических и астрологических, которые астрономы и астрологи
использовали в своей повседневной работе. В состав зиджей входили
таблицы, которые позволяли хронологически фиксировать наблюдения,
находить географические координаты места, определять моменты восхода и
захода светил, вычислять положения светил на небесной сфере для любого
момента времени, предвычислять лунные и солнечные затмения, определять
параметры, имеющие астрологическое значение. В зиджах приводились
правила пользования таблицами; иногда помещались также более или менее
28
развернутые теоретические доказательства этих правил  .
   Зиджи VIII—XII вв. создавались под влиянием, с одной стороны,
индийских астрономических произведений, а с другой — «Альмагеста» и
«Подручных таблиц» Птолемея. Немаловажную роль при этом играла также
астрономическая традиция домусульманского Ирана. Птолемеевскую астро-
номию в указанный период представляли «Проверенный зидж» Йахьи ибн
Аби Мансура (IX в. н.э.), два зиджа Хабаша ал-Хасиба (IX в. н.э.),
«Сабейский зидж» Мухаммада ал-Баттани (ок. 850-929), «Всеобъемлющий
зидж» Кушьяра ибн Лаббана (ок. 970-1030), «Канон Мас'уда» Абу Райхана
ал-Бируни (973-1048), «Санджарский зидж» ал-Хазини (первой половины
XII в.) и другие произведения. Особо нужно отметить «Книгу об элементах
науки о звездах» Ахмада ал-Фаргани (IX в.), содержащую изложение
астрономической системы Птолемея.
    В XI в. «Альмагест» был переведен ал-Бируни с арабского языка на
санскрит.
    В период поздней античности и в средние века греческие рукописи
«Альмагеста» продолжали сохранять и переписывать в регионах, на-
ходившихся под властью Византийской империи. Самые ранние дошедшие
до нас греческие рукописи «Альмагеста» датируются IX в.н.э. [Hei I,
p.III,IV; РА, р.З]. Хотя астрономия в Византии не пользовалась такой же
популярностью, как в странах ислама, однако любовь к античной науке
не угасала. Византия поэтому стала одним из двух источников, откуда
сведения об «Альмагесте» проникли в Европу.
    Птолемеевская астрономия первоначально стала известна в Европе
благодаря переводам зиджей ал-Фаргани и ал-Баттани на латинский язык.
Отдельные цитаты из «Альмагеста» в произведениях латинских авторов
встречаются уже в первой половине XII в. Однако в полном объеме это
произведение стало доступным ученым средневековой Европы лишь во второй
половине XII в.
   В 1175 г. выдающийся переводчик Герардо Кремонский, работавший в
Толедо в Испании, завершил латинский перевод «Альмагеста», использовав
при этом арабские версии Хаджаджа, Исхака ибн Хунайна и Сабита ибн
Корры [Kunitzsch, 1974, S.83-112; Haskins, 1924, р.103-107]. Этот перевод
приобрел большую популярность. Он известен в многочисленных рукописях
и уже в 1515 г. был издан типографским способом в Венеции [Ptolemaeus,
1515]. Параллельно или чуть позднее (ок. 1175-1250) появилось сокращенное
    28 Обзор содержания наиболее известных зиджей астрономов стран ислама см. 
[Kennedy,
1956].
   
изложение «Альмагеста» («Almagestum parvum»), пользовавшееся также
большой популярностью.
   Два (или даже три) других средневековых латинских перевода
«Альмагеста*, выполненных непосредственно с греческого текста, остались
менее известными [Hastens, 1924, р.157-165]. Первый из них (имя
переводчика неизвестно), озаглавленный «Almagesti geometria» и со-
хранившийся в нескольких рукописях, основан на греческой рукописи X в.,

Птолемей. Скульптура Йорга Сирлина Старшего
в Ульмском кафедральном соборе (ок. 1469-74)
(ист.: [SA, р.2])
которая была привезена в 1158 г. из Константинополя на Сицилию. Второй
перевод, также анонимный и еще менее популярный в средние века, известен
в единственной рукописи.
    Новый латинский перевод «Альмагеста» с греческого оригинала был
осуществлен только в XV в., когда с начала эпохи Возрождения в Европе
проявился обостренный интерес к античному философскому и естественно-
научному наследию. По инициативе одного из пропагандистов этого наследия
папы Николая V его секретарь Георгий Трапезундский (1395-1484) перевел
«Альмагест» в 1451 г. Перевод, весьма несовершенный и изобиловавший
ошибками, был тем не менее в 1528 г. издан печатным способом в Венеции
[Ptolemaeus, 1528] и переиздавался в Базеле в 1541 и 1551 гг.
    
    Недостатки перевода Георгия Трапезундского, известного по рукописи,
вызвали резкую критику астрономов, нуждавшихся в полноценном тексте
капитального труда Птолемея. Подготовка нового издания «Альмагеста»
связана с именами двух крупнейших немецких математиков и астрономов
XV в. — Георга Пурбаха (1423-1461) и его ученика Иоганна Мюллера,
известного под именем Региомонтан (1436-1476). Пурбах намеревался издать
латинский текст «Альмагеста», исправленный по греческому оригиналу, но
не успел закончить работу. Не смог довести ее до конца и Региомонтан,
хотя потратил много усилий на изучение греческих рукописей. Зато он
издал сочинение Пурбаха «Новая теория планет» (1473), в котором
разъяснялись основные моменты планетной теории Птолемея, и сам составил
краткое изложение «Альмагеста», опубликованное в 1496 г. [Regiomontanus,
1496]. Эти издания, вышедшие до появления печатного издания перевода
Георгия Трапезундского, сыграли важнейшую роль в популяризации учения
Птолемея. По ним с этим учением познакомился и Николай Коперник
[Веселовский, Белый, С.83—84 ].
   Греческий текст «Альмагеста» впервые был издан печатным образом в
Базеле в 1538 г. [Ptolemaeus, 1538].
CLAUDII PTOLEMAEI
ОРЕКА QUAE EXSTANT ОММА
VOLUMEN I.
   Отметим также виттенбергское издание книги I «Альмагеста» в
изложении Э.Рейнгольда (1549), которое послужило основой для ее перевода
на русский язык в 80-х годах
XVII в. неизвестным переводчи-
ком. Рукопись этого перевода не-
давно обнаружена В.А.Бронштэном
в библиотеке Московского универ-
ситета [Бронштэн, 1996; 1997].
8YNTAXI8 MATHEMATICA
J. L. HEIBERG,
ПОГМ10Я ЖДГЖШЮН.
PARS I
LIBROS I-VI COSTINENS.
Титульный лист издания греческого текста
«Альмагеста» под ред. И.Гейберга
      Греческий текст в издании И.Гейберга основывается на семи греческих 
рукописях, из
которых наиболее важны следующие четыре: A) Paris, В1Ы. Nat., gr.2389 (полная, 
IX в.);
В) Vaticanus, gr.1594 (полная, IX в.); С) Venedig, Маге, gr.313 (полная, X в.); 
D) Vaticanus
gr.180 (полная, X в.). Буквенные обозначения рукописей введены И.Гейбергом [Hei 
I, p.III-V].
    Новое издание греческого тек-
ста вместе с французским перево-
дом осуществил в 1813-1816 гг.
Н.Альма [Halma, 1813, 1816]. В
1898-1903 гг. вышло в свет из-
дание греческого текста И.Гейбер-
га, удовлетворяющее современным
научным требованиям [Hei I, II] 9.
Оно послужило основой для всех
последующих переводов «Альмаге-
ста» на европейские языки: немец-
кого, который опубликовал в
1912-1913 гг. К.Манициус [НА I,
II; 2-е изд., 1963], и двух ан-
глийских. Первое из них принад-
лежит Р.Тальяферро [Taliaffero,
1952] и отличается невысоким
качеством, второе — Дж. Тум еру
[РА]. Комментированное издание
«Альмагеста» на английском языке
Дж.Тумера считается в настоящее
    
время наиболее авторитетным среди историков астрономии. При его
создании, помимо греческого текста, использовался также целый ряд
арабских рукописей в версиях Хаджаджа и Исхака-Сабита [РА, р.3-4].
   На издании И.Гейберга основывается и перевод И.Н.Веселовского,
публикуемый в настоящем издании. И.Н.Веселовский во введении к своим
комментариям к тексту книги Н.Коперника «О вращениях небесных сфер»
писал: «Для составления комментариев к «De Revolutionibus* пришлось
перевести с греческого текст «Megale Syntaxis* Птолемея; в моем
распоряжении находилось издание аббата Альма (Halma) с примечаниями
Деламбра (Paris, 1813-1816)» [Коперник, 1964, с.469]. Отсюда как будто
следует, что перевод И.Н.Веселовского основывался на устаревшем издании
Н.Альма. Однако в архиве Института истории естествознания и техники
РАН, где хранится рукопись перевода, обнаружен также экземпляр издания
греческого текста И.Гейберга, принадлежавший И.Н.Веселовскому. Непо-
средственное сличение текста перевода с изданиями Н.Альма и И.Гейберга
показывает, что свой предварительный перевод И.Н.Веселовский переработал
в дальнейшем в соответствии с текстом И.Гейберга. На это указывают,
например, принятая нумерация глав в книгах, обозначения на рисунках,
форма, в которой даны таблицы, и множество других деталей. В своем
переводе, кроме того, И.Н.Веселовский учел большую часть исправлений,
которые внес в греческий текст К.Манициус.
    Особо следует также отметить вышедшее в 1915 г. критическое
английское издание звездного каталога Птолемея, предпринятое Х.Петерсом
и Э.Ноублом [Р.-К.].
7. О литературе, посвященной «Альмагесту» Птолемея
   С «Альмагестом» связано большое количество научной литературы, как
астрономической, так и историко-астрономической по своему характеру. В
ней отразились прежде всего стремление осмыслить и разъяснить теорию
Птолемея, а также попытки усовершенствовать ее, которые неоднократно
предпринимались в древности и в средние века и завершились созданием
учения Коперника.
    С течением времени не уменьшается — а пожалуй, даже увеличивает-
ся — проявившийся с древности интерес к истории возникновения
«Альмагеста», к личности самого Птолемея. Дать сколько-нибудь удовлет-
ворительный обзор литературы, посвященной «Альмагесту», в краткой статье
невозможно. Это большая самостоятельная работа, выходящая за рамки
настоящего исследования. Здесь же приходится ограничиться указанием
небольшого числа работ, преимущественно современных, которые помогут
читателю ориентироваться в литературе о Птолемее и его труде.
    Прежде всего следует упомянуть о наиболее многочисленной группе
исследований (статей и книг), посвященных анализу содержания «Альма-
геста» и определению его роли в развитии астрономической науки. Эти
проблемы рассматриваются в сочинениях по истории астрономии, начиная
с самых старых, например, в вышедшей в 1817 г. двухтомной «Истории
астрономии в древности» ЖДеламбра [Delambre, 1817], «Исследованиях по
истории древней астрономии» П.Таннери [Tannery, 1893], «Истории
планетных систем от Фалеса до Кеплера» Дж.Дрейера [Dreyer, 1906;
2-е изд., 1953], в капитальном труде ПДюэма «Системы мира» [Duhem,
1913-1959], в виртуозно написанной книге О.Нейгебауэра «Точные науки
в древности»  [Нейгебауэр,  1968].  Содержание «Альмагеста» исследуется
    
также в работах по истории математики и механики. Среди трудов русских
ученых особо нужно отметить работы И.Н.Идельсона, посвященные
планетной теории Птолемея [Идельсон, 1975], И.Н.Веселовского и Ю.А.Бе-
лого [Веселовский, 1974; Веселовский, Белый, 1974], В.А.Бронштэна
[Бронштэн, 1988; 1996] и М.Ю.Шевченко [Шевченко, 1988; 1997].
   Результаты многочисленных исследований, выполненных к началу 70-х
годов, касающихся «Альмагеста» и истории античной астрономии вообще,
суммированы в двух фундаментальных трудах: «Истории античной мате-
матической астрономии» О.Нейгебауэра [НАМА] и «Обзоре "Альмагеста"»
О.Педерсена [SA]. Тот, кто пожелает серьезно заняться «Альмагестом», не
сможет обойтись без этих двух выдающихся произведений. Большое число
ценных комментариев, касающихся разных сторон содержания «Альмаге-
ста» — истории текста, вычислительных процедур, греческой и арабской
рукописной традиции, происхождения параметров, таблиц и т.д., можно
найти в немецком [НА I, II] и английском [РА] изданиях перевода
«Альмагеста».
   Исследования «Альмагеста» продолжаются и в настоящее время с не
меньшей интенсивностью, чем в предшествующий период, по нескольким
основным направлениям. Наибольшее внимание уделяется вопросам про-
исхождения параметров астрономической системы Птолемея, принятых им
кинематических моделей и вычислительных процедур, истории звездного
30
каталога . Много внимания уделяется также изучению роли предшест-
венников Птолемея в создании геоцентрической системы, а также судьбе
учения Птолемея на средневековом мусульманском Востоке, в Византии и
Европе.
   Более подробные ссылки на литературу приведены по ходу изложения
в комментариях к переводу текста труда Птолемея.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
      Большую известность в этой связи приобрели работы Р.Ньютона [Ньютон, 1985 
и др.],
который обвиняет Птолемея в подделке данных астрономических наблюдений и в 
сокрытии
существовавшей до него астрономической (гелиоцентрической?) системы. 
Большинство историков
астрономии отвергает глобальные выводы Р.Ньютона, признавая при этом, что 
некоторые его
результаты, касающиеся наблюдений, нельзя не признать справедливыми.
      
Переводчик «Альмагеста» И.Н.Веселовский
С.В.Житомирский

    
    Предлагаемый перевод «Альмагеста» выполнен механиком, математиком
и историком науки профессором Иваном Николаевичем Веселовским
(1892-1977). В предисловии к книге «Пробуждающаяся наука» также
математика и историка Б.Л.Ван-дер-Вардена, которую И.Н.Веселовский
перевел в 1958 г., он написал: «Авторов, пишущих об истории науки,
можно разделить на четыре группы. К первой относятся люди, хорошо
знающие свою науку, но не облада-
ющие достаточными сведениями по
истории, ко второй, наоборот, те,
которые хорошо знают историю, но
не являются специалистами в науке
(к этому классу принадлежат почти
все историки, которым приходится
касаться области науки в своих со-
чинениях по общей истории). К со-
жалению, довольно многочисленна
группа авторов, не знающих как
следует ни истории, ни науки, но
совсем мало таких, которые хорошо
знают и свою науку, и вполне по-
нимают значение исторических ус-
ловий ее развития». К этой последней
группе историков науки И.Н.Весе-
ловский причислял Ван-дер-Вардена,
но, несомненно, к ней принадлежал
и он сам.
   И.Н.Веселовский родился 26(14)
ноября 1892 г. в Москве в профессор-
ской семье. Его отец Николай Нико-
лаевич Веселовский (1859-1921),
ученый-геодезист, был директором
Константиновского Межевого институ-
та (в настоящее время — Московский институт инженеров геодезии,
аэрофотосъемки и картографии, МИИГАиК), мать — Ольга Николаевна
Веселовская (в девичестве Гуляева). И.Н.Веселовский блестяще закончил
классическую гимназию в Москве (первым учеником, следующего за ним
по уровню учителя сочли только шестым), а в 1916 г. — математическое
отделение физико-математического факультета Московского университета.
    После окончания университета И.Н.Веселовский был оставлен для
подготовки к профессорскому званию (что почти эквивалентно современной
аспирантуре).   Вероятно,   именно   Жуковский   привил   ему   интерес   к
© С.В.Житомирский,   1998

гуманитарным аспектам математики и механики, в частности к истории
науки. Иван Николаевич вспоминал, что по совету Жуковского в программу
его аспирантской подготовки вошел целый ряд сугубо гуманитарных курсов.
Несколько лет он проработал инженером-исследователем в ЦАГИ под
руководством Н.Е.Жуковского, затем в Госплане. В 1921 г. он стал
сотрудником Аэродинамической лаборатории Московского высшего техниче-
ского училища (впоследствии им. Н.Э.Баумана). С 1925 г. и до выхода на
пенсию Иван Николаевич читал курсы и вел в этом институте практические
занятия по теоретической механике сначала в качестве рядового препода-
вателя, а позже профессора. В 1932 г. вышел учебник И.Н.Веселовского
«Векторная алгебра и ее применение к аналитической геометрии и
механике». Он — автор целого ряда учебных пособий и курсов по математике
и теоретической механике. Скончался И.Н.Веселовский 24 июня 1977 г. в
Москве.
   В историю науки И.Н.Веселовский, как и многие другие историки,
пришел из живой действующей науки. История стала для него увлечением,
которое со временем превратилось в главное дело жизни. Незаурядные
филологические способности и интерес к истории культуры определили
основное направление его исследований в этой области.
   Как полушутя рассказывал Иван Николаевич в одном из выступлений,
все началось с увлечения Данте, которое побудило молодого сотрудника
ЦАГИ изучить итальянский язык. Но тут выяснилось, что эпоху
Возрождения нельзя понять без знания классического наследия, и ему
пришлось серьезно заняться изучением трудов античных авторов. Позже
ему, как математику и механику, знающему древнегреческий, предложили
отредактировать переводы на русский язык некоторых сочинений Герона
Александрийского. Один из них был сделан с немецкого и содержал массу
несообразностей. Редактору, чтобы в них разобраться, пришлось озна-
комиться с древнегреческой математикой. (Рукописи этих неопубликованных
работ И.Н.Веселовского находятся в архиве ЙИЕиТ РАН.) Сходная ситуация
возникла и при редактировании «Начал» Евклида. Формально И.Н.Весе-
ловский должен был только принять участие в комментировании перевода
Д.Д.Мордухай-Болтовского, но практически он в значительной мере
исправил и его перевод.
   Иван Николаевич знал много языков, читал на новогреческом,
Ван-дер-Вардена перевел с голландского (хотя его книга уже вышла в
немецком и английском переводах); занявшись Коперником, изучил
польский. Скрупулезность, основательность и стремление добраться до сути,
были важными чертами его характера.
    Основным направлением историко-научной работы И.Н.Веселовского
были перевод и комментирование классиков античной и средневековой
науки. Им непосредственно или при его участии подготовлены издания
переводов Евклида (1948-1950 гг.), Аристарха Самосского (1961), Архимеда
(1962), Коперника (1964), Диофанта (1974); в рукописях хранятся переводы
механических сочинений Герона Александрийского и Иордана Неморария.
Большинство этих работ И.Н.Веселовский выполнял по собственной
инициативе, не имея гарантий на их публикацию. Так, он перевел
единственное сохранившееся сочинение Аристарха «О величинах и рассто-
яниях Солнца и Луны» и предложил его в сборник «Историко-астро-
номические исследования». Редколлегия сборника попросила И.Н.Веселовского
расширить тему. В результате появилось интересное исследование «Аристарх
    
Самосский — Коперник античного мира», в которое полностью вошли текст
Аристарха и комментарии к нему И.Н.Веселовского.
   Но случалось и по-другому. Два его весьма важных перевода остались
неопубликованными. Один из них — перевод труда итальянского астронома
и историка науки Д.Скиапарелли (1833-1910) «Гомоцентрические сферы
Евдокса и Калиппа», в котором итальянский ученый привел сохранившиеся
данные и дал реконструкцию этой первой в истории науки кинематико-
геометрической модели Вселенной. Второй — предлагаемый читателю
перевод «Альмагеста».
   Причина, по которой издательства отказывались от публикации «Альма-
геста», достаточно характерна для эпохи «развитого социализма». В свое
время И.В.Сталин произнес сакраментальную фразу «обветшалая система
Птолемея», и тем самым Птолемей был вычеркнут из числа авторов,
допустимых к публикации. Стереотип сталинского времени продолжал
действовать в 60-е годы. Получив отказ в публикации перевода, И.Н.Ве-
селовский прекратил работу над ним, и таким образом, перевод остался
без комментариев. Об этом можно только сожалеть, поскольку И.Н.Весе-
ловский был оригинально мыслящим ученым, который замечал то, мимо
чего проходили другие исследователи. Это был особый дар, в основе которого
лежали глубокая филологическая подготовка, математический образ мыш-
ления, широчайшая эрудиция во многих областях науки и культуры.
   Так, перевод книги Скиапарелли послужил толчком для оригинального
решения вопроса «о гиппопеде» — кривой, служившей, по Евдоксу,
траекторией видимых движений планет, — наиболее темного места в модели
гомоцентрических сфер. Это решение И.Н.Веселовский изложил в докладе
«Неевклидова геометрия в древности», прочитанном на XIII Международном
конгрессе по истории науки, проходившем в Москве в августе 1971 г.
Представляет интерес его периодизация сочинений Архимеда, опубликован-
ная во вступительной статье к их изданию. И.Н.Веселовский установил,
что самое раннее из дошедших до нас математических сочинений Архимед
написал, будучи зрелым человеком, в возрасте около сорока лет. Это
открытие совершенно по-новому осветило образ великого ученого.
   И.Н.Веселовский был не только переводчиком и комментатором со-
чинений античных авторов, но и оригинальным исследователем проблем
истории науки. Ему принадлежит ряд фундаментальных работ по истории
математики, механики и астрономии. Он написал работы — «Египетская
наука и Греция» (1948 г.), «Вавилонская математика» (1955 г.; по
материалам докторской диссертации, защищенной в 1952 г.), «Звездная
астрономия Древнего Востока» (1963), «Египетские деканы» (1969), «Кеплер
и Галилей» (1972 г.), «Коперник и Насир ад-Дин ат Туси» (1973 г.),
«Астрономия орфиков» (опубликована посмертно в 1982 г.) и др. Он автор
научно-популярных книг об Архимеде, Гюйгенсе и Копернике (в соавторстве
с Ю.А.Белым), по своему уровню превосходящих многие сугубо научные
исследования, обобщающей работы «Очерки по истории теоретической
механики».
   Отрадно, что издание выполненного И.Н.Веселовским перевода «Альма-
геста» — величайшего астрономического трактата древности, хотя и с
большим опозданием, все же состоялось.
   
Календарь и хронология в «Альмагесте»
Г.Е. Кур тик
   
   Развитие математической астрономии стало возможным лишь после того,
как утвердилось представление об абсолютной математической шкале
времени, позволявшей фиксировать положение любого астрономического
события относительно некоторой начальной точки и определять промежутки
времени между наблюдениями. Такая шкала предполагает выбор единицы
измерения. Естественной астрономической единицей являются сутки. Шкала
будет задана в том случае, если разработан метод, позволяющий определять
количество суток, прошедших между двумя моментами времени ^ и t^. Все
календарные системы, используемые в астрономии, так или иначе решают
эту проблему. Наиболее простым является метод сплошного счета суток,
принятый в так называемой юлианской системе, предложенной Скалигером
в XVI в., где каждые сутки получают свой абсолютный номер JD.
   Календарная система, использованная в «Альмагесте» для определения
хронологической шкалы, была ненамного сложнее. Она основывалась на так
называемом египетском календаре и эре Набонассара. Египетский год,
имевший постоянную продолжительность, состоял из 365 суток, подразде-
лявшихся на 12 месяцев по 30 суток в каждом плюс 5 дополнительных
суток (эпагомен), прибавлявшихся в конце. Такой год употреблялся в
Древнем Египте как основа гражданского календаря на протяжении всего
Династического периода (конец IV-I тыс. до н.э.) и был заимствован позднее
эллинистическими астрономами в качестве удобной хронологической еди-
ницы для построения математической шкалы времени . Его отличительная
особенность — математический характер, несвязанность с какими-либо
астрономическими наблюдениями. Начало года в египетском календаре
смещалось относительно характеристических точек солнечного года на одни
сутки за четыре года.
    Птолемей и другие эллинистические астрономы использовали греческие
эквиваленты для египетских названий месяцев : тот, фаофи, атир, хойак,
тиби, мехир, фаменот, фармути, пахон, паини, эпифи, месоре. Нумерация
дней на протяжении месяца была сплошная.
    Начальная эпоха (введенная, вероятно, еще Гиппархом), относительно
которой велся счет годов в календаре Птолемея, соответствует истинному
полудню в Александрии 1-го числа месяца тот 1-го года Набонассара, что
соответствует дате -746, февр. 26, 12h, согласно астрономическому счету
годов в юлианском календаре. Выбор эпохи объясняется Птолемеем в кн.Ш,
     О схематическом гражданском календаре в Древнем Египте см. [Parker, 1950, 
р.7-8;
Чикерман, 1975, с.35-38; Куртик, 1990, с.216-220].
     2 В греческом тексте «Альмагеста», опубликованном Гейбертом [Hei I, II], 
названия месяцев
пишутся с прописной буквы; эта особенность получила отражение в переводе И.Н.
Веселовского.
© Г.Е.Куртик,   1998

гл.7, с.98,99; он утверждает, что начиная только лишь с этой даты до него
дошли древние наблюдения3.
   В аналогичной ситуации находился, вероятно, уже Гиппарх [НАМА,
р.320 ]; все наблюдения, цитируемые Птолемеем из древних списков, прошли,
по-видимому, предварительную обработку Гиппарха.
   В своей модификации древнеегипетского календаря Птолемей использует
полуденную эпоху для определения момента смены даты. Основания для
ее введения обсуждаются в кн.Ш, гл.9, с. 101,102. Они носят чисто
астрономический характер. Согласно Птолемею, отсчет суток относительно
горизонта по восходу или заходу Солнца (и связанные с этим восходная
и заходная эпохи суток) неудобен вследствие сезонных и широтных
колебаний моментов восходов и заходов, тогда как прохождения Солнца
через меридиан имеют незначительные отклонения от средних значений
(обусловленные солнечной аномалией) и не зависят от изменения гео-
графической широты. Но в записях наблюдений, которыми пользовались
Птолемей и его предшественники, даты нередко фиксировались в граждан-
ском календаре, где была принята либо заходная система (как в лунных
календарях, где основное событие — первая видимость серпа Луны вечером),
либо восходная система (как в древнеегипетском гражданском календаре).
Перед астрономами, таким образом, стояла задача приведения наблюдений
к единой эпохе суток.
     Сообщение Птолемея подтверждается клинописными источниками. Самый ранний —
вавилонский астрономический дневник, содержащий записи наблюдений, датируется 
-651 г.
[Sachs, Hunger, 1988, p.42-46], но хронологически фиксированные наблюдения 
производились,
вероятно, уже в середине VIII в. до н.э. [LBAT, Р.XXXI]. Дополнительное 
подтверждение
этому — три вавилонских лунных затмения, которые приводит Птолемей (KH.IV, ГЛ.
6),
датируемые 27 и 28 годами эры Набонассара (-720 март 19; -719, март 8; -719, 
сент. 1).
Можно думать, что с середины VIII в. до н.э. наблюдения в Месопотамии 
хронологически
фиксировались, так что астроном более позднего времени всегда мог сказать, 
какое число суток
прошло от интересующего его древнего наблюдения до его эпохи. Обсуждение данной 
проблемы
см. [Тоотег, 1988, Р.359-360; Куртик, 1989, с.41-42]. Эра Набонассара играла, 
по-видимому,
важную роль в истории не только античной астрономии, но и самой Месопотамии 
[Hallo,
1988].
     4 В эллинистический период двойные датировки употреблялись и в не 
связанных с
астрономией областях [НАМА, р. 1068].
   Обе системы (восходная и заходная) использовались в эллинистическом
Египте и Греции параллельно. При этом дневные наблюдения приходились
на одну и ту же дату, а ночные датировались по-разному: как «день п»
в восходной системе и «день п + 1» в заходной. Чтобы избежать
неопределенности, приводили обе даты. Такой практике следовал, по-видимо-
му, уже Гиппарх4. Птолемей приводит много двойных дат типа «месяц
N, день п/п + 1», причем только для ночных наблюдений. Первое число в
них обозначает номер дня в египетском месяце, если считать дни от восхода
Солнца. Второе число означает, что в заходной системе ночь, о которой
идет речь, относится к суткам с номером п + 1. Птолемей, как житель
Египта, в своей повседневной практике, несомненно, пользовался древне-
египетским календарем, в котором дата изменялась при восходе Солнца.
Поэтому в «Альмагесте» для дневных (и некоторых ночных) наблюдений
даты всегда приводятся в восходной системе.
   
   У Птолемея необходимо также различать датировки наблюдений и
пересчитанные даты, связанные с необходимостью производить вычисления
по таблицам. Наблюдения датируются, как правило, с использованием либо
восходной системы, либо двойных дат. Полуденная же эпоха используется
только для приведения зафиксированных в источниках дат к единой
хронологической шкале с фиксированным началом (относительно которого
в таблицах указаны положения Солнца, Луны и планет). Полуденная
эпоха — это фундаментальная эпоха всех птолемеевых эфемерид5.
    Год наблюдений Птолемей определяет двумя способами — чаще всего
как соответствующий год эры Набонассара, но иногда также как год
правления какого-либо царя. Последний способ предполагает наличие списка
царей, где были бы указаны годы их правления. Такой список, известный
под названием «Царского канона», включен Птолемеем в его «Подручные
таблицы». В нем для каждого царя указано целое число лет правления в
египетских годах и число лет, соответствующих концу правления царя от
начала эры Набонассара.
    Первый год правления каждого царя, насколько можно судить по
независимым источникам, начинался 1-го числа месяца тот того года, в
котором действительно началось правление, то есть год, не полностью
прожитый  царем,   в  этом  списке  считался  первым  годом  правления
следующего царя [Halma, 1822, р. 139—143 ]6.
   Мы приводим здесь современную реконструкцию «Царского канона»,
выполненную Дж.Тумером [РА, р. 11]. Ее назначение — облегчить
преобразование указанных Птолемеем годов правления в годы эры
Набонассара, и нахождение соответствующих дат по юлианскому календарю.
В таблице даны имена царей в том виде, как их приводит Птолемей, и
7
     5	К сожалению, единственная известная нам работа по истории календаря в 
«Альмагесте»
на русском языке [Шпилевский, 1988] содержит ряд принципиально ошибочных 
положений.
Так, А.В.Шпилевский утверждает, что Птолемей использовал для датировки 
наблюдений такую
модификацию древнеегипетского календаря, в которой дата изменялась в полдень. 
На этом
основании он «исправляет» приведенную Птолемеем дату осеннего равноденствия (кн.
Ш, гл.1,
с.80,91) с 9-го на 8-е атира, не замечая при этом, что если принять его 
гипотезу, то в
«Альмагесте» необходимо будет изменить и несколько других дат наблюдений 
Птолемея и
Гиппарха, а именно те, что попадают в промежуток от восхода Солнца до полудня 
(например,
дату наблюдения Солнца, приведенную в KH.V, ГЛ.З, с. 139 с 25-го на 24-е 
фаменота, и ряд
других). Необходимость исправлений отпадает, если допустить, что указанные даты 
приведены
в восходной системе. А.В.Шпилевский также ошибочно полагает, что Гиппарх в 
египетском
календаре использовал полуночную систему суток. Ошибочность этого утверждения 
становится
ясной, если проанализировать 11-летний интервал между проведенными Гиппархом 
наблю-
дениями весенних равноденствий 27 мехира 32 года III периода Калиппа (-145, 
март 24) и
29 мехира 43 года этого же периода (-134, март 23). В настоящем примечании мы 
использовали
материалы, любезно предоставленные в наше распоряжение Ю.А.Завенягиным.
6	_
     Современное издание см. [Usener, 1898, S.438-455]. Сохранилось несколько 
вариантов
«Царского канона» более позднего времени и один более ранний, но сильно 
отличающийся от
включенного в «Подручные таблицы» [НАМА, р. 1025-1026; РА, р.Ю, п. 12]. 
Подобные списки
в дальнейшем регулярно продлевались вплоть до византийской эпохи.
     И то и другое мы приводим по [Бикерман, 1975, с.106-107], имена римских 
императоров
даются в обычном латинском написании.
их русские эквиваленты . Годы, прошедшие от начала эры Набонассара,
соответствуют концу правления данного царя. Таблица не претендует на
историческое правдоподобие и служит только для удобства читателя в работе
с текстом «Альмагеста» и другими работами Птолемея.

«Канон царей» Птолемея

Но-
мерПравительПринятая форма имениГоды
прав-
ленияГоды
от эры
Набо-
нассараДата начала
правления
в юлианском
календаре1234561
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31Цари [Аса
Nabonassaroy
Nadfoy
Khinzeros kai Рогоу
Iloylaioy
Mardokempddoy
Arkeanoy
abasileyta
Biliboy
Aparavadioy
Rhegebeloy
Mesesimordakoy
abasileyta
Asaradinoy
Saosdoykhinoy
Kineladdnoy
Nabopalassaroy
Nabokolassaroy
Illoaroyddmoy
Nerigasolassaroy
Nabonadioy
Цари
Kyroy
Kambysoy
Dareioy protoy
Хёгхоу
Artaxe'rxoy protoy
Dareioy deyteroy
Artaxerxoy deyteroy
6"khoy
Arogoy
Dareioy tritoy
Alexandroy
Makedonosлрии и Вавилона]
Набонассар (Набу-нацир)
Набу-надин-зери
Укин-зер и Пулу (Тиглатпа-
ласар III)
Улулай (Салманасар V)
Мардук-апла-иддин II
Аркеан (Саргон II)
междуцарствие
Бел-ибни
Ашшур-надин-шуми
Нергал-ушезиб
Мушезиб-Мардук
междуцарствие
Асархаддон
(Ашшур-ахиддина)
Шамаш-шум-укин
Кандалану
Набопаласар
Навуходоносор II
Амель-Мардук (Авимелех)
Нериглиссар
Набонид
персов
Кир
Камбиз
Дарий I
Ксеркс
Артаксеркс I
Дарий II
Артаксеркс 11
Ох (Артаксеркс III)
Аре
Дарий III
Александр Македонский14
2
5
5
12
5
2
3
6
1
4
8
13
20
22
21
43
2
4
17
9
8
36
21
41
19
46
21
2
4
814
16
21
26
38
43
45
48
54
55
59
67
80
100
122
143
186
188
192
209
218
226
262
283
324
343
389
410
412
416
424-746 февр. 26
-732 февр. 23
-730 февр. 22
-725 февр. 21
-720 февр. 20
-708 февр. 17
-703 февр. 15
-701 февр. 15
-698 февр. 14
-692 февр. 13
-691 февр. 12
-687 февр. 11
-679 февр. 9
-666 февр. 6
-646 февр. 1
-624 янв. 27
-603 янв. 21
-560 янв. 11
-558 янв. 10
-554 янв. 9
-537 янв. 5
-528 янв. 3
-520 янв. 1
-485 дек. 23
-464 дек. 17
-423 дек. 7
-404 дек. 2
-358 нояб. 21
-337 нояб. 16
-335 нояб. 15
-331 нояб. 14
Но-
мер

Правитель

Принятая форма имени

Годы
прав-
ления
Годы
от эры
Набо-
нассара

Дата начала
правления
в юлианском
календаре


Македонские цари

32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43

Philippoy toy met'
Alexandron ton ktisten
Alexandroy heteroy
Ptolemaioy Lagoy
Philadelphoy
Evergetoy
Philopatoros
Epiphdnoys
Philometoros
Evergetoy deyteroy
Soteros
Dionysoy neoy
Kleopatras

Александр
Птолемей
Птолемей
Птолемей
Птолемей
Птолемей
Птолемей
Птолемей
Птолемей
Птолемей
Клеопатра
II
I	Лаг
II Филадельф
III Эвергет I
IV	Филопатор
V	Эпифан
VI	Филометор
VIII	Эвергет П
IX	Сотер II
XII Авлет
VII


12
20
38
25
17
24
35
29
36
29
22

431

443
463
501
526
543
567
602
631
667
696
718

-323 нояб. 12

-316 нояб. 10
-304 нояб. 7
-284 нояб.
-246 окт.
-221 окт.
-204 окт.
-180 окт.
-145	сент.	29
-116	сент.	21
- 80	сент.	12
- 51	сент.	5
- 
Цари римлян

44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55

Augustus
Tiberius
Gaius
Claudius
Nero
Vespasianus
Titus
Domitianus
Nerva
Trajanus
Hadrianus
Antoninus
Август
Тиберий
Калигула
Клавдий
Нерон
Веспасиан
Тит
Домициан
Нерва
Траян
Адриан
Антонин Пий

43
22
4
14
14
10
3
15
1
19
21
23
761
783
787
801
815
825
828
843
844
863
884
907

- 29 авг.
14 авг.
36 авг.
40 авг.
54 авг.
68 авг.
78 авг.
81 авг.
96	июль 30
 97	июль 30
116 июль 25
137 июль 20
 

Рассмотрим два примера вычислений.
    1.	Найти год по эре Набонасара, соответствующий пятому году
правления царя Набопаласара (KH.V, ГЛ.14, С.161). К годам от эры
Набонассара до начала правления Набопаласара, приведенном в столбце 5
в предыдущей строке, прибавим 5; получаем 127, в полном согласии с
текстом.
    2.	Определить дату затмения Луны, наблюдавшегося, согласно Птолемею
(KH.IV, ГЛ.6, с. 119), во второй год правления Мардокемпада (Мардук-апла-
иддин II) с 15-го на 16-е число месяца фаменот за 31/2 равноденственных
часа до полуночи. При определении дат по юлианскому календарю
необходимо помнить, что годы, номера которых делятся на 4, високосные,
остальные — простые. Согласно таблице, начало 1-го года правления
Мардокемпада приходится на -720, февр. 20, полдень в Александрии. Год
високосный и, значит, началом 2-го года правления будет -719, февр. 19,
    
полдень. От начала юлианского года до начала египетского прошло, таким
образом, 49d12h. Месяц фаменот — седьмой в египетском календаре, кроме
того нужно учесть, что в двойных датировках ночных наблюдений первое
число обозначает номер дня в египетском месяце при отсчете дней от
полудня.  Поэтому от начала египетского года до указанного момента
середины лунного затмения прошло 30d х 6 + 14d + 8;30h = 194d8;30h, а от
начала  текущего  юлианского  года  49d12h+ 194d8;30h = 243d20;30h,   что
о
соответствует 1 сентября . Таким образом, дата наблюдения по юлианскому
календарю: -719, сент. 1.
   Альтернативный (более простой и надежный) способ определения даты
по юлианскому календарю предполагает нахождение юлианской даты JD по
известной дате от эры Набонассара9 с последующим переходом к юлианскому
календарю.
   Кроме египетского календаря, важную роль в «Альмагесте» играет также
ряд других календарных систем. Нередко в нем приводятся двойные или
даже тройные датировки наблюдений. Как правило, Птолемей сначала
приводит дату, зафиксированную в источнике, и лишь затем эквивалентную
ей дату по египетскому календарю. Кратко рассмотрим календари,
упоминаемые в «Альмагесте».
   Ряд наблюдений датируется с использованием элементов афинского
гражданского лунно-солнечного календаря. В Афинах год начинался с первым
новолунием после летнего солнцестояния и связывался с именем должно-
стного лица архонта-эпонима, приступавшего к исполнению своих обязан-
ностей в начале года10. Начало месяца совпадало с неоменией — первой
видимостью серпа Луны после захода Солнца. Соответственно сутки
начинались также с заходом Солнца. Чтобы удержать начало года вблизи
летнего солнцестояния, вставлялся дополнительный тринадцатый месяц.
Поэтому год мог содержать 12 или 13 лунных месяцев. Однако никакого
правила, регулирующего эти вставки — интеркаляции, не существовало.
Афиняне использовали следующие названия месяцев: гекатомбион, ме-
тагитнион, боэдромион, пианепсион, мемактерион, посидеон, гамелион,
антестерион, элифеболион, мухинион, таргелион, скирофорион; некоторые
из этих названий приводит Птолемей  .
   Около 30 наблюдений датируется с помощью так называемых циклов
Калиппа. Лунно-солнечный календарный цикл предполагает определенное
соотношение между числом солнечных годов и соответствующим числом
лунных месяцев. Кроме того он требует, чтобы вставки дополнительных
     Если известно число дней, прошедших от начала юлианского года до 
интересующей нас
даты, то соответствующие месяц и число легко установить при помощи таблицы для 
счета
дней в юлианском году, приводимой во многих изданиях по истории календаря. См., 
например,
[Климишин, 1985, с.317].
' Соответствующие таблицы можно найти в работе [Schram, 1908, S. 182-189].
10 Список афинских архонтов см. [Бикерман, 1975, с.204-205; Samuel, 1972, р.
195-237].
" Подробнее об афинском календаре см. [Бикерман, 1975, с.29-33; Samuel, 1972, р.
57-64].
месяцев и чередование полных и пустых (соответственно по 30d и 29d)
месяцев производились строго по определенным правилам. Последнее
требование, однако, не является обязательным. В Месопотамии, например,
продолжительность месяца на протяжении 19-летнего цикла определялась
не теоретически,  а непосредственно наблюдением;  это значение затем

фиксировалось в дневниках наблюдений [Ван-дер-Варден, 1991, с.160;
НАМА, р.622]. С помощью календарных циклов греческие астрономы
стремились установить простую схему для чередования лунных месяцев,
эквивалентную египетскому календарю, чтобы задать линейную шкалу
времени.
   Циклы Калиппа продолжают традицию, начатую Метоном, открывшим
(вероятно, не без помощи вавилонской астрономии) и введшим в
употребление в Афинах 19-летний лунно-солнечный цикл, в основе которого
было соотношение: 19у = 235m = 6940d (отсюда 1у = 365V4d + i/76d). Общее
число вставок в этом цикле равнялось 7 (так как 235т = 19 х 12т + 7т),
число полных месяцев 125, а пустых 110 (так что 125 x 30d+110x29d=6940d),
и за начало первого цикла (как утверждают греческие источники) была
принята дата солнцестояния -431, июнь 27 (наблюдавшегося в Афинах при
архонте Апсевде Метоном и Евктемоном); в афинском календаре этой дате
соответствовало 13 скирофориона. Дата 13 скирофориона свидетельствует о
том, что начало цикла не совпадало с началом лунного месяца. Отсюда
возникает проблема определения начальной точки в цикле Метона, подробно
обсуждавшаяся в литературе. Она решается, если предположить, что дату
солнцестояния Метон наблюдал на самом деле не в связи с 19-летним
циклом, а для фиксации определенной точки солнечного года при построении
своей парапегмы [НАМА, р.622]. По этому вопросу см. также [Samuel,
1972, р.44-45; Ньютон, 1985, с.102-104].
   В своем календаре Метон использовал афинские названия месяцев.
Ничего неизвестно о принятом им порядке интеркаляций и правиле
чередования полных и пустых месяцев на протяжении цикла.
   По мнению Дж.Тумера [РА, р.12, п.18; р.211, п.62], в «Альмагесте»
(KH.IV, гл. 11) три лунных затмения датируются в календаре Метона.
Подробнее о календаре Метона и его деятельности как астронома см.
[Тоотег, 1974(1); Bowen, Goldstein, 1988].
    Калипп при создании своего цикла исходил из принятого Метоном
соотношения    между числом солнечных годов и числом лунных месяцев
(19у = 235т) и более точной величины солнечного года (1у = 365i/4d). Чтобы
цикл включал целое число дней, он учетверил величины в соотношении
Метона: 4 X 19у = 76у = 940m = 27759d = 4 X 6940d - ld. Продолжитель-
ность цикла составила, таким образом, 76 лет. Из 940 месяцев, входящих
в него, 28 были интеркаляционными, по 7 на каждые 19 лет. За начало
«Года 1» первого цикла была принята дата -329, июнь 28, отмечавшая
новолуние (1 скирофориона, согласно афинскому календарю), непосредст-
венно следующее после солнцестояния в указанном году. Эта дата
определяется на основе дат наблюдений, приводимых в «Альмагесте».
Согласно последней оценке, начало первого цикла Калиппа имело в
юлианском календаре дату -329, июнь 29; см. [Goldstein, Bowen, 1989,
р.281,292, п.46]. В «Альмагесте» наблюдения датируются I, II и III циклами
Калиппа, начинавшимися соответственно в -329, -253 и -177 годах. Каждый
год в цикле имел свой особый номер от 1 до 76. Началом месяца считалась,
по-видимому, неомения, как у Метона (этот вопрос остается спорным), а
эпохой суток — заход Солнца. Калипп в своем календаре использовал
афинские названия месяцев. Точно так же поступали эллинистические
астрономы, например, Тимохарис, однако Гиппарх соединил циклы Калиппа
с египетским календарем. Циклы Калиппа он использовал только для счета
годов. Сочетание годов Калиппа, фиксированных относительно солнцесто-

яний, и египетских годов, смещающихся относительно характеристических
точек года, могло приводить к ошибкам в определении номера года. Такого
рода ошибка на самом деле встречается в «Альмагесте» (KH.IV, ГЛ.11) [РА,
р.13,   215,   п.72;   р.244,   п.13;   Шпилевский,   1988,   с.150]   (см.   
также
коммент. 77 KH.IV)12.
   Восемь наблюдений датируются по календарю Дионисия. Согласно
реконструкции А.Бёка, первый год эры Дионисия начинался в день летнего
солнцестояния, юлианская дата -284, июнь 26. В календаре использовалась
восходная система. Годы с номерами 4п, An + 1 и 4п + 2 содержали по
365d, а годы 4п + 3 — по 366d. Средняя продолжительность года равнялась,
таким образом, 365i/4d. Год подразделялся на 12 месяцев, имевших названия
знаков зодиака. Из этих месяцев первые 11 были по 30d каждый, а
последний (Близнецы) 35  или 36
    Три планетных наблюдения (KH.IX, гл.7) датируются в календаре
Халдеев, соответствующем Селевкидскому календарю, используемому ва-
вилонскими астрономами. Этот календарь основывался на 19-летнем
лунно-солнечном цикле с семью вставками дополнительных месяцев,
производившимися в 1-й, 4-й, 7-й, 9-й, 12-й, 15-й и 18-й годы цикла.
Начальная эпоха, применявшаяся вавилонскими астрономами, соответство-
вала 1 нисана года, в который началось правление Селевка I, что
равносильно в юлианском календаре дате -310, апрель 3. Но в «Альмагесте»
применяется не вавилонский, а сирийский вариант селевкидского календаря,
начинавшегося в месяце тишри (-311, октябрь 1). Вместо вавилонских
Птолемей использует македонские названия месяцев, список которых см.
[Бикерман, 1975, С.16]. Начало месяца определялось прямым наблюдением
ГУ	14
неомении, а начало суток — заходом Солнца .
   Одно наблюдение (кн.VII, гл.З) датируется в вифинском календаре —
разновидности юлианского календаря, в котором начало года соответствовало
дню рождения императора Августа, 23 сентября, и использовалась местная
      Согласно [Waerden, 1984(1)] начало месяца в цикле Калиппа совпадало со 
средним или
истинным новолунием, согласно [Goldstein, Bowen, 1989] — с днем, предшествующим 
неомении.
Вопрос об эпохе суток также трактуется по-разному. Так, Ван-дер-Варден, 
основываясь на
описании Гемина [Manitius, 1898, S. 120-123], полагает, что в циклах Калиппа 
речь идет не
о наблюдаемых астрономических сутках (от захода до захода), а о средних сутках, 
равных
1/30 части среднего синодического месяца. Подобные единицы в это же время 
применялись
в месопотамской астрономии, а позднее в средневековой индийской астрономии 
[Waerden,
1984(1)]. Эта точка зрения оспаривается О.Нейгебауэром и Дж.Тумером. [НАМА, р.
617; РА,
р. 12-13].
13
      Подробнее о календаре Дионисия см. [НАМА, р.1066-1067; Waerden, 1984(2)], 
а также
коммент. 50 кн.IX и коммент. 84 кн.Х. А.В.Шпилевским предложена другая 
реконструкция
календаря Дионисия. Он считает, что продолжительность месяцев в этом календаре 
была не
постоянной, а соответствовала принятым в так называемой парапегме Калиппа 
[Waerden,
1984(1), 118], что в нем использовалась заходная эпоха суток, а в египетских 
двойных датах —
полуночная эпоха. Основываясь на этих предположениях, он приходит к выводу, что
интеркаляции дней в этом календаре производились не каждые 4 года, как это 
следует из
реконструкции А.Бёка, а неравномерно [Шпилевский, 1988, с. 145-146]. Последний 
вывод
представляется совершенно невероятным и сама реконструкция ошибочной.
     14	Подробнее см. [Бикерман, 1975, с.66; НАМА, р. 165,1064-1066; PA, р.13; 
Samuel, 1972,
р. 139-145,245-246], см. также коммент. 58-59 KH.IX.
15	См. [Бикерман, 1975, с.45; Samuel, 1972, р. 174-175].
система названий месяцев15.

Комментарии
Г.Е.Куртик, М.М.Рожанская, Г.П.Матвиевская
   
    Содержание «Альмагеста» служит предметом историко-научного исследования на
протяжении уже около двух столетий. За это время учеными разного профиля
(филологами, историками науки, астрономами) получено много важных результатов,
затрагивающих буквально каждую строку в этом произведении. В комментариях мы
стремились отразить их в наиболее полном виде, уделяя особое внимание
современным исследованиям. Комментарии носят в основном историко-астро-
номический характер.
По своему содержанию их можно классифицировать следующим образом:
   1)	астрономические теории, концепции и методы, развитые Птолемеем, их
предыстория и дальнейшая судьба;
    2)	астрономические параметры движений светил, методы их определения, оценка
их точности;
3) сложные геометрические построения, доказательства и методы вычислений;
4) проверка вычислений Птолемея, ошибки вычислений;
    5)	структура астрономических и математических таблиц и методы их использо-
вания;
    6)	примеры вычислений важнейших астрономических величин и параметров
согласно методике Птолемея;
7) астрономические наблюдения, анализ их точности и достоверности;
8) астрономические инструменты, методика наблюдений;
9) используемая астрономическая терминология.
    В рукописи перевода «Альмагеста», хранящейся в архиве Института истории
естествознания и техники РАН, содержится несколько кратких примечаний,
принадлежащих автору перевода И.Н.Веселовскому. Мы включили их в это издание,
снабдив соответствующими пометками. Более подробные примечания И.Н.Веселов-
ского к тексту «Альмагеста» не обнаружены.
    При работе над комментариями мы опирались главным образом на исследования
О.Нейгебаура [НАМА] и О.Педерсена [SA], наиболее авторитетные среди историков
астрономии. Принятая в настоящем издании система обозначений астрономических
величин соответствует НАМА. Часть комментариев заимствована из издания перевода
«Альмагеста» Дж.Тумера со ссылкой [РА]. В комментариях приводятся также
результаты многочисленных исследований других историков астрономии, посвящен-
ных различным аспектам астрономии Птолемея. Библиография отражает современный
уровень подобных исследований. Нумерация рисунков в комментариях отличается
от нумерации рисунков в тексте перевода. Например, рис.б-Е означает, что речь
идет о рисунке Е в комментариях к книге VI. При ссылках на комментарии
указывается номер книги и номер комментария. Если указан только номер
комментария, то это означает, что он относится к той же книге. При ссылке на
текст «Альмагеста» обычно указывается номер книги (римская цифра), номер главы
в книге (арабская цифра), страница настоящего издания, или, если речь идет о
греческом тексте, — номер тома, страница и строка в издании И.Гейберга.

© Г.Е.Куртик, М.М.Рожанская, Г.П.Матвиевская, 1998

КНИГА ПЕРВАЯ
    1. Во введении, которое Птолемей предпосылает книге I «Альмагеста», излага-
ются философские и методологические принципы, лежащие в основе его астро-
номической системы. Птолемей определяет место математической астрономии в
системе наук. В своих философских рассуждениях и построениях он опирается на
философию Аристотеля. Следуя ей, Птолемей приводит и «классификацию наук»,
в основе которой — философия, подразделяемая на теоретическую и практическую.
Теоретическая философия в свою очередь подразделяется на теологию, физику и
математику. Именно математика, согласно Птолемею, «дает прочное и надежное
знание». Поэтому применение математических методов (арифметического и гео-
метрического) составляет надежную опору остальных двух разделов теоретической
философии. Это философское введение подробно рассмотрено Ф.Боллем [Boll, 1894,
S.68 и сл.] и О.Педерсеном [SA, р.26-32].
    2. Посвящение «Сиру» (Хйрос,) встречается в нескольких сочинениях Птолемея
(с.431). До сих пор, однако, не удалось установить, о ком конкретно идет речь.
Сир — имя, достаточно распространенное в Египте эпохи позднего эллинизма и
Римской империи [Тоотег, 1975, р.187; Boll, 1894, р.67].
    3.	Это не вполне ясное место Дж.Тумер переводит иначе: «Даже если
практическая философия, прежде чем она становится практической, оказывается
теоретической» (Even if practical philosophy, before it is practical, turns out 
to be
theoretical). По мнению Дж.Тумера, Птолемей здесь хочет сказать, что началу
практической деятельности должны предшествовать какие-то теоретические пред-
ставления, даже если они носят интуитивный характер [РА, р.35, п.6].
4.	Аристотель. Метафизика, VI, 1, 1026а 18-33.
    5. «Эфирный» (ш0Ер<в5г|с,). Понятие эфира как отдельного «элемента» ввел
Аристотель. До него философы отождествляли эфир то с воздухом (Эмпедокл), то
с огнем (Анаксагор). Аристотель видит в нем универсальный «элемент» высшего,
«надлунного» мира, тончайший и однородный, т.е. состоящий из мельчайших
однородных частиц (буквально «подобочастный») и в силу этого обладающий
принципиально иными свойствами, чем четыре элемента «подлунного» мира: земля,
вода, воздух и огонь. Согласно Аристотелю, эфир — особый вид материи: вечный,
не возникающий и не исчезающий, в отличие от четырех элементов «подлунного»
мира, подверженных возникновению и гибели, поскольку они могут переходить друг
в друга, а также претерпевать изменения в своем движении. Эфир же — категория
непреходящая. Частицы эфира заполняют все высшие, «надлунные» сферы. К
эфирным телам Аристотель относит и все небесные светила как «вечные и
нетленные». Именно эти качества эфира определяют и круговые движения светил —
вечные и неизменные [Аристотель. О небе, I, 2-4; II, 7].
    6. Наклонным кругом (кб&с, коккос), т.е. кругом, наклонным к небесному
экватору, Птолемей называет эклиптику.
    7. Здесь Птолемей кратко формулирует основные положения своей геоцентриче-
ской системы: Земля (низший мир) сферична и расположена в центре Вселенной.
Небо (высший мир) также сферично и окружает Землю, которую в сравнении со
сферой неподвижных звезд можно принять за точку. Движение небесной сферы
круговое и равномерное. Далее подробно рассматривается каждое из этих положений.

    У Аристотеля отсутствует теория пространства в современном понимании слова.
Ее заменяет понятие «места» — границы объемлющей тело материальной среды.
Протяженность в пространстве трактуется как непрерывная последовательность
«мест» — объемов, последовательно занимаемых телом в процессе движения. Любое
движение есть изменение «места». Когда Птолемей говорит о движении, изменяющем
место (в переводе Дж.Тумера — «от места к месту»), он, по всей вероятности,
имеет в виду аристотелевскую концепцию движения как последовательности
занимаемых телом «мест». Для Земли — неподвижного центра Вселенной — такое
«изменение», согласно Птолемею, невозможно.
    8.	Согласно Теону Александрийскому, такого рода представления высказывались
последователями философии Эпикура [Rome, 1936, р.338]; см. в этой связи также
[Фрагменты, Ксенофан, 41а], а также [РА, р.38, п.22].
    
    9. Здесь Птолемей, по-видимому, имеет в виду точку зрения, защищавшуюся
Ксенофаном из Колофона (ок. 570-475 до н.э.) и Эпикуром (342-271 до н.э.),
которую позже Теон Александрийский приписывал Гераклиту [Фрагменты,
Ксенофан, 32, 33, 38, 41; Rome, 1936, р.340; РА, р.39, п.23].
    10. Птолемей упоминает здесь о хорошо известном в астрономии явлении: 
Солнце
и Луна кажутся больше вблизи горизонта. Объяснение Птолемея, приведенное в
«Альмагесте», неверно. В действительности увеличения размеров светил не
происходит; это явление имеет чисто психологическую основу. В более позднем
своем труде, «Оптике» (III, 60), он приводит правильное объяснение [Lejeune, 
1956,
р.116; РА, р.39, п.24].
    11.	Птолемей рассматривает круг как многоугольник с бесконечным числом
вершин, а сферу — как аналогичный многогранник с бесконечным числом граней.
Упоминаемые выше положения о том, что площадь круга больше площади любого
многоугольника того же периметра, и аналогичное утверждение для шара и
многогранника доказаны Зенодором (II в. до н.э.) в его сочинении «Об изо-
периметрических фигурах» [История математики, 1970, с.139]. Трактат Зенодора
известен в изложении Теона Александрийского и Паппа Александрийского. См. по
данному вопросу [Heath, 1921, II, р.207-213; Rome, 1936, р.355-379; Тоотег, 
1972].
12.	Буквально «состоящий из частиц, подобных друг другу». См. коммент. 5.
    13.	Говоря о «Земле, взятой в целом», Птолемей имеет в виду, что высотой
гор и возвышенностей, глубиной впадин и т.д. можно пренебречь в сравнении с ее
радиусом.
    14. Основной довод Птолемея при доказательстве сферичности Земли —
неодновременность восходов и заходов одних и тех же светил для наблюдателей в
точках с разными географическими долготами. То же самое касается наблюдения
моментов лунных затмений. О солнечных затмениях речь не идет, так как их
труднее наблюдать вследствие наличия параллакса. Птолемей почему-то не
упоминает здесь об основном и наиболее наглядном доводе Аристотеля в пользу
сферичности Земли — во время лунного затмения тень Земли на поверхности Луны
имеет форму кругового сегмента [Аристотель. О небе, II, 14, 297Ь 24-31 ].
    15. Очевидно среди «некоторых», упоминаемых Птолемеем, имеется в виду
Анаксимандр. Согласно Анаксимандру, Земля имеет форму цилиндра, высота которого
равна одной трети его поперечника. Этот цилиндр неподвижно висит в пространстве,

ни на что не опираясь, так как находится на одинаковом расстоянии от всех точек
«периферии» [Рожанский, 1979, с.139; Фрагменты, Анаксимандр, 11, 25; Tannery,
1893, р.95-96].
16. О «прямой» и «наклонной» сферах см. коммент. 15 к кн.П.
17. Равноденственный круг — небесный экватор. См. коммент. 29.
    18. Круг «через середину зодиака» (6 5ia piacov tcov tpfikov) — еще одно,
причем часто используемое в «Альмагесте», название для эклиптики. Далее речь
идет о знаках зодиака, которые Птолемей называет просто «12-я (часть)»
( бсйббкатгщбрюу), вместо общепринятого греческого ?ф8юу, буквально «животное,
изображение (животного)», желая таким образом, по-видимому, подчеркнуть
различие между эклиптикой как кругом на небесной сфере и зодиаком как полосой
созвездий [РА, р.20—21 ].
    19. Гномон — вертикальный шест, установленный на горизонтальной поверхности
и предназначенный для определения высоты и азимута Солнца. Наблюдения с
помощью гномона основаны на измерении в разное время дня величины и
направления его тени, отбрасываемой на шкалу у его основания. Тень гномона
движется по плоскости его основания и описывает кривые, представляющие собой
конические сечения — линии пересечения этой плоскости и наклонного кругового
конуса (эллипс, в частном случае круг, гипербола и парабола). Вершина этого
конуса есть вершина гномона, а основание — круг видимого суточного движения
Солнца на небесной сфере.
    20. В доказательстве того, что Земля должна находиться в центре Вселенной,
Птолемей исходит из обратного, показывая, что любое ее положение вне этого
центра противоречит наблюдениям.
    14. 
    Птолемей рассматривает несколько возможностей. 1) Земля располагается не в
центре Вселенной, а смещена относительно оси север—юг, оставаясь при этом в
плоскости небесного экватора. В этом случае на земном экваторе день и ночь не
будут равны по продолжительности, а на других широтах равноденствия либо совсем
не будут наблюдаться, либо не будут приходиться на середины интервалов между
солнцестояниями, но это противоречит данным наблюдений. 2) Земля располагается
на оси север—юг, но не в центре Вселенной, а ближе к одному из полюсов.
3) Земля располагается вне центра Вселенной и вне оси север—юг, на произвольном
расстоянии от полюсов. Оба эти предположения также противоречат данным
наблюдений.
    Наконец, последний довод Птолемея: лунные затмения. Они имеют место, когда
Земля, Луна и Солнце находятся на одной прямой, соединяющей диаметрально
противоположные точки эклиптики. Но если Земля смещена относительно центра
Вселенной, затмения будут иметь место, когда это последнее условие нарушается,
что противоречит наблюдениям.
    21.	Сфера неподвижных звезд — последняя, внешняя по отношению к
окружающим неподвижную Землю сферам Луны, Солнца и пяти планет, на которой
согласно модели Птолемея располагались звезды. Птолемей употребляет здесь
выражение «так называемые», поскольку сфера неподвижных звезд, помимо
суточного, совершает еще прецессионное движение параллельно эклиптике.
22.	Об армиллярной сфере см. kh.V, гл.1 и соответствующие комментарии.
    23. Вследствие малости радиуса Земли по сравнению с радиусом сферы
неподвижных звезд суточный параллакс звезды, т.е. угол, под которым с орбиты
неподвижных звезд виден радиус Земли, практически равен нулю. А это означает,
что наблюдения неподвижных звезд, выполненные с поверхности Земли, дадут тот
же результат, как если бы они проводились из ее геометрического центра. О 
суточ-
ном параллаксе в явном виде Птолемей в «Альмагесте» не упоминает. Однако
понятие лунного параллакса играет у него весьма существенную роль при
определении расстояний до Луны и Солнца, а также в теории солнечных затмений.
    24. Словом «стремление» И.Н.Веселовский переводит греческий термин
Ttpooveucfic,, (от глагола «стремиться, тянуться»). В аристотелевской физике 
этот
термин не применялся, хотя само понятие «стремления» — одна из основ динамики
Аристотеля. Он широко оперирует им и в «Метафизике», и в трактате «О небе».
Под «стремлением» понималась некая «способность», тенденция к совершению
действия. В соответствии с характером ее проявления Аристотель оперирует двумя
понятиями. «Стремление» может быть присуще самому телу; это — «естественное
стремление» (рощ). Но оно может быть и внешней причиной, толкающей тело,
побуждающей его к некоторому действию. Это — насильственное «стремление»
(биуацц). «Естественное стремление» проявляется, например, в свободном падении
тела — его движении к центру Земли, «насильственное стремление» — при движении
тела по горизонтальной плоскости или под углом к горизонту. Судя по смыслу
текста Птолемея, его термин Jtpooveuaic, соответствует аристотелевскому ро7гт| 
(см.
также [РА, р.43, п.38]). Термин jtpoovEuaic, употребляется в «Альмагесте» и в 
других
значениях (см. kh.V, гл.5, коммент. 20; кн.VI, гл.11, коммент. 124).
    25. В соответствии с понятием «стремления» Аристотель различает два вида
движения: «естественное» и «насильственное». Источник «естественного движения» 
—
«естественное стремление» как неотъемлемое свойство самого тела. 
«Насильственное
движение» происходит благодаря вмешательству некоей внешней причины движе-
ния — «насильственного стремления», связанного обычно с величиной мускульной
«силы», приложенной к телу, которая и поддерживает движение. Если же тело
отрывается от источника движения, «насильственное стремление» передается ему
последовательно через промежуточную среду. «Естественное движение» происходит
без всякого вмешательства извне. В небесах, где все вечно, неизменно, 
совершенно
и неограниченно, неограниченно и совершенно и «естественное движение», 
равномер-
ное и круговое. В земных условиях, где все преходяще и имеет начало и конец,
«естественное движение» должно быть прямолинейным. В «естественном» движении
тело стремится к своему «естественному» месту. Для тяжелых тел это центр Земли,
    23. 
для легких — самая легкая стихия — огонь, т.е. окружающая Землю огненная
сфера [Аристотель. О небе, II, 13-14; III, 2; IV, 3].
    26.	В своем доказательстве отсутствия поступательного движения у Земли
Птолемей исходит из рассмотренной выше концепции «естественного движения» и
«естественного места». Основа его доказательства — направление «естественного
движения» — падения любого тяжелого тела. Оно происходит по направлению к
центру Земли, образующему прямой угол с касательной плоскостью, проведенной в
точке падения. А так как каждое тяжелое тело или частица может иметь только
одно «естественное движение», и оно направлено к центру Мира, т.е. к центру
Земли, если придерживаться геоцентрической гипотезы, следовательно Земля в 
целом
не может иметь «стремления» к какому-либо движению в сторону. Касаясь понятия
«верха» и «низа», Птолемей следует Платону и Аристотелю. Согласно Платону, все
тяжелые тела (земля, вода и те субстанции, в которых эти элементы преобладают)
устремляются по своей природе к центру космоса. Поэтому его следует считать
«низом» в собственном смысле слова. Напротив, легкие тела (огонь, воздух и то,
что из них состоит) стремятся двигаться из центра космоса к его периферии. 
Поэтому
«верхом» следует считать периферию космоса [Рожанский, 1979, с.259-261 ].
    Птолемей приводит еще один аргумент в пользу неподвижности Земли,
основанный на физических соображениях, связанных с представлением о давлении,
которое Земля испытывает со стороны падающих нее тел. Это давление в любой
точке поверхности Земли равно и противоположно по направлению давлению в
противоположной точке. Все это не дает Земле возможности двигаться. В этом
рассуждении Птолемей, как мы видим, отходит от аристотелевской концепции
«естественного места» и «естественного движения», а также представления об 
эфире
как материи, заполняющей все пространство «надлунного мира». Ведь эфир может
совершать только вращательное движение и не оказывает никакого давления на
другие тела, в том числе и на Землю. Согласно Симпликию, Птолемей более
подробно излагает эту точку зрения в не дошедшем до нас трактате о весах [SA,
р.44, п.7].
    27. По-видимому, Птолемей имеет в виду ученика Платона — Гераклида
Понтийского (388-315 до н.э.), предположившего, что Земля имеет вращение вокруг
своей оси, а также автора первой гелиоцентрической гипотезы Аристарха 
Самосского
(ок. 310-230 до н.э.).
    28. Под двумя видами первых движений Птолемей имеет в виду следующие:
1) суточное движение небесной сферы с востока на запад, обусловленное движением
Земли параллельно небесному экватору; 2) движение Солнца, Луны и планет вдоль
эклиптики с запада на восток с различными скоростями.
    29. Равноденственный круг (ior|u.Epiv6c, кокХос,), буквально «круг равного 
дня» —
небесный экватор. Название это ооъясняется тем, что когда Солнце при своем
движении по эклиптике (наклонному кругу) оказывается на небесном экваторе, то
имеет место равенство дня и ночи.
    30.	«Серединой неба» Птолемей называет небесный меридиан. Другое его
название — полуденный круг (ueo-nu.|3piv6c, кикХо?) (см. с. 15). Кульминацию 
свети-
ла, т.е. его прохождение через меридиан, греческие астрономы называли «прохож-
дением через середину неба» (цеооираупоц или uxo-oupaveTv).
    31. Блуждающими светилами (jcXavrrrii аатра) в греческой астрономии 
называли
планеты — светила, перемещающиеся по небесной сфере относительно неподвижных
звезд.
    32. Речь идет об эклиптике — наклонном к небесному экватору большом круге
небесной сферы, вдоль которого совершается видимое движение Солнца. Возле нее
пролегают также видимые пути Луны и планет. См. коммент. 18.

33. Это точки зимнего и летнего солнцестояний.
34. Этот круг носит название колюра солнцестояний.
35. Под «прямыми линиями в круге» (euOeTci)   Птолемей подразумевает хорды.
    36.	В гл.10 излагаются основы античной тригонометрии, создание которой 
древние
приписывали «отцу греческой астрономии» Гиппарху (ок. 180-125 до н.э.). Он ввел
в рассмотрение тригонометрический круг и, по-видимому, впервые вычислил таблицу
    
хорд, ставшую основным элементом греческой плоской тригонометрии [Braunmuhl,
I, S.10]. В круге радиуса г для хорды, стягивающей дугу центрального угла а,
справедливо соотношение
Crd а = 2r sin (а/2).
    Таким образом, таблица хорд равносильна таблице синусов половинного угла.
С помощью этой таблицы Гиппарх получил решение прямоугольных треугольников
и применил тригонометрические методы при разработке своей теории движения
Солнца и Луны.
    В современной историко-научной литературе приняты обозначения crd а, если
радиус круга равен 1, и Crd а, если радиус R = 60. Птолемей использовал всегда
значения Crd а, но в примечаниях мы будем использовать также нередко более
привычную нам систему обозначений.
    Сочинение Гиппарха, в котором он излагает основы тригонометрии хорд, до нас
не дошло. О нем упоминает, не приводя, впрочем, его названия, Теон
Александрийский (IV в.), который сообщает, что оно состояло из двенадцати книг
[Braunmuhl, I, S.10; Rome, 1936, р.451 ].
    Делаются попытки реконструировать таблицу хорд Гиппарха. Одна из них
принадлежит Дж.Тумеру, который показал, что некоторые сообщения Птолемея о
методах, которые применял Гиппарх при расчете радиуса эпицикла и 
эксцентриситета
лунной орбиты (Альм. IV, 11), можно понять лишь в том случае, если предположить,

что Гиппарх использовал таблицу хорд, подобную таблицам синусов средневековых
индийских астрономов. Значения хорд в ней были вычислены с интервалом в
7'/2° значений аргумента (в индийских таблицах синусов соответственно ЗЗ/40), а
радиус круга считался равным 3438'. См. [Тоотег, 1973, р.6], возражения против
его реконструкции [Waerden, 1988(1), р.27; 1988(2), р.178-183], а также коммент,
 66
к кн.IV.
    37. В таблице приводятся значения хорд от Vf до 180° через каждые V?. Для
их вычисления Птолемей делит окружность на 360 равных частей (шлра), измеряя,
таким образом, углы в градусах. Диаметр круга d делится на 120 частей (part,
сокращенно р); и в этих частях выражаются хорды в таблице. Такой круг с 
радиусом
в 60 частей (60р) является единичным в шестидесятеричной системе счисления,
которой пользуется Птолемей. Каждая часть делится на 60 линейных минут, каждая
минута — на 60 секунд, каждая секунда — на 60 терций и т.д. Это дает 
возможность
при вычислении пользоваться шестидесятеричными дробями.
    В «Альмагесте» Птолемей использует десятично-шестидесятиричную систему
записи чисел. Целые части чисел он всегда приводит в десятичной записи, а 
дробные,
как правило, в виде шестидесятиричной дроби. В настоящем издании в тексте
перевода и в комментариях при записи чисел используется система обозначений,
принятая среди историков астрономии; в ней целая часть числа отделяется от
дробной точкой с запятой, а каждый последующий разряд шестидесятиричной дроби
от предыдущего — запятой. Например, запись 365; 14,48 означает число

60    602
А запись 0;59,8,17,13,12,31 — число
59	|   8   |  17 |  13     12     31
60	602    603    604    605    606'
    Птолемей также широко использует простые дроби. Можно выделить при этом
несколько основных простых дробей (Vs. '/2, '/4, '/8, '/12 и др.), которые он 
использует
для выражения дробей более сложного вида. Например, в его записи 1/4 = >/2 + V4,

11/12=1/2+1/3+1/12, 5/б=1^ + 1/з и т.д. Такого рода «сложные» простые дроби
фиксируются в тексте перевода как >/2'/4, V2V3V12, '/г'/з соответственно.
    
    38. Рисунки Птолемея приводятся в том виде, в котором они даны в издании
И.Гейберга, без модернизации. В тексте Птолемея рисунки не пронумерованы.
Нумерация, которой пользуемся мы, введена Дж.Тумером в [РА]: первое число в
ней обозначает номер книги, второе — номер рисунка в книге. Номера рисунков
внесены в квадратных скобках в текст перевода там, где это необходимо.
    39. Две сформулированные теоремы позволяют выразить стороны правильных
пяти- и десятиугольника, стягивающих соответственно дуги в 72° и 36°, через 
радиус
круга, в который они вписаны. Эти теоремы в «Началах» Евклида отсутствуют.
При доказательстве Птолемей опирается на предложения 9 и 10 книги XIII «Начал».
В первом из них Евклид исходит из представления о делении отрезка в крайнем
и среднем отношении. Некоторая точка делит отрезок прямой в крайнем и среднем
отношении, если длина всего отрезка относится к большей его части, как эта
большая часть к меньшей. Пусть на рис. 1.1 линия ZT разделена в точке Д в
крайнем и среднем отношении. Тогда предложение 9 сводится к тому, что если
сложить длины сторон десятиугольника и шестиугольника, вписанных в один и тот
же круг (на рис. 1.1 отрезки ZA и ЛГ), то вся линия Zr в точке Л разделится в
крайнем и среднем отношении. Предложение 10 состоит в том, что квадрат стороны
правильного вписанного в круг пятиугольника равен произведению сторон правиль-
ных вписанных в круг шестиугольника и десятиугольника, т.е. на рис.1.1
TZ-ZA = ЛГ2 [Евклид, XIII, 9, 10].
40.	Из геометрических соображений ясно, что Crd 90° = rV2, a Crd 120° = rVb.
Отсюда при г = 60Р следует Crd 90° = 84;51,10P, Crd 120° = 103;55,23р.
    41. Хорды углов 36, 60, 72, 90 и 120° Птолемей называет «основными». С их
помощью он определяет хорды дополнительных углов, пользуясь очевидным
соотношением Crd2 а + Crd2 (180° - а) = d2, равносильным современному sin2a +
+ cos2a = 1. Так, по известной хорде 36° он получает Crd 144° = 114;7,87р.
    42. Эта лемма впоследствии получила название теоремы Птолемея. В лемме
утверждается, что если в круг вписан произвольный четырехугольник ABCD
(рис. 1-А), то площадь прямоугольника, образованного его диагоналями АС и BD,

Рис. 1-А	Рис. 1-В	Рис. 1-С
равна сумме площадей прямоугольников, образованных противоположными сторонами
данного четырехугольника, т.е. АС • BD = АВ • CD + AD • ВС.
    43. В подобных треугольниках АВЛ и ВГЕ имеет место пропорция ВГ: ГЕ =
= ВЛ : ДА [Евклид, VI, 4].
    44. Птолемей утверждает, что если во вписанном в круг четырехугольнике
ABCD (рис. 1-В) сторона AD есть диаметр круга, а хорды АВ я АС известны, то,
как показано, будут известны хорды дополнительных дуг BD и CD, а тогда можно
определить и хорду ВС. Действительно, на основании предыдущей леммы
D_    ACBD - ABCD „
ВС =	-т-р	. При этом ВС есть хорда разности дуг BD и CD.
    Если положить АОС = 2а, АОВ = 2/3, г = 1, то ясно, что получено выражение,
равносильное формуле sin (a - В) = sin a cos R - cos a sin В. Отсюда, исходя из
значений двух известных хорд 72° и 60°, можно найти, например, значение хорды
    
12°. Птолемей отмечает, что таким образом, т.е. при помощи значений разностей
заданных основных хорд, можно определить немалое число значений других хорд.
    45. Птолемей приводит метод определения хорды дуги, равной половине 
заданной
дуги. Если АС — диаметр (рис. 1-С), ВС — данная дуга, CD — ее половина, то,
проведя хорды АВ, AD, BD, DC и опустив из D перпендикуляр DE, он показывает,
DC2 = AC(ACfLAB1_ Это
что искомая хорда есть DC = —s—j	• jT0 соотношение дает возможность по
известным основным хордам определить многие другие.
    46. Доказано, что если известны хорды двух дуг, то известна и хорда дуги,
равная их сумме. Соотношение Птолемея равносильно современной формуле для
синуса суммы дуг или углов sin (а + /?) = sin а cos /? + cos а sin /?.
    47. Таким образом, получив значения основных хорд (для дуг в 36, 60, 72, 90
и 120°), а также правила вычисления хорды суммы и разности двух дуг и хорды
половинного угла или дуги, Птолемей смог получить большинство значений своей
таблицы. Однако вычисление хорды V20, значение которой необходимо для
вычисления таблицы хорд через i/f, требовало дополнительных рассуждений. Дело
в том, что искомый результат мог быть получен путем деления на три части угла
в W2°. Однако задача трисекции угла, относящаяся к трем знаменитым задачам
древности и приводящая к решению кубического уравнения, представляла собой
непреодолимую трудность и не могла быть решена методами евклидовой геометрии
(с помощью циркуля и линейки). Попытки ее решения привели к разработке целого
ряда приближенных методов, как алгебраических, так и геометрических: метод
«вставки» и др. См., например, [Рыбников, 1974, с.32-34].
    К приближенному методу прибегает и Птолемей. Утверждая, что с помощью
геометрии невозможно точно вычислить значение хорды дуги в Wj°, он предлагает
иной путь. Сначала Птолемей приближенно вычисляет значение хорды 1°. Он
находит ее как промежуточное значение между уже известными значениями хорд
IV20 и У40, т.е. между 1;34,15р и 0;47,8Р. Затем по полученному значению хорды
1° с помощью соотношения для хорды дуги половинного угла он находит
приближенное значение хорды V20.
    48.	«Композиция» или «присоединение отношений» означает переход от отно-
шения alb к отношению (a + b)lb [Евклид, V, 14].
ZE
Птолемей пользуется этим понятием при переходе от отношения        в нера-
         ZE    ZAE                      ZE + ЕА                      ZE + ЕА    
ZAE + ЕДА
венстве =-г- < —-— к отношению —=-г	 в неравенстве —=-г	<	
ЕА    ЕДА	ЕА	ЕДА
(см. рис. 1.6).
    49.	«Выделение отношения» — переход от отношения alb при а> Ъ к отношению
(а - Ь)/Ь [Евклид, V, 15].
Птолемей пользуется «выделением отношения» при переходе от отношения
ГА      ГДА	ГА - АЕ	ГА - АЕ
в неравенстве ^jt *~	к отношению —— в неравенстве —— <
ЕДА
ГДА - ЕДА
<
ЕДА
    50. Здесь Птолемей опирается на теорему о свойстве биссектрисы треугольника,

которая рассекает противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональ-
ные прилежащим к нему сторонам [Евклид, VI, 3]. Птолемей пользуется этим
свойством биссектрисы угла при рассмотрении треугольника АВГ с биссектрисой
BE, где ГЕ:ЕА = ГВ:ВА (рис. 1.6).
    51. Вычисление хорды дуги в 1° Птолемей проводит, отправляясь от сфор-
мулированной и доказанной им теоремы, смысл которой состоит в следующем. Если
в круге взять две произвольные дуги АВ = 2а и АГ = 2/3 (рис. 1.7), то 
справедливо
    50. 
              АВ    АВ       crd la    la ,~а    „       .
ссютношение -^р- <	или	< тг^ (2р < 2а < л), что равносильно соотношению
АГ       °Г
sin а    а 10	л\
(Р<а<2}-
—	—	crd 1°
Пусть АВ = 3^4°, АГ = 1°. Тогда приведенное выше неравенство дает сгд ^ <
1°      4
< ^ = 2> откуда следует, что crd 1° < Уз crd З^0-
    Пусть теперь АВ = 1°, AT = II/20. Согласно той же теореме, = c^i|/2°>
>      или crd 1° > Уз crd и/г0. Отсюда следует, что значение хорды 1° 
заключено в
пределах Уз crd 11/2° < crd 1° < 4/з crd З/40, или 1;34,15р < crd 1° < 4/з-0;47,
8р. Про-
ведя вычисления, получим, что 1;2,50р < crd 1° < 1;2,50р, т.е. хорда 1° = 1;2,
50р, а
хорда !/2°, вычисленная по правилу нахождения хорды половинного угла, равна
0;31,25р.
    52.	В таблице хорд Птолемея три столбца. В левом содержатся значения дуг от
1/2° до 180°, через каждые 1/20. В следующем столбце приводятся длины хорд для
соответствующих дуг, значения которых даны в шестидесятеричных дробях при
условии, что диаметр круга содержит всего 120 частей. Наконец, третий столбец
служит для интерполяции величины каждой последовательной хорды дуги, меньшей,
чем !/2°. Он содержит значения тридцатых долей разностей длин последующих хорд,
т.е. показывает средний прирост длины хорды на одну минуту дуги в соответству-
ющих пределах. Значения даны с точностью до кварт. Будучи пересчитаны в
десятичную систему счисления, таблицы позволяют вычислять хорды дуг с точностью
до пятого десятичного знака.
    Таблица хорд Птолемея была пересчитана с помощью компьютера. Программа
была составлена так, чтобы как можно ближе воспроизвести метод вычисления
самого Птолемея [Glowatski, Gottsche, 1976; РА, р.57-58, п.68]. Авторы ее 
пришли
к выводу, что для того, чтобы получить точный результат до третьего
шестидесятеричного знака, Птолемей должен был производить вычисления до пятого
знака.
    В настоящем издании ряд значений в таблице хорд Птолемея исправлены в
соответствии с изданием Дж.Тумера. Исправлению подверглись значения Crd 9°,
Crd 72°, Crd 88I/20, Crd 97°, Crd 108°, Crd П81/20, Crd 143° [PA, p.57-59, n.
68].

    53.	В гл. 12 Птолемей определяет угол наклона эклиптики к экватору. Пусть
Р, Р' — полюсы мира (рис. 1-D), QYQ' л — небесный
экватор, R, R' — полюсы эклиптики, KYK' ^ —
эклиптика, Y — точка весеннего равноденствия. Большой
круг небесной сферы RPQR'P'Q', проходящий через
полюсы небесного экватора и эклиптики, называется
колюром солнцестояний, а лежащие на нем точки
эклиптики — соответственно точками летнего и зимнего
солнцестояний.
    Определяется значение дуги RP, которая, очевидно,
равна дугам KQ и K'Q', измеряющим е — угол наклона
эклиптики к экватору.
    54.	Инструмент, с помощью которого Птолемей
производил измерение угла наклона эклиптики к эква-
тору, известен в современной литературе под названием
меридианного  круга  или  меридианнной  армиллы.   В
дошедшем до нас греческом тексте «Альмагеста» не приводятся изображения
инструментов Птолемея. Реконструкция меридианного круга, представленная на
рис. 1-Е, принадлежит С.В.Житомирскому. Описание, чертежи и объяснение действия

этого инструмента см. также [Britton, 1967, р.5; Dicks, 1954, р.78-79; НА I, 
41;
PA, р.61, Fig.C; Price, 1957, р.589]. Определив с помощью инструмента зенитное
расстояние Солнца в дни летнего и зимнего солнцестояний, легко вычислить 
значение
е. См. также коммент. 57.
   55. Второй инструмент, описанный Птолемеем, представляет собой квадрант.
РисЛ-F выполнен С.В.Житомирским. Рабочую плоскость инструмента Птолемей
называет «призмой». Планка 5 способствовала увеличению резкости тени. Квадрант
устанавливается в плоскости меридиана таким образом, чтобы сторона со стержнем,
отбрасывающим тень, была обращена к югу. Во время прохождения Солнца через
меридиан на шкале фиксировалось минимальное зенитное расстояние. Другие
изображения инструмента и описание его действия см. в источниках, указанных в
коммент. 51.
    56. Полуденная линия — линия пересечения плоскости меридиана (полуденного
круга) с плоскостью горизонта.
    57. Метод Птолемея основан на определении зенитного расстояния Солнца в
меридиане во время летнего и зимнего солнцестояний. Если эти зенитные 
расстояния
обозначить соответственно zl и z2, то широта места <р = (zi + z2)/2, наклон 
эклиптики
    58. Птолемей использует в «Альмагесте» значение е = 23;51,20°, полученное, 
по
его собственным словам, с помощью описанных выше измерений, производившихся
«в течение многих лет во время солнцеворотов». Согласно Птолемею, измеренная
им величина содержится между указанными в тексте пределами 472/з° < 2е <
< 473/4°, откуда е = 23;51,20°. Его измерения относятся приблизительно к 140 г. 
н.э.
Однако история определения величины е восходит к более раннему времени, как
об этом сообщает сам Птолемей, ссылаясь на Эратосфена и Гиппарха. Об этом же
сообщает Страбон в своей «Географии» (II, 5, 7) [Страбон, 1964, с. 115-116].
Согласно Страбону, именно Эратосфен разделил земной меридиан на шестьдесят
частей и, соответственно, каждый квадрант от экватора до полюса на 15 таких
частей, так что расстояние от земного экватора до тропика Рака содержит четыре
такие части. В силу эквивалентности земного шара и небесной сферы, считал
Эратосфен, величина наклона эклиптики эквивалентна дуговому расстоянию от
экватора до тропика Рака, т.е. составляет 1/15 часть круга, или 24°. Это 
наиболее
раннее известное греческое значение величины е. Страбон сообщает также, что
Эратосфен предпринял попытку выразить это значение в линейных мерах. Именно
ему принадлежит, очевидно, первая в истории географии попытка вычисления
величины градуса земного меридиана и окружности земного шара. Величина
окружности Земли у него равна 252 ООО стадий, а расстояние от экватора до 
тропика
Рака (до города Сиены — современного Асуана) состав-
ляет 1/15 часть окружности, т.е. 252 000:360 = 16 800
стадий. Однако уже в эпоху Эратосфена и Гиппарха
было известно, что величина наклона эклиптики меньше
24°. Гиппарх при определении е, вероятно, исходил из
значения продолжительности наибольшего дня для Си-
ены, которая составляет 13'/2 часа. Если исходить из
этой величины, то можно реконструировать следующий
метод его определения величины е.
    Пусть   на   рис.   1-G   ЕС   —   небесный   экватор,
SCZPN — меридиан, SERN — горизонт, Z — зенит,
Р — полюс мира, TR — суточный круг Солнца во время
Рис- 1_G	летнего солнцестояния, если Солнце восходит в точке R.
                              Тогда у = ED — половина избытка наибольшего дня 
для
широты Сиены над 12 равноденственными часами, измеренная в градусах, т.е.
(15°М — 180°)/2, где М — продолжительность наибольшего дня. Эта величина легко
определяется в прямоугольном сферическом треугольнике EDR с прямым углом D,
sin у = tg р tg е. Так как для Сиены М = l3Vih, у = 11;15° и <р = е, то
sin 11; 15° = tg2e, откуда е = 23;49,50° — значение, близкое к птолемеевскому.
                              
Гиппарх, возможно, получил у, пользуясь методом аналеммы, т.е. принятым в
античной астрономии приемом ортогонального проектирования небесной сферы и ее
основных кругов на одну из координатных плоскостей (в данном случае на 
плоскость
горизонта, в которой был установлен гномон длины g в Сиене в день летнего
солнцестояния). С помощью аналеммы, описанной Витрувием, который называет ее
автором Гиппарха, значение е можно получить из соотношения, эквивалентного
формуле Xge = s/g [Goldstein, 1983, р.9-10].
    Птолемей утверждает, что и Эратосфен, и Гиппарх при вычислении величины
е пользовались дробью 11/83, которую полагали равной 2е. Б.Голдстейн предлагает
весьма убедительную гипотезу появления этой величины.
    Выше мы уже говорили, что согласно Эратосфену расстояние от экватора до
тропика Рака составляет 16 800 стадий. Это дает для величины е значение, равное
24°. Но Эратосфен, вероятно, знал, что истинное значение е меньше 24°. Значение
же 16 800 — приближенное, так как, по утверждению Страбона со ссылкой на
наблюдение его предшественников, широты мест, расположенных на одном меридиане
на расстоянии менее 400 стадий (около '/2° широты) при наблюдении (т.е.
определении продолжительности наибольшего дня или отношения длины гномона к
его тени) не различаются. Поэтому величину 16 800 правомерно уменьшить до
16 700. А тогда справедливо соотношение
2е     2 x 16 700     167
360 "   252 000   ~ 1260-
    Отсюда приближенное значение величины е можно получить с помощью цепных
дробей методом, связанным с алгоритмом Евклида, хорошо известным в античности.
С помощью цепной дроби можно получить приближенное значение любого
рационального числа вида alb, быстро сходящееся к истинной величине.
Представим числитель и знаменатель выражения для       в виде
1260 = 7 х 167 + 91,
167 = 1 х 91 + 76,
91 = 1 х 76 + 15,
76 = 5 х 15.
167
Тогда выражение TJGG можно записать в виде
167       J	_П
83-
7 +   1
1 +   1

Таким образом, число ^ получается уже при третьем приближении.
    Число можно получить и другим путем, если воспользоваться неравенством
а    а + с     с	ас	™        »
^ < b + д к ~J ПРИ ~?<^  которым оперирует Папп Александрийский в своем
«Математическом собрании» [Pappus, I, р.689].
п   ,    167
Дробь |25q удовлетворяет неравенству
1 _ 2     167     2
8 ~ 16    1260    15'
которое можно представить в виде ряда
1 „ 1 + 2п     2	*      ?
8<8^ГЖ<Т5 при "= 1...-6.

167
Последовательность приближенных значений для дроби у2б"о ПРИ соответству-
1      2
ющих значениях п заключена между g и      и имеет вид
1<Л< ±<±<±<11<11<     JL
8    23    38    53 < 68 < 83 < 98 < •• < 15"
Таким образом, дробь ^ представляет собой приближенное значение дроби
167	<
при п = 5.
1260
Таковы две гипотезы о происхождении дроби     в тексте «Альмагеста». Наиболее
вероятно, по мнению Голдстейна, что ее автором является Гиппарх [Goldstein, 
1983,
р.6-8]. Существуют, однако, и другие гипотезы, касающиеся происхождения
указанной величины угла наклона эклиптики к экватору. См. в этой связи [Rawlins,

1982; Ньютон, 1985, с.106-109].
    59. Как известно, высота полюса небесного экватора над горизонтом в данном
географическом пункте равна его географической широте.
    60. Гл. 13 посвящена изложению основ античной сферической тригонометрии.
Опираясь на труды по сферике Автолика (IV в. до н.э.), Евклида (ок. 365-300 до
н.э.), Теодосия (III в. до н.э.), Гипсикла (И в. до н.э.) и в особенности 
Менелая
(I-II вв.), Птолемей доказал «несколько кратких и очень полезных лемм», которые
позволяли решать широкий круг задач сферической астрономии его времени. При
доказательстве этих лемм он опирался, главным образом, на знаменитую теорему
Менелая, одного из крупнейших ученых эпохи эллинизма, автора трудов по
астрономии, математике и механике.
    Основной труд Менелая «Сферика» до нас не дошел. Он сохранился только в
арабском переводе астронома и математика X-XI вв. Ибн Ирака [Krause, 1936]. В
астрономической литературе средневековой Европы ее обычно называли «теоремой
о трансверсалях», а на средневековом Востоке «правилом шести величин» или
«теоремой о полном четырехстороннике».

Название теоремы Менелая — «правило шести величин» — объясняется
следующим образом. Смысл теоремы состоит в том, что между шестью отрезка-
ми — хордами в круге или шестью дугами больших кругов сферы, образующих
полный плоский или сферический четырехсторонники, существуют
определенные соотношения. Теорема Менелая была доказана и для
плоского, и для сферического случаев (см. коммент. 61, 66).
    В этой же главе доказывается также утверждение о том, что
если даны отношения хорд двух дуг, меньших 180°, и их сумма
или разность, то можно определить и сами дуги.
    61. Здесь речь идет о плоской теореме Менелая. Птолемей
приводит ее доказательство.
В   основе  доказательства   —   фигура,   называемая   полным
четырехсторонником.  Плоский полный четырехсторонник можно
Рис. 1-н        получить   из   произвольного   четырехугольника,   продолжая   
до
пересечения обе пары его противоположных сторон (рис. 1-Н). В
современных обозначениях плоская теорема Менелая имеет вид
АР СЕ BF_ .     АР ВС EF_ .
CD BE AF      '    СА BE DF
Менелай, Птолемей, а впоследствии математики средневекового Востока фор-
мулировали и доказывали эту теорему с помощью евклидовой теории составных
отношений. В современной терминологии составное отношение есть произведение
двух отношений. Мы говорим, что отношение ^ есть произведение отношений ^ и
j. Античные же математики говорили, что отношение ^ «составлено» из отношений

ГА
-j и у. В терминологии Птолемея отношение д=;

составлено из отношении

ГА
AZ

ZB
BE'

а отношение

ГЕ
ЕА

составлено из отношении

TZ
ZA
АВ
ВА

(рис. 1.8).

    Понятие составного отношения — одно из основных понятий греческой теории
отношений, изложенной в книге V «Начал» Евклида [Евклид, V, 9, 10]. Операция
составления отношений равносильна их умножению. Однако у Евклида речь идет
только о «двойном» и «тройном» отношениях, т.е. о возведении отношения в 
квадрат
и куб. Общее же определение составного отношения отсутствует. Поэтому 
позднейшие
греческие комментаторы «Начал» были вынуждены дополнить Евклида. Это общее
определение добавлено к книге VI «Начал» в качестве определения 6.
    В своем доказательстве Птолемей опирается на два предложения книги VI
«Начал». В первом из них утверждается, что в равноугольных треугольниках 
стороны,
стягивающие равные углы, пропорциональны. Смысл второго предложения состоит
в том, что если в треугольнике проведена прямая, параллельная одной из сторон,
то она рассечет остальные стороны на пропорциональные отрезки [Евклид, VI, 2, 
4].
    62. Смысл этого предложения состоит в следующем: если на окружности с
центром А (рис. 1-J) взяты произвольные дуги АВ и ВГ, меньшие 180°, и проведена
хорда АГ, то справедливо соотношение
    
Crd2AB
Crd 2ВГ

АЕ
ЕГ'

где Е — точка пересечения хорды АГ с диаметром ВД.
    При доказательстве этого соотношения Птолемей опирается на предложение 3
книги IV «Начал», смысл которого состоит в следующем: если прямая, проходящая
через центр круга, делит другую прямую, не проходящую через него, пополам, то
    
Рис. 1-J
она пересекает ее под прямым углом [Евклид, IV, 3]. Доказательство проводится
с помощью «составления отношений».
    63. Из этой теоремы вытекает одно очень важное следствие: если известны 
сумма
дуг и отношение хорд удвоенных дуг, то можно определить каждую из них.
    64. Сформулировано предложение: если на окружности с центром А (рис. 1-К)
взяты дуги АВ и АГ, меньшие 180°, проведены радиус АА и хорда ВГ, продолжения
которых пересекаются в точке Е, то имеет место соотношение
    63. 
Crd 2ГА
Crd2AB

ГЕ
BE'

    65. Как следствие из предыдущего сформулирована теорема: если известны дуга
ГВ, равная разности дуг АГ и АВ, и отношение хорд удвоенных этих дуг, то может
быть определена и дуга АВ.
    Эти вспомогательные рассуждения Птолемея, которыми он завершает раздел
плоской тригонометрии, сводятся по сути дела к двум леммам, которыми он
    
пользуется далее для доказательства теоремы Менелая. В современной терминологии
они имеют следующий вид.
тт	,   ^	sin а
Лемма 1. Если заданы дуга (а + р) и отношение ——д, то этого достаточно
sin р
для нахождения дуг а и /3.
„	„   _	„ч	sin а
Лемма 2. Если заданы дуга (а — р) и отношение ——д, то этого достаточно
sin р
для нахождения дуг а и /3. Доказательство Птолемей, естественно, проводит с
помощью тригонометрии хорд.
66. В этом предложении доказывается теорема Менелая для сферического случая.
    Пусть на поверхности сферы дугами окружностей больших кругов образована
фигура ABZr, причем каждая из этих дуг АВ, BZ, ZT, АГ меньше 180° (рис. 1.14).
В теореме утверждается, что
Crd 2ГЕ _ Crd 2TZ Crd 2АВ      Crd 2ГА ^ Crd 2ГА Crd 2ZB
Crd 2EA ~ Crd 2AZ Crd 2BA'     Crd 2AE    Crd 2AZ Crd 2BE"
    Проведем из центра сферы Н радиусы НВ, HZ, НЕ и соединим хордами точки
А, Д, Г. Продолжим хорду АА и радиус НВ до их пересечения в точке в. Точку
пересечения хорды ДГ и радиуса HZ обозначим через К, а точку пересечения хорды
АГ с радиусом НЕ — через А. Точки в, К и А лежат одновременно в плоскости
треугольника АДГ и в плоскости круга HBZE, а следовательно, на одной прямой
вкл.
Составленная прямыми вА, вА, ГА и ГД фигура вАГК представляет собой
полный четырехсторонник плоской теоремы Менелая. Из нее следует
ГЛ    ГК ЭЛ
ДА    КА вА'
Но, согласно второй из доказанных Птолемеем теорем, получим
ГЛ    Crd 2ГЕ       ГК    Crd 2FZ
ЛА    Crd2EA'      КА    Crd2ZA-
Согласно же третьей теореме имеем
*	"~    Crd 2АВ
Crd 2ВА'

Crd 2ГЕ    Crd 2FZ Crd 2AB
Crd 2EA ~ Crd 2ZA Crd 2BA'
               что и требовалось доказать.
Рис. i-L	Птолемей замечает, что аналогично, с учетом соответству-
                     ющих предпосылок, доказанных выше, доказывается и второе
утверждение теоремы. Полное его доказательство дал Теон в своих комментариях
к «Альмагесту» [НАМА, р.26-30].
    Таким образом, сферическую теорему Менелая можно получить из плоской
теоремы заменой каждого отрезка хордой соответствующей дуги большого круга
(рис. 1-L) в виде
Crd 2AD Crd 2СЕ Crd 2BF . .      Crd IAD Crd 2BC Crd lEF
Crd2CD Q.X&2BE Crd 2AF     '     Crd 2CA Crd2BE Crd 2DF ~  '
или, если перейти от хорд к синусам,
sin AD sin СЕ sin BF _ .      sin AD sin ВС sin EF _ .
sin CD sin BE sin AF     '     sin С A sin BE sin DF     '
    Следует отметить, что и Птолемей, и Менелай, на доказательстве которого он
основывается, и Теон Александрийский рассматривали только случай, когда прямые
    
АА и ВН (рис. 1.14) пересекаются. Однако они могут оказаться параллельными, и
тогда требуется особое доказательство.
    Всестороннему исследованию сферическую теорему Менелая подвергли мате-
матики средневекового Востока, которые называли ее теоремой «о фигуре секущих»
(шакл ал-кита). Обзор их доказательств см. [Матвиевская, 1990, с.83-92].
    Теорема Менелая о трансверсалях — основа всех астрономических вычислений
Птолемея, связанных с решением сферических треугольников.
    67. Главы 14-16 книги I и практически вся книга II «Альмагеста» 
представляют
собой серию задач сферической астрономии, которые можно разбить на три основные
группы:
задачи по определению координат светил на небесной сфере и переходу от одной
из трех принятых Птолемеем сферических систем координат к другой;
задачи математической географии;
    задачи по определению положения эклиптики относительно горизонта и других
больших кругов небесной сферы.
Птолемей пользовался тремя системами сферических координат:

    1) горизонтальной, в которой положение светила на небесной сфере 
определяется
его высотой Л, отсчитываемой от круга горизонта по перпендикулярному ему кругу
высоты, и азимутом А, отсчитываемому по горизон-
тальному кругу от меридианной линии (сейчас) или
от линии восток—запад (у Птолемея);
    2) экваториальной, в которой координаты небес-
ных тел — прямое восхождение а = YH, отсчитыва-
емое по  небесному  экватору  от точки весеннего
равноденствия Y, и склонение <5, отсчитываемое от  А
небесного экватора по перпендикулярному ему кругу  с
склонения (рис. 1-М);
    3)	эклиптической, которая использовалась для
определения положений Солнца, Луны и планет в их
движении по своим орбитам. Координаты в этой
системе — эклиптическая долгота А = YN, отсчиты-
ваемая вдоль эклиптики от точки весеннего равно-
денствия в направлении последовательности знаков
зодиака и эклиптическая широта /? = NK, отсчитываемая по кругу широты,
перпендикулярному к эклиптике, от точки его пересечения с эклиптикой (рис. 1-М).

    В этой главе речь идет об определении склонения <5 точек эклиптики как
функции 5(A), где А — долгота точек эклиптики при данном, определенном 
описанным
выше методом значении наклона эклиптики е.
    В общем виде эта задача решалась с помощью теоремы Менелая. Пусть на
рис. 1.15 ЕА — небесный экватор, ЕВ — эклиптика, Е — точка весеннего
равноденствия, В — точка летнего солнцестояния. По условию задачи требуется
определить дугу ЭН = <5, если известны дуга ЕН = А и угол Е = е.
    Птолемей рассматривает полный сферический четырехсторонник ABZHEe,
образованный пересечением двух пар соответствующих дуг ZA и Z®, ЕА и ЕВ.
Согласно теореме Менелая,
Crd ZB Crd ZH Crd EH
Crd АВ ~ Crd Нв Crd EB
или, если учесть, что дуги ZB, ZH и ЕВ содержат по 90°, и перейти от хорд к
синусам, получим sin д = sin A sin е.
    Птолемей не решает задачу в общем виде, а приводит два примера вычисления
<5 по данной А.
    Вначале он полагает дугу ЕН (эклиптическую долготу А) равной 30°. Тогда, 
так
как дуга ZA равна 90°, удвоенная дуга 2ZA равна 180°, а соответствующая ей
хорда 2ZA - 120Р. Как найдено ранее, 2Е = 2АВ = 47;42,40°, а соответствующая 
хор-
да 2АВ = 48;31,55р. По предположению, дуга 2ЕН = 60°, откуда хорда 2ЕН = 60р.
    
Наконец, по определению точки летнего солнцестояния, дуга 2ЕВ = 180°, откуда
хорда 2ЕВ = 120р.
Подставляя эти значения, Птолемей получает
Crd 2Z0  60" _    120"
Crd20H'i2OP " 48;31,55Р'
откуда
Crd 2Ze _    12QP
Crd20H _ 24;15,57P'
Так как 2Z0 = 180°, то хорда 2Z0 = 120р. Отсюда хорда 2вН = 24; 15,57, а
удвоенная дуга 20Н = 23; 19,59°. Следовательно, склонение точки эклиптики с
эклиптической долготой А = 30°, согласно Птолемею, есть д = 11;40°. Аналогичным
образом вычислена величина склонения точки эклиптики с эклиптической долготой
А = 60°.
    68.	Глава 15 содержит таблицу склонений точек эклиптики как функцию долготы
А, т.е. значения функции д(Х), вычисленные через 1° изменения долготы А по
приведенному выше правилу. Эта таблица состоит из двух столбцов. Первый столбец
называется «дуги [круга] через середины [зодиакальных созвездий]», т.е. дуги
эклиптики. Таким образом, ясно, что речь идет об эклиптической долготе А. 
Второй
столбец носит название «дуги полуденного круга», т.е. меридиана. На самом же
деле речь идет о дугах не меридиана, а круга склонений.
    Объяснить это можно следующим образом. Когда точка эклиптики с долготой
А в результате суточного обращения небесной сферы оказывается в плоскости
меридиана, то дуга, определяющая ее склонение, будет равна дуге меридиана,
заключенной между соответствующей точкой эклиптики и точкой небесного экватора.
Меридиан, таким образом, может использоваться для определения склонений точек
эклиптики с долготой А. Второе возможное объяснение: название круга, 
перпендику-
лярного горизонту (меридиан), переносится на круг, перпендикулярный эклиптике,
поскольку для последнего не существует особого названия; это следствие неразра-
ботанности терминологии.
    Максимум значения д в таблице склонений Птолемея достигается в точке с
долготой А = 90°. Он равен величине наклона эклиптики. Следуя Дж.Тумеру, мы
внесли исправления в числовые данные этой таблицы, сделанные в результате
тщательной проверки, пересчета и сопоставления с рукописями, недоступными
издателю греческого текста, на котором основывался И.Н.Веселовский [РА, р.71,
п.87 |.
    Вопрос о происхождении птолемеевской таблицы склонений представляет
определенные трудности. Как показали современные исследования, большинство
значений (5(A), зафиксированное в таблице, не может быть получено на основе
таблицы хорд, приведенной в гл.11, методом, описанным Птолемеем. При вычислении
табличных значений д(А) разность составляет (—2") — (+4") и носит периодический
характер, что нельзя объяснить небрежностью Птолемея или ошибками переписчиков.
Р.Ньютон предположил, что при вычислении птолемеевской таблицы склонений
использовалась не его собственная таблица хорд, а какая-то более ранняя и более
грубая. Б.Л.Ван-дер-Варден выдвинул предположение, что эта более ранняя таблица
была вычислена в результате применения некоторого правила, эквивалентного
рекурсивной формуле, основанной на теоремах Архимеда о свойствах ломаной в
круге, и автором его был, вероятно, один из крупнейших математиков эпохи
эллинизма Аполлоний Пергский (ок. 260-170 до н.э.). Это рекурсивное правило
впоследствии стало известно в Индии и использовалось Ариабхатой I (475 н.э. — 
?)
при вычислении таблицы синусов IWaerden, 1988(1), р.31-37; 1988(2), р.181-183].
    69.	Временной градус (xpovoi ioTipxpivoi, буквально «равноденственные, или
экваториальные времена») — это интервал времени, равный 1/360 части суток, или
4т, вследствие чего и получил название «градус». Эта астрономическая единица
имеет вавилонское происхождение. Как прямое восхождение а, так и времена 
восхода
р дуг эклиптики на различных широтах определяются Птолемеем при помощи
временных градусов.

    70.	В гл.16 решается задача об определении времен восхода р(ДА) 
произвольных
дуг эклиптики АЯ = Д2 — Aj в прямой сфере, т.е. на земном экваторе при (р = 0°.
Времена восхода дуг эклиптики в прямой сфере, согласно Птолемею, равняются
временам прохождения этих же дуг через меридиан при суточном обращении
небесной сферы, причем последнее равенство выполняется для любой географической
широты.
    Птолемей сначала определяет времена восхода р(А) дуг эклиптики для случая,
когда одна из крайних точек дуги совпадает с точкой весеннего равноденствия
(Aj =0), т.е., по сути дела, прямые восхождения а(А) точек эклиптики как 
функцию
долготы А. Значения р(А) определяются им для фиксированных значений долготы
А = 10°л, где п = 1, 2,9 (в тексте приводятся два примера вычисления р(А) для
А = 30° и А = 60°), а затем составляется таблица разностей Да для 
соответствующих
10-градусных интервалов приращения долготы от 0° до 90°, определяющих времена
восхода указанных интервалов.
71.	У Гейберга 56;1,25; исправление Дж.Тумера [РА, р.73, п.89].
    72.	При определении а как функции А Птолемей прибегает также к теореме
Менелая. Полный сферический четырехсторонник ABZHEe, представленный на
рис. 1.16, позволяет записать следующее соотношение:
Crd 2ZB _ Crd 2ZH Crd 2ЕЭ
Crd 2AB ~ Crd 2НЭ Crd 2EA'
в котором ZB = 90° - e, AB = e, ZH = 90° - д, НЭ = <5, EA = 90°, ЭЕ = а. 
Величина
склонения <5, присутствующая в этом уравнении, может быть получена по известной
долготе А при помощи таблицы склонений гл.15; величина а после этого 
определяется
однозначно.
    Таким образом, задачу по определению а(А) Птолемей решает в два этапа,
причем оба раза с использованием теоремы Менелая; сначала он находит склонение
<5 по правилу, эквивалентному формуле
sin <5 = sin е sin А,
а затем а на основе соотношения
cos е sin <5
sin a = —:	 	F.
sin e cos о
    Двукратное применение теоремы Менелая связано с отсутствием функции
тангенса в арсенале математических средств, которыми оперировали 
эллинистические
астрономы [НАМА, р.31-32].
    73.	Таблица времен восхода дуг эклиптики в прямой сфере приводится в
«Альмагесте» дважды — в конце настоящей главы и в составе таблицы гл.8 кн.И
в столбце «прямая сфера». С ее помощью могут быть вычислены прямые восхождения
а точек эклиптики при произвольной долготе А. Величины а(А) при А * 10°л
определяются линейной интерполяцией между соседними значениями. Примеры
вычисления а(А) см., например, в коммент. 31, 50, 70 к кн.IV и в коммент. 12,
ПО к KH.V.

КНИГА ВТОРАЯ
    1. Буквально «обитаемая нами часть Земли» — то, что в античной географии
именовалось ойкуменой (о1коицёут|). Так греки называли известную им обитаемую
часть земного шара. Понятие ойкумены исторически предшествует представлению о
шарообразности Земли. Так, Гекатей Милетский, Геродот и некоторые другие
авторы VI-V вв. до н.э. представляли ойкумену в виде диска, на котором 
континенты,
моря, реки, горы располагаются произвольным образом. Диск этот окружен широкой
рекой — Океаном (представление, идущее еще от Гомера и Гесиода). Представление
о шарообразности Земли, зародившееся, по-видимому, в пифагорейской школе, и
развитое Платоном, Бвдоксом, Аристотелем и другими античными учеными,
отразилось и на понятии ойкумены. По Аристотелю, ойкумена представляет собой
    
замкнутую ленту, на которой суша чередуется с морями. Эратосфен и вслед за ним
Гиппарх, Страбон, Марин Тирский, Птолемей и другие эллинистические ученые
пытались уже, пользуясь сеткой меридианов и параллелей, определить размеры
известной грекам ойкумены. Ойкумена в целом была ограничена двумя широтами
с севера и юга и двумя долготами с востока и запада и с учетом того, что 
меридианы
сходятся в северном полушарии, имела форму равнобедренной трапеции.
Согласно Птолемею, обитаемой является приблизительно северная часть земного
шара. В «Географии» он устанавливает для ойкумены следующие пределы: верхний —
остров Фуле (63 градуса северной широты), нижний — 14 градусов южной широты,
западный — Канарские острова, восточный — «страна сервов» — нынешний Китай;
таким образом, протяженность обитаемой части Земли с севера на юг составляет,
согласно Птолемею, 77 градусов, а ее протяженность по долготе — 12 часов или
180° [Рожанский, 1988, с.213-221].^
    2. «Равноденственные часы» (сорт iormepivai); равноденственный, или аст-
рономический, час составляет 1/24 часть суток и эквивалентен 15 временным 
градусам
прямого восхождения.
    3. Т.е. полюсов небесного экватора. О «первом движении» см. коммент. 28 к
кн.1.
    4. Речь идет о географической широте места, равной высоте полюса небесного
экватора над горизонтом, или о ее дополнении — расстоянии полюса от точки
зенита.
    5. Таким образом здесь речь идет о максимально возможной величине дуги на
горизонте между восходящими точками экватора и эклиптики.
    6. У Гейберга 103;55,23 [Hei I 92, 11 и 8]; исправление Дж.Тумера [РА, р.77,

п.П].
    7. В настоящей главе речь идет об определении так называемой «амплитуды
восхода» или «расстоянии восхода» (в латиноязычных источниках ortive amplitude,
а в арабоязычных — «амплитуда востока»), т.е. величины дуги горизонта rj от 
точки
востока до восходящей точки эклиптики с известной долготой А (в данном случае
рассматривается восход точки зимнего солнцестояния). Сам Птолемей не 
употребляет
термин «амплитуда» или «восходная амплитуда», а называет эту величину «дугой
горизонта между экватором и эклиптикой».
    Пусть на рис. 2.1 АЕГ — небесный экватор, ВЕД — горизонт, Е — точка
востока на горизонте, Н — восходящая точка эклиптики с фиксированной долготой
Д на данной географической широте <р, HZ — круг склонений, проходящий через
полюс небесного экватора Z и точку Н. Точка эклиптики Н и точка экватора в
одновременно пересекут небесный меридиан АВГД при суточном обращении небесной
сферы. Дуга Н0 = (5(H) — склонение восходящей точки эклиптики Н, а дуга
НЕ = г} — искомая дуга восходной амплитуды. Дуга 0А небесного экватора (в
градусном или часовом измерении) соответствует интервалу времени от восхода
точки Н до момента ее верхней кульминации в меридиане ABZrA. Дуга
20А = d соответствует продолжительности дня, дуга 20Г — продолжительности
ночи. Для определения искомой дуги г/ = НЕ Птолемей применяет теорему Менелая.
Он рассматривает полный сферический четырехсторонник ABZHE0, в котором
Crd 2вА _ Crd 20Z Crd 2НВ
Crd 2AE ~ Crd 2ZH Crd 2BE'
или, если перейти от хорд к синусам,
sin вА _ sin ez sin НВ
    sin АЕ — sin ZH sin BE'
Поскольку на рис. 2.1   АЕ = BE = GZ = 90°, вА = d/2, ZH = 90° - (5(H),   НВ =
= 90° — п, проведя вычисления, получим
cos rj = cos (5 sin (d/2);	(1)
для дня же зимнего солнцестояния, о котором в данном случае идет речь,

cos t] = cos е sin (М/2),

(Г)

где М — максимальная продолжительность дня на данной широте <р, е — угол
наклона эклиптики к экватору, t}0 — максимальное значение амплитуды восхода,
которое определяет Птолемей.
Птолемей применяет свой метод нахождения амплитуды восхода г]й для широты
Родоса (<р = 36°), где самый длинный день равен 14V2h, и с помощью указанной
вычислительной процедуры находит ц0 » 30°.
    Все известные наблюдения Птолемея произведены в Александрии; в своем 
примере
он, вероятно, использует для максимальной продолжительности дня данные Гиппарха,

который работал на Родосе, хотя, возможно, эти данные восходят к Эратосфену,
[SA, р. 102].
    8.	В главе 3 решается задача об определении географической широты места <р
по известной величине максимальной продолжительности дня М, а также обратная
задача для частного случая широты Родоса (<р = 36°). Обратная задача решается
Птолемеем по правилу, эквивалентному формуле
- cos (Mil) = tg <р tg е.	(2)
Однако значение <р по М не может быть получено столь же просто вследствие
отсутствия представлений о функции tg <р. Соответственно Птолемей сначала 
находит
cos »70 = cos е sin (М/2),	(3)
а затем
cos (М/2) COS1}0
Sin Ф =	:—). .,'  —	.	(3')
r        sin (MIT.)   Sin J7Q
Легко показать, что соотношения (3), (3') и (2) эквивалентны. Данные о широте
могут быть использованы также непосредственно для нахождения амплитуды восхода
в дни солнцестояний, согласно соотношению [НАМА, р.37-38]
sin (90° - <р) = cos <р =	(4)
v	r/	r      Sin J7FL
    9.	В общем случае, когда восходящая точка эклиптики Н имеет произвольную
долготу Я, а продолжительность дня d и амплитуда восхода г\ имеют не предельные,

а какие-то промежуточные значения, задача решается следующим образом. Пусть
на рис. 2.1 широта <р измеряется дугой меридиана BZ. Рассмотрим полный
сферический четырехсторонник ZBA0EH, в котором, согласно теореме Менелая,
sin Е0 _ sin ЕН sin BZ
sin 0A _ sin AB sin ZA'
или, если придерживаться введенных выше обозначений,
sin (d/2 — 90°)	sin rj	sin 
 cos (d/2)	,,
sm f = - imt -ймт,= -ctg 4 ctg (d/2)-	(5)
Но как показано выше (см. формулу (1)), восходная амплитуда г\ может быть
выражена через склонение 6 восходящей точки эклиптики Н, что в принципе
позволяет исключить г\ из (5) и выразить широту непосредственно через
продолжительность дня d и координаты восходящей точки эклиптики Д.
    10.	В точках эклиптики, симметричных относительно точек равноденствий, день
равен ночи. Когда Солнце, пройдя точки равноденствия, окажется на таком же от
    
нее расстоянии, на котором было до прохождения этой точки, то продолжительность
дня будет такой же, как продолжительность ночи в первом случае, а продолжитель-
ность ночи сравняется с продолжительностью дня.
    11. Доказательство Птолемея можно проиллюстрировать при помощи рис. 2-А,
где представлены, кроме экватора и эклиптики, также две суточные параллели на

небесной сфере, одинаково отстоящие к северу и к югу от
линии экватора. В точках пересечения параллели с
эклиптикой Sj и S2 (Sj и S4), симметричных относительно
точек солнцестояний А и В, имеют место равенства «день
- день» и «ночь - ночь», в точках эклиптики Sj и S^
(S2 и S3), симметричных относительно точек равноденствий,
«день- ночь» и «ночь - день».

    12. Эта задача сводится к вычислению для данной
географической широты момента времени, когда Солнце
находится в зените. Пусть на рис. 2-В Z — зенит, АО —
горизонт, ВО — небесный экватор. В момент прохождения
через меридиан в верхней кульминации в точке S
Солнце имеет склонение <5. Его зенитное расстояние
SZ = z = <р — 6 (АВ = 90° — <р). Если Солнце, проходя через
меридиан, находится в зените, то z = 0, и, следовательно,
его склонение 6 равно широте <р. Отсюда следует, что
Солнце не может быть в зените в местностях, расположен-
ных севернее тропика Рака и южнее тропика Козерога,
так как максимальное склонение Солнца д     —е. При
шах
д	о    6 = е оно бывает в зените раз в году в момент летнего
солнцестояния. Между тропиками, \<р\ < е, Солнце бывает
Рис" "в	в зените дважды в году. Уравнение <5(Д) = <р имеет два
решения: Л} = и Л2 = ^(У' с0ОТветствУюпдие этим двум моментам времени
[SA, р. 105].
   13. Отношение длины гномона к длине его полуденной тени в дни равноденствий
и солнцестояний характеризует, согласно Птолемею, широту места наблюдения.
Указанные величины могут быть теоретически рассчитаны по известной широте и
углу наклона эклиптики к экватору, и наоборот, широту и угол наклона можно
определить на основании измерений тени в указанные дни. Длину гномона Птолемей
делит на 60 частей, согласно греческой традиции, но вавилоняне и позднее 
индийские
астрономы полагали длину гномона равной 12 «пальцам», мусульманские астроно-
мы — 6'/г или 7 «стопам». Гномон использовался также для определения высоты
Солнца в произвольный момент. Вычисленные значения длины тени гномона в дни
равноденствий и солнцестояний Птолемей приводит в следующей главе как
характеристику климата, равносильную значению его широты <р и продолжительности
его наибольшего дня М. Вычисления Птолемея равносильны соотношениям (рис.2.3)
Sj = ГК = R tg (<р — е) — длина тени в день летнего солнцестояния,
sQ = TZ = R tg 
 Д(#). Соответственно продолжительность дня
будет равна
d(X) = р(к + 180°) - /э(Я),	(11)
где d(k) — продолжительность светлого времени суток, выраженная во временных
градусах. Таким образом, величину d(A) можно вычислить, пользуясь таблицами
гл.8. При этом число равноденственных часов в дне определяется как "т^г, а 
длина
одного сезонного часа как

12  ~

180°

(12)

Примеры вычислений см. в коммент. 26 и 70 к кн.IV.
    63. Продолжительность сезонного часа можно получить, не вычисляя величину
г/(Я), в виде
    

    

    
Отсюда по величине р(Н) при помощи таблицы времен восхода может быть найдена
соответствующая величина А(Я) при известной <р. Примеры вычислений см. в [НАМА,
р.41-42].
    65.	Последняя задача этой главы — определение долготы Л кульминирующей
точки эклиптики М по известной широте места <р и времени 1. Птолемей
рассматривает два случая.

    1)	Дано значение Л (Я) — долготы восходящей
точки эклиптики Н. Требуется определить ЦМ).
Пусть на рис. 2-Е изображена стереографическая
проекция небесной сферы на плоскость небесного
экватора, где V — точка весеннего равноденствия,
СЕ = 90° и VE = я (Я). Тогда прямое восхождение
точки М определится выражением а(М) = VC =
= VE — СЕ = р(Я) - 90°. Зная а(М), по таблицам
гл.8 для прямого восхождения можно найти Я(М).
Рис. 2-Е
    2)	Пусть задан момент времени t (а это
означает, что известна также долгота Солнца А) и
интервал времени т между этим моментом и полднем
в сезонных или равноденственных часах, эквивален-
тный в градусном измерении дуге DC (рис. 2-Е).
По таблицам гл.8 находим значение прямого вос-
хождения Солнца а(А) = VD. По значению а(Л) определится прямое восхождение
кульминирующей точки эклиптики М: а(М) = а(Л) — DC. Определив его, можно,
воспользовавшись теми же таблицами, найти значение А(М) [НАМА, р. 41-42].
    Аналогичным образом проводится и обратная операция: определение долготы
восходящей точки Л(Я) по известному значению долготы кульминирующей точки
Я(М). Примеры вычисления Я(М) по известным <р, Л и г см. в коммент. 12, 108 и
ПО к KH.V.
66.	Т.е. точкой зенита.
    67.	Углы между эклиптикой и меридианом определить легче, поскольку они не
зависят от географической широты, а являются функцией только долготы точки
пересечения эклиптики с меридианом. Птолемей определяет эти углы для 12 
значедий
долготы, соответствующих началам знаков зодиака. Предварительно он доказывает
два соотношения симметрии: 1) углы в точках эклиптики,
симметричных относительно точек равноденствий, равны;
2) сумма углов в точках, симметричных относительно
солнцестояний, равна 180°. Затем он доказывает, что угол
между эклиптикой и меридианом равен 90° в точках
солнцестояний и 90° ± е в точках равноденствий. В общем
случае, когда кульминирующая точка эклиптики М имеет
произвольную долготу Я(М), применяется, как обычно,
теорема Менелая.
    Пусть на рис. 2-F CFE — небесный экватор, MF© —
эклиптика,  М —  кульминирующая  точка эклиптики,
которая служит полюсом большого круга КК, проходящего
через точку востока экватора Е, представляющую собой полюс меридиана КМСК.
Птолемей рассматривает полный сферический четырехсторонник MCK&EF, в
котором, согласно теореме Менелая,
sin МС    sin MF sin QE
 . „т; sin F& —
sin CK	sin EK
или

sin 8

sin [180° - A(M) ]       sin eg

sin (90° - d)    sin [90° - (180° - A(M)) ] sin 90°'

что равносильно соотношению
    tg д = tg ЦМ) sin QE,
откуда
sin BE = tg<5ctgA(M).	(14)
/ч		
Искомый угол в М (= КМ&) измеряется дугой большого круга КК, равной
90° + QE.
    Птолемей вычисляет в общем случае искомый угол для двух значений долготы
Х(М) = 30° и 60°. Все остальные значения определяются по этим двум на основе
доказанных выше соотношений симметрии. Для удобства приведем в табличном виде
полученные Птолемеем значения угла между эклиптикой и меридианом для 12
значений долготы А(М) [НАМА, р.47-48]:
    
0° Овна
0° Тельца
0° Близнецов
0° Рака
0° Льва
0° Девы

66.9°
69;0
77;30
 90; 0
102;30°
111;0
113;Л


0° Рыб
0° Водолея
0° Козерога
0° Стрельца
0° Скорпиона
0° Весов

    68. Значения углов между эклиптикой и горизонтом определяются, как и в
предыдущем случае, для двенадцати точек эклиптики — начальных точек знаков
зодиака — при фиксированном значении широты. Предварительно Птолемей
доказывает соотношения симметрии: 1) точки эклиптики, симметрично располо-
женные   относительно точек равноденствий, образуют с горизонтом равные углы;
2) углы при восходящей и заходящей точках эклиптики составляют в сумме 180°;
3) точки эклиптики, симметричные относительно точек солнцестояний, при восходе
и заходе образуют углы, в сумме равные 180°. После этого Птолемей определяет
искомые углы v для наиболее простого случая, когда восходят или заходят точки
равноденствий (Я = 0° или 180°); в этом случае угол между
эклиптикой и горизонтом v = 90° — <р + е.

    В общем случае рассуждения Птолемея сводятся к
следующему. Пусть на рис. 2-G точка Н эклиптики
VHMG, имеющая долготу А, находится на линии горизонта
EHSK. Проведем круг высоты ZKGZ, для которого точка
Н является полюсом. Требуется определить дугу KG этого
круга высоты, измеряющую искомый угол KHG. Точка
Е небесного экватора VE восходит на горизонте одновре-
менно с Н. Проведем круг высоты ZS М Z, являющийся
одновременно кругом склонения, для которого точка Е —
Рис. 2-G	полюс.   Тогда   точка   М   пересечения   этого   круга   с
                             эклиптикой есть точка нижней кульминации 
эклиптики;
так как мы можем определить по известной долготе Н долготу кульминирующей
точки М эклиптики, то мы также знаем долготу точки М = М + 180°, находящейся
в нижней кульминации. Искомая дуга KG определяется с помощью теоремы Менелая
для полного сферического четырехсторонника ZKGMHS с вершиной в точке G,
которая имеет вид

sin ZK _ sinZS sin НМ
sin KG     .   — sin HG'
smSM

Так как дуги ZK = ZS = HG = 90°, то это выражение примет вид
1	1     sin НМ

sin KG

sinSM

откуда получаем
.   „_    sin SM
sin KG =	
sin HM
Но дуга НМ = k(M + 180°) - А(Я), а дуга SM= (90° - )]
откуда

sin LA,

(15')

LA = lrcsin sinhcos ЩН)-ЦР)]
LA - drCSin        h      [Д(//) _ Д(р) j


(16)

LA = arcsin {tg Л(Я) ctg [А(Я) - A(P) ]}.	(16')
Зная величину дуги LA, легко найти искомый угол у, исходя из соотношения
у = 180° - KL = 90° + LA.
Примеры вычисления угла у согласно методике Птолемея см. в коммент. 12 и 113
к KH.V.
    Впоследствии астрономы средневекового Востока вычисляли эти параметры проще,

в обход теоремы Менелая, пользуясь теоремой синусов для прямоугольного
сферического треугольника [Рожанская, 1976].
    76. Глава 13 представляет собой таблицы значений z(A, t, <р) и у(А, t, <р),
вычисленные для семи климатов, широты которых характеризуются максимальной
продолжительностью дня и соответствующей высотой полюса, начиная от Мероэ
(М= 13h и Ф = 16;27°) до Борисфена Ш = 16h и <р = 48;32°); приращение 1мроты
    
от климата к климату соответствует изменению максимальной продолжительности
дня на Уг-
    Для каждого из семи климатов Птолемей составил 12 «подтаблиц» для 12
фиксированных значений долготы Хт = (т — 1)-30°, соответствующих началам знаков
зодиака. В каждой «подтаблице» переменная t изменяется от 0 до значения VjM,
т.е. половины продолжительности самого длинного дня; t — это время в
равноденственных часах, которое затратит точка эклиптики с долготой А на широте
<р, перемещаясь суточным движением из данного положения в плоскость меридиана.
    Каждая из 12 «подтаблиц» содержит четыре столбца; первый (озаглавленный
«часы») содержит время t в равноденственных часах от полудня до указанного
момента; второй столбец («дуги») — зенитное расстояние. Например, если на широ-
те Мероэ в полдень 0° Рака лежит на меридиане, то в этом случае
z = 90° - (90° - <р + е) = +16;27° - 23;51° = -7;24° (таблица дает 7;24°). В 
моменты
восхода или захода Солнца значение z для всех «подтаблиц» составляет 90°. 
Третий
и четвертый столбцы содержат значения угла у соответственно для точек эклиптики,

расположенных к востоку и к западу от меридиана. Значения «западных углов»
получаются путем вычитания соответствующих значений «восточных углов» из
180°. Рассмотрим, например, «подтаблицу» для созвездия Рака на широте Мероэ.
Третий столбец, т.е. значение у к востоку от меридиана, начинается с 90°, так 
как
эклиптика в начале Рака (когда одна точка равноденствия восходит, а другая
заходит)   перпендикулярна   меридиану. Если 0° Рака находится на lh к востоку
от меридиана, то у = 25; 16° (третий столбец), а если на lh к западу, то
у = 180° — 25;16° = 155;44°, в соответствии с данными таблицы. Значения углов 
для
промежуточных значений долготы, времени и широты должны вычисляться линейной
интерполяцией между значениями, зафиксированными в таблице по каждой из трех
переменных, что делает их использование крайне сложным. Эти таблицы
предназначались главным образом для расчета лунного и солнечного параллакса.
Позднее мусульманские астрономы создали специальные таблицы, позволяющие
вычислять составляющие лунного и солнечного параллакса значительно более
простым способом.
В настоящую таблицу внесены исправления согласно [РА, р.122, 130, п.108].
    77. Намерение Птолемея было реализовано в его «Географии», где, однако, он
использует в качестве первого меридиана не меридиан Александрии, а меридиан,
проходящий через Счастливые острова, или Острова Блаженных, соответствующие,
по-видимому, Канарским островам, — на крайнем западе.

Книга третья
    1.	Речь идет об открытии Гиппархом явления прецессии. См. по данному 
вопросу
[Kurtik, 1984; Тоотег, 1978]. Теория прецессии подробно рассматривается 
Птолемеем
в гл.2-3 KH.VII.
    2.	Птолемей здесь имеет в виду повторяющиеся ежегодно периодические
изменения положений точек восхода Солнца на горизонте, высоты Солнца при его
прохождении через меридиан и продолжительности дня или ночи. Эти явления,
связанные с годовым движением Солнца по эклиптике, были известны античным
астрономам задолго до Птолемея.
    3.	Приступая к построению теории движения Солнца, Птолемей последовательно
решает три задачи: во-первых, определяет, какой вид годового промежутка в
наибольшей степени подходит для этой цели, во-вторых, выясняет, имеет ли этот
годовой промежуток постоянную величину, в-третьих, находит саму эту величину.
    Годовой промежуток определяется им как интервал времени, в течение которого
Солнце совершает на эклиптике полный оборот относительно некоторой начальной
точки. Этот промежуток может быть измерен по-разному. Традиция, восходящая к
Гиппарху, различает два основных способа их определения — при помощи
неподвижных звезд и по отношению к точкам равноденствий и солнцестояний.
    
Промежуток времени, в течение которого Солнце возвращается при своем годовом
движении к одной и той же звезде, есть сидерический год. Этот промежуток
использовался в месопотамской астрономии и играл также определенную роль в
эллинистических теориях, предшествовавших Гиппарху. Интервал времени от одного
из равноденствий или солнцестояний до следующего одноименного с ним есть
тропический год. В настоящее время тропический год определяют как интервал
между двумя весенними равноденствиями, но в античности не существовало такого
жесткого правила. Во времена Птолемея продолжительность тропического года
составляла около 365,242d. Как сидерический, так и тропический годы в равной
степени хорошо воспроизводят сезонные изменения, связанные с движением Солнца
по эклиптике. Расхождение между ними объясняется прецессией, или вращением
сферы неподвижных звезд в направлении последовательности знаков зодиака, как
это явление объясняет Птолемей.
    В основу своей теории Птолемей кладет, следуя Гиппарху, тропический год.
Решающий довод в пользу такого выбора имеет у него кинематический характер.
Небесный экватор и эклиптика, согласно Птолемею, образуют в пространстве
абсолютно неподвижную координатную систему. Точки равноденствий и солнцесто-
яний служат при этом естественным началом отсчета движений светил. Планеты
же и сфера звезд обладают собственными движениями в пространстве, что делает
их использование в качестве точек отсчета при измерении периодических движений
светил менее удобным, так как получаемые в результате величины скоростей будут
зависеть от скоростей движения самих точек отсчета.
    4. Приведенная Птолемеем цитата из работы Гиппарха представляет 
единственное
известное нам свидетельство о том, что Архимед (III в. до н.э.) производил
специальные наблюдения для измерения продолжительности тропического года, по
своему характеру близкие наблюдениям Гиппарха.
    5. Инструмент, о котором идет речь, в современной литературе известен под
названием равноденственного или экваториального кольца. На рис. 3-А 
представлена
его реконструкция, принадлежащая СВ.Житомирскому, где 1 — кольцо, изготов-
ленное из меди и установленное в плоскости небесного экватора на данной широте;
2 — основание; а—а — линия меридиана. Теоретически Солнце при своем движении
по эклиптике оказывается в плоскости экваториального кольца на данной широте
лишь два раза в году — в дни весеннего и осеннего равноденствий; при этом на
короткое время будут освещены обе стороны кольца, как северная, так и южная,
и обращенная к Солнцу часть кольца отбросит тень на противоположную его часть.
Другие реконструкции этого инструмента, а также исследование его точности см. в
\Britton, 1967, р.29; Bruin, 1976; Price, 1957, р.589].
    6. -161, сентябрь 27, 18h. О календарях, используемых в «Альмагесте», и 
методах
преобразования зафиксированных в них дат наблюдений в юлианский календарь см.
в Приложении «Календарь и хронология в «Альмагесте».
    В главе 1 и далее Птолемей приводит данные о шести наблюдениях осенних
равноденствий и четырнадцати наблюдениях весенних равноденствий, выполненных
Гиппархом между -161 и -127 годами, а также о четырех собственных наблюдениях
такого же типа, датированных 132-140 г. н.э. Можно сделать вывод, что вместе с
двумя более ранними наблюдениями солнцестояний, одно из которых принадлежит
Метону и Евктемону (в -431 г.), а другое — Аристарху Самосскому (в -279 г.),
имевшиеся в его распоряжении наблюдения для определения продолжительности
года охватывали промежуток более чем в 550 лет.
    Наблюдения равноденствий и солнцестояний, сведения о которых приводит
Птолемей, могут быть использованы для оценки некоторых параметров современной
астрономической теории, прежде всего вековых ускорений движения Луны и
вращения Земли. Поэтому они всегда привлекали внимание не только историков
астрономии, но и астрономов. Исследованию этих наблюдений посвящена обширная
литература. Мы приводим здесь таблицу из диссертации Дж.Бриттона [Britton, 1967,

р.23, Table II— 1 ], содержащую результаты его анализа точности этих наблюдений
(новое издание, оставшееся, к сожалению, нам недоступным, см. [Britton, 1992]).
В таблице приводятся — номер наблюдения; дата и место наблюдений (Аф —
Афины, А — Александрия, Р — Родос); местное истинное время, зафиксированное
    
во время наблюдений; долгота Солнца, вычисленная для соответствующих моментов
наблюдений на основе современной теории, учитывающей вековые изменения
(А    );   погрешности  наблюдений,   полученные  в  результате  деления  
разности
?^выч— ^набл на ИСТИННУЮ скорость Солнца, которая предполагалась равной в
окрестности весеннего равноденствия 0,0405°/h, в окрестности летнего 
солнцестояния
— 0,0399°/h, в окрестности осеннего равноденствия — 0,0415°/h.
Наблюдения равноденствий и солнцестояний

Но-
мерДата и место
наблюденийМестное
истинное
время  Долгота
Солнца
вычисленнаяПогрешность
наблюдения1
2
3
4
5
б
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28-	431 :VI: 27 Аф
-	279: VI: 26 А(?)
-	161:IX: 27 Р(?)
-	158: IX: 27 Р
-	157: IX: 27 Р
-	146: IX: 27 Р
-	145: III: 24 Р
-	145: III: 24 А
-	145: IX: 27 Р
-	144: III: 23 Р
-	143: III: 23 Р
-	142: III: 24 Р
-	142: IX: 26 Р
-	141: III: 24 Р
-	140: III: 23 Р
-	134: III: 24 Р
-	134: VI: 26 Р
-	133: III: 24 Р
-	132: III: 23 Р
-	131: III: 23 Р
-	130: III: 24 Р
-	129: III: 24 Р
-	128: III: 23 Р
-	127: III: 23 Р
132: IX: 25 А
139: IX:26 А
140: III: 22 А
140: VI: 25 А  6h
[18]
18
6
12
0
6
11
6
12
18
0
18
6
12
0
12
6
12
18
0
6
12
18
14
7
13
2 88,83°
89,52
180,62
180,40
180,41
180,23
359,61
359,81
180,24
359,62
359,63
359,64
180,01
359,65
359,66
359,70
90,17
359,71
359,72
359,73
359,73
359,74
359,75
359,76
181,36
181,37
0,83
91,42+ 29,5h
+ 12,1
-	15,0
-	9,6
-	9,8
-	5,6
+   9,5
+   4,6
-	5,8
+   9,3
+   9,1
+   8,9
-	0,2
+   8,7
+   8,5
+   7,4
-	4,0
+   7,2
+   7,0
+   6,8
+   6,6
+   6,4
+   6,2
+   6,0
-	32,7
-	33,0
-	20,4
-	35,4   Аналогичного типа данные можно найти и в некоторых других 
исследованиях
[Ньютон, 1985, с. 87-91; Czwalina, 1958; Fotheringham, 1918; 1920; НАМА, р.276;
Newton, 1970, р.9; 1976, Tabl.V.2; Rome, 1937; 1938; 1943(2); Pedersen, Schmidt,

1967, р.84].
7. -158, сентябрь 27, - 6h.
    8. -157, сентябрь 27, - 12h. Три указанных наблюдения осенних равноденствий
отделены 11-летним интервалом от основного массива наблюдений Гиппарха.
Высказывается поэтому предположение, что они принадлежат какому-то другому
астроному и что Гиппарх только использовал их в своей теории Солнца [РА, р. 133,

п.8].
9. -146, сентябрь 26/27, полночь.

10. -145, сентябрь 27, 6h.
11. -142, сентябрь 26, ~ 18\
12. -145, март 24, ~ 6h.
    13.	Здесь, по-видимому, речь идет о двух наблюдениях одного и того же 
весеннего
равноденствия, произведенных соответственно Гиппархом на Родосе 
(зафиксированное
время — 6h) и неизвестным наблюдателем в Александрии (~ llh), см. в таблице
коммент. 6, № 7, 8.
14. Даты указанных наблюдений см. № 10-15 в таблице коммент. 6.
15. -134, март 24, ~ 0\
    16.	-127, март 23, 18h. Даты предшествующих этому наблюдению шести
наблюдений весенних равноденствий, о которых упоминает Птолемей, см. № 18-23
в таблице коммент. 6.
    17.	Птолемей утверждает, что если плоскость экваториального кольца 
отклоняется
в окрестности равноденствий по склонению от плоскости небесного экватора на 
угол
= 0;6°, то это небольшое отклонение приводит к погрешности в определении
долготы Солнца ~ 1/4°, что равносильно погрешности в определении моментов
равноденствий ~ 1/4 дня. Справедливость этого утверждения проверяется при 
помощи
таблицы склонений Солнца в гл.15 кн.1, где долготе Солнца 1° соответствует
склонение 0;24,16° [РА, р.134, п.11].
    18.	О равноденственном, или экваториальном, кольце см. в коммент. 5.
Двукратное затемнение противоположной части кольца в течение одного дня в
случае, если кольцо установлено правильно, т.е. если отсутствует отклонение
плоскости кольца от плоскости небесного экватора, может произойти вследствие
действия рефракции. Наилучший анализ этой проблемы см. в [Britton, 1967, р.
29-42].
19. Колос (Спика) — звезда a Vir.
    20. Даты затмений: -145, апрель 21 (в 32 г. третьего периода Каллиппа) и
-134, март 21 (в 43 г. того же периода); анализ процедуры, которую использовал
Гиппарх для определения долготы Колоса, см. в [Rome, 1938].
    21. Время затмения зависит существенно от скоростей движения Солнца и Луны,
которые приблизительно можно принять равными l°/d для Солнца и 13°/d для
Луны; относительная скорость их движения, таким образом, равна 12°/d или 1/2°
за час. Поэтому смещение положения Солнца во время затмения на 1° должно
приводить к изменению времени затмения приблизительно на 2 часа.
    22. Здесь Птолемей впервые упоминает о необходимости следования «принципу
простоты» при кинематико-геометрическом моделировании движений светил. Другую
формулировку того же принципа см. в кн.ХШ, гл.2, с.401, а также в кн.1 II, гл.4,

с.91.
23.	В самом деле, если * ', t2' — моменты равноденствий или солнцестояний,
зафиксированные во время наблюдений, * , t2 — их точные значения, п — 
количество
лет между наблюдениями и Aij = t ' - tx и Ы2 = t2' - t2 — погрешности, 
допущенные
в каждом из двух наблюдений, то продолжительность года определится согласно
формуле

п	п	п	On'
где TQ — истинное значение. Погрешность в определении TQ, как видим, обратно
пропорциональна числу лет п, прошедшему между двумя наблюдениями.
24. Об этих наблюдениях см. с.81   и коммент. 29—31.
25. -146, сентябрь 26/27, 0\
26. 139, сентябрь 26, ~7h.
27. -145, март 24, ~ 6h .
24. 
28. 140, март 22, - 13h .
    29. -431, июнь 27, - 6h. В парапсгмс из Милета, датируемой —109/108 гг.,
приведены две эквивалентные даты этого наблюдения — фаменот 21 и скирофори-
он 13. Очевидно, что сначала оно было записано в афинском греческом календаре
и лишь затем преобразовано в египетский календарь. Наблюдения производились
при помощи гелиотропа — разновидности солнечных часов, в которых фиксировалась
длина полуденной тени в различные моменты года. Анализ всех обстоятельств,
касающихся датировки, места, методики и цели проведения этого наблюдения, см.
в [Bowen, Goldstein, 1988, р.64-77; Тоотег, 1974(1)].
30. 140, июнь 25, 2h.
    31. Дата наблюдения летнего солнцестояния Аристархом приходится в юлианском
календаре на -279 г.; Птолемей не указывает точное время наблюдения. Более
подробные сведения об этом наблюдении приводятся в сочинениях астрономов стран
ислама. Так, в «Каноне Мас'уда» (кн.VI, гл.6) находим: «После [Метона и
Евктсмона 1 солнцестояние наблюдал в городе Афины Аристарх. [Это] было на 
закате
Солнца в воскресенье двадцать восьмого [дня ] восьмого месяца четыреста
[шестьдесят! восьмого года» [Беруни, 1976, с.371, т.е. вечером 28 фармути 468 г.

Набонассара, что соответствует, по нашим расчетам, дате -279, июнь 26, ~18h.
Замечательно, но та же дата получена Дж.Бриттоном \Britton, 1967, р.56, п.1] и
Р.Ньютоном \Newton, 1976, р.2931 на основе предположения, что наблюдения
солнцестояний Мстона и Аристарха соответствовали гиппарховой величине тропиче-
ского года, принятой позднее Птолемеем. Сообщение ал-Бируни дает этому
независимое подтверждение.
    32. Вероятная дата наблюдения Гиппархом солнцестояния: -134, июнь 26, 12h
\liritton, 1967, р.56].
    33. В переводе Дж. Тумсра последняя фраза звучит иначе: «И когда он 
излагает
вкратце свои воззрения в списке собственных сочинений» («And when he more or
less sums up his opinions in his list of his own writings*); Дж.Тумер полагает, 
что
существовал отдельно изданный список работ Гиппарха с краткими описаниями их
содержания |РА, р. 139, п.25).
    34.	Термин «математик» (цаОпцсткбс,) имел в эллинистической науке более
широкий смысл, чем теперь; он относился, в частности, к астрономам и астрологам.

    35.	Метод, при помощи которого Гиппарх получил новое значение продолжитель-
ности тропического года, излагается Птолемеем неполно. На самом деле наблюдения
солнцестояний Гиппарх использовал не как свой основной источник для нахождения
продолжительности тропического года, но только для проверки его значения,
полученного на основе известных ранее периодических соотношений. Величину года
365'/4d — i/3ood с достаточной степенью точности можно получить при помощи
76-лстнсго цикла Калиппа или 304-летнсго цикла Гиппарха (4-76у), в которых
принято вавилонское значение продолжительности синодического лунного месяца
29;31,50,8,20d. См. по данному вопросу [Swerdlow, 1980].
    Таким образом, согласно Птолемею, длина тропического года равна величине
года Гиппарха 365'/4d — |/300d = 365;14,48d. Это значение Птолемей выводит
непосредственно из наблюдений тремя различными способами, сравнивая свои
наблюдения весеннего и осеннего равноденствий и летнего солнцестояния с
аналогичными наблюдениями Гиппарха и Мстона—Евктемона, и в каждом из трех
случаев получает одну и ту же продолжительность года. Методологически его 
подход
к определению длины тропического года совершенно правилен, однако достоверность
наблюдений, которые он при этом использует, внушает определенные сомнения.
Этим наблюдениям свойственна чрезмерно большая погрешность в сравнении с
аналогичными наблюдениями Гиппарха (см. таблицу в коммент. 6), и в то же
время они точно соответствуют принятому ошибочному значению тропического года.
Сказанное относится также н к четвертому наблюдению Птолемея осеннего
равноденствия (132, сент. 25), которое он использует в гл.7 для определения 
долготы
Солнца в начальную эпоху таблиц. Вероятно, мы здесь имеем дело не с подлинными
наблюдениями, а с вычисленными значениями или с наблюдениями, которые были
    
специально выбраны Птолемеем из ряда аналогичных наблюдений, чтобы удовлет-
ворить принятой величине тропического года. См. по этому поводу [Ньютон, 1985,
с.94-102 ].
    36. Птолемей здесь неявно полемизирует с составителями планетных эфемерид,
содержавших истинные положения Солнца, Луны и планет в фиксированные моменты
времени. Эти эфемериды имели, как правило, астрологическое предназначение и
содержали моменты вхождения светил в знаки зодиака [НАМА, р.785 и сл. ]; в так
называемых «вечных таблицах» приводились положения светил по долготе через
фиксированные интервалы времени [РА, р.140, п.27; Waerden, 1979].
    37. Использование 18-летних интервалов в таблицах средних движений связано
с необходимостью размещать текст на листах папируса стандартного размера. Эти
листы вмещали только 45 строк. Поэтому Птолемей группирует свои таблицы средних
движений на трех листах следующим образом: на первом 45 строк с 18-летними
приращениями, на втором 18 + 24 = 42 строки (таблицы отдельных годов и часов),
на третьем 12 + 30 = 42 строки (таблицы месяцев и дней в месяце). Таблицы
средних движений в «Альмагесте», таким образом, охватывают всего 18x45 = 810
лет, т.е. они не достигают эпохи самого Птолемея, если вести отсчет от 
начальной
эпохи его таблиц (-746, февраль 26). Чтобы исправить эту ситуацию, Птолемей в
«Подручных таблицах» перешел к 25-летним интервалам и изменил начальную
эпоху на -323, ноябрь 12 (на так называемую «эру Филиппа»). См. по данному
вопросу [НАМА, р.55; РА, р. 140, п.28].
38.	Согласно Птолемею, истинное положение Солнца по долготе определяется в
виде суммы двух составляющих — средней долготы AQ, меняющейся линейно, и
некоторого добавочного члена — неравенства с, учитывающего нелинейный характер
зависимости долготы от времени. Таблицы средних движений служат для определения
средней долготы Солнца AQ как функции времени. В основе таблиц лежит величина
средней суточной скорости Солнца
460°
^ = 3^IW = 0;59;8'17'13'12'3r/d'
полученная Птолемеем. Средняя долгота определяется по правилу, эквивалентному
формуле

где к — средняя эксцентрическая аномалия Солнца в момент f, kA — долгота
апогея; «0 — средняя аномалия в начальный момент t^, Дх — приращение аномалии
за интервал At = t — t^, определяемое при помощи таблиц. Для нахождения Д/ё
предварительно промежуток At должен быть разбит на интервалы, содержащие
предельно допустимое число 18-летий, отдельных годов, месяцев, дней й часов. 
При-
ращения средней аномалии, соответствующие этим интервалам, берутся из соот-
ветствующих таблиц; их суммирование дает искомое приращение Дх. В оглавлении
таблиц указаны значения аномалии в начальную эпоху *0 = 265; 15° и расстояния
апогея по долготе ХА = 65;30° относительно точки весеннего равноденствия. В
сравнении с текстом Гейберга в таблицы внесены исправления по [РА, р.141, п.29].

    39. Термин «гипотеза» (wtoGeoic,) употребляется обычно Птолемеем в значении
«кинематическая схема, модель», но иногда также в более привычном нам смысле —
«предположение, истинность которого еще должна быть доказана». «Эксцентр» и
«эксцентрический» обозначается одним и тем же словом ёккеутрос,; в первом 
случае
оно, по-видимому, означает ёкке\трос. кокХос., т.е. «эксцентрический круг» [РА,
р.21, 23].
    40. Этот круг получил позднее название «деферент» от латинского глагола 
defero
(переношу), общеупотребительное в настоящее время. При переводе его греческого
эквивалента 6и.6ке\троу на русский язык И.Н.Веселовский употребляет термин
«гомоцентр».
    39. 
   41. Птолемей имеет здесь в виду кинематические модели, принятые для описания
движения Луны и планет по долготе и представляющие сочетание эпициклической
и эксцентрической моделей.
    42. Сформулированная теорема поясняется на рис. 3-В и 3-С, где изображены
соответственно эксцентрическая и эпициклическая модели. Эти рисунки 
заимствованы
из [НАМА, р. 1220, fig. 49, 50]. На рис. 3-В точка М обозначает центр эксцентра
радиуса R (причем R = 60Р); О — центр эклиптики, местонахождение наблюдателя;
МО = е — эксцентриситет, выраженный по отношению R; А — апогей, П —
перигей; Р — светило, в данном случае Солнце; к — средняя
эксцентрическая аномалия, отсчитываемая от апогея; к —
истинная эксцентрическая аномалия; с — «разность аномалии»,
или «неравенство», или «уравнение» Солнца; Птолемей упот-
ребляет также для обозначения этой величины термин
«простаферез» (яроабскрсиреак;), означающий «положительная
или отрицательная (поправка)». В эпициклической модели
(рис. 3-С) С — центр эпицикла; г — его радиус; круг с
центром в О и радиусом R — деферент; а — средняя
эпициклическая аномалия.

    Эксцентрическая и эпициклическая модели будут одинако-
вым образом описывать движение Солнца, если г = е и средние
аномалии к и а равны по абсолютной величине и противопо-
ложно направлены. В этом случае радиус-вектор, исходящий
из О и заканчивающийся в Р, будет диагональю параллелог-
рамма, стороны которого попарно равны и параллельны (см.
ниже рис. 3-Е).
    При определенных условиях тождество двух моделей будет
иметь место и в том случае, если к и а имеют одно и то же
направление. Об этом см. кн.ХП, гл.1, с.373. Соответствующая
теорема была доказана Аполлонием Пергским.
Рис. 3-С
    43. Следствием доказанной теоремы об эквивалентности при
определенных условиях эксцентрической и эпициклической
моделей является теорема: уравнение с достигает своего
максимума, когда Р находится на расстоянии ±90° относительно ^линии апсид
эксцентра, для наблюдателя, находящегося в О, т.е. если к = АОР = 90° или
270° (см. рис. 3-D, соответствующий fig. 52 в [НАМА, р. 1220]). Для 
эпициклической
модели уравнение С максимально, когда линия ОР касательна к эпициклу. Отсюда
непосредственно следует справедливость указанной теоремы для эксцентра.
Птолемей утверждает также, не приводя дока-
		зательства, что в соответствующих точках эксцентра

скорость светила Р, как она фиксируется наблюда-
телем из О, равняется ее средней величине. В апогее
скорость минимальна, а в перигее максимальна.
Определяя точки орбиты, в которых скорость светила
имеет среднюю, максимальную и минимальную
величину, Птолемей употребляет выражения «сред-
нее движение», «наибольшее движение» и «наимень-
шее движение».
    44.	Как два угла с взаимно перпендикулярными
сторонами [Евклид, IV, 8].
45.	Две дуги «подобны», если они определяются
равными центральными  углами,  но принадлежат
окружностям разного диаметра. Две дуги «равны»,
если их можно совместить наложением; следователь-
но, «равенство» возможно только для дуг одной окружности. Данное терминологиче-
ское различение восходит еще к трудам Аристотеля и Евклида.


    46.	Птолемей переходит к доказательству эквивалентности эксцентрической и
эпициклической моделей в общем виде, когда точка Р находится на произвольном
расстоянии относительно линии апсид АП (см. рис. 3-Е, соответствующий fig.51 в
[НАМА, р. 1220]). В случае, если г = е, \к\ = \а\ и вращения противоположно
направлены, Р всегда будет вершиной параллелограмма ОСРМ, в котором
ОС II MP и CP II ОМ. Смысл теоремы можно наглядно представить в векторной
форме. Один и тот же вектор ОР, характеризующий движение светила по долготе
относительно наблюдателя в О, в обеих моделях пред-
ставляется одинаковым образом:
в модели с эксцентром
ОР= ОМ+ MP,
в модели с эпициклом
ОР= ОС+ CP,
причем ОМ= CP и ОС = MP.
Рис. 3-Е
47. Т.е. если ^ = ^ и е = г.
    48. Далее Птолемей доказывает эквивалентность эпи-
циклической и эксцентрической моделей при описании
движения светила по долготе при условии, если выполняется только одно из двух
    47. 
указанных выше соотношении,

е     г
а именно     =     тогда как е * г.

Второе условие

может быть отброшено, поскольку в данном случае рассматривается только движение
светила по долготе. Изменение расстояния до светила не играет роли.
   49. В соответствии с «принципом простоты», о котором было сказано выше; см.
с.79, коммент. 22.
    50. В этой главе определяются параметры орбиты Солнца, в качестве которой
Птолемей принимает эксцентр. Положение эксцентра в пространстве фиксируется
относительно эклиптики, центр которой и начальная точка отсчета долготы 
считаются
неподвижными. Из наблюдений известно, что долгота Солнца в течение года
изменяется неравномерно, поскольку имеет место неравенство сезонов. Равные дуги
эклиптики Солнце проходит за неравные промежутки времени. Так, интервал
времени от весеннего равноденствия до летнего солнцестояния (астрономическая
весна) равен J1 = 94V2d, от точки летнего
солнцестояния до точки осеннего равноден-
ствия (астрономическое лето) /2 = 92V2d,
а всю эклиптику Солнце проходит при-
близительно за 365i/4d. Этих данных до-
статочно, чтобы определить положение
круга эксцентра относительно наблюдате-
ля, находящегося в центре эклиптики. Его
положение задают два параметра — экс-
центриситет е (расстояние центра эксцен- :
тра от центра эклиптики) и долгота апогея
ХА   (расстояние  наиболее  удаленной  от
наблюдателя точки эксцентра от точки
весеннего равноденствия на эклиптике).
По эксцентру Солнце движется равномер-
но. Зная его среднюю скорость coQ и длительности сезонов J{ и /2, легко 
определить
соответствующие дуги эксцентра {а{ и а2 на рис. 3-F). Таким образом, задача
может быть сформулирована следующим образом: три точки круговой орбиты Солнца

видны из двух данных точек, а именно из точки О — центра эклиптики и из
точки М — центра эксцентра, под данными углами; определить положение точки
М относительно точки О [НАМА, р.57-58, р. 1221, fig.53]. Данная задача была
впервые решена, по-видимому, Гиппархом. Птолемей, используя собственные
наблюдения, получил для долготы апогея кА то же значение, что и Гиппарх. Отсюда
он сделал вывод, что долгота солнечного апогея не меняется с течением времени.
Другими словами, он предположил, что тропический год равняется аномалистичес-
кому. Однако апогеи планет, согласно Птолемею, сидерически фиксированы, т.е.
они перемещаются относительно точки весеннего равноденствия вместе со звездами
со скоростью прецессии. Таким образом, здесь Птолемей входит в формальное
противоречие с другими элементами своей астрономической системы. На самом деле
апогей Солнца смещается в восточном направлении приблизительно на 1,72° за 100
лет, что равносильно 5° за 300 лет, прошедших со времени наблюдений Гиппарха
до эпохи самого Птолемея. Однако это смещение не было замечено Птолемеем.
Исследованию обстоятельств, приведших к возникновению этой ошибки, посвящена
обширная литература [Britton, 1967, Ch.II; НАМА, р.57-58; SA, р.147-149; 
Petersen,
Schmidt, 1967, р.80-83; Rome, 1943(2); Ньютон, 1985, с. 87]. Подвижность апогея
Солнца была впервые открыта в начале IX в. астрономами, работавшими при дворе
ал-Мамуна, а два столетия спустя испано-арабский астроном аз-Заркали (XI в.)
показал, что кроме прецессионного движения апогей обладает также собственным
движением относительно неподвижных звезд и таким образом впервые разделил
аномалистический и сидерический годы. См. по данному вопросу [Куртик, 1986,
с.121-122].
51. 139, сентябрь 26, - 7h , см. с.80.
52. 140, март 22, - 13h, см. с.80.
53. 140, июнь 25, 2h, см. с.81.
    54.	Как уже было сказано выше, в основе определения параметров орбиты
Солнца лежат данные о продолжительности года и сезонов J{ и /2> Как только
Птолемей установил, что три указанные величины не изменили своих значений со
времени Гиппарха, он автоматически пришел к тем же значениям эксцентриситета
е и долготы апогея ХА, поскольку вычислительная процедура осталась без 
изменений.
Из работы [Petersen, Schmidt, 1967, р.78] мы приводим данные, характеризующие
точность определения продолжительности сезонов и параметров солнечной орбиты
Гиппархом и Птолемеем. Они свидетельствуют, что погрешности в длинах сезонов
/( и /2 у Гиппарха и Птолемея были приблизительно одинаковыми; разница в
каждом случае не превышает четверти дня. Погрешности же в определении
параметров солнечной орбиты, прежде всего апогея Солнца, у них существенно
различны. Это связано с тем, что принятая процедура для определения ХА очень
чувствительна к изменению интервалов J{ и /2; погрешность в определении      и
/2 порядка ±6h приводит к погрешности в определении Ад порядка ±7°. Отсюда
можно сделать вывод, что более точное определение величины ХА Гиппархом можно
считать в известном смысле делом случая [РА, р. 149; Petersen, Schmidt, 1967,
р.80-83].

]\ (дни)/2 (дни)еХА(»)Гиппарх, Птолемей
Значения, вычисленные для года —145
Ошибки величин Гиппарха
Значения, вычисленные для года +140
Ошибки величин Птолемея94V2
94,01
-0,49
93,90
-0,60921/2
92,34
-0,16
92,56
+0,061/24= 0,0417
0.0351
-0,0066
0,0349
-0,0068651/2
66,23
0,73
71,09
5,59
    Величины продолжительности сезонов, которые приводит Птолемей, получены
им в результате округления дат наблюдений весеннего и осеннего равноденствий и
летнего солнцестояния. Использование точных значений дат (см. коммент. 51-53)
дает У, + У2 = 178'/4d, J{ = 94d13h и /2 = 92dllh. Если принять эти величины за
исходные и применить процедуру Гиппарха для определения А^, то получим
А= 64;33°, т.е. наблюдения Птолемея приводят к значению долготы апогея даже
меньшему, чем величина Гиппарха [SA, р. 148 ]. Это обстоятельство сыграло,
по-видимому, определенную роль в принятии постулата о неподвижности апогея
Солнца.
    В чем же причина ошибки Птолемея? Мы полагаем, что в ее основе лежит
стремление сохранить гиппархово значение продолжительности тропического года.
Если бы Птолемей принял новое значение, то под сомнением оказался бы постулат
о его неизменности — основа теории движения Солнца. Но приняв значение
Гиппарха, Птолемей должен был привести соответствующие наблюдения, подтвер-
ждающие правильность этого выбора. Даты этих наблюдений были им либо
вычислены, либо подобраны из числа имевшихся в его распоряжении аналогичных
наблюдений. Даты равноденствий и солнцестояния, полученные таким образом,
удовлетворяли принятой продолжительности тропического года, но приводили к
ошибочному значению долготы апогея. Как попытка разрешить эту проблему был
принят постулат о неизменности долготы апогея Солнца.
    55.	Таким образом, согласно Птолемею, величины продолжительности сезонов
имеют следующие значения: У = 94'/2d (весна), У2 = 92i/2d (лето), У3 = 88«/sd 
(осень),
У4 = 90|/sd (зима), что дает в сумме 365'/4d. Из контекста ясно, что 
аналогичные
величины использовал также Гиппарх.
    Кратко рассмотрим вычислительную процедуру, принятую Птолемеем для
определения параметров солнечной орбиты: эксцентриситета е и долготы апогея
А^. На рис. 3-F (fig.53 в [НАМА, р. 1221 ]) О — центр эклиптики, М — центр
эксцентра, по которому Солнце движется равномерно. Точки F, G и Я эксцентра
соответствуют направлениям из О на точки весеннего равноденствия, летнего
солнцестояния и осеннего равноденствия. Дуги эксцентра GF и GH видны из О под
углами FOG = 90° и GOH = 90°. Те же дуги видны из М под углами
FMG = а, = cuQS{ = 93;9°,   GMH = «2 = cuQJ2 = 91; 11°.     Поскольку  а, >     
> 90°,
центр М должен находиться в первом квадранте эклиптики. Зная а1 + а2 =
= 180° + 4;20°, легко определить углы <), = 2;10° и д2 = а1 - 90° - с5, = 0;59°.

Положение точки М относительно центра эклиптики О может быть установлено
следующим образом: если R = 60°, то в треугольнике ОМ'М находим ОМ' =
= М"М = Л sin д2 = 1;2Р и М'М = R sin (5, = 2;16р, и далее е = ОМ = 2;29,30р »
R     о -алР   п	1      мм'    2;16р
да тт- = 2;30и. Долгота апогея определится из отношения sin А . =	=   '    , 
что
24	А      е      2;30р
равносильно кл = 65;30° = 5;30° Близнецов [НАМА, р.58 ].
56.	Птолемей   определяет  максимальное  уравнение   Солнца   стах.   Согласно
доказанному, уравнение максимально, когда Солнце находится в точках эксцентра,
где истинная эксцентрическая аномалия к = ± 90° (см. рис. 3-D). Отсюда
sin с      = 4 = 0;2,30,     с     = 2;23р.
max     R       '       '       max      '
Максимальное уравнение имеет место при значениях средней эксцентрической
аномалии
к = 90° + с    = 92;23°,    к = 270° -с    = 267;37°.
max	max	'
    57. Дуги, о которых идет речь: к — средняя эксцентрическая аномалия; к —
истинная   эксцентрическая   аномалия;   с = к — к   —   «разность   аномалии», 
  или
    
«уравнение», или «неравенство», или «разность вследствие неравномерности», как
этот термин иногда переводит И.Н.Веселовский. В этой главе Птолемей приводит
метод для определения уравнения с как функции средней эксцентрической аномалии
к. Он доказывает также, что три соответствующие величины Ос, к и с)
взаимозаменяемы в том смысле, что если известна одна из них, то в принятой
кинематической модели могут быть вычислены и две другие. Метод вычисления с
поясняется на примере к = 30°. При этом Птолемей раздельно рассматривает два
случая — когда отсчет к производится от апогея и от перигея. Уравнение с как
функция к обладает симметрией относительно линии апсид. Для значений к,
симметричных относительно апогея или перигея, значения с совпадают по 
абсолютной
величине, т.е. имеет место равенство \с(к)\ = 1с(—к)\. Параллельно Птолемей 
дает
метод для определения с как функции средней эпициклической аномалии а в
эпициклической модели.	_
    58.	Здесь и далее при доказательстве взаимозаменяемости величин к, к и с
Птолемей использует следующие теоремы:
а)	если углы в треугольнике даны, то даны и отношения сторон;
    б)	если даны отношения двух величин к одной и той же третьей величине, то
дано отношение и между первыми двумя величинами;
    в)	если в прямоугольном треугольнике дано отношение двух сторон, 
прилегающих
к острому углу, то даны отношения и других сторон в этом треугольнике.
    Эти теоремы приведены под номерами 40, 8 и 43 соответственно в работе
Евклида «О заданных величинах» (Data) [РА, р.159, п.50-52].
    59.	В опубликованном Гейбергом греческом тексте стоит 2;34,36 [Hei I 247,6
и   249,20],   но   это   число   должно   быть  исправлено,   поскольку   Crd  
 2;27° =
= 2;33,55р» 2;34р. Правильная величина содержится в арабских рукописях [РА,
р.162, п.53; НА 1,177].
    60. Таблица содержит значения уравнения Солнца с как функцию средней
эксцентрической аномалии к, отсчитываемой от апогея. В окрестности апогея
уравнение с меняется медленнее, чем у перигея, поэтому для 0° < к < 90° и
270° < к < 360° значения с даны с интервалом 6°, а для 90° < к < 270° через 3°. 
В
«Подручных таблицах» значения функции с(к) вычислены через 1° приращения
аргумента. При построении этой таблицы Птолемей использовал свойство симметрии
функции с(к), о котором было сказано выше. Значения к, симметричные 
относительно
линии апсид, дают равные по абсолютной величине значения с(к), но разного 
знака:
с < 0 при 0° < к < 180° и о 0 при 180° < к < 360°.
    61. Утверждение Птолемея о том, что в его распоряжении имелись данные
наблюдений месопотамских астрономов со времени Набонассара, подтверждаются не
только приводимыми им датами лунных затмений, из которых самое раннее
датируется -720 г. (кн.IV, гл.6, с.118), но также данными клинописных 
источников.
Самый ранний известный вавилонский дневник наблюдений датируется -651 г.
[Sachs, Hunger, 1988, р.43]; сведения же о наблюдениях затмений относятся к еще
более раннему времени [LBAT, 1955, p.XXXI].
    62. В главе 7 Птолемей определяет значение средней эксцентрической аномалии
*0 в начальную эпоху своих таблиц <0 - 1 тота 1 года Набонассара (-746, февраль
26, истинный полдень). Значение *0 может быть найдено, если известно значение
к в любой другой момент времени t. При этом Птолемей использует наблюдение
осеннего равноденствия; в момент равноденствия истинная долгота Солнца равна
180°.   Зная   долготу   апогея   Лд   и   эксцентриситет е,   можно   показать,
   что
в    соответствующий    момент    уравнение    с = — 2; 10°.    Отсюда    к = 
AQ — с =
= 180° - 65;30° + 2; 10° = 116;40°.
    63.	132, сентябрь 25, 14h. Это наблюдение Птолемея характеризуется большой
погрешностью, достигающей 32h (см. № 25 в таблице коммент. 6), намного
превосходящей среднюю статистическую погрешность аналогичных наблюдений
Гиппарха.  Вместе  с тем  его дата точно соответствует принятому  Птолемеем
    
ошибочному значению продолжительности тропического года, если вести отсчет от
гиппархова наблюдения осеннего равноденствия в —146 г. [Ньютон, 1985, с.98].
По-видимому, его дата была не наблюдена, а вычислена. Погрешность в дате этого
наблюдения приводит к систематической погрешности в средней долготе Солнца
порядка 1,3°, что существенно снизило точностные характеристики теории Солнца
Птолемея в целом. Анализ точности теории Солнца Птолемея см. в [Britton, 1967,
Ch.II]. Последствия этой ошибки, однако, не ограничиваются только одной теорией
Солнца, так как эта теория является основой для построения лунной теории и для
определения координат звезд.
64. Вычисления производились согласно следующей хронологической схеме:

От начала эры Набонассара (-746, февраль 26)	424у
до смерти Александра (-323, ноябрь 12)
От смерти Александра	294у
до начала 1 года Августа (-29, август 31)
От начала 1 года Августа	161У
до начала 17 года Адриана (132, июль 20)
От 1 тота до 7 атира, 2 часа	66d 2h
Всего	At=t-t0 = 879y66d2h
См. также хронологическую таблицу на с.458-459.
    65.	Птолемей находит приращение средней эксцентрической аномалии, соответ-
ствующее вычисленному промежутку At:
Ак = 211;25°.
Однако точные вычисления по его таблицам в гл.2 дают Ак = 211;25,43°. Результат
Птолемея будет точным, если предположить, что он при определении Ак использовал
интервал среднего времени At, отличающийся от интервала истинного времени At
на величину уравнения времени АЕ =0;26h [НАМА, р.63; SA, р. 152].
    66.	Таким образом, согласно Птолемею, в начальную эпоху эксцентрическая
аномалия имеет значение
к0 = к - Ак = 116;40° - 211;25° = 265; 15°
и средняя долгота Солнца
Х0 = ЛЛ + к0 = 65;30° + 265;15° = 330;45° = 0;45° Рыб.
    Эти величины приводятся в оглавлении таблицы среднего движения Солнца в
гл.2. Для к0 таблицы солнечного неравенства дают с = стах = 2;23°. Отсюда 
истинная
долгота Солнца в начальную эпоху
Л0 = Х0 + с = 333;8° = 3;8° Рыб.
67.	В главе 8 излагается методика определения истинной долготы Солнца AQ в
произвольный момент времени t При этом последовательно определяются:
    1)	интервал At = t - t0 от начальной эпохи до заданного момента; для Солнца
не требуется производить преобразование промежутка истинного времени At,
полученного из наблюдений, в промежуток среднего времени At, для которого
составлены таблицы, поскольку разность долгот, обусловленная уравнением
времени, в случае Солнца не превосходит 0;2° [РА, р.172, п.70];
2)	приращение средней эксцентрической аномалии Ак (= ДА~0), соответствующее
At, по таблице гл.2 (см. рис. 3-G);
3)	средняя аномалия к = кп + Ак;

4)	средняя долгота Солнца AQ = к + ХА = к0 + Дк + Л^;
    5)	уравнение с, соответствующее Дк, по таблице гл.6, причем с < 0, если
0° < Дк < 180°   и   о 0,   если 180° < Дк < 360°;
6)	истинная долгота Солнца AQ = AQ + с.

    Птолемей в своих вычислениях нередко опре-
деляет также истинную эксцентрическую аномалию
Солнца к = к + с.
    Примеры определения средней долготы Солнца
согласно методике Птолемея см. в коммент. 26, 28,
30, 70 к кн.IV, коммент. 14 к KH.V и др.
68.  В  настоящей главе Птолемей исследует
ТО   понятие уравнения времени.  Предварительно он
дает несколько важных определений, касающихся
измерения суток. Птолемей различает следующие
три категории суток.
                           1.  Звездные,   или  сидерические,   сутки   (эти
Рис. 3-G	термины он не использует в явном виде) — период,
                                     в течение которого сфера звезд совершает 
один
оборот вокруг полюсов равноденственного круга относительно горизонта или
меридиана. Звездные сутки есть величина постоянная.
    2. Истинные солнечные сутки (сшвцсАа уих6т)цера, букв, «неравномерные дни») 
—
промежуток между двумя последовательными прохождениями Солнца через линию
горизонта или меридиана. Отсчет суток от горизонта (от восхода до восхода или
от заката до заката) был широко распространен в античности, однако он был
неудобен с астрономической точки зрения, так как получающаяся в результате
временная единица зависела от широты места и сезонов. Если же вести отсчет
суток от момента прохождения центра Солнца через меридиан, то указанная
зависимость будет устранена. При этом истинные солнечные сутки будут изменяться
с течением времени по двум причинам: во-первых, в силу неравномерности движения
Солнца по эклиптике (ускорения в окрестности перигея и замедления в окрестности
апогея), во-вторых, потому что Солнце движется не по экватору, а по эклиптике,
которая пересекает меридиан под различными углами на протяжении года. Поэтому,
даже если предположить, что движение Солнца по эклиптике равномерно, тем не
менее, ее равные дуги будут пересекать меридиан за неравные промежутки времени,
что и приводит к неравенству суток.
    3. Средние солнечные сутки (бшЛа \ч)х6т)цера, букв, «равномерные дни») —
это промежуток времени, в течение которого равноденственный круг перемещается
суточным вращением относительно горизонта или меридиана на постоянный угол
360° + 0;59°, как если бы в плоскости небесного экватора равномерно двигалась
точка со скоростью, равной средней угловой скорости Солнца.
    Фактически Птолемей здесь использует понятие «среднего экваториального
Солнца», не определяя его в явном виде. Средние солнечные сутки больше звездных
суток на величину среднего суточного движения Солнца по долготе в направлении,
обратном суточному вращению.
    Средние солнечные сутки, определенные таким образом, лежат в основе таблиц
средних движений Солнца, Луны и планет. Они задают линейную равномерную
шкалу среднего солнечного времени U Однако реальные солнечные сутки,
наблюдаемые астрономически, не совпадают с этой теоретической величиной,
поскольку их продолжительность меняется с течением времени. Они образуют шкалу
истинного солнечного времени t. Соотношение между ними можно записать в виде
t - 7 = Е,
где Е — величина, известная в современной астрономии под названием «уравнения
времени». Происхождение этого термина остается невыясненным. Античные астро-

номы им не пользовались. Соответствующая величина в византийской, исламской
и латинской астрономической литературе называлась «уравнением дня» (на 
латинском
equatio dierum) [НАМА, р.61, n.2; SA, р.154-155].
    69.	Истинная скорость Солнца равняется его средней скорости в точках 
эксцент-
ра, где истинная эксцентрическая аномалия к равна 90° или 270° и уравнение
с = с     = 2;23° (рис. 3-D). Когда Солнце переходит из одной такой точки в 
дру-
mux
гую,  то ДА: = ДА0 = 180°, и для дуги у апогея имеем Дк = 180° + 2-2;23°«
= 180° + 43/4°, а у перигея Ак = 180° - 2-2;23 ~ 180° - 43/4°.
    70.	Сказанное легко проверить при помощи таблиц времен восхода дуг 
эклиптики
на различных широтах, представленных в гл.8 кн.II. Например, для широты Родоса
(М = 14i/2h, Ф = 36°) имеем: время восхода дуги эклиптики от 0° Рака до 0° 
Козерога
р = 217;30°, от 0° Козерога до 0° Рака р = 142;30°, отсюда Ар = 75°, что 
соответствует
5h = (М — т) — разности между продолжительностью наибольшего и наименьшего
дня на этой широте, согласно Птолемею.
    71.	Времена прохождения дуг эклиптики через меридиан равняются временам
восхода соответствующих дуг в прямой сфере и не зависят от широты. Отсюда при
помощи таблиц времен восхода кн.П, гл.8, столбец «Прямая сфера», находим: время
прохождения через меридиан Близнецов и Рака равно 64; 32° « 60° + 4V2° (то же
самое имеет место для Стрельца и Козерога), время прохождения Рыб и Овна равно
55; 30 °« 60° — 4V20 времени, как об этом говорит Птолемей.
    72. Мы встречаем здесь впервые в истории астрономии строгое обоснование
необходимости использования полудня в качестве эпохи суток. После Птолемея
подобная практика стала общеупотребительной в астрономии.        _
    73. Птолемей рассматривает уравнение времени АЕ — At — At за интервал
времени At = <2 — tl как функцию солнечной долготы А. Эта функция не приводится
в «Альмагесте», но она была включена в «Подручные таблицы», о чем сообщается
во «Введении» к ним. Птолемей приводит здесь только краткое ее описание.
АЕ

Рис. 3-Н
Зависимость Д?(А) реконструирована О.Нейгебауэром; мы приводим здесь (рис. 3-Н)
график полученной им функции, соответствующей fig.57 в [НАМА, р. 1222]. На
этом графике АЕ представляет величину, которую необходимо прибавить или вычесть
из интервала At в истинных солнечных сутках, чтобы получить соответствующее
ему число средних суток At. При этом за начало интервала At принята начальная
эпоха птолемеевых таблиц t0. Зависимость Д?(А) получена по правилу, эквивалент-
ному формуле
^=(%- V + (1 - а) - С

где —с = —(А — А) есть уравнение, определяющее ту часть уравнения времени,
которая связана с неравномерностью движения Солнца по эклиптике; (А — а) —
разность истинной долготы и прямого восхождения, учитывающая неравенства времен
прохождения  через  меридиан равных дуг эклиптики;  (а0 - Ад)  —  постоянная,
соответствующая начальной эпохе  0; это_означает,
что АЕ должно почти всегда вычитаться из At при определении At. График
Д?(А), приведенный иа рис. 3-Н, согласуется с утверждением Птолемея о том, что
если в момент t Солнце находится на 0° Скорпиона, а в момент <2 на 15° Водолея,
то уравнение времени АЕ будет иметь максимальную величину 8;20° = 0;33,20h.
Этот график можно использовать для оценки значений АЕ,  если  tx = t0, а с
некоторыми изменениями также и для произвольных значений f .
74.	Среднее часовое движение Луны по долготе составляет около 0;32,56°/d;
соответственно за llV1 она продвинется по долготе на ДА = 0;36,36° = 36°; такой
величиной нельзя пренебречь при расчете, например, точного значения средней
скорости Луны.
75.	Птолемей здесь приводит правило для нахождения промежутка среднего
солнечного времени At по известному промежутку истинного времени At = t2 — tx;
моменты /j и /2 выражены в равноденственных часах и отсчитываются от истинного
полудня. Правило заключается в следующем. Зная, моменты г( и <2, определяем по
таблицам гл.2 соответствующие значения средней долготы Солнца Aj и А2, а затем,
с использованием уравнения гл.6, его истинные долготы Aj и А2> После этого при
помощи таблиц времен восхода (кн.П, гл.8, столбец «Прямая сфера») находим
прямые восхождения otj и а2, соответствующие полученным значениям Aj и А2-
Отсюда промежуток среднего солнечного времени At определится согласно формуле
Д7 = At + Да - ДА,
где Да = а2-а), ДА = А~2 - Aj [НАМА, р.62].
    Птолемей приводит данное правило без доказательства. О.Педерсен показал, 
что
оно является приближением более точной формулы, поскольку в нем при определении
средних долгот используются моменты истинного времени t^ и <2, а не среднего
времени, как это на самом деле должно быть. Однако расхождения точной и
приближенной формул невелики. Приведенное Птолемеем правило для нахождения
Д? соответствует требованиям к точности вычислений в нетелескопической
астрономии [SA, р.156-157; РА, р.172, п.70]. О птолемеевской трактовке понятия
уравнения времени см. также в [Rome, 1939].
76.	Если момент t{ совпадает с начальной эпохой птолемеевских таблиц tQ, для
которой  А0 = 0;45°   Рыб,  AQ = 3;8°  Рыб   (см.   коммент.   66)   и  aQ = 
335;8°,   то
приведенная выше формула примет следующий вид:
Д7 = At + (a - 335;8°) - (А - 0;45° Рыб).
    Примеры определения уравнения времени ДЕ, согласно методике Птолемея, см.
в коммент. 31 и 50 к KH.IV. СМ. также [НАМА, р.62-65; НА I, 430; РА, р.651-652].

    
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ

    1. В момент, соответствующий средней фазе лунного затмения, истинные 
долготы
Солнца и Луны различаются на 180°. Поэтому если известна долгота Солнца, то
известна и долгота Луны. Истинная долгота Солнца в произвольный момент может
быть вычислена по таблицам кн.Ш, гл.З, 6. Затмения, таким образом, позволяют
определить истинную долготу Луны, не вычисляя параллактического смещения.
    2. Речь идет о суточном параллаксе. При рассмотрении движения Луны размеры
Земли нельзя считать бесконечно малыми по сравнению с размерами лунной орбиты.
Необходимо поэтому различать истинное и
видимое положения Луны. На рис. 4-А они
определяются соответственно прямыми, про-
ходящими через центр Земли Е и центр
светила и через место наблюдения на
поверхности Земли О и центр светила. Если
Луна Lj  находится в зените прямо над
головой  наблюдателя,  то прямые EL{  и
OLj, дающие соответственно ее истинное и
видимое положения, совпадают; в любом
другом положении L2 прямые EL2 и OL2
образуют угол р, величина которого зависит, в частности, от зенитного 
расстояния
светила z; птолемеевская теория суточного параллакса Луны излагается в KH.V,
гл.11-19.
    3. Наблюдаемые величина и продолжительность солнечного затмения (в отличие
от лунного) зависят от местонахождения наблюдателя на поверхности Земли. Теория
солнечных затмений излагается Птолемеем в кн.VI, гл.10.
    4. Неизвестно, кого в данном случае имеет в виду Птолемей, говоря о 
«древних
математиках». Возможно, здесь речь идет об эллинистических астрономах алек-
сандрийской школы и Гиппархе, поскольку ниже он приписывает «более древним»
параметры вавилонского происхождения.
    5. Период, о котором в данном случае идет речь, в современной литературе
известен под названием «сарос». О происхождении термина см. [Нейгебауэр, 1968,
с. 143-144]. Здесь «месячное обращение» — синодический месяц, «возвращение
аномалии» — аномалистический месяц, «возвращение к той же широте» —
драконический месяц, «обращение по долготе» — сидерический месяц. Таким образом,

имеет место соотношение
6585'/3d = 223 синод, мес. = 239 аном. мес. = 242 дракон, мес. ~
« 241 сидер. мес. (241 сидер. об. + ЮУз0) «* 18 солн. годам (18 сидер. об. + 
ЮУз0).
18-летний период и связанные с ним соотношения применялись также в вавилонской
астрономии для предвычисления дат лунных затмений [Ван-дер-Варден, 1991, с. 
113;
ACT, I, р.271-273; НАМА, р.ЗЮ, 497, 1084; LBAT, p.XXXI-XXXIII ]. Этот период
рассматривался в античности как универсальная хронологическая единица [Маеуата,
1981, р.261-262].
    6.	Утроенный «сарос» или «экселигмос» (i(,ehy\i6q, букв, «оборот колеса»)
представляет соотношение
19756d = 669 син. мес. = 717 аном. мес. = 726 дракон.мес. «
« 723 сидер. мес. (723 сидер. об. + 32°) « 54 солн. годам (54 сидер. об. + 32°).

   Экселигмос был известен Гемину, который жил на столетие раньше Птолемея
[Manitius, 1898, Р.200-202]. 54-летний период применялся также в вавилонской
астрономии [Ван-дер-Варден, 1991, с.ЗЮ].
7.	Деление произведено неточно. На самом деле должно быть
126007dlh : 4267 = 29;31,50,8,9,20,13d.

    Эта неточность была исправлена Коперником [Коперник, 1964, с.232], но еще
раньше Бируни [Бируни, 1976, с.91 ]. См. также [НАМА, р.310; Тоотег, 1980,
р.6, п.6].
8.	Птолемей приписывает Гиппарху следующие периодические соотношения:
126007d lh=4267 син. мес.=4573 аном. мес.« 4612 сидер. мес. (4612x360°-7;30°) ~
~ 345 сидер. годам (345 х360° - 7;30°),
5458 синод, мес. = 5923 дракон, мес,
которые он получил якобы на основе собственных наблюдений. Однако еще Куглер
показал, что по крайней мере часть из этих соотношений имеют вавилонское
происхождение, и, следовательно, Гиппарх не вывел их из наблюдений, как
утверждает Птолемей, а заимствовал из вавилонских источников. Куглер показал
[Kugler, 1900, Р.46], что в лунных эфемеридах Селевкидского времени, 
относящихся
к так называемой «системе В», применялись следующие соотношения:
а)	средняя продолжительность синодического месяца равна 29;31,50,8,20d;
б)	251 синод, мес. = 269 аном. мес;
в)	5458 синод, мес. = 5923 дракон, мес;
г)	1 год = 12;22,8 синод, мес.
    В дальнейшем А.Обо показал, что периоды Гиппарха могут быть получены из
этих соотношений чисто арифметически [Aaboe, 1955].
    Согласно Птолемею, который рассматривает подход Гиппарха, период, содер-
жащий целое число синодических месяцев, будет периодом затмений (т.е. таким
периодом, по истечении которого должно наступить затмение, если оно имело место
вначале), если за этот период: 1) восстанавливается аномалия Солнца, что будет
иметь место, если период содержит целое число солнечных годов; 2) 
восстанавлива-
ется аномалия Луны (период содержит целое число аномалистических месяцев);
3) фиксируется положение Луны относительно узлов (т.е. он содержит целое или
половинное число драконических месяцев; в первом случае Луна возвращается к
тому же самому узлу, во втором — к противоположному).
Согласно А.Обо, Гиппарх исходил из соотношения б). Условие 2) было, таким
образом, выполнено автоматически. Затем он установил, что наименьшим множите-
лем, на который следует умножить б), удовлетворяющим приближенно условиям 1)
и 3), будет 17. Умножение б) на 17 приводит к соотношению 4267 синод, мес. =
= 4573 аном. мес, отсюда величина периода 29;31,50,8,20d х 4267 « 126 007d +
+ l;5h и, следовательно, период содержит 4267 : 12;22,8 = 344;58,42 солн. лет, 
во
время которых Солнце проходит 344x360 + 352;14° (в тексте: 3521/2°) по долготе,
5458
и 4267x^23 88 4630;31,54 дракон, мес. Условия 1) и 3), таким образом, 
оказываются
приближенно выполнеными. Из сказанного, однако, не следует, что Гиппарх вообще
не производил наблюдений при определении периода лунных затмений, однако его
наблюдения, по-видимому, только подтвердили соотношения, принятые в вавилонской
астрономии. По этому вопросу см. [Тоотег, 1980; НАМА, р.310-312].
    К.Манициус в примечаниях к этому месту отмечает, что, согласно таблицам
Птолемея, среднее солнце за период в 126007d lh совершает 344 полных оборота и
проходит еще 356;59°, т.е. до полного оборота ему недостает 3;1°, а не 7;30°, 
как
предполагал Гиппарх. Противоречие это, однако, может быть объяснено достаточно
просто. Положение Солнца в таблицах Птолемея определяется относительно точки
весеннего равноденствия, а принятая Гиппархом величина — относительно не-
подвижных звезд. Если разделить величину разности 7;30° — 3;1° = 4;29° = 16140"
на период в 345 лет, то получим приближенное значение годовой прецессии
46,8" (точное значение для той эпохи — 49,8" за год) [НА I, 196, Anm.b); 
Petersen,
1967].
    9.	Речь идет об определении периода лунной аномалии. Если т — период
аномалии, то уравнение Луны будет тем же самым в моменты L и ( +1 независимо
    
от выбора *0, и соответствующие приращения истинной долготы Луны будут равны
приращениям средней долготы: ДА^ = ДА^. Следовательно, если т — период аномалии,

то ему соответствует всегда одно и то же приращение истинной долготы Луны
ДА^. Но истинная долгота Луны определяется из наблюдений лунных затмений по
известной солнечной долготе. И если мы хотим определить период лунной аномалии
г, то мы должны найти два промежутка At = At' = т таких, что соответствующие
значения ДА^ и ДА^ равны; это можно сделать при помощи двух пар лунных
затмений.
    Равенство промежутков At и At' между парами затмений, однако, не 
обязательно
приводит к равенству ДА^ и ДА^, поскольку Солнце имеет аномалию. Птолемей

приводит один пример: предположим, что промежуток между затмениями At =
= п + ^ лет, и пусть первое затмение первой пары находится
в Е (рис. 4-В), где АЛ — линия апсид, О — местонахождение
наблюдателя, а второе — соответственно в Е', в точках, где
уравнение Солнца с = 2; 23° максимально; тогда ДА =
= 180° + 2с = 1844/4°; если же первое затмение второй пары
находится в Е', а второе в Е, то ДА' = 180° - 2с = 1751/2°.
Таким образом, здесь равным значениям At = At' соответст-
вуют разные значения ДА и ДА'.
После этого Птолемей формулирует четыре условия, кото-	Рис. 4-в
рым должны удовлетворять пары затмений, чтобы влияние
солнечной аномалии было исключено. Если выполнено одно из следующих условий:
1) Солнце совершает целое число оборотов (т = п), 2) Солнце совершает я +
оборота, но первый интервал начинается в апогее, а второй в перигее, 3) 
начальные
точки интервалов лежат на одной и той же долготе, 4) начало первого интервала
находится на of до, а конец второго — на of после апогея, то равенство
At = At' приводит к соотношению ДА^ = ДА^. Подробнее см. [НАМА, р.71-72, 1223,
fig. 58-60].
    10.	Слово брбиос,, которое И.Н.Веселовский переводит как «скорость», в 
ранней
греческой астрономии обозначало расстояние, которое Луна проходит по долготе за
одни сутки [РА, р.177, п.14]; соответственно Дж.Тумер переводит его как speed.
Места с наименьшей, наибольшей и средней скоростью — это соответственно апогей,
перигей и находящиеся посередине между ними точки лунной орбиты.
    Птолемей отмечает, что равенство приращений истинной долготы Луны
ДА^ = ДА^ при сопоставлении двух промежутков At = At' является необходимым, но
недостаточным условием для того, чтобы At было периодом аномалии. Возможны
три случая, когда это равенство выполняется, но величины аномалии в начале и
в конце промежутков будут при этом неравны, и, значит, At = At' не будет 
периодом
аномалии. Смысл утверждений Птолемея можно проиллюстрировать с помощью
эпициклической модели. Три ситуации, о которых пишет Птолемей, таковы:
1) начальным точкам промежутков ?, Е2 соответствует аномалия а, а конечным
точкам        Е2' — а' * а [рис. 4-С, а]; приращение истинной долготы при этом
составит ДА = ДА + Дс; 2) на первом промежутке движение происходит от перигея
к апогею, на втором — от апогея к перигею; здесь Дс = 0, и ДА = ДА' = ДА, но
а' — а = 180° [рис. 4-С, б]; 3) начальная точка первого промежутка Ех и 
конечная
точка второго Е2 симметричны относительно линии апсид эксцентра; здесь также
ДА = ДА' = ДА + Дс, поскольку а * а' [рис. 4-С, в]. Подобные ситуации 
необходимо
избегать при выборе промежутков Дг = At' при определении периода аномалии
[НАМА, р.72, 1224, fig. 61].
    11.	Пары затмений необходимо подбирать таким образом, чтобы возможное
несовпадение промежутков Д* = Д*' с периодом аномалии было максимально
заметным. Другими словами, если At = At' не содержит целое число периодов
    
аномалии, то разность I ЛЯ — ДА' I должна быть максимальной. В этой связи 
Птолемей
рассматривает две ситуации:
1. Начальные точки промежутков     и Е2 находятся на эпицикле соответственно
в апогее А и перигее П эпицикла, т.е. в точках, максимально различающихся по
скорости; если At = At' не содержат целое число периодов аномалии, то конеч-
ные    точки Е.' и EJ не совпадут с начальными. В экстремальной ситуации

Рис. 4-D
[рис. 4-D, а] они будут находиться в точках средней скорости, где уравнение с
максимально; при этом ДА =Х(Е{') - А(Е{) = —с, а ДА' = к(Е2) —к(Е2) = с, отсюда
1ДА - ДА' I = 2с.
2. Начальные точки промежутков    , Е2 находятся в точках средней скорости,
где уравнение максимально, но имеет противоположный знак [рис. 4-D, б]. При
этом возможны две ситуации при несовпадении промежутков At = At' с периодом
аномалии: а) конечные точки промежутков отстоят от начальных на четверть или
три четверти круга, при этом 1ДА — ДА'1 = 2с, как в п.1; б) конечные точки 
отстоят
на полоборота, т.е. находятся также в точках средней скорости, при этом
ДА = -2с, ДА' = +2с и 1ДА - ДА'1 = 4с [НАМА, р.72,1225, fig. 62 ].
    12. См. выше с.105 и коммент. 7. Об использовании «четверти знака» как
единицы для измерения угловых перемещений в греческой астрономии см.
[Neugebauer, 1983, р.368-369]. О том, какие затмения мог использовать Гиппарх
при определении периода аномалии, см. [Тоотег, 1980].
13. Об уточнении средних скоростей движения Луны см. KH.IV, гл.7, 9.
    14. Приведенные величины характеризуют скорости движения Луны по долготе,
аномалии, широте и элонгации, т.е. соответственно скорости изменения углов
YOC = A, ACM = a, NOC — 57', и оОС = rj на рис. 4-Е. Средние скорости движения
вычислены с точностью до 6-го шестидесятеричного знака после запятой. Это
означает, что за 900 лет от начальной эпохи (-746) до эпохи самого Птолемея
    12. 

(+150) погрешность в значении средней долготы составит около 1-2". Такую 
точность
Птолемей, вероятно, считал достаточной для вычислений, однако она на порядок
или даже больше превосходит все, что могли
дать наблюдения. Шесть шестидесятеричных зна-
ков сохранены в таблицах средних движений
кн.IV, гл.4, что представляется излишним. В
«Подручных таблицах», напротив, имеет место
другая крайность — в них сохранены только
минуты [НАМА, р.971 ].
    15.	Птолемей рассматривает два неравенства,
из которых первое с(, известное еще Гиппарху,
зависит от положения Луны относительно апогея,
подобно солнечной аномалии, и имеет своим
периодом аномалистический месяц,  второе с2,
открытое   Птолемеем   (анализируется   в   KH.V,
гл.2-4),   есть   функция   расстояния   Луны   от	Рис. 4-Е
Солнца  по долготе  (элонгации):  его влияние
равно нулю в сизигиях и достигает максимума в квадратурах. Первое неравенство
эквивалентно «главному эллиптическому неравенству» современной лунной теории,
отражающему некруговой характер ее орбиты, второе — эвекции, неравенству,
имеющему небесномеханическое происхождение [Идельсон, с.212—213; НАМА,
р. 1106-1108 ]. О методах Гиппарха, применявшихся для определения параметров
движения Луны, см. KH.V, гл.11, а также [НАМА, р.309-311; Тоотег, 1967; 1973;
1981 ].
    16. Речь идет об аномалистическом и тропическом периодах движения Солнца.
Предполагаемое равенство этих периодов есть следствие ошибки, допущенной
Птолемеем при определении долготы апогея Солнца. Если положение апогея
фиксировано относительно точки весеннего равноденствия, то два указанных 
периода
равны. Ошибка Птолемея была исправлена в начале IX в. н.э. астрономами
ал-Мамуна [Куртик, 1986, с.116-122].
    17. Дуги двух кругов различного диаметра «подобны» (бцоюс,) если определяю-
щие их центральные углы равны.
    18. В кн.III, гл.З показано, что модели с эксцентром и эпициклом 
взаимозаме-
няемы, если выполняются два условия: а) г = е (радиус эпицикла равняется
эксцентриситету); б) средние аномалии к и а или, что то же, средние скорости
движения по долготе и по аномалии а>^ и а>а равны по абсолютной величине, но
направлены в противоположные стороны. Эти условия выполняются в теории
движения Солнца, однако в случае Луны, как показано в KH.IV, гл.З,
\ \а>а\ и, значит, к>а при фиксированном At. Эквивалентность эпицикличе-
ской и эксцентрической моделей будет сохранена, если: а) как и прежде, г = е; 
б)
в эпициклической модели к > а; в) на эксцентре положение Луны относительно
линии апсид определяется величиной а (а не к, как было до сих пор), причем
линия апсид сама вращается вокруг центра эклиптики в том же направлении, что
и светило,  со скоростью а>^ > а>а,  перемещаясь соответственно  на  угол к — а
относительно точки весеннего равноденствия за интервал At. Эквивалентность
моделей доказывается Птолемеем для двух случаев: 1) Rd = Rg  (радиусы деферента
и эксцентра равны); 2) R.&R, но      =
d       е
    19.	В тексте — «диаметр»; такого рода обозначение встречается достаточно
часто. — Примеч. И.Н.Веселовского.
20.	KH.IV, ГЛ.5.
    21.	Птолемей предполагает сначала, что движение Луны подчиняется простой
эпициклической модели. Требуется определить ее параметры, т.е. отношение -4
  
радиуса эпицикла к радиусу деферента и момент, когда Луна проходит через апогей
эпицикла. Задача будет иметь единственное решение, если для трех моментов
fj, t2, t3 известны значения истинной долготы Луны кх,к2,Ху средней долготы
Ij,X2, Х3, средней аномалии а1,а2,а3 и соответствующие приращения АЯ[2 =
= Л2-А,, ДЛ23=А3-А2, АА12 = А2-А1, ДА23=Х3-Х2, Д«,2 = а2 - а,, Д«23 =
= «3 — а2. Средние долготы и средние аномалии Луны можно найти при помощи
таблиц средних движений KH.IV, гл.4 по известным моментам t{, t2, ty истинные
долготы определяются на основе лунных затмений. Птолемей при вычислении
параметров эпициклической модели использует две тройки затмений, разделенные
большим промежутком времени. Они дают (по его вычислениям) одно и то же
значение максимального уравнения Луны сх max = max I А^ — А^ I, но приводят к
величине и>а, отличающейся от той, которая получена в KH.IV, гл.З С помощью
лунных периодов.
22.	Т.е. определяемого независимо от величины второго лунного неравенства.
    23.	«Первая», или «простая» — кинематическая модель движения Луны, описание
которой приводит Птолемей, используется для нахождения средних скоростей Луны
по долготе и аномалии и величины неравенства с{. В этой модели плоскость лунной
орбиты, содержащая деферент NC, наклонена к плоскости эклиптики с центром в
О под углом i = 5° (рис. 4-Е). Плоскость лунной орбиты вращается равномерно в
направлении против последовательности знаков вокруг оси, проходящей через О
перпендикулярно плоскости эклиптики. При этом линия узлов Is на эклипти-
ке вращается в направлении против последовательности знаков со скоростью
ШВ ~ ш1 *" 0;3,ll°/d, 4X0 равносильно периоду обращения 18,6 года. Центр 
эпицикла
С на деференте равномерно движется в направлении последовательности знаков со
скоростью <Ор. Луна М на эпицикле движется также равномерно со скоростью а>а
в обратном направлении. Таким образом, в этой схеме положения Луны в
произвольный момент   определяются   тремя   возрастающими равномерно углами:
а) средней долготой Луны А = YOC', которая измеряется в плоскости эклиптики от
точки весеннего равноденствия Y до точки С проекции центра эпицикла С на эк-
липтику; б) средним аргументом широты ш' = NOC, отсчитываемым в плоскости
наклонной орбиты Луны от наиболее северной точки деферента N; в) средней
аномалией а = АСМ, отсчитываемой от апогея эпицикла А^ Кроме этих трех углов
в лунной теории Птолемея имеет значение также угол rj = оОС — средняя элонгация
Луны (расстояние на эклиптике точки С относительно среднего Солнца о).
    24. Максимальная возможная погрешность в долготе, если пренебречь наклоном
лунной орбиты, составит, согласно Птолемею, около 5' (KH.VI, гл.7, с.192); см. 
в
этой связи также [НАМА, р.83, п.5].
    25. -720, март 19; это самое древнее наблюдение из всех, используемых в
«Альмагесте»; Мардокемпад — царь Мардук-апла-иддин (721-710 до н.э.), упомина-
емый в Библии под именем Меродах Валадана (Ис. 39:1; Иер. 50:2).
    Всего в «Альмагесте» приводятся сведения о 19 лунных затмениях, 
наблюдавшихся
задолго до или в эпоху самого Птолемея. Они представляют интерес с точки зрения
современной теории движения Луны. Описания Птолемея неоднократно рас-
сматривались в современной астрономической и историко-астрономической литера-
туре. Наилучший анализ наблюдений см. в [Brittoti, 1967; Ньютон, 1985]; там же,
а также в [SA, Арр. А] см. полную библиографию вопроса; характеристики затмений,

рассчитанные современными методами, см. в [Oppolzer, 1885; Ginzel, 1899;
Neugebauer, 1931; Meeus, Миске, 1979].
    Приводим по [Britton, 1967, р.75] характеристики затмений, используемых
Птолемеем, рассчитанные современными методами. Буквой В обозначен Вавилон,
буквой А — Александрия, буквой Р — Родос, т0 и т. — местное истинное время
    
средней и начальной фаз затмения, отсюда полудлительность -J- = Tq —     
величина
фазы затмения т дана в «дюймах» (диаметр лунного диска считается равным 12
«дюймам»; см. также коммент. 68 к кн.VI); долгота Солнца приближенная. 
Вероятная
погрешность в определении моментов т0 и ij, по Дж.Бриттону, составляет около
±(0;6 -н 0;5)h.

№Дата, местоСредняя фаза
(то)Начальная фаза
(Т|)Величина фазы
(т)Долгота Солнца
(А О)1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19-	720: III: 19 В
-	719: III: 8 В
-	719:IX: 1 В
-	620: IV: 22 В
-	522:VII: 16 В
-	501: XI: 20 В
-	490: IV: 25 В
-	382:ХП: 23 В
-	381: VI: 18 В
-	381 :ХН: 12 В
-	200: IX: 22 А
-	199: III: 20 А
-	199: IX: 12 А
-	173: V:   1 А
-	140:  I: 27 Р
+ 125:IV: 5 А
+  133: V: 6 А
+ 134: X: 20 А
+ 136: III: 6 А21; 49h
23;56
20; 15
5;34
23;56
0;23
22;59
8; 12
21;24
23; 15
19;12
0;59
2;32
1;57
21;48
20;53
23; 5
23; 5
3;2919;55h
23; 14
19; 3
4;43
22; 35
23;35
22; 20
7;18
20; 3
21;30
17;42
23; 11
0;41
0;39
20;57
20; 7
21;19
21;31
2; 818,2"
1,5
6,1
2,1
6,1
2,1
1,7
3,0
5,9
18,2
8,5
16,0
19,3
7,4
2,8
1,8
12,9
10,1
5,5351,5°
340,7
150,9
24,4
106,6
231,9
28,5
267,0
80,5
256,2
176,0
355,4
165,0
35,7
304,5
14,3
44,2
206,3
344,6   26. Истинные долготы Солнца и Луны в момент средней фазы лунного 
затмения
различаются на 180°. Следовательно, если нам известна долгота Солнца, то 
известна
и долгота Луны. Предварительно, однако, мы должны определить истинное время
средней фазы затмения TQ. Однако в наблюдениях обычно фиксировали не момент
средней фазы, а время первого tj или последнего т2 касаний кругом земной тени
лунного диска в сезонных часах истинного времени. Соответственно Птолемей
находит:  а)   приближенную долготу  Солнца А^  по  известной дате  затмения;
б) продолжительность ночи в равноденственных часах на широте места наблюдения
при AQ = А^; в) tj и т2 в равноденственных часах истинного солнечного времени;
ч	Ат	Дт	Дт
г) полудлительность затмения -j-; д) т0 = ^ + ~2~ = r2 —Y в Равн°Денственных
часах местного истинного времени; е) Tq для меридиана Александрии. Полученное
таким образом значение Tq используется для определения истинной долготы Солнца
непосредственно, т.е. без учета уравнения времени. О возможных причинах неучета
уравнения времени см. в [НАМА, р.64].
Рассмотрим подробнее вычисления Птолемея.

Дата наблюдения 27-й год эры Набонассара, тот 29.
А. Приближенная долгота Солнца (кн.Ш, гл.2, 6)
Д*	АЛЬ
18у	355;37,26°
8У	358;3,18°
28d	27;35,52°
~6h	0;15°
At-  26y28d6h      741;32°
Вычитаем целые обороты ДА^ = 21;32°.
   Расстояние Солнца от апогея: к = 265; 15° + 21;32° = 286;47°; уравнение 
Солнца
с « 2; 15°, отсюда А^ = к + с + Ха = 286;47° + 2; 15° + 65;30° = 354;32° = 
24;32° Рыб.
   Б. Продолжительность ночи в равноденственных часах на широте Вавилона при
Х'0 «= 354;32° определяется при помощи таблиц времен восходов (кн.II, гл.З) для
Родоса (М = 14l/2h); поскольку это ночь, берем значения р для точки эклиптики,
отстоящей от Солнца на 180°. Соответственно находим
/э(24;34°Рыб)  = 356;37°
/э(24;34°Девы) = 173;26°

Д	= 183;11°
Отсюда продолжительность ночи      = 12; 13  (в тексте: 12 ; поскольку дата 
затмения
близка к равноденствию, Птолемей предполагает, что продолжительность дня и ночи
одинакова).
   В. Согласно Птолемею, момент восхода Луны совпадает с заходом Солнца;
затмение началось, когда прошло уже «более часа» после восхода Луны. Выражение
«более часа» интерпретируется им как H/2h, отсюда Tj = 41/2 равноденственным 
часам
истинного времени до полуночи.
Г.  Полудлительность затмения.  Каким образом определялась эта величина,
Дт        h
неизвестно; можно, однако, показать, что значение -j- — 2 , принятое Птолемеем,
в точности соответствует значению, вычисленному по таблицам лунных затмений
KH.VI, гл.8 (см. также коммент. 106, 107 кн.VI). В самом деле,
   1) средняя аномалия Луны а для момента т} (приведение к меридиану
Александрии в данном случае не влияет на конечный результат) (KH.IV, гл.4):
At	Аа
18у	15б;56°
8У	349;45°
28d	5;49°
7h	3;49°
0;30h	0;16°
                       Дг=   26y28d7;30h   516;35° -   15б;35°
отсюда а = 156;35° + 268;49° = 425;24°   65;24°;
                       
2)	истинная часовая скорость движения Луны      для момента т} (см. кн.VI,
гл.4 и коммент. 12 той же кн.); по таблицам лунного неравенства (KH.IV, гл.10)
находим Дс(а) = с(а+1°) - с(а) « 0,0388°,   отсюда   v€= 0;32,56 - 0;32,40х0,
0388 =
= 0;31,40°/h;
    3)	движение Луны по долготе от момента первого контакта земной тени и
лунного диска до начала полной фазы затмения; определяется согласно методике,
изложенной в кн.VI, гл.8-9 (см. также коммент. 98, 106, 107 к KH.VI): q(a) = 0; 
16,31;
i^ = 0;31;20°; п'р = 0;35,20°, отсюда п' = 0;31,20° + (0;35,20° - 0;31,20°) х 
0;16,31 =
= 0;32,26°;
    4)	движение Луны по долготе за время от начала полной фазы до момента
средней    фазы    д(а) = 0;16,31°;   п"а = 0;25,4°;   п"р = 0;28,16°;   п" = 
0;25,4° +
+ (0;28,16 — 0;25,4)х0;16,31 = 0;26°. Отсюда элонгация Луны в момент tj
г) =п> +п" =0;58°;
5)	полудлительность затмения

Т-г0   т1 ~Т2"Т~~ 1,98 ~ 2 '
как указано в тексте. Отсюда находим момент средней фазы.
Д. Момент средней фазы
Tq = г j + ^ = 2V2h до полуночи.
    Б. Положения Солнца в таблицах средних движений (кн.III, гл.8) 
отсчитываются
от полудня Александрии. Местное солнечное время затмения в Вавилоне поэтому
должно быть приведено к меридиану Александрии. Используемая при этом временная
разность ДГ = 50т (правильное значение — 58,5т) соответствует долготной 
разности
12V2°. В «Географии» применяется другое значение ДГ [РА, р.191, п.31].
    Истинная долгота Солнца в момент г (Набонассара 27, тот 29, 8h40m, полдень
в Александрии)
дГо
18у	355;37,26°
8У	358; 3,18°
28d	27;35,52"
8h	0; 19,43°
0;40h	0; 1,39°
Д*=   26y28d8;40h 741;37,58° -   21;37,58°
к = 265;15° + 21;38° = 286;53°;  AQ = к + kQ = 352;23°;    с = 2;15°  и  A0=AQ 
+ c =
= 354;38° = 24;38° Рыб (в тексте: 24;30° Рыб; о возможных причинах расхождения
см. в [Ньютон, 1985, с.133 и след.; НАМА, р.65; НА I, 431-435]).
    27. -719, март 8/9; «палец» — V12 диаметра лунного диска; см. также таблицу
в коммент. 25.
    28. Описание этого наблюдения отличается от других аналогичных. Птолемей
приводит сразу же значение rQ — местное истинное время средней фазы затмения,
не объясняя, каким путем оно было получено.

    Отсюда истинная долгота Солнца в момент Tq (Набонассара 28, тот 18, 11; 10 ,

полдень в Александрии)
а;	дГо
18у	355; 37,26°
9У	357;48,43°
17d	16;45,21°
llh	0;27, 6°
0;10h	0;   25°
At =   27y17dll;10h 730;39,Г -   10;24°;
к = 265;15° + 10;39° = 275;54°; 10 = к + Afl = 341 ;24; с = 2;21°, отсюда AQ =
= AQ + с = 341;24° + 2;2Г = 343;45° = 13;45° Рыб (в тексте приведена 
аналогичная
величина).
29. -719, сентябрь 1.
    30. Расчеты производились согласно методике, описанной в коммент. 26. Пто-
лемей предполагает, что интервал от восхода Луны (равен заходу Солнца) до 
начала
затмения равен '/2h. Указанное значение Дт = 3h соответствует величине фазы
затмения т = 8", если производить вычисления по таблицам KH.VI, гл.8-9.
Убедимся в правильности последнего утверждения.
    1.	Средняя аномалия Луны в момент т( (Набонассара 28, фаменот 14; 7h, 
полдень,
Вавилон; приведение к меридиану Александрии не влияет на конечный результат):
А(	Да
18у	156;56°
9У	78;28°
180d	191;41°
14d	182;54°
7h	3;48°
At =   27y194d7h      613;47° -   253;47°
а = 268;49° + 253;47° = 522;36° -* 162;36°.
    2.	Истинная скорость движения Луны по долготе в % для вычисленной величины
а:  Дс = с(а + 1°) - с(а) ~ 0;6°   (KH.IV,   гл.10);      = 0;32,56 + 0;32,40 X 
Дс(а) =
= 0;36,12% (кн.VI, гл.4, коммент. 12).
3.	Элонгация Луны п в момент Tj для т = 8" (KH.VI, ГЛ.8-9): q(a) = 0;58,24;
па = 0;43,50°; пр = 0;49,25°, отсюда п = п+ (пр - na)-q{a) = 0;49,16°.
4.	Полудлительность затмения
^ = Yi^~ ~ 1 J28h = l,5h (соответствует тексту).

Отсюда средняя фаза затмения в Вавилоне имела место при TQ = г{ +~ =
= 8'/2h после полудня, или за ЗУг11 до полуночи. Приведение к меридиану
Александрии дает т0 = З'/г11 + 5/6h = 4i/3h до полуночи. Отсюда истинная 
долгота

Солнца в момент Tq (Набонассара 28, фаменот 15; время — 7;40 после полудня
в Александрии)
18у	355;37,25°
9У	357;48,42°
180d	177;24,51°
14d	13:47.56е
7h	0;17,14°
0;40h	0; 1,39°
At =   27y194d7;40h   904;57,47° -   184:57,47°
к = 184;58° + 265;15° = 450;13°   90;13°, AQ = к + AXq + Afl = 155;43°, с = 
-2;23° и,
значит, AQ = AQ + с = 153;20° = 3;20° Девы  (в тексте:  3;15 Девы);  полученное
значение AQ меньше используемого Птолемеем на 0;5°; о возможных причинах
расхождений см. в [НА I, 434-435; НАМА, р.65; Ньютон, 1985, с.133 и след.].
   31. Моменты средних фаз лунных затмений определялись в истинном солнеч-
ном времени. Отсюда промежутки между затмениями истинного времени Atl2 =
= t2-tx= 354d 2;30h,   Д?23 = ?3 - t2 = 176h20;30h.   Но  для  определения  
средних
движений Луны по долготе и аномалии необходимо знать соответствующие
промежутки среднего времени, которые находим согласно методике, рассмотренной
в кн.III, гл.9 согласно формуле At = At + Да — ДА. Необходимые для нахождения
At значения средней и истинной долгот Солнца вычислены в коммент. 26, 28, 30:
Aj = 352;23°,    А2 = 341;24°,    А3 = 155;43°,
А, = 354;38°,    А2 = 343;45°,    А3 = 153;20°.
Отсюда ДА)2 = —10;59; ДА23 = 174;19°. Прямые восхождения ах,а2,а^ определяем
по таблице кн.II, гл.8, столбец «Прямая сфера» по истинной долготе Солнца:
ах = 355:5",  «2 = 345;3°,  «3 = 155;18°,  отсюда  Да,2 =-10;2°,   Да23 = 
170;15°  и
Д712 = Д*12 + 0;57° - Дг12 + 0;4h = Д*12 + Vish; Д723 = At23 - 4;4° • At23 - 
0;16h (в
тексте: -0;18h) [НАМА, р.64-65; РА, р.651-652].
    32. При определении средних движений Луны по долготе и аномалии за
интервалы А?12и Д?23 Птолемей использует гиппарховы значения средних скоростей,
которые еще должны быть уточнены в дальнейшем. Разность между точными и
приближенными значениями в данном случае несущественна, поскольку интервалы
времени малы. В этом состоит сильная сторона разработанного Гиппархом метода
трех затмений: небольшие погрешности в значениях средних скоростей не влияют
на точность определения параметров лунной орбиты.
   33. Птолемей качественно определяет положения апогея и перигея лунного
эпицикла относительно зафиксированных положений _трех лунных затмений. «Дуга
добавляет к среднему значению», если при данном Да имеем ДА > ДА, в противном
случае «дуга отнимает от среднего движения». «Добавление» имеет место, если 
дуга
средней аномалии Да лежит у перигея эпицикла, «отнимание» — если Да у апогея.
Предполагается также, что если ХДсГ = 360°, то соответствующая сумма 
центральных
углов IS. = 2(ДА; — ДА() равна нулю; детальный анализ процедуры Птолемея см. в
[НАМА, р.74].
   
    34.	Птолемей решает следующую задачу. Известно, что в модели с эпициклом
три положения Луны на эклиптике А, В, Г (рис. 4.4) характеризуются приращениями
а) средней аномалии Да, = ВА = 53;35° и Да. = АГ = 96;51°; б) центральных углов
6{ = ЕДА = 3;24°,   &2 = ЕДГ = 0;37°.   Требуется   определить   отношение   
радиуса
эпицикла к радиусу деферента. Решение дается согласно следующей схеме.
    1. Полагая ДЕ = 120р, Птолемей определяет длины хорд ЕА, ЕГ и ГА по
отношению к АЕ.
    2. Полагая 2г = 120р, он определяет расстояние ДЕ и хорду ЕГ по отношению
к диаметру эпицикла 2г.
3.	Находит дугу ЕГ (по хорде ЕГ), а также дугу и хорду BE.
    4.	Зная ДЕ и BE, определяет радиус деферента R = ДК (рис. 4.6) по отношению
к радиусу эпицикла 2г (= 120р); затем, полагая R = 60р, находит обратное 
отношение
j^, и в итоге г = 5;13р.
    Аналогичная процедура применяется также для определения параметров лунной
орбиты по тройке лунных затмений, наблюденных самим Птолемеем. Подробный
анализ см. в [Нейгебауэр, 1968, с.201-204; Delambre, 1817, II, р.147 и след.; 
НАМА,
р.73-78; SA, р. 172-177].
    35.	Подразумевается соотношение ВДДЕ = ААДМ — следствие теоремы о
касательной и секущей круга [Евклид, III, 36].
36.	АД-ДМ + КМ2 = ДК2 [Евклид, II, 7].
    37.	133, май 6. Сообщения Птолемея о лунных затмениях, наблюдавшихся им
самим, отличаются от приведенных выше описаний вавилонских наблюдений.
Птолемей не приводит величин (т( или т2), зафиксированных непосредственно во
время наблюдений, а дает сразу же значение Tq. О вычислении Tq см. коммент. 26,
а также таблицу в коммент. 25.
38. 134, октябрь 20; см. также таблицу в коммент. 25.
39. 136, март 6; см. также таблицу в коммент. 25.
    40.	Указанные значения истинной долготы Солнца (Л1 = 13; 15° Тельца; А2 =
= 25;10°  Весов;  А3 = 14;3°  Рыб)   точно  соответствуют  моментам  средних  
фаз
«j = 879y289dll;15h, t% = 881У91а11ь, *3 = 882y228d16h от начальной эпохи), 
если
производить вычисления по таблицам Птолемея (кн.Ш, гл.2, 6). При вычислении
не учитывалось, по-видимому, уравнение времени [НА I, 437; Ньютон, 1985, с.133].

    41. Здесь, как и выше (с. 119 и коммент. 31), определяются интервалы 
среднего
времени At по интервалам истинного солнечного времени At.
    42. См. коммент. 32. Дальнейшие вычисления соответствуют методике, рассмот-
ренной в коммент. 33, 34.
    43. Если дуга эпицикла Да а) содержит меньше 180°, б) «прибавляет к 
долготе»,
т.е. приводит к неравенству ДА^ > ДА^, то она необходимо должна быть 
расположена
вблизи перигея и поэтому не содержит апогей эпицикла.
44. См. коммент. 35.
45. См. коммент. 36.
46. -719, март 8 и 134, октябрь 20, см. также с.118, 123 и таблицу в коммент. 
25.
47. Птолемей здесь принимает уравнение времени Е=— i/2h; точное значение,
вычисленное по его же таблицам, Е = -28l/2m [Hamilton etc., 1987, р.59; PA, р.
204,
п.48].
    48.	Вычисления Птолемея содержат ошибки; точные значения приращения
долготы и аномалии, вычисленные на основе гиппарховыхзначений средних скоростей
(KH.IV, ГЛ.3), за указанный период: ДА = 224;47,12°, ДА = 52;32,11 [НАМА, р.
79];
    
расхождение не является пренебрежимо малым, оно сказывается в дальнейшем при
определении значений средних скоростей.
49. -719, март 8/9; см. с.118 и таблицу в коммент. 25.
   50. Согласно Птолемею, уравнение времени Е« 0; в действительности это не
так. Интервал истинного времени Ai = 27y17dll;10h; поскольку одна из его границ
(fj) совпадает с начальной эпохой tQ, промежуток среднего времени можно 
определить
по упрощенной формуле At = At + (а — 335;8°) — (X — 330;45°) (коммент. 76 к
кн.Ш); соответственно находим Х(?2) = 341,-24°, Л(*2) = 343;45°, а(<2) = 345;3° 
(ком-
мент. 28, 31) и Л7 = Лг — 0;44° = Лг — 0;3h. Полученное значение уравнения 
времени
(Е = 0;3h) уменьшает среднюю долготу и аномалию Луны в момент tQ по сравнению
с принятыми Птолемеем на 0;1°.
   51.	При определении среднего движения по широте, согласно методу Гиппарха,
известными считаются следующие величины: а) угловой диаметр Луны на среднем
360°
расстоянии     = -gjQ- = 0;33,14°; б) отношение диаметра земной тени 2и к 
диаметру
Луны d на среднем расстоянии Дг = 2;30; в) наклон i = 5° орбиты Луны к 
плоскости
эклиптики; г) моменты средних фаз t{, t2 (и, следовательно, интервал At = t2 — 
t{)
и величины фаз т}, т2 двух затмений,   наблюдавшихся   вблизи   одного   узла;
д) средняя аномалия Луны      а~2 и уравнение аномалии с}, с2 в моменты г}, ?2.
   Кратко рассмотрим процедуру Гиппарха. Пусть на рис. 4-F NA — эклиптика,
NB — орбита Луны, А — центр земной тени на эклиптике, В — центр Луны,
N — узел лунной орбиты, DC = т — величина
затмения в угловых единицах. Отсюда расстояние
между центром земной тени и центром Луны
АВ = и +    — т,   а   расстояние   центра  Луны
АВ
относительно   узла   BN = -—:.   Расстояние  BN
J	tg i
представляет  истинный  аргумент  широты  а>',
измеренный относительно узла лунной орбиты.
По известной аномалии а и уравнению с можно
найти положение центра эпицикла в плоскости орбиты относительно узла, или
средний аргумент широты а»' = а>' — с. Таким образом в моменты средних фаз двух
затмений ^ и t2 будут известны значения среднего аргумента широты ш'^, и о>2'.
Средняя скорость движения по широте определится отсюда по формуле
360°л + (5^ - а»')

где п — число полных оборотов за интервал At. Метод Гиппарха обладает одним
существенным недостатком: в нем предполагается, что величины d^ и и одинаковы
в моменты i} и ?2, что в принципе неверно и может приводить к разным значениям
средней скорости       при использовании разных пар затмений. Этот недостаток
устранен в методе Птолемея, рассмотренном ниже [НАМА, р.313-314]. Как показал
Гамильтон, величина <5^, принятая в «Канопской надписи», предшествует по 
времени
«Альмагесту» и была получена Птолемеем на основе метода Гиппарха [Hamilton etc.,

1987, р.57-60].
   52.	В кн.IX и XI, посвященных Меркурию и Сатурну, не содержится упоминаний
о подобных исправлениях. Однако параметры движения этих планет, принятые в
«Альмагесте» и «Канопской надписи», существенно отличаются как в числовом
   

   
58.	Значения аномалии Луны в моменты средних (раз ах = 100; 19° и а2 =
= 251;53° =-108;7°; положения Луны, таким образом, симметричны относительно
линии апсид, и, значит, она находится приблизительно на одинаковом расстоянии
от наблюдателя.
    59.	В обоих случаях уравнение времени вычислено с погрешностью около 4ШХ
но эта погрешность нейтрализуется в дальнейшем при вычислении интервала At
между затменями [РА, р.207, п.58].
60.	Если    использовать    гиппархово    значение    средней    скорости ю^ =
= 13; 13,45,39,40,17,19°/d, то приращение среднего аргумента широты за интервал
Д7= 615y133d21;50h = 224609d (за вычетом целых оборотов) составит Аю' = -10;2°;
наблюдения  же  самого  Птолемея  дают  Аю' = с1 — с^= -5;0 - 4;53° = —9;53;
разница 0;9° пересчитывается на один день и прибавляется к гиппархову значению
средней скорости.
61.	-719, март 8/9, см. с. 118, коммент. 27 и таблицу в коммент. 25.
    62. -501, ноябрь 19/20; Камбиз — ахеменидский царь, правивший с 520 по
522 г. до н.э.; см. также таблицу в коммент. 25.
    63. В моменты средних фаз каждого из затмений Луна находилась приблизитель-
но в апогее эпицикла, поскольку аномалия ах = 12;24° и а2 = 2;44°. Затмения 
имели
место у противоположных узлов, поскольку приращение среднего аргумента широты
за интервал At =79880d между затмениями Аю' = о^Д* = 2935x360° + 160°.
    64.	Если два затмения удовлетворяют четырем сформулированным выше условиям
(с. 128 и коммент. 54) за исключением условия б), которое заменяется на
противоположное (затмения происходят у противоположных узлов лунной орбиты),
то для них можно записать соотношение (рис. 4.11)
    AT = AZ + ZH + НГ = 180°,
где AZ = АД + AZ = х + I Cj I — расстояние центра эпицикла Z относительно
восходящего узла А в момент tx; ZH = lo^At — приращение среднего аргумента
широты за интервал At = t2 — tl; НГ = ЕГ — НЕ = (х — Iс21) — расстояние центра
эпицикла Н относительно нисходящего узла Г в момент t2; х = AZ = ГЕ —
расстояние Луны от узлов ее орбиты в моменты средних фаз затмений ^ и t2.
Птолемей соответственно находит с{ = —0;59°, с2 = —0;13°, ZH = 160;4°; таким
образом, имеем соотношение
(х + 0;59°) + 160;4° + (х - 0;13°) = 180°,
отсюда х = 9;35°, AZ = 10;34°, НГ = 9;22°.
    65. О геометрическом методе вычисления простафереза, или уравнения аномалии
с как функции аномалии а, см. кн.III, гл.5.
    66. Данный фрагмент представляет единственное известное нам свидетельство о
гиппарховом определении радиуса эпицикла г и эксцентриситета е лунной орбиты.
Однако приведенные Птолемеем числа, по-видимому, искажены; они перевычислены
Птолемеем и к тому же с погрешностью. Дж.Тумер показал, что Гиппарх при
определении параметров лунной орбиты использовал значение радиуса деферента
R = 3438р (вместо R = 60р, используемого Птолемеем), которое позднее мы находим
в средневековой индийской астрономии [Тоотег, 1973]. Основанием для подобного
деления, по-видимому, служит предположение о том, что радиус можно измерить
в тех же единицах, что и окружность. Поскольку окружность содержит 360 частей,
полагая л ~ 3;8,30, находим R = 36072л = 57; 18° = 3438' [НАМА, р.299-300]. 
Если
произвести деление точно, получаем R : е = 3144 : 327% = 60 : 6; 15,11..., и 
соответ-
ствующее значение с    = 4;59°; 31221/г : 247V2 = 60 : 4;45,21..., и с    = 
4;33°. В
    65. 
последнем отношении согласие со значением сшах = 4;34°, приведенным Птолемеем,
будет полным, если вместо 31221/2 взять 3112V2 [РА, р.211, п.62]. Использование
Гиппархом двух разных отношений rlR и e/R свидетельствует, возможно, о его
неуверенности в постоянстве величины радиуса эпицикла или эксцентриситета; см.
по этому поводу [НАМА, р.315].
    Величина е = 6; 15р была принята в несохранившейся книге Гиппарха «О 
размерах
и расстояниях (Солнца и Луны)», выдержку из которой приводит Папп в его
комментариях к «Альмагесту» [Rome, 1931, р.68; Тоотег, 1967].
67. Неизвестно, кого в данном случае имеет в виду Птолемей.
    68. Противоречивый результат, полученный Гиппархом, обусловлен, согласно
Птолемею, не погрешностями наблюдений, а ошибками вычислений самого Гиппарха.
Чтобы убедиться в этом, он определяет моменты средних фаз каждого из шести
использованных Гиппархом лунных затмений в среднем солнечном времени на
меридиане Александрии и находит по своим таблицам соответствующие значения
долготы Солнца kQ и Луны к^. Затмение считается наблюденным точно, если
выполняется соотношение kQ — к^ = ± 180°. Совпадение теории и данных наблюдений
служит здесь критерием истинности наблюдений. Указанное соотношение точно
выполняется для каждого из шести затмений Гиппарха (согласно Птолемею,
погрешность не превосходит 0;4°, на самом деле — 0;6°), что побудило Р.Ньютона
предполагать подделку [Ньютон, 1985, с. 124 и след.]. Однако вычисленные 
значения
интервалов между затмениями не согласуются с теми, которые использовал Гиппарх.
Птолемей не приводит подробных вычислений, однако найденные им значения
интервалов  между  затмениями  дают  в  первом  случае  е=5;16р,   во  втором
г = 5;13р, т.е. величины, близко согласующиеся с полученным им самим значением
г = 5;15р [НАМА, р.317-318]. Последнее обстоятельство заставляет также 
подозревать
здесь некоторую подгонку под желаемый результат.
    69. -382, декабрь 23; это и два следующих наблюдения имеют двойную
датировку — в астрономическом календаре Метона, в котором использовались месяцы
гражданского афинского календаря [Тоотег, 1974], и по эре Набонассара. Можно
заключить поэтому, что «эра Набонассара» применялась греческими астрономами
уже во времена Гиппарха. Здесь «со стороны летнего восхода», т.е. с 
северо-востока;
см. также таблицу в коммент. 25.
    70. Для каждого из шести затмений Птолемей находит: а) среднее солнечное
время Tq средней фазы затмения в Александрии; б) соответствующие значения
истинной долготы Солнца и Луны kQ и к^, сравнение которых позволяет оценить
качество наблюдений. Рассмотрим вычисления Птолемея на примере первого
затмения.
    Дата затмения: Набонассара 366, тот 26; время начала затмения: 5^/2 
сезонного
часа после полуночи.
1. Приближенная долгота Солнца (кн.Ш, гл.2, 6):
At	Ак
360у	272; 28°
5У	358;47°
25й	24;38°
-17h	0;42°
At ~ 365y25d17h       656;35°
265; 15°
921;50°-  201;50°

    Расстояние от апогея: к = 201;50°; уравнение с = 0;55°; средняя долгота
I0 = ic + Аа = 267;20°; истинная долгота AQ = к +Аа + с = 268;15° = 28;15° 
Стрельца.
    2.	Продолжительность ночи в равноденственных часах на широте Вавилона
(соответствует широте Родоса, где М = 14V2h) для установленного значения
AQ = 28; 15° Стрельца. По таблице кн.П, гл.8 находим времена восхода дуг 
эклиптики
в градусах времени:
р (28; 15° Стрельца) = 286;47°,
р (28; 15° Близнецов) = 69;24°.
Разность времен восхода: Ар = 217;23°.
Продолжительность ночи в равноденственных часах
= 14;30 « 14i/2h (текст: 14*sh).
Длина одного сезонного часа во временных градусах
?f^ = 18;7° (текст: 18°).
    3.	Истинное время начала затмения в Вавилоне (если принять птолемеево
значение для сезонного часа 18°)
5V2H х 18° _     h
15°	5 '
или 183?h после полудня, что соответствует 174^h после полудня в Александрии,
считая от полудня.
4.	Полудлительность затмения в равноденственных часах:
а) Аномалия Луны а в момент начала затмения     (таблице KH.IV, гл.4):
At	Аа
360у	258;44°
5У	83; 35°
25d	326;37°
17h	9;15°
3/4h	0;25°
ДГ=   365y25d17V4h   678;36°
+
268;49°
а =   947;25° -   227;25°
    б)	Истинная часовая скорость движения Луны для установленных даты и
времени г{ (кн.VI, гл.4, коммент. 12). По таблице лунного неравенства (KH.IV,
гл.10) находим
с (227;25°) = + 3;55°,   с(228;25°) = + 3;58°,
Ас = с(а + Г) - с(а) = 0;0,3,
vc = 0;32,56° + 0;32,40°-Дс = 0;34,347А.
    в)	Птолемей не приводит наблюденную величину затмения; если примем
m = 2", то по таблицам KH.VI, ГЛ.8 находим
    
   7; = 0;16,59°,     V; = 0;19,9°,    а; 3) центр эпицикла на
эксцентре вращается вокруг О в прямом направ-
лении со скоростью приращения аргумента широты
а>р, 4) линия апсид эксцентра вращается вокруг
О в обратном направлении со скоростью Ъо^ — ш^.
Вращения, происходящие вокруг центра эклиптики
О, отсчитываются от направления OY, считающе-
гося неподвижным. Отсюда скорость движения
центра эпицикла относительно OY составит     —
- (а>р — суА) = сод. Величина угла СО А изменяется
со скоростью а>р + (Ъсо^ — ш^) = 2ау так что центр
эпицикла за один месяц дважды оказывается в
апогее (в сизигиях, когда элонгация Луны ij = О и
В  квадратурах
(с2 = 0).
rj = 180°) и дважды в перигее (в квадратурах, когда rj = 90° и rj = 270°) 
эксцентра.
Требования наблюдений, таким образом, полностью выполнены. В самом деле, в
сизигиях расстояние центра эпицикла от центра эклиптики ОС = OA = R, как это
имеет место в простой эпициклической модели, и поэтому для описания движения
Луны  по  долготе  достаточно  одного  неравенства  с
ОС = OP = R - 2е и соответственно с2 = 0, когда Луна находится в апогее или
перигее эпицикла (в = 0 или в = 180°), и с2 = с2пшх' когДа Луна на эпицикле
отстоит от апогея (перигея) на 90° (а = 90°, или а = 270°), при этом знаки сх и
сг совпадают.
    Согласно арормулированному самим Птолемеем принципу кинематического
моделирования, видимая неравномерность движений светил должна представляться
при помощи равномерных круговых движений. Но равномерным будет такое круговое
движение, которое равномерно относительно центра круга (кн.Ш, гл.З, с.85). 
Однако
в данной модели этот принцип не выполняется. Центр эпицикла С движется
неравномерно относительно центра деферента М. Аналогичное нарушение имеет
место в планетной теории Птолемея, в так называемой модели с эквантом, см.
кнЛХ, гл.6 и коммент. 33 к кнЛХ.
    Всесторонний анализ птолемеевой модели движения Луны см. в [Идельсон, 1975,
с.209-214; Ньютон, 1985, с.155-159; Нейгебауэр, 1968, с.189-190; НАМА, р.84-88;
SA, р. 184-189; Petersen, 1969].
    8. После слов «переносит апогей эксцентра в А» нами опущены слова «и
описывает вокруг центра Z эксцентр АН», как не имеющие смысла; в самом деле,
ЕА не является радиусом эксцентра и вращается вокруг Е. По мнению Дж.Тумера,
ошибка внесена в текст при переписывании [РА, р.221-222, п.83].
    9. Птолемей формулирует три условия, которым должны удовлетворять наблю-
дения Луны, используемые для определения величины второго неравенства: 1) в
момент наблюдения Луна должна находиться на расстоянии около 90° от апогея
или перигея эпицикла (в этом случае линия «наблюдатель—Луна» касается эпицикла
и отклонение Луны от среднего положения максимально); 2) Луна должна находиться
в квадратурах (расстояние центра эпицикла от наблюдателя при этом минимально);
    8. 
3) параллакс Луны по долготе должен быть равен нулю; последнее условие будет
выполнено, когда Луна находится в наивысшей точке эклиптики, где круг высоты,
проходящий через светило, перпендикулярен эклиптике, и касательная к эклиптике
параллельна линии горизонта; в этом случае видимая и истинная долготы Луны
равны. При этом разность между измеренной долготой Луны и вычисленной по
таблицам с помощью только первого неравенства дает максимум второго неравенства
с2шах' ^ля нахожДения с2шах Д00131"04110 одного наблюдения Луны в квадратурах,
удовлетворяющего перечисленным условиям, однако Птолемей приводит два таких
наблюдения, произведенных Гиппархом и им самим.
    10. 139, февраль 9. Анализ наблюдения см. в [Britton, 1967, р.142-143, 
Ньютон,
1985, с. 151 и след.].
    11. Три указанные величины получены, вероятно, на основе наблюдений. Во
всяком случае, они отличаются от значений, вычисленных по таблицам Птолемея:
долгота Солнца kQ = 318;44° (ниже Птолемей приводит неверно определенное им
значение kQ,   совпадающее  с  наблюденным),   долгота  кульминирующей  точки
эклиптики Д(М) = 242;35° (правило определения этой величины по известной kQ,
географической широте и времени см. кн.П, гл.8-9).
    Выше показано (см. коммент. 5), что инструментальная эклиптика астролябии
могла ориентироваться по Солнцу без предварительного определения солнечной
долготы, как того требует общая методика, изложенная в KH.V, ГЛ.1. Вероятно,
именно этот способ ориентирования применялся в данном случае. Дж.Тумер, однако,
считает, что величина kQ не наблюдалась, а была предварительно вычислена [РА,
р.224, п. 11].
    12.	Параллакс по долготе равен нулю, если круг высоты, проходящий через
светило, перпендикулярен эклиптике. Этот угол, согласно методике Птолемея, 
можно
найти по таблицам в кн.П, гл.13 по трем параметрам: широте места наблюдения,
долготе соответствующей точки эклиптики и расстоянию этой точки от меридиана,
выраженному в равноденственных часах. В данном случае широта соответствует
параллели Нижнего Египта; долгота к^ = 219; 40°;  расстояние же от Луны до
меридиана пропорционально разности «времен восхода» кульминирующей точки
эклиптики и Луны и определяется по формуле At = 0;4h [а(М) — а(',
определяющего положение Луны в плоскости ее орбиты относительно наиболее
северной точки. Значения функции в интервалах 0 * 90°, 270° + 360° аргумента
даются через 6°, а в интервале 90 + 270° через 3°. Значения функции,
соответствующие промежуточным значениям аргумента, определяются линейной
интерполяцией.
36.	В 3-м столбце приведены разности с3 = а — а положений истинного и среднего
апогеев на эпицикле (угол в на рис. 5-С) как функция удвоенной элонгации 2rj.
37.	В 4-м столбце дается неравенство с4 = Я^ - XQ как функция истинной
аномалии а при условии, что эпицикл находится в апогее эксцентра (Луна в
сизигиях); функция с4 совпадает с неравенством      определенном в KH.IV, ГЛ.10.

    38.	В 5-м столбце приводится разность с5 = с2 - с4 между значениями 
неравен-
ства, когда эпицикл находится в перигее (с2) и апогее (с4) эксцентра 
(соответственно
Луна в квадратурах и в сизигиях) как функция истинной аномалии а. В перигее
    
отношение расстояния от наблюдателя до центра эпицикла к радиусу эпицикла
R - 2е    39;22р    60	-
—-— =    '     = -g- и соответствующая величина с2тах = i;4vr.
    39.	Величина лунного неравенства для промежуточных значений элонгации, 
когда
Луна не находится в сизигиях или квадратурах, определяется, согласно Птолемею,
по правилу,  эквивалентному формуле с(2^, а) =с4(а) + c6(2rj) X cg(a),  где cfi 
—
коэффициент интерполяции, приведенный в столбце 6 таблицы как функция
удвоенной элонгации 2rj. В сизигиях cfi = 0 и, следовательно, с = с4(а), в 
квадратурах
с6 = 1 и с = с4(а) + с5(а), для промежуточных значений 2rj имеем 0 < с < 1, и
действует приведенная выше формула [НАМА, р.94].
40.	Приводится пример вычисления коэффициента с6 для случая rj = 60°. По
    с    (2п) - с.
„      max4           4,max	,~—„
определению, c6(2>j) =	?—, где cmax\2ij) — максимальное уравнение при
5,max
произвольном значении элонгации rj, с4шах = 5;1° — максимум неравенства в
сизигиях,  с5 шах = 7;40°  — максимум неравенства  в квадратурах.  Для случая
rj = 60° определяется расстояние до центра эпицикла р = ЕВ = 43;43р и по нему и
известной величине г = 5;15р находится сшах(120°) = 6;54°; отсюда, согласно 
приве-
денной выше формуле, с6(120°) = 0;42,38 [НАМА, р.94-95].
41. Кн.1, гл.14.
    42. Наблюдения, о которых упоминает Птолемей, частично приводятся в KH.V,
гл.12, с. 156-157.
    43. Точность определения величин в таблице составляет в большинстве случаев
±0;0,1; однако имеются исключения. Так, погрешность в с3 составляет —3 + —4
единицы последнего разряда для значений аргумента 123-129, 147-155 и 171-177.
Величины с5 для значений аргумента 6-54 превышают точные так, как будто они
вычислялись при отношении r — 1е~ ОД 36 (вместо 0,133). Точность определения
с6 (до вторых шестидесятых) избыточна, так как погрешность по сравнению с
истинным значением зачастую имеется уже в первом разряде; вероятно, поэтому в
«Подручных таблицах» в этом столбце оставлен только первый разряд [РА, р.237,
п.30].
44.	KH.IV, гл.3-4.
45.	Истинная аномалия определяется по правилу, эквивалентному формуле
а = а + су если 0° ? 2rj < 180°,
а = а - с3, если 180° <2rj < 360°.
    46.	Долгота Луны в произвольный момент времени t определяется согласно
формуле = ± с, где Я^ — средняя долгота, с — лунное неравенство; знак
неравенства зависит от значения истинной аномалии а.
47.	В 7-м столбце приведены значения лунной широты /3 как функция истинного
аргумента широты, определяемого согласно формуле со' = ш' ± с, где ш' — средний
аргумент широты, с — полное лунное неравенство.
    48.	Рассмотрим два примера определения долготы и широты Луны Птолемеем
(кн.VII, гл.З).
    I. Долгота и широта центра Луны в момент соединения Луны с южной частью
Плеяд (кн.VII, гл.З, с.220).
Дата: Набонассара 840, тиби 2/3;   среднее солнечное время 54/4h до полуночи

В столбце 3 таблицы KH.V, ГЛ.8 находим «наклонение» эпицикла c3(2rj) = —10;35°.
Отсюда истинная аномалия а = а + с3 = 317;31°. Беря в качестве аргумента
значения истинной аномалии и удвоенной элонгации 2rj, находим соответственно
столбец 4 —   с4(«) = 3;10°,
столбец 5 —   cs(a) = 1;36°,
    столбец 6 —   c6(2fj) = 0;19,23.
Отсюда величина лунного неравенства
с = +(с4 + с5 х с6) = +3;41°,
долгота Луны
    Я = X + с = 32;13° (в тексте 33;7°),
истинный аргумент широты
    со' = со' + с = 12;26°.
Значения широты дает столбец 7:
Р(а>') = +4;53° (в тексте +4;50°).
См. также [Ньютон, 1985, с.234; РА, р.335, п.70].
    П. Долгота и широта центра Луны в момент соединения Луны со звездой & Sco
(KH.VII, гл.З, с.222).
    Дата: Набонассара 454, фаофи 16/17; среднее солнечное время 32/5h после
полуночи (-294, декабрь 21). Определяем средние положения Луны (таблица KH.IV,
гл.4):

Яаto'Чto
450у
Зу
зо"
15"
15h
l/6h41;22°
260;46,43
28; 8,18
35:17,29
197;38,44
8; 14, 6
0; 5,29 268;49°
323;26, 5
266; 9,22
31;56,58
195:58,29
8; 9,56
0; 5,26354;15°
320;54, 5
86; 8,21
36;52,49
198;26,24
8;16, 6
0; 5,3070;37°
10;11, 3
28;52, 4
5;43,20
182;51,40
7;37, 9
0; 5, 4453y45d15Voh_571;32,49°
Я =   211;33°1094;35,16°
а =   11;35°1004;58,20°
<о' =   284;58°305:57,20°
П =   305;57°
2(/ =   251;54°
«Наклонение» эпицикла (столбец 3, таблица KH.V, ГЛ.8)
с3=-13;3°.
Отсюда величина истинной аномалии
а = а + с3= 1;32°,
величина лунного неравенства
столбец 4 —   с4(а) = 0;7°,
столбец 5 —   с5(а) = 0»4в>
столбец 6 —   с6(2^) = 0;36,14,
    с = -(с4 + с5 х Сб) = -0;9°.
Отсюда долгота Луны
    Я = X + с = 211;24° (в тексте: 211;15°),
истинный аргумент широты
ш' = ш' + с = 284;49°.
Широта Луны (таблица KH.V, ГЛ.8, столбец 7)
Р(а>') = +1;17° (в тексте +1;20°).
См. также [Ньютон, 1985, с.234; РА, р.337, п.82]. Другие примеры, поясняющие
принятую в «Альмагесте» процедуру для определения долготы и широты Луны, см.
в [НАМА, р.96-97; РА, р.652].
    49.	Эксцентрическая модель движения Луны совпадает с простой эпициклической
моделью в сизигиях, когда средняя элонгация ц = 0 или 180°. Однако задача
предвычисления времени и обстоятельств видимости затмений связана с 
определением
моментов истинных сизигий и истинных элонгации Солнца и Луны.
Солнечные затмения, например, очень чувствительны к изменениям расстояния от
наблюдателя до Луны. Требуется поэтому показать, что изменения, которые вносит
эксцентр, не влияют на точность расчетов, связанных с затмениями.
    Второй важный аспект проблемы имеет методологический характер. При
определении средних скоростей движения Луны и их значений в начальную эпоху,
а также радиуса эпицикла Птолемей использовал лунные затмения в соединении с
простой эпициклической моделью. Необходимо показать поэтому, что переход к
эксцентрической модели не влияет на величины этих параметров. Подробнее см.
[НАМА, р.98-99].
    50.	Из таблицы KH.V, гл.8, столбца 3 следует, что наибольшее расхождение на
эпицикле истинного и среднего апогеев с3шах = 13;9°.  Этой величиной можно
пренебречь, когда Луна находится на эпицикле на расстоянии ±90° от апогея, так
как она не изменит заметно величину неравенства.
    51.	Птолемей анализирует две экстремальные ситуации, когда эксцентрическая
модель дает максимум расхождения с простой эпициклической моделью при
определении моментов истинных сизигий.
    В первом случае Луна находится в квадратурах эпицикла на расстоянии около
±90° от апогея, причем величина средней элонгации максимальна. Поскольку это
затмение, kQ= и rj = Х^ - AQ = cQ — с^. Максимальная элонгация соответствует
максимуму величины cQ — = tj = 5;1° + 2;23° = 7;24°. Во втором случае Луна в
момент затмения расположена в перигее эпицикла, где Я^ = Х^ (отсюда = 0) и
наибольшая элонгация rj = cQ = 2;23°.
    52.	Таким образом показано, что: 1) расстояние от наблюдателя до Луны
(р = ВМЕ = 59;36р вместо р = ЕА = 60р) существенно не изменилось; 2) 
неравенство
    
возросло на 0;2°, что эквивалентно (если принять для среднесуточного приращения
элонгации величину     — vQ « 12 °/d ~ Уг °/Ю временнбй разности 0;4h » V\6h.
    53. Отношения сторон в подобных треугольниках ZBS и BAN (рис. 5.9):
BZ : ZH = ВЛ : AN и BZ : ВН = ВЛ : BN.
    54. Как и в предыдущем случае, здесь показано, что: 1) расстояние от
наблюдателя до Луны (р = BE = 59;58р вместо р = АЕ = 60р) осталось практически
неизменным; 2) неравенство возросло на величину Ас = 0;4°, что эквивалентно
временнбй разности 0;8h « V8h.

55. KH.IV, гл.1 и коммент. 2, рис. 4-А.
56. Обоснование этого положения см. в KH.V, гл.15.
    57.	Описание процедуры Гиппарха для нахождения расстояний до Солнца и
Луны содержится также в комментариях Паппа к соответствующему месту
«Альмагеста». Папп пишет: «Так Гиппарх, сомневаясь не только в том, какова
величина параллакса Солнца, но и имеет ли оно параллакс вообще, предположил
в первой книге [сочинения] «О размерах и расстояниях», что Земля подобна точке
сравнительно с размерами сферы Солнца. И сначала он предположил, используя
затмение, которое он привел, что оно имеет минимальный параллакс, а затем
больший параллакс. Отсюда отношения лунных расстояний получились различными.
В книге I «О размерах и расстояниях» он берет следующее наблюдение: затмение
Солнца, которое в районе Геллеспонта было полным, так что не было видно ни
одной его части, но в Александрии Египетской было затемнено четыре пятых
диаметра. С его помощью он находит в книге I, считая радиус Земли равным
единице, что наименьшее расстояние Луны равно 71, а наибольшее — 83. Отсюда
среднее равно 77... Затем опять же в книге II «О размерах и расстояниях» он
показывает многочисленными рассуждениями, принимая радиус Земли равным
единице, что наименьшее расстояние Луны равно 62, среднее — 67V3, расстояние
же до Солнца равно 490. Ясно, что наибольшее расстояние от Луны будет 72%»;
цит. по [Тоотег, 1974, р. 126-127].
    Н.Свердлов показал, что в основе методики Гиппарха для определения 
солнечного
расстояния лежат следующие пять допущений: а) Солнце и Луна имеют одинако-
вые видимые диаметры, когда Луна находится на среднем расстоянии от Земли;
б) видимый диаметр Луны на среднем расстоянии укладывается в полной окружности
650 раз (отсюда 2rg — 0;33,14°); в) диаметр земной тени превышает диаметр Луны
на среднем расстоянии в 2V2 раза; г) при определении расстояния до Луны по
расстоянию до Солнца (или наоборот) Гиппарх использовал методику, описанную
в KH.V, гл.15 «Альмагеста»; д) расстоянию до Солнца, равному 490rg, 
соответствует
параллакс 7', который Гиппарх принимал в качестве наименьшего фиксируемого
при визуальных наблюдениях [Swerdlow, 1969].
    Метод Гиппарха реконструирован также Тумером [Тоотег, 1974], который
показал, что в сообщениях Паппа и Птолемея речь идет о солнечном затмении
-189, март 14 [Oppolzer, 1889, № 2420], хорошо известном античным астрономам
[НАМА, р.316, п.9]. Полагая параллакс Солнца равным нулю, Гиппарх с помощью
этого затмения в книге I указанной работы определил наименьшее возможное
расстояние до Луны (71г). Два других расстояния (среднее и максимальное) легко
определить, если известен радиус лунного эпицикла. В книге II Гиппарх принял
параллакс равным его максимальному возможному значению (7'), при котором он
может быть зафиксирован визуально, и нашел наименьшее возможное расстояние
до Солнца 490г и наибольшее возможное до Луны 67Узг  (у Паппа обозначенное
как «среднее»). Затем Гиппарх показал, что с увеличением расстояния до Солнца
(а это в принципе возможно, так как параллакс Солнца может быть меньше 7')
расстояние до Луны стремится к постоянной величине 59rg, и, таким образом,
определил пределы изменения расстояния до Луны. В «Альмагесте» (KH.V, гл.13)
величина 59rg используется в качестве среднего расстояния до Луны.
Анализ методики Гиппарха см. также в [НАМА, р.325-329; SA, р.203-204].

    58. Описание параллактического инструмента приводит также Папп в коммен-
тариях к соответствующему месту «Альмагеста». Современные реконструкции
см. [Price, 1957, р.589-590; Rome, 1927; 1931, 70-75]. В средневековой 
европейской
астрономии этот инструмент был известен под названием трикветрум (triquetrum).
    59. Рис. 5-D заимствован с небольшими изменениями из [PA, р.245, Fig. G],
как наиболее соответствующий тексту «Альмагеста». Обозначения на нем:
(/ — вертикальная линейка, 2 — визирная линейка, 3 — измерительная планка,
4 — основание, а, Ь — визирные приспособления, d — отвес, е - е — полуденная
линия.
    60. Если «локоть», о котором упоминает Птолемей, соответствует «малому 
локтю»
(44,4 см), употреблявшемуся в Египте, то длина шкалы с/ составляет 177,6 см, а
се '/бо часть — 30 мм, если же речь идет о так называемом «царском локте»
(52,5 см), то с/ = 210см, 1/60с/=35мм.
    61. Ось с, по-видимому, жестко фиксировала положение стержня 2 так, что он
не мог вращаться под действием собственного веса [РА, р.246, п.42].
    62. Между стержнями / и 2 имелся, по-видимому, зазор для тонкого стержня
3. Длина стержня 3 не превосходит длину шкалы на стержне 1, так как последняя
использовалась для измерения величины /т. Максимальное зенитное расстояние,
измеряемое на инструменте, составляло, таким образом, около 60°. А.Ром считает,
что это ограничение было сделано специально, чтобы избежать влияния рефракции,
но это объяснение кажется маловероятным. Ограничение зенитного расстояния имело,

по-видимому, другие причины. Параллактический инструмент использовался Птоле-
меем для наблюдения Луны в меридиане на широте Александрии. Максимальное
зенитное расстояние 60° было достаточным для проведения подобных наблюдений
[РА, р.246, п.43].

    63. Широта Луны может быть определена непосредственно по ее зенитному
расстоянию в момент кульминации, если круг широты, проходящий через ее центр,
находится в плоскости меридиана, что будет иметь место, если выполнены 
следующие
два условия: а) узлы лунной орбиты совпадают с точками равноденствий; б) 
долгота
Луны     = 90° или 270°.
    64. В треугольнике с/т имеем с/ = cm = 60р, /т = crd z, где z = /cm —
зафиксированное зенитное расстояние. После определения длины /т в частях шкалы
с/ = 60р зенитное расстояние находим по таблице хорд кн.1, гл.11.
    65. Согласно Дж.Тумеру, такого рода измерения могли быть произведены либо
летом 126, либо весной 145 г. Обе даты отстоят друг от друга на полпериода
(182/зу: 2 = 9'/зу), в течение которого лунные узлы проходят эклиптику от даты
наблюденного Птолемеем прохождения Луны через меридиан (октябрь 135 г.; KH.V,
гл.13) вблизи зимнего солнцестояния, когда широта Луны была максимальной [РА,
р.247, п.44; Ньютон, 1985, с. 186-187].
66. Вычисления производились согласно формуле
( = 30;58° — широта Александрии; в = 4;59° — 
вычисленная
широта Луны.
72. Точные вычисления дают КЛА = 39;49,31r, = 39;50rg   [НАМА, р.102, п.4].
73. Точные вычисления дают R = 60;24rg. [Ньютон, 1985, с.189; НАМА, р.102].
Среднее расстояние до Луны в сизигиях R — 59rg,  полученное Птолемеем,
совпадает с минимально возможным расстоянием, которое нашел Гиппарх, см.
коммент. 57. Можно думать поэтому, что исходными для определения величины
R было измерение параллакса Луны в сизигиях по результатам наблюдения
солнечного затмения. Наблюдения же зенитного расстояния Луны в настоящей главе
призвано только подтвердить хорошо известное из работы Гиппарха значение R
[РА, р.251, п.49; Тоотег, 1974, р.131, п.25].
    74. В некоторых арабских рукописях и согласно общему смыслу текста гл. 14
начинается в этом месте [РА, р.251, п.50]. Перевод И.Н. Веселовского следует
греческому тексту в издании Гейберга.
    75. Об этом методе определения видимого диаметра Солнца, критиковавшемся
Гиппархом, сообщает Папп [РА, р.252, n.51; Rome, 1931, р.87-89]. В день
равноденствия Солнце пересекает линию горизонта под углом 90° — . 
Наблюдатель
фиксирует величину At — время восхода Солнца, измеренное водяными часами.
Диаметр Солнца определяется затем согласно формуле dQ = Arcos [НАМА, р. 103,
п.1].
    76. Инструмент (рис. 5-Е), о котором в данном случае идет речь, состоял из
длинного стержня J со шкалой, по которому перемещался ползун 3, несущий мишень
(в тексте: призму). На рис. 5-Е приведены три варианта такой мишени: круглая
4, призматическая 5, с двумя отверстиями б. Во время измерения мишень
устанавливали таким образом, чтобы ее сечение казалось равным сечению светила,
если смотреть от начала стержня через визирное отверстие 2. Описание 
инструмента
приводят Папп [Rome, 1931, р.90-92] и Прокл [Manitius, 1909, с.126-130]; 
похожее
приспособление использовал также Архимед при измерении видимого диаметра
Солнца [Архимед, 1961, с.360 и след.]. По поводу данного инструмента см. также
[Dicks, 1954; НАМА, р.ЮЗ, n.2; Price, 1959, р.591 ]. Реконструкция инструмента,
приведенная на рис. 5-Е, принадлежит С.В.Житомирскому.
    77. Таким образом, согласно Птолемею, видимые диаметры Солнца и Луны в
сизигиях совпадают (d^ = dQ), когда Луна находится на наибольшем расстоянии
R + г от наблюдателя. Н.Свердлов показал, что аналогичное равенство Гиппарх
принимал для среднего расстояния Луны в сизигиях [Swerdlow, 1969]. Допущение
Гиппарха делало возможным кольцеобразное затмение Солнца; Птолемей, по-видимо-
му, отрицал такую возможность [НАМА, р.104; PA, р.252, n.53; SA, р.208, п.4].
78.	Здесь,  по-видимому,  речь идет о принятой Гиппархом величине d^ —
= 360*7650 = 0;33,14°, о которой сообщается в KH.IV, ГЛ.9 «Альмагеста» (с.127).
Значение,   полученное  самим  Птолемеем для  максимального  расстояния  d^ -
— 0;31,20°, действительно меньше гиппархова, но для среднего расстояния
(^ = 0:33,20°) оно фактически совпадает с величиной Гиппарха [РА, р.252, п.54].

    79. -620, апрель 22; Набопалассар (626-605 до н.э.) — вавилонский царь,
основатель Нововавилонской династии.
    80. Отсюда уравнение времени ?=-0;15h; правильное значение Е = -0;20h
[НАМА, р.104, п.5; РА, р.253, п.57].
    81. Расстояние Луны от наблюдателя максимально, так как она находится в
сизигиях вблизи апогея эпицикла; расстояние от нисходящего узла 90° — 80;40° =
= 91/з°.
    82. -522, июль 16/17. Сохранилась клинописная табличка, в которой 
сообщается
об этом затмении. В переводе А.3акса она звучит следующим образом: «Год VII,
месяц IV, ночь четырнадцатого, 12/з двойных часов ночи, «полное» лунное 
затмение
имело место, когда лишь небольшая часть [диска оставалась незатемненной ]»; цит.

по [РА, р.253, п.58]. В клинописной записи время затмения совпадает с 
современной
оценкой, а величина расходится как с современной, так и с птолемеевской, см.
также [Ньютон, 1985, с. 196, 205-206].
83.	В некоторых рукописях стоит 18;11°; вычисления дают 18;10°.
    84. Правильное значение 27;54°; погрешность объясняется, вероятно, тем, что
Птолемей использовал здесь значение времени 10l/feh вместо правильной величины
9УбН [РА, р.254, п.60].
    85. Положение центра Луны L и земной тени В относительно узлов для средней
фазы лунных затмений приведены на рис. 5-F, где наклон орбиты i = 5°, 
расстояние
Луны от узлов Аш' = 9;20°, Аа>' = 7;48°; b., b (= LB) — расстояния между 
центром

Рис. 5-F
Луны и центром земной тени; величины затмений т} =3, т2 = 6. В основе метода
лежит  соотношение	= Ab,   где  Дт = т2 — т. у   Ab = b2~ by   т.е.   здесь
предполагается, что разность величин двух затмений пропорциональна разности
расстояний между центрами Луны и земной тени в моменты средних фаз.
Соответственно Птолемей находит из треугольника ALB, который считался,
по-видимому,  сферическим   [НАМА,  р.107], ^= 0:48,30°,  Ь2 = 0;40,40°.  
Отсюда
d^ = 0;7,50° = 0;31,20°. Второе затмение позволяет определить радиус земной 
тени
s = Z>2 = 0;40,40° « 2ty>    = 0;40,44°. Аналогичная процедура используется 
Птолемеем
в кн.VI, гл.5 для определения видимого диаметра Луны в сизигиях на минимальном
расстоянии от наблюдателя. Критический анализ метода Птолемея см. в [НАМА,
р.104-108; Ньютон, 1985, с.196-198; SA, р.207-209].
    86. Расстояния между светилами настолько велики, что прямые AS и ГН, а
также AN и Nr (см. рис. 5.12) касаются сферических поверхностей Солнца, Луны
и Земли таким образом, что отрезки АГ, ЕН и КМ, соединяющие точки касания,
с минимальной ошибкой можно считать диаметрами Солнца, Луны и Земли.
    87. Следовательно, на максимальном расстоянии Луны от наблюдателя видимые
диаметры Солнца и Луны одинаковы; это предположение лежит в основе метода.
88. Поскольку углы малы, дуги везде можно заменить хордами.
    89. В предыдущей главе показано, что радиус земной тени на максимальном
расстоянии Луны в сизигиях в 2Vs раза больше радиуса самой Луны.
    86. 
90. Поскольку NM — средняя линия трапеции 0ПР2.
91. Имеем отношения
re     ИГ    NA	NA
    Н2    НГ    0Д    NA - N0'
отсюда
КТА       N0	64;10
NA =	™f =т	п г, лп г «1210г.
г - Н2 е    1 - 0;56,49 е	е
е
92. Аналогичным образом
re     NE	NH
    ПР ~ НП    N3 - ПН'
отсюда
xF_    ПН      _     64; 10
N" " г - ПР Ге - 1 - 0;45,38 Ге ~ Шге
е
    93.	Птолемей не указывает точно, но в данном случае речь идет о сред-
нем расстоянии Солнца. Отсюда находим, зная эксцентриситет орбиты Солнца
е = 1/24, минимальное и максимальные расстояния:
R , = R - е = R - 1/24* = 1159;35г ,
min	'     е'
R     = R + е = R + 1/24Л = 1260;25г .
max	е
    Такие же значения приводит Птолемей в «Планетных гипотезах» [Goldstein,
1967, р.7] и получает Папп в своих комментариях к «Альмагесту» [Rome, 1931,
р. 107-108]. В «Гипотезах» Прокла и в его комментариях к платоновскому «Тимею»
приводятся ошибочные значения; так, величина R = 1210г^ определяется им в
«Гипотезах» как максимальное расстояние до Солнца [НАМА, р.ПО, п.11; SA, р.212,
п.6].
94.	В действительности расстояние до Солнца составляет около 24 ООО/-, а радиус
Солнца около \\\Vvg, следовательно, при определении этих величин Птолемей
ошибся в 20 раз. Причина ошибки коренится, по-видимому, в самой методике,
согласно которой расстояние до Солнца
_ _    N0
е
где N0 = 64; 10, a rg — HZ — малый делитель; небольшие погрешности в 
определении
г — Н2 могут приводить поэтому к существенным погрешностям в R. Чтобы получить
правильное расстояние при помощи этой формулы, достаточно уменьшить величину
rg — HZ на 0;3; при этом диаметр Луны на максимальном расстоянии станет меньше
солнечного и, следовательно, будет возможно кольцеобразное затмение Солнца.
Кольцеобразные затмения наблюдались античными астрономами, но Птолемей,
по-видимому, ничего об этом не знал. Подробнее см. в [НАМА, р. 110-111].
    95. Определение объемов небесных тел — традиционная задача античной
астрономии. Объемы светил вычислял Гиппарх, а позднее Теон Смирнский (ок. 100
н.э.) и Халкидий (ок. 300-350 н.э.) [РА, р.257, п.6]. В «Планетных гипотезах»
Птолемей вычисляет объемы всех планет по отношению к объему Земли [Goldstein,
1967, р.9].
    96. В гл.17 определяется параллакс Солнца и Луны по высоте р = z' - z, где
z' — зенитное расстояние светила, которое должно наблюдаться визуально при
установленном соотношении размеров орбиты и радиуса Земли; z — зенитное
расстояние, вычисленное в предположении, что размеры Земли ничтожно малы по
    95. 
сравнению с орбитой светила. Кинематические модели движения Солнца и Луны
позволяют для произвольного момента времени определить геоцентрическое рассто-
яние светила КА (см. рис. 5.13) и с его помощью величину г'. С другой стороны,
таблица кн.П, гл.13 позволяет найти для того же момента времени величину z по
известной долготе светила, часовому углу и географической широте места
наблюдения.
    97. Таким образом, согласно Птолемею, изменение расстояния Солнца относи-
тельно наблюдателя не влияет на величину солнечного параллакса. Аналогичным
образом ранее было принято (KH.V, ГЛ.14), ЧТО видимый угловой диаметр Солнца
не меняется при его движении по эксцентрической орбите.
    98. Параллакс как функция высоты z определяется для четырех основных
значений геоцентрического расстояния Луны в сизигиях:
I. R + г = 59rg + 5;10rg = 64; 10rg (Луна в апогее эпицикла);
    П. R - г = 59rg - 5;l0rg = 53;50г, (в перигее эпицикла);
в квадратурах:
III. R - 2е + г = 38;43ге + 5;10ге = 43;53ге (в апогее эпицикла);
IV. R — 2е — г = 38;43ге — 5;10г^ = 33;S3rg (в перигее эпицикла),
где 59rg — среднее расстояние в сизигиях;  38;43ге — среднее расстояние в
квадратурах; 5\\0rg — радиус эпицикла лунной орбиты, см. KH.V, гл.13.
Приведенные вычисления позволяют заключить: Птолемей безусловно знал о
том, что принятая им модель движения Луны дает изменение расстояния до Луны
R "г* т
A        R — 2е — е ~ ^' ХОТЯ ОН НИГДЕ прямо об этом не говорит. См. по этому
поводу также коммент. 19.
    99.	Точность определения величин параллакса в случаях III и IV
с этого момента огрубляется на один разряд. Это связано, вероятно, с
тем, что Птолемей не придавал особого значения параллаксу в
квадратурах, который не влияет на предвычисление солнечных затмений
[РА, р.260, п.69].
    100.	Столбец 1 таблицы гл.18 содержит значения аргумента от 0°
до 90° с интервалом 2°. В данном случае в качестве аргумента для
функций, представленных в столбцах 2-5, выступает зенитное рассто-
Е      яние z. Обозначим, следуя О.Нейгебауэру [НАМА, р. 112—115 ], функции
в столбцах 2-6 соответственно через с,, с,, е., е., с,. Тогда с, — это
ис' "      параллакс Солнца; с3, с5 — параллакс Луны для случаев I, III; с4,
с6 — превышение параллакса Луны в перигее эпицикла над соответствующим
значением в апогее; величины параллакса для случаев II и IV определяются
суммированием: с3 + с4 и с5 + с6>
    101. Столбец 7 содержит интерполяционные коэффициенты с? как функцию
истинной аномалии а. С помощью с7 величина параллакса в сизигиях определяется
согласно формуле
ps(z, а) = c3(z) + с?(а) X c4(z).
Поскольку 1а1 изменяется от 0° до 180°, а аргумент в таблице от 0° до 90°,
I сс I
то, чтобы получить с7(а), необходимо взять в качестве аргумента —^—.
Конкретные величины с?(а) определяются из соотношения (рис. 5-G)
  /   _ ЕА ~ ЕР _ (R + r)~ ЕР _ 65; 15 - ЕР
clw ~    АЛ    ~        2r        ~     10;30    '
где ЕА — расстояние до апогея в сизигиях; ЕР — расстояние до Луны при
произвольных а; АЛ = 2г — максимально возможная разность расстояний для апогея

и до Луны. Значения ЕР для конкретных а определяются по правилу, эквивалентному
формуле
ЕР2 = (г cos а + R)2 + (г sin а)2.
    Значения c?(a) изменяются в пределах 0 < c?(a) < 1; при a = 0 (с? = 0) 
имеем
случай I: р = с3(г); при a = 180° (с? = 1) — случай II: ps = с3 + с^.
102. Т.е. от величины 2г = 10;30Р.
103. KH.V, гл. 7, коммент. 38.
    104.	В столбце 8 приведены интерполяционные коэффициенты cg(a), аналогичные
по смыслу коэффициентам с7(а). Параллакс Луны в квадратурах как функция
зенитного расстояния z и истинной аномалии а определяется согласно формуле
PQ(Z> «) = c5(z) + cg(a) X c6(z).
В таблице значению аргумента -^р- в столбце 1 соответствует значение функции
   
    Конкретные значения cg(a) определяются согласно описанному выше правилу с
той разницей, что в квадратурах расстояние до апогея эпицикла ЕА = R — 2е +
+ г = 44;37Р, а расстояние до Луны ЕР2 = (г cos a + R — 2е)2 + (г sin I a I )2. 
Величины
c8, как и c7, изменяются в пределах 0 s cg < 1; при a = 0° (cg = 0) имеем 
случай
III: Рц = c5(z); при a = 180° (cg = 1) — случай IV: p^ = cs + c^.
105.	В столбце 9 приведен интерполяционный коэффициент сд для определения
параллакса Луны при произвольном значении средней элонгации rj.
Общая формула параллакса как функции трех переменных такова:
p(z, a,rj) = ps(z, a) + c9(rj) [pQ(z, a) - ps(z, a) ].
Множитель при c9 всегда положителен, так как р^ > ps.
    Величина Cyftj) определяется как отношение разности расстояний от 
наблюдателя
до Луны в сизигиях (fj = 0) и при произвольной элонгации rj к максимально
возможному изменению расстояний 2е = 20;38Р.
Элонгация изменяется в пределах 0° * 360°. Однако функция c^(jfj) обладает
симметрией, позволяющей использовать значения аргумента от 0 до 90°, 
приведенные
в столбце (1). При этом
если     0 < rj <   90°, то г/' = rj,
если   90° < v < 180°, то rj' = 180° - rj,
если 180° < v < 270°, то г]' = rj - 180°,
    если 270° < rj < 360°, то п' = 360° - rj,
где г]' — значения аргумента в столбце 1, дающие значения функции c9(rj). 
Подробнее
см. [НАМА, р.114].
106.	Значения функций с7, cg, с9 определялись геометрически для значений
аргумента а и rj с интервалом 12°. Значения функции для промежуточных значений
аргумента вычислялись линейной интерполяцией.
107.	В таблицу внесены исправления согласно [РА, р.264, п.73].
    108.	Определяется в виде разности At = a(d) - а(М), где a(d), а(М) — 
«времена
восхода» соответственно точек эклиптики с долготой, равной долготе центра Луны,
и кульминирующей точки эклиптики по таблице кн.II, гл.8 для широты места
    
наблюдения; долгота кульминирующей точки А(А/) может быть вычислена по
известной долготе Солнца AQ, широте <р и времени t согласно методике кн.П, гл.9,

см. также коммент. 65 к кн.П.
    109. Зенитное расстояние z точки эклиптики с долготой А, находящейся на
расстоянии At от меридиана на широте Ф, а также угол у, образуемый эклиптикой
и кругом высоты, проходящим через эту точку, определяется по таблицам кн.Н,
гл.13, см. также коммент. 75 к кн.П. В дальнейшем Птолемей считает зенитное
расстояние z и угол у заданными, если известны указанные параметры. 
Определенное
таким путем зенитное расстояние выступает в роли аргумента таблицы параллаксов
KH.V, гл.18.
    ПО. «Параллакс по высоте» в «Альмагесте» нигде специально не определяется,
однако он служит основой для нахождения составляющих параллакса «по широте»
и «по долготе», вычисляемых многократно. Правила его определения рассмотрены
выше в коммент. 101-102, 104-105; здесь же мы разберем один числовой пример.
    Определим параллакс Луны «по высоте» для момента соединения Луны со Спикой
в 454 г. Набонассара, месяц тиби, день 5 (-293, март 9/10), наблюденного
Тимохарисом в Александрии (KH.VH, ГЛ.З, с.221). Местное истинное время
соединения: 4 равноденственных часа до полуночи; для этого момента, по
определению Птолемея,
А0 = 15° Рыб, А^ = 21;21° Девы, /3^ = -15/6°.
Проверим его вычисления.
    1.	Долгота кульминирующей точки эклиптики. Интервал времени после полудня
8h х 15° = 120°. «Время восхода» в прямой сфере точки эклиптики с долготой AQ
(KH.II, гл.8): в(15° Рыб) = 346; 13°. Сумма двух величин: 466;13°-» 106;13°. По
таблице кн.Н, гл.8 находим точку эклиптики, «время восхода» которой в прямой
сфере соответствует полученной величине: а(115;46°) = 106; 13°. Отсюда A(Af) =
= П5;46°= 15;46° Рака (текст: 15° Рака).
2.	Расстояния Луны от меридиана (таблица кн.П, гл.8) At = а(С) - а(М) =
= а(21;2Р Девы) - а(15;46° Рака) = 172;4° - 106;13° = 65;5Г = 4;23h к востоку 
от
меридиана.
    3.	Зенитное расстояние Луны определяем по таблице кн.Н, гл.13 для параллели
Нижнего Египта интерполяцией соответствующих значений для Девы и Весов по
времени и по долготе для аргументов At = 4;23h и L = 21;21° Девы.

AtЯ
0° Девы0° Весов21;21° Девы4h
5h58;21
71:1564;28
77; 662;42
72;25Отсюда z = 67;34°.
4. Истинная аномалия а и средняя элонгация rj (таблица KH.IV, ГЛ.4).

AtДадч450у
Зу
120"
4"
я"323:26,5°
266; 9,22
127;47,52
52:15,35
4;21,1710,11,3°
28,52, 4
22:53.22
48:45,46
4; 3,4ЯДГ= 453y124d8h774;0,11°114;46,3°
a=aQ + До" = 774;0° + 268;49° = 1042;49° ?* 322;49°,
V = v0 + AV = 70;37° + 114;46° = 185;23°; 27} = 370;46° - 10;46°,
c3{27j) = 1;35°; а = а + c3(2q) = 322;49° + 1;35° = 324;24°.
5.	Для аргумента z = 67;34° в столбцах 3-6 таблицы гл.18, находим
с3 = 0;49,47°; с4 = 0;9,37°; cs = 1;12,45°; с6 = 0;23,7°;
для аргумента ^~~2—~) = 17;48° в столбцах 7-8 той же таблицы:
    с7(а) = 0;5,14,   cg(a) = 0;5,2;
для аргумента     =г\ - 180° = 5;23° (столбец 9):
c9(v) = о;°.4о.
6.	Параллакс в сизигиях
Ps = c3 + с7с4 = 0;49,47° + 0;5,14 х 0;9,37° « 0;50,35°;
параллакс в квадратурах
PQ = cs + с8с6 = 1;12,45° + 0;5,2° х 0;23,7° « 1;14,4Г;
общий «параллакс по высоте»
p = ps + c9(pQ - ps) = 0;50,35° + 0;0,40 х (1;14,4Г - 0;50,35) « 0;51°.
111. Таблица кн.П, гл.13.
112. Таблица хорд кн.1, гл.11.
              113. Рассмотрен упрощенный метод для нахождения составляющих 
параллакса
t           «по долготе»    и «по широте» р^. В основе метода лежат следующие 
три допущения:
1) все треугольники считаются плоскими; 2) круги высоты, проходящие через центр
Луны и ее проекцию кругом широты на эклиптику, параллельны; 3) параллакс
вычисляется для проекции центра Луны на эклиптику, что равнозначно допущению
/3^ = 0. При этих условиях
рх = р cos у, Рр = Р sin у,
где р — параллакс по высоте; у — угол, образуемый эклиптикой и кругом высоты,
проходящим через точку проекции Луны на эклиптику; подробнее см. [НАМА,
р.115-116; SA, р.218-219].
    Рассчитаем составляющие параллакса для рассмотренного выше наблюдения
Тимохариса (см. коммент. ПО).
    1. По таблицам ки.П, гл.13 для параллели Нижнего Египта интерполяцией
значений Девы и Весов по времени и долготе для аргументов At = 4;23h к востоку
и Х- = 21;27° Девы находим «восточный угол» у.

AtЯ
0° Девы0° Весов21;21° Девы4h
5h172;10
172;28169;47
172;21170;28
172;23Отсюда у = 171;12°.

    2. Определение долготной и широтной составляющих параллакса. Поскольку
у > 90°,  найдем у' = 180° - у = 8;48°.  Аргументы  таблицы хорд  в  кн.1,  гл.
11:
2у' = 17;36°,  180° - 2у' = 162;24° и соответствующие им хорды Crd 2у' = 18;21Р,

Crd (180° - 2у') = 118;35Р. Отсюда
120р
т „ Crd (180° - У) = 0;51О Х 118Ц? В 0;50О)
120р
CjdV =	х 18J2T! „ _0;8о>
120р	12QP

(текст: ря = 0;44°, р^ = -0;10°).
    114.	В рассмотренном примере (коммент. 113) точка зенита расположена на
меридиане севернее кульминирующей точки эклиптики, поэтому параллакс «по
широте* сдвигает светило к югу  (р^ < 0);  параллакс «по долготе»,  напротив,
увеличивает долготу Луны (р^ > 0), поскольку выполнены два условия: р^ < 0 и
у > 90°.
    115. Предвычисление солнечных затмений — основная задача, где применяется
птолемеевская теория лунного параллакса. Точностные характеристики теории
параллакса определяются поэтому требованиями теории затмений.
    116. До настоящего времени не существует удовлетворительной реконструкции
метода, применявшегося Гиппархом для уточнения составляющих лунного параллакса
[НАМА, р.322-325; РА, р.268, п.82]. Здесь мы имеем едва ли не единственный
пример в «Альмагесте», где Птолемей позволяет себе осуждающую реплику по
отношению к Гиппарху.
    117. Речь идет об углах, образуемых кругом широты и кругом высоты,
проходящими через центр Луны. Таким образом, Птолемей, чтобы получить более
точное значение параллакса, отказывается от второго и третьего условий, лежащих
в основе рассмотренного выше (коммент. 113) упрощенного метода. По мнению
О.Нейгебауэра [НАМА, р. 116], это исправление не дает существенного выигрыша
в точности, а приводит скорее к обратному результату, однако Дж.Тумер 
оспаривает
этот вывод [РА, р.273, п.87].
    118. Когда эклиптика проходит через зенит и широта Луны максимальна, ее
зенитное расстояние z = /Зшах = 5°. Точка В совпадает с зенитом, так что для 
нее
верно z = 0 и р (z = 0) = 0. Параллакс Луны для z = 5° определяется по таблице
гл.18, столбцы 5 и 6 (эти столбцы дают наибольшую величину разности)
р(5°) = 0;7,30° + 0;2,5° = 0;9,35° « 0;10°, как указано в тексте. Максимальная 
широта
Луны при солнечном затмении составляет 1!/2° (сумма
видимых радиусов Луны и Солнца (по 1/4°) и
наибольшего параллакса в соединении (около 1°)),
см. кн.VI, гл.6. Отсюда максимальная разница между
значениями параллакса на эклиптике и лунной орбите
составит (столбцы 3 и 4 таблицы параллакса,
аргумент z=\Vi°): р(1 W)=0;l,25°+0;0,18°= 0;1,43°,
что близко к приведенной величине [РА, р.271, п.85;
НА I, S.447].
119.	Таблица хорд кн.1, гл.11.
    120.	Смысл описываемой процедуры поясняется
на рис. 5-Н ([НАМА, р.1238, Fig. 106], где АГ —
эклиптика, Z — зенит, Е — центр Луны; BE = /3 —
круг широты, ZB = z и Z0 — круги высоты. Дано: угол ABZ = у, зенитное
расстояние z и широта /3. Требуется определить угол B0E = в и с его помощью
составляющие параллакса. Процедура вычислений такова:
    1) из прямоугольного треугольника ВАЕ находим ВА = /3siny; АЕ = /3 cos у
и затем AZ = z - /3 sin у;
    
    2)	из прямоугольного треугольника ZAE находим зенитное расстояние центра
Луны
ZE = V AZ2 + ЛЕ2
и угол п из отношения
ЛЕ
sm1 = ZE;
    3)	отсюда угол 0 = у — п и составляющие параллакса определяются согласно
формулам
р^ = р cos в;   Рр = Р sin 0.
    Таким образом Птолемей устраняет огрубляющие условия 2 и 3, принятые в
упрощенном методе (коммент. 113), но сохраняет допущение 1 (треугольник BZ©
считается плоским). Но так как «основание» треугольника BE мало (не более
/3    =5°), то оно не вносит большой погрешности в определяемые величины [РА,
р.273, п.8; НАМА, р. 116 ]. Однако точный метод, по-видимому, ни разу не 
использо-
вался самим Птолемеем в «Альмагесте».

КНИГА ШЕСТАЯ
1. См. таблицу средних движений Луны KH.IV, гл.8
2. Среднесуточное приращение элонгации      = 12;11,26,41..."Yd (KH.IV, гл.З);
интервал времени, на который среднее новолуние предшествовало начальной эпохе,
70*37°
—1—« 5;47,33d;     момент  следующего  новолуния   в  месяце  тот  29;31,50d -
7
— 5;47,33d = 23;44,17d, где 29;31,50d = т — средняя продолжительность синодиче-
ского месяца.
    3.	Установив дату среднего соединения в месяце тот 1 года Набонассара, все
остальные даты Птолемей определяет последовательным суммированием про-
должительности синодического месяца по правилу, эквивалентному формуле
1н=/ + т.
п+1      п
Аналогичным образом ниже определяются даты последовательных оппозиций. В той
же таблице приведены значения трех_параметров, необходимые для предвычисления
затмений: средней аномалии Солнца к, отсчитываемой от апогея солнечной орбиты,
средней аномалии Луны а и аргумента широты ш' для установленных моментов
средних соединений и оппозиций.
    4. Целая часть числа представляет номер дня в месяце, на который приходится
сизигия, дробная — часть суток, прошедшую после полудня до момента сизигии.
Такая система обозначений, встречающаяся в «Альмагесте» только в таблицах гл.З
этой книги, широко используется Птолемеем в «Подручных таблицах» [Halma,
1822-1825; РА, р.246, п.4].
    5. Речь идет о 25-летнем лунно-солнечном цикле: 25 египетских годов равны 
309
синодическим месяцам, известном в Египте уже в середине I тыс. до н.э. [Parker,
1950, р. 12-23, а также НАМА, р.563-565]. Этот цикл позволяет построить таблицы
таким образом, чтобы дата первой сизигии в каждом цикле не выходила за
пределы месяца тот [SA, р.222]. В данном случае имеется в виду соотношение
25^ х 365d - 0;2,47,5d = 29;31,50,8,20d х 309m.
6.	Имеются в виду приращения Ал, Да и Да? за один синодический месяц.
    7.	Каждый год в 25-летнем цикле может содержать 12 или 13 сизигий одного
типа, в зависимости от того, на какую дату приходится первая сизигия в году. 
Две
последовательные сизигии (первые в году) могут поэтому отстоять друг от друга
на 12 или 13 синодических месяцев. Определим,  следуя  О.Нейгебауэру,  величины
    
365" - 12m = ~е = 10;37,58,20d и 13m - 365d = m-e = 18;53,51,48d. Прибавление
величины 12m сдвигает дату первой сизигии в году относительно предыдущей на е
дней назад, а величина 13т — на т—5 дней вперед. Основываясь на этой
закономерности, можно рассчитать даты первых сизигий для остальных 24 годов
цикла, следующих за годом 1, полагая, что в первый год цикла соединение 
произошло
в начале месяца, а оппозиция — на m/2 дня позднее. По установленным датам
определяются далее соответствующие значения к, а и ш'. Подробнее см. [НАМА,
р.120-121 |.
    8. Приведенные здесь предельные значения аргумента широты, отсчитываемые
от узлов (со = 90° и ш = 270°), для которых возможно наступление затмений 
Солнца
и Луны, обосновываются в гл.5.
    9. Общее правило для определения дат средних сизигий можно сформулиро-
вать следующим образом: если требуется найти первую сизигию для года
N = (25n + 1) + к, где N — номер года по эре Набонассара, п, к — целые числа
(причем к < 24), то необходимо к дате, которую дает таблица сизигий для первых
годов 25-летнего цикла (25и +1), прибавить дату из таблицы для отдельных годов
для года к; если сумма окажется меньше 30d, дата относится к месяцу тот, в
противном случае к месяцу фаофи.
Пример. Определить даты средних оппозиций для года 882 по эре Набонассара.
По таблицам гл.З находим
876у:    тот   8;20,54d
6у:	24;47,40d
Набонассара 882        П    3-8734
Чтобы определить время первой оппозиции в этом году, необходимо из полученной
даты вычесть величину 29;31,50d; все остальные даты находим прибавлением этой
же величины, кроме месяцев IV и XI, где, согласно таблице Птолемея для месяцев,
нужно прибавить 29;31,51d.

Номер
СИЗИГИИНомер
месяца  Момент
оппозиции1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13882 1
И
111
IV
V
VI
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII3;36,44
3; 8,34
2;40,24
2; 12,15
1:44. 5
1; 15,55
30:47,45
30:19,35
29;51,25
29;23,15
28:55, 5
28,26,56
27;58,46    Другие примеры предвычисления дат средних сизигий с помощью таблиц
Птолемея см. в [НАМА, р.121-122; РА, р.654].
    10. Птолемей говорит об определении среднего времени по истинному, однако
в данном случае должна иметь место обратная операция: истинное время 
определяется
по среднему, см. кн.Ш, гл.9.
    
    11. Момент истинной сизигии t (когда Х^ = XQ) определяется по вычисленному
моменту средней сизигии 7^ (Х^ = XQ). Для момента 7$ должны быть вычислены
истинные долготы Х^ и XQ, а затем элонгация Луны г/ = Х^ - XQ (в соединении)
или г] = Х^ — (XQ — 180°) (в оппозиции). Промежуток времени между истинной и
средней сизигиями определяется соотношением
-At =
v„ -

где v..
©'
находим
-At =


13'
vo     1
— скорости движения Солнца и Луны по долготе. Полагая — = -р^,

13 я     /1

   
    Величина At прибавляется к t$, если в момент средней сизигии XQ > Х^
(AQ - 180° >Х^)  (истинная сизигия еще не наступила), в противном случае At
должна вычитаться из /.
    12. Скорость Луны по долготе существенно меняется с течением времени.
Поэтому в формуле для определения интервала времени At между истинной и
средней сизигиями должна фигурировать истинная скорость, а не средняя. Согласно
Птолемею, величина истинной скорости
= 0;32,56 + 0;32,40 х Дс(а), °/h,
где первое слагаемое есть средняя часовая скорость Луны по долготе а>^, второе 
—
произведение средней часовой скорости по аномалии а>а (KH.IV, гл.4) на 
приращение
лунного неравенства Дс(а) = с(а + 1°) — с(а) для соответствующего значения а 
(см.
там же); поскольку максимум неравенства имеет место при а = 96°, имеем
Дс < 0°, если а < 96° или а > 264°, и До 0°, если 96° < а < 244° [НАМА, р.
122-123;
SA, р.225-226]. Подробный анализ соотношений, приведенных в коммент. 11, 12,
см. в [Куртик, 1997].
    Пример. Определить время истинной оппозиции для 882 г. Набонассара,
месяц хойак.
Момент средней оппозиции в этом месяце (   = 2;12,15d (коммент. 9).
Соответствующие значения к и а находим по таблицам в гл.З:

Каш876у
6у59;45,36
22;58,47233;43,26
136:15.11255; 26,22
140:17.41882у II82;44,23°9;58,37°35;44, 3°
Уравнение Солнца (кн.Ш, гл.6): cQ = с(к) = -1;33°. Лунное уравнение (KH.IV, гл.
10):
= с(а) = -4; 12,16°, с(а + 1°) = -4; 14,56°. Для средней оппозиции, когда Х^ =
= Х0 - 180°, имеем соотношение
п=Х^-(Х0- 180°) = св - cQ = -4;12° + 1;33° = -2;39°.
Приращение неравенства Луны
   Ас(а) = с(а + 1°) - с(а) = -0;2,40°.
Истинная скорость движения Луны
vt = 0;32,56 - 0;32,40 х0;2,40 °/h = 0;31,29 °/h.
Интервал между истинной и средней оппозициями
At- -Hi. 13 2;39° „ „
ш ~    12 vt ~ И 0;31,29 7h ~ 0,ze '
Поскольку в  момент  средней оппозиции XQ — №0" > Х^   О7 < 0),  величина  At
прибавляется к определенному ранее моменту средней оппозиции 7Qp.  Отсюда
i   = 2;25,55d; истинная оппозиция в месяце хойаке в 882 г. Набонассара будет
иметь место во 2-й день месяца в 10;22h после полудня.
    Другие примеры предвычисления истинных сизигий, согласно методике Птолемея,
см. в [НАМА, р. 123-124; РА, р.654].
13. KH.V, гл.14, с.161-162.
    14. В перигее Луна имеет наибольший видимый диаметр; предельные значения
аргумента широты, для которых возможны затмения, будут в этом случае
наибольшими.
    15. -173, апрель 30/май 1; Филометор — эллинистический царь Птолемей VI
Филометор (180-145 до н.э.). См. также таблицу в коммент. 25 к KH.IV.
16. Проверку вычислений Птолемея см. в [НА I, 350, Anm. b) ].
17. Принятое уравнение     = -1;33° соответствует аномалии а = 163;40° при
условии, если использовалась простая лунная гипотеза (таблица KH.IV, гл.10). 
Точные
вычисления по таблице KH.V, ГЛ.9 дают     = -1;29°; расстояние Луны от узла при
этом получается равным 8;22° вместо принятых 8;20° [РА, р.283, п.20].
    18. -140, январь 27/28. Это затмение наблюдалось Гиппархом, чему имеется
подтверждение в гл.8 этой книги, с.200; см. также таблицу в коммент. 25 к KH.IV.

19. Принятое Птолемеем значение полудлительности      = l/2h приблизительно
в два раза меньше определенного по его же таблицам (гл.8) [НА I, 450; Ньютон,
1985, с. 204-205; Fotheringham, 1920, р.579; РА, р.284, п.23].
20.	Величина лунного неравенства      = -0;8° здесь также (см. коммент. 7)
определена на основе простой гипотезы по таблицам KH.IV, гл.10 для а= 178;46°.
Точные вычисления (по таблице KH.V, гл.9) дают     = -0;3° и расстояние Луны от
узла 10;42° вместо 10;36° [РА, р.284, п.22].
21. Через полюсы наклонного круга лунной орбиты.
    22. Положения центра Луны и центра тени относительно узлов для каждого из
затмений показаны на рис. 6-А. Метод вычислений аналогичен процедуре,
используемой в KH.V, гл.14 для определения наименьшего видимого диаметра Луны
(коммент. 85 к KH.V). В данном случае
Асо^ = 8;20°,   Асо'А = 10;36°,
т3 = 7",        т4 = 3".

Приращение величины затемненной части диска в частях диаметра
7-3        1
а соответствующее ему изменение расстояния центра Луны от центра тени
АЬ = b4 - Ь3 = 0;11,47°.
Отсюда
?/(С = Зх0;11,47°«0;35,20°.
23.	Радиус тени, согласно данным Птолемея,
s = *4 ~ { dt = °'>54>50° "7х 0;35,20° = 0;46°;
2
теоретическое значение s = 2-^г^ = 0;45,56°.
    24.	Определяется предельная широта Луны, для которой возможно солнечное
затмение. Видимый радиус Солнца, как показано в KH.V, гл.14, равен видимому
радиусу Луны (0; 15,40°) при ее максимальном удалении от наблюдателя. Отсюда
I Лпах I * 'о + w = °;15-40°+ °;17-40° = °;33'20°-
25.	Имеется в виду устье реки Днепр.
    26.	Условия наблюдаемости солнечных затмений существенным образом зависят
от положения наблюдателя на поверхности Земли относительно оси конуса лунной
тенн. Поэтому при определении «пределов затмений» должен учитываться парал-
лакс,   заметно   влияющий   на   величину  Pmax   и   0)1 •   С   учетом   
параллакса
со' = (j>p + 0;33,20°)11;30 + р^. Птолемей ограничивается семью климатами от 
Мероэ
(<р = I6V20) до устьев Борисфена (<р = 48V2°), определяя для них максимальные
значения р^ и р^ Для Мероэ р^ = 0;8° к северу, рх = 0;30°, когда соединение
происходит   в   районе   Льва—Близнецов;   для   Борисфена   р^ = 0;58°   к   
югу,
рх = 0;15°, когда соединение — в Скорпионе—Рыбах. Проверка показывает, что
величины Рр вычислены Птолемеем правильно,  в то время как р^ содержат
необъяснимые ошибки. Соответственно Птолемей рассматривает два крайних случая:
а) Луна расположена к югу от эклиптики и имеет максимальную широтную
составляющую р^ к северу; б) Луна — к северу от эклиптики, южная компонента
р„ максимальна. Выбор указанных окрестностей солнцестояний связан, по-виднмому,

с двумя крайними положениями эклиптики относительно зенита: наиболее северным
(Солнце в Раке), дающим наибольшее параллактическое смещение к северу, и
самым южным (Солнце в Скорпионе), при котором имеет место максимальное
смещение к югу [НАМА, р. 126-129; SA, р.228-230].
   27.	1;ЗГ « 0;33,20° + 0;58°. Пусть (на рис. 6-В) ДА — эклиптика, ДГ — орбита
Луны, ш — видимое расстояние Луны от узла, /3 — широта, i = 5° — наклон
орбиты. Треугольник ДГА считается плоским; соответственно находим
    ш = 11;30 х /3;
коэффициент при /3 определяется по таблице хорд (кн.1,
гл.11) из отношения
татга*-»••»-»•?»,
[НА I, 450-451; НАМА, р.125].
    Истинное расстояние центра Луны от узла опреде-
ляется далее согласно формуле
Рис. 6-в
си' = (О + Рд.
    28.	От значений истинного аргумента широты ш' Птолемей переходит к средним
значениям ш', поскольку их определение проще. Чтобы получить ш', значения ш',
определенные выше, нужно увеличить на величину х = AM — расстояние по долготе
между истинным и средним соединениями (рис. 6-С). В момент истинной сизигии,
когда XQ = А{, средние долготы Солнца и Луны могут различаться самое большее
на величину Д = cQ + с{ = 2;23° + 5;1° = 7;24°. Двигаясь по эклиптике, точка <1
догоняет О. Отсюда
2
v
х = с_+Д — + Д-! + ... = с_ + Д

= 2;23° + 7;24с

+ (уд]    « 2;23° + 0;34° + 0;3° = 3;0°.

Здесь Птолемей суммирует ряд бесконечной геометрической прогрессии, ограничи-
ваясь   двумя   его   членами;   при   этом отношение скоростей Солнца и Луны
~ = yj> aT3+ [jb]  ~ "И" п°ДР°бнее см- fHA *>
ё	ASM	*	^    '
451; НАМА, р.125-126; SA, р.224, а также Куршик,
1997 ].
    29. Средний аргумент широты, отсчитываемый
от узла,
                            0° < | ш' | < 17;41° + 3° = 20;41°, если /3 > 0,
Рис. 6-С
0° < | 5J' | < 8;22° + 3° = 11;22°, если /3 < 0.
    Отсюда находим_возможные пределы изменения ш' для солнечных затмений; для
восходящего узла to' = 270°)
270° - 11;22° <ы'< 270° + 20;41°, или
258;38° < ш' < 290;41°,
для нисходящего узла й? = 90°)
90° - 20;41° < ш' < 90° + 11;22°, или
69; 19° < ш1 < 101;22°.

    30.	Птолемей приводит теоретическую величину радиуса тени s (см. ком-
мент. 23), вместо вычисленной на основании наблюдений (0;46°). Предпочтение
теории перед наблюдениями в целом свойственно подходу Птолемея, но в данном
случае оно оправдывается еще и характером самих вычислений, поскольку
теоретическая величина расширяет допустимую область изменения со'.
    31.	Определяются предельные значения среднего аргумента широты для лунных
затмений. Птолемей находит предельное значение расстояния центра Луны от центра
тени
\в    I < 0; 17,40° + 0;45,56° = 1 ;3,36°,
1 r max 1
предельные значения истинного аргумента широты, отсчитанные от узлов,
          sl-;30^ax = 12;12°.
Переходим к среднему аргументу широты:
|5?| = \а>' +3°| S 15;12°.
Отсюда допустимая область изменения о? для восходящего узла (а? — 270°)
270° - 15;12° < ш' < 270° + 15;12°
или
254;48° < 5? < 285; 12°,
для нисходящего узла (со' = 90°)
90° - 15;12° < ш' < 90° + 15;12°


74;48° < 5? < 105; 12°.
32. Таблица KH.VI, гл.З, столбец 5.
    33. Задача, сформулированная Птолемеем, в том, что касается лунных затмений,

решалась в вавилонской астрономии при помощи «сароса» (коммент. 7 к кн.IV) —
периода, содержавшего 33 шестимесячных и 5 пятимесячных интервалов между
затмениями. Сохранились клинописные списки затмений, в которых приведены даты
затмений для всего «сароса» [НАМА, р.525-526]. Птолемей о «саросе» в этой связи
не упоминает, но идея периодичности затмений была известна античным астрономам
задолго до Птолемея [НАМА, р.321-322]. Так, например, Плиний (Естеств. история,
II, 57) приписывает Гиппарху установление пятимесячного интервала для лунных
затмений, а также семи- и одномесячных интервалов для солнечных затмений, но
не во всякой местности. Возможно

поэтому,   что   настоящая  глава
включает, по крайней мере час-	Луча
тично, изложение теории Гиппар-
ха [НАМА, р. 129[.
    34.	Рассуждения Птолемея по-
ясняются на рис. 6-D, который мы
заимствовали из [РА, р.288,
Fig. Н ]. Во время затмения, как
лунного, так и солнечного, средняя
Луна должна находиться в преде-
лах затменной зоны АВ или CD
своей орбиты. Затмение в какую-	Рис 6_D
либо сизигию возможно, если при-
ращение среднего аргумента широты Да»' за время, прошедшее от исходной сизигии,
во время которой наблюдалось затмение, не выводит среднюю Луну за эти
пределы. Для лунного затмения такая ситуация будет иметь место, если
149;36° < Да? < 210;24°; в этом случае найдется по крайней мере одна точка
М € АВ (или CD) такая, что М + Да? € CD (или АВ). Для солнечных затмений
    
138;38° < До7'< 202;44° (если М е АВ) и 157;16° < До>'< 221;22° (AfeCD).
Прирашение среднего аргумента широты за 6 месяцев (таблица KH.VI, гл.З,
столбец 5) Да? = 184; 1,25° удовлетворяет всем этим требованиям.
    35.	Продолжительность синодического месяца определяется, согласно Птолемею,
по правилу, эквивалентному формуле



где т — средняя продолжительность месяца, т — истинная продолжительность,
vQ, vt — истинные скорости движения Солнца и Луны по долготе; величина т
будет наибольшей, если vQ максимальна, a     минимальна.
    36.	Приращения ДА и Да за 5 средних месяцев определяются по табл. KH.VI,
гл.З, столбцы 3-4; движения по долготе Солнца за пятимесячный интервал будет
наибольшим, если дуга ДА симметрична относительно перигея орбиты и перигей
находится в ее середине; тогда значение солнечной аномалии для первой сизигии
= 180° - 145;32/2 = 107; 14°, для второй сизигии к~2 = 180° + 145;32/2 = 
252;46°;
соответствующее уравнение (табл. кн.Ш, гл.6) cQ = ±2; 19°; приращение истинной
долготы  ДА0 = ДА + 4;38°;   истинные долготы  Солнца Aj = 170;25° » 20°  Девы,
А2 = 320;35° = 20° Водолея.
    Движение Луны по долготе будет наименьшим, если дуга Да (превышение
аномалии над пятью полными оборотами) симметрична относительно апогея эпицикла
и апогей находится в ее центре; значение лунной аномалии для первой сизигии
а{ = 64;32°, для второй сизигии а2 = 360° - 64;32° = 295;28°; уравнение (табл. 
KH.IV,
гл.10)     = ±4;20°; приращение истинной долготы: ДА^ = ДА - 8;40° [НАМА, р. 
130].
37.	Приращение элонгации за  пятимесячный интервал  ДА0 - ДА? = 4;38° +
+ 8;40° = 13;18°. За время, которое потребуется Луне, чтобы пройти эту дугу, 
Солнце
продвинется по долготе на 13; 18/12 = 1;6°, см. коммент. 11, 28.
38.	Таблица для месяцев KH.VI, ГЛ.З, столбец 5.
    39.	В моменты сизигий Луна находится приблизительно на среднем расстоянии,
поскольку а ~ 65°. Предельная широта Луны на среднем расстоянии, при которой
возможно затмение, определяется как полусумма широт для наибольшего и
наименьшего   расстояний.   В   наибольшем   расстоянии  Pmax = ^ + s = 0; 15,
40° +
+ 23/5 х 0; 15,40° = 0;56,24° (с.161-162 и коммент. 85 KH.V), В наименьшем —
/Зшах = 1;3,36° (коммент. 31). Отсюда |0шах| < (1;3,36 + 0;56,24):2 = 1°; 
предель-
ное расстояние Луны от узлов Iсо I < 11;30)3 = 11;30° (коммент. 27); дуга
ВС = 180° - 2 х 11;30° = 157;0°.
    40. См. коммент. 35; продолжительность синодического месяца будет минималь-
ной, если скорость Солнца наименьшая, а Луны наибольшая.
    41. Приращение средней долготы ДА и средней аномалии Да определяется по
таблице KH.VI, ГЛ.З, столбцы 3-4. Движение Солнца по долготе за 7 месяцев будет
наименьшим, если дуга ДА симметрична относительно апогея; в этом случае
солнечная аномалия к{ 2 = ±101;52°, уравнение cQ = ±2;2Г, приращение истинной
долготы   ДА0 = ДА - 4;42°;   истинные  долготы  Aj = 65;30° + ^ (203;45° - 
4;42°) =
= 15; 1,30° Девы, А2 = 65;30° - j (203;45° - 4;42°) = 25;58,30° Водолея [РА, р.
292,
п.41]. Движение Луны по долготе будет наибольшим за интервал в 7 месяцев, если
она проходит апогей эпицикла в середине 4-го месяца; при этом аномалия в сизи-

гии   «[ 2 = ± ^ Д« = ±90;21°,   если   считать   от   перигея   эпицикла;   
уравнение
   = ±4;59°; приращение истинной долготы ДА^ = ДА + 9;58°. За семимесячный
интервал элонгация изменится на величину ДА^ - AAQ = 14;40°.
    42.	Вычисления следуют процедуре, рассмотренной в коммент. 36-39; за семь
месяцев минимальной продолжительности Луна, стартуя из точки А, пройдет по
орбите дугу AM, большую дуги ABCD (рис. 6-D). Положение второй сизигии
оказывается поэтому за пределами дуги CD, что делает затмение невозможным.
43.	С.185.
    44.	Максимальная широта Луны на среднем расстоянии, при которой еще
возможно затмение, равна сумме радиуса Солнца (rQ = 0;15,40°, KH.VI, гл.5, с.
183)
и радиуса Луны (rt = 0; 16,40°), который в свою очередь равен полусумме 
радиусов
Луны на максимальном (0; 15,40°) и минимальном (0; 17,40°) расстояниях, т.е.
| /Зтах |   < 0; 15,40° + (0; 17,40° + 0; 15,40°): 2 = 0;32,20°. Отсюда 
предельное значение
аргумента широты, отсчитанное от узла, I со I < 11;30 х 0;32,20° = 6; 11,50° = 
6; 12°
(коммент. 27); величины дуг ВС и DA (рис. 6-D), на которых не происходят
затмения, До> = 180° - 2 х 6;12° = 167;36° [РА, р.290, п.34].
    45.	Применяется формула, связывающая значения аргумента широты и широты
вблизи узлов:

Дб =	= 0;44,26 - 0;45°.
    46.	Из контекста и согласно ряду рукописей ясно, что здесь должно быть не
«наибольшее пятимесячие», а «период из 5 средних месяцев таких, что...» [РА,
р.290, п.35].
47. См. выше с.185 и коммент. 37.
48. Действительно,
(13;18° + i/i2 х 13;18°): 13;10,34°/d = (13;18° + 1;6°): 13;10,34 7d = ld2;14h,
см. с.185 и коммент. 38.
49.	Продолжительность 5 средних месяцев, согласно таблице в гл.З, столбец 2,
равна 147;39,lld= 147d15;40h, которые Птолемей округляет до Ш^З^1.
    50.	Чтобы параллакс был наибольшим, предполагается, что первое затмение
произошло вблизи горизонта, а второе 5 месяцев спустя в меридиане. В моменты
затмений Солнце имело долготы соответственно Х{ = 20° Девы, А2 = 20° Водолея и
середина дуги совпадала с перигеем, см. коммент. 37.
    51. Поскольку Да»' за пять месяцев после вычитания целых оборотов будет
меньше 180°, Луна в каждом из затмений в рассматриваемой ситуации будет
находиться к югу от эклиптики и иметь параллакс одного знака в каждом случае
меньше 0;45°. Увеличение Да»' между затмениями за счет параллакса, таким 
образом,
не может достичь требуемой величины 0;45°, поскольку параллаксы вычитаются.
    52. Суммарный параллакс для наблюдателя на экваторе меньше требуемой
величины 0;45°, однако уже в следующем климате (М = 12i/2h), он будет больше
0;45° и, значит, для всех точек, лежащих к северу, возможны два солнечных
затмения с интервалом 5 месяцев, так как при движении к северу южный параллакс
возрастает. Вычисления Птолемея проанализированы Паппом [Rome, 1931, р.225-
229], см. также [НАМА, р.131-132, РА, р.291, п.39].
    53. С.186; дуга ABCD (рис. 6-D) на среднем расстоянии без учета параллакса
равна 180° + 2 х 6; 12° = 192;24°, см. также коммент. 44.
54.	Предельные    значения    аргумента    широты Да? = 208;47° - 92;24° =
= 16;23°, что соответствует ДуЗ = .^L = 1;25°, см. коммент. 27.

55. См. коммент. 41.
    56. С. 186; дуга, которую проходит Луна по своей орбите за время между 
средним
и истинным соединениями, делится на среднесуточную скорость по долготе
(14;40° + l/i2 X 14;40°) : 13;10,34 °/d = ld4;56h = ld5h.
    57. Параллакс к северу в северном полушарии имеет максимум на экваторе.
Полагая зенитное расстояние z = 24° (наибольшее зенитное расстояние эклиптики в
меридиане на земном экваторе), по таблице KH.V, гл.18 находим суммарный
параллакс (лунный минус солнечный) на среднем расстоянии
p = ps-c2 = 0;22,6° + 1/2 х 0;4,18° - 0;1,9° = 0;23,6°,
что соответствует тексту [РА, р.292, п.43].
    58.	Параллакс по широте к северу возрастает с увеличением географической
широты, и если для параллели Родоса суммарный параллакс точек эклиптики с
долготами Aj и А2 (0;46° + 0;46° = 1;32°) больше величины 1;25°, то при 
движении
к северу он будет еще больше, и, значит, возможны два солнечных затмения с
интервалом 7 месяцев.
    59. Два затмения с интервалом в 1 месяц возможны лишь в том случае, если
обе сизигии окажутся в пределах одной и той же затменной дуги АВ или CD
(рис. 6-D). Вероятность этого события проверяется в предельной ситуации, когда
дуга АВ (CD) имеет максимальную величину, а приращение долготы за один
месяц — минимальную. Оба эти условия, однако, не могут быть выполнены
одновременно, поскольку увеличение дуг АВ (CD) происходит за счет параллакса,
который имеет максимум при минимальном расстоянии Луны, когда она находится
в перигее эпицикла, а минимальное приращение долготы имеет место, когда обе
сизигии симметричны относительно перигея.
    60. Приращения ДА = 29;6°; Да = 25;49°; Аш = 30;40° определены по таблице в
гл.З для месяцев. Поскольку длина месяца наименьшая, пройденная Солнцем дуга
ДА симметрична относительно апогея и апогей находится в ее центре; отсюда
к, 2 = 14;33°; уравнение (таблица кн.Ш, гл.6) cQ = ±0;34°; приращение истинной
долготы ДА0 = ДА - 1;8°.
Дуга   на   эпицикле   Да   симметрична   относительно   перигея;      2 = 180° 
±
± i/гДа, уравнение (табица KH.IV, гл.10) с{ = ±1;14°, приращение истинной 
долготы
ДА{ = ДА + 2;28°. Дуга эклиптики между двумя истинными соединениями короче
дуги между средними соединениями на величину ДА{ — ДА0 = 3;36°. За время,
которое Луна затратила бы на прохождение этой дуги, Солнце продвинется на
3-36°
эклиптике на величину	= 0;18°, которая суммируется с величиной 1;8°. Та-
ким образом, истинное движение Солнца по долготе за наименьший месяц
ДА0 = ДА0 — 1;26° и прибавление аргумента широты Аш' = Аш' — 1;26° = 29;14°.
61.	При наименьшем расстоянии Луны без учета ее параллакса   |/Зшах| ?
< 0;33,20 « 0;33° (с.183); Птолемей удваивает эту величину, поскольку речь идет
о двух затмениях. Предельное значение аргумента широты относительно узлов
13*37
Ici>I s 29;14/2 = 14;37°, отсюда \Ртах \ - ТГ-30 ~ 1Д6°; удвоенная разность 
величин
2 х (1; 16° - 0;33°) ~ 1;26° (в тексте: 1;27°) должна компенсироваться 
параллаксом
[НАМА, р.133; РА, р.293, п.46].
    62. Поскольку Луна находится по разные стороны от эклиптики в каждую из
сизигий.
    63. В самом деле, по таблице KH.V, гл.18, столбцы 2, 3, 4, 7 находим 
суммарный
параллакс Луны и Солнца в сизигиях при z = 90° и а = 180°, р = р$ - с2 =
= с3 + сАхс5-с2 = 0;53,34° + 1 х 0;10,17° - 0;2,5Р = 1;1°.

    64. AvrfyOovoov, буквально «противоземных», т.е. среди людей, живущих на
противоположной стороне Земли к югу от экватора, так называемых «антиподов».
См. в этой связи [Райт, 1988, с.58-60].
    65. Здесь, очевидно, ошибка переписчика, поскольку нижний возможный предел
лунного параллакса на экваторе на самом деле равен нулю [РА, р.294, п.47].
    66.	Наибольший параллакс по широте на экваторе будет иметь место при
прохождении через меридиан, когда z = 24° (наибольшее расстояние эклиптики от
экватора) и а = 180°. Соответственно по таблице KH.V, гл.18 находим суммарный
параллакс   Солнца и Луны:   ps — с2 = с3 + с? х с — с2 = 0;22,6° + 1 х 0;4,18° 
-
- 0;1,9° = 0;25,15°.
    67. На самом деле два частных солнечных затмения с интервалом в 1 месяц
возможны [Михайлов, 1945, с. 22-23]. Ошибка Птолемея обусловлена неточностями,
допущенными при определении видимых размеров Луны и Солнца.
    68. Величину фазы затмения Птолемей измеряет в «пальцах» (SrincroXoi) —
двенадцатых частях диаметра светила, которым соответствуют «дюймы» современной
теории затмений [Михайлов, 1945, с. 59]. В рассматриваемой таблице значения
аргумента широты (в столбцах 1 и 2) вычислены на основании величин фазы
затмения (в столбце 3), возрастающих последовательно на один «палец», или на
У\г часть диаметра светила.
69.	С.161-162 и коммент. 85 в KH.V.
    70.	Предельное значение аргумента широты относительно узла на максимальном
расстоянии Да>' = 0;31,20° х 11;30 = 6;0°, см. коммент. 27.
71.	Приращение аргумента широты, соответствующее изменению величины фазы
/ЗШАХ
затмения в 1 «палец», Аа»^ =  ^ 11 ;30 = 0;30°.
    72.	Величина фазы затмения т = 12 «пальцев» имеет место, когда широта Луны
с момента начала затмения уменьшилась на угловую величину d = dQ  (для
солнечного  затмення)   и   d = d^   (для  лунного)   относительно   значения  
/3^.

Наибольшая возможная величина фазы определяется по правилу, эквивалентному
формуле
т     =12^-;
max	d
т > 12 соответствуют полной фазе затмения. В данном
случае
т       12   0;31,20°   .
mmax - 1Z 2 х 0; 15,40° ~ 11 •
    Если определить, следуя О.Нейгебауэру, понятие
«погружения» как угловое расстояние и от края затмивше-
гося светила до ближайшей к его центру точки тени в	Рис- 6Е
момент середины затмения, то величина фазы т =      = ~~> где d = dQ для
солнечного и d = d^ для лунного затмений [НАМА, р. 135].
    73.	В четвертой колонке таблицы приводится расстояние по долготе п
(приблизительно равное приращению аргумента широты), которое Луна проходит
от момента первого касания с диском Солнца до момента середины затмения (дуга
ВГ = ГА на рис. 6.3 и 6-Е).
74. С. 183 и коммент. 22.
75. Предельная широта Луны
Ч + ro = °;17-40° + 0;15,40° = 0;33,20°;
соответствующее значение аргумента широты, отсчитанного от узла,
До/ = ?     х 11;30 = 6;23°.
г max	'

76.	Максимум величины фазы затмения
„	п ^тах	0;33,20°        п.ал»
т     =12—;—= 12 - ^ п , g ,п0 =- 1/46
max        t/Q        2 х 0; 15,40
(в тексте 12;48). Приращение Леи', соответствующее величине 0;46: Леи' =
= 0;46 х 0;30° = 0;23° (в тексте: 0;24°). См. также [НА I, 375; РА, р.296, п.
53].
77. С. 162 и коммент. 85 к KH.V.
    78. Предельная широта Луны Вшх = ^ + s = 0; 15,40° + 0;40,44° = 0;56,24°; 
со-
ответствующее значение аргумента широты, отсчитанное от узла,    Леи' = Ртах х
х 11;30 = 10;48,36°.
79. С. 182-184 и коммент. 22-23.
    80. в = rt + л• = 0;17,40° + 0;45,56° = 1;3,36, отсюда Леи' = /Зтахх 11;30 
=
= 12;11°.
В	О-Ч'" 20°
81.	В ЭТОЙ таблице AOJ^ =        х 11;30 =   ' ,'2    х п;3° = 0;33,52° = 0;34°,

см. также коммент. 71.
    82.	Наибольшая возможная величина лунного затмения при максимальном
расстоянии
1 ;3 36°
т     — 12 х п \ ' ~по = 21 ;36";
max	0;35,20
соответственно для Дт = 0;36" находим Леи' = 0;30° х 0,36 = 0;18° (в таблице
0;18°).
83.	В четвертом столбце таблицы даны перемещения Луны по долготе г/'а, -q'p от
момента первого касания диска Луны и края тени, до момента начала полной фазы
(дуги ВГ или EZ на рис. 6-F); колонка 5 содержит перемещения Луны по долготе

п"и и r/р от момента начала полной фазы до середины
затмения (дуги ГЛ = ДЕ на рис. 6-F), ср. коммент. 74.
    84.	При определении величин в таблицах затмений
приняты следующие два допущения: 1) все треугольники
считаются плоскими и соответственно дуги — прямыми;
2) момент середины затмения совпадает с моментом
истинной сизигии, когда AQ = А{, т.е. фактически не
учитывается наклон лунной орбиты.
                        85.	Здесь необходим другой  рисунок, на котором
1>ис 6.|.               АВ * АГ и  ВГ X АВ.  В этом случае,  когда Солнце
                              находится в точке В, а Луна на прямой АГ, моменту
истинной сизигии будет соответствовать точка Д, а середине затмения — точка Г
|НА 1, 452-453; PA, р.297, n.54 J.
86.	Кн.1, гл.16 и таблица кн.П, гл.8 для «прямой сферы».
В А	у
87.	Птолемей  принимает приближенно ВД = jp^Q 58 1   и   ДА = V 122 — 1 =
= 11;58, отсюда ГД = 0;2°. Такова будет максимальная погрешность в долготе
вследствие неучета наклона лунной орбиты. По оценке О.Нейгебауэра, однако,
максимум разности ГД = 6' 1НАМА, р.83, п.53], а согласно Дж.Тумеру бУг' при
со = 45;3° и / = 5°; если же произвести расчеты для ш — 12°, наибольшего 
аргумента
широты, при котором возможно затмение (как это делает Птолемей), то
ГД = 0;2,40° [РА, р.298, п.55].
    88.	См. также рис. 6-Е; (рис. 6-Е и 6-F, на которых Солнце, Луна и тень
изображены кругами, заимствованы из [PA, р.299-300, Fig. К, L]).
89. С.161-162 и коммент. 85 KH.V.
90. С.190-191 и коммент. 75.
91. С.191 и коммент. 78.
89. 
92. 17;40° + 45;56° = 63;36 (с.191).
93. Речь идет о полных лунных затмениях.
dl	dl
94. 15 пальцев = 15     =     + -т-.
95. С.191, 193.
96. С.191, 193.
97. 63;36 - (35;20 + 8;50) = 19;26.
    98. Это сложное место Дж.Тумер переводит следующим образом: «Чтобы иметь
удобный способ для нахождения частей разности [между величинами, определенными
с помощью первой и второй таблиц] для положений Луны на эпицикле, не
совпадающих с наибольшим и наименьшим расстояниями ([что мы получаем]
посредством [интерполяционного] метода шестидесятых), мы поместили вслед за
вышеуказанными таблицами еще одну маленькую таблицу. Она содержит, как
аргумент, положения [по аномалии] на эпицикле и [как функцию] соответствующие
значения шестидесятых, которые должны использоваться [как интерполяционные
коэффициенты], применяемые всякий раз к разности [значений], выведенных из
первой и второй таблиц затмений. Мы уже определяли величины этих шестидесятых
для таблицы лунного параллакса (KH.V, гл.18): они помещены в седьмой колонке
[этой таблицы], так как эпицикл должен находиться в апогее эксцентра, чтобы
соответствовать [случаю] сизигий» [РА, р.301-302].
    Величины фаз затмений т и элонгации rj как для частной, так и для полной
фаз затмения для произвольных значений аномалии а определяются по правилу,
эквивалентному формулам
т = та + д(а) ? (тр - mj,

где тд, г)а — значения для максимального расстояния Луны в апогее, тр, пр —
для минимального расстояния в перигее, вычисленные с помощью первых двух
таблиц; 1<7(а)1 < 1 — интерполяционный коэффициент, о котором в данном случае
идет речь; подробнее см. [НАМА, р. 134; SA, р.233-234].
    99.	Указанные пределы для л получены Архимедом в трактате «Об измерении
круга» [Архимед, 1964, с.266-271].
    100.	Птолемеем здесь допущена вычислительная ошибка. Радиус Солнца
rQ = 0; 15,40°, радиус Луны на среднем расстоянии     = 0; 16,40° (коммент. 45),

отсюда ZH= 12 х qJJI^qo ** 12;46" [НА I, 385, Anm. b); РА, р.302, п.61].
101.	-j (12+ 12;20) - 3 = 9;10.
    102.	В треугольнике EA0 имеем ЕК2 = АЕ2 - АК2 и К02 = А02 - АК2, вычи-
тая, находим А02 - АЕ2 = К02 - ЕК2 = (К0 + ЕК)(К0 - ЕК) = Е0(К0 - ЕК)
[НА I, 386; РА, р.ЗОЗ, п.62].
103.	Диаметр тени ZH = ВА х IVs = 0;31,12,   отсюда   EK0 = j (12 + 32;12) -
- 3 = 18;36р.
104.	См. коммент. 102.
    105. Таблицы затмений содержат ряд ошибок, относительно которых не всегда
ясно, какие из них принадлежат Птолемею, а какие внесены переписчиками.
Исправления, принятые в издании Дж.Тумера [РА, р.305, п.63], учтены в настоящем
издании.
    106. Моменты начала Tj И окончания т2 лунного затмения определяются по
известному моменту истинной оппозиции г и полудлительности затмения 4р согласно
    105. 
формулам Tj = tQ -      т2 = tQ + ^2~. Полудлительность     = т' + т", где т' — 
время
погружения в тень или выхода из нее, т" — половина длины полной фазы. Величины
г' и т" определяются по правилу, эквивалентному формулам
т, _ 13 17'      т. _ 13 Ч"

где *7', *7" — расстояния по долготе, которые проходит Луна за промежутки т' и
т" (столбцы 4 и 5 таблицы лунных затмений, см. также коммент. 84),     — 
истинная
скорость движения Луны по долготе как функция а (коммент. 12).
    107. Пример. Определить параметры лунного затмения для 882 года Набо-
нассара, месяц хойак (KH.IV, гл.6, с.123).
1.	Момент средней оппозиции /. = 2;12,15d,  соответствующие  значения а =
= 61;37°, ш = 97;5° (коммент. 9).
    2.	Поскольку ш находится в установленных пределах затмений (KH.VI, гл.З,
с. 179), лунное затмение возможно.
3.	Момент истинной оппозиции tQ = 1Q + At = 2;25,55d, т.е. 10;22h после полудня
2 хойака, поскольку At = 0;13,40d = 5;28h (коммент. 12).
4.	Средний аргумент широты и средняя аномалия в момент истинной оппозиции
ш = 97;5° + 0;33,47h х 5;28h = 100;6°,
а = 61;37° + 0;32,407h х 5;28h = 64;36°.
Уравнение Луны (кн.IV, гл.10)
сг = -4;20°.
Истинный аргумент широты в момент истинной оппозиции
со' = 100;6° - 4;20° = 95;46°.
    5.	Величина затмения. Для ш' = 95;46° по таблице KH.VI гл.8 находим
та = 10", тр = 11,5"; для а = 64;36° а(а) = 0;16,9. Отсюда
т = 10 + 0;16,9 х (11,5 - 10) = 10,4" (коммент. 98).
Поскольку т < 12, затмение частное (пример предвычисления полного лунного
затмения см. в коммент. 26 к KH.IV).
    6.	Полудлительность затмения. Для тех же значений со' и а, интерполируя,
находим
       = 0;47,35о;       = 0;56,26°,   д(а) = 0; 16,9.
Элонгация Луны в момент
    г,' = 0;47,35° + 0;16,9 х (0;56,26 - 0;47,35) = 0;49,58°.
Поскольку At невелико,  используем       для момента средней оппозиции  (ком-
мент. 12).
Полудлительность
А* - Дт> - 13 V' _ 13  0;49,58°	h
ат     12 V(C ~Tl0;31,297h ~       "
7.	Моменты начала и окончания затмения
т, = 10;22h - l;43h = 9;39h после полудня,
т2 = 10;22h + l;43h = 0;5h после полуночи.

    Другие примеры предвычисления лунных затмений согласно методике Птолемея
см. в [НАМА, р.138-139; РА, р.654, № 11; НА I, 453-454].
    108. Приращение среднего аргумента широты за интервал At = 211438d23h между
двумя затмениями, о которых сказано ниже, Aid = 'а = 279; 18° в наибольшем расстоянии и а>р = 280;30° — в наименьшем;
разность      — ш'а = 1;12° = \У$".
    112.	Наибольшая погрешность, возникающая из-за неучета аномалии Луны и
неодинаковости расстояний в моменты средних фаз двух затмений, равна
7/8° + Ws" « 2°; но в данном случае две указанные величины вычитаются, отсюда
lVs° — V&° = 0;20° [НАМА, р.314]. Процедура Гиппарха для определения средней
скорости движения Луны по широте рассмотрена также в KH.IV, ГЛ.9 и в коммент. 
54,
60 той же книги.
113.	Кн.И, гл.13 и KH.V, гл. 18-19.
    114.	При определении момента видимого соединения по истинному вводится
поправка за параллакс. Пусть в момент истинного соединения долготная составля-
ющая лунного параллакса равна р^, это означает, что истинное соединение не
совпадает с видимым, которому соответствует другое значение зенитного 
расстояния
и, значит, другое значение р'. Птолемей определяет разность е = Р[~ Р^ и затем
находит так называемый «эпипараллакс» е' = е + х, в котором слагаемое х может
быть найдено из отношения — = —. Величина полной поправки за параллакс составит

[РА, р.ЗП, п.71].
е    рх

при этом р = рх + е' = Рд + (р'к - рх) +
115. KH.V, ГЛ.19, с.170-171.
    116. Здесь, очевидно, имеется в виду отношение аргумента широты, 
отсчитанного
от узла, к широте при i = 5°, которое во всех остальных случаях принято равным
11;30, см. коммент. 27.
    117. Таким образом методика предвычисления параметров солнечного затмения
по известной дате (год, месяц) и месту наблюдения можно представить следующей
схемой. Последовательно определяем:

1) момент среднего соединения t и связанные с ним параметры а и со;
    2) величину со, которая позволяет сделать вывод о принципиальной 
возможности
затмения;
3) момент истинного соединения ts и соответствующие величины со и а;
    4) момент видимого соединения (совпадает с моментом средней фазы затмения)
и соответствующие величины Я, со, а; при этом последовательно находим:
а)	уравнение времени,
б)	местное время истинного соединения,
в)	поправку за параллакс р (коммент. 114),
г)	промежуток At =      — от истинного до видимого соединения;

   5)	параллакс Луны по широте для момента видимого соединения и соответст-
вующую поправку РрХ 11;30 для уточнения т;
6)	величину фазы и полудлительность затмения.
    В «Альмагесте» не содержится данных о наблюдениях солнечных затмений.
Пример предвычисления солнечного затмения (364, июнь 16), согласно методике
Птолемея, дается Теоном Александрийским в его комментариях к «Альмагесту»
{Rome, 1950] и в «Малом комментарии» к «Подручным таблицам» [Tihon, 1976].
Этот же вычислительный пример рассмотрен Дж. Тумером [РА, р.654—657].
    118.	Имеется в виду случай, когда TQ — Tj ф Т2 — rQ; неравенство этих 
проме-
жутков объясняется не изменением скоростей Солнца и Луны во время затмения,
которое несущественно (с.200), а разностью величин параллаксов в моменты т ,
т0 И V
119. Таблица KH.V, гл.18, столбец 3.
    120. Вычисления Птолемея носят иллюстративный характер. Наибольшая про-
должительность солнечного затмения, согласно таблице в гл.8, составляет 2h, 
поэтому
здесь принято      = lh. Параллакс максимален вблизи горизонта, поэтому z = 90°
для момента т2. Наибольшее возможное приращение зенитного расстояния за lh
Дт
равно 15°, поэтому изменение z за время -у от начала затмения до его середины
и от середины до конца затмения равно 15°. Аналогичным образом принято, что
параллакс по долготе равен полному параллаксу. Чтобы быть последовательным,
Птолемей должен был бы взять величины параллакса для максимального расстояния,
поскольку в этом случае получаемые разности больше [РА, р.313, п.75]. Поскольку
параллаксы в моменты т{, TQ И Т2 не равны, неодинаковыми будут и пройденные
Луной угловые расстояния за промежутки от начала до середины и от середины до
окончания затмения; соответствующую разность Луна пройдет со средней скоростью
за время 0;3,30°: 0;32,567h = 0;6,22h « l/9h.
121. Кн.Н, гл.9.
    122. В настоящей главе рассматривается математическая процедура, которая
ставит в соответствие каждому лунному или солнечному затмению с параметрами
ig, ^г> m ряд точек горизонта. Предполагаемая цель вычислений — предсказание
погоды. Солнце и Луна в античной науке рассматривались в качестве возможного
источника предсказаний задолго до Птолемея  (см.   [Россиус,  1992, с.88,  89]).


Настоящая схема есть рационализация древних мето-
дов. Точки горизонта, выделяемые при помощи за-
тмений, задают направление ветра, определяющего
погоду в данной местности [НАМА, р.141-142, 999].
    «Наклонение» или «направление» затмения в тексте
обозначается тем же термином (ярбоУЕгэтц), который
использовался выше при определении второго лунного
неравенства, см. KH.V, ГЛ.5 И коммент. 20.
123. Для определения точек горизонта, связанных
с затмением, необходимо вычислить два угла: а) рас-
стояние и восходящей или заходящей точек эклиптики
относительно линии восток—запад, так называемую
«восходную амплитуду» (на рис. 6-G, где Е — точка востока, и = ЕН); б) угол
а, образуемый эклиптикой и дугой круга, проходящего через центр Луны и центр
Солнца или центр тени; рис. 6-G заимствован из [НАМА, р. 1244, Fig. 123].
    124. Наблюдения такого рода производились ранее визуально, и достигаемая 
при
этом точность удовлетворяла предсказателей. Схема Птолемея формализует эту
процедуру, делая ненужным наблюдение.
    
   125. Фраза «если оно не является полным», по мнению Дж.Тумера, должна
быть опущена как не имеющая смысла [РА, р.314, п.78].
    126. На протяжении лунного затмения выделяются пять моментов, имеющих
предзнаменовательное значение: начало и окончание частной и полной фаз и 
середина
затмения; угол а и дуга РЕ вычисляются лишь для этих пяти моментов.
    127. Восемь направлений на линии горизонта (север—юг, восток—запад, точ-
ки восхода и захода в дни летнего и зимнего солнцестояний) выделялись в 
античной
астрономии уже во времена Аристотеля [Метеор., II, 6]; о греческой системе
наименования ветров, связываемых с этими направлениями, см. [Rehm, 1916].
128. Кн.П, гл.2.
    129. Речь, по-видимому, идет об углах, образуемых эклиптикой и кругом 
высоты,
вычисленных с интервалом в один знак в таблице в кн.II, гл.13, которые, однако,
не используются в настоящей главе.
    130. Т.е. величину угла г/ (рис. 6-G) для восхо-
дящих и заходящих точек эклиптики с долготами,
соответствующими началам знаков зодиака, для каж-
дого из семи климатов; о способе определения этих
углов см. кн.11, гл.2, с.35 и коммент. 7, а также
IHAMA, р.37-38, n.7; SA, р. 101-102].
   131. Кроме надписей, перечисленных Птолемеем,
на лучах во внутреннем круге диаграммы приводятся
также названия ветров, не поместившиеся на рис. 6.7:
на линии с надписью «юг» — нот, «Водолей—Стре-
лец» — либонот, «Рыба—Скорпион» — либиец, «Весы—
Овен» — зефир, «Дева—Телец» — япиг, «Лев—
Близнецы» — фраский, «север» — апарктий, «Близне-
цы—Лев» — борей, «Телец—Дева» — кайкий, «Овен—
Весы» — апелиот, «Скорпион—Рыба» — эвр, «Стре-
лец—Водолей» — эвронот. Круглая диаграмма, как
утверждает сам Птолемей, есть видоизменение прямо-
угольной таблицы.
    132. Определяется угол а (рис. 6-Н) как функция
величины фазы затмения т. В расчетах Птолемей
пренебрегает наклоном лунной орбиты, считая широту
Луны постоянной на протяжении всего затмения. Пусть
на рис. 6-Н АВ — эклиптика, ГЕ — лунная орбита,
А — центр тени, Е, Д — центры Луны в начальные моменты частной и полной
/\	г\	/\	?ч	АГ
фаз, тогда искомый угол а = ВАЕ = АЕГ или а = ВАЛ = АДГ и sin а =       или


sin а =
причем АЕ = ?> + г., АД = s — г., AT = s + г.
Ад. -г"-.^—      - ?> .      < ч-. - о        ,- о , ,5   II, где ц — 
погружение,
определенное в коммент. 72.
   Значения а в таблице определялись по правилу, эквивалентному этим формулам
|НАМА, р. 142-143, 244, Fig. 124].
133.	АЕ = г0 + ryo<; «весы» при
цитировании более ранних наблюдений. Слово ХцЛ<" Птолемей использует также
как обозначение знака зодиака «Весы» при определении долгот звезд в каталоге.
2. Вар.: +31/4° (ар.).
3. Вар.: +3° (гр., ар.).
    4.	Отождествление двух последних звезд крайне неопределенное [РА, р.370, п.
З];
К.Манициус, П.Куницш и Г.Грасхоф отождествляют их как 41 и л: Lib.
5.	Вар.: -81/6°, (гр., ар.).
    6.	Звезды №15, 16 и 17 обозначаются также как a, v и т Lib соответственно;
встречаются также обозначения № 15 = у Sco, № 17 = о Sco.
7. Вар.: -64У (ар.).
8. Вар.: -61/6° (гр., ар.).
    9.	Большинство исследователей отождествляет № 14, 15 как ?2 Sco, однако
не ясно, какая из них есть какая [РА, р.372, п.7]; Г.Грасхоф принимает обратный
порядок [Grasshoff\ 1990, р.297, № 559, 560].
10. Вар.: -151/з° (ар.).
11. Вар.: 251/2° (ар.).
12. Вар.: -11/6° (гр.).
    13. В [РА, р.373] принято ошибочно -З'/ю, однако в греческом тексте [Hei II
112, 15] находим l/б и то же самое в арабских рукописях каталога [Kunitzsch, 
1986,
S.109, № 575]; Птолемей при определении долгот и широт звезд в каталоге нигде
не использует дробь 1/ю.
14. Вар.: -35/6° (ар., лат.).
    15. О том, как выглядел и для чего предназначался этот элемент одеяния
Стрельца, см. [РА, р.374, п. 13].
16. Вар.: 222/3° (ар.).
17. Вар.: 251/з° (гр.).
18. Вар.: 221/3° (ар.).
19. Вар.: 3 (ар.).
20. Вар.: 3, 4 (ар.).
21. К.Манициус, П.Куницш и Г.Грасхоф отождествляют эту звезду как 01 Sgr.
22. Вар.: 235/6° (гр.).
23. Вар.: -26° (гр., ар.).
24. Вар.: 271/з° (гр.).
25. Вар.: 9° (гр., ар., лат.).
26. Вар.: +2/3° (гр.).
27. Вар.: 23° (ар.).
    28. Здесь указание «юг» соединено со значением координаты «0»; возможно, 
это
должно служить указанием на то, что звезда располагается немного к югу от
эклиптики [РА, р.376, п.25].
    29. Дж.Тумер считает, что здесь речь идет не о «спинном», а о южном 
плавнике
[РА, р.376, п.26].
30. Вар.: 215/6° (гр.).
    31. Так в греческом тексте [Hei II 120, 10], однако, согласно Дж.Тумеру, 
здесь
должно быть «южных» [РА, р.377, п.31 ]; арабские переводы подтверждают
правильность его исправления [Kunitzsch, 1986, S.116, Anm. 3].
     32. р Aqr должна быть по широте южнее от в Aqr, поэтому К.Манициус поменял
местами значения широт для № 13 и 14; никакого текстового подтверждения для
такой замены, однако, не существует.
Вар.: +21/б° (ар., лат.).

    33. Вар.: +4° (ар.); имеются греческие рукописи, где эта звезда обозначена 
как
находящаяся к югу от эклиптики.
34. Вар.: +41/2° (ар.).
    35. Петерс-Ноубл, П.Куницш и Г.Грасхоф отождествляют эту звезду как 94 Aqr
(BSC 8866).
36. Вар.: 22%° (гр.).
37. Вар.: -12° (ар.).
    38. Звезда 86 Aqr располагается по широте южнее 89 Aqr; данные Птолемея не
соответствуют действительному положению этих звезд. См. по этому поводу [РА,
р.378, п.40].
39. Вар.: больше 4 (гр., ар.).
40. Вар.: +7У4° (ар.), +91/4° (ар.).
41. На «ленте», соединяющей хвосты двух рыб.
42. Вар.: 201/б° (гр.).
43. Вар.:-6° (гр.), -11/з° (ар., лат.).
44. Вар.: 221/2° (ар.).
45. Вар.: 201/з° (гр.), 231/з° (гр.).
46. Вар.: 281/з° (гр.).
47. Вар.: 1/3° (гр., ар.).
48. Вар.: +23° (гр., ар.).
49. «Звезда на локте Андромеды» — № 11 в созвездии Андромеды tyAnd).
50. Вар.: 26%° (гр.).
51. Вар.: +13° (гр., ар.).
    52. Отождествление звезд № 31 и 34 очень неопределенное [РА, р.380, п.57];
П.Куницш отождествляет их в обратном порядке, т.е. № 31 = tp3 Psc, № 34
= ^Psc [Kunitzsch, 1986, S.122].
53. Вар.: 161/з° (гр.).
54. Вар.: 71/3° (гр.).
55. Вар.: -151/з° (гр.).
56. Отождествление звезд № 12-20 крайне ненадежное.
57. Вар.: -11%° (ар.).
  ' 58. Вар.: —161/2° (гр.), -135/б° (ар.); последнее значение, возможно, 
является
правильным.
    59. ? Ori не является двойной звездой в современном понимании; здесь имеет
место ситуация, когда две слабые звезды расположены близко друг от друга [НА
II, 405].
60. Вар.: 4%° (гр., ар., лат.), 4%° (ар.).
    61. Вар.: —201/2° (ар.),—201/з° (ар.); последнее значение принято Г.
Грасхофом
[Grasshoff, 1990, р.ЗОЗ, № 748].
62. Вар.: 265/6° (ар.), 27Уб° (ар.).
63. Вар.: -28%° (ар.).
64. Вар.: 26V6° (гр., ар.), 26%° (ар.).
65. Водой реки Эридан.
    66. У Птолемея Потсшбс, («река»); отождествляется с мифической рекой 
Эриданом
уже Аратом; Псевдо-Эратосфен в «Катастеризмах» утверждает, что это Нил; позднее
отождествлялась с рекой По.
67. Вар.: 13%° (ар.).
68. Вар.: 16° (гр.).
69. Вар.: 145/6° (ар.), принятый Г.Грасхофом [Grasshoff, 1990, р.305, № 786].
70. Отождествление звезд № 15-17 крайне ненадежное.
71. Вар.: -235/6° (ар.).
72. Вар.: -53%° (гр.), -501/г° (ар.).
    73.	Отождествление звезд № 31-33 неопределенное; если основываться на
значениях долгот, то лучше подходят i, g, h Eri [Р.-К., НА II]. Г.Грасхоф 
считает,
что отождествление, принятое в [Р.-К. ], лучше отвечает приведенным координатам
    
звезд и определяет их как BSC 1214, 1195 и 1143 соответственно [Grasshoff, 1990,

р.218, 307, № 802-804].
    74.	Так в греческом тексте и в арабских переводах, но должно быть, вероятно,

«4»; в Eri — двойная звезда 3-4 величины.
75. Вар.: 241/з° (ар.).
76. Вар.: -44° (ар.), принятый Г.Грасхофом [Grasshoff, 1990, р.307, № 814].

    77. Сейчас созвездие носит название «Большой Пес». Во времена Птолемея
Ktiov   («Пес»), поскольку созвездие Малого Пса называлось Проционом.
    78. Речь идет о Сириусе; Птолемей не использует это название, хотя оно было
известно в Греции уже во времена Гесиода; Сириус в настоящее время не является
красной звездой, однако в античности ему нередко приписывается этот цвет.
    79. Большая погрешность в долготе (ок. 7; 19°, согласно Г.Грасхофу 
[Grasshoff,
1990, р.307, № 822]); указанное число зафиксировано во всех рукописях; вместо
него К.Манициус принимает произвольно 21 1/з°, [Р.-К.] — 201/з°; по мнению
Дж.Тумера, здесь имеет место ошибка Птолемея.
    80.	При отождествлении этой звезды Дж.Тумер следует [Р.-К. ]; согласно
К.Манициусу [НА II, 58], П.Куницшу [1986, S.138] и Г.Грасхофу [Grasshoff, 1990,
р.96-97, 307, № 836 ], это 19 Моп; эта же звезда обозначается иногда как 6 Моп.
    81. Большая погрешность в долготе; поэтому в [Р.-К.] принято А = 7°, однако
это исправление не имеет текстуального подтверждения.
    82. Современный Малый Пес; название происходит от Прокишу («Предвестник
Пса»).
83. Вар.: 29V2° (гр.).
    84. Это большое созвездие подразделяется в настоящее время на четыре 
созвездия
меньшего размера: Корма, Паруса, Киль и Компас.
85. Вар.: -461/б° (гр.).
    86. Звезда 4-й величины, согласно [Kunitzsch, 1986, р. 140-141] и 
[Grasshoff,
1990, р.309, № 854 ]; обозначается также иногда как к Pup.
87. Вар.: -493/4° (гр.).
88. Вар.: -49Уб° (гр.).
89. Верхней части кормы, вероятно, была придана форма гусиной шеи.
    90. Согласно Дж.Тумеру, здесь может быть любая из трех звезд 5-й величины,
обозначаемых соответственно BSC 2819, 2823, 2834, или какая-либо их комбинация
[РА, р.389, п. 105]; Г.Грасхоф принимает BSC 2834 [Grasshoff, 1990, р.309, № 
859].
91. Вар.: -573/4° (ар.).
92. Вар.: -60° (ар.).
93. Согласно Г.Грасхофу, это BSC 3537 [Grasshoff, 1990, р.219, 309, № 870].
94. Вар.: -511/2° (ар.).
95. Вар.: -431/г° (ар.).

    96. Созвездие представляет только кормовую часть корабля; срез проходит
примерно посредине.
    97. Два таких весла можно увидеть на некоторых древних изображениях Арго
[Россиус, 1992, с.54].
98. Вар.: -715/6° (ар.).
    99. Птолемей (как и Гиппарх в «Комментариях к Арату») называет это 
созвездие
"YSpoc, , т.е. Водяной Змей (в мужском роде); однако в поэме Арата (строка 444)
его название дается в женском роде *'Y8pa , т.е. Водяная Змея [РА, р.391, п.
114].

100. Вар.: -143/4° (ар.).
101. Вар.: -12° (ар.).
102. Вар.: -145/6° (ар.), -142/3° (ар.).
103. Вар.: -191/з° (ар.), -191/2° (ар.).
104. Вар.: -23° (гр.).
    105. Во всех греческих рукописях стоит —261/4°, грубо ошибочное число, но в
большинстве арабских рукописей -231/4°; последнее число принято во всех
современных изданиях каталога.
106. Вар.: 201/з° (ар.).
100. 
107.	Вар.: -291/б° (ар.), -221/2° (ар.).
    108.	Очень велика погрешность; предлагается исправление —13;40 [Р.-К., р.
112;
НА II, 4051.
109.	Вар.: -16° (ар.).
ПО. Вар.: 261/з° (ар.), принятый Г.Грасхофом \Grasshoff, 1990, р.ЗП, № 921].
111.	На древних изображениях Ворон клюет Водяную Змею.
    112.	Тирс — разновидность жезла, ветвь, принадлежность последователей
Диониса; заканчивался виноградными листьями и другими эмблемами, связанными
с культом Диониса.
ИЗ. Вар.: -255/6° (ар.).
114. Вар.: -33° (гр.).
115. СУ Сеп не отдельная звезда, а шаровое звездное скопление NGC 5139.
116. Вар.: -43° (гр., ар.).
117. Вар.: -541/6° (ар.).
118. Вар.: -441/6° (гр.).
    119.	Современное название — Волк; изображался рядом с Кентавром, причем
последний держал его правой рукой за задние лапы [РА, р.396, п.138] или пронзал
копьем.
120.	Вар.: -25'/б° (ар.).
    121. Эта величина стоит во всех рукописях, но слишком велика погрешность;
отождествление этой звезды сомнительно [ Р.-К., р.112, № 982].
    122. П.Куницш отождествляет звезды № 15 и 16 как % Lup и ? Lup, следуя
|Р.-К. | \Kunilzsch, 1986, S.158I; отождествление принято также Г.Грасхофом
\Grasshoff, 1900, р.220, 313, № 987, 9881.

123. Вар.: 271/з° (ар., лат.).
124. Вар.: -111/2° (ар., лат.).
125. Жертвенник изображался перевернутым, т.е. основанием к северу.
126. Вар.: 31/6° (гр.), 1/3° (ар., лат.).
127. Вар.: 261/б° (гр., ар.).
128. Вар.: 311/4° (гр.), 34° (ар.).
    129.	П.Куницш принимает, следуя [Р.-К. |, отождествление й|,2Те1 [Kunitzsch,

1986, S. 160 |, но Г.Грасхоф \Gra.sshoff, 1990, р.313, № 998) сохраняет 
отождествление
Дж.Тумера (в Tel), принятое еще К.Манициусом.
130. Вар.: -201/з° (ар.)., принятый Г.Грасхофом [1990, р.313, № 100].
131. № 24 в созвездии Стрельца (в Sgr).
132. Возможный вариант отождествления — к Сга.
133. Звезда № 42 в созвездии Водолея.
134. Вар.: -И2/3° (ар.).
135. Вар.: 26° (ар.).
136. Звезд II, поскольку № 1 входит также в созвездие Водолея.

    137. Отождествление звезд № 13-18 крайне неопределенное; П.Куницш, следуя
[ Р.-К. |, отождествляет № 13-15 как а, у, е Mic соответственно {Kunitzsch, 
1986,
S.I64|; Г.Грасхоф принимает отождествления Дж.Тумера, но меняет его порядок:
№ 17, 18 — у, a Mic \Grasshoff, 1990, р.221, 315, № 1027-28].
    138. На самом деле в каталоге, если суммировать число звезд по всем 
созвездиям,
зафиксировано 1028 объектов (сплошная нумерация дастся в [Р.-К.; Kunitzsch, 
1986;
Grasshoff, 19901), однако три звезды (v Boo, (i Таи, a PsA) указаны дважды; 
таким
образом в каталоге приводятся координаты всего для 1025 объектов.
    139. Звезды, о которых идет речь, занимают в каталоге следующие положения:
№ 31, 36, 32, 33, 34 и 35 соответственно в созвездии Кентавра; согласно 
описанию
в каталоге a Cru находится не «на лодыжке», а «на копыте».
    140. Звезды № 10 в созвездии Волка, № 7, 6, 2, 4 и 3 соответственно в
созвездии Жертвенника.
    141. Звезды № 17, 18, 19, 22 в созвездии Скорпиона и № 25, 2, 3, 1, 4, 5
соответственно в созвездии Стрельца; в тексте вместо «лук» стоит «Стрелец»;
исправление К.Манициуса, принятое Дж.Тумсром |РА, р.400, п. 161 ].
    137. 
142.	Т.е. вне пределов Млечного Пути; звезда № 18 в созвездии Змеи.
    143.	Звезды № 15, 12, 8, 7, 5 и 3 соответственно в созвездии Орла; в 
каталоге
7 Aql описана как находящаяся «на левом плече». Три последние звезды К.Манициус
отождествляет как а, в и о Aql [НА II, 67], а Дж.Тумер как в, <р и и Aql [РА,
р.401, п. 164], хотя звезды Ф и v не включены в каталог.
144.	Звезды № 1 и 5 в созвездии Стрелы.
    145. Звезды № 11 («на середине левого крыла»), 10, 13, 14, 12, 18, 19
соответственно в созвездии Птицы (Лебедя).
    146. Звезды № 5 (в каталоге «звезда в хвосте»), 17, 14 в созвездии Птицы и
9, 13 в созвездии Цефея.
147.	Звезды № 7, 1, 11 и 6 в созвездии Кассиопеи.
    148.	Все перечисленные звезды принадлежат созвездию Персея: BSC 1314 —
№ 28; а — № 7; ц>, Ь — № 9, 10; h и х — № 1 (в каталоге «на конце правой
руки», здесь же имеется в виду, по-видимому, рукоять оружия Персея — меча или
серпа); т — № 5; у — № 3;" rj — № 2; 72, А, 48, // — № 16-19; 53 — № 20;
58 — № 21 (в каталоге «на правой лодыжке»).
149.	Звезды № 3, 5, 6, 14, 12, 8, 9 соответственно в созвездии Возничего.
    150. Звезды: № 19 в созвездии Близнецов, № 12, 9 и 10 в созвездии Ориона,
№ 20, 18, 14-17 в созвездии Близнецов.
    151. Так в греческом тексте [Hei II 176, 18]. Однако П.Куницш исправляет 
это
место как «звезда на его глазах» [Kunitzsch, 1974, S.322, № 533]; исправление
принято Дж.Тумером [РА, р.403, п. 172].
152.	Звезды № 2, 3, 4, 5, 19 в созвездии Большого Пса.
    153.	В каталоге Птолемея все перечисленные звезды принадлежат созвездию
Арго: № 5 (m Pup), № 6 (BSC 2948 + 2949), № 8, 9 (3, 1 Pup), № 17 <х Pup),
№ 38 (cbVel), № 22 (BSC 3439), № 2 (p Pup), № 31 (A Vel), № 27 (/ЗРух), № 35,
36 (у Vel, x Car).
    154.	Имеется в виду западное ответвление Млечного Пути, о котором
упоминалось выше.
155. Звезды № 12, 13, 14, 9, 16 в созвездии Скорпиона.
    156. Звезды № 12 (я Oph), 13 (? Oph), 14 (36 Oph), 9 (p. Oph), 10 (v Oph) в
созвездии Змееносца и № 16, 17 (?, rj Ser) и 18 (0 Ser) в созвездии Змеи 
Змееносца.
    157. Звезды № 25, 26, 27, 28 (66, 67, 68, 70 Oph), № 29 (72 Oph) в 
созвездии
Змееносца, № 9 (? Aql) в созвездии Орла, №  1  ф Cyg), № 4 (у Cyg), № 3
(??Cyg), № 6 (<3 Cyg), № 15, 16 (о1, о2 Cyg), № 5 (в Cyg) в созвездии Птицы
(Лебедя).
    158. Детальный анализ конструкции прецессионного глобуса Птолемея см. в
[НАМА, р.890-892]; о традиции конструирования небесных глобусов в античности
см. [Schlachter, 1927], а также [Россиус, 1992, с.100-106, 174-178].
    159. Очевидно, речь идет о породе дерева, используемой для изготовления 
деталей
механических приборов в период античности [РА, р.405, п. 180].
    160. Это необходимо для того, чтобы край круга широты совпадал с большим
кругом небесного глобуса.
    161. За начало отсчета долготы здесь принят Сириус (в СМа, № 1 в созвездии
Большого Пса) как самая яркая звезда на небе; однако использовать Сириус в
качестве начала отсчета неудобно, так как он расположен слишком далеко от
эклиптики ф = — 391/б°), поэтому в «Подручных таблицах» за начало отсчета
сидерической долготы принят Регул (в Leo, В = +0;10°), расположенный вблизи
эклиптики.

    162. Долгота Сириуса в каталоге: \1Уъ° Близнецов; поэтому при нанесении
положений звезд на поверхность глобуса из значений их каталожных долгот должна
вычитаться величина 77%°.
    163. Мы имеем здесь как бы шарнирный механизм: круг меньшего диаметра,
непосредственно примыкающий к поверхности глобуса, по которому отсчитываются
широты звезд, крепится к небесному глобусу осями, проходящими через полюсы
эклиптики; круг же «меридиана», по которому отсчитываются склонения, крепится
к первому кругу осями, удаленными от полюсов эклиптики на величину наклона
    162. 
эклиптики к экватору е = 23;51°. «Меридианный круг* в терминологии Птолемея —
круг склонений в современном понимании.
    164. Для эпохи каталога расстояние по долготе Сириуса от точки летнего
солнцестояния АД = 90° — HVf = 121/з°, как сказано в тексте.
    165. О механизме, позволяющем устанавливать требуемую широту места, см.
[НАМА, р. 1399, Fig.80].
    166. Речь идет об астрологических аспектах — трине, квадратуре и секстиле;
Птолемей рассматривает этот вопрос подробнее в «Четверокнижии» (кн.1, гл.12).
    167. Эта «призма» не имеет ничего общего с геометрической призмой; Дж.Тумер
переводит это слово как «band» — «пояс»; он полагает, что данный термин связан
с механической моделью движения планет Птолемея, описанной позднее в
«Планетных гипотезах» [РА, р.407, п. 186].
168.	Указанные явления играют важную роль в гороскопной астрологии.
    169. В качестве «меридиана» на северном полюсе может служить любой большой
круг небесной сферы, проходящий через зенит.
    170. Описывая характер суточного обращения звезд, Птолемей, очевидно, 
влючает
в их число и планеты.
    171. Совместные восходы и заходы звезд и планет, а также частей зодиака
рассматривались как астрологически значимые события. В частности, совместным
восходам и заходам посвящена KH.V «Астрономики» Манилия (I в. до н.э.—I в. н.э.
).
    172. Первый видимый утренний восход звезды — гелиакический восход, согласно
современной терминологии.

173. Речь идет о так называемом космическом заходе.
174. Так называемый акронический восход.
175. Гелиакический заход, согласно современной терминологии.
    176.	Задача об определении времени совместной кульминации (восхода или
захода) данной звезды и центра истинного Солнца есть необходимый элемент для
решения более сложной задачи об определении дат гелиакических восходов и 
заходов
звезд, которая рассматривается в следующей главе. Она имеет также 
астрологическое
значение, поскольку при ее решении определяется долгота точки эклиптики,
кульминирующей или восходящей одновременно с данной точкой небесной сферы,
координаты которой известны. В основе ее решения лежат вычислительные методы
и теоремы, рассмотренные в кн.1, гл.13, 16, кн.II, гл.7-8. Исчерпывающий анализ
проблемы см. в [НАМА, р.32-34, 39, 927-928 ]. Птолемею принадлежит также
небольшой, дошедший до нас не полностью трактат, известный под названием
«Фазы», специально посвященный исследованию этой проблемы (см. статью
«Птолемей и его астрономический труд»).
177.	Т.е. кругам широты, проведенным через полюса эклиптики и звезду.
    178. Одновременная кульминация звезды G и Солнца М предполагает, что в
определенный момент G и М окажутся одновременно на меридиане. Но меридиан
пересекает экватор под прямым углом; поэтому G и М должны находиться на одном
и том же круге склонения, чтобы кульминировать одновременно, причем 0 и М
имеют одно и то же прямое восхождение в [НАМА, р.32 ].
    179. Птолемей рассматривает полный сферический четырехсторонник
NAAZH0N (рис. 8.1), для которого справедливо соотношение
Crd 2НА Crd 2НЛ Crd 2N0
Crd 2AZ ~ Crd 2Л0 Crd 2ZN"
    В нем AZ = 90°, ZN = 90°, HA = AZ + ZH = 90° + ZH; HA = HK + КЛ =
= 90° + КЛ; A© = КЛ + K0; дополнительно находим: ZH = e, К© = /} (широта
звезды, известная из каталога); КЛ — дуга в прямоугольном сферическом
треугольнике ЕКЛ с острым углом е, поэтому она задает склонение точки К
эклиптики, долгота которой ЕК = А известна, и может быть найдена по таблице
склонений кн.1, гл.15; после этого дуга 0N — склонение точки 0 — может быть
найдена непосредственно из приведенного соотношения.
    
    180.	Для полного сферического четырехсторонника NAAZH0N (рис. 8.1) можно
записать еще одно соотношение:
Crd 2ZH _ Crd 2ZB Crd 2NA
Crd 2HA ~ Crd 20N Crd 2ЛА'
Здесь ZH = s, HA = 90° + e, 0N = 6 определена выше; Z0 = ZN - N0 = 90° - <5;
ДА = ЕА — ЕА = 90° — ЕА; дуга ЕА может быть найдена по таблице кн.П, гл.8 в
предположении, что в прямоугольном сферическом треугольнике ЕКЛ с острым
углом е она представляет долготу, а две другие дуги — прямое восхождение и
склонение. После этого из приведенного соотношения находим NA, что дает нам
немедленно NA = NA + ЛА.
    Целью вычислений является определение прямого восхождения звезды а =
= NE = ЕА — NA = 90° — NA, которое равняется прямому восхождению Солнца
aQ. Зная последнее, мы можем по таблицам времен восхода в «прямой сфере» кн.И,
гл.8  определить долготу  Солнца AQ,  а  значит,  и день,   когда  Солнце  
будет
кульминировать одновременно со звездой 0.
    Данная задача — единственный пример в «Альмагесте», когда Птолемей
производит преобразование эклиптических координат светила А и /3 в 
соответствующие
им экваториальные координаты а и д.
    181.	Т.е. если произведены вычисления, позволяющие определить точку
эклиптики, которая кульминирует одновременно с данной звездой; это означает,
что кроме эклиптических координат звезды А, /3 нам известны также ее
экваториальные координаты а, д.
    182.	Птолемей рассматривает полный сферический четырехсторонник
A0EHZBA (рис. 8.2), для которого справедливо соотношение
Crd 2ZB = Crd 2ZH Crd 20Е
Crd 2ВА ~ Crd 2Н0 Crd 2AE'
где ZB = Q; для верхних планет средняя скорость по долготе равна разности 
скоростей
Солнца и по аномалии, <Ыд = a>Q — а>а. На основе этих соотношений получены
приведенные ниже значения.
    24. В некоторых рукописях приводится значение скорости Марса, вычисленное
с большей точностью: шд = 0;1,18,36,32,14,38,52,30 °/h [РА, р.426, п.31 ].
    25. Средняя долгота планеты в произвольный момент времени / определяется
расстоянием центра эпицикла на деференте относительно точки весеннего равно-
денствия по правилу, эквивалентному формуле
I = I0 + cox(t-t0),
где AQ — значение средней долготы в начальную эпоху tQ (Набонассара 1, тот 1,
средний полдень в Александрии). Средняя аномалия планеты отсчитывается на
эпицикле от его «среднего апогея» в прямом направлении и определяется согласно
формуле

где eQ — значение аномалии в момент tQ, а>а — средняя скорость движения планеты
по аномалии. В начале таблицы для каждой планеты указаны значения AQ и а0, a
также долготы апогея эксцентра AQ в момент tQ. Долгота апогея, согласно 
Птолемею,
возрастает пропорционально скорости прецессии (1° за 100 лет) и служит основой
для нахождения эксцентрической аномалии планеты.
В таблицах учтены исправления, сделанные Дж.Тумером [PA, Р.426, п.33].
26.	Кн.Ш, гл.З, с.85.
    27. Чтобы исключить влияние первого неравенства, нужно наблюдать последо-
вательные синодические явления планеты (оппозиции, точки стояния, соединения и
т.д.) при фиксированном положении на зодиаке.
    28. Наблюдения свидетельствуют о том, что интервал времени от момента
наибольшей скорости планеты до средней больше интервала от средней скорости до
наименьшей. Этот факт, согласно Птолемею, можно объяснить только при помощи
эпициклической модели, предположив, что планета Р вращается по эпициклу в том
                же направлении, в каком центр эпицикла С движется по
А	деференту   (рис.   9-А).   При  этом   максимум  скорости
t
планеты   будет   иметь   место   в   апогее   эпицикла  А,
минимум — в перигее D, среднее значение скорости —
в точке В касания эпицикла с лучом из центра деферента;
при этом дуга АВ будет больше дуги BD. О.Нейгебауэр,
однако, показал, что эксцентрическая модель также может
быть использована для представления движений планет,
если придать линии апсид определенное движение [НАМА,
р.149-150]. Сам Птолемей описывает подобную модель в
кн.ХП, гл.1, ограничивая область ее применения верхними
планетами, см. также [РА, р.442, п.38].
29. Кн.Ш, гл.З.
30. Наблюдения однотипных синодических явлений,
таких,  например,  как  оппозиция  или точки стояния,
Рис 9_А	показывают,  что  расстояние  по долготе  между  ними
                             меняется неравномерно в зависимости от положения
планеты иа эклиптике и что интервал от точки наименьшей скорости до средней
превышает интервал от точки средней скорости до наибольшей. Птолемей прав,
полагая, что такую закономерность в равной мере успешно можно объяснить как
эксцентрической моделью, так и моделью с эпициклом. Эксцентрическая модель
                             
считается более подходящей, вероятно, потому, что в противном случае пришлось
бы иметь дело с моделью двойного эпицикла [НАМА, р. 149; SA, р.264].
    31.	Подробнее о кинематической модели Меркурия см. гл.6 этой кн. и
коммент. 36.
32. См. гл.2 этой книги, с.279, а также кн.ХШ, гл.1, 4.
    33. Кинематическая модель, описанная Птолемеем, известна в современной
литературе под названием «модели экванта» или «модели биссекции 
эксцентриситета».
Она представляет соединение эпициклической и эксцентрической моделей, где центр
Z деферента АВГ смещен относительно центра мира на величину EZ = е (см.
рис. 9.1). Центр эпицикла 0 движется по деференту в прямом направлении; его
движение равномерно относительно точки, лежавшей по линии апсид на расстоянии
AZ = EZ = е от точки Z; соответственно НД0 = к (средняя эксцентрическая
аномалия планеты) возрастает линейно со скоростью а>у Планета обращается по
эпициклу равномерно в прямом направлении со скоростью а>а, а линия апсид АГ —
вокруг точки Е со скоростью прецессии. Термин «эквант», обозначающий точку
А или круг АВГ с центром в Л (латинские астрономы использовали выражения
punctum aequans и circulus aequans), не употребляется самим Птолемеем, а имеет
более позднее происхождение [НАМА,
р. 1102]. В модели с эквантом нарушен
основополагающий принцип моделирования
движений светил, согласно которому исполь-
зуемые круговые движения должны быть
равномерными относительно их собственных
центров. В данном случае центр эпицикла
0 движется неравномерно относительно цен-
тра деферента Z. Птолемей, по-видимому,
осознавал противоречивость своей модели,
см. в этой связи кн.ХШ, гл.2, с.401, а также м\
[Goldstein, 1977, р. 166]. Позднее эта особен-
ность его планетной теории стала объектом
критики в средневековой исламской астро-
номии, см. [Pines, 1964]; нарушение основ-
ных принципов моделирования упоминается
Коперником при перечислении недостатков
теорий его предшественников [Коперник,
1964, с.12-13]. Введение экванта существен-
ным образом улучшило точностные харак-
теристики планетной теории Птолемея сравнительно с гипотезами простого 
эксцентра
и эпицикла [Идельсон, 1975, с.141-149], однако Птолемей нигде не объясняет,
каким путем он пришел к идее экванта. Различные гипотезы, объясняющие
происхождение этой модели, см. в [Evans, 1984; НАМА, р.155; Rawlins, 1987; SA,
р.277-279, 306-307].
    34.	Кинематическая модель движения Меркурия поясняется на рис. 9-В, где
АГ — линия апсид неподвижного эксцентра; Е — Земля; EY — направление на
точку весеннего равноденствия; Д — точка экванта, из которой движение центра
эпицикла К представляется равномерным; точка Z, середина линии апсид АГ,
является центром малого круга, по которому движется центр Н деферента
(«подвижного», или «второго» эксцентра, согласно Птолемею), несущего эпицикл,
причем ZH= ZA = ДЕ = е (е — эксцентриситет орбиты Меркурия). Положение
эпицикла относительно наблюдателя определяется пересечением подвижного дефе-
рента и линии ДК. В схеме реализуются четыре равномерных вращения: а) линия
апсид АГ вращается в прямом направлении вокруг точки Е со скоростью прецессии
(равномерно возрастает AEY); б) центр деферента Н вращается на малом круге с
центром Z в обратном направлении; его положение определяется углом AZH = к —
эксцентрической аномалией планеты; в) линия ДК, определяющая центр эпицикла
    
К и одновременно направление на среднее солнце, вращается в прямом направлении
так, что КДА = к; следовательно, эксцентрическая аномалия к возрастает про-
порционально средней скорости Солнца; г) планета М на эпицикле вращается
равномерно в прямом направлении; ее положение задает угол а =ЛКМ (эпицикличе-
ская аномалия планеты), отсчитываемый от «среднего апогея» Л.
    35. Апогеи планет, согласно Птолемею, сидерически фиксированы и поэтому
движутся относительно точек равноденствий в прямом направлении со скоростью
прецессии 1° за 100 лет; один оборот планеты по долготе относительно точек
равноденствий не совпадает поэтому с периодом обращения относительно апогея.
    36. Кинематические модели, описывающие движение по долготе Венеры и
верхних планет, а также Меркурия обладают, согласно Птолемею, осевой симметрией.

Это означает, что для любых двух положений эпицикла, симметричных относительно
линии^сид, должны получаться одинаковые значения уравнения центра (на рис. 9.3
это HBZ = HAZ) и наибольшей элонгации планеты относительно центра эпицикла
(AZM = BZA). Свойство симметрии орбиты используется Птолемеем в кн.1Х-Х1 при
определении долгот апогеев и эксцентриситетов планетных орбит на основе
наблюдений. Но, как показал К.Уилсон, действительные движения Венеры и
Меркурия, как они воспринимаются с движущейся Земли, не соответствуют этим
схемам. Для нижних планет положения эпициклов, симметричные относительно
линий апсид, должны приводить к несовпадающим значениям уравнений центра и
максимальной элонгации (для Венеры, например, разность утренней и вечерней
максимальных элонгации в симметричных точках достигает V20) [Wilson, 1972,
р.211-213, 227-228]. Аналогичное по смыслу доказательство, касающееся гипотез
простого эксцентра и эпицикла, содержится в кн.Ш, гл.З, с.90. Детальный анализ
птолемеевской теории внутренних планет см. также в [Swerdlow, 1989].
37. Поскольку вертикальные им углы АНВ и АНД по определению равны.
38. См. [Евклид, III, 14; т. I, с.95-96].
39. Поскольку ГНЕ2 и TZAN — параллелограммы.
    40. Равенство этих величин следует из симметрии; строгое доказательство 
требует
больше места, так как в обоих случаях радиусами деферентов являются не КЕ и
0Д, а КА и 0Е [НА, II, 435; РА.^р.448, п.50].
    41.	Поскольку ВОД = 180° - (Г0В + ZQA) и ВКЕ = 180° - (ГКВ + ЕКН), и
выше показано, что Г0В = ГКВ и Z0A = ЕКН.
    42.	Согласно Птолемею, наибольшая элонгация Венеры и Меркурия относительно
среднего солнца определяется углом между касательной к эпициклу и направлением
на его центр. Для наблюдателя, находящегося в А (рис. 9.4), таким образом, 
центр
эпицикла совпадает со средним солнцем. Последнее, однако, неверно, поскольку
направление на среднее солнце в схеме Меркурия определяется линиями BE и
ВД (в схеме Венеры — линиями НД и НВ, рис. 9.3), а не АЕ и АД. Два определения
наибольшей элонгации совпадут, если эксцентриситет орбиты равен нулю. В данном
случае Птолемей считает их, по-видимому, эквивалентными, см. [Sawyer, 1977,
р.169], однако ниже (в этой кн. гл.9-10) он принимает совершенно правильно, что
направление от наблюдателя на среднее солнце не совпадает в общем случае с
направлением на центр эпицикла планеты.
    43.	Установленное в гл.6 свойство симметрии орбиты Меркурия позволяет
утверждать, что если мы имеем два наблюдения утренней и вечерней наибольших
элонгации^ планеты относительно среднего солнца одинаковой величины
(ДАЛ = ЕАМ, рис. 9.4), то соответствующие им ^положения центра эпицикла
симметричны относительно линии апсид (ГВД = ГВЕ). Линия апсид проходит
посредине между двумя положениями центра эпицикла. Однако Ф.Савиэр показал,
что равенства двух средних максимальных элонгации недостаточно для определения
местонахождения линии апсид в схеме Птолемея, поскольку угол между касательной
к эпициклу и направлением на среднее солнце изменяется в ней непропорционально
средней эксцентрической аномалии [Sawyer, 1977, р.170].
    
    44. 132, февраль 2; опорная звезда — а Таи; ее долгота в каталоге — 1'2;40°
Тельца (с.239); следовательно, Птолемей зафиксировал на астролябии расстояние
по долготе 71;40° = (360° - 331°) + 42;40°.
    Всего в «Альмагесте» при построении теорий движения Меркурия и Венеры
используются 22 наблюдения максимальной элонгации. Точность и достоверность
этих наблюдений неоднократно анализировались в современной астрономической и
историко-астрономической литературе. См. по этому вопросу [Czwalina, 1959;
Moesgaard, 1974, р.100; Newton, 1976; Ньютон, 1985; PA; Swerdlow, 1989; Wilson,
1972] и др. Из работы [Swerdlow, 1989, р.37, 45, 56] мы приводим таблицу
параметров, характеризующих наблюденные элонгации. Столбец 1 таблицы содержит
дату наблюдения с указанием, какая элонгация имела место — утренняя (У) или
вечерняя (В); 2 — среднюю долготу Солнца JQ, указанную Птолемеем; 3 —
наблюденное значение максимальной элонгации »7тах; 4 — максимальную элонгацию,
вычисленную на основе теории Птолемея для проверки точности его вычислений;
5 — элонгацию п, которая на самом деле имела место в указанный Птолемеем
момент; 6 — дату истинной максимальной элонгации; 7 — величину истинной
максимальной элонгации; величины в столбцах 5, 6 и 7 вычислены на основе
данных о движении планет по таблицам [Tuckerman, 1962; 1964].

ДатаДолгота
Солнца
ГоНабл.
1 maxВыч.
7 max  Сов р.
знач. 17(f)Сов р. дата
1 max  Сов р.
знач. 7max1234567132, февр. 2       В
134, июнь 4       У
138,	июнь 4       В
141, февр. 2       У
134,	окт. 3         У
135,	аир. 5        В
130. июль 4       В
139,	июль 5       У
-	261, февр. 12    У
-	261, аир. 25      В
-	256, май 28       В
-	261, авг. 23       В
-	236, окт. 30       У
-	244. нояб. 19     У
132, март 8         В
140, июль 30       У
127, окт. 12         У
136, дек. 25         В
129, май 20         У
136, нояб. 18       В
134, февр. 18      У
140. февр. 18      В309;45°
70; 0
70;30
310; 0
189;15
П; 5
100; 5
100;20
318;10
29;30
62;50
147;50
215;10
234;50
344; 15
125;45
197;52
272; 4
55;24
235;30
325;30
325;30МЕРКУ
21;15°
-	21; 15
26;30
-	26;30
-	19; 3
23; 15
26; 15
-	20; 15
-	25;50
24; 10
26;30
21;40
-	21; 0
-	22;30
ВЕНЕ
47; 15
-	47; 15
-	47;32
47;32
-	44;48
47;20
-	43;35
48;20РИЙ
20;56°
-	21; 18
25;52'
-	26;35
-	18;33
22;58
26;29
-	20;25
-	26;21
23;57
25;59
22;20
-	20; 11
 -	22; 4
РА
47; 10
-	46;32
-	47;24
47;47
-	44; 10
45;54
-	43;32
48; 1619;46°
-	19;52
25;35
-	25; 15
-	19;35
22; 11
26; 14
-	19;47
-	25;23
23;46
25;59
23;57
-	20;41
-	21;59
46;50
-	46; 11
-	47; 7
46;52
-	44;36
45;34
-	44;33
47;59февр. 1
июнь 10
июнь 8
февр. 1
сент. 29
апр. 3
июль 3
июль 8
февр. 15
апр. 28
май 26
авг. 25
окт. 27
нояб. 20
февр. 21
июль 14
сент. 22
дек. 13
май 6
дек. 13
фев. 15
фев. 1919;50°
-	21;20
25;53
-	25;17
-	20;13
22; 19
26; 15
-	20; 19
-	25;40
24; 1
25;33
24; 3
-	21; 4
-	22; 3
47;58
-	46;55
-	48;21
47;31
-	44;52
47;31
-	44;33
47;59
    45. Максимальная элонгация здесь и во всех остальных случаях определяется
как разность истинной долготы планеты и средней долготы Солнца (см. также
коммент. 44); в данном случае 331° — 309;45° = 21;15°.
    46. 134, июнь 4; опорная звезда, как и в наблюдении [1], — а Таи; 
расстояние
по долготе между а Таи и Меркурием, зафиксированное на астролябии, 6;5°. См.
также коммент. 44.
    47. 138, июнь 4; опорная звезда — Регул, долгота в каталоге: 2V2° Льва;
наблюденное на астролябии расстояние по долготе 34; 30°. Анализ наблюдения см.
в коммент. 44.
    48. 141, февраль 2; опорная звезда — a Sco; долгота в каталоге: 12;40° 
Скорпиона
(см. с.246); зафиксированное на астролябии расстояние 60;50°. См. также
коммент. 44. Это самое позднее из известных нам наблюдений Птолемея.
49.	Птолемей в данном случае пренебрегает разностью положений в V40.
    50.	В «Альмагесте» восемь наблюдений (Меркурия, Марса и Юпитера) датируются
по календарю Дионисия, неизвестному по другим упоминаниям. Календарь
реконструирован А. Бёком на основе информации, содержащейся в «Альмагесте»,
см. [Boeckh, 1863, S.286-340]. Согласно его реконструкции, «эра Дионисия» 
началась
26 июня 285 г. до н.э. вблизи летнего солнцестояния. Годы с номерами 4п,
4п + 1 и 4п + 2 содержат по 365 дней, а с номерами 4п + 3 — по 366 дней. Год
подразделялся на 12 месяцев, названных по именам знаков зодиака, начиная с
Рака. Первые одиннадцать месяцев продолжительностью по 30 дней каждый, 12-й
месяц — 35 или 36 дней. В тексте зафиксированы названия семи месяцев: таврон
(Телец), дидимон (Близнецы), леонтон (Лев), парфенон (Дева), скорпион
(Скорпион), айгон (Козерог) и гидрон (Водолей). О календаре Дионисия, кроме
указанной работы, см. [НАМА, р.1066-67; РА, р.13—14; Waerden, 1984].
    Номер дня в месяце кв' (29), зафиксированный в греческих рукописях [Hei II
244, 18], исправлен А.Бёком при обсуждении календаря Дионисия на ка' (21);
исправление принято современными исследователями [РА, р.450].
    51. Здесь и на с.313 Птолемей использует архаическое название Меркурия
(Ix&pcov), употреблявшееся в эллинистический период, оба раза в сочетании с
календарем Дионисия.
    52. -261, февраль 12; опорная звезда — <5 Сар, долгота в каталоге 261/3° (с.
248),
из которой следует вычесть 4°, чтобы учесть прецессию за промежуток около 400
лет; диаметр Луны приблизительно соответствует Vf. См. также коммент. 44.
    53. Описание этого наблюдения не вполне ясно. В переводе Дж. Тумера оно
звучит следующим образом: «В том же самом 23 году по календарю Дионисия, 4
таврона вечером [Меркурий] был на 3 луны позади [т.е. в прямом направлении]
от прямой, проходящей через рога Тельца, и казалось, что он при прохождении
был более чем на три [диаметра] луны к югу от звезды общей [Возничему и
Тельцу]» [РА, р.450-451].
    -261, апрель 25; «рога Тельца» — ? и в Таи, причем последняя звезда входит
также в созвездие Возничего (с.233); координаты, исправленные на прецессию
(-4°), для момента наблюдения: Aj = 232/3° Тельца, ^ = -2V? и А2 = 2\Уъ° Тельца,

@2 = +5° (рис. 9-С). Птолемей приравнивает долготу Меркурия долготе ? Таи, а
широту — величине §2 = — IV20. См. также коммент. 44.
    54.	В греческом тексте ошибочно приводится дата «с 30-го числа месяца 
Фаменот
на 1-е», исправленная в современных исследованиях [РА, Р 451, п.63].
    55.	-256, май 28; опорные звезды — а и в Gem (с.240); координаты,
исправленные на прецессию (—4°), для момента наблюдения соответственно:
А, = 19W, 0, = +9V20 и А2 = 222/з°, 02 = +6V40 (рис. 9-D). См. также коммент. 
44.
Расстояние   между   звездами   находим   при   помощи   теоремы   Пифагора:
d = V(A2 - Aj)2 + ф2 - ySj)2 = 42/з°; расстояние до Меркурия вдоль прямой, 
прохо-
дящей   через   обе   звезды,   2d - 1/3^ = 91/б°;     приращение долготы  
Меркурия

относительно   р Gem   х = А„ — А.    находим   из отношения -.	г- = —=	ъ—,
2     2	Д2 - Aj      р2 - (5Х
отсюда х = 6;33° ~ 62/3° и А? = 222/3° + 6?/3° = 291/3°, как указано в тексте.
    56. Для определения положения линии апсид требуются два наблюдения
максимальной утренней и вечерней элонгации равной величины. Из наблюдения
[5] Птолемей нашел, что максимальная утренняя элонгация Меркурия, равная
25;50°, имела место при 1Q = 18; 10° Водолея. Но в наблюдениях [6] и [7] 
планета
находилась на расстояниях соответственно 24; 10° и 26;30° от среднего солнца. 
Полагая,
что максимальная элонгация изменяется линейно со средней долготой Солнца,
Птолемей решает обратную задачу: находит долготу, для которой наибольшая

5е
4
3
2
f
0
-1
-2
-3



	Т?
J	I	1	Ц
21°     22°      23"

Рис. 9-С
-       33V3 X 12/з
элонгация равна 25;50°. Соответственно AQ =	= 23;49 ~ 24°. Округление
очень грубое, но, как заметил Дж.Тумер, линейная интерполяция здесь также
является грубым приближением [РА, р.452, п.65].
    57.	-261, август 23; опорная звезда — Спика (с.244); долгота, исправленная 
за
прецессию (-4°), А = 222/з° Девы, отсюда   А5 = 222/3° - 31/б° = 19У2°, как 
указано
в тексте. Анализ наблюдения см. в коммент. 44. Это наблюдение, как и все
остальные, из этой серии, вероятно, входили в список наблюдений планет,
составленный Гиппархом, о котором Птолемей сообщает в гл.2 этой кн., с.279.
    58. Это и следующие наблюдения датированы в халдейской эре, которая 
совпадает
с Селевкидской эрой, применявшейся в клинописных текстах, с той разницей, что
названия месяцев македонские, и начальная эпоха приходится на октябрь 311 г. до
н.э. [НАМА, р.159, Бикерман, 1975, с.16, 66]. Дж.Тумер, однако, полагает, что 
ее
начало следует отнести к апрелю 311 г. до н.э. [РА, р. 13].
    59. -236, октября 30; опорная звезда a Lib; долгота (с.245), исправленная 
на
прецессию за период 473 года: А = 18° - 3;44° = 14; 16° Весов (текст: 14; 10° 
Весов).
«Локоть» — вавилонская мера угловых расстояний, равная 2° (иногда 21/20) [ACT
I, р.39-40]. В этом наблюдении мы имеем пример, когда упоминание о чаше Весов
соединяется с архаическим названием созвездия — Клешни. См. коммент. 1 кн.VIII,
а также коммент. 44 наст. кн.
    Наблюдения [9] и [10] имеют безусловно вавилонское происхождение, на что
указывают использование «локтя», Селевкидской эры, а также то, что опорные
звезды, относительно которых фиксируется положение планеты, входят в список так
называемых «нормальных звезд» [Sacks, Hunger, 1988, p. 17-19; PA, p.453, n.70;
Ван-дер-Варден, 1991, c.108, 354, коммент. 42].
    
    60. -244, ноябрь 19; опорная звезда — В Sco; долгота в каталоге (с.246)
д = 61/з° Скорпиона, которую Птолемей уменьшает на 4°, чтобы учесть прецессию
за 381 год, отсюда Д2 = 21/з° Скорпиона, что не вполне точно. См. также коммент.
 44.
61. Вычисления аналогичны рассмотренным в коммент. 56.
    62. Знак зодиака не указан, поскольку еще неизвестно точно, где находится
апогей — в Овне или Весах.
    63. Шесть наблюдений Меркурия III в. до н.э., рассмотренные в настоящей
главе, представляют единственное основание для теории движения планетных 
апогеев,
принятой в «Альмагесте». Один этот факт показывает, на каком зыбком фундаменте
Птолемей порой утверждал свою астрономическую теорию.
    64. Речь идет об определении расстояния центра эпицикла К относительно
наблюдателя, находящегося в Е (см. рис. 9.2). Здесь «также» относится к Луне, о
которой особо упоминается в этой связи в гл.5 этой кн., с.299.
    65. Поскольку наибольшая элонгация Меркурия относительно Солнца невелика,
он бывает виден на утреннем или вечернем небе недолго, когда видны лишь 
наиболее
яркие звезды. Такие звезды не часто располагаются в непосредственной близи от
Меркурия, что служило непременным условием месопотамских наблюдений («древ-
них» для Птолемея). Однако астролябия позволяет фиксировать любые расстояния
на небесной сфере, и положения Меркурия поэтому можно измерить относительно
какой-либо другой звезды, наблюдаемой в то же время и координаты которой
известны.
    66. 134, октябрь 3; опорная звезда Регул, долгота в каталоге 2Уз° Льва (с.
242);
на астролябии было измерено расстояние 47;42°. См. также коммент. 44.
    67. 135, апрель 5; опорная звезда а Таи; долгота в каталоге 122/3° Тельца 
(с.239);
измеренный на астролябии интервал 8 Уз". Анализ наблюдения см. в коммент. 44.
    68. В предыдущей главе показано, что линия апсид эксцентра проходит через
точки эклиптики 10° Овна и 10° Весов. Два наблюдения Птолемея произведены
таким образом, чтобы средние долготы Солнца в моменты наибольших элонгации
совпадали с установленными выше. Основываясь на свойстве симметрии орбиты,
Птолемей удваивает измеренную величину наибольшей элонгации, чтобы получить
видимый диаметр эпицикла. При этом перигею соответствует больший диаметр,
апогею — меньший. Такое удвоение, однако, допустимо лишь в том случае, если
положение линии апсид определено верно. В противном случае (а именно этот
случай имеет место) Птолемей должен был получить неодинаковые значения
утренней и вечерней максимальных элонгации в указанных точках. Но, как заметил
О.Гингерич, произвести требуемые наблюдения Птолемей не имел возможности,
поскольку условия видимости Меркурия вечером в октябре и утром в апреле на
широте Александрии не позволяют надежно определить наибольшую элонгацию. Из
четырех возможных наблюдений максимальной элонгации Меркурия в точках 10°
Овна и 10° Весов Птолемей приводит лишь два, соответствующие наилучшей
видимости Меркурия [Gingerich, 1983].
69. Таблица хорд, кн.1, гл.11.
  л 70. Обозначим, следуя О.Нейгебауэру, ZA = Zr = R', BZ = е\ ABA = а,
ГВЕ = В, АА = ГЕ = г', тогда
ВА = R' + е' = 120",
г' = crd 2а,
ВГ = Л'-е' = 120РН^.
crd 2/8
Подставляя величины а = 19;3°, В = 23; 15°, находим вместе с Птолемеем
    г' = 39;9р,    R' — е' = 99;9Р,    е' = 10;25Р,
[НАМА, р. 161].
   
71.	С.300 и коммент. 34.
    72.	Наблюдения [1 ] и [4] в гл.7, с.ЗОЗ; наблюдение [4] имеет двойную 
датировку:
«утром с 18-го на 19-е число».
73.	Речь идет о наблюдениях [2] и [3] в гл.7, с.ЗОЗ.
    74. В.Хартнер показал, что центр эпицикла в птолемеевской модели Меркурия
перемешается по кривой, близкой к эллипсу, у которого центр находится в точке
Д (рис. 9.2), и полуоси а = R + е и b = R - е, где R = 60р — радиус деферента,
е = Зр — эксцентриситет. Определив геоцентрические расстояния центра эпицикла
от наблюдателя s = КЕ как функцию средней эксцентрической аномалии к = АДК,
он показал, что s действительно имеет минимумы при к « ±120° [Hartner, 1955,
р.109-115]. Модель Птолемея, таким образом, идеально соответствует 
сформулирован-
ному им тезису о двухперигейности орбиты Меркурия, см. также [НАМА, р. 163-164,
168-169; SA, р.314-315, 320-324].
    75. В соответствии со схемой движения Меркурия, описанной в гл.5, в этой
главе определяются: а) положение на линии апсид точки экванта (А на
рис. 9.2,Н на рис. 9.6), из которой движение центра эпицикла представляется
равномерным; б) радиус малого круга (ZH на рис. 9.2) с центром в точке Z, по
которому равномерно движется в обратном направлении центр деферента, несущего
эпицикл.
    76.	130 июль 4; опорная звезда Регул; долгота в каталоге 21/2° Льва (с.242).

Анализ наблюдения см. в коммент. 44.
    Другие наблюдения, выполненные Теоном, приводятся Птолемеем в кн.Х, гл.1-2,
с.316,317. Фигура Теона, старшего современника Птолемея, отождествляется обычно
с Теоном Смирнским (ум. ок. 130-140), жившим приблизительно в то же время
[SA, р.416]. Это отождествление, однако, не является единственно возможным;
Теон — одно из самых распространенных имен греко-римского Египта [НАМА,
р.949-950; РА, р.456, п.83].
    77. Дата наблюдения (утро 24 месоре, или 8 июля) и приведенная средняя
долгота Солнца не согласуются друг с другом. Точное совпадение получим, 
исправив
дату на «утро с 20 на 21 месоре», как это делают Дж.Тумер и другие 
исследователи.
Ошибки такого рода (в номере дня перепутаны а и <5) очень распространены в
греческих рукописях [НАМА, р.162, n.3; PA, р.456, n.84; Wilson, 1972, р.246-247,

п.28 ]. Юлианская дата (после исправления) 139, июль 5; опорная звезда а Таи;
долгота в каталоге 122/з° Тельца (с.239). Анализ наблюдения см. в коммент. 44.
    78. Максимальная элонгация определяется как расстояние между касательной к
эпициклу и направлением ВО на среднее солнце из центра мира В. В данном
случае ВО перпендикулярна к линии апсид АГ^и^не проходит через центр эпицикла
0. Наибольшая ^вечерняя элонгация а = КВО = 26;15°, наибольшая утренняя
элонгация В = ЛВО = 20; 15°, отсюда видимый диаметр эпицикла КВЛ = а + В =
= 46; 30°. Штриховая линия ВО на рис. 9.6, указывающая направление на среднее
солнце, проведена нами.
    79. Таким образом, расстояние от наблюдателя до центра эпицикла в 
квадратурах
совпадает с расстоянием до точки, отстоящей от апогея на 180° (с.307). Величина
В© определяется в частях В А = 12QP.
  ^ 80. Пусть на рис^ 9.6 аномалия <5 = H0B = ©ВО, КВО = а и ЛВО = В, отсюда
КВЛ = а + в = 20ВЛ = 2в + 2д и, следовательно, 2д = а - в.
    81. Чтобы проверить модель Меркурия и ее параметры, Птолемей теоретически
определяет видимый диаметр эпицикла в точках наименьшего расстояния при
значении средней эксцентрической аномалии к = ±120°, который должен совпасть
с наблюденной величиной 47;45° (с.307).
    82. Как и следовало ожидать, расстояние AZ = 55;34р при к = ±120° оказалось
меньше ДЕ = 57р при к = 180°.
    81. 
    83. 139, май 17; опорная звезда Регул, долгота в каталоге 21/2° Льва (с.
242);
элонгация «Регул—Меркурий», зафиксированная на астролябии, 45°; элонгация
«Луна—Меркурий» 1;10°; «12-й градус Девы» — интервал от начала 11-го до начала
12-го градуса Девы. Анализ наблюдения см. в [Britton, 1967, р. 144-146; Newton,
1976, р.191; Ньютон, 1985, с.259-260 и сл.].
    84. Приведенные значения вычислены для момента 7;7h после полудня в
Александрии;   по-видимому,      Птолемей   здесь   учитывал   уравнение   
времени
(Е = — 0;25h, по определению Дж.Тумера); параллакс по долготе для этого момента
равен -0;53° (РА, р.461, п.93].
    85. Здесь и в некоторых других случаях в настоящей главе термин «перигей»
употребляется для обозначения точки, отстоящей от апогея на 180°, а не точек
наименьшего расстояния центра эпицикла от наблюдателя, для которых к = ±120°.
    86. Средняя эпициклическая аномалия планеты а = 0ZA отсчитывается от линии
«среднего апогея» эпицикла Г© в прямом направлении, а не от «истинного апогея»,
определяемого линией ДК. Заданными считаются расстояние планеты по долготе от
линии апсид эксцентра АДА, средняя долгота Солнца,  равная долготе центра
эпицикла Z, т.е. средняя эксцентрическая аномалия к = АВН = ATZ, параметры
модели — эксцентриситет е = Зр и радиус эпицикла г = 22;30р, в предположении
TZ = 60р. Требуется определить величину а.

87. См. в этой кн. гл.7, с.ЗОЗ и гл.8, с.306.
88. AZ = VAN2 + NZ2 = 55;49р.
89. Едг = дгг + дгг.
    90. -264, ноябрь 15; опорные звезды — В и Ь Sco, координаты в каталоге см.
с.246; «одна луна», т.е. '/2°. Анализ наблюдения см. в [НАМА, р. 166—167; 
Newton,
1976, р.191 |.
    91. Долготы в каталоге Птолемей уменьшает на 4°, чтобы учесть прецессионное
движение за интервал около 400 лет.
    92. Расположения Меркурия относительно опорных звезд, указанное Птолемеем,
не соответствует принятой долготе планеты (рис. 9-Е); возможное объяснение 
этому
несоответствию и связанное с ним исправ-
ление текста см. в [НАМА, р. 166, р. 1254,
Fig. 151 ].
    93.	-264, ноябрь 19; за 4 дня от времени
первого наблюдения, в течение которых
Солнце (а, значит, и центр эпицикла)
продвинулось на 4° к востоку, планета
переместилась в том же направлении всего
на 1/2 лунного диаметра, т.е. на 0;15°. Это
возможно лишь в том случае, если ее
собственное движение на эпицикле было
направлено в обратную сторону и она не
достигла еще точки стояния, соответствую-
щей наибольшей элонгации, см. [НАМА,
р.166; Newton, 1976, р.191-192].
                              94.	См. в этой кн. гл.7, с.305 и гл.8,
|>ис 91';                       с.308.
    95. На рис. 9.10 изменены, кроме того, обозначения «истинного» и «среднего»
апогеев на эпицикле (соответственно 0, К вместо К, 0). В данном случае средняя
аномалия Меркурия а - KZA + 180°.
96. к = АВН = ArZ = 205/6о Скорпиона - 6° Весов = 44;50°.

97. ZM = VZHZ- HMZ = 59;47р
98. ZA = VZN2 + AN2 = 64;7р.
97. 
99.	AAZ = ArZ - AZH
100. AAA = З'/з" Скорпиона - 6° Весов = 27; 20° и ZAA = ZAA - AAA.
101. Точные вычисления дают 100;4° [РА, р.466, п.ЮЗ].
102. 0ZA = ZAE - ZAA,     KZA = 0ZA - 0ZK.

    103. Из соотношения «145 синодических обращений равно 46 тропическим годам»
(гл.З, с.281) вытекает, что одно синодическое обращение Меркурия происходит за
115;52d, а 63 обращения — приблизительно за 20 египетских годов (115;52d х 63 =
= 7299,54 = 7300d = 20 х 365d), и, следовательно, 400 египетских годов содержат
20 х 63 = 1260 синодических обращений по аномалии, а оставшиеся 8y283d — 8
синодических обращений [НАМА, р. 167].
    104. Относительно метода, каким была получена средняя скорость движения
Меркурия по аномалии, принятая в таблицах, см. коммент. 19. При определении
угла а, соответствующего двум приведенным наблюдениям, Птолемей допустил
несколько погрешностей вычисления и округления. Их влияние на конечный
результат не является пренебрежимо малым. Согласно Дж.Тумеру, эти погрешности
таковы:
             Птолемей   Точное значение
Набл. I      212;34°      212;29,18°
Набл. II      99;27°       99;33,31°
Да	246;53°      247; 4,13°
Разность приращений Да = 0;11°, распределенная на интервал около 400 лет, 
меняет
среднюю скорость движения по аномалии на +0;0,0,0,16 °/d [РА, р.467, п.104].
    105. Речь идет о наблюдении Меркурия утром 19 тота 484 года Набонассара
(с.313).
    106. В греческом тексте ошибочно указано 18V3h [Hei II 294,5]. Исправление
подтверждается как приращением средней долготы, приведенным ниже, так и
интервалом между двумя наблюдениями, указанным выше [НА II, 155 а); РА,
р.467, п. 105].
КНИГА ДЕСЯТАЯ
    1.	Как и в теории Меркурия (кн. IX, гл. 7 и коммент. 43), Птолемей исходит
из предположения, что орбита Венеры симметрична относительно линии апсид
эксцентра. Положение апогея на эксцентре поэтому может быть определено на
основе двух наблюдений видимой долготы Венеры в моменты ее максимальных
элонгации (восточной и западной) равной величины. Критический анализ метода
Птолемея см. в [Sawyer, 1977].
    Выражение «в одну и ту же сторону», согласно Дж.Тумеру, означает «оба в
направлении к апогею» или «оба в направлении к перигею» [РА, р.446, п.46].
    2. 132, март 8. Для определения параметров орбиты и скорости Венеры 
Птолемей
использует восемь наблюдений максимальной элонгации Венеры. Библиографию
вопроса и таблицу параметров наблюдений см. коммент. 44 к KH.IX. Особый интерес
в этой связи представляет работа в [Wilson, 1972].
    3. В звездном каталоге Птолемея Плеяды занимают по долготе интервал от
2У2° до ЪУг" Тельца (с.239, звезды №30-33 в созвездии Тельца); их «длина», 
таким
образом, составляет IV20, долгота средней точки 21У-.20« 3°; долгота Венеры
3° — 1V20 = 1V20 Тельца. Приведенное Птолемеем значение средней долготы Солнца
позволяет определить с точностью до получаса время максимальной элонгации;
согласно К.Мосгору, t = 6;30h после полудня. См. также коммент. 44 к KH.IX.
    4. У Гейберга ошибочно «в 14 году» (id1) вместо правильной величины «в 4
году» (<5'); исправлено К.Манициусом [НА И, 156, 412]. Исправление 
подтверждается
приведенным ниже значением средней долготы Солнца и встречается также в
некоторых рукописях [РА, р.469, п.4].
    2. 
    5. 140, июль 30; опорная звезда, относительно которой фиксируется положение
Венеры, ? Gem.
    6. Диаметр Луны здесь, как обычно в вычислениях, не требующих высокой
точности, считается равным 1°. Время наблюдения, согласно приведенной средней
долготе Солнца, / = 19;30h после полудня. См. также коммент. 44 к кнЛХ.
7.	127, октябрь 12; опорная звезда В Vir.
    8.	В каталоге Птолемея долгота В Vir (№5 в созвездии Девы) равна 29° Льва.
Из этой величины Птолемей вычитает 1/120 (поправка за прецессию за 11 лет),
прибавляет 11/2° («длина» Плеяд, см. выше коммент. 3) и вычитает У\г" (видимый
диаметр Венеры; в «Планетных гипотезах» эта величина принята равной 3' 
[Goldstein,
1967, р.8, п.5]). Время, соответствующее приведенной средней долготе Солнца,
t = 18;30h после полудня. См. также коммент. 44 к кнЛХ. При определении средней
долготы Солнца Птолемей использует здесь и далее в этой главе название знака
зодиака Весы (Zuyoc.). а не как обычно — Клешни ( XnXai), см. также коммент.
1 к кн. VIII.
9.	136, декабрь 25; здесь, согласно Манициусу,  опорная звезда — Ф Aqr,
упоминаемый четырехугольник звезд — Ф, tf>', v3Aqr; «следующая (звезда),
находящаяся на прямой линии с [двумя] в паху Водолея» — это соответственно
А и a Aqr [НА II, 158]. Описание в тексте расходится с описанием звезд в
каталоге. По мнению Дж.Тумера, данное наблюдение предшествует времени создания
каталога [РА, р.470, п.7].
    10. 2/3 диаметра Луны составляют 20', а не 24', как пишет Птолемей. 
Возможно,
здесь, как и в предыдущем случае (коммент. 8), он учитывал диаметр Венеры [РА,
р.470, п.9].
    11. Время наблюдения, определенное по средней долготе Солнца, г= 6;30h 
после
полудня. См. также коммент. 44 к кн.IX. А.Чвалина показал, что неточность в
определении величины максимальной элонгации Венеры в 10' приводит к ошибке
в дате порядка 7,7h [Czwalina, 1959, p. 17 ]. Действительная же погрешность в
величине элонгации у Птолемея, как правило, существенно выше. Ошибки в датах
поэтому не могут считаться признаком неподлинности наблюдений.
    12.	По оценке Уилсона, результат Птолемея для долготы апогея Венеры (55°)
отличается от величины, полученной на основе современных вычислений (57°18'),
всего лишь на 2°18' или даже на 1°12\ если учесть ошибку равноденствия Птолемея,

[Wilson, 1978, р.214]. Этот вывод как будто свидетельствует о том, что в основе
определения долготы апогея лежат подлинные наблюдения. Вместе с тем очевидно,
что Птолемей очень свободно обращался с понятием «максимальная элонгация».
Так, для года 136 он приводит две разные даты максимальной элонгации,
различающиеся на 37d (см. с.317 и коммент. 9, 15); причем о каждой из них
сказано, что Венера наблюдалась в «наибольшем расстоянии от Солнца» [НАМА,
р.153, п.1 ]. Совпадение результатов двух определений долготы апогея, 
произведенных
с помощью двух пар «независимых» наблюдений, заставляет предполагать, что по
крайней мере одно из этих наблюдений подогнано Птолемеем под результат
[Ньютон, 1985, с.305].
    13. В предыдущей главе показано, что линия апсид эксцентра пересекает
эклиптику в двух точках с долготами 25° Тельца и 25° Скорпиона. Неизвестно,
однако, какая из них представляет апогей, а какая перигей эксцентра. Задача
решается на основе двух наблюдений максимальной элонгации Венеры таких, что
среднее солнце, совпадающее с центром эпицикла, находится на линии апсид или
поблизости от нее. Апогею соответствует наименьшая из двух величин максимальной
элонгации.
    14. 129, май 20. Три звезды в голове Овна — а, В, у Ал; опорные звезды,
фиксирующие линию отсчета положения Венеры, — у Ari и ц Cet; их координаты
в каталоге   Птолемея (№1 и 13 в созвездии Овна) соответственно Хх = бУз" Овна,
= +71/з°; Д2 = 15° Овна, Р2 = ~51/4°. Изменение долготы вследствие прецессии за

8 лет 0;4,48°, однако Птолемей использует в первом случае величину 0;4° = I/is",

во втором — 1/4°; последняя явно искажена; должно быть, по-видимому, также
1/15°, и долгота 1414/15 = 14(1/2 + Уг + У\о) (Мани-
циус предлагает другой вариант исправления:
1411/12 = 14(1/2 + 1/3 + i/i2), который отвергается
Тумером [НА II, 159; РА, р.471, п.10]). Положение
опорных звезд и Венеры относительно эклиптики,
согласно Манициусу, см.на рис. 10-А, где
уА/Ац = 2:1, QA= Ws°, причем Я А J. уц. При
таком расположении, однако, координаты Венеры
должны отличаться от приведенных Птолемеем;
мы   нашли   А9= 11;31°, BQ= -1;46°.
    15. Точное время наблюдения, согласно при-
веденной величине средней долготы Солнца,
t = 17h после полудня. См. также коммент. 44 к
KH.IX.
    16. 136, ноябрь 18; опорные звезды — a, v,
в Cap (в каталоге №1-3 созвездия Козерога).
    17. Время наблюдения: t = 4h после полудня;
см. также коммент. 44 к KH.IX.
    18. «Неподвижным», т.е. не меняющим свое
положение относительно звезд. Здесь же как будто
предполагается существование большого числа на-
блюдений максимальной элонгации, покрывающих всю эклиптику; 8 наблюдений,
используемых в настоящей книге, представляют, по-видимому, только выборку из
этого множества, см. по этому поводу [НАМА, р. 158].
19. Имеем соотношение gg^jj= 84*33' отсюда ЕГ = х = 120р-^3^ = 115;1р.
    20. Вычисления Птолемея неточны; правильные значения: эксцентриситет 
(радиус
эксцентра R = 60р) е = 1;16,48р, радиус эпицикла /-=43;10,48р [НАМА, р.154].
    21. «И здесь» — как и в рассмотренной выше теории Меркурия, KH.IX, гл.5, 9;
введенное Птолемеем различие между «центром эксцентра» и «центром равномерного
вращения» (названного позднее «эквантом») представляет одно из наиболее
замечательных достижений его планетной теории; неизвестно, что побудило его
сделать этот шаг. Отправной точкой, вероятно, послужили наблюдения Марса [Evans,

1984; РА, р.474, п. 12], и лишь затем схема с эквантом была распространена на
другие верхние планеты и Венеру.
    22. 134, февраль 18; время наблюдения: t = 18h после полудня; см. коммент. 
44
к KH.IX.
    23. 140, февраль 18; опорная звезда Альдебаран; время наблюдения, согласно
приведенной средней долготе Солнца, t = 5;30h после полудня; см. также коммент. 
44
к KH.IX.
    24. Здесь, как и в KH.IX, гл.9, рис. 9.6, направление на среднее солнце ВО
(обозначено штриховой линией на рис. 10.2) не совпадает с направлением на центр
эпицикла JJE. Поэтому можно записать а = ZHO = 481/3°; в = НВО = 431/21/12° и
а + в = ZBH = 91;55°, см. также коммент. 78 к KH.IX.
25. Вывод этого соотношения см. в коммент. 80 к KH.IX.
26. Наилучший анализ содержания этой главы см. в [Wilson, 1972, р.218-222].
    27.	В главе 4 уточняется величина средней скорости движения Венеры по
аномалии а>а сравнительно с той величиной, которую дает древнее вавилонское
соотношение: 5 аномалистических периодов равны 8 солнечным годам, см. KH.IX,
гл.З и коммент. 16.

    28.	138, декабрь 16; самая северная из трех звезд (л, д, В) во лбу 
Скорпиона —
В Sco; относительное положение Луны, Венеры и опорной звезды см. на рис. 10-В.
29.	Имеется в виду интервал от 1-го до 2-го градуса Девы; для момента
4;45H после полуночи местного времени Дж.Тумер нашел, что долгота куль-
минирующей точки эклиптики была чуть больше 1° Девы в
соответствии с текстом [РА, р.475, п.15].
    30.	Вычисления Птолемея верны для момента 4;30H после
полуночи, а не для 4;45H. Вероятно, он учитывал здесь
уравнение   времени, которое при kQ = 23° Стрельца равно
Е= -17Ш [РА, р.476, п.15].
    31.	Долгота и широта Венеры определяются на основе
конфигурации, представленной на рис. 10-В, где координа-
ты опорной звезды (В Sco, №1 в созвездии Скорпиона)
А = 216;20°,  /8=+1;20°;   координаты  Луны:  Д^ = 216;45°,
В^ = +4;40° и имеет место соотношение	= V%. Однако
            ——>-  Дж.Бриттон на основе современных вычислений показал, что
6"	7    X действительное  расположение  В Sco,   Луны  и   Венеры  в
Рис. ю-в	указанный Птолемеем момент существенно отличалось от
                          приведенного на  рис.   10-В.  Соответствие между  
вычис-
лениями и данными Птолемея станет очень хорошим, если предположить, что
наблюдение на самом деле производилось не в 4;45H после полуночи, а на два часа
позднее на рассвете в 6;45H [Britton, 1967, p.l36—139].
32.	Предполагается, что среднее солнце совпадает с центром эпицикла Z, отсюда
EBZ = 22;9° Стрельца — 25° Скорпиона = 27;9°.
    33.	Определяется средняя аномалия на основе наблюдения долготы Венеры в
соответствующий момент. На рис. 10.3 ЕА — линия апсид эксцентра (А — апогей);
Д — центр эклиптики (местонахождение наблюдателя); Г — центр эксцентра; В —
центр равномерного вращения (эквант); ВГ = ГД = е; Z — центр эпицикла; К —
планета, положение которой на эпицикле определяется средней аномалией а,
отсчитываемой от среднего апогея © в прямом направлении (а — ©ZK). Для момента
наблюдения известны: а) среднее положение центра эпицикла к — EBZ; б) расстоя-
ние планеты относительно перигея <5 = КДЕ (долгота перигея минус долгота 
планеты).
Необходимо определить а = ©ZK. Далее Птолемей находит^а) расстояние от наблю-
дателя до центра эпицикла AZ, считая TZ = 60Р; б) углы BZA и EAZ; в) расстояние
ZN и углы NAZ H^NKZ; г) аномалию а = 360° - (NKZ + NAZ - AZB). Необходимо
отметить, что ©ZK определяется наблюдением долготы планеты неоднозначно,
поскольку каждому направлению из точки Д соответствуют, как правило, две точки
пересечения с эпициклом К и К' (на рис. 10.3 точка К' отмечена нами). Известно,
однако, что наблюдение произведено после прохождения максимума элонгации, что
исключает точку К'; подробнее см. [НАМА, р.156-157].
    34.	Суммарная погрешность округления здесь	довольно велика. Согласно
Дж.Тумеру, должно быть ZN=119;16P, а дуга на	ZN — 167;22°; расхождение
нельзя считать пренебрежимо малым, оно изменяет	конечный результат на 0;8°
(230;40° вместо 230;32°) [РА, р.476, п.16].
    35.	Филадельф — Птолемей II Филадельф (283-246 гг. до н.э.); дата 
наблюдения
-271, октябрь 12; «Жнец» или «Виноградарь» (Vindemiatrix), — е Vir; «звезда в
конце южного крыла Девы» — В Vir; следующая за ней — rj Vir (соответственно
№13, 5 и 6 в созвездии Девы); «в 12-м ночном часу» означает, возможно, что
наблюдение произведено за полчаса до восхода Солнца. Согласно Р.Ньютону,
    
погрешность в положении Венеры в указанный момент составляет 10' [Newton, 1976,
р.200-201; Ньютон, 1985, с.301-302, 307; РА, р.477, п.17].
    36. Птолемей определяет прецессионное изменение долготы звезды и апогея
Венеры за период в 408 египетских годов.
    37. -271, октябрь 16; погрешность определения долготы около 5' [Newton, 
1976,
р.200-201; Ньютон, 1985, с.307]. Наблюдение необходимо, чтобы разрешить
неоднозначность определения аномалии по измеренной долготе Венеры, см.
коммент. 33.
38.	Расчеты Птолемея аналогичны произведенным выше, см. коммент. 33.
    39. Суммарная погрешность округления составляет здесь около 4' (должно быть
107;49°) [РА, р.479, п. 19].
    40. Согласно Птолемею, за интервал At = (409 х 365D + 167D) = 149452D при-
ращение   средней   аномалии    Да = (360° х 255 + 338; 25°) = 92138:25".    
Отсюда
= ^ = 0;36,59,25,49,8,51 °/d.  Однако  в  KH.IX,   ГЛ.З  И  В  таблицах  
средних
движений принято другое значение: 0;36,59,25,53,1 l,28°/d, которое, вероятно,
получено следующим образом. Птолемею было известно соотношение: 5 обращений
по аномалии (Да = 360° х 5) соответствуют 8 солнечным годам (8 х 365;14,48D).
Однако на основании собственных наблюдений он нашел другое соотношение
(92138;25°-* 145452D). С его помощью он уточнил величину промежутка At,
необходимую для совершения пяти обращений по аномалии. Исходя из отношений
   At    _ 5 х 360°
I49452D ~ 92138;25°'
находим


Отсюда
ш   =
= 0;36,59,25,53,11,27,53 7d
5 х 360°
2915;40D
в полном соответствии с текстом [РА, р.670-671].
    41. Интервал будет точным, если предположить, что наблюдение Тимохариса
выполнено на рассвете, и для эпохи учтено уравнение времени Е= — i/2h. При этом
таблицы средних движений (KH.IX, гл.4) дают Да = 180;58,34°. Расхождение 
вызвано
либо округлением, либо использованием большего интервала [РА, р.479-480,
п.22-23 |.
    42. Речь идет о модели экванта, описанной в KH.IX, гл.6, см. также коммент. 
33
к KH.IX.
    43. Наблюдаемые размеры эпицикла и все связанные с этим явления, например
величина дуги попятного движения, зависят от расстояния центра деферента Д, по
которому движется эпицикл, от наблюдателя Е (рис. 10.5). Величины дуг попят-
ного движения можно поэтому использовать для определения расстояния ДЕ. Птоле-
мей не объясняет свою вычислительную процедуру, однако ясно, что вычисления
наиболее просты, когда центр эпицикла находится на линии апсид на наибольшем
и наименьшем расстояниях от наблюдателя. Максимум эклиптической аномалии,
т.е. максимальная разность истинной и средней долгот планеты (ZBE) зависит не
от ЕД, а от расстояния наблюдателя от центра равномерного вращения EZ; если,
как пишет Птолемей, EA:EZ = 1:2, то это означает, что центр равномерного
вращения Z не совпадает с центром деферента Д и находится от наблюдателя по
сравнению с Д на удвоенном расстоянии. Это важное место содержит, по-видимому,
указание на тот путь, который позволил Птолемею прийти к идее экванта.
44.	Речь идет о наблюдениях средних оппозиций.

    45. «Аномалия относительно Солнца» — это определяемая движением планеты
по эпициклу последовательность синодических явлений (попятных движений,
стояний, оппозиций, противостояний), наблюдаемых при определенных положениях
планеты относительно Солнца; зодиакальная или эклиптическая аномалия —
неравномерное движение центра эпицикла по эклиптике, обусловленное наличием
эксцентриситета ЕД. Последняя приводит к тому, что синодические явления планеты
по-разному фиксируются в разных частях зодиака. Так, величина и форма петли
попятного движения зависит от положения планеты на эклиптике. Для определения
эксцентриситета и долготы апогея (параметров, определяющих эклиптическую
аномалию) необходимы наблюдения, произведенные в строго фиксированные
моменты, когда «аномалия относительно Солнца» имеет одну и ту же величину,
чтобы исключить ее влияние. В случае нижних планет для этого использовались
максимальные элонгации; в случае верхних планет, которые могут находиться на
произвольном расстоянии по долготе относительно Солнца, используются оппозиции.
    46. Если на рис. 10.5 AZB^= к, 0BH = а (угол отсчитывается на эпицикле от
В© по часовой стрелке) и АЕО =у, то а + к = у. Это соотношение, лежащее в
основе ряда дальнейших доказательств и вычислений средней скорости движения
планеты по долготе, специально Птолемеем нигде не доказывается. Но, как заметил
О.Нейгебауэр, с кинематической точки зрения оно эквивалентно стандартным
вавилонским соотношениям: число синодических явлений + число сидерических
оборотов = число солнечных годов (кнЛХ, гл.З и коммент. 16, 23); в соотношении
Птолемея а соответствует синодическим явлениям, к — сидерическим оборотам,
у — числу годов [НАМА, р. 170].
47. Т.е. положение центра эпицикла, как оно наблюдается из Е.
    48. Когда планета находится ^в Н, ее^ средняя аномалия а = 360° — НВ©. 
Отсюда
а + к = AZB - НВ© = AZB - ЛВК = АЕВ = у. Когда гшанета в К,  Эксцентриситет и долгота апогея определяются затем следующим образом.
1.	Продолжив ГД до пересечения с деферентом в точке Е (рис. 10.8), Птолемей
BE   АЕ   ВА	р
находит отношения -д-g, ^g, ^-g, полагая ДЕ = 120й.
    2. Затем он выражает BE, АЕ, ВА в единицах радиуса деферента R = 60р и
находит ГЕ.
    3. Проводя через Д диаметр МДКЛ (на рис. 10.9 К — центр деферента),
определяет эксцентриситет ДК в единицах R = 60р.
    4. Определяет положение апогея Л относительно противостояний А и В (находит
дуги АА и ЛВ).

    58. Величина эксцентриситета и положение апогея будут теми же независимо
от того, какую линию продолжить до пересечения с деферентом — ДВ, ДА или ДГ.
    59. В действительности должно быть 0В2 = 136;272 = 18 618;36, однако эта
неточность не сказывается существенно на величине АВ [РА, р.488, п.39].
    60. Вычисления содержат ошибки; правильное значение АЕ = 22;27р, и это 
число
на самом деле встречается в двух рукописях. В дальнейшем, однако, Птолемей
использует не 21;41°, а 21;34°. Путаница восходит, по-видимому, к самому 
Птолемею,
величина же 22;27р — чье-то позднейшее исправление [РА, р.488, п.40].
61. Птолемей применяет соотношение ЛД-ДМ = ЕД-ДГ [Евклид, III, 35].
62. ЛД-ДМ + ДК2 = ЛК2 [Евклид, II, 5].
    63.	Точные вычисления, основанные на предыдущих значениях величин, дают
ДК=13;2,30р [РА, р.489, п.44].
64.	Точные вычисления дают ГМ = 39; 10° [РА, р.490, п.45].
    65.	До сих пор предполагалось (рис. 10.8), что точки А, В, Г, определяющие
положение центра эпицикла в моменты трех противостояний, находятся на круге с
центром © равномерного вращения и фиксируются из © дугами ДАГ ДА2, а из
N — дугами ДАр ДА2. На самом деле (рис. 10.7) они лежат на круге деферента с
центром Д, делящем пополам отрезок N©. Точки же А, В, Г, используемые в
предварительном расчете, соответствуют на рис. 10.7 скорее точкам Е, Z, Н с той
разницей, что в модели с эквантом они фиксируются из N дугами эклиптики
Alj, ДА2 (ENZ, ZNM), которые не равны дугам ДА , ДА2. Отождествление точек
А, В, Г и Е, Z, Н в упрощенной модели приводит к погрешности в определении
эксцентриситета 2е(= N©) и долготы апогея Aq, которую необходимо исправить.
Птолемей использует при этом своеобразный итерационный процесс. Основываясь
на полученных предварительных значениях 2е и AQ и полагая, что в модели с
эквантом точки А, В, Г фиксируются из 0 дугами Alj, ДА~2, он для каждого
противостояния находит угол е между направлениями из N на соответствующие
точки экванта и деферента (^ = TNA, е2 = BNZ, е3 = HNr, «разности дуг зодиака,
которые мы хотим найти для каждого противостояния», по терминологии Птолемея),
отсюда Alj = Alj + + «2; = ^2 ~ с2~ ?з* Полученные значения дуг ДА^,
ДА2 используются затем для нового определения параметров орбиты 2е', Х'а в
соответствии с процедурой, описанной выше (коммент. 57). Такого рода уточнения

можно производить неограниченное число раз, пока в модели с эквантом не будет
достигнуто согласие  между  величинами  2е, AQ,  с одной  стороны,  и данными
наблюдений (ДА,, ДА2, ДА,, ДА2) — с другой. В случае орбиты Марса потребовалось
три итерационных шага (в тексте обозначаются как [I], [И], [III]); для Юпитера
и Сатурна оказалось достаточно двух шагов (KH.XI, ГЛ.1, 5).
    66. Здесь неточность; правильное значение NE = 70;57,48р и XN = 13;11,24р 
[РА,
р.491, п.46].	_	_
    67. Здесь у Гейберга ?0 (69;6), но правильно ?е (65;6), что подтверждается
вычислениями и данными рукописей [РА, р.492, п.48].
68.	Поскольку  (рис.  10.7)     К2 = е, = 0;32°,    AT = е2 = 0,33°,   КА = ДА, 
=
= 67;50°, то Т2 = ДА,' = ДА, + е, + е2 = 68;55°.
69.	Дуга эклиптики   TY = ДА2 = AM - AT - YM = ДА2 - е2 - е3 = 93;44°-
- 0;33 - 0;50° = 92;21°.
    70. См. коммент. 57 и 65. Согласно Дж.Тумеру, который повторил вычисления
Птолемея, полагая ДА, = 81;44°, ДА~2 = 95;28°, ДА, = 68;55°, ДА2 = 92;21°, 
параметры
2е=11;50°, ГМ = 45;28° [РА, р.494, п.50].
    71. Исходя из величины 2е = 11;50р и принятых Птолемеем значений дуг ГМ,
АВ и АА, Дж.Тумер нашел К2 = 0;27,49°, AT = 0;26,51 и MY = 0;39,31° [РА,
р.494, п.51].
    72. Таким образом получены уточненные значения дуг эклиптики ZT = ДА,' и
TY = ДА2, которые позволяют в третий раз определить параметры орбиты 2е" и А".
    73.	Основываясь на приводимых Птолемеем значениях, Дж.Тумер нашел
2е" = ДК = 11;59,50р и дуга ГМ = 44;18,45°. Еще один шаг итерационных 
вычислений
изменит N© на величину, меньшую 0;0,30р, а долготу апогея на 0;5°, что не имеет
практического значения [РА, р.494, п.52].
74.	Для  проверки  значений  эксцентриситета  и  долготы  апогея  Птолемей
вычисляет дуги ДА,, ДА2 по дугам ДА,, ДА2 в модели с эквантом, где параметры
2е и AQ равняются только что полученным величинам. Для каждого противостояния
Птолемей находит величину к = к — п, где к, к — соответственно среднее и 
видимое
расстояние центра эпицикла относительно линии апсид, г/ — уравнение, т.е. угол,
под которым эксцентриситет 2е виден из соответствующей точки деферента; отсюда
ДА, = к, + ку ДА2 = к3 - к2.
75. См. с.326 и коммент. 55.
76. См. с.326 и коммент. 55.
77. 139, май 27, 22h; см. коммент. 54.

    78. Короткий интервал между наблюдениями гарантирует, что соответствующие
ему приращения средней долготы и аномалии не внесут дополнительной погрешности
в положение планеты.
    79. 139, май 30, 21h; «20-й градус Клешней» — т.е. интервал от 19-го до 
20-го
градуса Весов; средняя долгота Солнца, согласно таблице кн.Ш, гл.2, в указанный
момент (At = 885y314d9h от начальной эпохи) А0 = 5;27,31° Близнецов; 
приведенные
в тексте средняя долгота Солнца и положение Луны по долготе и аномалии
соответствуют на самом деле не 9h после полудня, a 8;37h. По-видимому, Птолемей
учитывал здесь уравнение Солнца Е = -0;23h относительно эпохи (правильное
значение Е = -0;25,30h) [РА, р.499, п.57 ]. Согласно вычислениям Дж.Бриттона, в
указанный момент Arf = 242; 1°; погрешность измерения элонгации «Луна-Марс»
    78. 
+0;36°, «Луна-Спика» -0;17° [Britton, 1967, р.146-147]. См. также [Newton, 1976,

р.203; Ньютон, 1985, с.260 и след.].
80. Здесь предполагается А^ = 0° Стрельца.
81. 25;30° Козерога - 1;36° Стрельца = 53;54°.

    82. Приращения средней долготы и аномалии Марса за интервал 2d23h (таблицы
KH.IX, гл.4) меньше указанных Птолемеем: ДА = 1;33,1°, Да = 1;21,55°; 
по-видимому,
Птолемей использовал здесь более короткий интервал. По этому поводу О.
Нейгебауэр
замечает: «Это один из многих случаев, когда чрезмерно неточные данные
используются в расчетах для повышения точности. Указанное расхождение, однако,
не влияет на конечный результат» [НАМА, р. 180, п.10].
    83. Задача, таким образом, сводится к следующему: определить радиус 
эпицикла
г по отношению к радиусу деферента 2R = 120р, если известно, что в момент
наблюдения t (139, май 30, 21h) при установленных значениях параметров орбиты
Марса (2е = 12р; А = 115;30°) среднее расстояние центра эпицикла относительно
апогея KQ = AZB = 137; 11°; аномалия а = HBN = 172;46°; видимое положение
планеты относительно перигея ГЕВ = 180° — (ARF — AQ) = 53;54°. Подробнее о 
вычис-
лительной процедуре Птолемея см. [НАМА, р.179-180; SA, 1974, р.283-286].
    84.	Наблюдалось соединение Марса и В Sco. Приведенные Птолемеем даты по
календарю Дионисия и по эре Набонассара противоречат друг другу. Согласно
реконструкции А.Бёка, 25 айгона в 15 году эры Дионисия должно соответствовать
19/20 атира по египетскому календарю; все дальнейшие вычисления Птолемея,
однако, основываются на дате 20/21 атира (-271, январь 18). В связи с этим А.
Бёк
и вслед за ним К.Манициус исправляют сомнительную дату на 26 Айгона, чтобы
согласовать ее с реконструкцией календаря Дионисия. Однако Р.Ньютон заметил,
что в указанный Птолемеем момент (утро 18 января) планета Марс находилась на
расстоянии около 50' от В Sco, что вряд ли возможно считать касанием; касание
на самом деле имело место на два дня раньше, утром 16 января [Newton, 1976,
р.203-204; Ньютон, 1985; с.312, коммент. 3]. Аналогичные вычисления выполнил
также Ю.А.Завенягин, который показал, что соединение Марса и В Sco в
действительности имело место не 18, а 16 января в 16h; вечером того же дня Марс
не мог наблюдаться, поскольку находился ниже линии горизонта, а на рассвете
17 января его расстояние к востоку относительно /3 Sco составляло около 17'.
Основываясь на этих данных, Ю.А.Завенягин полагает, что Птолемей в данном
случае допустил ошибку при пересчете правильной даты по календарю Дионисия
(25 Айгона) в египетский календарь. Приведенную в «Альмагесте» дату 20/21 Атира
необходимо поэтому исправить на 19/20 Атира. При этом мы получим, с одной
стороны, лучшее согласование с данными современных вычислений, а с другой —
полное соответствие между реконструированными и приведенными в тексте датами
наблюдений по календарю Дионисия (частное сообщение). Аргументация Ю.А.Заве-
нягина представляется нам достаточно убедительной; таким образом, точная дата
наблюдений: -271, январь 17, —6h.
    85.	Указанному моменту (At = 4y79d18h от начальной эпохи) соответствует по
таблицам кн.Ш, гл.2 AQ = 23;52,13° Скорпиона.
86.	В каталоге звезда №1 в созвездии Скорпиона (А = 6>/з° Скорпиона).
    87.	Задача может быть сформулирована следующим образом: определить среднюю
эпициклическую аномалию планеты (а = НВ©), если в момент наблюдения t
известны (при установленных параметрах орбиты) видимое расстояние планеты
(к = АЕ© = 100;50°)   и среднее  расстояние  Солнца     (А0 - AQ = АЕА = 
182;29°)
относительно линии апсид. Средняя скорость аномалии определяется отсюда 
согласно
формуле

Аа
ш  =
     -    At     t2-tx-
Подробнее см. [НАМА, р. 180-182 ]х
88. Поскольку ВДМ = ВДЕ + ЕДМ = 67;4° + 180° = 247;4°.
89. Суммарная погрешность округления составляет здесь около 0;3°; правильное
значение BZA = 72;43,50°. Погрешность влияет на конечный результат [РА, р.504,
п.65 ].
90. 21;25° Рака + 72;47° = 4; 12° Весов.
91. Для верхних планет выполняется соотношение а + к = у, см. коммент. 46.
    92.	Получающееся на основе этих данных среднесуточное движение Марса по
аномалии
ш*     192х 360° + 61;43° = 69Ш^ = 0;27)4М0)19)28)7... ./d
а    At    410 х 365d + 23iy3d    149881;40d
не соответствует величине, используемой в таблицах средних движений (кнЛХ,
гл.4),  а>а = 0;27,41,40,19,20,58 °/d.  Вычислительная процедура,   
рассмотренная  в
коммент. 19 к кнЛХ, также не приводит здесь к положительному результату. В
самом деле, Птолемей, по-видимому, знал следующее приближенное соотношение:
37 обращений Марса по аномалии (Да = 37 х 360°) соответствуют 79 солнечным
годам (79 х 365;14,48d). Его собственные наблюдения, однако, приводят к соотно-
шению (69181;43°- 149881;40d), на основании которого величина промежутка для
совершения 37 оборотов по аномалии
   _ (37 х 360°) х 149881 ;40d _ 9RR„.41d
At	69181 ;43°	28857,41
(интервал At = 28857;53d, в кнЛХ, гл.З исправлен Дж.Тумером на 28 857;43d [РА,
р.424, п.26]), и отсюда величина средней скорости
   = Да = 37 х 360° =
а    At    28857;41d
эта величина не согласуется с табличной еще в большей степени, чем найденная
выше.
    Точное цифровое совпадение до последнего шестидесятеричного разряда при
определении а>а Марса получено Д.Ролинсом [Rawlins, 1987]. Предложенная им
вычислительная процедура, однако, имеет, на наш взгляд, серьезные недостатки.
Ролинс   предполагает,   что  в   основе   определения  а>а  лежат  следующие   
три
эмпирических соотношения: а) 303 синодических оборота планеты = 647 сидери-
ческим годам = 23632 ld; б) число гелиоцентрических оборотов планеты = число
солнечных годов - число синодических оборотов; в) 35 999 сидерических го-
дов = 36 000 тропических годов. Не существует, однако, свидетельств в пользу 
того,
что эти соотношения действительно были известны вавилонским или греческим
астрономам (исключение составляет только соотношение в), но и оно в античной
астрономии носило иную форму). При определении а>а Марса Ролинс делает слишком
много произвольных допущений, поэтому совпадение полученной им величины с
величиной, используемой в таблицах Птолемея, нельзя рассматривать в данном
случае как свидетельство правильности принятой вычислительной процедуры.
93.	Промежутку    At = 475y79d18h    соответствуют    ДА^ = 180;38,43°,   Да =
= 142;28,27° (кнЛХ, гл.4); чтобы получить величины, указанные Птолемеем,
необходимо учесть приращение долготы и аномалии еще приблизительно за полчаса.
Причины несовпадения неясны [НА И, 203; РА, р.505, п.67].

КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ
1.	Методика определения эксцентриситета 2е и долготы апогея А орбиты Юпитера
аналогична используемой в теории Марса (кн.Х, гл.7) и отличается от нее только
тем, что в данном случае достаточно двух итерационных шагов. Формулировку
задачи и описание вычислительной процедуры см. в коммент. 51 кн.Х.
    2.	133, май 17, 23h; Aj = 233,;11°; для t{ = 879y300dllh определенная по 
таблицам
KH.IX, гл.4 средняя долгота Юпитера Aj = 233; 12,11°.
3.	136, август 31, 22h; Х% = 337;54°; для t2 = 883y42d10h \ = 337;52,43°.
4.	137, октябрь 8, 5h; А3 = 14;23°. Для t3 = 884y79d17h \ = 14;23,30°. Анализ
трех приведенных наблюдений средних противостояний см. в [Czwalina, 1958,
р.299-300; Ньютон, 1985, с.309 и след.; Newton, 1982, р.142-144].
5.	Таким образом, при определении параметров орбиты Юпитера 2е и Ад исходные
величины приращений истинной и средней долготы составляют AAj = 104;43°,
ДД2 = 36;29°, AAj = 99;55°, ДА~2 = 33;26°.
6. Поскольку ЕВН = ВАГ - ВЕГ.
7. AAj + ДД2 = 104;43° + 36;29° = 141;12°.
8. AAj + ДД2 = 99;55° + 33;26° = 133;21°.
    9.	EAZ = 2 х 180° - АЕД - АДЕ = 360° - (133;21° + 77;36°) = 149;3°
(половинных градусов).
10. 174;6° = 40;45° + 133;21°.
11. ЕДДГ = ЛД-ДМ [Евклид, III, 35].
12. ЛК2 = ЛД-ДМ + ДК2 [Евклид, II, 5].

    13. Величина ДК определена приближенно, так как в процессе вычислений
неоднократно имело место округление; более точное значение ДК = 5;20Р [РА,
р.509, п.2].
    14. Накопившаяся погрешность округления приводит к значительной погрешности
в определении дуги МГ; правильное значение МГ = 32;21° [РА, р.510, п.З].
    15. Выбор противостояний вблизи линии апсид крайне невыгоден для фиксации
различия между простой эксцентрической моделью и моделью с эквантом; с этой
точки зрения противостояния должны располагаться в октантах, как это имеет 
место
при определении параметров орбиты Марса.
16.	Подробнее о переходе к модели с эквантом см. коммент. 65 к кн.Х.
    17.	У Гейберга [Hei II 371 ] ошибка в чертеже: соединено ДЕ вместо ДВ и
вместо Л напечатано А. Похожая ошибка имеет место также в чертеже [Hei И,
373] (рис.11.5). Исправление Манициуса [НА И, 211, 213].
\%. Соответствует^ дуге ВМ на^рис. 11.2.
19. Поскольку BEE = 0EE - ЕВЕ.
20. Поскольку ГЕЕ = EE0 - ЕГЕ.
    21.	Как если бы эпицикл находился на экванте; в этом случае орбита
уподобляется простому эксцентру. Птолемей, таким образом, переходит ко второму
итерационному шагу, полагая ДД^ = 104;39°, ДА2 = 36;37°.
22. Следуя вычислительной процедуре, изложенной в пунктах [А], [В], [С].
23. А именно, дугам      е2, е3 эклиптики между направлениями из Е на точки
деферента и соответствующие точки экванта, определенным в пунктах [D.l], [D.2],
[D.3] для трех противостояний. Третий итерационный шаг изменяет эксцентриситет
на величину, меньшую 0;1р, и положение линии апсид на 0;10° [РА, р.515, п.8].
24.	Поскольку АН = VАД2 - ДН2 .

25. Поскольку ЛЕА = AZA — EAZ.
26. См. пункт [G.1].
27. 180° - (3;6° + 72; 11°) = 104;43°, см. также с.340.
28. См. с.340.
    29.	У Гейберта ошибка в чертеже [Hei II, 381 ]: ошибочно соединены Д и Г
вместо Е и Г. Исправлено Манициусом [НА II, 220].
30. 137, октябрь^в; 5h, см. с.340 и коммент. 4 к этой кн.
31. а = 180° + E?Z = 182;47°.
32.	139, июль 11; 5h;  для  t = 885y355d17h, согласно таблицам кн.Ш, гл.2,
XQ = = 16;11,2° Рака; «второй градус Овна» — интервал от конца 1-го до конца
2-го градуса Овна; опорная звезда — Альдебаран (№14 в созвездии Тельца;
координаты: X = 12?/з Тельца, в = — 5V0). Согласно Дж.Бриттону, в указанный
момент долгота Альдебарана X = 43;52°, долгота Юпитера А^ = 76;34°; истинная
долгота Луны Х^ = 75;38°; центр Луны, таким образом, по долготе не достигал
Юпитера; край лунного диска находился южнее планеты [Britton, 1967, р. 147—148].

    33.	Координаты Луны определены правильно для момента 4;42h после полуночи;
по-видимому, Птолемей здесь учитывал уравнение времени относительно эпохи;
аналогичную ситуацию см.   на с.335 и в коммент. 79 к кн.Х [РА, р.520, п. 12].
34.	В указанный момент таблицы Птолемея дают А^ = 9; 10,47° Близнецов,
а = 272;13,39°,  а = 231;8,44;      = -2;40°, А^ = 14;50,20°  Близнецов;  в  
момент
наблюдения Луна находилась к востоку от меридиана, поэтому видимое положение
Луны сдвинуто вследствие параллакса в направлении последовательности знаков
относительно истинного положения [НА И, 220-221, Anm. с), а) 409, Anm. 8]. В
момент наблюдения, согласно Птолемею, долгота Юпитера и видимая долгота центра
Луны совпадают.
    35. Если пренебречь уравнением времени относительно эпохи (коммент. 33).
Для At = ly276d ДА = 53;16,52°, Да = 218;30,37>; учет уравнения времени дает
Д5 = 218;30° [РА, р.520, п.13].
    36. Положение апогея не изменилось, поскольку прецессионным движением за
два года можно пренебречь.
    37. Рис. 10.17. Задача, решаемая в настоящей главе, в целом эквивалентна
рассмотренной в кн.Х, гл.8, см. коммент. 83 к кн.Х.

38. Угол ВЕГ — внешний для треугольника BEZ, отсюда ВЕГ = BZT + EBZ.
39. ВЕК = КЕГ - ВЕГ.
    40.	Вычисления произведены неточно; согласно Дж.Тумеру, правильное значение
г=11;38р. Расхождение не является пренебрежимо малым; не вызывает, однако,
сомнения, что Птолемей в данном случае стремился получить круглое число [РА,
р.522, п.15].
41.	-240, сентябрь 4,6h; опорная звезда — д Спс (№5 в созвездии Рака;
координаты А = 10У3° Рака, в = - Уб°); для t = 506y316d18h, согласно таблице кн.
Ш,
гл.2, А0 = 9;55,32° Девы [НА И, 223, Anm. а); Ньютон, 1985, с.312; Newton, 1982,

р. 144-145]. По современным вычислениям в указанный Птолемеем момент Юпитер
находился на V40 к северу от д Спс [РА, р.522, п. 16; р.658].
    42.	Долготы в каталоге относятся к 885 г. эры Набонассара; отсюда 
промежуток
между моментом наблюдения и начальной эпохой 885 — 507 = 378. Правильнее,
однако, будет 377, поскольку наблюдение выполнено в 11-м месяце египетского 
года
[РА, р.522, п. 17].
43. Рис. 10.18 и коммент. 87 к кн.Х.
44. Как внешний угол для треугольника BZA.
    45.	Подразумевается ^соотношение ^(НВ0 + BZT + 180°) - 360° = HB0 -
— AZB = АЕА,  отсюда HB0 = АЕА + AZB = 77;2°.  В  предыдущих вычислениях
    
содержится несколько ошибок, частично компенсирующих друг друга; правильное
значение 77;0° [РА, р.524, п.19].
46.	KH.XI, ГЛ.1, с.348.
    47.	Интервал между наблюдениями Д^ = 377 х 365d+ 128d- lh = 137732;57,30d,
соответствующее приращение аномалии Да = 345 х 360° + 105;45° = 124305;45°, от-
сюда средняя скорость движения по аномалии
wa = j? = 0,9025177428 7d = 0;54,9,2,45,8,48... 7d.
В таблицах средних движений (кн.IX, гл.4), однако, используется другая величина
(со = 0;54,9,2,46,26,07d). Вычислительная процедура, рассмотренная в коммент. 
19
к кнЛХ, в данном случае не дает положительного результата. Получающаяся с ее
помощью величина (со = 0;54,9,2,42,55,52...7d) отличается от принятой в 
таблицах
еще в большей степени, чем полученная на основе наблюдений Птолемея [РА,
р.669-671 ]. Д.Ролинс заметил, что табличное значение а>а с точностью до 5-го
шестидесятеричного знака получается при делении 23400°(65 х 360°) на 25927 
dl37/225
(71 троп, год — 45/6°); неизвестно, однако, применял ли на самом деле при
определении со  Птолемей такое числовое отношение и если — да, то каким образом
оно было им получено [Rawlins, 1987, р.239, п.27].
    48.	Речь идет о наблюдении Юпитера утром с 17-го на 18-е число месяца
эпифи 507 г. эры Набонассара; см. с.349-350 и коммент. 41.
49.	X = 285;41, а = 77;2°.
    50.	Поправка за прецессию за интервал At = 507у составляет около 5;4°; в
момент наблюдения Afl = 7;13° Девы, отсюда долгота апогея в начальную эпоху
7;13° - 5;4° = 2;9° Девы.
    51. Методика определения параметров орбиты Сатурна аналогична используемой
в теории Марса (кн.Х, гл.7) и Юпитера (KH.XI, гл.1); см. также коммент. 51 кн.Х.

    52. 127, март 26, 18h; А, = 181;13°; для = 873y246d6h, согласно таблице кн.
Ш,
гл.2, А0 = 1; 12,54°.

53. 133, июнь 3, 16h; А2 = 249;40°; для t2 = 879y317d4h AQ = 9;39,16° Близнецов.

54. 136, июль 8, О*1; А3 = 284; 14°; для t3 = 882y353d0h таблицы кн.Ш, гл.2 
дают
XQ = 11;14,38° Рака. Анализ трех приведенных наблюдений средних противостояний
см. в [Czwalina, 1958, р.296-299; Ньютон, 1985, с.309 и след.; Newton, 1976].
    55.	Таким образом, в данном случае Д*, = 6y70d22h, At2 = 3y35d20h и 
соответ-
ствующие  величины  ДА,= 68;27°,  ДА2 = 34;34°,  ДА, = 75; 43°,  ДА~2 = 37;52°. 
 См.
коммент. 51 к кн.Х.
56. Рис. 10.8 и ПЛ.
57. Поскольку ЕВН = ВДГ - ВЕГ.
58. Дуга эклиптики АВГ = ДА, + ДА2 = 103;1°.
59. Дуга на эксцентре АВГ = ДА, + ДА~2 = 113;35°.
60. ZAE = ДАЕ = АДГ - АЕГ.
61. Здесь и далее у Гейберга [Hei И  396, 10] стоит 99;43р, однако расчеты
дают 99;23р — число, встречающееся также в переводе «Альмагеста» на латинский
язык Герардо Кремонского [РА, р.527, п.24].
62. ЕДДГ = АДДМ [Евклид, III, 35].
63. АД ДМ + ДК2 = АК2 [Евклид, И, 5].
62. 
64.	Величина эксцентриситета определена неточно; правильное значение АК =
= 7;3,33р [PA, р.528, n.25J.
    65.	Здесь также суммарная погрешность вычислений Птолемея достигает
существенной величины; правильное значение ЕМ = 38; 1 [РА, р.529, п.26].
66.	180° - (ГЕ - ЕМ) = ГЛ.
    67.	Речь идет об экванте; подробнее о переходе от предварительной модели
простого эксцентра к модели с эквантом см. коммент. 65 кн.Х.	Л        Л
68.	Угол EAG — внешний для треугольника ЛЕЕ,  поэтому ЛЕЕ = EAG —
-	EEG.
69. ДА,' = 9;46° Стрельца — 1;4° Весов = 68;42°.
70. ДА2' = 14;24° Козерога — 9;46° Стрельца = 34;38°.
71. Речь идет о дугах среднего расстояния к центра эпицикла от апогея.

    72. Утверждается, что третий итерационный шаг не изменит существенно
параметры орбиты   [РА, р.534, п.28 ].
73. Имеется в виду эквант.
74. Поскольку AZA — внешний угол для треугольника EAZ, АЕЛ = AZA —
-	EAZ.
75. С.352.
    76. У Гейберга |Hei II 411, 22] стоит 11; 10, однако вычисления дают 11; 1 
—
число, встречающееся также в арабских рукописях [РА, р.537, п.29].
77. С.352.
78. С.357, 359.
79. 136, июль 8; 0h; с.352 и коммент. 5.
    80. Методика определения радиуса эпицикла г аналогична используемой в 
теории
Марса (кн.Х, гл.8) и Юпитера (KH.XI, гл.2).
    81. 138, декабрь 22, 20h; «последний градус Овна» — т.е. интервал от конца
29-го до конца 30-го градусов Овна; для < = 885y115d8h таблицы кн.Ш, гл.2 дают
А0 = 28;41,14° Стрельца; опорная звезда — Альдебаран (№14 в созвездии Тельца,
А = 122/3° Тельца, § = -5'/б°); по определению Дж.Бриттона, Сатурн в указанный
Птолемеем момент имел координаты: видимая долгота At = 310;27°, в = —1;25°;
п.	п.
координаты центра Луны с учетом рефракции А^ = 310;33°, = —1;29°. Следова-
тельно, в указанный Птолемеем момент Сатурн был покрыт Луной. Данные Птолемея
о расстояниях «Луна-Сатурн» и «Л у на-Альдебаран» очень хорошо согласуются с
результатами вычислений для 19h [Britton, 1967, р.139-142], а также [НА II,
428-429, Anm. 22.1 |.
    82.	Не вполне ясно, для какого момента вычислены указанные величины.
Согласно Дж.Тумеру, здесь уравнение времени относительно эпохи Я = — 133V;
соответственно средние положения Луны как будто вычислены для t = 7;50h после
полудня, а не для 8h, однако истинная долгота слишком велика. Дж.Тумер нашел
7;50h	8h	Птолемей
Г<Г          308;52°	308;58°	308;55°
а<г            174;15°	174;20°	174;15°
Я С           309;29°	309;35°	309;40°
Параллакс по долготе, согласно таблицам KH.V, ГЛ.18, р^ =—Wf (текст: -1;6°)
|РА, р.538, п.31], а также [НА И, 410, Anm. 8].
83. 136, июль 8, с.352 и коммент. 54 к этой кн.
84. Соответственно /с = 56;30° + 30;3° = 86;33° и а = 174;44° + 134;24° = 
309;8°.
    85.	Рис. 11.21 подобен рис. 10.17 и рис. 11.10, используемым соответственно 
в
теориях Марса и Юпитера.
    
86. АЕВ = AZB - EBZ.
87. КЕВ = АЕВ - АЕК.
88. Дуга НК = 360° - 309;8° = 50;2°.
89. BKN = GBK - КЕВ.
    90.	-228, март 1, 18h; «звезда на южном плече Девы» — у Vir (№7 в созвездии
Девы; координаты X = 13V6 Девы, в = +25/ь°); «на 2 пальца ниже» — т.е. южнее
на 0;10°; для / = 518yi33d6h таблицы кн.Ш, гл.2 дают XQ = 6;8,50° Рыб, для 7h:
XQ = 6; 11,17° Рыб [НА И, 247, Anm. а)]. Анализ наблюдения см. в [Ньютон, 1985,
с.312, Newton, 1976, р.719].
    91.	Прецессионное смещение со скоростью 1° в 100 лет за 366 лет равно З^з".
Отсюда долгота звезды X = 13V00 Девы — З^з0 = 9У2° Девы.
92.	С.359.
    93.	Методика определения средней скорости движения по аномалии аналогична
используемой в теории Марса (кн.Х, гл.9) и Юпитера (KH.XI, гл.З), см. коммент. 
87
к кн.Х.
    94.	Рис. 11.22 подобен рис. 10.18 и рис. 11.11; планета находится в 0;
0В II EA;E0N	ДМ и SNB перпендикулярны к ДЗ и EN; ZK X ДВ.
95. AZB = BAZ + ABZ как внешний для треугольника BAZ.
96. 19;20° Скорпиона + 283;33° = 2;53° Девы.

    97. Поскольку а + к = у; коммент. 46 к кн.Х. Точные вычисления дают
а= 183; 16° [РА, р.543, п.36].
    98. Согласно Птолемею, за промежуток времени At = 364 х 365d + 219;45d =
= 133 079;45d средняя аномалия изменилась на величину Да = 351 х 360° +
+ 351;27° = 126 711;27°, отсюда средняя  скорость движения  по аномалии соа =
Да
=-д^-= 0;57,7,43,41,44,18 °/d, однако в кн.IX, гл.З и таблицах средних движений
планет кнЛХ, гл.4 используется другая величина: соа = 0;57,7,43,41,43,40 °/d.
Табличное значение соа Сатурна с точностью до последнего шестидесятеричного
знака получается на основе процедуры, изложенной в коммент. 19 к кнЛХ.
    99.	У Гейберга принята величина 216; 9° [Hei И 425, 14], однако должно быть
216;10°. Последнее число встречается в ряде рукописей, оно подтверждается также
приведенной ниже величиной 26;43°, зафиксированной также в таблицах кнЛХ, гл.4.
Птолемей, вероятно, допустил здесь небольшую вычислительную ошибку [НАМА,
р.182, п.15; РА, р.543, п.39].
    100.	Во время противостояния [3] апогей имел долготу 19; 20° Скорпиона 
(362);
прецессионное смещение за 5I8V3 лет со скоростью 1° в 100 лет равно 5; 11°;
вычитая, находим в начальную эпоху Afl = 14;9° Скорпиона; расхождение с текстом
может быть объяснено округлением или допущенной ошибкой [РА, р.544, п.40].
    101. До сих пор определялись средние положения планет по наблюденным
видимым положениям; теперь решается обратная задача: по известным средним
положениям (ic = AZB и а = НВК, рис. 11.23) и принятым параметрам^ орбиты
должно быть вычислено видимое положение относительно линии апсид (АЕК).
    102. Речь идет, по-видимому, о простой эксцентрической модели и о модели с
эквантом.
    103. Поскольку не связан с необходимостью аппроксимирования величин в
таблицах.
104.	Кн.Ш, гл.6 и KH.V, гл.8.
    105.	Имеется в виду величина 2е = EZ; простаферез, или уравнение центра, на
рис. 11.23 представлен углом ZBE.
106.	По экванту.

    107. По деференту, центр которого Д находится посередине между наблюдателем
Е и центром экванта Z.
    108. Кн.Х, гл.7, KH.XI, гл.1 и KH.XI, ГЛ.5, а также коммент. 51 к кн.Х, в
особенности пункты [D.l] [G.1].
    109. В «Подручных таблицах», предназначенных для практического использо-
вания, две указанные колонки объединены в одну, однако «Альмагест» — учебник
теоретической астрономии и как таковой должен включать подробности вычислений.
    ПО. Т.е. в предположении, что эпициклическое уравнение в есть функция
истинной аномалии а, отсчитываемой в прямом направлении от истинного апогея
эпицикла.
    111.	Радиусы эпициклов вычислены по отношению к радиусу деферента
R = 60Р.
112.	Согласно формуле Rmax = R + e для Сатурна 60р + 3;25р = 63;25р; для
Юпитера 60р + 2;45р = 62;45р; для Марса 60р + 6Р = 66р; для Венеры
60р + 1;15р = 61;15р; для Меркурия        = R + Зе = 60р + 3 х Зр = 69р.
113.	Согласно формуле Rmin = R — е для всех планет, кроме Меркурия, у которого
минимум расстояния имеет место при к =±120° и определяется более сложным
способом, см. кн.IX, гл.9, с.310,311.
    114.	Содержание столбцов таблицы прокомментируем, следуя [НАМА, р.183—
184], рис. 11-А и П-В соответствуют Fig.184, 185 в [НАМА, р. 1263], изменены
только некоторые обозначения. Таблицы предназначены для определения истинной

Рис. 11-А	Рис. П-В
долготы планеты (А = YEK) по известным средним положениям к, а и Afl. Очевидно,
что истинная долгота А = Ха + Kq + в, причем   KQ может быть выражена через к и
п. В таблицах представлены эксцентрическая аномалия (уравнение центра) п и
эпициклическая аномалия в как функции аргументов к и а. Столбцы 1 и 2 содержат
значения аргумента от 0° до 180° и от 180° до 360° соответственно. Обозначим,
следуя О.Нейгебауэру, функции в столбцах 3-8 через с3 + cg. Тогда с3(к) — угол,
под которым виден эксцентриситет 2е = EZ из точки экванта, где предполагается
центр эпицикла В'; с^(к) — поправка, учитывающая тот факт, что центр эпицикла
на самом деле находится в точке В деферента; отсюда уравнение центра
п = с + с . Аргументом для определения функций в колонках 5-7 служит истинная

аномалия планеты а. Эпициклическая аномалия в есть функция двух переменных —
истинной аномалии а и расстояния ЕВ = р (т.е. в конечном счете — к). Она
определяется следующим образом. Функция сЛа) дает значение в для среднего
расстояния (ЕВ = R = 60р), a cJa) и с?(а) — разности между величиной в на
среднем расстоянии и соответствующими величинами на максимальном (к = 0) и
минимальном (к = 180°, а для Меркурия к = ±120°) расстояниях. Таким образом
на максимальном расстоянии в = сЛа) — cJa),   на минимальном в = сЛа) + с?(а).
В промежуточном положении, когда величина к произвольна, в определяется с
помощью нормирующего коэффициента с8(к), который равен —1 в апогее, +1 в
перигее и 0 на среднем расстоянии соответственно, как это сделано в лунной 
теории:
в(а, к) = с Jet) + сЛ(к) х
[с5(а),   если cg S 0,
                               c?(a),   если cg > 0
(знак с-  указан в таблице), причем
О
в(а) > 0, если 0 < a < 180° (а в столбце 1),
в(а) < 0,   если   180° < a < 360° (а в столбце 2).
115.	Таким образом к = ABE = 30°.
    116. У Гейберга [Hei II, 433,4] стоит 61;26р, но правильно 61;6Р, что
подтверждается расчетами и рядом рукописей [НА II, 258, Anm. а); РА, р.547,
п.52].
    117. Для Марса, например, ГЕ = 65;24р, ЕН = 39;30р; полагая ГЕ = 120р,
находим ЕН = 72;28Л37Р, отсюда дуга на ЕН (согласно таблице хорд кн.1, гл.11)
равна 74;18,38° и ЕГН = 37;9,19° « 37;9°.
    118. Для Марса на максимальном расстоянии ГЕ : ЕН = (Л + г/г) = 66р : 
39;30р.
Полагая R + г = 12QP, находим г=71;49,5р и по таблице хорд дуга на
ЕН = 73;31,13°; отсюда ^тах = ЕГН = 36;45,36°.
    119. Для Сатурна 6;13° - 5;55,30° = 0;17,30, для Юпитера 11;3° -
- 10;36,30° = 0;26,30°; для Марса 41;10 - 37;9 = 4;1° и т.д.
    120. Для Сатурна 0;17,30:0;20 = 0;52,30; для Юпитера 0;26,30:0;29 =
= 0;54,50; для Марса 4;1 : 4;25 = 0;54,34 и т.д.
121.	Нетрудно убедиться, что значения cg на самом деле вычислены через 6° в
той области, где аргумент меняется через 3°: нечетные значения аргумента здесь
равняются всегда полусумме предшествующего и последующего значений.
122.	Рассмотрим метод вычисления с^(к), следуя О.Нейгебауэру. Пусть ц —
максимальное эпициклическое уравнение, когда центр эпицикла находится на
среднем расстоянии от наблюдателя, т — максимальное уравнение на максимальном
расстоянии, М — максимальное уравнение на минимальном расстоянии, 60(к) —
максимальное эпициклическое уравнение для произвольного к, тогда


если центр эпицикла находится между апогеем и точкой среднего расстояния, и


если центр эпицикла находится между точкой среднего расстояния и перигеем (или
между двумя перигеями для Меркурия) [НАМА, р. 185-186].
    123. В таблицы внесено шесть исправлений, согласно К.Манициусу и Дж.Тумеру
[РА, р.548, п.55].
    124. Речь идет о видимой долготе центра эпицикла к0 = к — rj и истинной
аномалии а =а + г/ (рис. 11-А).
    123. 
    125.	Знак «минус» в этом столбце означает, что центр эпицикла расположен
ближе к апогею, чем на среднем расстоянии, которому соответствует с8(к) = 0;
близость к перигею отмечается знаком «плюс».
    126.	Отсюда истинная долгота планеты по известным средним положениям
определяется следующим образом.
    1.	Исходными величинами служат Afl, к = А — Afl и а. Долгота апогея Afl = 
А0 +
+ p(t — у, где А0 — долгота апогея в начальную эпоху tQ (приводится в 
оглавлении
таблицы), р — постоянная прецессии; средняя долгота планеты А и средняя 
аномалия
а определяются по таблицам кн.IX, гл.4 (см. коммент. 26 к кнЛХ).
    2. Эксцентрическая аномалия п. В столбцах 3 и 4 для установленного к 
находим
с3(к) и с4(к) со своим знаком; отсюда п = с3 + с^.
    3. Видимое расстояние центра эпицикла от апогея KQ = к — п, причем п > 0,
если 0° < к < 180° (в первом столбце) я п < 0, если 180° < к < 360° (в столбце 
2).
    4. Истинная аномалия а =а + п, причем п > 0, если 0 <, к < 180°, и п < 0, 
если
180° ?к? 360°.
    5. Эпициклическое уравнение 0. В столбце 6, используя в качестве аргумента
а, находим с6(а) — максимальное эпициклическое уравнение на среднем расстоянии.
В столбце 8, беря в качестве аргумента к, находим с8(к). Если с8(к) < 0, то в
столбце 5 берем значение с5(а) и определяем
   в = с6(сс) + с&(к)с5(а).
Если с8(к) > 0, то в столбце 7 берем с?(а) и находим
^ = с6(а) + с8(к)с?(а).
В окончательной формуле для А величина в(а,к) берется со своим знаком, причем
0(a) > 0,   если     0 S a < 180°,
0(a) S 0,   если 180° S a < 360°.'
6.	Истинная долгота
Х=Ха + (к-п) + в=Ха + к0 + в,
где г/ а в берутся с соответствующими знаками.
    Рассмотрим три примера вычисления долготы планеты согласно методике
Птолемея.
I. Определить истинную долготу Юпитера.
    Дата: 886 г. эры Набонассара, месоре 26/27,5h после полуночи (наблюдение
Птолемея в KH.XI, ГЛ. 2, с.348).
1. Положение апогея в начальную эпоху 2;9° Девы.
Прецессионное смещение за 886 лет 8;52°.
Долгота апогея в момент наблюдения Afl = 2;9° Девы + 8;52° = 11;1° Девы =
= 161;1°.
По таблицам средних движений находим среднюю долготу и среднюю аномалию:


146; 4°
X
67;55,18°
318; 2,15°
268; 15, 6°
297:49,45°
22;33,46°
0;38,21°
to           184;41°	14
810У         95; 8,54°	6'
72у         24;27,27°	31
Зу	91; 1, 9°
330d	27;25,49°
25d	2; 4,41°
17h	0; 3,32°

1121;18,31°
885y335d17h   424;52,32°       11
Отсюда А = 64;52,32°, a = 41;18,31° (текст: 41;18°).

    Среднее расстояние центра эпицикла от апогея к = X — Afl = 263;51,32»
= 263;52°.
    2.	Эксцентрическая аномалия: по д: в столбцах 3 и 4 (таблица в KHJCI, ГЛ.
11)
находим с3 = 5;16°, с, = -0;1, отсюда г/ = 5;16° - 0;1° = 5;15° (текст: EBZ = 
10;30
половинных градусов).
3.	Видимое  расстояние  центра  эпицикла  от  апогея      = к — г/ = 262;52° +
+ 5; 15° = 269;7°; г/ < О, поскольку к в столбце 2.
    4.	Истинная аномалия а = а + rj = 41;19° - 5;15° = 36;4° (текст: 0BK = 72;6
половинных градусов).
5.	Эпициклическая аномалия: по а = 36;4° в столбце 6 находим     = 5;34°; по
ic в столбце 8 находим cg = +0; 1,52. Поскольку cg > 0, берем по а в столбце 7
е7=0;13°, отсюда в = с?6 + cgc? = 5;34° + 0;1,52° х 0;13 = 5;34 + 0;0,24 « 
5;34°
(текст: ВЕК = 11;14 половинных градусов); в > 0, поскольку а в столбце 1.
    6.	Истинная долгота Х=Х +кп+в = 161;1°+269;7°+5;34° = 75;42° = 15;42° Близ-
нецов (текст: 153/4° Близнецов).
11. Вычислить истинную долготу Меркурия.
    Дата: 486 г. эры Набонассара, паини 30,8h после полудня (наблюдение
максимальной элонгации из списка Гиппарха, KH.IX, гл.7, с.305).
1.	Положение апогея в начальную эпоху 1; 10° Весов.
Прецессионное смещение за интервал 486 лет 4;52°.
    Долгота апогея в момент наблюдения Ха — 1;10° Весов + 4;52° = 6;2° Весов =
= 186; 2°.
Средняя долгота и средняя аномалия (таблица KH.IX, гл. 4):
Г	а
to	330;45°	21,55°
486у	246; 13, 6°	49:19,50°
17у	355:52, 1°	197; 4, 3°
270d	266; 7,17°	118;48,31°
29d	28; 35, 0°	90; 5, 8°
8h	0;19,43°	1; 2, 8°
485y299d8h    1227;52, 7°    475;20,11°
 X = 147,52,7°,      5= 115;20,11°
Среднее расстояние центра эпицикла от апогея
ic = X - Ха = 147;52,7° - 186;2° = 321;50,7°.
2.	Эксцентрическая аномалия: по к в столбцах 3 и 4, интерполируя, находим
с3 = 1 ;42°,   с4 = -0;4,   г/ = с3 + с4 = 1 ;38°.
    3.	Видимое расстояние центра эпицикла KQ = ic - rj = 321;50° + 1;38° =
= 323;28° (г/ < 0, поскольку к в столбце 2).
4.	Истинная аномалия
а = а + г] = 115;20° - 1;38° = 113;42°.
5.	Эпициклическое уравнение:
по а в столбце 6 находим сЛа) = 22; 1°,

по к в столбце 8 находим cg( О, поскольку О < а < 180", т.е. а в столбце 1.
6. Истинная долгота X =      Kq+ в = 186;2°+ 323;28°+ 20;7° = 529;37°- 169;37°=
= 19;37° Девы (текст: 191/2° Девы).
III. Определить истинную долготу Венеры.
    Дата: 476 г. эры Набонассара, месоре 17/18, 18h (наблюдение Тимохариса, кн.
Х,
гл.4, с.321-322).
1. Положение апогея в начальную эпоху 16; 10° Тельца.
Прецессионное смещение за интервал 476 лет 4;46°.
    Долгота апогея в момент наблюдения Afl = 16;10° Тельца + 4;46° = 20;5б° 
Тель-
ца = 50;5б°.
Средняя долгота и средняя аномалия (таблица кн.IX, гл.4):
I	а
t0	330;45°	71; 7°
468у	246; 13, 6°	192; 1,19°
7У	358; 17,53°	135; 10,47°
330d	325; 15,35°	203;26,52°
16d	15;46,13°	9;51,51°
18h	0;44,21°	0;27,45°
475y346d18h 1277; 1, 9°   612; 5.34°
                         Л=197;1,9°;       а = 252;5,34°.
Среднее   расстояние   центра   эпицикла   от   апогея  к = X— Ха = 197;1,9°—
-	50;56° = 146;5,9°.
    2.	Эксцентрическая аномалия: по к в столбцах 3 и 4 таблицы KH.XI, гл.11,
интерполируя,   находим   с3 = 1;23°,   с4 = -0;2°,   п = 1;23° - 0;2° = 1;21°  
 (текст:
BZA = 2;44 половинных градуса).
3.	Видимое   расстояние   центра   эпицикла  от   апогея  Kq = к — л = 146;5° —
-	1;2Г = 144;44° (л > 0, поскольку 0 ? *? < 180°, т.е. ic в столбце 1).
4.	Истинная аномалия а =а + л = 252;6° + 1;2Г = 253;27°.
    5.	Эпициклическое уравнение: по а в столбце 6, интерполируя, находим
с6(а) = 40;55°; по к в столбце 8 находим с8(к) = +0;49,2. Поскольку с8(к) > 0, 
берем
из столбца 7 с?(а) = 0;46; отсюда в = с6 + cgc? = 40;55° + 0;49,2 х 0;46° = 
40;55° +
+ 0;38° = 41;33° (текст: ZAK = 83;2 половинных градуса); в < 0, поскольку
180° < а < 360°.
    6.	Истинная долгота X = Ад + Kq + в = 50;5б° + 144;44° - 41;33° = 154;7° =
= 4;7° Девы (текст: 4Уб° Девы).
    Другие примеры определения долготы планеты согласно методике Птолемея см.
в [НА II, 415-418, Anm. 14; НАМА, р.186-190; РА, р.657-658].
    
Книга двенадцатая
    1. В тексте лропупоец — буквально «предшествование», тогда как по смыслу
надо было бы сказать «попятные движения». Терминология объясняется тем, что
попятные движения планет происходят в направлении суточного движения небесной
сферы, которое и определяет предшествование и последование. — Примеч. И.Н.Весе-
ловского.
    2. В KH.IX, гл.5 Птолемей обосновывает неприменимость эксцентрической 
модели
для описания движений планет; здесь же такая возможность допускается для трех
верхних планет. На самом деле эксцентрическая модель может быть применена и
для нижних планет, если предположить, что линия апсид эксцентра вращается
относительно центра эклиптики, где находится наблюдатель, не со скоростью 
среднего
солнца (как это принято для верхних планет), а со скоростью, равной сумме
скоростей среднего солнца и средней аномалии планеты; эта величина есть не что
иное как средняя скорость гелиоцентрического движения планеты. Птолемей,
по-видимому, не обратил внимания на такую возможность.
    3. По мнению О.Нейгебауэра [НАМА, р.264 и сл.], изложенное в настоящей
главе доказательство эквивалентности эпициклической и эксцентрической моделей
при объяснении попятных движений планет принадлежит Аполлонию. Однако
Дж.Тумер считает, что оно получено самим Птолемеем [РА, р.556, п.З]. Этот
вопрос, на наш взгляд, не может быть разрешен с полной определенностью, так
как соответствующая работа Аполлония не сохранилась. Птолемей здесь приводит
собственное доказательство, которое он противопоставляет результатам своих
предшественников, а не просто излагает результаты Аполлония. Доказательство
Птолемея, однако, включает фрагменты из Аполлония. По этому поводу см. также
[SA, р.340].

4. Поскольку треугольники AAZ и FMZ, а также ААК и ГКА подобны.
5. Вследствие подобия треугольников ZNA и Z30, BNK и К20.
    6.	Термин «композиция», или componendo (truvO^vTi), обозначает сложение
отношении согласно правилу: если a: b = с: d, то (а + b): b = (с + d) : d. В 
данном
                         AZ    ВК             AZ + Z0    ВК + К0    В0
случае известно, что Ж = Ж> отсюда —^@	К0~" = К0'
    7.	Термин «выделение», или dividendo (SieXovn), обозначает обычно вычитание
отношений по правилу: если a: b = с: d, то (а — b): b = (с — d): d, но в данном
случае подразумевается деление членов отношения согласно правилу: если а: b =
= c:d, то ~:b = ^:d.   Поскольку AZ + Z0 = 20Z и В0 = 2П0, то 20Z: Z0 =
= 2П0:ОК, что после «выделения» дает OZ:Z0 = nO:0K [РА, р. 17-18, 558,
п.4].
    8. Марс совершает (согласно KH.IX, ГЛ.З, с.280-281) 37 обращений по 
аномалии
и около 42 обращений по долготе за промежуток, приблизительно равный 79 годам.
    9. Приведенная ниже лемма — единственный фрагмент в доказательстве Птоле-
мея, безусловно принадлежащий Аполлонию.

   10. [Евклид VI, 1]; площади треугольников с одинаковой высотой относятся как
их основания.
11. Поскольку ZE:Er = ZA:AB и ZA:AB = ГД:ДВ.
    12. Поскольку из всех линий, проведенных к кругу из точки вне этого круга,
наименьшая проходит через его центр [Евклид 111,8]
    Здесь сформулировано условие, которому должны удовлетворять размеры и
скорости движения в эпициклической модели, чтобы стояния в принципе оказались
возможными; обратное условие сформулировано в заключение настоящей главы.
13. [Евклид III, 15].
14. Полагая, что АВГА на рис. 12.4 есть круг эксцентра.
    15. Согласно доказанному выше (с.374), имеет место соотношение AZ: Z0 =
= ВК:К0 (рис. 12.2).
    16. Так как они опираются в круге на одинаковые дуги [Евклид 111,27].
Птолемей, таким образом, предполагает, что дуга ВА равна дуге ДМ (рис. 12.4).
    13. 
Это следует из того факта, что положение 0 на диаметре АГ фиксировано при
заданном Z, поскольку AZ : Zr = А0 : 0Г, согласно доказанному выше [РА, р.561,
п.13].
    17. Планета будет двигаться в обратном направлении по другую сторону от
точки, определяемой указанным отношением скоростей.
18. См.  с.376,  где  показано,  что  при движении  в  прямом  направлении
2 ВН : HZ > HZK: КЕН.
КЕН    ^
19.	Неравенство —*— <      о котором в данном случае идет речь (К — угловая
KZH    ус	р
скорость планеты на ее эпицикле, V — угловая скорость центра эпицикла), будет
выполнено при увеличении угла КЕН,
если одновременно происходит увели-
чение угла KZH, определяющего по-
пятное движение.
20. С.376.
    21. В гл.2-6 кн.XII при определе-
нии величин и продолжительностей по-
пятных движений Птолемей использует
один и тот же упрощенный чертеж
(рис. 12.6-12.12), на котором точка
зрения наблюдателя предполагается
совпадающей с центром деферента. На
самом же деле две указанные точки
никогда не совпадают в планетной
теории Птолемея. Правильное располо-
жение показано на рис. 12-А (заим-
ствованном из [РА, р.563]), где ин-
дексы 1, 2, 3 обозначают соответствен-
но положение эпицикла на среднем,
максимальном и минимальном рассто-
яниях от наблюдателя (аналогичный
рисунок [НА II, 278]).
    22. На среднем расстоянии, которое
имеет место в квадратурах, использу-
ется упрощенная модель, рассмотрен-
ная в предыдущей главе. Однако она
дает лишь приближенное совпадение
скоростей движения с табличными, поскольку центром вращения является здесь на
самом деле не наблюдатель, а эквант. Из-за малости эксцентриситета, однако, 
этим
можно пренебречь. В квадратурах нарушается условие, лежащее в основе теоремы
Аполлония о стояниях, а именно то, что движение центра эпицикла заставляет
планету двигаться строго перпендикулярно направлению «наблюдатель—планета».
Поэтому если мы хотим воспользоваться теоремой Аполлония, то предварительно
должны убедиться в том, что совмещение экванта и точки, в которой находится
наблюдатель, не влияет существенно на конечный результат. Подробнее см. [РА,
р.563, п.17; НАМА, р.191-192].
23. KH.XI, гл.6, с.361.
24. [Евклид III, 35].
    25. Если использовать точные значения средних суточных движений по долготе
и аномалии для Сатурна, приведенные в кн.IX гл.4, то получим отношение
1 :28;25,55. Однако Птолемей, возможно, использовал здесь не точные значения, а
округленные. Так, если ограничиться тремя шестидесятеричными знаками,
0;57,7,43 7d и 0;2,0,34 7d, то получим 1 :28;25,48 [РА, р.564, п.19], а также 
[НА
И, 279 а)].
26. Точные вычисления дают 36;21,20°.
20. 
    27. Если х — число градусов долготы, на которые продвинулся центр эпицикла,
то имеет место линейная зависимость х: 65;52,12 = 1: 28,25,46, отсюда х = 2;19,
1.
    28. Видимое смещение планеты по долготе 5;57,10° — 2; 19° = 3;38,10°; 
соответ-
ствующий промежуток времени 2;19° : 0;2,0,34 °/d = 69;lld « 69d.
    29. Птолемей предполагает, что в момент оппозиции (см. рис. 12-В) центр
эпицикла находится на линии апсид эксцентра посередине между стояниями; в

моменты же стояний он сдвинут относительно линии
апсид на небольшую величину, так что расстояние
A R	ГА от наблюдателя до центра эпицикла остается
равным максимальному R + е = 63;25р, получен-
ному в KH.XI, гл.5. Отношение скоростей на
максимальном расстоянии, как оно представляется
из Г, не совпадает с полученным ранее для среднего
расстояния. Скорость центра эпицикла будет мень-
ше, чем на среднем расстоянии, поскольку наблю-
датель в Г находится теперь дальше от А, чем
центр равномерного вращения М. С другой стороны,
скорость движения по аномалии будет казаться
увеличившейся, так как наблюдатель отсчитывает
ее теперь от истинного апогея Д, а не от среднего
апогея В. Изменения обеих скоростей определяются
изменением угла г/ = В АД = Г АО, представляющего
в одно и то же время разность между средней и
истинной долготами центра эпицикла и разность
между средней и истинной аномалиями планеты.
Он определяется с помощью таблиц KH.XI, ГЛ.11,
столбцы 3 и 4, в виде суммы п = с3(к) + сЛк), как
Рис. 12-в	функция  средней   эксцентрической  аномалии  к,
отсчитываемой от апогея эксцентра. Если с' есть
изменение г/, соответствующее Дк = 1°, то нетрудно показать, что на 
максимальном
расстоянии отношение скоростей
1 - с'
с =	--,
с + с
где с — отношение скоростей на среднем расстоянии. Полагая, что вблизи апогея
ic ~ 0, Птолемей по таблице KH.XI, гл.11 для Сатурна находит
      с' " б" [с3(6°) + CJ6">] = i [0;37° + 0;2°] = 0;6'30°>
отсюда
1°-0;6,30°	0;53,30°
с ~ 28;25,46° + 0;6,30° ~ 2Ъ;Ъг,№
Подробнее см. [НАМА, р.193-194; НА И, 418-420, Anm. 16].
    30.	В греческом тексте речь идет о попятном движении центра эпицикла, что
с астрономической точки зрения не имеет смысла. Ошибка исправлена Дж.Тумером
[РА, р.567, п.29].
    31.	Выражение «видимое движение» по эпициклу означает здесь движение
относительно истинного, а не среднего апогея, см. также коммент. 29.
32.	Можно предположить,  как это делает К.Манициус  [НА II, 283],  что
0*53 30
указанная величина получена на основе отношения 67;15,17 х ^^-j^ = 2;6,5,
однако это неверно. Действительный метод определения перемещения по долготе
планеты для максимального и минимального расстояний объясняется в конце гл.6
KH.XII (с.388). Согласно этому методу находим к' = 67;15,17 х ?8.Л     = 2;21,
24°.

Установленной величине АС' соответствует уравнение »7 = 0;15,19°; вычитая его 
из
67;15,17°, получаем приблизительно 67°. Затем находим к = 67° х 28-25 46 = 2:21,
25е.
Отсюда к = к - л = 2;21,25° - 0;15,19° = 2;6,6°, см. [РА, р.567, п.31 ], а 
также
коммент. 94.
33. 2;21,25 °: 0;2,0,33 7d = 70;24d » 701/за.
34. В перигее эксцентра расстояние центра эпицикла от наблюдателя ГА =
с - с'
= R — е = 56;35р.   Отношение  скоростей  определяется  формулой  с = ^ +  ».  
см-
коммент. 29. Для аргумента АС » 177° (180° - 3°) по таблице KH.XI, ГЛ.11 для 
Сатурна
находим
    с' = \ [с3(177°) + с4(177*)] = \ [0;24° - 0;2°] = 0;7,20°,
отсюда
1 + 0;7,20°	1;7,20°
с ~ 28;25,46° - 0;7,20°    28;\%Ж
Подробнее см. [НАМА, р.196; РА, р.568, п.32].
    35.	У Гейберга [Hei II 471, 20] стоит 864;49,50, но должно быть, как 
показал
Дж.Тумер, 864;49,58 [РА, р.568, п.36].
36.	Должно быть 1;54,41 [РА, р.568, п.36].
    37.	Вычисления аналогичны рассмотренным в коммент. 32. Находим АС' =
= 64;31,10°х28.118 26 = 2;16,45°.  При к= 180° - 2; 16,45° уравнение л = 0; 16,
43°.
Отсюда в + л = 64;31,10° + 0; 16,43° = 64;47,53°. Результат умножаем на 28-25 
46'
что дает АС = 2;16,45°. Отсюда АС = АС + л = 2;16,45° + 0;16,43° = 2;33,28°. 
См! [РА,
р.569, п.38 1 и коммент. 94 к кн.XII.
38.	2; 16,45°: 0;2,0,33°/d = 67;51d « 68d.
    39. Расчет попятных движений Юпитера производится по той же схеме, что у
Сатурна. См. коммент. к гл.2 кн.XII.
    40. Указанное в кн.IX, гл.З (с.280) соотношение периодов для Юпитера 
приводит
к отношению скоростей 2155!/б°: 23 400° = 1 : 10;51,27,28; если же взять 
табличные
значения в гл.1Х, кн.4, ограничившись, как это делает Дж.Тумер в [РА, р.569,
п.39], тремя шестидесятеричными знаками, получаем
0;4,59,14°/d : 0;54,9,3°/d = 1 : 10;51,28,29.
    41.	Вычислительная ошибка Птолемея; правильное значение 139;36,48 [РА, р.
570,
п.401.
42. В действительности 54;21,38°: 10;51,29 = 5;0,23°.
43. 5; 1,24°: 0;4,59,14 °/d = 60;26d * 60V2d.
    44.	Поэтому мы вправе считать, что центр эпицикла находится на среднем
расстоянии в интервале между двумя стояниями.
45.	Согласно таблицам KH.XI, гл.11 (с.368) для Юпитера
    с' = ^(0;30° + 0;Г) = 0;5,10°,
отсюда
1-0;5,10	0;54,50
0    10;51,29 + 0;5,10    10;56,39-
См. коммент. 29 к кн.XII.
    46.	Точнее, 57;6,15, однако последующие вычисления в тексте основываются на
неточной величине [РА, р.574, п.44].
    
    47. Вычислялось согласно методике, изложенной в конце гл.6, кн.ХИ, с.388; 
см.
коммент. 94 и [РА, р.571, п.45].
48. 5;6,35°: 0;4,59 °/d = 61;28d = 61Vid.
    49. Уравнение, соответствующее 1° эксцентрической аномалии, согласно 
таблицам
гл.11 KH.XI (с.368) для Юпитера, с' = | (0;18° - 0;1°) = 0;5,40°.
    Отношение скоростей с = 10.51*9^0^5 49 = 1;5,40: 10;45,49. См. коммент. 34
к кн.ХИ.
    50. Вычислялось согласно методике, рассмотренной в гл.6, кн.ХИ, коммент. 96,

см. также [РА, р.572, п.47].
51. 4;54,20°: 0;4,59 7d = 59;ld » 59d.
    52. Отношение скоростей в обоих случаях, если взять точные периоды для 
Марса
в KH.IX, гл.З, с.280-281 [(42 х 360° + 3;10°): (37 х 360°)] или же их 
приближенные
значения из таблиц в кн.ГХ, гл.4 (0;31,26,36:0;27,41,40), составит 1 :0;52,50,
46.
53. Кн.Х, гл.8 и KH.XI, гл.10.
    54. Точнее, 803;50,33; однако ошибка не влияет на дальнейшие вычисления [РА,

р.572, п.49].
55. 16;50,48 х (1 : 0;52,51) = 19;7,33°.
56. 19;7,33°: 0;31,26,37 7d » 36;30d = 36i/2d.
    57. В данном случае нельзя пренебречь изменением расстояния ГА (рис. 12-В)
при удалении центра эпицикла от линии апсид эксцентра ГА0 на величину
АС = 19°, как это имело место в аналогичной ситуации для Сатурна и Юпитера (где
к ~ 2° и 5°) (с.380-381 и коммент. 29). Согласно О.Нейгебауэру, в апогее 
эксцентра
ГА = R + е - 0;15р = 65;45,5Р, в перигее ГА = R — е — 0;26р = 54;26,27р; Птоле-
мей берет среднее из этих значений: ± ^ (0;15 + 0;26) = ±0;20р [НАМА, р.200].
Однако Дж.Тумер приводит другие значения: в апогее при АС = 19;7,33° ГА =
= 65;38,12р = 65р - 0;22р; в перигее при АС = 160;52,27° ГА = 54;17,56р » 54р +
+ 0;18р; средняя величина отклонения ±0;20р [РА, р.573, п.50].
58.	Величина с' (см. коммент. 29) здесь определяется в интервале 18° S АС ? 
24°;
соответственно (KH.XI, ГЛ.11, с.369) с'= i (4;16° - 3;13°) = 0;10,30° (причина 
рас-
хождения с величиной Птолемея неясна); отсюда отношение скоростей в апогее
1 -0:10,20	40-1.3 11
с    0;52,51 + 0,10,20    и'чу,чи •
59. Точнее, 81;13,28 [РА, р.574, п.52].
    60. Метод, с помощью которого вычислены эти величины, поясняется Птолемеем
в конце гл.6 кн.ХИ, с.388, см. также коммент. 94.
61. 20;58,21°: 0;31,26,37 7d = 40;ld = 40d.
    62. Величина с' (см. коммент. 29) определяется здесь в интервале
159° < к < 162°; соответственно
с' = ^ (4;33° - 3;55°) = 0; 12,40°.
Отсюда отношение скоростей
С =	-1:12.40:0:40.11.
63. Точнее, 127;40,3 [РА, р.575, п.55].
    64. Вычисления производились согласно методике кн.ХИ, гл.6, с.388, см. 
также
коммент. 94.
    63. 
65.	16;52,52°: 0;31,26,37 7d = 32;13d = 32V4d.
    66. Отношение скоростей, согласно соотношению периодов для Венеры, приве-
денному в кнЛХ, гл.З, с.281: [(5 х 360°): (8 х 360° - 2;15°)] = 1 : 0;37,31,45; 
если
же оставить первые три шестидесятеричных знака в табличных значениях скоростей,
получим 0;36,59,26 : 0;59,8,17 = 1 : 0;37,32.
    67. Так после исправления Гейбергом приведенной в тексте величины 1057;56;
однако Дж.Тумер настаивает на исправлении 1057;51, согласующемся с дальнейшими
вычислениями [РА, р.575, п.58].

68. 12;52,24 х	= 20;35,17.
69. 20;35,19°: 0;59,8,17 7d = 20;53d » 205/6d.
    70.	Здесь, как и в случае Марса, нельзя пренебречь изменением расстояния
ГА при удалении центра эпицикла от линии апсид в моменты стояний на вели-
чину    А: = 20;35,19°.     Согласно  О.Нейгебауэру,   при  указанном  АС   в   
апогее
ГА = R + е - 0;4,26р = 61;10,34р, в перигее ГА = R — е + 0;5,7Р = 58;50р, что 
со-
гласуется с данными Птолемея; такой же приблизительно результат получен
Дж.Тумером [РА, р.577, п.60].
71.	Величина с' определяется в интервале 18° ? АС S 24°; согласно таблицам
неравенства для Венеры (KH.XI, гл.11, с.370) с' = ^ (0;58° - 0;43°) = 0;2,30°, 
что не
согласуется с величиной Птолемея. Возможно, здесь Птолемей ошибочно взял
значение суммы с, + с   в интервале 12° < АС S 18°, где приращение функции
0-14°
составляет 0;14° и с' =        = 0;2,30°. Отсюда
        1 - 0;2,20        0;57,40
с ~ 0;37,31 + 0;2,20 ~ 0;39,5Г
    72.	Вычислялось согласно методике, изложенной в конце кн.XII, гл.6, с.388; 
см.
также коммент. 94 и [РА, р.577, п.62].
73.	21;9,3°: 0;59,8,17 7d = 21;28d » 211/га.
74.	Таблицы  неравенств  Венеры   (KH.XI,   гл.11;   с.370)  дают  в  интервале
159° < АС < 162° с' = ^ (0;51° - 0;45°) = 0;2°. Величина с', вычисленная по 
таблицам,
и на этот раз не совпадает с используемой Птолемеем. Птолемеевское значение
получим, если пренебрежем изменением с^. Далее,
1 + 0;2,20	1;2,20
с~ 0;37,31 - 0;2,20 ~ 0;35,11
[НАМА, р.200; РА, р.577, п.63].
    75. Вычисления производились согласно методике, изложенной в кн.ХН, гл.6,
с.388; см. также коммент. 94 и [РА, р.578, п.65].
76. 20;4,30°: 0;59,8,17 7d = 20;22d » 20V3U.
    77. Периодические соотношения для Меркурия, приведенные в кнЛХ, гл.З, с.281,

дают (145 х 360°): (46 х 360° + Г) = 1 : 3;9,7; если ограничиться двумя 
шестидеся-
теричными знаками табличных значений, получаем 0;59,8 :3;6,24 = 3;9,7,54 =
- 3;9,8.
78. 34;56,12:3;9,8 = 11;4,59°.
79. Д* = 34;56,12°: 3;6,24 7d = ll;15,56d = HV4d.
75. 
80.	В интервале 6° ? АС < 18° (см. таблицу KH.XI, гл.11, с.371) с' =      (0;47 
-
- 0;17) = 0;2,30°; в интервале 6°sicS 12° получаем то же значение; вероятно,
Птолемеем допущена здесь вычислительная ошибка.
81.	Отношение скоростей
      1 - 0;2,20      0;57,40
с " 3;9,8 + 0;2,20 " 3;11,28*
    82. В апогее эксцентра Меркурия ГА = R + Ъе = 69р; при АС = 11;30°, соглас-
но [НАМА, р.201], ГА = 68;38,46р = 69р-0;21,14р; согласно [РА, р.580, п.69]
ГА = 68;37р, значение же, которое приводит Птолемей, получается при АС = 11;40°.

    83. Вычислительная ошибка Птолемея; на самом деле дуга на ©Г равняется
152;22° [РА, р.580, п.70].
84. Вычислительная ошибка; должно быть   76; 13,58° - 43; 15,32° = 32;58,26°.
    85. Вычисления производились согласно методикам, описанным в конце настоя-
щей главы; см. коммент. 94.
86- №J = 10:26d " 101/2<1-
    87.	Меркурий находится на минимальном расстоянии от наблюдателя, в двух
точках орбиты при к =±120°; величина с' поэтому должна определяться в
двух  промежутках   108° < АС ? 111°  и   129° < АС < 132°.   В  первом  случае 
 с'=
= ^(2;56° - 2;53°) = 0;1°,  во втором с' = | (2;24° - 2;18°) = 0;2.  Птолемей 
берет
среднее значение.
88.	Отношение скоростей
      1+0;1,30      1;1,30
с~ 3;9,8 -0;1,30 ~ 3;7,38'
    89.	В данном случае необходимо различать две ситуации, когда стояния
происходят  до   (АС = 120° - 11V2° = 1081/2°)   и  после   (АС = 120°+ 11V2° = 
131
перигея.   В   первом   случае,   согласно   [НАМА,   р.201 ],   ГА = 55;45р= 
55;34р +

+ 0; 11р (55;34р — минимальное расстояние); во втором
ГА = 55;41р = 55;34р + 0;7Р; Птолемей берет величину
ГА из этого промежутка. Но, согласно [НАМА, р.581,
п.74], в первом случае ГА = 55;45,50р, во втором —
55;41,58р; возможно поэтому, что Птолемей здесь вы-
числял   только   одно   значение   ГА,   а   именно  для
АС = 1311/2°.
    90.	О методике вычисления этих величин см. с.388 и
коммент. 94.
91.	11;21,30°: 0;59,8 7d = ll;31,29d » UV26.
    92.	Согласно О.Нейгебауэру [НА И, 291, 301], приве-
денная ниже вычислительная процедура перенесена сюда
в античности из гл.4 кн.ХИ, посвященной Марсу. Однако
Рис. 12-с	Дж.Тумер показал, что она применяется не только в
                             случае Марса, но и для всех остальных планет. Дж.
Тумер
правильно отмечает, что Птолемей нередко поясняет свои вычислительные методы
не там, где они впервые встречаются, а в конце соответствующего раздела [РА,
р.582, п.76].
93. Кн.ХИ, гл.4, с.383.
    94. Метод вычислений Птолемея поясняется на рис. 12-С, соответствующем с
небольшими изменениями [PA, р.582, Fig. R]. В момент оппозиции центр эпицикла
находится в апогее, а планета на линии апсид эксцентра. В момент второго 
стояния
центр эпицикла находится в С, а планета в S, при этом средняя аномалия планеты
    93. 
равна к, истинная аномалия — к и неравенство (простаферез) — п. Известно, что
«видимая "дуга эпицикла от каждого из стояний до оппозиции», т.е. угол XCS = Р,
составляет 22; 13,19°; требуется найти к и АС. Задача решается следующим 
образом.
1.	Находим приближенное значение средней эксцентрической аномалии
         в       22-13 19°
#? = =-^r =   i'.3 и   = 21;10° <точнее- 21;6,8°)
(в перигее делим на с — с').
2.	На основе Jc' по таблицам KH.XI гл.11, с.369 находим п = с3 + с4 = 3;45°
(точнее 3;46,15°).
3. Отсюда угол ZCS = в — tj = 18;28,19° (в перигее складываем р + п).
4. Находим точное значение средней эксцентрической аномалии
АС = Р-^-З- = ^§7Г = 20;58,21° (точнее, 20;58,15°).
5.	Отсюда истинная эксцентрическая аномалия
к = к-г) = 17;13,21°
(в перигее АС = АС + п).
Другие примеры вычислений см. коммент. 32, 37, а также [НАМА, р. 198].
    95. Для определения положений точек стояний на эпицикле при произвольных
АС необходимо знать соответствующие расстояния центра эпицикла от наблюдателя.
Таблица расстояний р(АС), хотя и не приводится в явном виде, использовалась
Птолемеем в KH.XI, гл. 10 при вычислении планетной аномалии. Вероятно, этой
таблицей он воспользовался и в данном случае.
    96. Параметры стояний, вычисленные в кн.ХИ гл.2-6, относятся к ситуации,
когда центр эпицикла в моменты стояний сдвинут на некоторую величину
относительно линии апсид; теперь же требуется найти

положения  точек  стояний   на  эпицикле,   когда  центр
эпицикла совпадает с апогеем или перигеем эксцентра.
97. Кн.ХИ, гл.2, с.379, 380.
98. Кн.ХИ, гл.З, с.382.
99. Кн.ХИ, гл.4, с.383.
100.	При к = 20;58°.
    101.	Птолемей определяет положение точек стояний на
эпицикле (угол ZAH = /3 на рис. 12-D) в момент, когда
центр эпицикла А совпадает с апогеем эксцентра Ад. Угол
в есть функция к. Известна величина дв — изменение
угла в при перемещении центра эпицикла от точки
среднего расстояния планеты до максимального. Известно
соответствующее изменение др расстояния АГ = р. Изве-
стно также изменение Др = е расстояния АГ при переме-	Рис- 12"D
щении центра эпицикла от точки среднего расстояния до апогея Ад. Птолемей далее
предполагает линейный характер зависимости в(к) от р. Отсюда
    Д8 = §Др
и, следовательно,
Р(0°)=р + др|?,
где /?(0°) — расстояние по аномалии от перигея эпицикла до точки стояния
при к = 0°, ft — величина /3 на среднем расстоянии. В данном случае /3 = 16;51°,

др = 22; 13° - 1б;51° = 5;22°; др = 65;40Р - 60" = 5;А0Р; Др = 6Р, отсюда
Р(0°) = 16;51° + 6Р х ^Щ- = 16;51° + 5;41° = 22;32°.
5-АОР

    Видимая эпициклическая аномалия для первого и второго стояний определяется
отсюда как а(0°) = 180° ±?(0°).
    Аналогичная процедура для определения в(0°) и а(0°) применяется также и в
случае Венеры и Меркурия [НАМА, р.202-203; SA, р.349-351 ].
102. Кн.ХИ, гл.4, с.384.
103. Здесь Р = 16;51°;  дв = 16;5Г - 11;11° = 5;40°;  др = 60" - 54;20р = 
5;40р;
5-40"
Др = 6Р. Отсюда /3(180°) = 16;51° - 6Р х -^Ц- = 10;5Г.
104. Кн.ХИ, гл.5, с.385.
105. Кн.ХИ, гл.5, с.386.
106. Кн.ХИ, гл.6, с.387.
107. Кн.ХИ, гл.6, с.387. _
108. При произвольном к возможны два случая:
1.	AT = p(ic) > R = 60р; тогда
др(к) = р(к) — /?,     Ар = Rmax - R,
A8=/J(0°)-JS,     6B(K)=j?dp(K)

2.	АГ = р(к) < R, тогда
дР(к) = R -р(к),   Ap = *-*min,	ЬВ=Р-В(кМп),
причем   кш1п = 180°  для   Марса   и	Венеры,   но   кш1п=±120°  для   
Меркурия;
= j?dp(jc) и В(к)=р- 8В(к).
   Зная В(к), находим аномалию а = 180° ± В(к), зафиксированную в таблицах
[НАМА, р.204-205].
109.	KH.XI, ГЛ.10, с.366.
    ПО. Для каждой планеты в таблице приводятся значения видимой аномалии
а для первого и второго стояний как функции средней аномалии к (рис. 12-D).
111.	Кн.1Х, гл.7 и кн.Х, гл.1.
    112. «Наибольшее отклонение», или максимальная элонгация (5юотиоц или
аяботаац) Меркурия и Венеры (от Солица), определяется, согласно Птолемею, как
максимум разности истинных долгот планеты и Солнца. Величина разности зависит
от расстояния центра эпицикла планеты от наблюдателя и, следовательно, от
положения его относительно линии апсид. Птолемей стремится построить таблицу
значений максимальной элонгации как функции долготы планеты. Однако максималь-
ные элонгации вычисляются им только для крайних точек знаков зодиака;
промежуточные значения должны затем определяться линейной интерполяцией. С
течением времени вследствие прецессии изменяется положение линии апсид
относительно точки весеннего равноденствия, что приводит к изменению табличных
значений максимальной элонгации. Таблицы поэтому должны периодически обнов-
ляться.
    113. Вычисление максимальной элонгации Венеры, как утренней, так и вечерней,

производится по стандартной схеме. В момент, когда планета находится в точке
в (рис. 12.13) касания эпицикла прямой из А, считаются известными: истинная
долгота планеты Я (одно из фиксированных в таблице значений: 0° Овна, 0° Тельца,

0° Близнецов и т.д.), параметры движения Венеры и Солнца, в частности долгота
ее апогея Afl = 25° Тельца и долгота солнечного апогея X(AQ) = 5;30° Близнецов.
Требуется определить истинную долготу Солнца XQ. Решение: по известным Я и
Ха находим среднюю эксцентрическую аномалию планеты к (ABZ на рис. 12.13) и
долготу центра эпицикла X = Ха - к = XQ; поскольку известна X(AQ), также 
известна

и солнечная аномалия Kq= kQ— k(AQ) и уравнение c(jcQ), определяемое по таблицам
кн.Ш, гл.6; отсюда к~ = А_ + с(к_) и максимальная элонгация ДА     =я     =
О      О      4 О'	max     'max
= |A-AQ|. Подробнее см. [НАМА, р.231-232; SA, р.351-354].
    114. Здесь к = ABZ = 10;35°, А = к- к = 25° Тельца - 10;35° = 14;25° Тельца 
=
= А0, к~0 = А0-А(Л0) = 338;55°, отсюда с(к) =+0;49°, kQ = 14;25° Тельца + 0;49° 
=
= 15; 14° Тельца и ДАтах = 15; 14° Тельца - 0° Овна = 45; 14°.
    115. Здесь к = ABZ = 103;35°, А = Afl - к = 25° Тельца - 103;35° = 11;25° 
Водо-
лея = А0, /с0 = 11 ;26° Водолея - 5;30° Близнецов = 245;55° » 246°, с(к) = +2; 
13°,
отсюда AQ = 11;25° Водолея + 2; 13° = 13;38° Водолея и ДАтах = 360° - 13;38° 
Водо-
лея = 46;22°.
116. Кн.ХШ, гл.8.
    117. В кинематической модели, принятой для описания движения Меркурия,
среднее положение планеты в максимальной элонгации не определяется однозначно
по известному истинному положению (как это имеет место в случае Венеры),
поскольку при заданном направлении Д© положение деферента, а значит, и
расстояние TZ от его центра до центра эпицикла варьируется. Поэтому Птолемей
здесь решает обратную задачу. Он находит_по двум известным средним положениям,
характеризуемым средней аномалией #Сц /с2, соответствующие значения kQ1, kQ2 и
Aj, А2, считая, что планета находится в максимальной элонгации. Значения Jc ,
*2 выбираются таким образом, чтобы искомое табличное значение долготы планеты
А (0° Овна, 0° Тельца и т.д.) попадало в интервал Aj < А < А2. Соответствующее
А значение ДАтах определяется затем линейной интерполяцией.
118. Кн.1Х, гл.9, с.309.
    119. Птолемей определяет ДАтах для случая, когда истинная долгота Меркурия
А = 0° Скорпиона. Полагая к, = 0°, находим Aj =Afl — ^ =AG] = 10° Весов, lcQl =
= A0| - А(Л0) = 10° Весов - 5;30° Близнецов = 124;30°, cQcQ]) = -2°, AQ, = AQ, 
-
— c(k~Qi) = 8° Весов. Этому значению kQi соответствует истинная долгота планеты
Aj = 29;2° Весов, отсюда ДАтах1 = \k{ — kQi \ = 21;2°. Полагая далее к~2 = 3°, 
находим
А2 = кц + к2 = А02 = 10° Весов + 3° = 13° Весов; KQ2 = k^2-k(AQ) = ^"Ве-
сов - 5;30° Близнецов = 127;30°; c(icQ2) = -1;56°, kQ2 = kQ2 - c(jcQ2) = 13° 
Ве-
сов - I ;56° = 11 ;4° Весов; полученному значению kQ2 соответствует А2 = 1;55°
Скорпиона, отсюда ДА_„   = |А. - А—, I = 20;51°.
    Табличное значение А = 0° Скорпиона попадает в интервал А, < А < А2, отсюда
линейной интерполяцией находим
                 (ДА    . - ДА    _)(А - А,)
max -     maxl	(Д^ - Д^	~
О-11° v IV W
= 2i;2° - • 2-53»   = 21=2° - °;4° = 2°;58°-
    120. Методика определения ДАтах для А = 0° Тельца аналогична рассмотренной
в коммент. 119.
    121. Указанная величина зафиксирована во всех рукописях, но, как показал
Дж.Тумер, здесь должно быть 55;53р — величина, соответствующая предшествующим
и последующим вычислениям [РА, р.597, п. 100].
    120. 
    122.	Здесь Zvydc, — «Весы»; в других местах почти всегда Xn^ai — «Клешни». 
—
Примеч. И.Н.Веселовского.
123.	Вычислительная ошибка Птолемея; должно быть 18;54° [НАМА, р.234, п.10].

КНИГА ТРИНАДЦАТАЯ


1. Таким образом, движение планеты по широте Птолемей рассматривает как
аномалию, т.е. как отклонение истинного положения планеты от среднего, причем
последнее определяется плоскостью эклиптики. Две составляющие этого движения
могут быть выявлены на основе наблюдений. Так, в случае верхних планет наблю-
дается постепенное изменение широты, которая на протяжении одного периода обра-
щения по долготе положительна на одной половине эклиптики
и отрицательна на другой. Изменение широты будет носить
такой характер, если деферент наклонен к плоскости
эклиптики. На фоне плавного изменения наблюдаются также
резкие колебания широты во время попятных движений,
связанные, согласно Птолемею, с движением планеты по
эпициклу. Сопоставление теории Птолемея с действительным
изменением широт планет см. в [НАМА, р.1255-56, Fig.155-
156].
2.	Кн.ХШ, гл.4, а также KH.IX, гл.6, с.299.
    3.	Утверждение Птолемея носит скорее качественный, а
не математический характер; в противном случае приходим
к противоречию. Половина эксцентра, прилегающая к апогею, отклонена всегда к
северу от эклиптики лишь в том случае, если апогей эксцентра А совпадает с
наиболее северной точкой деферента N, что выполняется только для Марса (рис. 
13-А
и коммент. 5).
    4. К северу от эклиптики эпицикл ориентирован таким образом, что его 
перигей
будет всегда севернее плоскости деферента.
    5. В основе расчетов движения верхних планет по широте лежат следующие
значения долгот наиболее северной точки деферента X(N) и апогея эксцентра 
планеты
А(А):

МарсЮпитерСатурнЛ(ло~120;00°
115;30°180°
161°180°
233°Для верхних планет, таким образом, справедливо соотношение | — Я(А) | <
< 90°, свидетельствующее о том, что апогеи расположены к северу от эклиптики.
    6. Если деферент отклонен к северу от эклиптики, то перигеи эпицикла — к
северу от деферента, и наоборот, если деферент отклонен к югу, то перигей 
эпицик-
ла — также к югу.
    7. В апогее и перигее эксцентра, которые в случае Венеры и Меркурия 
совпадают
с наиболее северной и южной точками деферента, наклон эпицикла к эклиптике,
измеренный в плоскости, проходящей через центры эпицикла и эклиптики
(рис. 13-В) перпендикулярно последней, равен наклону деферента; другими словами,

в наиболее северной и южной точках деферента г, = 0.
8.	Имеются в виду не сами планеты, а центры их эпициклов.
    9.	Это возможно лишь в том случае, если наклон деферента к плоскости
эклиптики »0 = 0 (рис. 13-В), когда центр эпицикла находится в узлах планетной
орбиты, т.е. в точках пересечения деферента и эклиптики.
    10.	Для определения меняющегося наклона плоскости эпицикла относительно
деферента Птолемей использует два диаметра эпицикла  _ 5,45 - 1;16 _ 4;29 .5
с6(183) + с5(183)    5;45+1;16     8;5    9"
См. [НАМА, р.209-210], а также [Тоотег, 1977, р. 141; SA, р.363].
    34.	Лемма: если даны две величины Л и В и отношение IIт двух других величин
С и D таких, что А = х + С и В = х + D, то справедливы соотношения
С = /^4,     D=m^A.
т — Г	т — I
Доказательство см. в [РА, р.604, п.26].	^
35.	В данном случае АЕК(Л) = 41/3°, ВЕЕ(В) = 7°, ГЕК(С) = — = 5/9, АЕГ =
ДЕЕ(?»)    т
= ВЕД = х = | iQ | , причем АЕК = АЕГ + ГЕК и BEE = ВЕД + ДЕЕ; условия леммы
выполнены, отсюда находим
ГЕК = 5х^^ = ^^=3./з°,
ДЕЕ = 9х^ = ^ = 6°.
    36.	Метод определения величины г'2 = 2; 15° аналогичен рассмотренному в
коммент. 29, 31. Таблицы аномалии Марса KH.XI, гл.11, с.369, столбцы 5-7 дают
при а = 180°-2;15°   в апогее   (5;45 - 1;16) х Щ5- = 3;22°,   в перигее (5;45+
+ 2;20) х Щ^- = 6;4°. См. также [НА II, 424, Anm. 19; РА, р.604, п.27].
37.	Эксцентриситеты и радиусы эпициклов Сатурна и Юпитера невелики,
поэтому на рис. 13.1 АЕК«ВЕД и процедура, использованная для нахождения
параметров орбиты Марса iQ и i{, не может быть применена. Величины г'0 и i{

орбит Сатурна и Юпитера определяются из наблюдений широты планеты в апогее
и перигее эпицикла в предположении, что его центр находится на среднем 
расстоянии
от наблюдателя. Для Сатурна наблюдения дают АЕН = 2°, АЕК = 3°, для
Юпитера — АЕН = 2°, АЕК = 1°. В апогее эпицикла (в соединении) планета не
видна, ее широта в этот момент определяется интерполяцией из наблюдений широты
в моменты первой и последней видимости.
    38. Процедура определения отношения углов ZEH и ZEK аналогична рассмот-
ренной в коммент. 33, с тем отличием, что эпициклическое уравнение берется из
столбца 6 таблицы KH.XI, гл.11, с.368 для среднего расстояния для значений сс,
близких к 0° и 180°. Соответственно находим
ZEH
для Сатурна и
18
ZEK
ZEH
ZEK
0;43    43       щ
?ф^ =     для Юпитера.
с6(183> _ 0[23 = 23
~ 0;18
с6(ИЗ)
См. [НАМА, р.211] и уточнения в [РА, р.604, п.28].
39. См. коммент. 29, 31, 36. Таблица KH.XI, ГЛ.11, с.367, столбец 6 для Сатурна
дает при « = 41/2°    ZEH = с6(4Уг°) = 0;36 х= 0;27,    при    сс = 180° + 4W

ZEK = с Л 184У2°) =0;23х

Y = 0;34,30°;   для   Юпитера   при   сс = 21/2°   ZEH =
при     сс = 180° + 21/2°     ZEK = cfi( 182^2°) =

= 0;43 х       = 0;35,50°. См. также [РА, р.605, п.29; НА II,   424-425, Anm. 
20].
    40. Речь идет о табл. кн.ХШ, гл.5 для вычисления широты. В столбцах 1 и 2
приведены значения аномалии сс, отсчитываемые от апогея эпицикла; в столбцах 3
и 4 (в случае верхних планет) величины с3(сс) и с4(сс) — широта планеты как
функция сс, когда центр эпицикла находится соответственно в наиболее северной и
наиболее южной точках деферента; (в случае Венеры и Меркурия) с3(сс) — широта
планеты, когда центр эпицикла находится в узлах, с4(сс) — широта, обусловленная
наклоном эпицикла, относительно оси d2, когда его центр находится в наиболее
северной или наиболее южной точках деферента. Смысл 5-го столбца рассматрива-
емой таблицы поясняется ниже на
с.418, 419, см. также коммент. 76.
    41. На рис. 13.2 представлена си-
туация, когда центр эпицикла в узле,
и поэтому iQ = 0, *2 = 0, i, = ilmx.
Широта планеты в этом случае опре-
деляется только наклоном эпицикла
относительно оси dx = ZH. Точка Г,
согласно рис. 13.2, лежит на эпи-
цикле, однако это неверно. Прямая
АГ в действительности пересекает
плоскость эпицикла в единственной
точке В. Ситуация, представленная на рис. 13.2 (и подобных ему рис. 13.4, 13.6),

поясняется на рис. 13-Е.
    42. Центр эпицикла Венеры находится на среднем расстоянии АВ = ЬОР при
к0 = 90°, т.е. как раз в узле ее орбиты.
    43. Ранее при определении эпициклической аномалии планеты (таблица KH.XI,
гл.11) предполагалось, что широта планеты равна нулю. Учет широты влияет на
величину аномалии. Чтобы оценить соответствующие изменения, Птолемей срав-
    42. 
нивает для каждой планеты значения аномалии, вычисленные с помощью наклонной
и плоской моделей при а = 135°. Расхождение оказывается в каждом случае не
столь значительным, чтобы его можно было заметить при наблюдении.
    44.	Согласно таблице KH.XI, гл.11, с.370 для Венеры эпициклическая аномалия
на среднем расстоянии при а = 135° равна 45;59°; таким образом, здесь имеет 
место
почти полное совпадение величин аномалии, полученных на основании плоской
модели и модели с наклоном.
45.	Указанное значение АВ не приводится больше нигде в «Альмагесте». Согласно
расчетам О.Нейгебауэра [НАМА, р.221 ], АВ = 56;37р; согласно Дж.Тумеру [РА,
р.609, п.33], АВ = 56;43,9Р. Вероятно, Птолемей вычислял расстояния АВ до 
центра
эпицикла Меркурия для всех точек орбиты, представленных в таблице KH.XI, гл.11.
Эта не вошедшая в «Альмагест» таблица расстояний, вероятно, имеется в виду в
данном случае.

    46. Наклона эксцентра, который постоянен, и наклона эпицикла, который,
согласно Птолемею, имеет у верхних планет максимальную величину в апогее и
перигее эксцентра.
    47. См. также рис. 13-F, за-
имствованный с небольшими изме-
нениями из [PA, р.612, Fig.T].
48.	Кн.ХШ, гл.1, с.398.
    49. Согласно Дж.Тумеру, АГ=
= 62;8,21р, если центр эпицикла
имеет долготу 0° Весов, а апогей
эксцентра — 20° Скорпиона [РА,
р.613, п.35].
    50. Если    наиболее северная
часть деферента находится на 0°
Весов, то наиболее южная — на	Рис. 13-F
0° Овна; согласно Дж.Тумеру, точ-
ные вычисления дают АГ = 57;44,48р [РА, р.614, п.37].
51.	С.408.
    52.	Если для перигея эксцентра разница простаферезов по долготе для плоской
и наклонной орбит мала, то для апогея она должна быть еще меньше; сравнение
поэтому производить не нужно.
53.	Ранее   (с.408)  было  показано,  что  если ГО = 120",   то  ГК(= KG) =
= 84;52р; отсюда, полагая ГО = 11;30, находим ГК = 84;52р х 11;3()Р = 8;8Р.
120"
    54. Согласно Дж.Тумеру, АГ = 62;34,36р, если истинная долгота центра 
эпицикла
равна 0° Весов, а апогея — 10° Девы [РА, р.617, п.38].
    55. См. коммент. 50. Точные вычисления дают АГ = 57;24,31р, если расстояние
между апогеем эксцентра и наиболее южной точкой эксцентра соответствует
указанному в кн.ХШ, гл.6, с.419 [РА, р.617, п.39].
56.	О методике вычисления см. коммент. 53.
    57.	Птолемей здесь предполагает, что апогей эксцентра Марса совпадает с
наиболее северной точкой деферента (кн.ХШ, гл.1, с.398 и коммент. 5); 
расстояние
АГ до центра эпицикла в апогее максимально и равно бСР + 6Р (кн.Х, гл.7).
58.	Наименьшее расстояние в перигее эксцентра АГ = 60р — 6Р = 54р.
    59.	Если обликвация, т.е. широта планеты, обусловленная наклоном диаметра
d2, суммируется с широтой, обусловленной наклоном эксцентра, то набор коэффици-
ентов с5, представленный в столбце 5, уже не может быть использован 
одновременно
для определения наклонности и обликваций как функций аномалии а при
произвольных положениях эпицикла на эксцентре.

    60. Ситуация, представленная на рис. 13.12, поясняется на рис. 13-G,
заимствованном из [PA, р.624, Fig. U]. На этих рисунках линия пересечения
эпицикла и эклиптики проходит через центр эпицикла, что в действительности
имеет место только в узлах. Параллельный
перенос плоскости эклиптики необходим
Птолемею, чтобы оценить вклад обликвации
в изменение широты планеты.
ЕК - KN
61. В самом деле, отношение ——
при наибольшей элонгации будет больше
любого другого отношения такого же типа
при других положениях планеты на эпи-
цикле; но входящие в него величины — не
дуги, а хорды, и то, что справедливо для
хорд, не обязательно выполняется в случае
.	ЕК - KN	,
А дуг; отношение —— и подобные ему
                            не могут служить точной мерой угловой
Рис. 13-G	разности ЕАК — NAK; подробнее см. [SA,
р.382], а также [РА, р.624, п.43].
62.	Таким образом, если EN = Р0 — широта планеты, обусловленная наклоном
эпицикла,  при  наибольшей элонгации;  ЕК=тахс& — наибольшее значение
эпициклической аномалии, как она представлена в таблице KH.XI, ГЛ.11, столбец 
6;
в(а) и с6(а) — соответственно широта и эпициклическая аномалия при произвольном
а, то теорема утверждает:
max с6 _ с6(а)
   
    Это положение не является вполне точным, поскольку в нем углы замещены
хордами; соотношение между синусами углов считается здесь тождественным
соотношению между самими углами [SA, р.382]. Формула Птолемея, однако, может
служить хорошей аппроксимацией зависимости между дугами; Дж.Тумер показал,
что в случае Венеры максимальная погрешность, обусловленная неточностью
приведенной формулы, не превосходит 0;7° [Тоотег, 1977, р.145].
63. Кн.ХШ, гл.3, с.402.
    64. Кн.Х, гл.З, с.319-320. Если радиус деферента R = бС и эксцентриситет
е = 1;15р, то Яшах = R + е = 61;15р, *min = R - е = 58;45р.
65. Точные вычисления дают AZH = 3;28,30° [РА, р.626, п.46].
    66. Максимальное расстояние до центра эпицикла составляет у Меркурия
Rmax = R + Зе = 60р + 3 х Зр = 69р;   расстояние   до   центра   эпицикла   в   
точке,
отстоящей от апогея на 120°, Лш(п = R — е = 60р — Зр = 57р; среднее расстояние

R     +R .
max      mm

= 63р.

  67. Точнее, AZH = 7;Г [РА, р.627, п.47].
^68. Вычисления Птолемея не точны. Правильные значения: ZAH = 41;33,58,
AAZ = 41;50,50, их разность 0; 16,52 половинных градусов или около 0;8,30° [РА,
р.628, п.48].
  
69. Здесь АД = VAB2 - ВА2 и AZ = АД

ВД
АВ'

    70. Здесь неточность; в таблице хорд кн.1, гл.11 углу 14° соответствует 
хорда
14;37,27 [РА, р.629, п.49].
    
71. Речь идет о расстоянии вдоль линии апсид (с.416 и коммент. 66).
72. Строго говоря, это не вполне верно; см. коммент. 62.
    73.	Приведенные числа представляют округленные значения наибольшей элон-
гации Меркурия и Венеры, как они даны в столбце 6 табл. KH.XI, гл.11.
74.	Величины сЛа) в столбце 4 таблицы широты определяются по правилу,
эквивалентному формуле

<ч<«> = 2=30° * «ЙЛ".
где сЛа) — величина эпициклической аномалии, приведенная в таблице KH.XI,
гл.11, столбец 6; тахс6 — максимум соответствующих значений сЛа).
75. См. коммент. 12.
76. Функция с5(а>) в столбце 5 таблицы кн.ХШ, гл.5 предназначена для
вычисления широты планеты при произвольных положениях центра эпицикла на
деференте. Величина а> представляет расстояние центра эпицикла от наиболее
северной точки деферента. Функция имеет один и тот же вид cJw) ~ | cos со |, но
по-разному используется в случае верхних и нижних планет. Математически она
тождественна функции лунной широты с7(со) в столбце 7 таблицы гл.8 KH.V,
умноженной на 12, чтобы максимум составил 60. Небольшие отклонения от этого
правила рассмотрены в [НА II, 428]. Идея ее использования проста: если известно
значение широты в точках экстремумов (со = 0, 90, 180 или 270°), то 
промежуточные
значения определяются умножением экстремального значения на cJw) с учетом
фазы и знака. См. кн.ХШ, гл.6 и соответствующие примечания.
    Таблицы Птолемея для вычисления широты состоят из пяти самостоятельных
таблиц по одной для каждой планеты. Каждая такая таблица включает пять 
столбцов:
1, 2 — значения аргументов а, со, 3 — cJa), 4 — сЛа), 5 — с5(ш), причем
столбцы 1, 2, 5 повторяются в каждой из пяти планетных таблиц; в нашем издании
повторяющиеся колонки ради экономии места опущены.
77.	«Уравненная долгота» (в обозначениях Нейгебауэра #cQ) — расстояние центра
эпицикла от апогея эксцентра, как она фиксируется наблюдателем из точки,
сдвинутой относительно центра; #cQ = к ± п, где к — среднее расстояние центра
эпицикла от апогея, п — эксцентрическая аномалия (рис. 11-А).
78.	Определяем сЛш) для верхних планет. Если #cQ — «уравненная долгота»
центра эпицикла, то со = #cQ для Марса, со = к0 — 20° для Юпитера и со = к0 — 
50°
для Сатурна.
    79.	«Уравненная (или истинная) аномалия» планеты а = а+п, где а — средняя
аномалия, п — эксцентрическая аномалия (рис. 11-А, П-В).
    80.	Таким образом, согласно Птолемею, в случае верхних планет широта
определяется по правилу, эквивалентному формуле
сЛа), если 270° < со <, 90°,
сЛа),   если   90° < со < 270°
в = ±с (со) X

[НАМА, р.219]. К северу от эклиптики широта положительна, к югу отрицательна.
    81. В столбце 4 таблицы, приводится значение широты как функции а,
обусловленной обликвацией эпицикла, на среднем расстоянии. Эффект обликваций,
однако, будет различным в апогее и перигее эксцентра. В случае Венеры различие
несущественно, но в случае Меркурия изменение широты от обликваций в апогее
AS = 2;30° - 0;15° = 9/ю х 2;30°, в перигее AS = 2;30° + 0;15° = iVio х 2;30°.
    
    82. Широта, обусловленная инклинацией, определяется по правилу, эквивалент-
ному формуле
   /»,(«. *о) = ±cs(Ko> х сз(а)>
где аргумент функции с5 имеет вид
   
к0~ к0 +
  
90°   для Венеры,
270°   для Меркурия
 
и выполняется следующее правило для знаков:
f > 0,   если 270° <    <  90°,
С5(-к0>\ < 0,   если   90° <    < 270°,

cJa)

> 0, если 90° < « < 270°,
< 0,   если 270° < а <  90°.

См. [НАМА, р.223].
83. Широта от обликвации эпицикла в случае Венеры вычисляется по формуле
   в2(а,      = ±с5(/Со0 X с4(а),
где KQ = к0 И закономерность знаков такова:
    
с5(*о>
>	0,	если 270° < /с^ <  90°,
<	0,	если   90° < ^ < 270°,
>	0,	если    0° < а < 180°,
<	0,	если 180° < а < 360°.
с4(«)
В случае Меркурия
в2(а, Kj = ±с5(/с^) X с4(а),
где     = к0 + 180°, а
<#«) =
9/io х с4(«), если 270° < KQ < 90°,
n/ioxc4(«),   если   90° < KQ s 270°.

Знаки в формуле для в2 у Меркурия совпадают с установленными для Венеры с
тем отличием, что здесь к^ = к0 + 180°.
    84. Плоскости орбит нижних планет меняют свои наклонения относительно
плоскости эклиптики. Когда центр эпицикла находится в апогее и перигее 
эксцентра
(*-0 = 0° или 180°) в его наиболее северной или наиболее южной точках, наклон
i0 = +0;10° для Венеры и г'2 = —0;45° для Меркурия. В точках эксцентра, 
отстоящих
от линии апсид на ±90°, т.е. в узлах, наклон i0 = 0. Наклонение не меняет 
своего
знака при прохождении узлов, а это возможно лишь в том случае, если плоскость
орбиты совершает колебания вокруг линии узлов синхронно с обращением центра
эпицикла по деференту. Можно предположить поэтому, что i0 есть функция к0
следующего вида:
+0,10 х с^/Сд)   для Венеры,
-0;45 х с5(к^)   для Меркурия,
где CjC/Cp) = | cos /с01 > 0.

   Отсюда широта планеты Р3(к^) = СОС (рис. 13-Н, где С — положение центра
эпицикла, соответствующее значению уравненной долготы #с0), обусловленная
наклонением деферента i0(K^) = CDC = АОВ определяется следующим образом. Из
треугольников АОВ и CDC', которые подобны, имеем соотношение      = т^ртг. где
АВ = i^K^,   AO=R=W,   CD=COx | cos KQ \ ~
~ СОхсЛк^) = 60c5(#c0), отсюда

CC = /»3("o> =	= cs(Ko) x W<0) =
+0;10 x с5(к^)2   ДЛЯ Венеры,
-0;45 x c5(#c0)2   для Меркурия.

Аналогичное соотношение получено в [НАМА,
р.224].
    85. Окончательно широты нижних планет определяются по правилу, эквивален-
тному формуле
/%> *о> =       ко> + Ча> *о> + Чко>-
Приведем два примера вычисления широт планет согласно таблице кн.ХШ, гл.5.
    I.	Определить широту Юпитера; дата: 886-й г. эры Набонассара, месоре 26/27, 
5h
после полуночи (наблюдение Птолемея, KH.XI, гл.2, с.348).
В KH.XI, коммент. 126 мы нашли для приведенной даты #с0 = 269;7°,    а = 36;4°.
Расстояние центра эпицикла от наиболее северной точки деферента со = — 20° =
= 249;7°. Отсюда с5(249;7°) = 0;21,17 (таблица кн.ХШ, гл.5, столб. 5). 
Поскольку
90° < со < 270°, необходимо определить сЛа) = с4(36;4°) = 1;9° и далее В =
= —с5 х с4 = — 0;21,17 х 1;9° = — 0;24,29°. Вычисления по современным таблицам
дают В = -1;55° [Britton, 1967, р.148].
    II.	Определить широту Венеры; дата: 467-й г. эры Набонассара, месоре
17/18, 6h после полуночи (наблюдения Тимохариса, кн.Х, гл.4, с.321-322).
В KH.XI, коммент. 126 мы нашли к0 = 144;44°,    а = 253;27°.
1.	Находим /SjOfy а) = ±с5(к? х cJa).
Аргумент     = KQ + 90° = 144;44° + 90° = 234;44°. Отсюда
с5(к? = с5(234;44°) = -0;34,34
(с5 < 0, поскольку 90° <    < 270°);
с3(а) = с3(253;27°) = 0;29,6°
(с3 > 0, поскольку 90° < а < 270°). Отсюда /3, = -0;34,34 х 0;29,6° = -0;16,46°.

2.	Определяем P2(Kq, а) = ±C"5(KJ) Х сХа). Аргумент к0" = KQ = 144;44°.
Соответственно c5(«J) = -0;48,50 (с5 < 0, поскольку 90° <    < 270°),
сХа) = -2; 13,33°
(с4 < 0, поскольку 180° < а < 360°). Отсюда В2 = 0;48,50 х 2; 13,33° = 1;48,42°.


3. Находим в3(к^ = +0;10° х с^2,
CS(KQ) = с5(144;44°) = -0;48,50°,
отсюда
в3 = +0,10° х (0;48,50)2 = 0,6,37°.
В итоге получаем
в = р1 + в2 + в3 = -0; 16,46° + 1;48,42° + 0;6,37° = 1;38,33°.
    Птолемей утверждает, что Тимохарис наблюдал соединение Венеры и п Vir.
Однако современные вычисления показывают, что в указанный момент Венера
находилась на 12' южнее п Vir [РА, р.477, п.17]. В каталоге (кн.VII, гл.5, с.
243)
широта п Vir принята равной р = +1^6°.
    Другие примеры вычисления широт планет по таблицам Птолемея см. в [НА
II, 428-431, Anm. 22; РА, р.658-659].
86. KH.VIII, гл.6, с.274.
    87. Т.е. расстояние от Солнца в гелиакических восходах и заходах зависит от
яркости планеты.
    88. Дуга ВЛ (рис. 13.17) определяет минимальное расстояние центра Солнца
относительно линии горизонта после его захода или перед восходом, при котором
планета, находящаяся на самой линии горизонта, видна невооруженным глазом.
В современной литературе для обозначения этого понятия используется выражение
«normal arcus visionis*. О происхождении термина см. [НАМА, р.234, п.1 ].
    89. Планета будет видна, если ее блеск сравним с яркостью неба у горизонта
до восхода или после захода Солнца. Величина минимального погружения ВЛ (Л в
современном обозначении), таким образом, есть функция блеска или звездной
величины планеты.
    90. Наблюдать планету удобно в точке летнего солнцестояния, поскольку в это
время угол, образуемый эклиптикой и горизонтом при восходе и заходе, имеет
одинаковую величину [НАМА, р.235].
    91. Элонгация планеты в моменты гелиакических восходов или заходов —
основной параметр, используемый Птолемеем для предвычисления значений arcus
visionis. Элонгация определяется из наблюдений, но каких именно, не указывается.

Дж.Тумер установил, что Сатурн имел требуемую долготу 0° Рака лишь около
120 г. н.э., т.е. намного раньше эпохи наблюдений самого Птолемея. Можно
предположить поэтому, что, по крайней мере в том, что касается Сатурна, 
Птолемей
основывался не на своих наблюдениях [РА, р.637, п.64].
    92. Наблюдения, на которые ссылается Птолемей, имеют, вероятно, в основном
вавилонское происхождение. В «Географии» широта Вавилона определяется величиной
<р = 35°, что хорошо соответствует стандартному отношению М:т = 3:2 наибольшего
дня к наименьшей ночи, принятому в вавилонских текстах. Продолжительность дня
М = 14i/4h в Финикии есть полусумма соответствующих значений для Родоса
(М = 14V2h) и Нижнего Египта (М = 14h), см. кн.П, гл.6, с.41—42. См. также
[НАМА, р.234, 249, п. 12, 367; РА, р.638, п.65].
93.. Кн.П, гл.11.
    94. Угол между эклиптикой и горизонтом v будет одним и тем же для всех
планет, если заданы географическая широта и положение Солнца на эклиптике.
Используя таблицу кн.Н, гл.13 при Д = 0° Рака, О.Нейгебауэр нашел для климата 
III
(М = 14h) v = 56;28° и климата IV (М = \4;ЪФ) v = 50;1°. Линейная интерполяция
для М = 14ЦЬ дает v = 53;15°, тогда как Птолемей приводит v = 51;30°. 
Аналогичные
расхождения между значениями угла v, полученными на основе метода, описанного
в кн.П, и приведенными Птолемеем, встречаются также в кн.ХШ, гл.8 при
вычислении угла v для X = 0° Тельца и X = 0° Девы (с.425, 426 и коммент. 104,
108), а также в таблице кн.ХШ, гл.10. О.Нейгебауэр предполагает, что вместо
    
точной процедуры здесь применялись более грубый метод и параметры, в частности,
величина е предполагалась, по-видимому, равной 24° (вместо е = 23;5Г, 
используемой
повсюду в «Альмагесте») [НАМА, р.236, 245-250].
    95. Широтами Юпитера и Сатурна можно пренебречь, поскольку наиболее
северная точка деферента находится на 0е Весов (см. с.398 и коммент. 5) и, 
значит,
0е Рака попадает в окрестность узла. В случае Марса, однако, широта должна
учитываться. По расчетам О.Нейгебауэра, >3 == 0; 10,9е, если долгота планеты
Я = 0° Рака, а ее элонгация п = 141/2° [НАМА, р.237, п.9].
96. Имеется в виду v = 5l;30°.
    97. Расстояние Солнца от апогея к = XQ - Ха = 18;50° в случае Венеры и
к = 13° в случае Меркурия; отсюда по таблице кн.Ш, гл.6 находим соответствующие
аномалии cQ(18°) = -0;42° и cQ(12°) = -0;28° и далее XQ =XQ - cQ « 25° 
Близнецов
для Венеры и XQ = 19° Близнецов для Меркурия.
    98. Для нахождения широты необходимо определить расстояние центра эпицикла
от апогея KQ и истинную аномалию планеты а. Птолемей находит эти величины с
помощью таблицы планетной аномалии KH.XI, гл.11. Известна истинная и средняя
долготы планеты, а также долгота ее апогея. Эти данные позволяют определить
ic — среднее расстояние центра эпицикла от апогея и к — расстояние планеты от
апогея. Каким образом дальше действовал Птолемей, неизвестно. Возможную
реконструкцию вычислительной процедуры см. в [НАМА, р.237-238], а также [НА
И, 431-434, Anm. 23].
    99.	Такие же точно значения arcus visionis для всех планет, кроме Меркурия,
приведены в «Канопской надписи» [Hamilton etc., 1987, Р-68]; в «Планетных
гипотезах» и в «Подручных таблицах» система параметров, характеризующих
гелиакические восходы и заходы планет, коренным образом отличается от принятой
в «Альмагесте» [Goldstein, 1967, р.9; НАМА, р.107].

    100.	За один синодический период при движении Венеры или Меркурия по
эпициклу должны наблюдаться два промежутка невидимости (рис. 13-К, соответст-
вующий [НАМА, р. 1290, Fig. 243]): от 2 до Е в верхнем соединении и от Q до
Г во время попятного движения в нижнем соединении различной, но приблизительно
постоянной величины. Наблюдения, однако, свидетельствуют, что период 
невидимости
Венеры от последнего вечернего захода (Q) до первого утреннего восхода (Г)
изменяется от 2 дней, когда центр эпицикла находится в
начале Рыб, до io дней, когда центр эпицикла в начале
Девы. Прокл утверждает, что эта проблема привлекала
особое внимание античных астрономов [Manitius, 1909,
S.11, 13, 221]. У Меркурия же целиком не наблюдаются
периоды видимости от S до Q, когда центр эпицикла в
начале Скорпиона, или от Г до 2, когда центр эпицикла
в начале Тельца. Неправильности в чередовании конфигу-
раций Меркурия были известны уже вавилонским астро-
номам [НАМА, р.403].
    Движения Венеры и Меркурия, однако, представляются
странными лишь в том случае, если считать, что эпицикл
находится. в плоскости деферента. Однако это не так в
модели Птолемея. Промежутки видимости или неви-
димости планеты должны поэтому существенно зависеть от положения плоскости
эпицикла относительно «конуса невидимости» планеты ЕООГХ с осью ОС. Подробнее
см. [НАМА, р.239, 241 ]. В настоящей главе показано, что наблюдаемые явления
можно объяснить с достаточной степенью точности на основе принятой кинематиче-
ской модели и вычисленных значений arcus visionis.
    101.	Наиболее северная и южная точки деферента Венеры, через которые
проходит линия апсид эксцентра, имеют долготы 25° Тельца и 25° Скорпиона; линия
узлов деферента поэтому пересекает эклиптику в точках 25° Льва и 25° Водолея;
    
интересующая нас точка 0е Рыб находится, таким образом, в узле, и, 
следовательно,
имеет место ситуация, рассмотренная в кн.ХШ, гл.З, с.402, когда В = ±6Уз° (плюс 
—
в Рыбах, минус — в Деве).
    102. Когда имеет место последняя видимость Венеры как вечерней звезды; при
этом 0° Рыб заходит, а 0е Девы восходит.
    103. Значение v = 77е угла между эклиптикой и горизонтом, единственное из
определенных Птолемеем, которое может быть получено интерполяцией на основе
таблиц кн.П, гл.13; в них 0е Рыб в климате III соответствует угол 10;5°, в 
климате
IV — 15;53°; средняя величина — 12;59°, а ее дополнение — v = 77;l° [НАМА,
р.236; РА, р.641, п.74].
    104. В указанный момент 0е Рыб восходит и 0е Девы заходит на широте 
Финикии;
согласно Птолемею v = 34;30°. Но, как показал О.Нейгебауэр [НАМА, р.236],
расчеты, выполненные при помощи таблицы кн.Н, гл.13, дают v = 35; 1е. См. также
коммент. 94.
    105. Равенство приближенное, поскольку среднее движение планеты по долготе
равно среднему движению Солнца, а не истинному. В данном случае этой разницей
пренебрегается.
    106.	Угол QOr = 3;14° (рис. 13-К) соответствует движению по аномалии
а = ОСГ« IV40. В самом деле, таблица KH.XI, гл.11, с.370 для Венеры дает на
3 х 3-14
среднем расстоянии с6 = 7;38° при а = 177°, отсюда а =——= 1;16° ~ IV40;
аналогично  для   QOC = 18;2°   а = 9 ^        = 7;35° « 7У2°   и   для   ОСГ = 
6;38°
а=   *        = 2; 36°« П/20, см. также [НА II, 434, Anm. 24].
107.	Коммент. 101.
    108.	Точка эклиптики с долготой 0е Девы заходит, а 0е Рыб восходит, т.е. 
имеет
место ситуация, аналогичная рассмотренной в коммент. 104, и, значит, v = 34;30°.

109.	Коммент. 106.
ПО. Здесь 0е Девы восходит и 0° Рыб заходит, поэтому v = 77е, см. коммент. 103.
111. Коммент. 106.
112. Коммент. 100.
    113. Заходит 0° Скорпиона, и 0° Тельца восходит, т.е. восходит точка 
эклиптики
с долготой Я = 30е. Как показал О.Нейгебауэр [НАМА, р.240], для угла наклона
v эклиптики с горизонтом справедливо соотношение v(A) = v(— Я), и, 
следовательно,
v(0° Тельца) = v(30°) = v(-30°) = v(0° Рыб) = 34;30°; аналогично v(0° Скорпио-
на) = v(-150)° = v(150)° = v(0° Девы) = 77;0°.
    114. О вычислении широты в данном случае см. [НАМА, р.241, п. 11; р. 1292,
Fig.248].
115. Кн.ХИ, гл.9, с.396.
116. Коммент. 114.
117. Кн.ХИ, гл.9, с.397.
    118. Последнее утверждение, строго говоря, неверно. Широта планеты не может
быть определена по известным значениям arcus visionis и углу наклона эклиптики
к горизонту, который вообще с планетной теорией не связан. Птолемей, очевидно,
вводил здесь какие-то дополнительные ограничения. Исследование вычислительной
процедуры Птолемея см. в [АаЪое, 1960; НАМА, р.242-256].
    119. Для географической широты Финикии, см. с.423 и коммент. 92. То, что
таблицы составлены для одной только географической широты, свидетельствует как
будто об уменьшении интереса к предвычислению дат гелиакических восходов и
заходов планет во времена Птолемея. Однако в «Подручных таблицах» соответ-
ствующие таблицы вычислены для семи климатов. Птолемей, кроме того, является
автором специального сочинения, посвященного гелиакическим восходам и заходам
звезд, известного под названием «Фазы». См. также [НАМА, р.242, 256-261 ].
    120. В случае верхних планет «утренний восход» — это первая видимость 
планеты
утром, «вечерний заход» — последняя видимость вечером; в случае нижних планет
    111. 
«вечерний восход» — первая видимость как вечерней звезды (Е на рис. 13-К),
«вечерний заход» — последняя видимость как вечерней звезды (Q), «утренний
восход» — первая видимость как утренней звезды (Г), «утренний заход» — 
последняя
видимость как утренней звезды (2). В таблицах приведены расстояния по долготе
ДЛ (ДЛ или ДК на рис. 13.25) планеты от истинного Солнца, соответствующие
каждой из конфигураций. Величины ДА вычислены для значений долготы планеты
А = 30%, где к = 0, 1, 2,И.
    Приведем один пример предвычисления дат гелиакических восходов и заходов
планеты по таблицам Птолемея, рассмотренный в [НАМА, р.243-244].
    Пусть требуется определить даты вечернего захода (Q) и утреннего восхода
(Г) Венеры вблизи нижнего соединения в начале 443 г. по эре Набонассара (-305,
ноябрь).
В окрестности указанной даты определяем элонгации Венеры ДА^ = А0 — А^ с
интервалом 5 суток. Соответствующие величины AQ, А^ и ДА^, вычисленные по
таблицам кн.Ш, гл.2, 6, KH.IX, гл.4 и KH.XI, гл.11, представлены в приводимой
здесь таблице. Столбец 1 таблицы содержит номер наблюдения (согласно нумерации
О.Нейгебауэра), столбец 2 — дату по эре Набонассара (номер месяца, день) и по
юлианскому календарю; столбцы 3, 4, 5 — соответственно долготу Солнца, долготу
Венеры и элонгацию в указанные моменты времени. В таблице кн.ХШ, гл.10,
однако, значения элонгации приводятся лишь для долгот А$ = 304. Мы должны
поэтому пересчитать ее таким образом, чтобы определить элонгации для требуемых
значений долготы.

Набонассара 443 (—305)Я©ХдЛЯ Q6
7
8
9
ЮI        3    Ноябрь     10
8                  15
13                  20
18                  25
23                  30224;24°
229;32
234;34
239;48
244;57241; 3°
232;54
236; 14
233; 28
231;11-	16;39°
-	9;22
-	1;35
+ 6; 20
+ 13;46    В таблице гл.10 кн.ХШ приведены следующие значения элонгации Венеры 
для
Q и Г в окрестности AQ = 240" = 0е Стрельца:

ХдДА(О)ДА(Г)210°
240°
270°-	13;47°
-	8; 1°
-	4; 8°+ 5;28°
+ 4;39°По этим данным линейной интерполяцией находим элонгации ДА, которые 
должны
иметь место в Q и Г для приведенных значений А^:
№	AA(Q)	АА(Г)
6 - 7;53°
7 - 8;13°
8	- 8;46°	+ 4;45°
 9	+ 4;50°
10	+ 4;52°.
Отсюда ясно, что последний вечерний заход (Q) будет иметь место в день №7
(ноябрь 15), так как в этот день элонгация Венеры (-9;22°) еще будет превышать
требуемое значение (-8; 13е), а в следующий — станет меньше его (1;35 < 8;46);
первый же утренний восход (Г) произойдет в день №9 (ноябрь 25), поскольку в
этот день элонгация Венеры (+6;20°) превысит требуемое значение (+4;50°), а в
предыдущий еще не достигнет нужной величины (-1;35° <+4;45°). Оценки,
полученные с помощью таблиц Птолемея, в целом согласуются с современными
данными [Schram, 1908].
121. В таблицы внесены исправления согласно [РА, р.646-647, п.83].

Список литературы

Арат. — Арат. Явления (Феномены). См. [Россиус, 1992. С.24—61].
Аристотель, Метафиз. — Аристотель. Метафизика /Пер. А.В.Кубицкого //Сочинения.
T.l. М.: Мысль, 1976. С.63-367.
Аристотель, Метеор. — Аристотель. Метеорологика /Пер. Н.В.Брагинской //Сочи-
нения. Т.З. М.: Мысль, 1981. С.441-556.
Аристотель. О небе. — Аристотель. О небе /Пер. А.В.Лебедева //Сочинения. Т.З. М.
:
Мысль, 1981. С.263-378.
Архимед, 1962. — Архимед. Сочинения /Пер. И.Н.Веселовского. М.: Физматгиз, 1962.

Беруни, 1973. — Беруни Абу Райхан. Канон Мас'уда. Кн.1—V /Вступ. статья, пер. и
примеч. П.Г.Булгакова и Б.А.Розенфеьлда при участии М.М.Рожанской и А.Ахме-
дова; под ред. С.Х.Сираждинова и ГЛ.Матвиевской //Беруни. Избранные произве-
дения. T.V, ч.1. Ташкент: Фан, 1973.
Беруни, 1976. — Беруни Абу Райхан. Канон Мас'уда. KH.VI—XI /Пер. и примеч.
Б.А.Розенфеьлда и А.Ахмедова при участии М.М.Рожанской, С.А.Красновой и
Ю.П.Смирнова; под ред. С.Х.Сираждинова и Г.П.Матвиевской //Беруни. Избран-
ные произведения. T.V, ч.2. Ташкент: Фан, 1976.
Бикерман, 1975. — Бикерман Э. Хронология древнего мира /Пер. с англ. И.М.
Стеблин-
    Каменского; отв. ред. М.А.Дандамаев. М.: Наука, 19/5.
Боднарский, 1953. — Античная география: Книга для чтения /Сост. М.С.Боднарский.
М., 1953. С.286—318 (Клавдий Птолемей. Руководство по географии. Кн. I, гл.1 
—24,
    Кн.Ш, гл.5—8, 10 /Пер. К.С.Апта, В.В.Латышева).
Бронштэн, 1988. — Бронштэн В.А. Клавдий Птолемей /Отв. ред. А.А.Гурштейн. М.: 
Наука,
1988.
Бронштэн, 1996. — Бронштэн В.А. «Альмагест» Птолемея на Руси //Земля и Вселен-
ная. 1996. №1. С.61-68.
Бронштэн, 1997. — Бронштэн В.А. Русский перевод XVII века первой книги 
«Альмаге-
ста» Птолемея //Рукописи, редкие издания, архивы. М.: Археографический центр,
1997. С.7-20.
Ван-дер-Варден, 1959. — Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. I. Математика
древнего Египта, Вавилона и Греции /Пер. с голланд. И.Н.Веселовского. М.:
Физматгиз, 1959.
Ван-дер-Варден, 1991. — Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. II. Рождение
астрономии /Пер. с англ. Г.Е.Куртика; под ред. А.А.Гурштейна. М.: Наука, 1991.
Веселовский, 1974. — Веселовский И.Н. Очерки истории теоретической механики. М.
:
Высшая школа, 1974.
Веселовский, Белый, 1974. — Веселовский И.Н., Белый Ю.А. Николай Коперник. М.:
Наука, 1974.
Вильев, 1919. — Вильев М.А. Сравнение некоторых наблюдений Луны и планет,
упоминаемых в древних и средневековых источниках, с их положением, определя-
емым по современным таблицам их движений //Изв. Петроград, науч. ин-та им.
П.Ф.Лесгафта, 1919. T.I. С. 18-27.
Витрувий, 1936. — Витрувий М.П. Десять книг об архитектуре /Пер. с лат. Ф.А.
Пет-
ровского. М.: Изд-во Академии архитектуры, 1936.
Германик, 1988. — Германик Цезарь. Небесные явления по Арату /Пер. с лат.; под 
ред.
Н.А.Федорова //МАИ, 1988. Вып. 20. С.336-372.
Гигин, 1997. — Гигин. Астрономия /Пер. с лат. и коммент. А.И.Рубана; вступ. 
статья
А.В.Петрова. СПб: Изд-во «Алетейя», 1997.

Гиппарх. Комментарии к Арату. См. [Manitius, 1894; Германия, 1988, Россиус, 
1992].
Гурштейн, 1988. — Гурштейн А.А. Птолемей и Коперник //Природа. 1988. №3.
С.85-92.
Дамбис, 1998. — Дамбис А.К. Датировка эпохи наблюдения звезд каталога 
«Альмагеста»
по собственным движениям //Древняя астрономия: Небо и Человек. Труды конфе-
ренции по археоастрономии (19—24 ноября 1997 г.). М.: Кудесник, 1998.
Данилов, 1994. — Данилов Ю.А. «Тетрабилос», или «Математический трактат в 
четырех
книгах» Клавдия Птолемея //На рубежах познания Вселенной, М: Янус, 1994.
С.371-374. (ИАИ, Вып.24).
Данилов, 1996. — Данилов Ю.А. Астрологический «Тетрабиблос» //Знание за преде-
лами науки: Мистицизм, герметизм, астрология, алхимия, магия в интеллектуальной
традиции I—XIV веков. М.: Республика, 1996. С.131 —133.
Дрейер, 1918. — Дрейер Е. О происхождении звездного каталога Птолемея //Мирове-
дение. 1918. Т.7, №4 (34). С.158-170.
Евклид, I—XV. — Евклид. Начала /Пер. М.М.Мордухай-Болтовского при ред. участии
М.Я.Выгодского и И.Н.Веселовского. М.; Л.: Гостехиздат. 1948. T.l (KH.I-VI); 
1949.
Т.2 (KH.VII-X); 1950. Т.З (KH.XI-XV).
Ефремов, Павловская, 1989. — Ефремов Ю.Н., Павловская Е.Д. Определение эпохи
звездного каталога «Альмагеста» по анализу собственных движений звезд (К проб-
леме авторства звездного каталога Птолемея) //ИАИ, 1989. Вып. 21. С.175—192.
Житомирский, 1983. — Житомирский СВ. Античные представления о размерах мира
//ИАИ, 1983. Вып.16. С.291-326.
Жмудь, 1994. — Жмудь Л.Я. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. 
СПб:
Изд-во «Алетейя», 1994.
ИАИ.— Историко-астрономические исследования.
Идельсон, 1975. — Идельсон Н.И. Этюды по истории небесной механике. М.: Наука,
1975.
История математики, 1970. — История математики с древнейших времен до начала
XIX столетия: В Зт. /Под ред. А.П.Юшкевича. T.l. М.: Наука, 1970.
Климишин, 1985. — Климишин И.А. Календарь и хронология. М.: Наука, 1985.
Коперник, 1964. — Коперник Н. О вращениях небесных сфер. Малый комментарий.
Послание против Вернера. Упсальская запись /Пер. с лат. И.Н.Веселовского; под
    ред. А.А.Михайлова. М.: Наука, 1964.
Крачковский, 1957. — Крачковский И.Ю. Арабская географическая литература //Избр.

соч. T.IV. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1957.
Куртик, 1986. — Куртик Г.Е. Теория восхождения и нисхождения Сабита ибн Кор-
ры //ИАИ, 1986. Вып. 18. СП 1 — 150.
Куртик, 1989. — Куртик Г.Е. Наблюдение и его интерпретация в астрологии и
астрономии Древней Месопотамии //Вопросы истории естествознания и техники,
1989, №1. С.36-47.
Куртик, 1990. — Куртик Г.Е. Астрономия Древнего Египта //На рубежах познания
Вселенной. М.: Наука, 1990. С.207-256.
Куртик, 1994. — Куртик Г.Е. Ранние этапы развития астрологии //Саплин А.Ю.
Астрологический энциклопедический словарь. М.: Русская историческая энцикло-
педия; Внешсигма, 1994. СП—29.
Куртик, 1997. — Куртик Г.Е. Понятие скорости в античной науке: 
Аристотель—Птоле-
мей /Исследования по истории физики и механики. М.: Наука, 1997. С.219—248.
Латышев, 1948. — Латышев В.В. Известия древних писателей о Скифии и Кавказе
//Вестник древней истории, 1948. № 2.
Лурье, 1970. — Лурье С.Я. Демокрит. Тексты. Перевод. Исследования. Л.: Наука, 
1970.
Матвиевская, 1990. — Матвиевская Г.П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: 
Фан,
1990.
Матвиевская, Розенфельд, 1983. — Матвиевская Г.П., Розенфельд Б.А. Математики и
астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII—XVII вв.). Т.1—3. М.:
Наука, 1983.
Михайлов, 1945. — Михайлов А.А. Теория затмений. М.; Л.: Гостехиздат, 1945.

Нейгебауэр, 1968. — Неягебауэр О. Точные науки в древности /Пер. с англ. Е.В.
Гохман;
под ред. А.П.Юшкевича. М.: Наука, 1968.
Ньютон, 1985. — Ньютон Р. Преступление Клавдия Птолемея. /Пер. с англ. Н.Б.Ма-
лышевой; под ред. Е.А.Гребеникова. М.: Наука, 1985.
Окулич, 1918. — Окулич Л.В. Первый звездный каталог //Мироведение. 1918. Т.7, 
№2.
С.120-126.
Паннекук, 1966. — Паннекук А. История астрономии /Пер. с англ. Н.И.Невской; под
    ред. Б.В.Кукаркина и П.Г.Куликовского. М.: Наука, 1966.
Птолемей. Альмагест. См. [Ptolemaeus, 1515; 1528; 1538; Hei I, II; PA; HA I, 
II; Halma,
1813; 1816; Taliaferro, 1952; HAMA; SA].
Птолемей. Аналемма. См. [Heiberg, 1907, S.189-223; Luckey, 1927; HAMA, P.839-
857].
Птолемей. Гармоники. См. [During, 1930; 1934].
Птолемей. География. См. [Nobbe, 1843 — 1845; Stevensen, 1932; Fischer, 1932; 
Бод-
нарский, 1953].
Птолемей. Канопская надпись. См. {Heiberg, 1907, S.147 —155; Halma, 1920, Р.
57—62;
    НАМА, Р.901, 913-917; Hamilton etc., 1987].
Птолемей. Оптика. См. [Lefeune, 1956].
Птолемей. Планетные гипотезы. См. [Heiberg, 1907, S.69—145; Goldstein, 1967;
Halma, 1820, Р.41-56; НАМА, Р.900-926; Murschel, 1995].
Птолемей. Планисферий. См. [Heiberg, 1907, S.225— 259; Drecker, 1927; НАМА,
Р.857-868].
Птолемей — Теон Александрийский. Подручные таблицы. См. [Heiberg, 1907, S.157 —
185; Halma, 1822-1825; Tihon, 1978; 1985(1); НАМА, Р.969-1028].
Птолемей. Фазы. См. [Heiberg, 1907, S.l-67; НАМА, Р.926-931; Grasshoff, 1993].
Птолемей. Четверокнижие. См. [Boll, Boer, 1957; Robbins, 1948; Птолемей, 1992; 
1994;
1996].
Птолемей, 1992. — Птолемей Клавдий. Тетрабиблос. М., 1992.
Птолемей, 1994. — Клавдий Птолемей. Тетрабиблос. Кн.1. Гл.1 —16 /Пер. и коммент.

Ю.А.Данилова //На рубежах познания Вселенной. М.: Янус, 1994. С.375—392.
(ИАИ, Вып. 24).
Птолемей, 1996. — Клавдий Птолемей. Математический трактат, или Четверокнижие:
Кн.1—II /Пер. с древнегреч. и примеч. Ю.А.Данилова //Знание за пределами
науки: Мистицизм, герметизм, астрология, алхимия, магия в интеллектуальной
традиции I—XIV веков. М.: Республика. С.92—131.
Райт, 1988. — Райт Дж.К. Географические представления в эпоху крестовых походов
/Пер. с англ. М.: Наука, 1988.
Рожанская, 1976. — Рожанская М.М. Механика на средневековом Востоке. М.: Наука,
1976.
Рожанская, Куртик, 1993. — Рожанская М.М., Куртик Г.Е. Механика и наука средне-
векового Востока /Механика в истории мировой наука. М.: Наука, 1993. С.81 —151.
Рожанский, 1979. — Рожанский И.Д. Развитие естествознания в эпоху античности:
Ранняя греческая наука о природе. М.: Наука, 1979.
Рожанский, 1988. — Рожанский И.Д. История естествознания в эпоху эллинизма и
Римской империи. М.: Наука, 1988.
Россиус, 1992. — Небо, наука, поэзия: Античные авторы о небесных светилах /Пер. 
с
древнегреч. и коммент. А.А.Россиуса; вступ. статья Г.М.Дашевского; под ред.
Н.А.Федорова и П.В.Щеглова. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992.
Рыбников, 1974. — Рыбников К.А. История математики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 
1974.
Страбон, 1964. — Страбон. География. В 17 кн. /Пер. с древнегреч.; вступ. 
статья и
коммент. Г.А.Стратановского. М.: Наука, 1964.
Фрагменты. — Фрагменты ранних греческих философов: Ч. I /Изд. подгот. А.В.
Лебедев.
М.: Наука, 1989.
Хеннинг, 1961. — Хеннинг Р. Неведомые земли. Т.1 /Пер. с нем. М.: Наука, 1961.
Цицерон. О дивин. — Цицерон. О дивинации /Пер. с лат. М.И.Рижского //Фило-
софские трактаты. М.: Наука, 1985. С.191—298.

Шевченко, 1988. — Шевченко М.Ю. Звездный каталог Клавдия Птолемея: Специфика
    астрометрических наблюдений древности //ИАИ, 1988. Вып.20. С.167—186.
Шевченко, 1997. — Шевченко М.Ю. Клавдий Птолемей: Суд людей и суд истории
    //Земля и Вселенная. 1997. №2.
Шпилевский, 1988. — Шпилевский А.В. Альмагест и хронология //Вестник древней
    истории. 1988. №3. С. 135-159.
Юшкевич, 1961. — Юшкевич А.П. История математики в средние века. М.: Физматгиз,
1961.
Aaboe, 1955. — Aaboe A. On the Babylonian Origin of Some Hipparchian Parameters
     //Centaurus. 1955. V.4. P.122-125.
Aaboe, 1960. — Aaboe A. On the Tables of Planetary Visibility in the Almagest 
and the
     Handy Tables //Danske Vidensk. Selskab, Hist.-filos. Medd. 1960. Vol.37, 
No.8.
Aaboe, 1980. — Aaboe A. Observation and Theory in Babylonian Astronomy 
//Centaurus.
1980. V.23. P.14-35.
ACT I, II, III. — Astronomical Cuneiform Texts /Ed. O.Neugebauer. V.I —III. 
London: Lund
Humphries, 1955.
Derger, 1880. — Berger H. Die geographischen Fragmente des Eratosthenes. 
Leipzig, 1880.
Boeckh, 1863. — Boeckh A. Ueber die vierjahrigen Sonnenkreise der Alten, 
vorzuglich den
Eudoxischen. Berlin, 1863.
Boer, 1952. — Claudii Ptolemaei opera quae extant omnia. V.III, 2. Karpos /Ed. 
A.Boer.
Leipzig: Teubner, 1952 (Reprint 1961), S.XVII-XXXIV, 37-69.
Boll,  1894. — Boll F. Studien uber Claudius Ptolemaus //Jahrbucher fur 
classische
    Philologie. 1894. Suppl. Bd.21. S.51-224.
Bolt, 1901. — Boll F. Die Sternkataloge des Hipparch und des Ptolemaios 
//Bibliotheca
    Mathematica. 1901. Folge 3, Bd.2. S.182-195.
Boll, Boer, 1957. — Claudii Ptolemaei Opera guae extant omnia. V.III, 1. 
Apotelesmatica /Ed.
F.Boll ct A.Boer. Leipzig: Teubner, 1957.
Bowen, Goldstein, 1988. — Bowen A.C., Goldstein B.R. Meton of Athens and 
Astronomy in
the Late Fifth Century B.C. //A Scientific Humanist: Studies in Memory of 
Abraham
Sacks /Ed. E.Leichty. Philadelphia, 1988. P.39-81.
Braunmuhl, 1900, 1903. — Braunmuhl A. Vorlesungen uber die Geschichte der 
Trigonometric
Bd.I.H. Leipzig. 1900, 1903.
Bouche-Leclercq, 1899. — Bouche-Leclercq A. L'astrologie grecque. Paris, 1899 
(Reprint.
Brussels, 1963).
Britton, 1967. — Britton J.P. On the Quality of Solar and Lunar Observations 
and Parameters
in Ptolemy's Almagest. A Dissertation submitted to Yale University, 1967.
Britton, 1969. — Britton J.P. Ptolemy's Determination of the Obliquity of the 
Ecliptic
//Centaurus. 1969. V.14. P.29-41.
Britton, 1992 — Britton J.Ph. Models and Precision: The Quality of Ptolemy's 
Observations
and Parameters. N.Y., Garland, 1992.
Bruin, 1976. — Bruin F., Bruin M. The Equator Ring, Equinoxes and Atmospheric
Refraction //Centaurus. 1976. V.20. P.89-111.
Cantor, 1892. — Cantor M. Vorlesungen uber die Geschichte der Mathematik. Bd.I, 
Aufl.3.
Ixjipzig: Teubner, 1907.
Caspar., 1929. — Kepler Johannes. Neue Astronomie /Ubersetz. u. eingeleitet von 
M. Caspar.
Munchcn, Berlin, 1929.
Czwalina, 1958. — Czwalina A. Uber einige Beobachtungsfehler des Ptolemaus und 
die
Deutung Ihrer Ursachen //Centaurus. 1958. V.5. P.283-306.
Czwalina, 1959. — Czwalina A. Ptolemaus, die Bahnen der Planeten Venus und 
Merkur
//Centaurus. 1959. V.6. P.1-35.
Dainbis, Efremov. — Dambis F.K., Efremov Yu.N. Star Proper Motions Yield 
Hipparchus'
Epoch for Ptolemy's Catalogue //JHA (в »ечати).
Delambrc, 1817. — Delambre J.B.J. Histoire de l'astronomie ancienne. Vol.1 —II. 
Paris, 1817.
Dicks, 1954. — Dicks D.R. Ancient Astronomical Instruments //J. Brit. Astron. 
Ass. 1954
V.64. P.77-85.
Dicks, 1970. — Dicks D.R. Early Greek Astronomy to Aristotle. Bristol: Thames & 
Hudson,
1970.

Drecker, 1927. — Das Planispherium des Claudius Ptolemaeus /Ubersetz. von J.
Dre-
    cker //Isis. 1927. V.9. P.255- 278.
Dreyer, 1906. — Dreyer J.L.E. History of Planetary Systems from Thales to 
Kepler.
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1906 (Reprint: A History of Astronomy from 
Thales
    to Kepler. N.Y.: Dover, 1953).
Dreyer, 1917, 1918. — Dreyer J.L.E. On the Origin of Ptolemy's Catalogue of 
Stars //MN.
1917.	V.77. P .528 -539; 1918. V.78. P.343-349.
Duhem, 1913—1959. — Duhem P. Le systeme du monde. Vol.1 —10. Paris: Hermann,
1913-1959.
During, 1930. — Pie Harmonielehre des Klaudios Ptolemaios /Hrsg. von I.During
    //Goteborgs Hogskolas Arskrift. 1930. Bd.36, No.l.
During, 1934. Ptolemaios und Porphyrios uber die Musik /Ubersetz. u. komm. von 
I.During
    //Goteborgs Hogskolas Arsskrift. 1934. Bd.40, No.l.
Evans, 1984. — Evans J. On the Function and Probable Origin of Ptolemy's Equant 
//Amer.
    J. Phys. 1984. V.52, No. 12. P. 1080-1089.
Evans, 1987. — Evans J. On the Origin of Ptolemy's Star Catalog //JHA. 1987. V.
18.
P. 155-172, 233-278.
Fischer, 1932. — Claudii Ptolemaei Geographiae Codex Urbinas Graecus 82 /Ed. J.
Fischer.
Pars. I,II. Leipzig: Harrassowitz; Leiden: Brill, 1932.
Fotheringham, 1918. — Fotheringham J.K. The Secular Acceleration of the Sun as 
Determined
from Hipparchus' Equinox Observations; with Note on Ptolemy's False Equinox 
//MN.
1918.	V.78. P.406-423.
Fotheringham, 1920. — Fotheringham J.K. Note on the Secular Accelerations of 
the Sun and
Moon as determined from the Ancient Lunar and Solar Eclipses, Occultations and 
Equinox
    Observations //MN. 1920. V.80. P.578-581.
Fotheringham, 1923. — Fotheringham J.K. The Secular Acceleration of the Moon's 
Mean
Motion as Determined from Occultations and Conjunctions in the «Almagest» (a
    correction) //MN. 1923. V.83. P.370-373.
Fotheringham, 1924. — Fotheringham J.K. The Metonic and Callippic Cycles //MN. 
1924.
V.84. P.383-392.
Fotheringham, 1928. — Fotheringham J.K. The Indebtedness of Greek to Chaldaean
Astronomy //The Observatory. 1928. V.51, No.653. P.301-315.
Fotheringham, Longbottom, 1915. — Fotheringham J.K., Longbottom G. The Secular
Acceleration of the Moon's Mean Motion as Determined from the Occultations in 
the
«Almagest» //MN. 1915. V.75. P.377-394.
Fowler, 1983. — Fowler D.H. Eratosthenes' Ratio for the Obliquity of the 
Ecliptic //Isis.
1983. V.74. P.556-562.
Gingerich, 1983. — Gingerich O. Ptolemy and the Maverick Motion of Mercury 
//Sky and
Telescope. 1983. V.66, No.l. P.11 —13.
Gingerich, 1980. — Gingerich O. Was Ptolemy a Fraud? //Quart. J. Roy. Astr. Soc.
 1980.
V21. P.253-266.
Gingerich, 1981. — Gingerich O. Ptolemy Revisited: A Reply to R.R. Newton 
//Ibid. 1981.
V22. P.40-44.
Gingerich, Welther, 1984. — Gingerich O., Welther B. Some Puzzles of Ptolemy's 
Star
Catalogue //Sky and Telescope. 1984. V.67, No.5. P.421-423.
Ginzel, 1899. — Ginzel F.K. Spezieller Kanon der Sonnen- und Mondfinsternisse. 
Berlin:
Mayer & Muller, 1899.
Ginzel, 1906—1914. — Ginzel F.K. Handbuch der mathematischen und technischen
Chronologie. Bd.I-III. Leipzig: Hinrichs, 1906, 1911, 1914.
Glowatzki, Gottsche, 1976. — Glowatzki E., Qottsche H. Die Sehnentafel des 
Klaudios
Ptolemaios. Nach den historischen Formelplanen neuberechnet. Munchen, 1976.
Goldstein, 1967. — Goldstein B.R. The Arabic Version of Ptolemy's «Planetary 
Hypotesis*
//Trans. Amer. Philos. Soc. (N.S.). 1967. V.57, pt.4.
Goldstein, 1977. — Goldstein B.R. Remarks on Ptolemy's Equant Model in Islamic 
Astronomy
/With Appendix by F.W.Sawyer //Prismata. Festschrift fur Willy Hartner /Ed. Y.
Maeya-
ma, W.G.Salter. Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1977. S. 165-181.
Goldstein, 1983. — Goldstein B.R. The Obliquity of the Ecliptic in Ancient 
Greek Astro-
nomy //Archives internationales d'histoires des sciences. 1983. V.33, No.l 10. 
P.3—14.

Goldstein, Bowen, 1989. — Goldstein B.R., Bowen A.C. On Early Hellenistic 
Astronomy:
    Timocharis and the First Callippic Calendar //Centaurus. 1989. V.32. P.
272-293.
Goldstein, Bowen,  1991. — Goldstein B.R., Bowen A.C. The Introduction of Dated
Observations and precise Measurement in Greek Astronomy //Archive for History 
of
     Exact Sciences, 1991. V.43. P.93-132.
Grasshoff, 1990. — Grasshoff G. The History of Ptolemy's Star Catalogue. 
Springer-Verlag, 1990.
Grasshoff, 1993. — Grasshoff G. The Babylonian Tradition of Celestial Phenomena 
and
Ptolemy's Fixed Star Calendar //Die Rolle der Astronomie in den Kulteren Meso-
    potamiens. Graz, 1993. P.95-134.
HA I, II. — Ptolemaus C. Handbuch der Astronomie. Bd.l—2, Aufl.2 /Deutsche 
Ubersetz.
u. erlaut. Anm. von K.Manitius. Vorwort und Bericht. von O.Neugebauer. Leipzig:
Teubner, 1963.
Hallo, 1988. — Hallo W.W. The Nabonassar Era and other Epochs in Mesopotamian
Chronology and Chronography //A Scientific Humanist: Studies in Memory of 
Abraham
    Sachs /Ed. E.Leichty. Philadelphia, 1988. P.175-190.
Halma, 1813, 1816. —Composition mathematique de Claude Ptolemee. I —II 
//Traduite pour
la premiere fois do grec en francais par N.Halma et suivie des notes de M.
Delambre.
Paris, 1813, 1816.
Halma, 1819. — Halma M. Table chronologique des regnes... apparitions des fixes 
et
    announces par Ptolemee. Paris, 1819.
Halma, 1820. — Hypotheses et epoques des planetes, de C.Ptolemee, et 
hypotyposes de Proclus
Diadochus /Ed. N.Halma. Paris, 1820.
Halma, 1822—1825. — Tables manuelles astronomiques de Ptolemee et de Theon. Pt.
I —
III /Ed. N.Halma. Paris, 1822, 1823, 1825.
HAMA. — Neugebauer O. A History of Ancient Mathematical Astronomy. V.l— 3. 
Berlin;
Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1975.
Hamilton etc. 1987. — Hamilton N.T., Swerdlow N.M., Toomer G.J. The Canobic 
Inscrip-
tion //From Ancient Omens to Statistical Mechanics. Copenhagen: Univ. Library, 
1987.
P.55-73.
Hartner, 1955. — Hartner W. The Mercury Horoscope of Marcantonio Michiel of 
Venis
//Vistas in Astronomy. 1955. V.l. P.84-138.
Hartner, 1974. — Hartner W. Ptolemyj Azarquiel, Ibn al-Shatir, and Copernicus 
on
Mercury //Archives internationales d histoire des sciences. 1974. V.24, No.94. 
P.5—25.
Haskins, 1924. — Haskins C.H. Studies in the History of Mediaeval Science. 
Cambridge
(Mass.): Harvard Univ. Press, 1924 (Reprint 1960).
Heath, 1921. — Heath T.L. A History of Greek Mathematics. Vol. 1,11. Oxford: 
Clarendon
Press, 1921.
Hei I, II. — Claudii Ptolemaei Opera quae extant omnia. Vol.1. Sintaxis 
Mathematica /Ed.
J.L.Heiberg. Pars.I,II. Leipzig: Teubner, 1898, 1903.
Heiberg, 1907. — Claudii Ptolemaei Opera 4uae extant omnia. Vol.11. Opera 
astronomica
     minora /Ed. J.L.Heiberg. Leipzig: Teubner, 1907.
Henning, 1936. — Henning R. Terrae incognitae. Eine Zusammenstellung und kritis.
phe
Bewertung der wichtigsten vorkolumbischen Entdeckungsreisen. I. Altertum bis 
Ptolemaus.
Leiden: E.J.Brill, 1936 (рус. пер. см. [Хеннинг, 1961]).
Hill, 1900. - Hill G.W. Ptolemy's Problem //Astr. J. 1900. V.21. P.33-35.
Honigmann, 1929. — Honigmann E. Die sieben Klimata. Heidelberg, 1929.
Hunger, Pingree, 1989. — Hunger H., Pingree D. MUL. APIN. An Astronomical 
Compendium
in Cuneiform //Archiv fur Orientforschung. Beiheft 24, 1989.
Ideler, 1806. — Ideler L. Historische Untersuchungen uber die astronomischen 
Beobachtungen
der Alten. Berlin, 1806.
JHA — Journal for the History of Astronomy.
Jones, 1983. — Jones A. The Development and Transmition of the 248-day Schemes 
for Lunar
Motion in Ancient Astronomy //Archive for History of Exact Science, 1983. V.29. 
P. 1—36.
Jones, 1990. — Ptolemy's first commentator /Ed. A.Jones. — Philadelphia: Amer. 
philos.
soc., 1990. (Trans. Amer. Philos. Soc., Vol.80, Pt.7).
Jones, 1991. — Jones A. Hipparchus's Computations of the Solar Longitudes //JHA,
 1991,
V.22. P. 101-125.

Kennedy, 1956. — Kennedy E.S. A Survey of Islamic Astronomical Tables //Trans. 
Amer.
    Philos. Soc. 1956. V.46, No.2. P.123-177.
Krause, 1936. — Krause-M. Die Spharik von Menelaus aus Alexandrien in der 
Verbesserung
von Abu Nasr Mansur b.Ali b. 'Iraq. Berlin, 1936.
Kugler, 1900. — Kugler F.X. Die Babylonische Mondrechnung. Freiburg im Breisgau,
 1900.
Kunitzsch, J 974. — Kunitzsch P. Der .Almagest. Die Sintaxis Mathematica des 
Claudius
Ptolemaus in arabisch-lateinischer Uberlieferung. Wiesbaden, 1974.
Kunitzsch, 1975. — Ibn-as-Salah. Zur Kritik..der Koordinatenuberliferung im 
Sternkatalog
des Almagest /Hrgb. von P.Kunitzsch. Gottingen, 1975.
Kunitzsch, 1986. — Ptolemaus C. Der Sternkatalog des Almagest. Die.
arabisch-mittelalterliche
Tradition. Teil.I.: Die arabischen Ubersetzungen /Hrgb. u. Ubers. von P.
Kunitzsch.
Wiesbaden: Otto Harrassowitz, 1986.
Kunitzsch, 1990. — Ptolemaus C. Der Sternkatalog des Almagest. Die 
arabisch-mittelalterliche
Tradition. Teil II. Die lateinische Obersetzung Gerchards von Cremona /Hrgb. 
von
P.Kunitzsch. Wiesbaden: Otto Harrassowitz, 1990.
Kunitzsch, 1991. — Ptolemaus C. Der Sternkatalog des Almagest. Die 
arabisch-mittelalterliche
Tradition. Teil III: Gesamtkonkordanz der Sternkoordinaten /Bearb. von P.
Kunitzsch.
Wiesbaden: Otto Harrasowitz, 1991.
Kurtik, 1984. — Kurtik G.E. Die Entdeckung der Prazession //Schriftenreihe fur 
Geschichte
der Naturwissenschaften, Technik und Medizin. 1984. Bd.21, No.l, S.69—78.
Lammert, 1952. — Claudii Ptolemaei Opera quae extant omnia. V.III, 2. Peri 
kriterion kai
hegemonikon /Ed. F.Lammert. Leipzig: Teubner, 1952, S.I—XVI, 3—36 (Reprint 
1961).
LBAT. — Pinches T.G., Strassmaier J.N., Sachs A.J. Late Babylonian Astronomical 
and
Related Texts. Providence: Brown Univ. Press, 1955.
Lefeline, 1956. — L'Optique de Claude Ptolemee dans la version latine d'apres 
l'arabe de
l'emir Eugene de Sicile /Ed. A.Lejeune //Universite de Lou vain. Recueil de 
travaux
d'histoire et de philologie. 4e ser., fasc.8. Louvain, 1956.
Luckey, 1927. — Luchey P. Das Analemma von Ptolemaus //Astronomische 
Nachrichten.
1927. Bd.230. S.17-46.
Maeyama, 1981. — Maeyama Y. The Basic Problems of the Babylonian Lunar Theory
//Archives internationales d'histoire des science. 1981. V.31, No.107. P.
253—372.
Maeyama, 1984. — Maeyama Y. Ancient Stellar Observations, Aristyllus, 
Hipparchus,
Ptolemy; the Dates and Accuracies //Centaurus. 1984. V.27. P.280—310.
Manitius, 1894. — Hipparchi in Arati et Eudoxi Phaenomena Commentariorum Libri
Tres /Ed. C.Manitius. Leipzig: Teubner, 1894.
Manitius, 1898. — Gemini Elementa Astronomiae /Ed. C.Manitius. Leipzig: Teubner,
 1898.
Manitius, 1904. — Manitius K. Fixternbeobachtingen des Altertums //Das Weltall. 
1904. 5
Jahrgang, Heft 1-2. S.14-18, 22-26.
Manitius, 190-9. — Procli Diadochi hypotyposis astronomicarum positionum /Hrsg. 
u.
Deutsch. Ubersetz. von K.Manitius. Leipzig: Teubner, 1909.
Meeus, Mucke, 1979. — Meeus J., Mucke H. Canon of Lunar Eclipses - 2002 to + 
2526.
Wien, 1979.
MN — Monthly Notices of the Royal Astronomical Society.
Moesgaard, 1974. — Moesgaard K.P. Success and Failure in Copernicus' Planetary 
Theories
//Archives internationales d'histoire des sciences. 1974. V.24. P.73—111, 
243—318.
Moesgaard, 1987. — Moesgaard K.P. In Chase of an Origin for the Mean Planetary 
Motions
in Ptolemy's Almagest //From Ancient Omens to Statistical Mechanics. Essays on 
the
Exact Sciences Presented to Asger Aaboe /Ed. J.L.Bergren & B.R.Goldstein. 
Copen-
hagen: Univ. Library, 1987.
Murschel, 1995. — Murschel A. The Structure and Function of Ptolemy's Physical
Hypotheses of Planetary Motion //JHA, 1995. V.XXVI. P.33-61.
Neugebauer, 1934. — Neugebauer P.V. Spezieller Kanon der Mondfinsternisse fur 
Vorderasien
und Agypten von 3450 bis 1 v. Chr. //Astronomische Abhandlungen. 
Erganzungshefte
zu den Astronomischen Nachrichten. Bd.9. No.2. Kiel, 1934.
Neugebauer, 1957. — Neugebauer O. The Exact Sciences in Antiquity. 2nd ed. 
Providence:
Brown Univ. Press, 1957 (рус. пер. см. [Нейгебауэр, 1968]).

Neugebauer, 1959. — Neugebauer О. The Equivalence of Eccentric and Epicyclic 
Motion
    accoding to Appolonius //Scripta Mathematica. 1959. V.24. P.5—21.
Neugebauer, 1968. — Neugebauer O. On the Planetary Theory of Copernicus 
//Vistas in
    Astronomy. 1968. V.10. P.89-103.
Neugebauer, 1983. — Neugebauer O. Astronomy and History. Selected Essays. N.Y.; 
Berlin;
    Heidelberg; Tokyo: Springer-Verlag, 1983.
Neugebauer, Van Hoesen, 1959. — Neugebauer O., Van Hoesen H.B. Greek Horoscopes
    //Mem. Amer. Philos. Soc. 1959. V.48.
Nevalainen, 1996. — Nevalainen J. The Accuracy of the Ecliptic Longitude in 
Ptolemy's
    Mercury Model //JHA, 1996. V.27, No.2. P.147-160.
Newton, 1973. — Newton R.R. The Authenticity of Ptolemy's Parallax Data. Pt.I 
//Quart.
    J. Roy. Astron. Soc. 1973. V.14, No.4. P.376-388.
Newton, 1974. — Newton R.R. The Authenticity of Ptolemy's Eclipse and Star Date 
//Ibid.
     1974. V.15. P.107—121.
Newton, 1976. — Newton R.R. Ancient Planetary Observations and the Validity of 
Ephemeris
    Time. Baltimore: John Hopkins Press, 1976.
Newton, 1977. — Newton R.R. The Crime of Claudius Ptolemy. Baltimore and 
London: The
John Hopkins Univ. Press, 1977 (рус. пер. см. [Ньютон, 1985]).
Newton, 1979. — Newton R.R. On the Fractions of Degrees in an Ancient Star 
Catalogue
//Quart. J. Roy. Astron. Soc. 1979. V.20. P.383-394.
Newton, 1982. — Newton R.R. The Origins of Ptolemy's Astronomical Parameters. 
The Centre
for Archaeoastronomy, Univ. of Maryland. The John Hopkins Univ., Applied 
Physical
Laboratory, 1982.
Newton, 1983. — Newton R.R. The Authenticity of Ptolemy's Star Date—II //Quart. 
J Roy.
Astron. Soc. 1983. V.24. P.27-35.
Nobbe, 1843—1845. — Claudii Ptolemaei Geographia. Bd.1,11 /Hrsg. von C.F.A.
Nobbe.
Leipzig, 1843, 1845 (Reprint 1898, 1966).
Nolte, 1922. — Nolte F. Die Armillarsphare //Abhanglungen zur Geschichte der 
Natur-
wissenschaften und der Medizin, Erlangen. 1922. No.2.
Oppolzer, 1887. — Oppolzer T.R. von. Canon der Finsternisse. Wien, 1887 (Denks. 
Kaiser.
    Akad. Wiss., Math.-Natur. CI., Bd.52).
PA. — Ptolemy's Almagest /Transl. and Annot. by G.J.Toomer. N.Y.; Berlin; 
Heidelberg;
    Tokyo: Springer-Verlag, 1984.
Pannekoek, 1955. — Pannekoek A. Ptolemy's Precession //Vistas in Astronomy. 
1955. V.l.
P.60-66.
P.-K. — Peters C.H.F., Knobel E.B. Ptolemy's Catalogue of Stars. Washington, 
1915 (Publ.
of the Carnegie Inst, of Washington. V.86).
Pappus. — Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt. /Ed. F.Hultsch. 3 vols.
 Berlin,
1876-1878.
Parker, 1950. — Parker R.A. Calendar of Ancient Egipt. Chicago: Univ. of 
Chicago Press. 1950.
Pedersen, 1975. — Pedersen O. The Corpus Astronomicum and the Traditions of 
Mediaeval
Latin Astronomy //Studia Copernicana. 1975. V.13. P.57—96.
Petersen, 1966. — Petersen V.M. A Comment on a Comment by Manitius //Centaurus, 
1966,
V.ll, No.4. P.306-309.
Petersen, Schmidt, 1967. — Petersen V.M., Schmidt O. The Determination of the 
Longitude
of the Apogee of the Orbit of the Sun accoding to Hipparchus and Ptolemy 
//Centaurus.
1967. V.12. P.73-96.
Petersen, 1969. — Petersen V.M. The Three Lunar Models of Ptolemy //Centaurus. 
1969.
V.14. P.142-71.
Pines, 1964. — Pines S. Ibn Al-Haytham's Critique of Ptolemy //Proc. Tenth 
Inter. Cong,
of Hist. Sci. Paris: Hermann. 1964. P.547 -550.
Pingree, 1963. — Pingree D. Astronomy and Astrology in India and Iran //Isis. 
1963. V.54,
Pt.2. No.176, P.229-246.
Pingree, 1973. — Pingree D. The Greek Influence on Early Islamic Mathematical 
Astro-
nomy //J. Amer. Orien. Soc. 1973. V.93. P.32—43.
Pingree, 1978. — Pingree D. History of Mathematical Astronomy in India 
//Dictionary of
Scientific Biography. 1978. V.15. P.533-633.

Pliny, 1938. — Pliny. Natural History /Transl. H.Rackham. V.II. London: Loeb 
Classical
Library, 1938.
Price, 1957. — Price D.J. Precision Instruments to 1500 //A History of 
Technology.
V.III /Ed. Ch.Singer. Oxford, 1957. P.582-619.
Ptolemaeus, 1515. — Almagestum CI. Ptolemei Pheludiensis Alexandrini, 
astronomorum
rincipis, opus ingens ac nobile, omnes coelorum motus continens. Venetiis: 
Petrus
ichtenstein, 1515.
Ptolemaeus, 1528. — Almagestum seu magnae constructions mathematicae opus plane
divinum latina donatum lingua ab Georgio Trapezuntio. In urbe Veneta, 1528.
Ptolemaeus, 1538. — C.Ptolemaei Magnae Constructions, id est Perfectae 
coelestium motuum
    pertractationis, Libri XIII. Basileae: Joh. Walder, 1538.
Rawlins, 1982(1). — Rawlins D. An Investigation of the Ancient Star Catalog 
//Publications
of the Astronomical Society of the Pacific. 1982. V.94, No.58. P.359-373.
Rawlins, 1982(2). — Rawlins D. Eratosthenes' Geodesy Unraveled: Was There a 
High-
accuracy Hellenistic Astronomy? //Isis, 1982. V.73. No.267. P.259—265.
Rawlins, 1987. — Rawlins D. Ancient Heliocentrists, Ptolemy and the Equant 
//Amer.
J. Phys. 1987. V.55, No.3. P.235-239.
Regiomontanus, 1496. — Epitoma Joannis de Monte regio in Almagestum Ptolemei. 
Venetiis:
Hamman, 1496.
Rehm, 1916. — Rehm A. Griechische Windrosen //Sitz. d. Konigl. Bayer. Akad. d. 
Wiss.,
    Philos.-philolog. u. hist. Kl. 1916. Abh.3.
Riddell, 1978. — Riddell R.C. The Latitudes of Venus and Mercury in the 
Almagest //Archive
    for History of Exact Sciences. 1978. V.19. P.95-111.
Robbins, 1948. — Ptolemaeus C. Tetrabiblos /Ed. and transl. by F.E. Robbins. 
Cambridge
    (Mass.), London: Harvard Univ. Press, Heinemann, 1948.
Roberts, 1957. — Roberts V. The Solar and Lunar Theory of Ibn ash-Shatir, a 
Precopernican
    Copernican Model //Isis. 1957. V.48. P.428-432.
Rome, 1927(1). — Rome A. L'Astrolabe et le Meteoroscope d'apres le commentaire 
de Pappus
sur le 5e livre de l'Almagest //Annales de la Societe Scientifique de Bruxelles.
 1927.
T.47, No.2. Memoires. P.77-102.
Rome, 1927(2). — Rome A. L'instrument paralactique d'apres le commentaire de 
Pappus au
5e livre de f Almagest //Annales de la Societe Scientifique de Bruxelles. Ser .
A. Sciences
Mathematiques. 1927. T.47, No.4. P. 137.
Rome, 1931. — Pappus d'Alexandrie. Commentaire sur les livres 5 et 6 de 
l'Almageste
//Commentaire de Pappus et de Theon d'Alexandrie sur l'Almageste. T.I /Ed. A.
Rome,
(Biblioteca Apostolica Vaticana, Studi e Testi 54).
Rome, 1936. — Theon d'Alexandrie. Commentaire sur les livres 1 et 2 de 
l'Almageste
//Commentaires de Pappus et de Theon d'Alexandrie sur l'Almageste. T.II /Ed.
A.Rome. Roma, 1936 (Biblioteca Apostolica Vaticana, Studi e Testi 72).
Rome, 1937, 1938. — Rome A. Les observations d'equinoxes et de solstices dans 
le chapitre
1 du livre 3 du «Commentaire sur l'Almageste* par Theon d'Alexandrie //Annales 
de
la Societe Scientifique de Bruxelles. Ser.I. 1937. V.57. P.213-236; 1938. V.58. 
P.6-26.
Rome, 1939. — Rome A. Le probleme de l'equation du temps ches Ptolemee 
//Annales de
la Societe Scientifique de Bruxelles. Ser.I. 1939. V.59. P.211-224.
Rome, 1943(1). — Theon d'Alexandrie. Commentaire sur les livres 3 et 4 de 
l'Almageste
//Commentaires de Pappus et de Theon d'Alexandrie sur l'Almageste. T.III /Ed.
    A.Rome. Roma, 1943 (Biblioteca Apostolica Vaticana, Studi e Testi 106).
Rome, 1943(2). — Rome A. Les observations d'equinoxes de Ptolemee et le 
mouvement de
    l'apogee solare //Ciel et Terre. 1943. V.59. P.l-15.
Rome, 1950. — Rome A. The Calculation of an Eclipse of the Sun accoding to 
Theon of
Alexandria //Proc. Intern. Congr. Math. Cambridge (Mass.). USA. Aug.30—Sept.6.
1950. V.l. P.209-219.
SA — Pedersen O. A Survey of the Almagest. Odense Univ. Press., 1974.
Sachs, Hunger, 1988, 1989. — Sachs A.J., Hunger H. Astronomical Diaries and 
Related Texts
from Babylonia. V.I—II. Vienna: Verlag der Osterreichischen Akad. d. Wiss., 
1988, 1989.
Samuel, 1972. — Samuel..A.E. Greek and Roman Chronology. Calendars and Years in
Classical Antiquity. Munchen: Beck, 1972.

Sawyer, 1977. — Sawyer F.W. On Ptolemy's Determination of the Apsidal Line for 
Venus.
C>. [Goldstein, 1977].
Schjellerup, 1881. — Schjellerup C.F.C. Recherches sur l'astronomie des anciens.
 HI. Sur
les conjonctions d'etoiles avec la lune rapportees par Ptolemee //Copernicus I. 
1881.
P.223-236.
Schlachter, 1927. — Schlachter A. Der Globus, seine Entstehung und Verwendung 
in der
    Antike. Leipzig; Berlin, 1927 (Stoicheia, 8).
Shevchenko, 1990. — Shevchenko M. An Analysis of Errors in the Star Catalogues 
of Ptolemy
and Ulugh Beg //JHA. 1990. V.XX1. P.187-201.
Steinschneider, 1892. — Steinschneider M. Die arabischen Bearbeiter des 
Almagest
//Bibliotheca mathematica, 1892. Folge 2, Bd 2. S.53-62.
Steinschneider, 1960. — Steinschneider M. Die arabischen Ubersetzungen aus dem
Griechischen. Graz, 1960.
Stevenson, 1932. — The Geography of Claudius Ptolemy /Transl. and ed. by E.L.
Stevenson;
Introduction by J.F.Fischer. N.Y., 1932.
Swerdlow, 1969. — Swerdlow N. Hipparchus on the Distance of the Sun //Centaurus.
 1969.
V.14. P.287-305.
Swerdlow, 1979. — Swerdlow N. Ptolemy on Trial //The American Scholar. 1979. V.
48.
P.523-531.
Swerdlow, 1980. — Swerdlow N. Hipparchus' Determination of the Length of the 
Tropical
Year and the Rate of Precession //Archive for History of Exact Sciences. 1980. 
V.21,
No.4. P.291-309.
Swerdlow, 1989. — Swerdlow N. Ptolemy's Theory of the Inferior Planets //JHA. 
1989.
V.28. P.29-60.
Swerdlow, 1992. — Swerdlow N.M. The Enigma of Ptolemy's Catalogue of Stars 
//Ibid.
1992. V.23. P.173-183.
Taliaferro, 1952. — Ptolemy C. The Almagest /Transl. by R.C. Taliaferro //Great 
Books
of the Western Wold. Chicago, 1952. V.16. P.l-478.
Tannery, 1893. — Tannery P. Recherches sur l'histoirc de l'astronomie ancienne. 
Paris, 1893.
Thurston, 1995. — Thurston H. Three Solar lxingitudcs in the Almagest due to 
Hipparchus
//JHA, 1995, V.26. P.164.
Tihon, 1976. — Tihon A. \JC calcul dc l'eclipse de Soleil du 16 iuin 364 p. C. 
et le «Petit
Commentairc» de Theon //Bulletin dc l'Institut Beige de Rome. 1976. Fasc.46—47.
P.35-79.
Tihon, 1978. — Tihon А. \л «Petit Commentairc* de Theon d'Alexandrie aux Tables 
Faciles
dc Ptolemee //Bibliotcca Apostolica Vatican, Studi с Tcsti. V.282. Vatican, 
1978.
Tihon, 1985(1). — 1л Grand Commcntairc dc Theon d'Alexandrie aux Tables Faciles 
de
Ptolemee: l.ivrc 1. /Histoirc du Tcxte, Edition Critique, .Traduction par A.
Tihon;
comment, par A.Tihon //Ibid. V.315. Vatican, 1985.
Tihon, 1985(2). — Tihon A. Theon d'Alexandrie ct les Tables Faciles de Ptolemee 
//Archives
intcrnationalcs d'histoire des sciences. 1985. V.35, No.l 14-115. P.106—123.
Tihon, 1991. — 1 xi «Crand commentairc* dc Theon d'Alexandrie aux Tables 
faciles de Ptolemee.
l.ivrcs 11 et 111. Edition critique, traduction, commcntaire par A.Tihon 
//Biblioteca
Apostolica Vaticana, Studi с Tcsti. V.340. Vatican, 1991.
Tooiner, 1967. — Toomcr G.J. The Size of the Lunar Epicycle Accoding to 
Hipparchus
//Centaurus. 1967. V.12. P.147-150.
Тоотег, 1972. — Toomcr G.J. The Mathematician Zcnodorus //Greek, Roman and 
Byzantine
Studies. V.13. 1972. P.177-192.
Toomcr, 1973. — Toomcr G.J. The Chord Tabic of Hipparchus and the Early History 
of
Greek Trigonometry //Centaurus. 1973. V.l8. P.6-28.
Tooiner, 1974(1). — Toomcr G.J. Mcton //Dictionary of Scientific Biography. 
1974. V 9.
P.337-340.
Тоотег, 1974(2). — Toomer G.J. Hipparchus on the Distance of the Sun and Moon 
//Archive
for History of Exact Sciences. 1974. V.14. P.126-142.
Twiner, 1975. — Toomcr G.J. Ptolemy //Dictionary of Scientific Biography. 1975. 
V.l 1.
P.186-206.

Тоотег, 1977(1). — Тоотег G.J. Ptolemaic Astronomy in Islam //JHA. 1977. V.8.
P.204-210.
Toomer, 1977(2). — Toomer G.J. Review of Olaf Pedersen. A Survey of the 
Almagest
//Archives Internationales d'Histoire des Sciences. 1977. V.27. P.137—150.
Toomer, 1978. — Toomer G.J. Hipparchus //Dictionary of Scientific Biography. 
1978. V.15.
P.207-224.
Toomer, 1980. — Toomer G.J. Hipparchus' Empirical Basis for His Lunar Mean 
Motions
//Centaurus. 1980. V.24. P.97-109.
Toomer, 1985. — Toomer G.J. Galen on the Astronomers and Astrologers //Archive 
for
History of Exact Science. 1985. V.32. P.193-206.
Toomer, 1988. — Toomer G.J. Hipparchus and Babylonian Astronomy //A Scientific
Humanist: Studies in Memory of Abraham Sachs /Ed. E.Leichty. Philodelphia. 1988.

P.353-362.
Tuckerman, 1962, 1964. — Tuckerman B. Planetary, Lunar and Solar Positions 601 
B.C. to
A.D. 1649 at Five-day and Ten-day Intervals. Vol.1 —II //Mem. Amer. Philos. Soc.

Philadelphia, 1962, 1964. V.56, 59.
Schram, 1908. — Schram R. Kalendariographische und chronologische Tafeln. 
Leipzig:
Hinrichs, 1908.
Vogt, 1920. — Vogt H. Der Kalendar des Claudius Ptolemaus (Griechische Kalendar,
 V /Ed.
F.Boll) //Sitz. Heidel. Akad. d. Wiss., Phill.-Hist. Kl. 1920. Bd.15.
Vogt, 1925. — Vogt H. Versuch einer Wiederherstelung von Hipparchs 
Fixsternverzeihnis
//Astronomische Nachrichten, 1925. Bd.224, Col.17-57. S.18-54.
Waerden, 1953. — Waerden B.L., van der. Bemerkungen zu den Handlichen Tafeln 
des
Ptolemaios /Sitz. der Bayer. Akad. der Wiss. zu Munchen. Math.-Naturw. Kl. 1953.

S.261-272.
Waerden, 1958. — Waerden B.L., van der. Die handlichen Tafeln des Ptolemaios 
/Osiris.
1958. Bd.13. S.54-78.
Waerden, 1959. — Waerden B.L., van der. Ptolemaios //Realencyclopadie der 
classischen
Altertumswissenschaft. Bd. XXIII, 2. Stutgart, 1959. Col.1788-1859.
Waerden, 1974. — Waerden B.L., van der. Science Awaikening II. The Birth of 
Astronomy.
Leiden; N.Y.: Noordhoff intern. Publ.; Oxford Univ. Press, 1974 (рус. пер. см.
[Ван-дер-Варден, 1991 ]).
Waerden, 1979. — Waerden B.L., van der. «Evige Tafeln» //Arithmos-Arrythmos. 
Festschrift
fur Joachim Fleckenstein /Ed. K.Figala & E.H.Berningen. Munchen, 1979. P.
285—293.
Waerden, 1984(1). — Waerden B.L., van der. Greek Astronomical Calendar II. 
Callippos
and His Calendar //Archive for the History of Exact Science. 1984. V.29, No.2.
P.115-124.
Waerden, 1984(2). — Waerden B.L., van der. Greek Astronomical Calendar III. The 
Calendar
of Dionysios //Ibid. 1984. V.29, No.2. P.125-130.
Waerden, 1988(1). — Waerden B.L., van der. Reconstruction of a Greek Table of
Chords //Ibid. 1988. V.38, No.3. P.23-38.
Waerden, 1988(2). — Waerden B.L., van der. Die Astronomie der Griechen: Eine 
Einfiihrung.
Darmstadt: Wiss. Buchges., 1988.
Wilson, 1972. — Wilson C. The Inner Planets and the Keplerian Revolution 
//Centaurus.
1972. V.17. P.205-248.
Wilson, 1984. — Wilson C. The Sources of Ptolemy's Parameters //JHA. 1984. V.15.

P.37-47.
Wlodarczyk, 1987. — Wlodarczyk J. Observing with the Armillary Astrolabe //Ibid.
 1987.
V.18. P.173-195.
Wlodarczyk, 1990. — Wlodarczyk J. Notes on the Compilation of Ptolemy's 
Catalogue of
Stars //Ibid. 1990. V.21. P.283-295.

Список основных обозначений и символов

655









СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ и символов

Сферическая астрономия
Y — точка весеннего равноденствия
точка осеннего равноденствия
Е — угол наклона эклиптики к экватору
а — прямое восхождение
6 — склонение
А — 1) эклиптическая долгота; 2) географическая долгота
/? — эклиптическая широта
<р — географическая широта
h — высота
z — зенитное расстояние
rj — амплитуда восхода
v — угол между эклиптикой и горизонтом
у — угол между эклиптикой и кругом высоты
d — продолжительность дня
т — минимальная продолжительность дня на данной широте
М — 1) максимальная продолжительность дня на данной широте; 2) кульминирующая
    точка эклиптики
Н — восходящая точка эклиптики
М — точка эклиптики, находящаяся в нижней кульминации
р(А) — время восхода дуги эклиптики от точки весеннего равноденствия Y  до 
точки с
долготой А
t — среднее солнечное время
t — истинное солнечное время
Е = (г - г)  — уравнение времени
d
— дни
h — равноденственные часы
m — 1) минуты; 2) месяцы
у — годы
crd — хорда
р — «часть», 1/бо радиуса или 1/120 диаметра
"Id — градусы за день

Теории движения Солнца, Луны и планет
R — радиус эксцентра или деферента
е — эксцентриситет
г — радиус эпицикла
р — геоцентрическое расстояние до светила или до центра эпицикла
I — наклон плоскости орбиты Луны или планеты к плоскости эклиптики

&1 — восходящий узел орбиты
?р — нисходящий узел орбиты
А, А — геоцентрическая долгота
(i — геоцентрическая широта
rj, п — средняя и истинная элонгации от Солнца
1т.ЛХ — максимальная элонгация внутренней планеты
а, а — средняя и истинная эпициклическая аномалии
А:, к — средняя и истинная эксцентрическая аномалии
Kq — расстояние центра эпицикла планеты по долготе от апогея
ш', ш' — средний и истинный аргументы широты, отсчитываемые от наиболее 
северной
точки N орбиты
а,А' ша,шп' шfi — средние скорости движения по долготе, аномалии, элонгации и 
широте
— истинная часовая скорость движения Луны по долготе
-»   — знак, указывающий на то,' что значение долготы (аномалии, аргумента 
широты)
    уменьшено на величину 360° х л, соответствующую целым оборотам
У j, У2, У3, У4 — продолжительность астрономических сезонов (весны, лета, осени,
 зимы)
с = (А - А) — 1) эксцентрическое уравнение, или неравенство в теории Солнца;
2) эпициклическое уравнение в теории Луны: 3) отношение видимой скорости
движения планеты по эпициклу к видимой скорости движения центра эпицикла по
деференту
с     — максимальное уравнение
max	J r
в — эпициклическое уравнение в теории планет
п — эксцентрическое уравнение (уравнение центра) в теории планет
Л — дуга видимости (arcus visionis)

Параллакс и затмения
р — общий параллакс по высоте
ps — параллакс в сизигиях
Pq — параллакс в квадратурах
рх — параллакс по долготе
Рр — параллакс по широте
7Q — момент средней оппозиции Солнца и Луны
rQ —  1) момент истинной оппозиции; 2) начальная эпоха таблиц Птолемея
г — радиус Земли
гО' Г<Г (^О- d1ного периода лунной аномалии
140, 530, 531
,— египетских месяцев 77, 78, 129, 132-
134, 140, 142, 144, 455, 461
—	циклов Калиппа 77, 78, 80, 133, 134,
140, 200, 216, 461
,— эры Набонассара 524
—	эры Александра 80, 142, 144
исследование периодов затмений 105,106,
434, 510
каталог неподвижных звезд 433, 434, 565,
570, 576
«любитель истины» 75, 79, 278, 279
максимальная продолжительность дня па
Родосе 481
 метод  определения   среднего  движения
Луны но широте 127, 521
наблюдении Лупы вис СИЗИГИЙ 142, 144
—	лунных затмений, см. Затмения лунные
,— на Родосе 140, 142, 144
планет 278, 279, 6)8
,— равноденствий, см.  Равноденствия ве-
сенние и осенние
Регула 216, 570
,— склонений звезд 217-219, 571, 572
—	солнцестояний 81
—	Спики во время лунных затмений 78,
79, 2)5, 567
невозможность объяснить движении планет
при помощи гипотез простого эксцентра
или эпицикла 279, 588
определение видимого диаметра Луны и
размеров тени 127, 52), 539
—	видимых диаметров светил 4-локтевым
диоптром 160, 539
—	диаметров и объемов небесных тел 440,
54)
— интервалов лунных и солнечных за-
тмений 553
— лунной аномалии по трем затмениям
109, 5)3, 514, 519
определение наклона орбиты Лупы 127,
521
—	продолжительности астрономических се-
зонов 91, 502
	сидерического года 75
	 тропического года 75-81, 498
—	радиуса эпицикла и эксцентриситета
лунной орбиты 131, 468, 523, 524
,— средних движений Лупы 105-107, 127,
200-201, 521
—,—  эксцентриситета     и  долготы  апогея
   орбиты Солнца 91, 502
Гиппарх, открытие прецессии 73, 210, 433,
494
—, ошибки, приписываемые ему Птолемеем
107, 127, 131-134, 171, 200, 201, 524, 546
планетные периоды 280, 281, 588
процедура для  нахождения  параллакса
154, 537, 538
ранняя гипотеза для объяснения прецессии
210, 565
расхождения с Птолемеем при описании
созвездий 224, 575
собрание планетных наблюдений 279, 305
сомнения в постоянстве тропического года
76, 78
сочинение «Комментарии к Арату» 565,
570, 571, 582
— «О вставных месяцах и днях» 81
— «О неподвижных звездах» (?) 565
,— «О параллаксах» 171
,— «О продолжительности года» 81, 216,
217
,— «О размерах и расстояниях» 542, 537
«О смещении солнцеворотных и равно-
денственных точек» 76, 215, 217, 565
список его работ 277, 498
таблица хорд 468
цикл календарный 304-летиий 498
Гипсикл 433, 474
Глобус небесный 223
	, конструкция 268, 584, 585
	, расположение фигур созвездий на нем
214, 223, 268, 269, 567, 576
Гномон 11, 38, 39, 465, 473
—, отношение длины тени к длине гномона
как   показатель  географической  широты
38-45, 482, 483, 538
Год аномалистический 502, 513
— сидерический 75, 495
— тропический 75, 76, 495, 502, 513
	, его продолжительность, согласно Гип-
парху 78-81
	,	согласно Птолемею 78-82, 498
	,— неизменность 76
	, значение в эпоху Птолемея 495
	, основа теории Солнца у Птолемея 76, 495
Голдстейп (Goldstein B.R.) 474
Гомер 479
Гомоцептр 499
Гомоцентрическая  теория  движения  планет
   432, 433, 454
Гороскоп (асцепдепт) 56, 488
Градусы времени 32, 478
—	половинные 482, 483
Грасхоф (Grasshoff G.) 576, 577, 578, 580-583
Гюйгенс 454
Дамбис А.К. 576, 577
Дарий I, ахеменидский царь 128, 129, 522
Два вида первых движений 14, 15, 467
Движение круговое равномерное, его роль при
    моделировании движений светил 82, 85
Дсламбр (Delambre J.B.J.) 450, 576
Деление круга на 360° 16, 468
День, вычисление продолжительности 56
—	самый длинный 35, 481, 483
	, характеристика географической ши-
роты 39-45
Деферент 499

Дидим 444
Дионис, его культ 583
Дионисий, 594, см. также Календарь Дионисия
Диоптр Герона 532
—	Гиппарха 160, 539
Диофант 453
«Дневники астрономические» 504, 588
Домициан, римский император 220
«Древние математики» 75, 104, 509
Дрейер (Dreyer J.L.E.) 450
Дроби простые в «Альмагесте» 468, 469, 576
— цепные 473
— шестидесятиричные 16, 469
Дуга видимости (arcus visionis) 274-276, 586,
    587, 640-642
Дюэм (Duhem P.) 450
Евдокс 432, 435, 441, 454, 479, 483
—, глобус небесный 434
—, гомоцентрическая теория движения планет
    432, 433, 454
Евклид'433,'435-437, 443, 473, 474, 500
—, «Начала» 453, 469, 474
—, «О заданных величинах» 504
Евктемон 434, 498
—,  наблюдение  солнцестояния  в -431   г.
   совместно с Метоном 80, 81, 495, 498
Ефремов Ю.Н. 577
Житомирский СВ. 471, 472, 495, 539
Жнец, звезда 322, 602
Завенягин Ю.А. 457, 608
Закс (Sachs А.) 540
Закон преломления 444
аз-Заркали 502
Затмения, измерение величины фазы в «паль-
цах» линейных и «пальцах» площади 194,
195, 517, 522, 557
—, использование для доказательства сфе-
ричности Земли 9
—, таблицы для предвычисления параметров
197-199, 557, 558
Затмения лунные, аргумент в пользу цент-
рального положения Земли 11, 466
	, вычисление по таблицам Птолемея 199,
200, 560
	,  интервал между  ними пятимесячный
185, 186, 553, 554
	,	семимесячный 186, 555
	,	шестимесячный 185, 554, 555
	, использование для определения истин-
ной долготы Луны 78, 103, 104, 509-511
Затмения лунные, наблюдения
-720, март, 19 (вавилонское) 118, 504,
514-517
-719, март, 8/9 (вавилонское) 118, 126,
127, 129, 200, 517, 520-523, 561
-719, сентябрь, 1 (вавилонское) 119, 515,
518
-620, апрель, 21/22 (вавилонское) 161, 539
-522, июль, 16 (вавилонское)   161, 540
-501, ноябрь, 19 (вавилонское) 129, 523
-490, апрель, 25 (вавилонское) 128, 522
-382, декабрь, 23 (вавилонское) 132, 524
-381, июнь, 18 (вавилонское) 132, 527
-381, декабрь, 12 (вавилонское) 133, 527
-200, сентябрь, 22 (Александрия) 133, 527
-199, март 19 (Александрия) 134, 527
Затмения лунные, наблюдения
-199, сентябрь, 11/12 (Александрия) 134,
527
-173, май, 1 (Александрия) 181, 182, 550
-145, апрель, 21 (Гиппарх) 78, 497
-140, январь, 27 (Гиппарх) 182, 200, 550,
561
-134, март, 21 (Гиппарх) 78, 497
125, апрель, 5 (Теон?) 128, 522
133, май, 6 (Птолемей) 123, 520
134, октябрь, 20 (Птолемей) 123, 126, 520
136, март, 6 (Птолемей) 123, 520
	, наблюдения одновременные для опреде-
ления разности географических долгот 38
	, построение таблиц затмений 191-194
	, предвычисление величины фазы и по-
лудлительности 191-194, 199-200, 515,
557-560
	, пределы затмений по аргумент}' широты
179, 181-184, 551-553
	,   роль  в  теории  движения  Луны  по
долготе 103, 104, 509, 514
	, углы наклонений 204-209, 562-564
Затмения солнечные, влияние параллакса на
них 103, 154, 201, 509, 551, 552
	, интервал между ними месячный 188-
190, 553, 556, 557
	,	пятимесячный 186, 187, 554, 555
	,	семимесячный 187, 188, 553, 554
	,	шестимесячный 185
	, кольцеобразные 539, 541
	, предвычисление величины фазы и по-
лудлительности 202, 203, 561, 562
	, пределы затмений по аргументу широты
179, 181-184, 551, 552
	, углы наклонений 204-209, 562-564
Заход вечерний последний видимый (ге-
лиакический) 272, 585, 640
— утренний первый видимый (космический)
271,	272, 441, 585
Звезды  неподвижные,  вое код  акронический
272,	585
	, восход гелиакический 271, 274-276, 585,
586
	, заход гелиакический 272, 274-276, 585
	,— космический 271, 272, 585
	, измерение долготы и широты при по-
мощи астролябии 136, 215 , 223, 567-570
	, неизменность относительных положений
210-214
	, одновременная кульминация с Солнцем
273,	585
	, одновременный восход с Солнцем 273,
274,	585
	,— заход с Солнцем 273, 274
Звезды неподвижные, определение склонений
Аристиллом, Тимохарисом, Гиппархом и
Птолемеем 217-219, 571
	, отсутствие у них параллакса 11, 466
	, подразделение на 6 величин 224, 575
	, покрытия Луной 219-222
	, уравнительные наблюдения Гиппарха и
Птолемея 211-214, 566, 567
	,	вавилонских астрономов 567
Зейла, город 484
Земля, ее неподвижность 12, 13, 437, 464
—, осевое вращение, отрицаемое Птолемеем,
    но предполагаемое другими 13, 467
—, отсутствие поступательного движения 12,
13, 467

Земля, пренебрежимость размеров по срав-
нению с размерами неба 7, 11, 12, 437,
464
—, сферичность 7, 9, 10, 437, 464, 465
—, центральное положение во Вселенной 7,
    10, 11, 437, 464, 465, 466
Зенодор 465
—, «Об изопериметрических фигурах» 465
Зиджи 447, 491
Знаки зодиака 465
	, их последовательность 45
Зодиак 487, см. также Эклиптика
Ибн Аби Мансур 447
Ибн Ирак 474
Ибн аш-Шатир 531
Иделер (Ideler L.) 527, 530
Идельсон Н.И. 451
Инклинация 399, 631
Инструмент параллактический 155, 156, 538
Инструменты астрономические, см. Астро-
лябия, Диоптр, Инструмент параллакти-
ческий. Квадрант, Кольцо равноденствен-
ное. Круг меридианный
Истр (совр. Дунай), река, параллель через
него 42, 484
Исхак ибн Хунайн, перевод «Альмагеста» на
арабский язык 446, 447, 450
Календарь александрийский 441
— афинский 460, 498
— вавилонский (халдейский) 462, 595
— вифинский 462
— Дионисия 462, 594, 608
— египетский 455, 498
— Калиппа 460, 461, см. также Калипп,
Циклы Калиппа
— Метона 461, 524
— селевкидский 462
—	юлианский 462
Калипп 432, 457
—, его календарные циклы 77, 80, 81, 133,
134, 140, 182, 200, 216, 220, 221, 222,
460, 461
—, начало года в цикле 527
—, парапегма 462
—, продолжительность года 461
Камбиз, ахеменидский царь 129, 161, 523
Канарские острова 432, 480
Каноп, город 430, 439
Канопус 258
Каталог звездный в «Альмагесте» 224-263
	, его издания 450, 576
	, звездные величины 224, 263, 575, 576
	, количество звезд 263, 583
	, координаты эклиптические 223, 224,
567, 568
	, метод определения координат 216, 223,
224, 570
	, проблема происхождения 572, 576
	, систематическая погрешность в долготе
568
	, структура 575, 576
	, эпоха 216, 224, 269, 570, 575-577
Катоптрика 444
Катурактоний (совр. Каттерик), город, парал-
лель через него 43, 485
Квадрант 26, 27, 472
Кирена, город 579
Китай 480
Клешни, созвездие 245, 487, 580, 595, 600,
    630
Климаты 441
—, система из 7 климатов 67-74, 205, 483,
    493, 494, 642
—, — из 39 параллелей 39-45, 483
Козлята, астеризм 232
Колос (Спика) 244
—, использование в качестве опорной звезды
320. 335
—, наблюдения Гиппарха 78, 79, 215, 497,
567
—,— покрытий 219, 222, 544, 574
—, расстояние относительно точки весеннего
    равноденствия 78, 215
Кольцо равноденственное     (экваториальное)
    76-78, 495, 497
Колюр равноденствий 40, 135, 483
—	солнцестояний 15, 467, 471, 483
«Композиция» 20, 374, 376, 470, 620
Конфигурации звездные и планетные 269-272,
    428, 441, 585, 586, 641-643,
Коперник 448, 450, 454, 510, 531, 591
—, «О вращениях» 430, 450
Круг меридианный 26, 471
— наклонный 14, 15, 464
— полуденный 15, 464
— равноденственный 14, 465, 467
— через середины зодиакальных созвездий 14,
465
Ксенофан 465
Куглер (Kugler F.X.) 510
Кульминация 467, 491
Куницш (Kunitzsch Р.) 446, 576, 580-584
Кушьяр ибн Лаббан 447
Лаланд 576
Лаплас 576
Линия полуденная (меридианная) 26, 467, 472
Логистика 435, 436, 437
Локоть, единица длины 538
—, угловая астрономическая единица 212,
565, 595
Луна, аномалия средняя и истинная 532
—, апогей средний и истинный 141, 142, 532,
533
—, аргумент широты средний и истинный 522
—, видимый диаметр, согласно Гиппарху 127,
521  539
—,	',— Птолемею 160-162, 181-182, 539,
540, 600
—, вычисление истинных положений гео-
метрически 146, 147, 533
—,	по таблицам 147-151, 533, 534
—, два неравенства в ее движении 109, 513
—, изменение геоцентрического расстояния
157-160, 531, 542
—, использование таблицы лунного неравен-
ства при вычислении положений планет
по широте 419, 637
—, исправление Птолемеем средних движений
Гиппарха 126-129, 521-523
—, кинематическая модель первая простая
117-126, 513, 514
—,	вторая, учитывающая эвекцию 137-
139, 528, 529
—,	третья,  учитывающая движение  в
октантах 141-146, 531, 532
—, максимальная погрешность в долготе, если
пренебречь наклоном орбиты 192, 514, 558

Луна,   максимальное  уравнение   и  долгота
апогея 109,  117-126,  131-134,  139-141,
519, 520, 529, 530
—, наблюдения
-127, август, 5 (Гиппарх) 140, 530
-126, май, 2 (Гиппарх) 142, 532
-126, июль 7 (Гиппарх) 144, 532, 533
126, или 145 (Птолемей) 156, 157
135, октябрь, 1 (Птолемей) 157, 538, 539
139, февраль, 9 (Птолемей) 139, 530
139, февраль, 23 (Птолемей) 215, 568
—, наблюдения покрытий звезд 220-222
-294, декабрь, 21 (Тимохарис) 222, 575
-293, март, 9 (Тимохарис) 220, 221, 544,
574
-282, январь, 29 (Тимохарис) 219, 220,
573, 574
-282, ноябрь, 9 (Тимохарис) 221, 574
92, ноябрь, 29 (Агриппа) 220, 573
98, январь, 11 (Менелай) 221, 574
98, январь, 14 (Менелай) 222, 575
—,	планет
138, декабрь, 16 (Птолемей) 320, 602
138, декабрь, 22 (Птолемей) 360, 613
139, май, 17 (Птолемей) 311, 598
139, май, 30 (Птолемей) 335, 607
 139, июль, 11 (Птолемей) 348, 611, 617,
639
—, наклонение орбиты 156
—, неравенство первое, простое 131
—,— второе (эвекция)  135, 437 , 513, 527,
528
—,— полное, таблицы для его вычисления
    147-151, 533, 534
—, периоды лунные, исправленные Птолемеем
    106-108, 126-129, 510-512
—, размер и объем 163, 164
—, расстояние среднее в сизигиях 162, 163,
541
—, скорость движения истинная часовая в
   окрестности сизигий 181, 549
—, средние движения 108, 109, 512, 513
—,	в начальную эпоху 127, 521
—, эквивалентность эксцентрической и эпи-
циклической моделей при описании ее
движения 109, 116-117, 513
—, эксцентриситет орбиты 141, 531
—, эпицикл, его наклонение 141-146, 531
«Луна», единица измерения угловая 304, 313,
316, 317, 598
ал-Маджрити Маслама, версия «Планисфе-
рия» на арабском 441
«Малая астрономия» 435
ал-Мамун, халиф 446, 502, 513
Манилий, «Астрономика» 575, 585
Манициус (Manitius К.) 3, 4, 449, 527, 531,
566, 575-580, 582-584, 599-601, 605, 606,
608, 610, 611, 622
Марин Тирский 443, 480, 483, 485
Мардокемпад, вавилонский царь 118, 119, 126,
127, 129, 200, 459, 514
Марс, величина эпицикла 335, 336, 608
—, дуга видимости 424
—, дуги попятного движения 382-384
—, кинематическая схема для описания дви-
жения по долготе 324
—, наблюдения
-271, январь, 18 (Дионисий?) 336, 337
130, декабрь, 15 (Птолемей) 326, 608
Марс, наблюдения
135, февраль, 21 (Птолемей) 326, 605,
139, май, 27 (Птолемей) 326, 607
139, май, 30 (Птолемей) 335, 607
Марс, наклонение орбиты 403, 404, 633
—, периоды и средние движения 280-282,
336-338, 589, 609, 620
—, северный предел эксцентра 398, 630
—, теория движения по широте 398, 400, 401,
630-633
—, эксцентриситет и положение апогея 325-
    335, 604-607
—, эпоха периодических движений 339
Массалия (совр. Марсель), параллель через
    него 42, 484
Маэяма (Маеуаша Y.) 571, 572
Менелай 433-435, 437, 474
—, наблюдения покрытий звезд Луной 221,
    222, 575
—, «Сферика» 433, 474
—, теорема о полном четырехстороннике 437,
474
Меотидское   озеро   (совр.   Азовское   море),
    параллель через него 42, 484
Меридиан 14, 26, 467
Меркурий, дпухпернгенная орбита 306, 307,
   596, 597
—, дуга видимости 424
—, дуга попятного движения 386-388, 625, 626
—, кинематическая схема для описания дви-
жения по долготе 300, 591, 592
—, максимальная элонгация 393-397, 629
—, наблюдения
-264, ноябрь, 15 (Дионисий?) 313, 598, 599
-264, ноябрь, 19 (Дионисий?) 313, 598
-261, февраль, 12 (Дионисий?) 304, 594
-261, апрель, 25 (Дионисий?) 304, 594
Меркурий, наблюдения
-261, август, 23 (Дионисий?) 305, 588,
595, 618
-256, май, 28 (Дионисий?) 304, 594
-244, ноябрь, 19 (вавилонское) 305, 596
-236, октябрь, 30 (вавилонское) 305, 595
130, июль, 4 (Теон) 308, 597
132, февраль, 2 (Птолемей) 303, 307, 593
134, июнь, 4 (Птолемей) 303, 307, 594
134, октябрь, 3 (Птолемей) 306, 596
135, апрель, 5 (Птолемей) 306, 596

138, июнь, 4 (Птолемей) 303, 307, 594
139, май, 17 (Птолемей) 311, 598
139, июль, 5 (Птолемей) 308, 597
141, февраль, 2 (Птолемей) 303, 307, 594
—,—, анализ их точности 539
—, название Стилбон 304, 313, 594
—, наклонение орбиты 399-402
—, нарушения последовательности конфигу-
раций 395, 425-427, 641
—, отсутствие параллакса 277, 587
—, периоды и средние движения 281, 282,
311-315, 589, 599
—, прецессионное движение апогея и его
сидерическая фиксированность 299, 300,
305, 596
—, прохождение по диску Солнца 277, 587
—, расчет наименьшего расстояния 309-311,
365, 636
—, теория движения по широте 402, 403,
630-633
—, таблица расстояний до центра эпицикла,
не включенная в «Альмагест» 635

Меркурий, эксцентриситет и долгота апогея
    302-305, 595, 596
Меродах Валадан 514
Мероэ, город и царство 41, 52, 67, 181, 484,
493
—, параллель через него 41
Месяц аномалистический 509
— драконический 509
— сидерический 509
— синодический 509
	, его продолжительность 554
Месяцы, названия в афинском календаре 460,
524
—,— в календаре Дионисия 462, 594
—,— вавилонские 462
—,— египетские 455
—,— македонские 462, 595
Метеороскоп 445
Метод аналеммы 473
—	итерационный для нахождения элементов
планетных орбит 604-607, 610
Метон 434, 570
—, календарные циклы 461
—,   наблюдение  солнцестояния  в -431   г.
совместно с Евктемоном 80, 81, 461, 495,
498
—, парапегма 461
—, продолжительность года 461
Млечный Путь 264-266, 269, 583, 584
Мордухай-Болтовский Д.Д. 453
Мосгор (Moesgaard К.Р.) 599
Мусейон 432
Наблюдения, см. Затмения лунные, Равно-
денствия, Солнцестояния, Сатурн, Юпи-
тер, Марс, Венера, Меркурий, Луна, Сол-
нце, Звезды неподвижные
— вавилонские 118, 119, 128, 129, 132, 161,
434, 540, 565, 588, 595, 640
— Птолемея, проблема их подлинности 498,
499, 505, 524, 533, 538, 570, 572, 573,
600, 608
Набонассар, царь вавилонский 504, см. также
    Эра Набонассара
Набопалассар, царь вавилонский 161, 459, 539
Напата, город, параллель через него 41, 484
Небо, его сферичность 7-9, 437
Небо, два вида первых движений 14-15, 467
Нейгебауэр (Neugebauer О.) 450, 451, 462,
463, 491, 530-532, 546, 547, 557, 575,
604, 608, 615, 620, 624-626, 635, 637,
    640, 642, 643
Неморарий 453
Неомения 491
Нижний Египет, параллель через него 42, 640
Николай V, папа римский 448
Нил 430, 431, 484, 581
Ноубл (Knobel Е.В.) 450, 476, 579, 581
«Нормальные звезды» 588, 595
Ньютон (Newton R.) 451, 478, 498, 524, 532,
538, 573, 576, 602, 608
Обликвация 399, 631
Обо (Aaboe А.) 510
Объемы небесных тел 541
Ойкумена 479, 480
—, значение термина 479
—, ее границы, согласно Птолемею 34, 480
—, подразделения 39-ю параллелями на 38
климатов 39-45, 483
Олимпиадор 430
Оппозиция истинная 548, 550
— средняя 547
Ослята, астеризм 241, 349, 350
Острова Блаженных 443
Отношение скоростей Луны и Солнца 552
Ошибки вычислительные у Птолемея 505, 510,
520, 521, 523, 524, 527, 530-532, 539,
540, 551, 589, 599, 601-603, 607-611, 613,
614, 624, 626, 630, 636
Палец,    астрономическая единица угловых
    величин 190, 191, 517, 557, 565
Паннекук (Pannekoek А.) 572
Папп 435, 445, 465
—, «Комментарии к "Альмагесту"» 445, 524,
    527 , 528 , 537-539, 541, 555
—, «Математическое собрание» 473
Параллакс лунный 154, 494, 509
	,   воздействие   на   пределы   солнечных
    затмений 183, 184, 551, 552
	,— на солнечные затмения и отсутствие
   влияния на лунные затмения 103, 104, 509
	, долготная и широтная составляющие
    140, 170, 171, 530-532, 544-547, 551, 552
	, метод вычисления таблиц в «Альмагесте»
    165-168, 542, 543
	, общий по высоте 164,' 165, 530, 541,
542, 544
	,   определение  по  таблицам  Птолемея
168-174, 542, 543
	, примеры вычисления 187, 544, 545
	, эпипараллакс 561
Параллакс солнечный 494, 537
	, вычисление по таблицам Птолемея 170
	, использование Гиппархом для нахож-
дения расстояния до Луны 154
	, неопределимость его величины из на-
блюдений 154
	, общий по высоте 164-168, 541, 542
	, отсутствие влияния на теорию движения
Солнца 170, 171
Парменид 483
Педерсен (Pedersen О.) 451, 463, 464
Пелузий, город 431
«Периодический», лунный период 105, 509
Персия 439
Петере (Peters C.H.F.) 450, 476, 579, 581
Пифей из Массилии 485
Планеты, аномалия зодиакальная 324, 604
—,— относительно Солнца 324, 604
—, апогей истинный 598
—,— средний 598
—, вычисление долготы по таблицам 372
—,— широты по таблицам 419, 422, 637-639
—, две аномалии 278, 298, 604
—, движения попятные 278, 373-388, 588,
620, 621
—, диаметры и объемы 440
—, дуги видимости 424
—, итерационный метод для нахождения экс-
центриситета и долготы апогея 604, 605,
607, 610
—, кинематические схемы для описания дви-
жения по долготе 299, 300, 591, 592, 620
—,	широте 398-400, 630-632
—,	при одной аномалии 373
—, максимальные элонгации Венеры и Мер-
курия 393-398

Планеты, наблюдения, см. Сатурн, Юпитер,
    Марс, Венера, Меркурий
—,   определение   истинных   положений   по
    средним 364, 617
—, периоды, исправленные Птолемеем 280,
281, 311-315, 320-323, 336-338, 349-351,
    361-363, 589
—, порядок их сфер 277, 440, 587
—, построение таблиц аномалии 364-365, 615,
616
—,	для  вычисления   широты  404-419,
634-637
—, противостояния 324-326, 340, 352
—, прохождение по диску Солнца 277, 587
—,   сидерическая  фиксированное»  апогеев
    299-301, 502, 590, 592, 596
—, средние движения 281, 282, 588-590, 591,
604
—, стояния 278, 620
—, таблицы для определения долготы 367-371
—,	широты 420, 421, 634, 637
—, эфемериды 499
Платон 467, 479, 587, 588
—, «Тимей» 587
Племена скифские, неизвестные, параллель
    через место их обитания 44
Плеяды, астеризм 239
—, их протяженность по долготе 316, 599,
600
—, наблюдения покрытий 220, 221
Плиний 553, 587
Плутарх 587
Подобие дуг двух кругов 500, 513
Полдень, эпоха суток 101, 102
Полуденная линия 26
Полуденный круг 15
Полюс, его высота 36, 37
Понт Евксинский (совр. Черное море), парал-
лель через него 42, 54, 484
Порфирий 444
Предсказания погодные 204, 276, 440, 441,
562, 587
Преобразование эклиптических координат в
экваториальные 586
Прецессия 565, 567 , 587
—, кинематическая модель для ее объяснения
216-223, 565, 567, 570,
—, открытие Гиппархом 210, 215
—, первоначальная гипотеза Гиппарха о дви-
жении одних зодиакальных созвездий 210,
565
—, ее скорость, согласно Гиппарху 216
—,	Птолемею 216-224, 573, 576
Примеры вычислений дат планетных конфигу-
раций 643
	 долгот планет 617-619
	долготы и широты Луны 526, 534-536
	кульминирующей точки эклиптики 544
	Солнца 516-519, 524, 526
	зенитного расстояния точки эклиптики с
известной долготой 544
	истинного часового движения Луны по
долготе 517, 518, 525
	моментов средней и истинной сизигий
548-550
	общего параллакса Луны по высоте 544,
545
	параллакса Луны по долготе 545, 546
	широте 545, 546
Примеры вычислений параметров лунных за-
тмений 516-519, 524-526, 560, 561
	продолжительности дня или ночи 516,
525
	прямого восхождения Солнца 519, 569
	угла между эклиптикой и горизонтом
586,640-642
	угла между эклиптикой и кругом высоты
530, 545
	 уравнения времени 519, 521
	широт планет 639, 640
Принцип простоты в теоретических построе-
ниях 79, 91, 401, 436, 438, 497, 501, 631
Принцип равномерности круговых движений
82, 85, 432, 433, 436, 438, 529
	, его нарушения в лунной и планет-
ных моделях 436, 529, 591
Прогрессия геометрическая, суммирование
членов 552
Проекция стереографическая 435, 441, 442
Проецирование картографическое 443
Прокл 445
—, «Гипотезы» 445, 527, 539, 541
—, «Комментарии к "Тимею"» 541
Простаферез 500
Процион, созвездие 257
Псевдо-Эратосфен, «Катастеризмы» 577, 581
Птолемаида Гермиева, город, параллель через
него 41
Птолемей Клавдий, биографические сведения
430-432
	, сочинения
«Альмагест» 429-451, см. также «Аль-
магест»
«Аналемма» 438, 441
«Гармоники» 429, 432, 438, 444
«География» 76, 429, 430, 432, 438, 443,
480, 484, 485, 517, 574, 640
«Канон царский» 439, 457-459
«Канопская надпись» 432, 438, 439, 521,
522, 641
«Оптика» 429, 430, 432, 438, 443, 444,
465
«О способностях суждения и принятия
решений» 444
«Планисферий» 438, 441, 442
«Плод» («Центилоквиум») 444
«Подручные таблицы» 429, 432, 438, 439,
445, 447, 499, 504, 507, 513, 534, 547,
584, 615, 641, 642
«Четверокнижие» («Тетрабиблос», «Каад-
рипартитум») 430, 432, 438, 442, 443, 585
«Фазы» 438, 440, 441, 585, 587, 642
Птолемей II Филадельф 321, 602
Птолемей III Эвергет 579
Птолемей VI Филометор 181, 550
Пурбах 448, 449
Равноденствия 441, 488, 495
—, анализ их точности 495-498
— весенние, наблюдения
-145, март, 24 (Гиппарх) 77, 496, 497
-145, март, 24 (неизвестный) 77-78, 80, 496
-144, март, 23 (Гиппарх) 77, 496
-143, март, 23 (Гиппарх) 77, 496
-142, март, 23/24 (Гиппарх) 77, 496
-141, март, 24 (Гиппарх) 77, 496
-140, март, 23 (Гиппарх) 77, 496
-134, март, 23/24 (Гиппарх) 77-78, 496, 497
-133, март, 24 (Гиппарх) 77, 496

Равноденствия осенние, наблюдения
-132, март, 23 (Гиппарх) 77, 496
-131, март, 23 (Гиппарх) 77, 496
-130, март, 23/24 (Гиппарх) 77, 496
-129, март, 24 (Гиппарх) 77, 496
-128, март, 23 (Гиппарх) 77, 496
-127, март, 23 (Гиппарх) 77, 496, 497
 140, март, 22 (Птолемей) 80, 91, 496, 498
-161, сент., 27 (Гиппарх?) 76, 77, 495, 496
-158, сент., 27 (Гиппарх?) 77, 496
-157, сент., 27 (Гиппарх?) 77, 496
-146, сент., 26/27 (Гиппарх) 77, 80, 496,
497,	505
-145, сент., 27 (Гиппарх) 77, 496, 497
-142, сент., 26 (Гиппарх) 77, 496, 497
132,	сент., 25 (Птолемей) 99, 100, 496,
498,	504, 568
 139, септ., 26 (Птолемей) 80, 91, 496, 497
—, положения относительно знаков зодиака
45
Рак, начало отсчета зодиакальных созвездий
    211, 565, 566
Рсгиомоптан 449
Регул 213, 242
—, использование в качестве опорной звезды
303, 306, 308, 311, 597, 598
—, наблюдения Гиппарха 216, 570
—,— Птолемея 215, 588-570
—, начало отсчета долготы в звездном ката-
лого «Подручных таблиц» 439, 584
—, пример определения долготы звезды 215-
216
Рейн, параллель через его устье 43
Рейнгольд 449
Рефракция астрономическая 432, 444, 497,
588, 613
Рим, наблюдения в нем 221-222, 434
—, разность по долготе с Александрией 574
Родос 35, 42, 46, 53, 71, 495, 507, 514, 640
—, меридиан через пего 140
—, наблюдения па нем Гиппарха 140, 142,
    144, 182, 434, 481, 497
—, параллель через него 42, 186, 491, 556,
640
Ром (Rome Л.) 527, 528
Ролинс (Rawlins D.) 609, 612
Сабит ибн Корра, перевод «Планетных ги-
потез» па арабский язык 439
—, переработка перевода «Альмагеста» Исхака
ибн Хупайна на арабский язык 446, 447,
450
Саниэр (Sawyer I.W.) 592
Сард жуп ар-Руми, перевод «Лльмагоста» па
   арабский язык 446
Сарос 105, 509, 553
Сатурн, величина эпицикла 360, 361, 613
—, дуга видимости 424
—, дуги попятного движения 381,382, 621,
622, 623
—, кинематическая схема для описания дви-
жения по долготе 324
—, наблюдения
-228, март, 1 (вавилонское) 361, 362, 614
127, март, 26 (Птолемей) 352, 612
133,	июнь, 3 (Птолемей) 352, 612
136, июль, 8 (Птолемей) 352, 612, 613
138, декабрь, 22 (Птолемей) 360, 613
—, наклонение орбиты 403, 404, 633, 634
Сатурн, периоды и средние движения 280-
    282, 361-363, 589, 614
—, северный предел эксцентра 398, 630
—, теория движения по широте 398, 399, 400,
    403, 404, 630, 633, 634
—, уточнение среднего движения по широте
127 , 521
Сатурн, эксцентриситет и положения апогея
    352-360, 612, 613
—, эпохи периодических движений  363, 364
Свердлов (Swerdlow N.) 537, 539
Сезоны астрономические 501
	согласно Гиппарху 91, 502, 503
	согласно Птолемею 91, 502, 503
Селевк I 462
Серапис 439
Сергий из Решайна, перевод «Альмагеста» на
    сирийский язык 445
Сиена (совр. Асуан), город, параллель через
    него 41, 53, 69, 472, 473, 484
Сизигия истинная 180, 181, 549
—	средняя 180, 181, 547-549
	, таблицы для предвычисления 175-179
Симнликий 588, 631
Сир 5, 210, 431, 432, 464
Сириус, его цвет 256, 582
—, начальная точка на небесном глобусе 268,
    584, 585
Система гелиоцентрическая 433
— геоцентрическая 464
— координат горизонтальная 477
	экваториальная 477
	 эклиптическая 477
«Система Птолемея», изображения графи-
ческие 440
Система  нумерации  десятично-шестидесяте-
    ричная 16, 468
Скалигер 455
Скиапарелли 454
Скорость движения Луны  и Солнца отно-
сительная 79, 479
Смирна, город, параллель через него 42
Снеллиус, его.закон преломления 444
Соединение Солнца и Луны истинное 180,
181, 547
	 среднее 180, 181, 547
Солнце, видимый диаметр согласно Гиппарху
160, 539
—,	Птолемею 160, 539, 540
—, долгота истинная 100, 499, 505, 506
—,— средняя 499
Солнце, истинная эксцентрическая аномалия
500, 503
—, кинематические схемы для описания его
движения по долготе 85-90, 500, 501
—, максимальное уравнение 86, 87, 93, 94,
503
—,  неравенство  (уравнение,  разность ано-
малии), 94, 98, 503, 504
—, определение продолжительности тропиче-
ского года 75-82, 498
—, размер и объем 163, 164, 541
—, расстояние до него 162, 163, 541
—, систематическая ошибка в долготе 505
—, среднее движение по долготе 500, 503,
504
—, средняя эксцентрическая аномалия 499,
   500, 503, 504
—, таблица аномалии 99, 504
—,— эпициклическая аномалия 500
   
Солнце, фиксированное™ апогея относительно
точки весеннего равноденствия 91, 502,
503, 513
—, эксцентриситет и долгота апогея 91-94,
501-503
—, эпоха средних движений 98-100, 504, 505
—, явления, связанные с его годовым дви-
жением по эклиптике 76, 494
—	среднее экваториальное 506
Солнцестояния 441, 488
—, дуга между ними   21, 26, 27, 471-474
—, наблюдения
-431, июнь, 25 (Метон и Евктемон) 80,
81, 498
-279 (Аристарх) 80, 81, 498
-134 (Гиппарх) 81, 498
140, июнь, 25 (Птолемей) 81, 91, 498
—, неточность их наблюдения 80
Спика, см- Колос
Стилбон, см. Меркурий
Стояния планетные 620, 621
	, древние наблюдения 278
	, построение таблиц для их предвы-
числения 388-391, 627, 628
—, таблицы для их предвычисления 392, 628
	, трудности при наблюдении 278
Страбон 472, 473, 483, 485
Страна сервов 480
Сутки звездные 101, 506
—	солнечные истинные 101, 506
	 средние 101, 506
Сфера прямая и наклонная   483
—, времена восхода в них дуг эклиптики
45-51
—, таблицы времен восхода дуг эклиптики
51-55
—, теоремы, связанные с ними 43, 35, 56,
    57, 483, 485-487
Сферика 433, 435, 436
Тальаферро (Taliaferro R.C.), перевод «Альма-
геста» на английский язык 449
Танаис (совр. Дон), река, параллель через
устье 43, 55, 485
Таннери (Tannery Р.) 450
Тапробана (совр. Цейлон), остров, параллель
через него 40, 482
Теодосий Триполитанский 433, 474
Теон 431  597
—, его наблюдения 308, 316, 317, 434, 464,
    465, 468, 597
Теон Александрийский 439
	, «Большой комментарий» к «Подручным
таблицам» 439
	, версия «Подручных таблиц» 439
	, «Комментарии к "Альмагесту"» 445, 476,
562
	, «Малый комментарий» к «Подручным
    таблицам» 439, 562
Теон Смирнский 431, 541, 597
Теорема Менелая 474-477, 479, 486, 487, 489,
492, 493
—	Птолемея 17, 469
Теория зрения Птолемея 444
Тимохарис 434
—, использование циклов Калиппа 220, 461
—, наблюдение лунного затмения, использо-
ванного Гиппархом 215, 571
—, наблюдения в Александрии 219, 221, 544
Тимохарис, наблюдения неподвижных звезд,
использованные Гиппархом 210, 215, 217
—,— планет 321, 322, 603, 619, 639, 640
—,— покрытий звезд Луной 22—222, 544,
574
—,— склонений звезд 217-219
Тирс 260, 583
Тихо Браге 528
Траян, римский император 221, 222
Тригонометрия сферическая 437
—	хорд 437, 467, 468, 470, 482, 483
Трикветр, см. Инструмент параллактический
Точка эклиптики восходящая 56, 57, 481, 488,
489,	586
	кульминирующая 56, 57, 489, 586
Точки равноденствий 15, 467, 565
—	солнцестояний (тропические) 15, 467
Тумер (Toomer G.J.) 3, 4, 449, 450, 457,
461-464, 468, 469, 479, 480, 484, 485,
498, 523, 527, 529, 530, 532, 537, 538,
546, 558, 559, 562, 566, 567, 569, 570,
572, 575, 576, 579, 580, 582-585, 589,
594, 595, 597-600, 602, 605, 607, 609,
611, 613, 620, 622-626, 629, 631, 635, 636
Увеличение размеров светил у горизонта 8,
465
Угол между эклиптикой и горизонтом 60-62,
490,	491, 586, 640-642
	кругом высоты 62-67, 491-493, 530,
546, 563
	меридианом 57-60, 489, 490
—	наклона эклиптики к экватору 21, 26, 27,
471, 472-474, 640, 641
Уилсон (Wilson С.) 592, 600
Уравнение времени 437, 505-507, 520, 521,
523, 531, 540, 602, 603, 605, 607, 611,
613
	как функция долготы 507
	, формулы для его вычисления 507, 508
— дня 507
— центра 592, 615
Фанострат, афинский архонт 132
ал-Фаргани 447
Феодор Милетинский 431
Фиваида, область в Египте 42, 484
Филипп Арридей (селевкидский царь), его эра
    439, 499
Филопон 445
Философия, подразделение на теоретическую
    и практическую 5, 464
—, роль в развитии античной астрономии 432
Финикия, параллель через нее 42
—,   использование  в качестве  стандартной
параллели   при  определении  планетных
    конфигураций 640, 642
Флемстид (Flamsteed J.) 576
Фуле (Фулу, Туле), остров, параллель через
него 44, 441, 480, 485
Хабаш-ал-Хасиб 447
ал-Хаджадж ибн Матар, перевод «Альмагеста»
на арабский язык 446, 447, 450
ал-Хазини 447
Халкидий 541
Хартнер (Hartner W.) 597
ал-Хасан ибн Курайш, перевод «Альмагеста»
на арабский язык 446

Хорды, определение их величин 16-21, 467,
469-471
—, таблицы для вычисления 22-25
«Целевые-годовые тексты» 588, 589
Цикл лунио-солнечный 25-летний 176, 547
Цицерон 587
Часы водяные 160
—	солнечные 441
Часы равноденственные 56, 480, 488
—	сезонные 56, 488
	, определение их длины 56, 488
Чвалина (Czwallna А.) 600
Четверть знака как угловая единица 512
Шапур I, сасанидский царь 445
«Шах-и-зидж» 445
Шевченко М.Ю. 4, 527, 528
Шкала времени, линейность и однородность
437, 455, 506
Широта астрономическая, используемый тер-
мин 560
—	географическая 27, 481-483
Шпилевский А.В. 457, 462
Эбудские (совр. Гебридские) острова, параллель
    через них 44, 485
Эваидр, афинский архоит 133
Эвекция 437, 513, 527, 528
Эквант 588, 591, 601, 603
Эклиптика 14, 464, 467
—, времена восхода ее дуг 45-51, 479, 485,
486
—, времена прохождения ее дуг через мери-
диан 31-33, 507
—, круг через середины зодиакальных соз-
вездий 465
—, наклонный круг 14, 464, 467
—, определение долготы восходящей точки 56,
57, 481, 488
Эклиптика, определение долготы кульмини-
рующей точки 56, 57, 489, 544
—,— зенитного расстояния точки с известной
долготой в фиксированный момент 65-67,
491, 492, 544
—,— наклона согласно Эратосфеиу и Гиппар-
ху 27 , 472, 473
—,	Птолемею 21, 26, 27, 471, 472
—,— прямого восхождения ее точек с изве-
стной долготой 487, 519, 569
—,— склонений ее точек с известной долготой
30—31, 477, 478
—,— угла между эклиптикой и меридианом
57-60, 489, 490
—,	кругом горизонта 60-62, 490,
491, 586, 640, 641, 642
—,	высоты 62-67, 493, 530, 544,
563
—, таблица зенитных расстояний и углов
68-74
Экселигмос, лунный период 105, 509, 510
Эксцентр 433, 499
Элонгация максимальная 592
	, анализ точности наблюдений 593
	, определение для различных положений
    на эксцентре 393-397, 628, 629
Эмпедокл 464
Эпагомены 455
Эпикур 464, 465
Эпипараллакс 561
Эпицикл 433
Эпоха суток астрономическая и гражданская
101, 102, 506
	 восходная и заходная 456, 457
	полуденная 99, 456, 457, 507
—	начальная в таблицах Птолемея 98, 504,
см. также Эра Набонассара
Эра Августа 99, 505
— Александра 80, 81, 91, 99, 142, 144, 505
— Дионисия 594
Эра Набонассара 99, 100, 102, 127, 132, 133,
140, 157, 161, 181, 182, 220-222, 304,
305, 313, 315, 322, 323, 336, 339, 351,
362, 363, 437, 455, 457, 459, 504, 505,
524, 608, 611, 617-619, 643
— селевкидская 595
— Филиппа 439, 499
— халдейская 595
Эратосфен 472, 473, 480, 481, 483, 587
—, его порядок планет 587
—, определение дуги между солнцестояниями
    27, 472
—,— окружности Земли 472
Эфир 9, 401, 464, 631
Юпитер, величина эпицикла 348, 349, 611
—, дуга видимости 424
—, дуги попятного движения 381, 382, 623,
624
—, кинематическая схема для описания его
    движения по долготе 324
—, наблюдения
-240, сентябрь, 4 (Дионисий?) 349, 350,
611
133, май, 17 (Птолемей) 340, 610, 612
136, август, 31 (Птолемей) 340, 610
137, октябрь, 8 (Птолемей) 340, 610
139, июль, 11 (Птолемей) 348, 611, 617,
639
—, наклонение орбиты 403, 404, 633, 634
—, периоды и средние движения 280-282,
    349-351, 589, 612
—, северный предел эксцентра 398, 630
—, теория движения по широте 398, 399, 400,
404
—, эксцентриситет и положение апогея 340-
    348, 610, 611
—, эпохи периодических движений 351
Ясли, астеризм 212, 241

Оглавление



От составителей   		3
Книга I
1. Введение		5
2. О последовательности изложения   		7
3. О том, что небо имеет сферическое движение		7
4. О том, что Земля в целом имеет вид сферы   		9
5. О том, что Земля находится в середине неба   		10
6. О том, что по сравнению с небесами Земля является точкой   		11
7. О том, что Земля не совершает никакого поступательного движения   		12
8. О том, что в небе существуют два различных вида первых движений   		14
9. О специальных понятиях		15

10. О величинах прямых в круге   		16
11. Таблица прямых в круге		21
12. О дуге, заключенной между солнцеворотами		21
13. Предварительные теоремы для доказательств сферикн		27
14. О дугах, заключенных между равноденственным и наклонным кругами		30
15. Таблица склонений   		31
16. О временах восхода в прямой сфере   		31
Книга II
1. Об общем положении обитаемой части Земли		34
2. О том, как по заданной величине наибольшего дня определяются дуги горизонта,
отсекаемые равноденственным и наклонным кругами   		35
3. О том, как при тех же предположениях определяется высота полюса, и обратно .
	36
4. О том, как вычисляется, где, когда и как часто Солнце бывает прямо над 
головой	37
5. О том, как на основании изложенного определяются отношения гномона к полу-
денным теням и моменты равноденствий и солнцеворотов   		38
6. Перечень характерных особенностей отдельных параллелей		39
7. Об одновременных восходах в наклонной сфере частей круга, проходящего через
середины зодиакальных созвездий, и равноденственного круга   		45
8. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов   		51
9. О частных вопросах, связанных с временами восхода . .    		51
10.	Об углах, образуемых кругом, проходящим через середины зодиакальных 
созвездий,
и полуденным кругом		57
11. Об углах, образуемых тем же наклонным кругом с горизонтом   		60
12. Об углах и дугах, образуемых тем же наклонным кругом и кругом, проведенным
через полюсы горизонта   		62
13.	Значения углов и дуг для различных параллелей		67
Книга III
1. О продолжительности годового промежутка времени		75
2. Таблицы средних движений Солнца    		83
3. О гипотезах, касающихся равномерного кругового движения		85
4. О видимом неравенстве движения Солнца   		91
5. Об определении значений неравенства для различных положений		94
1. 
6. Об определении значений неравенства для различных положений		94
7. Таблица солнечной аномалии   		98
8. Об эпохе среднего движения Солнца		98
9. О вычислении положения Солнца		100
10. О неравенстве суток   		100
Книга IV
1. На каких наблюдениях следует строить теорию Луны   		103
2. О периодах лунных движений		104
3. О частных значениях средних движений Луны   		108
4. Таблицы средних движений Луны		109
5. О том, что при простой гипотезе о движении Луны, будет она гипотезой 
эксцентра
или эпицикла, видимые явления будут одними и теми же		109
6. Определение первого, или простого лунного неравенства   		117
7. Об исправлении средних движений Луны по долготе и аномалии		126
8. Об эпохе средних движений Луны по долготе и аномалии		127
9. Об исправлении средних движений Луны по широте и об их эпохах    		127
10. Таблица первого, или простого, неравенства Луны   		131
11.0 том, что разница принятой Гиппархом величины лунного неравенства и 
найденной
нами получается не от различия сделанных предположений, но вследствие 
вычислений	131

Книга V
1. Об устройстве астролябии   		135
2. О гипотезах двойного неравенства Луны   		137
3. О величине неравенства Луны, зависящего от положения относительно Солнца	139
4. О величине отношения для эксцентриситета лунной орбиты		141
5. О «наклонении» лунного эпицикла   		141
6. О том, как геометрически по периодическим движениям определяется истинное
положение Луны   		146
7. Построение таблицы для полного неравенства Луны		147
8. Таблица полного лунного неравенства		150
9. О вычислении движения Луны в целом   		151

10. О том, что эксцентрический круг Луны не производит никакой заметной разницы 
в
сизигиях   		151
11. О параллаксах Луны		154
12. Об устройстве параллактического инструмента		155
13. Определение расстояний Луны		157
14. О величинах видимых диаметров Солнца, Луны и земной тени в сизигиях   ...
	160
15. О расстоянии Солнца и о том, что определяется вместе с ним   		162
16. О величинах Солнца, Луны и Земли		163
17. О частных значениях параллаксов Солнца и Луны		164
18. Таблица параллаксов   		168
19. Об определении параллаксов		168
Книга VI
1. О новолуниях и полнолуниях   		175
2. Составление таблиц средних сизигий		175
3. Таблицы новолуний и полнолуний   		177
4. 0 том, как следует определять средние и истинные сизигии		180
5. О пределах для затмений Солнца и Луны		181
6. О промежутках между месяцами, в которые происходят затмения		184
7. Построение таблиц затмений		190
8. Таблицы затмений   		197
9. Вычисление лунных затмений		199

10. Вычисление солнечных затмений	201
11. Об углах «наклонений» в затмениях   		204
12. Таблица «наклонений» затмений		207
13. Определение «наклонений»		208
10. 
Книга VII
1. О том, что неподвижные звезды всегда сохраняют одно и то же положение по
отношению друг к другу   		210
2. О том, что сфера неподвижных звезд совершает некоторое движение в 
направлении
последовательности знаков круга, проходящего через середины зодиакальных
созвездий		214
3. О том, что сфера неподвижных звезд совершает движение вокруг полюсов зодиака 
в
направлении последовательности знаков		216
4. О способе составления каталога неподвижных звезд		223
5. Каталог созвездий северного неба   		224
Книга VIII
1. Каталог созвездий южного неба   		245
2. О положении круга Млечного Пути		264
3. Об устройстве небесного глобуса		267
4. О свойственных неподвижным звездам конфигурациях   		269
5. Об одновременных восходах, кульминациях и заходах неподвижных звезд   ....
	273
6. О гелиакических восходах и заходах неподвижных звезд		274
Книга IX
1. О последовательности расположения сфер Солнца, Луны и пяти планет		277
2. Об изложении гипотез относительно планет   		278
3. О периодических возвращениях пяти планет		280
4. Таблицы средних движений по долготе и аномалии для пяти планет		282
5. Основные положения относительно гипотез о пяти планетах		298
6. О характере и различиях между гипотезами		299
7. Определение положения апогея планеты Меркурий и его перемещения		302
8. О том, что планета Меркурий также в течение одного оборота дважды становится 
в
ближайшее к Земле положение   		306
9. Об отношении и величине аномалий Меркурия   		307

10. Об исправлении периодических движений Меркурия   		311
11. Об эпохе периодических движений Меркурия   		315
Книга X
1. Определение положения апогея планеты Венера		316
2. О величине эпицикла Венеры		317
3. Об отношениях эксцентриситетов планеты Венера		318
4. Об исправлении периодических движений Венеры		320
5. Об эпохе периодических движений Венеры   		323
6. Предварительные сведения, касающиеся остальных планет   		324
7. Определение эксцентриситета и положения апогея Марса    		325
8. Определение величины эпицикла Марса   		335
9. Об исправлении периодических движений Марса   		336
10. Об эпохе его периодических движений Марса		339
Книга XI
1. Определение эксцентриситета и положения апогея Юпитера		340
2. Определение величины эпицикла Юпитера		348
3. Об исправлении периодических движений Юпитера		349
4. Об эпохе периодических движений Юпитера   		351
5. Определение эксцентриситета и положения апогея Сатурна   		352
6. Определение величины эпицикла Сатурна   		360
7. Об исправлении периодических движений Сатурна   		361
8. Об эпохе периодических движений Сатурна		363
9. О том, каким образом по периодическим движениям геометрически определяются
истинные положения   		364

10. Построение таблиц аномалий   		364
11. Таблицы для определения долгот пяти планет		367
12. О вычислении долгот пяти планет   		372
10. 
Книга XII
1. О предварительных положениях, касающихся попятных движений    		373
2. Определение попятных движений Сатурна		377
3. Определение попятных движений Юпитера    		381
4. Определение попятных движений Марса   		382
5. Определение попятных движений Венеры    		384
6. Определение попятных движений Меркурия   		386
7. Построение таблицы стояний    		388
8. Таблица стояний. Значения уточненной аномалии		392
9. Определение наибольших удалений Венеры и Меркурия от Солнца		393
10. Таблица наибольших удалений планет от истинного положения от Солнца ....
	397
Книга XIII
1. О гипотезах, касающихся движения пяти планет по широте		398
2. О характере движения в предполагаемых инклинациях и обликвациях согласно
гипотезам    		400
3. О величинах инклинаций и обликвации для каждой планеты		402
4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте		404
5. Таблицы для вычисления широты		419
6. Вычисление отклонений пяти планет по широте		419
7. О гелиакических восходах и заходах пяти планет		422
8. О том, что особенности восходов и заходов Венеры и Меркурия согласуются с
принятыми гипотезами   		422
9.	Метод определения расстояний от Солнца для частных случаев гелиакических
восходов и заходов   		427
10. Таблицы гелиакических восходов и заходов пяти планет		428
11. Эпилог сочинения		428
ПРИЛОЖЕНИЯ
Птолемей и его астрономический труд (Г.Е.Куртик, Г.П.Матвиевская)		429
Переводчик «Альмагеста» И.Н. Веселовский (С.В.Житомирский)		452
Календарь и хронология в «Альмагесте» (Г.Е.Куртик)		455
Комментарии (Г.Е.Куртик, ММ.Рожанская, Г.П.Матвиевская)    		463
Список литературы   	,		644
Список основных обозначений и символов   		655
Предметно-именной указатель   		657

Научное издание
ПТОЛЕМЕЙ Клавдий

АЛЬМАГЕСТ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ СОЧИНЕНИЕ В ТРИНАДЦАТИ КНИГАХ






Редакторы С.С. Куликов. Е.Ю. Ходан
Компьютерный набор Л.Т. Варьяш, О.А Зайцевой
Компьютерная верстка О. В. Салецкой


















ЛР № 020297 от 23.06.97. Подписано в печать 23.04.98. Формат 70х 100/16.
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 54,43. Уч.-изд. л. 65,32.
Тираж 1000 экз. Заказ тип. №3889 С—013.

Издательская фирма «Физико-математическая литература» РАН
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6








3
От составителей

3
От составителей

1

1

4
От составителей

4
От составителей





5
1.1. Введение

5
1.1. Введение





















7
1.2. О последовательности изложения

7
1.2. О последовательности изложения





8
1.3. О том, что небо имеет сферическое движение

8
1.3. О том, что небо имеет сферическое движение





9
1.4. О том, что Земля в целом имеет вид сферы

9
1.4. О том, что Земля в целом имеет вид сферы





10
1.5. О том, что Земля находится в середине неба

10
1.5. О том, что Земля находится в середине неба





1.6. О том, что по сравнению с небесами Земля является точкой

1.6. О том, что по сравнению с небесами Земля является точкой





















13
1.7. Земля не совершает никакого поступательного движения

13
1.7. Земля не совершает никакого поступательного движения





14
1.8. В небе существуют два различных вида первых движений

14
1.8. В небе существуют два различных вида первых движений





15
1.9. О специальных понятиях

15
1.9. О специальных понятиях





16
I. Ю- О величинах прямых в круге

16
I. Ю- О величинах прямых в круге





17
1.10- О величинах прямых в круге

17
1.10- О величинах прямых в круге





20
1.10. О величинах прямых в круге

19
1.10. О величинах прямых в круге





21
1.11. Таблица прямых в круге

21
1.11. Таблица прямых в круге





24
1.11. Таблица прямых в круге

23
/.//. Таблица прямых в круге





25
J. П. Таблица прямых в круге

25
J. П. Таблица прямых в круге





26
1.12. О дуге, заключенной между солнцеворотами

26
1.12. О дуге, заключенной между солнцеворотами





28
1.13. Предварительные теоремы для доказательств сферики

27
1.13. Предварительные теоремы для доказательств сферики





28
1.13. Предварительные теоремы для доказательств сферики

27
1.13. Предварительные теоремы для доказательств сферики





28
1.13. Предварительные теоремы для доказательств сферики

29
1.13. Предварительные теоремы для доказательств сферики





30
1.14. О дугах между равноденственным и наклонным кругами

30
1.14. О дугах между равноденственным и наклонным кругами





31
1.15. Таблица склонений

31
1.15. Таблица склонений





32
1.16- О временах восхода в прямой сфере

32
1.16- О временах восхода в прямой сфере





33
1.16. О временах восхода в прямой сфере

33
1.16. О временах восхода в прямой сфере





34
II. I. Об общем положении обитаемой части Земли

34
II. I. Об общем положении обитаемой части Земли





35
11.2. Об определении, дуг горизонта по величине наибольшего дня

35
11.2. Об определении, дуг горизонта по величине наибольшего дня





36
11.3. Об определении высоты полюса

36
11.3. Об определении высоты полюса





37
ПЛ. О том, где и когда Солнце бывает прямо над головой

37
ПЛ. О том, где и когда Солнце бывает прямо над головой





38
11.5. Об отношении длины гномона к полуденным теням

38
11.5. Об отношении длины гномона к полуденным теням





39
//.б. Перечень характерных особенностей отдельных параллелей

39
//.б. Перечень характерных особенностей отдельных параллелей





40
11.6- Перечень характерных особенностей отдельных параллелей

40
11.6- Перечень характерных особенностей отдельных параллелей





11.6. Перечень характерных особенностей отдельных параллелей	41

11.6. Перечень характерных особенностей отдельных параллелей	41





42
11.Ь. Перечень характерных особенностей отдельных параллелей

42
11.Ь. Перечень характерных особенностей отдельных параллелей





43
11.6- Перечень характерных особенностей отдельных параллелей

43
11.6- Перечень характерных особенностей отдельных параллелей





44
11.6. Перечень характерных особенностей отдельных параллелей

44
11.6. Перечень характерных особенностей отдельных параллелей





50
11.7. Об одновременных восходах в наклонной сфере

49
11.7. Об одновременных восходах в наклонной сфере





51
II.8. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов

51
II.8. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов





51
II.8. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов

51
II.8. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов





51
II.8. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов

51
II.8. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов





52
U.S. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов

52
U.S. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов





54
11.8. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов

55
11.8. Таблица времен восхода по дугам в десять градусов





56
11.9. О частных вопросах, связанных с временами восхода

56
11.9. О частных вопросах, связанных с временами восхода





58
II. Ю- Об углах между зодиакальным и полуденным кругами

59
11.10. Об углах между зодиакальным и полуденным кругами





60
ПЛ. Об углах, образуемых тем же наклонным кругом с горизонтом

60
ПЛ. Об углах, образуемых тем же наклонным кругом с горизонтом





61
ПЛ. Об углах, образуемых тем же наклонным кругом с горизонтом

61
ПЛ. Об углах, образуемых тем же наклонным кругом с горизонтом





62
11.12. 06 углах между наклонным кругом и кругом высоты

62
11.12. 06 углах между наклонным кругом и кругом высоты





66
II. 12. Об углах между наклонным кругом и кругом высоты

65
11.12. Об углах между наклонным кругом и кругом высоты





67
11.13. Значения углов и дуг для различных параллелей

67
11.13. Значения углов и дуг для различных параллелей





72
11.13. Таблица зенитных расстояний и углов эклиптики

71
11.13. Таблица зенитных расстояний и углов эклиптики





73
I J. 13. Таблица зенитных расстояний и углов эклиптики

73
I J. 13. Таблица зенитных расстояний и углов эклиптики





74
J 1.13. Таблица зенитных расстояний и углов эклиптики

74
J 1.13. Таблица зенитных расстояний и углов эклиптики





75
III.1. О продолжительности годового промежутка времени

75
III.1. О продолжительности годового промежутка времени





76
III.1. О продолжительности годового промежутка времени

76
III.1. О продолжительности годового промежутка времени





77
III.]. О продолжительности годового промежутка времени

77
III.]. О продолжительности годового промежутка времени





78
I П. I. О продолжительности годового промежутка времени

78
I П. I. О продолжительности годового промежутка времени





79
ШЛ. О продолжительности годового промежутка времени

79
ШЛ. О продолжительности годового промежутка времени





80
О продолжительности годового промежутка времени

80
О продолжительности годового промежутка времени





81
///./. О продолжительности годового промежутка времени

81
///./. О продолжительности годового промежутка времени





82
III. I. О продолжительности годового промежутка времени

82
III. I. О продолжительности годового промежутка времени





83
III. 2. Таблицы средних движений Солнца

83
III. 2. Таблицы средних движений Солнца





84
111.2. Таблицы средних движений Солнца

84
111.2. Таблицы средних движений Солнца





86
П1.3. О гипотезах, касающихся равномерного кругового движения

87
Ш.З. О гипотезах, касающихся равномерного кругового движения





88	Ш.З. О гипотезах, касающихся равномерного кругового движения

88	Ш.З. О гипотезах, касающихся равномерного кругового движения





89
III.3. О гипотезах, касающихся равномерного кругового движения

89
III.3. О гипотезах, касающихся равномерного кругового движения





90
Ш.З. О гипотезах, касающихся равномерного кругового движения

90
Ш.З. О гипотезах, касающихся равномерного кругового движения





91
Ill А. О видимом неравенстве движения Солнца

91
Ill А. О видимом неравенстве движения Солнца





92
111.4. О видимом неравенстве движения Солнца

92
111.4. О видимом неравенстве движения Солнца





93
111.4. О видимом неравенстве движения Солнца

93
111.4. О видимом неравенстве движения Солнца





94
111.5. Об определении значений неравенства для различных положений

94
111.5. Об определении значений неравенства для различных положений





96
III.5. Об определении значений неравенства для различных положений

97
III.5. Об определении значений неравенства для различных положений





98
III. 6. Таблица солнечной аномалии

98
III. 6. Таблица солнечной аномалии





99
111.7. Об эпохе среднего движения Солнца

99
111.7. Об эпохе среднего движения Солнца

4«

4«

100
111.8. О вычислении положения Солнца

100
111.8. О вычислении положения Солнца





101
I I 1.9. О неравенстве суток

101
I I 1.9. О неравенстве суток





102
111.9. О неравенстве суток

102
111.9. О неравенстве суток





103
I V.I. На каких наблюдениях следует строить теорию Луны

103
I V.I. На каких наблюдениях следует строить теорию Луны





106
IV.2. О периодах лунных движений

107
IV.2. О периодах лунных движений





108
IV.3. О частных значениях средних движений Луны

108
IV.3. О частных значениях средних движений Луны





















по
IV.4. Таблицы средних движений Луны

по
IV.4. Таблицы средних движений Луны





IV.4. Таблицы средних движений Луны

IV.4. Таблицы средних движений Луны





114
IV.4. Таблицы средних движений Луны

IVА. Таблицы средних движений Луны	113





115
IV.4. Таблицы средних движений Лупы

115
IV.4. Таблицы средних движений Лупы





















us
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства

119
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства





120
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства

120
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства





120
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства

120
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства





120
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства

120
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства





121
IV.6- Определение первого, или простого лунного неравенства

121
IV.6- Определение первого, или простого лунного неравенства





122
JV.6- Определение первого, или простого лунного неравенства

122
JV.6- Определение первого, или простого лунного неравенства





123
1V.6- Определение первого, или простого лунного неравенства

123
1V.6- Определение первого, или простого лунного неравенства





124
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства

124
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства





125
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства

125
IV.6. Определение первого, или простого лунного неравенства





126
IV.7. Об исправлении средних движений Луны по долготе и аномалии

126
IV.7. Об исправлении средних движений Луны по долготе и аномалии





127
IV. 8. Об эпохе средних движений Луны по долготе и аномалии

127
IV. 8. Об эпохе средних движений Луны по долготе и аномалии





130
IV.9. Об исправлении средних движений Луны по широте и об их эпохах

129
IV.9. Об исправлении средних движений Луны по широте и об их эпохах





131
IV.11. О различиях величин лунного неравенства

131
IV.11. О различиях величин лунного неравенства

5'

5'

132
IV. 11. О различиях величин лунного неравенства

132
IV. 11. О различиях величин лунного неравенства





133
IV.11. О различиях величин лунного неравенства

133
IV.11. О различиях величин лунного неравенства





134
IV. П. О различиях величин лунного неравенства

134
IV. П. О различиях величин лунного неравенства





135
V.I. Об устройстве астролябии

135
V.I. Об устройстве астролябии





















137
V.2. О гипотезах двойного неравенства Луны

137
V.2. О гипотезах двойного неравенства Луны





138
V.2. О гипотезах двойного неравенства Луны

138
V.2. О гипотезах двойного неравенства Луны





139
КЗ. О величине неравенства Луны

139
КЗ. О величине неравенства Луны





140
V.3. О величине неравенства Луны

140
V.3. О величине неравенства Луны





141
V.4. О величине отношения для эксцентриситета лунной орбиты

141
V.4. О величине отношения для эксцентриситета лунной орбиты





141
V.4. О величине отношения для эксцентриситета лунной орбиты

141
V.4. О величине отношения для эксцентриситета лунной орбиты





141
V.4. О величине отношения для эксцентриситета лунной орбиты

141
V.4. О величине отношения для эксцентриситета лунной орбиты





144
V.5. О «наклонении» лунного эпицикла

145
V.5. О «наклонении» лунного эпицикла





146
V.6. Об определении истинного положения Луны

146
V.6. Об определении истинного положения Луны





148
V.7. Построение таблицы для полного неравенства Луны

149
V.7. Построение таблицы для полного неравенства Луны





150
V-8. Таблица полного лунного неравенства

150
V-8. Таблица полного лунного неравенства





152
V.9. О вычислении движения Луны в целом

153
V.9. О вычислении движения Луны в целом





154
V.II. О параллаксах Луны

154
V.II. О параллаксах Луны





155
V. 12. Об устройстве параллактического инструмента

155
V. 12. Об устройстве параллактического инструмента





















157
V. 13. Определение расстояний Луны

157
V. 13. Определение расстояний Луны





158
VT13. Определение расстояний Луны

158
VT13. Определение расстояний Луны





159
V.J3. Определение расстояний Луны

159
V.J3. Определение расстояний Луны





160
V.14. О величинах видимых диаметров Солнца, Луны и зеиной тени

160
V.14. О величинах видимых диаметров Солнца, Луны и зеиной тени





161
V. 14. О величинах видимых диаметров Солнца, Луны и зеиной тени

161
V. 14. О величинах видимых диаметров Солнца, Луны и зеиной тени





162
V.15. О расстоянии Солнца и о том, что определяется вместе с ним

162
V.15. О расстоянии Солнца и о том, что определяется вместе с ним





163
V. 16. О величинах Солнца, Луны и Земли

163
V. 16. О величинах Солнца, Луны и Земли

6*

6*

















166
V.17. О частных значениях параллаксов Солнца и Луны

167
V. 17. О частных значениях параллаксов Солнца и Луны





















169
V.J8. Таблица параллаксов

169
V.J8. Таблица параллаксов





170
V.19. Об определении параллаксов

170
V.19. Об определении параллаксов





171
V.19. Об определении параллаксов

171
V.19. Об определении параллаксов





172
V.I9. Об определении параллаксов

172
V.I9. Об определении параллаксов





173
V. 19. Об определении параллаксов

173
V. 19. Об определении параллаксов





174
V.19- Об определении параллаксов

174
V.19- Об определении параллаксов





176
VI.2. Построение таблиц средних сизигий







176
VI.2. Построение таблиц средних сизигий







176
VI.2. Построение таблиц средних сизигий







176
VI.2. Построение таблиц средних сизигий















179
VI.3. Таблицы новолуний и полнолуний

179
VI.3. Таблицы новолуний и полнолуний





180
VI.4. О том, как следует определять средние и истинные сизигии

180
VI.4. О том, как следует определять средние и истинные сизигии





181
V1.5. О пределах для затмений Солнца и Луны

181
V1.5. О пределах для затмений Солнца и Луны





182
VI.S. О пределах для затмений Солнца и Луны

182
VI.S. О пределах для затмений Солнца и Луны





183
VI.5. О пределах для затмений Солнца и Луны

183
VI.5. О пределах для затмений Солнца и Луны





186        VI.6. О промежутках между месяцами, в которые происходят затмения

185
VI.6. О промежутках между месяцами, в которые происходят затмения





VI.6. О промежутках между месяцами, в которые происходят затмения        187

VI.6. О промежутках между месяцами, в которые происходят затмения        187





188
VI.6. О промежутках между месяцами, в которые происходят затмения

188
VI.6. О промежутках между месяцами, в которые происходят затмения





189
VI.6. О промежутках между месяцами, в которые происходят затмения

189
VI.6. О промежутках между месяцами, в которые происходят затмения





192
VI.7. Построение таблиц затмений

191
VI.7. Построение таблиц затмений





193
VI. 7. Построение таблиц затмений

193
VI. 7. Построение таблиц затмений





194
VI.7. Построение таблиц затмений

194
VI.7. Построение таблиц затмений





195
VI.7. Построение таблиц затмений

195
VI.7. Построение таблиц затмений





т
VI.7. Построение таблиц затмений

т
VI.7. Построение таблиц затмений





197
VI.8. Таблицы затмений

197
VI.8. Таблицы затмений





198
VI. 8. Таблицы затмений

198
VI. 8. Таблицы затмений





199
VI.9. Вычисление лунных затмений

199
VI.9. Вычисление лунных затмений





200
VI.9. Вычисление лунных затмений

200
VI.9. Вычисление лунных затмений





202
VI. 10. Вычисление солнечных затмений

203
VI. 10. Вычисление солнечных затмений





204
VI. П. Об углах «наклонений» в затмениях

204
VI. П. Об углах «наклонений» в затмениях





205
VI. П. Об углах «наклонений» в затмениях

205
VI. П. Об углах «наклонений» в затмениях





206
VI.II. Об углах «наклонений» в затмениях

206
VI.II. Об углах «наклонений» в затмениях





207
VI. 12. Таблица «наклонений» затмений

207
VI. 12. Таблица «наклонений» затмений





208
VI. 13. Определение «наклонений»

208
VI. 13. Определение «наклонений»





209
VI. 13. Определение «наклонений»

209
VI. 13. Определение «наклонений»





210
V11.1. О положении неподвижных звезд

210
V11.1. О положении неподвижных звезд





212
VII. I. О положении неподвижных звезд

213
VII. I. О положении неподвижных звезд





214       VII.2. О движении сферы неподвижных звезд в направлении знаков 
зодиака

214       VII.2. О движении сферы неподвижных звезд в направлении знаков 
зодиака





VII. 2. О движении сферы неподвижных звезд в направлении знаков зодиака       
215

VII. 2. О движении сферы неподвижных звезд в направлении знаков зодиака       
215





216
VI 1.3. О движении сферы неподвижных звезд вокруг полюсов зодиака

216
VI 1.3. О движении сферы неподвижных звезд вокруг полюсов зодиака





220
VII.3. О движении сферы неподвижных звезд вокруг полюсов зодиака

219
VII.3. О движении сферы неподвижных звезд вокруг полюсов зодиака





221
VI 1.3. О движении сферы неподвижных звезд вокруг полюсов зодиака

221
VI 1.3. О движении сферы неподвижных звезд вокруг полюсов зодиака





222
VII.3. О движении сферы неподвижных звезд вокруг полюсов зодиака

222
VII.3. О движении сферы неподвижных звезд вокруг полюсов зодиака





223
VI1.4. О способе составления каталога неподвижных звезд

223
VI1.4. О способе составления каталога неподвижных звезд





224
VII.5. Каталог созвездий северного неба

224
VII.5. Каталог созвездий северного неба





225
VI1.5. Каталог созвездий северного неба

225
VI1.5. Каталог созвездий северного неба





226
VII.S. Каталог созвездий северного неба

226
VII.S. Каталог созвездий северного неба





230
VII.5. Каталог созвездий северного неба

231
VII.5. Каталог созвездий северного неба





232
VI1.5. Каталог созвездий северного неба

232
VI1.5. Каталог созвездий северного неба





233
VII.5. Каталог созвездий северного неба

233
VII.5. Каталог созвездий северного неба





234
VIJ.5. Каталог созвездий северного неба

234
VIJ.5. Каталог созвездий северного неба





235
VI1.5. Каталог созвездий северного неба

235
VI1.5. Каталог созвездий северного неба





236
VI1.5. Каталог созвездий северного неба

236
VI1.5. Каталог созвездий северного неба





237
VI/.5. Каталог созвездий северного неба

237
VI/.5. Каталог созвездий северного неба





240
VII.5. Каталог созвездий северного неба

239
VII.5. Каталог созвездий северного неба





241
VI 1.5. Каталог созвездий северного неба

241
VI 1.5. Каталог созвездий северного неба





242
VI1.5. Каталог созвездий северного неба

242
VI1.5. Каталог созвездий северного неба





243
VII.5. Каталог созвездий северного неба

243
VII.5. Каталог созвездий северного неба





244
VII.5. Каталог созвездий северного неба

244
VII.5. Каталог созвездий северного неба





245
VIII. 1. Каталог созвездий южного неба

245
VIII. 1. Каталог созвездий южного неба





246
VI11.1. Каталог созвездий южного неба

246
VI11.1. Каталог созвездий южного неба





247
VI 11.1. Каталог созвездий южного неба

247
VI 11.1. Каталог созвездий южного неба





248
VIJ1.1. Каталог созвездий южного неба

248
VIJ1.1. Каталог созвездий южного неба





249
VIII. 1. Каталог созвездий южного неба

249
VIII. 1. Каталог созвездий южного неба





250
VIII. I. Каталог созвездий южного неба

250
VIII. I. Каталог созвездий южного неба





251
V11I.1. Катало! созвездий южного неба

251
V11I.1. Катало! созвездий южного неба





252
VI 11.1. Каталог созвездий южного неба

252
VI 11.1. Каталог созвездий южного неба





VIII. I. Каталог созвездий южного неба	253

VIII. I. Каталог созвездий южного неба	253





254
VIII. 1. Каталог созвездий южного неба

254
VIII. 1. Каталог созвездий южного неба





255
VIII. I. Каталог созвездий, южного неба

255
VIII. I. Каталог созвездий, южного неба





256
VIII. I. Каталог созвездий южного неба

256
VIII. I. Каталог созвездий южного неба





257
VI11.1. Каталог созвездий южного неба

257
VI11.1. Каталог созвездий южного неба

9   К. Птолемей

9   К. Птолемей

258
VIII. J. Каталог созвездий южного неба

258
VIII. J. Каталог созвездий южного неба





259
VIII. 1. Каталог созвездий южного неба

259
VIII. 1. Каталог созвездий южного неба

9*

9*

260
VIII. 1. Каталог созвездий южного неба

260
VIII. 1. Каталог созвездий южного неба





262
VIII. I. Каталог созвездий южного неба

263
VIII. 1. Каталог созвездий южного неба





266
VIII.2. О положении круга Млечного Пути

265
VIII.2. О положении круга Млечного Пути





267
VI11.3- Об устройстве небесного глобуса

267
VI11.3- Об устройстве небесного глобуса





268
VI11.3. 06 устройстве небесного глобуса

268
VI11.3. 06 устройстве небесного глобуса





269
VIIIА. О свойственных неподвижным звездам конфигурациях

269
VIIIА. О свойственных неподвижным звездам конфигурациях





270
V111.4. О свойственных неподвижным звездам конфигурациях

270
V111.4. О свойственных неподвижным звездам конфигурациях





271
VI11.4. О свойственных неподвижным звездам конфигурациях

271
VI11.4. О свойственных неподвижным звездам конфигурациях





272
VI11.4. О свойственных неподвижным звездам конфигурациях

272
VI11.4. О свойственных неподвижным звездам конфигурациях





273
VIII.5. Об одновременных заходах, восходах и кульминациях

273
VIII.5. Об одновременных заходах, восходах и кульминациях





274
VIJI.6- О гелиакических восходах и заходах неподвижных звезд

274
VIJI.6- О гелиакических восходах и заходах неподвижных звезд





275
VJJI.6- О гелиакических восходах и заходах негюдвижных звезд

275
VJJI.6- О гелиакических восходах и заходах негюдвижных звезд





276
VI11.6. О гелиакических восходах и заходах неподвижных звезд

276
VI11.6. О гелиакических восходах и заходах неподвижных звезд





277
I X.J. О последовательности расположения сфер

277
I X.J. О последовательности расположения сфер





278
IX. 2. Об изложении гипотез относительно планет

278
IX. 2. Об изложении гипотез относительно планет





279
IX.2. Об изложении гипотез относительно планет

279
IX.2. Об изложении гипотез относительно планет





280
IX.3. О периодических возвращениях пяти планет

280
IX.3. О периодических возвращениях пяти планет





281
IX.3. О периодических возвращениях пяти планет

281
IX.3. О периодических возвращениях пяти планет





282
218
IX.3. О периодических возвращениях пяти планет

282
218
IX.3. О периодических возвращениях пяти планет





288
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет

287
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет





289
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет

289
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет

10   К. Птолемей

10   К. Птолемей

290
1Х.4. Таблицы средних движений пяти планет

290
1Х.4. Таблицы средних движений пяти планет





291
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет

291
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет

10*

10*

292
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет

293
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет





294
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет

293
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет





294
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет

295
IX.4. Таблицы средних движений пяти планет





296
IX. 4. Таблицы средних движений пяти планет

296
IX. 4. Таблицы средних движений пяти планет





297
1Х.4. Таблицы средних движений пяти планет

297
1Х.4. Таблицы средних движений пяти планет





298
IX.5. Основные положения относительно гипотез о пяти планетах

298
IX.5. Основные положения относительно гипотез о пяти планетах





300	IX.6. О характере и различиях между гипотезами

301
IX.6. О характере и различиях между гипотезами





304
IX.7. Определение положения апогея планеты Меркурий

305
IX.7. Определение положения апогея планеты Меркурий





306
IX. 8. О том, что Меркурий дважды приближается к Земле

306
IX. 8. О том, что Меркурий дважды приближается к Земле





310
IX.9. Об отношении и величине аномалий Меркурия

309
IX.9. Об отношении и величине аномалий Меркурия





311
IX. 10. Об исправлении периодических движений Меркурия

311
IX. 10. Об исправлении периодических движений Меркурия

285

285

314
IX. 10. Об исправлении периодических движений Меркурия

313
IX. 10. Об исправлении периодических движений Меркурия





315
I X.J J. 06 эпохе периодических движений Меркурия

315
I X.J J. 06 эпохе периодических движений Меркурия





316
Х.1. Определение положения апогея планеты Венера

316
Х.1. Определение положения апогея планеты Венера





317
Х.2. О величине эпицикла Венеры

317
Х.2. О величине эпицикла Венеры





318
Х.З. Об отношениях эксцентриситетов планеты Венера

318
Х.З. Об отношениях эксцентриситетов планеты Венера





319
Х.З. Об отношениях эксцентриситетов планеты Венера

319
Х.З. Об отношениях эксцентриситетов планеты Венера





322
Х.4. Об исправлении периодических движений Венеры

321
Х.4. Об исправлении периодических движений Венеры



11   К.   Птолемей

323
Х.5. Об эпохе периодических движений Венеры

323
Х.5. Об эпохе периодических движений Венеры





324
Х.6. Предварительные сведения, касающиеся остальных планет

324
Х.6. Предварительные сведения, касающиеся остальных планет





328
Х.7. Определение эксцентриситета и положения апогея Марса

329
Х.7. Определение эксцентриситета и положения апогея Марса





330
Х.7. Определение эксцентриситепш и положения апогея Марса

330
Х.7. Определение эксцентриситепш и положения апогея Марса





334
Х.7. Определение эксцентриситета и положения апогея Марса

333
Х.7. Определение эксцентриситета и положения апогея Марса





335
Х.8. Определение величины эпицикла Марса

335
Х.8. Определение величины эпицикла Марса





338
Х.9. Об исправлении периодических движений Марса

337
Х.9. Об исправлении периодических движений Марса





339
Х.10. Об эпохе периодических движений Марса

339
Х.10. Об эпохе периодических движений Марса





340
XI.I. Определение эксцентриситета и положения апогея Юпитера

340
XI.I. Определение эксцентриситета и положения апогея Юпитера





342
XI. 1. Определение эксцентриситета и положения апогея Юпитера

343
XI. 1. Определение эксцентриситета и положения апогея Юпитера





344
XI. J. Определение эксцентриситета и положения апогея Юпитера

344
XI. J. Определение эксцентриситета и положения апогея Юпитера





346
XI. 1. Определение эксцентриситета и положения апогея Юпитера

347
XI. 1. Определение эксцентриситета и положения апогея Юпитера





















349
XI.3. Об исправлении периодических движений Юпитера

349
XI.3. Об исправлении периодических движений Юпитера





350
XI.3. Об исправлении периодических движений Юпитера

350
XI.3. Об исправлении периодических движений Юпитера





351
XI.4. Об эпохе периодических движений Юпитера

351
XI.4. Об эпохе периодических движений Юпитера





354
XI.5. Определение эксцентриситета и положения апогея Сатурна

353
XI.5. Определение эксцентриситета и положения апогея Сатурна



12   К.   Птолемей

355
XI. 5. Определение эксцентриситета и положения апогея Сатурна

355
XI. 5. Определение эксцентриситета и положения апогея Сатурна

12*

12*

358
XI.5. Определение эксцентриситета и положения апогея Сатурна

357
XI.5. Определение эксцентриситета и положения апогея Сатурна





359
XI. 5. Определение эксцентриситета и положения апогея Сатурна

359
XI. 5. Определение эксцентриситета и положения апогея Сатурна





360
XI.6. Определение величины эпицикла Сатурна

360
XI.6. Определение величины эпицикла Сатурна





360
XI.6. Определение величины эпицикла Сатурна

360
XI.6. Определение величины эпицикла Сатурна





360
XI.6. Определение величины эпицикла Сатурна

360
XI.6. Определение величины эпицикла Сатурна





361
XI.7. Об исправлении периодических движений Сатурна

361
XI.7. Об исправлении периодических движений Сатурна





362
XI.7. Об исправлении периодических движений Сатурна

362
XI.7. Об исправлении периодических движений Сатурна





363
XI.8. Об эпохе периодических движений Сатурна

363
XI.8. Об эпохе периодических движений Сатурна





364
426
XI. 10. Построение таблиц аномалий

364
426
XI. 10. Построение таблиц аномалий





365
XI.10. Построение таблиц аномалий

365
XI.10. Построение таблиц аномалий





366
XI. 10. Построение таблиц аномалий

366
XI. 10. Построение таблиц аномалий





367
XI. 11. Таблицы для определения долгот пяти планет

367
XI. 11. Таблицы для определения долгот пяти планет





370
XI. П. Таблицы для определения долгот пяти планет

369
XI. Л. Таблицы для определения долгот пяти планет





371
XI. П. Таблицы для определения долгот пяти планет

371
XI. П. Таблицы для определения долгот пяти планет





372
XI. 12. О вычислении долгот пяти планет

372
XI. 12. О вычислении долгот пяти планет





373
XII. I. О предварительных положениях, касающихся попятных движений.

373
XII. I. О предварительных положениях, касающихся попятных движений.





374
XII.1. О предварительных положениях, касающихся попятных движений

374
XII.1. О предварительных положениях, касающихся попятных движений





375
XII. 1. О предварительных положениях, касающихся попятных движений

375
XII. 1. О предварительных положениях, касающихся попятных движений





376
XII. I. О предварительных положениях, касающихся попятных движений

376
XII. I. О предварительных положениях, касающихся попятных движений





378
XII.2. Определение попятных движений Сатурна

379
XII.2. Определение попятных движений Сатурна





380
XI 1.2. Определение попятных движений Сатурна

380
XI 1.2. Определение попятных движений Сатурна





381
XII.3. Определение попятных движений Юпитера

381
XII.3. Определение попятных движений Юпитера





382
XII.4. Определение попятных движений Марса

382
XII.4. Определение попятных движений Марса





383
XII.4. Определение попятных движений Марса

383
XII.4. Определение попятных движений Марса





384
XII.5. Определение попятных движений Венеры

384
XII.5. Определение попятных движений Венеры





385
XII.5. Определение попятных движений Венеры

385
XII.5. Определение попятных движений Венеры

13   К.   Птолемей

13   К.   Птолемей

386
XII.6- Определение попятных движений Меркурия

386
XII.6- Определение попятных движений Меркурия





387
XII.6- Определение попятных движений Меркурия

387
XII.6- Определение попятных движений Меркурия

13*

13*

390
XII.7. Построение таблицы стояний

389
XII.7. Построение таблицы стояний





391
XI1.7. Построение таблицы стояний

391
XI1.7. Построение таблицы стояний





392
XII.8. Таблица стояний. Значения уточненной аномалии

393
XII.8. Таблица стояний. Значения уточненной аномалии





394
X1I.9. Определение наибольших удалений Венеры и Меркурия от Солнца

393
X1I.9. Определение наибольших удалений Венеры и Меркурия от Солнца





394
XI 1.9. Определение наибольших удалений Венеры и Меркурия от Солнца

395
XI 1.9. Определение наибольших удалений Венеры и Меркурия от Солнца





XI 1.9. Определение наибольших удалений Венеры и Меркурия от Солнца	396

XI 1.9. Определение наибольших удалений Венеры и Меркурия от Солнца	395





396	XI 1.9. Определение наибольших удалений Венеры и Меркурия от Солнца

397	XI 1.9. Определение наибольших удалений Венеры и Меркурия от Солнца





XII. 10. Таблица наибольших удалений планет от истинного положения Солнца    
398

XII. 10. Таблица наибольших удалений планет от истинного положения Солнца    
397





398
XI11.1. О гипотезах, касающихся движения пяти планет по широте

399
XI11.1. О гипотезах, касающихся движения пяти планет по широте





















400
XIII.2. О характере движения в инклинациях и обликвациях

401
XIII.2. О характере движения в инклинациях и обликвациях





402
XIII.2. О характере движения в инклшшциях и обликвациях

401
XIII.2. О характере движения в инклшшциях и обликвациях





402
XIII.3. О величинах инклинаций и обликваций для каждой планеты

403
XIII.3. О величинах инклинаций и обликваций для каждой планеты





404
XIII.3. О величинах инклинаций и обликваций для каждой планеты

403
XIII.3. О величинах инклинаций и обликваций для каждой планеты





404       XI11.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте

405       XI11.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте





XI11.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте       406

XI11.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте       405





406        XI11.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте

407        XI11.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте





XIII А. Построение таблиц для частных значении отклонении по широте       408

XIII А. Построение таблиц для частных значении отклонении по широте       407





408        XIII.4. Построение таблиц для часупных значений отклонений по широте

409        XIII.4. Построение таблиц для часупных значений отклонений по широте





ХШ.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте        410

ХШ.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте        409





410       XIII.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте

411       XIII.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте





414        XIII.4. Построение таблиц Оля частных значений отклонений по широте

XIII.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте        413





414        XIII.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте

415        XIII.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте





416
XI11.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте

415
XI11.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте





416        XI11.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте

417        XI11.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте





XIII.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте        418

XIII.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте        417

14   К.   Птолемей

14   К.   Птолемей

418       Х111.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте

419       Х111.4. Построение таблиц для частных значений отклонений по широте





420
XIII.5. Таблицы для вычисления широты

419
XIII.5. Таблицы для вычисления широты

14'

14'

420
XIII.5. Таблицы для вычисления широты

421
XIII.5. Таблицы для вычисления широты





422
XI11.5. Таблицы для вычисления широты

421
XI11.5. Таблицы для вычисления широты





422
XI11.7. О гелиакических восходах и заходах пяти планет

423
XI11.7. О гелиакических восходах и заходах пяти планет





424
XIII.7. О гелиакических восходах и заходах пяти планет

423
XIII.7. О гелиакических восходах и заходах пяти планет





424
XIII.Я. Об особенностях восходов и заходов Венеры и Меркурия

425
XIII.Я. Об особенностях восходов и заходов Венеры и Меркурия





426
XIII.8. Об особенностях восходов и заходов Венеры и Меркурия

425
XIII.8. Об особенностях восходов и заходов Венеры и Меркурия





426
XIII.8. Об особенностях восходов и заходов Венеры и Меркурия

427
XIII.8. Об особенностях восходов и заходов Венеры и Меркурия





XI11.9. Метод определении расстояний от Солнца восходов и заходов	428

XI11.9. Метод определении расстояний от Солнца восходов и заходов	427





428
XIII.11. Эпилог сочинения

429
XIII.11. Эпилог сочинения













436
Приложения

437
Г.Е.Куртик, Г.П.Матвиевская. Птолемей и его астрономический труд





444
Приложения

Г.Е.Куртик, Г.П.Матвиевская. Птолемей и его астрономический труд	445





446
Г.Е.Куртик, Г.П.Матвиевская. Птолемей и его астрономический труд

445
Г.Е.Куртик, Г.П.Матвиевская. Птолемей и его астрономический труд





448
Приложения

Г.Е.Куртик, Г.П.Матвиевская. Птолемей и его астрономический труд	449





Г.Е.Куртик, Г.П.Матвиевская. Птолемей и его астрономический труд	450

Г.Е.Куртик, Г.П.Матвиевская. Птолемей и его астрономический труд	449

15 К. Птолемей

15 К. Птолемей

452
Приложения

Г.Е.Куртик, Г.П.Матвиевская. Птолемей и его астрономический труд	453



15*

454
С.В.Житомирский. Переводчик «Альмагеста» И. Н. Веселовский

453
С.В.Житомирский. Переводчик «Альмагеста» И. Н. Веселовский





462
Приложения

463
Г.Е.Куртик Календарь и хронология в «Альмагесте»





464
Г.Е.Куртик Календарь и хронология в «Альмагесте'

461
Г.Е.Куртик Календарь и хронология в «Альмагесте'





468
Приложения

467
Комментарии





472
Приложения

471
Комментарии к книге первой





469
Комментарии к. книге первой

473
Комментарии к. книге первой





478
Приложения

479
Комментарии к книге первой





474
Приложения

475
Комментарии к книге первой





474
Приложения

475
Комментарии к книге первой





474
Приложения

475
Комментарии к книге первой





474
Приложения

475
Комментарии к книге первой





474
Приложения

475
Комментарии к книге первой





482
Приложения

483
Комментарии к книге первой





484
Комментарии к книге второй

479
Комментарии к книге второй





486
Приложения

487
Комментарии к книге второй



16 К. Птолемей

488
Комментарии к книге второй

483
Комментарии к книге второй

16*

16*

494
Приложения

493
Комментарии к книге второй





488
Приложения

489
Комментарии к книге второй





488
Приложения

489
Комментарии к книге второй





490	Приложения

495	Приложения





490	Приложения

490	Приложения





490	Приложения

490	Приложения





496
Приложения

491
Комментарии к книге второй





492
Приложения

491
Комментарии к книге второй





500
Приложения

499
Комментарии к книге второй





514
Приложения

513
Комментарии к книге третьей





509
Комментарии к книге четвертой

515
Комментарии к книге четвертой





518
Приложения

Комментарии к книге четвертой	517





513
Комментарии к книге четвертой

519
Комментарии к книге четвертой

17 К. Птолемей

17 К. Птолемей

522
Приложения

521
Комментарии к книге четвертой



17*

532
Приложения

533
Комментарии к книге четвертой





550
Приложения

551
Комментарии к книге пятой





552
Комментарии к книге пятой

545
Комментарии к книге пятой

18 К. Птолемей

18 К. Птолемей

554
Приложения

555
Комментарии к книге шестой



18*

558
Приложения

559
Комментарии к книге шестой





552
Приложения

551
Комментарии к книге шестой





570
Приложения

571
Комментарии к книге шестой





582
Приложения

583
Комментарии к книге седьмой





584
Комментарии к книге седьмой

577
Комментарии к книге седьмой

19 К. Птолемей

19 К. Птолемей

586
Приложения

587
Комментарии к книге седьмой



19*

592
Приложения

593
Комментарии к книге восьмой





602
Приложения

601
Комментарии к книге девятой





594
Приложения

595
Комментарии к книге девятой





604
Приложения

605
Комментарии к книге девятой





614
Приложения

615
Комментарии к книге десятой





616
Комментарии к книге десятой

609
Комментарии к книге десятой

20 К. Птолемей

20 К. Птолемей

618
Приложения

619
Комментарии к книге одиннадцатой



20*

622
Приложения

623
Комментарии к книге одиннадцатой





616
Приложения

617
Комментарии к книге одиннадцатой





616
Приложения

617
Комментарии к книге одиннадцатой





Приложения

Приложения





626
Комментарии к книге одиннадцатой

625
Комментарии к книге одиннадцатой





636
Приложения

637
Комментарии к книге двенадцатой





642
Приложения

643
Комментарии к книге тринадцатой





636
Приложения

635
Комментарии к книге тринадцатой





636
Приложения

635
Комментарии к книге тринадцатой





636
Приложения

635
Комментарии к книге тринадцатой





644
Приложения

645
Комментарии к книге тринадцатой





638
Приложения

637
Комментарии к книге тринадцатой





638
Приложения

637
Комментарии к книге тринадцатой





638
Приложения

637
Комментарии к книге тринадцатой





638
Приложения

637
Комментарии к книге тринадцатой





638
Приложения

637
Комментарии к книге тринадцатой





646
Приложения

647
Комментарии к книге тринадцатой





648
Комментарии к книге тринадцатой

641
Комментарии к книге тринадцатой

21 К. Птолемей

21 К. Птолемей

642
Приложения

649
Приложения





650
Комментарии к книге тринадцатой

643
Комментарии к книге тринадцатой

21»

21»

664
Список литературы

665
Список литературы





















656
Список основных обозначений и символов

667
Список основных обозначений и символов





656
Список основных обозначений и символов

656
Список основных обозначений и символов





678
Предметно-именной указатель

679
Предметно-именной указатель





682
Оглавление

Оглавление	683